programação não-linear (aula 2)

Profa Ana Carla Bittencourt Reis 1

Programação não-linear(aula 2)

Programação não-linear(aula 2)

Maio/2010 Profa Ana Carla Bittencourt Reis 2

Exemplos de aplicações

1- PROBLEMA DO MIX DE PRODUTOS COM ELASTICIDADE DE PREÇOS

Objetivo: determinar o mix ótimo de níveis de produção para os produtos de

uma empresa, dadas as limitações sobre os recursos necessários para

fabricar esses produtos, de modo a maximizar o lucro total da empresa.

*Em alguns casos há um lucro unitário fixo associado a cada produto, o que

implica em uma FO linear



Demanda

Pre

ço

x

p(x)

custo unitárioc

• Na curva preço-demanda p(x) é o preço necessário para se vender x unidades

• Se o custo unitário para produzir e distribuir é fixado em “c” o lucro da empresa

é obtido pela produção e venda de “x” unidades, conforme a função não linear

P(x):

P(x)=xp(x)-cx



• Se cada um dos n produtos da empresa tiver uma função de lucro similar, P j(xj),

para produzir e vender xj unidades do produto j (j=1,2,3,...,n), então a FO é uma

soma de funções não-lineares:

n

jjj xPxf

1

)()(

n

jjj xPxf

1

)()(

• Outra razão para o surgimento de não-linearidade na FO é o custo marginal

para produzir outra unidade do produto

• Pode haver não-linearidade nas restrições, especialmente quando o emprego

de um recurso não for estritamente proporcional aos níveis de produção



n

jjj xPxf

1

)()( cxpxxP )()(

Quantidade

Lucr

oP(x)

x


2- PROBLEMA DE TRANSPORTE COM DESCONTOS NOS CUSTOS DE

TRANSPORTE PARA GRANDES VOLUMES

Objetivo: determinar um plano ótimo para o transporte de mercadorias de

várias origens para vários destinos, dadas as restrições de oferta e demanda,

de modo a minimizar o custo total de transporte.

• Em alguns casos os custos por unidade transportada não são fixos: são

dados descontos por volume

• Desta forma, o custo marginal de transportar mais uma unidade pode seguir o

padrão a seguir:



TRANSPORTES PARA GRANDES VOLUMES

Volume remetido

0,6 1,5 2,7 4,5

3

4

5

6,5

Cus

to m

argi

nal

• Esta função representa o custo marginal para remessa




Volume remetido

0,6 1,5 2,7 4,5

3,9

8,4

13,2

18,6

Cus

to t

otal

O custo resultante, C(x), de se remeter x unidades é dado então por uma FNL

Custo marginal = 5




• Se cada combinação origem-destino tiver uma função de custo em que

o custo de transportar xij unidades da origem i (i=1,2,3,...,m), para o

destino j (j=1,2,3,...,n), é dado por uma função não-linear Cij(xij), então a

função objetivo global é minimizada por:

n

jijij

m

i

xCxf11

)()(

• Mesmo com essa FO não-linear, as restrições deste problema

geralmente são lineares


3- SELEÇÃO DE CARTEIRAS COM TÍTULOS DE ALTO RISCO

Foco: retorno esperado e risco associado

Objetivo: determinar uma carteira que, sob certas hipóteses, forneça uma

relação ótima entre esses dois fatores.

Suponha que sejam consideradas n ações/títulos para inclusão nesta carteira e

façamos que as variáveis de decisão xj (j=1,2,3,...,n) representem o número de cotas

das ações j a serem incluídas.

Estipula-se que µj e σjj sejam, respectivamente, a média e a variância, estimadas, do

retorno sobre cada cota da ação j, em que σjj mede o risco desta ação.

Para i=1,2,3,...,n (i≠j), façamos que σij represente a covariância do retorno sobre cada

ação i e j.



Como seria difícil estimar todos os valores σij , parte-se de certas hipóteses sobre o

comportamento do mercado para que se possa calcular σij diretamente de σii e σjj.

A seguir, o valor esperado R(x) e a variância V(x) do retorno total de toda a carteira são:

n

jjj xxR

1

)(

n

jjiij

n

i

xxxV11

)(

• V(x) mede o risco associado à carteira



V(x) é utilizada como FO a ser minimizada e R(x) é imposta como restrição, de forma

que não seja menor que um retorno mínimo esperado aceitável.

njparax

e

BxP

Lx

asujeito

xxxVMinimizar

j

n

jjj

n

jjj

n

i

n

jjiij

,...,2,10

)(:

1

1

1 1

≤

≥

=

b1

b2

bj

...

Onde:

L é o retorno mínimo esperado aceitável

Pj é o preço para cota de ação j

B é o volume de dinheiro previsto para carteira

Dificuldade: é difícil

escolher L de modo a

obter a melhor relação

custo-benefício entre

R(x) e V(x).


EXERCÍCIO:

Formule um modelo de PNL para cada um dos seguintes problemas:

1. Problema do mix de produtos com elasticidade de preços

2. Problema de transporte com descontos nos custos de transportes para

grandes volumes

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