Programación Lineal

Unidad 1Parte 3

• Matriz unitaria “I” de base con variables artificiales

• Cuando el problema de programación lineal se expresa en la forma canónica de maximizar, las variables de holgura que se suman en cada restricción de tipo ≤ para conseguir la igualdad de la forma estándar, proporcionan un coeficiente (+1) que es útil para formar la matriz unitaria “I”; se cumple así la necesidad de la primera solución básica factible que requiere el algoritmo simplex para su inicio.

• Pero muchas veces, el modelo de programación lineal no tiene forma canónica y presenta restricciones de tipo ≥ e=, con las cuales no se usan variables de holgura para el propósito de conseguir la forma estándar. Al restar la superávit -1S se convierte a ecuación la restricción tipo ≥; y la restricción = ya se cumple, pero en ambos casos no se tiene la aportación del coeficiente +1.

• Los problemas de programación lineal expresados con restricciones distintas al tipo ≤ necesitan un artificio matemático para conseguir una matriz de base artificial, lo cual es posible sumando una variable artificial Wi de valor no negativo i= 1,2,…,m en cada restricción i de tipo ≥ e=, así se proporciona el coeficiente +1 indispensable para la formación de la matriz unitaria I que requiere el algoritmo simplex para ponerlo en marcha.

• Una variable artificial no tiene significado físico y sólo se utiliza para completar la primera solución básica que requiere el simplex para iniciarse, pero en contraste, a través de las etapas de cálculo, debe procurarse que las artificiales salgan pronto de la base, convirtiéndolas en no básicas, o bien que, como variables básicas valgan cero para poder lograr la solución óptima.

Método simplex penal o de la M grande, Técnica M

• El simplex X penal es una variable del método simplex aplicable en los casos en que las variables artificiales son necesarias en el problema, ya sea de maximizar o también de minimizar. El nombre de simplex penal se explica porque se penaliza con un coeficiente M, que representa un valor muy grande (mayor que cualquier otro coeficiente del problema), a cada variable artificial Wi, que se incluya en la función objetivo del problema. Para máximo se utiliza la penalización con signo menos (-M), por otro lado para mínimo se utiliza signo más (+M)

• Las variables artificiales se usan para la primera solución básica del simplex, pero el valor muy grande del coeficiente M, procura su rápida salida de la base cuando el problema tiene solución factible. Aunque algún caso degenerado puede tener una variable artificial en la base con valor cero; por el contrario, si no es posible anular las variables artificiales (Wi > 0), siginifica que no hay solución factible al problema

• Primero se prepara el problema convirtiendo a igualdades para forma estándar del modelo propuesto, sumando una variable de holgura H1 en la restricción (1), después se resta una variable S2 de superávit en la (2), la restricción (3) es de tipo = por lo que se deja como está; se condiciona toda variable Xj ≥0 y con la función objetivo original ya se tiene este modelo como estándar.

• Pero así no se completa la matriz cuadrada unitaria I que debe ser de orden m=3 restricciones, pues sólo se tiene el vector unitario de la variable de holgura H1 que sí aporta el coeficiente +1, faltando dos vectores unitarios. Aquí surge la necesidad de utilizar el artificio matemático ya referido. En las restricciones (2) y (3) que son de ≥ e =; se suman variables artificiales W2 y W3, aportando cada una de ellas el necesario coeficiente +1, con lo que completa la matriz I mostrada antes de la tabla simplex, quedando el modelo que se presenta con base artificial.

• Esta variable del simplex, incluye a las variables artificiales en la función objetivo, pero penalizadas con un coeficiente M, que representa un valor mayor que cualquier otro coeficiente presente en el modelo; para este ejemplo se le asigna –M como coeficiente a las variables artificiales W2 y W3, cumpliendo así con la penalización de la función objetivo la cual se arregla al formato de las restricciones, restando el lado derecho a la variable Z, consiguiendo el término independiente cero en el lado derecho.

En segundo lugar debe prepararse la tabla simplex con la primera solución básica “factible”, la que se consigue con las variables artificiales W2 y W3, procurando su pronta anulación con los cambios de la base.Se inicia con los renglones y columnas y los encabezados necesarios para copiar ordenadamente los coeficientes del modelo, tal como se presentan en la forma artificial y la función Z arreglada con término independiente; lo lugares vacíos se llenan con cero.Aquí la matriz I, no necesariamente se forma con sus vectores unitarios colocados juntos escalonadamente; pueden quedar intercalados vectores unitarios (por las variables de holgura y/o artificiales ) o no unitarios (por las de superávit); en este ejemplo, hay una intercalación de la variable S2 de superávit, lo cual se podría haber evitado permutado las primeras dos restricciones.

• En todos los casos se puede buscar arreglar las restricciones en el orden que convenga para facilitar el análisis posterior de la solución tabular. Las variables básicas deben colocarse en la columna izqierda ordenadas de tal manera, que coincidan en su renglón con el coeficiente +1 del vector unitario, de la columna correspondiente a la misma variable.

• Toda variable básica debe tener coeficiente indicador cero en el renglón Z, esto significa que tal variable ya no puede aportar alguna cantidad al valor de la función objetivo; pero las variables artificiales W2 y W3 tienen un coeficiente M en dicho renglón; lo cual impide que se tenga una solución básica “factible” en esta tabla, por lo que se procede a conseguir los coeficientes cero faltantes en el renglón Z para las variables artificiales.

• Esto se logra mediante operaciones fila elementales usadas en el proceso Gauss-Jordan, lo que se muestra en las fórmulas en el lado izquierdo de la tabla: para calcular el cero en W2, se multiplica el renglón W2 por el número –M (inverso aditivo de M) y se suma el renglón Z, o sea, (RW2)(-M) +RZ=Z´, se tiene así cero en la posición Z´con W2.

• Luego se multiplica el renglón W3 por el número –M y se suma el renglón Z´, es decir, (RW3)(-M) +RZ´= Z”, se determinan así los coeficientes cero necesarios para que las variables W2 y W3 sean básicas. Ahora sí en esta segunda tabla, se tiene la primera solución básica indispensable para el algoritmos se inicie con la aplicación de los criterios del simplex.

• En tercer lugar, ya determinada la solución de arranque, se aplican los criterios del simplex empezando con el de optimalidad y considerando que el objetivo es máximo, la observación de los indicadores del renglón Z, en esta segunda tabla, existe sólo un coeficiente negativo en la variable no básica de decisión X1, por lo cual se declara variable entrante a la base.

• La aplicación de la factibilidad resulta al obtener el mínimo cociente, de dividir los valores actuales de las variables básicas situados en la columna solución a la derecha de la tabla, entre los coeficientes en el mismo renglón i con la columna correspondiente a la variable VE. Así: mínimo (6/1, o/2, 2/1) =0, que coincide en el renglón de la variable artificial W2 que se declara variable saliente.

• En el cruce de la columna X1 y el renglón W2, se localiza el coeficiente 2 como pivote P para calcular con Gauss-Jordan la siguiente tabla simplex (tercera) con la nueva solución básica que debe tener a H1, X1 (sustituye a W2) y W3, como base. Se recomienda cuidar la colocación de la variables en la base, conservando el mismo orden que le corresponde de tabla a tabla, excepto para la nueva V que ocupa el lugar de la VS.

• En la tercera tabla simplex, se repite la aplicación del criterio de optimalidad seleccionando entre (-1/2M -7/2) y (-1/2 M – 3/2), el coeficiente más negativo para el objetivo máximo, entonces se declara a la variable no básica X2 como a la base.

• Para la factibilidad, vea que el renglón de la variable básica X2 queda descartado debido a que o /-1/2 no es válido, en cambio con las otras dos variables en la base se tiene: mínimo (6/3/2, 2/ 1/1/2) =4, existe empate que debe romperse teniendo en cuenta, la necesidad de procurar una rápida salida de la base de las variables artificiales, en tal caso se puede elegir a la que ahora, es indeseable variable básica W3. En el cruce de columna X2 como VE y renglón W3, como VS, se localiza el coeficiente pivote ½ con el que se inicia el cálculo de la siguiente tabla (cuarta) simplex de este problema ejemplo.

• La cuarta tabla simplex comienza por ordenar las tres variables básicas H1, X1 y la nueva X2 que sustituye a la W3, se continúa con el cálculo de coeficientes del renglón RE= RS/P=RS/ ½ resultando el coeficiente +1 en la posición de pivote, necesario para determinar con el Gauss-Jordan el resto de la tabla que muestra en el lado izquierdo, las fórmulas empleadas de este método.

• Esta última tabla tiene en el renglón Z, coeficientes indicadores para las variables de valor no negativo, lo cual significa una solución óptima pues, además, todas las variables artificiales ya salieron de la base.