programma del corso di calcolo i per ingegneria civile a.a. … · 2011. 2. 9. · programma del...

Programma del corso di CALCOLO I per Ingegneria CivileA.A. 2010-2011

LEZIONI SVOLTE

Cenni alla costruzione di Q a partire da Z(A). Irrazionalita di√

2. Assiomi di campo.Assiomi di ordine. Il campo Z5 (tabelline di addizione e moltiplicazione e non esistenzadi Z5+)(A). Maggiorante, minorante, estremo superiore ed estremo inferiore. Assiomadi completezza. I numeri reali come campo ordinato completo. Esistenza della radicequadrata in R(A).

Valore assoluto. Disuguaglianza triangolare. Principio di induzione. Esempi:∑n

k=1 k,∑nk=0 qk,

∑nk=1 k2, disuguaglianza di Bernoulli. Proprieta dei coefficienti binomiali. Teo-

rema del binomio di Newton. Funzioni iniettive suriettive e biettive. Inversa di unafunzione. Composizione di funzioni. Funzioni pari e dispari: prodotto e composizione difunzioni pari e dispari.

Definizione di limite. Verifica del limite per: limx→c K = K, limx→c x = c, limx→c |x| =|c| (con dimostrazione della disuguaglianza ||x| − |y|| ≤ |x − y|), limx→0 sin x = 0,limx→0 cos x = 1. Non esistenza del limite per: funzione di Heaviside (10.10), funzione diDirichlet (10.11). Teoremi sulle operazioni sui limiti(*). Limiti di funzioni polinomiali erazionali. Teorema del confronto. limx→0

sin xx

= 1. Limite sinistro e destro. Condizionenecessaria e sufficiente per l’esistenza del limite. Definizione di limx→c+ f(x) = +∞ (esimili). Funzione continua in un punto. Continuita della funzione seno. Continuita dellasomma del prodotto e della composizione di funzioni continue. Teorema della permanenzadel segno. Esempio di una funzione continua sugli irrazionali e discontinua sui razionali(A). Classificazione delle discontinuita. Non esistenza di limx→0+ sin 1

x

Funzioni limitate. Massimo e minimo di una funzione. Teorema di Weierstrass (*). Teo-rema di esistenza degli zeri(*). Esistenza della radice quadrata di un numero positivo (IIdimostrazione). Teorema dei valori intermedi (enunciato e dimostrazione fatti in classe).

Velocita media ed istantanea. Rapporto incrementale. Funzione derivabili e derivata.Calcolo della derivata di: f(x) = K, f(x) = x, f(x) =

√x, f(x) = sin x. Continuita

della funzioni derivabili. Esempio di una funzione continua non derivabile. Derivata dellasomma, del prodotto e del quoziente. Derivata della funzione composta (*). Derivata

dell’inversa (*). Derivata di arcsin, arctan. Derivata della funzione xpq . Interpretazione

geometrica della derivata. Equazione della retta tangente. Significato del simbolo o-piccolo. Caratterizzazione della derivabilita. Derivate di ordine superiore. Verifica dialcune formule della derivata n-sima di una funzione utilizzando il principio di induzione.

I teoremi fondamentali del calcolo differenziale: Fermat, Rolle, Lagrange. Caratteriz-zazione delle funzioni costanti. Relazione fra monotonia e segno della derivata. Con-vessita. Relazione fra convessita e segno della derivata seconda. Problemi di massimoe minimo: problemi isoperimetrici, formula della distanza punto-retta (A), II legge diSnell(A).

1

Asintoti orizzontali, verticali ed obliqui. Cuspidi e punti angolosi. Grafici di funzionirazionali, con radicali e con il valore assoluto. Definizione della funzione log(x) e presen-tazione delle sue proprieta (vedi dopo per la dimostrazione). Funzioni ex, ax e loga x eloro proprieta. Funzioni iperboliche e loro proprieta. Regola di de l’Hopital(*). Graficidi log(f(x)), arctan(f(x)), exp(f(x)) a partire dal grafico di f(x). Grafico della funzioneinversa.

Somme integrali di Riemann-Cauchy. Calcolo dell’area del segmento parabolico. Fun-zioni integrabili secondo Riemann. Non integrabilita della funzione di Dirichlet. Inte-grabilita della funzione costante. I criterio di integrabilita(*). II criterio di integrabilita(A). Integrabilita delle funzioni continue (*). Integrabilita delle funzioni monotone (A).Metodo di Fermat per xp (A). Integrale definito. Proprieta dell’integrale definito: linearita(*) , additivita(*) e monotonia(*). Teorema della media. I e II teorema fondamentaledel calcolo integrale. Tecniche di integrazione: integrali per parti(*) e per sostituzione.Integrazione di funzioni razionali in cui il grado del denominatore e al piu 3. Integrazionidi polinomi trigonometrici. Integrazione delle funzioni

√1± x2 attraverso sostituzioni

inverse. Il logaritmo naturale definito come una primitiva di 1x. Proprieta del logaritmo

naturale a partire dalla definizione. Integrali impropri. Regolarita delle funzioni di segnocostante. Criterio del confronto asintotico(*). Studio della funzione integrale.

Polinomio di Taylor. o-piccolo e sue proprieta. Caratterizzazione del polinomio di Taylortramite 0-piccolo(*). Sviluppo di sin x, ex, cos x, 1

1−x. Polinomio di Taylor della funzione

integrale. Deduzione dello sviluppo di log(1+x), arctan x. Utilizzo della formula di Taylornel calcolo di limiti di forme indeterminate.

Suiccessioni numeriche. Limite di una successione. Esempi. Serie numeriche. Serietelescopiche e geometriche. Serie convergenti, divergenti ed indeterminate. Regolaritadelle serie a termini di segno costante(*). Condizione necessaria per la convergenza di unaserie. Criteri di convergenza per serie a termini positivi: criterio del confronto, criterio delconfronto asintotico (*),criterio integrale, criterio del rapporto(*),criterio della radice(*).Serie alternate e criterio di Leibniz(*). Formula di Taylor con il resto di Lagrange(*).Serie di Taylor(A). Dimostrazione che ex, sin x, cos x sono somme della propria serie diTaylor(A). La funzione 1

1+x2 e sviluppabile solamente in (−1, 1) (A). Utilizzo della seriedi Taylor per valutare la somma di alcune serie numeriche(A).

Numeri complessi. Definizione di somma e prodotto. Inverso e coniugato. Modulo.Rappresentazione cartesiana. Forma polare. Formula di de Moivre. Radici n-esime di unnumero complesso. ”Giustificazione” della formula di Eulero attraverso le serie di potenze(A).

(*) dimostrazione non richiesta.

(A) fatto in classe, ma non presente sul libro di testo (alcuni argomenti si trovanosull’Adams).

Libro di Testo A. Laforgia, Calcolo differenziale ed integrale (Accademica)

Altri libro consigliato : Adams, Calcolo differenziale I.

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Modalita di esame

E possibile superare l’esame in due modi.

• Due prove di esonero: il voto finale e dato dalla media pesata dei due esoneri (dettovp il voto peggiore e vm il voto migliore la media pesata e data da v = 1

3vp + 2

3vm).

La prima prova d’esonero e divisa in due parti:

1a) Prova di sbarramento di teoria: 2 domande di teoria che valgono ciascuna 4punti; si accede alla seconda parte se si conseguono almeno 4 punti.

1b) Prova “pratica”: 3 esercizi che valgono 8 punti ciascuno. Si e ammessi allaseconda prova d’esonero se la somma dei punteggi della prima e della seconda partee non inferiore a 18.

Nella seconda prova di esonero gli esercizi e la domanda di teoria si svolgono insieme.

• Una prova pratica consistente in quattro esercizi (6 punti per ciascun esercizio) eduna prova di teoria consistente in una sola domanda (6 punti). Per essere ammessoalla prova di teoria lo studente deve ottenere almeno 12/24. Nel caso il punteggiodella prova pratica sommato ai punti di bonus dei compitini fosse non inferiore a 18,lo studente puo verbalizzare direttamente il voto dopo una breve discussione delleprove scritte. I punti di bonus dei compitini non contano al fine del raggiungimentodella sufficienza della prova pratica.

Durante le prove scritte non si possono utilizzare libri, appunti, calcolatrici scientifiche,cellulari etc.

Gli studenti che hanno ottenuto un voto finale (media pesata dei due esoneri oppuresomma dello scritto e della prova di teoria dell’appello d’esame e dei compitini) non infe-riore a 24 possono sostenere un esame orale basato sugli argomenti indicati nel programmacon una (A).

La maggior parte (ma non la totalita) degli esercizi assegnati rientra in una di questetipologie:

Primo esonero Secondo esoneroPrincipio di induzione Calcolo di un integraleVerifica del limite Studio di una funzione integraleCalcolo della derivata a partire dalla definizione Numeri complessiGrafico di funzione Limite con formula di Taylor/ de l’HopitalProblema di massimo e minimo Carattere /somma di una serieEsistenza degli zeri/invertibilita

La domanda di teoria consiste nella dimostrazione di un teorema o in una serie didefinizioni o in un esempio significativo (per gli studenti non esonerati sono esclusi gliargomenti indicati nel programma con una (A)).

3

CALCOLO I (Ingegneria Civile)Prova scritta 7 Febbraio 2011

Nome e cognome Anno di immatricolazione

Acconsento all’ eventuale inserimento del mio nomenell’elenco dei promossi Firma in caso si acconsenta,

n. di matricola altrimenti.

1. Calcolare il seguente integrale∫(sin x− 2) cos x

sin2 x + 3 sin x + 2dx.

2. Calcolare il seguente limite al variare del parametro a

limx→0+

x3 log(1 + 2x)− 2x4 − ax5

sin x2 − x2.

3. Determinare il carattere della seguente serie:

∞∑n=1

(n!)2

n2n.

4. Determinare il numero di zeri della seguente funzione:

f(x) = x5 + x4 + x3 + 8x + sin(x2 + x + 1)

giustificando tutti i passaggi per arrivare alla soluzione.

4

CALCOLO I (Ingegneria Civile)Prova scritta 7 Febbraio 2011




1. Calcolare il seguente integrale ∫(ex − 2)ex

e2x + 5ex + 6dx.

2. Calcolare il seguente limite al variare del parametro a

limx→0+

x3(e2x − 1)− 2x4 − ax5

1− cos x3.


∞∑n=1

n2n

(2n)!.

4. Determinare il numero di zeri della seguente funzione:

f(x) = x7 + x6 + x5 + 10x + cos(x2 + x)

giustificando tutti i passaggi per arrivare alla soluzione.

5

CALCOLO I (Ingegneria Civile)II Prova d’esonero 31 gennaio




1. Calcolare il seguente integrale ∫(ex − 2)ex

e2x + 4ex + 13dx.

2. Calcolare lo sviluppo di MacLaurin all’ VIII ordine di sin3 x:

(a) utilizzando la formula per il cubo di un polinomio;

(b) utilizzando l’identit trigonometrica sin3 x = 34sin x− 1

4sin 3x.


∞∑n=1

[(

3√

n2 + n− 3√

n2 − 1) sinn2 + 1

n3

].

Suggerimento: A3 −B3 = (A−B)(A2 + AB + B2).

4. Rispondere ad uno dei due seguenti quesiti:

(a) Il metodo di Fermat per il calcolo dell’integrale∫ b

axpdx (8 punti);

(b) Il I Teorema fondamentale del calcolo integrale (5 punti).

Negli esercizio sul polinomio di Taylor pu risultare utile la seguente formula:

(a1 + a2 + · · ·+ an)3 uguale alla somma di

• tutti i cubi a3i

• tutti i possibili termini 3a2i aj, con i 6= j

• tutti i possibili termini 6aiajak , con i, j, k tutti distinti fra loro (per n = 2 non cisono termini di questo ultimo tipo, per n = 3 solamente 1 e per n ≥ 4 ce ne sonovari).

Ad esempio per n = 3 otteniamo:

(a1 + a2 + a3)3 = a3

1 + a32 + a3

3 + 3(a21a2 + a2

1a3 + a22a1 + a2

2a3 + a23a1 + a2

3a2) + 6a1a2a3.

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Calcolo II prova di esonero - 29 novembre 2010




1. Senza utilizzare le formule di duplicazione, dimostrare per induzione che per k ≥ 0{D2k(cos2 x− sin2 x) = (−1)k22k(cos2 x− sin2 x)D2k+1(cos2 x− sin2 x) = (−1)k+122k+1(2 sin x cos x)

dove Dkf indica la derivata k-esima di f e D0f = f .

2. Determinare il dominio, gli eventuali punti di massimo e minimo relativo, gli even-tuali asintoti, l’immagine e disegnare il grafico di

f(x) =1

x2 + |x + 2| − 3.

Dedurne il grafico della funzione log(f(x)).

3. Data la parabola di equazione y = x2 − 2ax + a2, siano A e B, rispettivamente ilsuo punto di ascissa nulla e quello di ascissa 3. Per quale valore di a la corda ABrisulta minima? Darne un’interpretazione geometrica

7

Calcolo II prova di esonero - 29 novembre 2010




1. Senza utilizzare le formule di duplicazione, dimostrare per induzione che per k ≥ 0{D2k(2 sin x cos x) = (−1)k22k(2 sin x cos x)D2k+1(2 sin x cos x) = (−1)k22k+1(cos2 x− sin2 x)

dove Dkf indica la derivata k-esima di f e D0f = f .


f(x) =1

x2 + |x + 4| − 1.

Dedurne il grafico della funzione exp(f(x)).

3. Data la parabola di equazione y = −x2 + 4x, condurre sul semipiano delle ordinatepositive una retta parallela all’asse delle x in modo che, indicate con A e B, le sueintersezioni con la curva, sia massima l’area del triangolo OAB, essendo O l’originedel sistema di riferimento.

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Analisi per le applicazioni all’ingegneriaProva scritta - 18 novembre 2010




1. Calcolare il seguente limite

limx→0+

(1 + x2)1

cos x−1 .

2. Determinare per quali x ∈ R la serie∑∞

n=0(x2 + 2x)n e convergente e calcolarne la

somma.

3. Risolvere la seguente equazione in campo complesso

z3 + (2 + i)z2 + 2iz = 0

e disegnare le radici sul piano di Gauss.

4. Calcolare il seguente integrale ∫ 2

1

x2 log(x2 + 2x)dx.

5. Trattare uno dei seguenti temi.

(a) : Il teorema di Rolle.

(b): Il teorema di Fermat.

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Analisi per le applicazioni all’ingegneriaProva scritta del 1/07/2010




1. Calcolare il seguente limite al variare del parametro a:

limx→0

sin2(2x)− 4x2 − ax4

x6.

2. Calcolare il numero di zeri della seguente funzione

f(x) = x7 + x2 + 5x + cos x.

3. Calcolare il seguente integrale ∫x + 1√1− x2

dx.

4. Determinare il carattere della seguente serie

∞∑n=2

1

n log2 n.

5. Rispondere ad uno dei seguenti quesiti:

(a) Il teorema di Lagrange e sue applicazioni;

(b) Il II teorema fondamentale del calcolo.

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Analisi per le applicazioni all’ingegneriaProva scritta - 9 novembre 2009




1. Calcolare il seguente limitelim

x→0+xsin x2

.

2. Determinare il carattere della serie∑∞

n=1 log(

5+n2

n2+3

).


(z)4 = |z|2.


1

x3 log(x2 + 1)dx.


(a) : Il teorema della permanenza del segno.

(b): Il I teorema fondamentale del calcolo.

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Analisi per le applicazioni all’ingegneriaProva scritta del 2 luglio 2009




1. Determinare il polinomio di Maclaurin al X ordine di

x2

cos(2x2).

2. Studiare il carattere della seguente serie

∞∑n=1

n2 + sin n

n4 + n2 + 2.


(z − i)4 = −2 + 2√

3i.

4. Dimostrare per induzione che∫ π

0

sin2n xdx =(2n− 1)(2n− 3) · · · 5 · 3

2n(2n− 2) · · · 4 · 2π.


(a) : Il logaritmo definito come una una primitiva di 1x.

(b): Il I teorema fondamentale del calcolo.

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Analisi per le applicazioni all’ingegneriaProva scritta del 16 giugno 2009




1. Trovare il polinomio di Maclaurin all’ VIII ordine della seguente funzione

f(x) = sin(ex2 − 1).

2. Determinare la derivata della seguente funzione come limite del corrispondente rap-porto incrementale

f(x) =x

x + 3.

3. Calcolare il seguente integrale ∫x arctan xdx.

4. Sia

f(x) =

x2 sin1

xse x 6= 0

0 se x = 0.

Mostrare che f e derivabile su tutto R, ma che la sua derivata non e continua in 0.

5. Enunciare e dimostrare uno fra i seguenti teoremi.

(a) : Teorema della permanenza del segno.

(b): Teorema di Lagrange.

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Prova di esame del 21 aprile 2009Analisi per le applicazioni all’ingegneria




1. Studiare il seguente limite al variare del parametro a.

limx→0

exp(x2)− 1− ax2 + x4

x2(cos(2x)− 1).

2. Calcolare il seguente integrale ∫ π

π2

√1 + cos xdx

(suggerimento: cos(2t) = 2 cos2 t− 1).

3. Scrivere in forma trigonometrica i seguenti numeri complessi:

z = (i− 1)6 z = −5 z =1 + i

1 +√

3i.

4. Enunciare e dimostrare il I teorema fondamentale del calcolo integrale.

5. Dimostrare la seguente uguaglianza:

n∑i=0

(a

i

)(b

n− i

)=

(a + b

n

)con a e b interi positivi tali che a, b ≥ n ≥ 0 (suggerimento: utilizzare la formula(1 + x)m =

∑mk=0

(mk

)xk).

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Prova di esame del 10 febbraio 2009Analisi per le applicazioni all’ingegneria (12 CREDITI)


Acconsento all’ affissione del voto con il mio cognomeFirma in caso si acconsenta,n. di matricola altrimenti.

Per superare l’esame e necessario rispondere correttamente ad almeno uno fra i quesiti 5e 6.

1. Senza calcolare alcuna derivata, determinare lo sviluppo di Taylor centrato in 01 alVI ordine di:

cos(e2x2 − 1).

2. Risolvere le seguenti equazioni in campo complesso:

z3 − (1− i)z2 − iz = 0.

(z

1 + i

)3

= −i

3. Calcolare il seguente integrale ∫sin3 x cos4 xdx

4. Stabilire il carattere della seguente serie ed eventualmente calcolarne la somma:

∞∑n=1

1

n(n + 1)(n + 2).

5. Enunciare e dimostrare il primo Teorema fondamentale del Calcolo.

6. Enunciare e dimostrare il Teorema di Fermat.

1i.e di Maclaurin

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Prova di esame del 28 gennaio 2009Analisi per le applicazioni all’ingegneria



1. Calcolare il seguiente limite al variare del parametro a:.

limx→0

sin(ax2)− x2

x2(cos(2x)− e−2x2).

2. Calcolare il seguente integrale ∫ex

e2x − 1dx.

3. Trovare le radici terze dei seguenti numeri complessi:

z = i + 1 z = −8.

4. Dimostrare per induzione che per 0 < x < 1 e per ogni n intero positivo si ha

(1− x)n <1

1 + xn.

5. Enunciare e dimostrare il teorema della permanenza del segno.

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Prova di esame del 28 gennaio 2009Analisi per le applicazioni all’ingegneria 12 CREDITI



IMPORTANTE: Per superare l’esame e’ necessario rispondere correttamente ad almenouno fra i quesiti 5 e 6.

1. [8 punti] Calcolare il seguente limite senza applicare la regola di l’Hopital:

limx→+∞

[1 + sin

(19

x

)]x

.

2. [6 punti] Calcolare il seguente integrale∫3x2 + x + 1

x(x2 + x + 1)dx.

3. [6 punti] Sia f(x) = (x − 10)(x − 11)(x − 12). In quanti punti si annulla f ′(x)?(N.B. giustificate la vostra risposta senza calcolare f ′(x)).

4. [7 punti] Calcolare (z−z)6 dove z =√

2−2i. Calcolare i27, i51, i36 e i−111. Risolverel’equazione z4 = i.

5. [3 punti] Enunciare e dimostrare il teorema dell’unicita del limite.

6. [3 punti] Enunciare e dimostrare il teorema di Weierstrass.

17

Prova di esame del 17 giugno 2008Analisi per le applicazioni all’ingegneria



1. Discutere il seguente limite al variare del parametro a

limx→0

sin 2x− 2x− ax3

x(cos x− e−x2

2 ).


f(x) =x + 1√

x2 + 3|x| − 4.

3. Dimostrare per induzione che per x > −1 e per ogni n intero positivo si ha

(1 + x)n ≥ 1 + nx.

4. Enunciare e dimostrare il teorema di Rolle; mostrare, con opportuni controesempi,che se una delle tre ipotesi non e soddisfatta la conclusione potrebbe non essereverificata.

5. Calcolare il seguente integrale ∫1

−x2 + x + 1dx.

18

Prova di esame del 10 aprile 2008Analisi per le applicazioni all’ingegneria


Acconsento all’ eventuale inserimentodel mio nome nell’elenco dei promossi firmare in caso si acconsenta,

scrivere la matricola altrimenti.

1. (6 punti) Dedurre dallo sviluppo di Taylor centrato nell’origine delle funzioni sin xe ex quello della funzione

f(x) = sin(ex2 − 1)

fino al sesto ordine. Dedurne un’ approssimazione di sin(e0,25 − 1).

2. (7 punti) Dimostrare per induzione che per n ≥ 1 ed m ≤ n si ha

n∑k=m

(k

m

)=

(n + 1

m + 1

).

3. (7 punti) Trovare gli eventuali punti di massimo e minimo relativo e gli eventualiasintoti della seguente funzione

|x2 + |x| − 3||x + 3| − 4

.

4. (6 punti) Calcolare ∫ π2

0

sin xdx

sin2 x + cos x + 3.

5. (6 punti) Il Teorema della permanenza del segno.

19

Prova di esame del 29 gennaio 2008Analisi per le applicazioni all’ingegneria




1. (8 punti) Calcolare il seguente limite

limx→0

∫ x

0

[1− tan

(t2

)] 3t dt

x.

2. (6 punti) Calcolare le seguenti radici di numeri complessi

7√

i, 3√

2− 2i.

3. (7 punti) Provare che per x > 0 si ha

1

x + 1< log

(1 +

1

x

)<

1

x.

4. (6 punti) Calcolare ∫ 9

4

dx√x + 2

.

5. (6 punti) Il Teorema di Rolle con dimostrazione ed almeno una applicazione.

A

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Analisi per le Applicazioni all’ingegneriaProva scritta - 19 novembre 2007




1. Provare per induzione che per n ≥ 1 si ha

nn ≤ (3n)!

(suggerimento: potete utilizzare il fatto che(1 + 1

n

)n ≤ 3 per ogni n ∈ N).

2. Studiare il seguente limite

limx→ 1

2

|x− 3| − 5

|x− 1 + |x||.

3. Studiare la seguente serie+∞∑n=1

sin n + n2

n4 − cos n + 3.

4. Risolvere la seguente equazione e rappresentare le soluzioni sul piano complesso

z2 − z = z.

5. Sia L(x) =∫ x

11tdt, x > 0. Mostrare che per x, y > 0 si ha L(xy) = L(x) + L(y).

21

Prova di esame del 4 settembre 2007Analisi per le applicazioni all’ingegneria



1. Mostrare per induzione che l’espressione esplicita della successione X(n) definitaper ricorrenza da

X(n) = X(n− 1) + αX(n− 1)−R, X(0) = X(α > 0)

e data da

X(n) = X(1 + α)n − (1 + α)n − 1

αR.

Si fissi n = N e si determini R imponendo X(N) = 0. Calcolare

limα→0+

R.

Dare una possibile interpretazione delle formule presentate.

2. Studiare il carattere della seguente serie

+∞∑n=3

1

n log log n.

3. Studiare la seguente funzione

f(x) =||x + 1|+ 2 + x||x− 2 + |x||

.

Dedurne (senza calcolare alcun integrale) il grafico della funzione

F (x) =

∫ x

0

f(t)dt.

4. Enunciare e dimostrare il teorema di Lagrange.

22

Prova scritta del 9 luglio 2007Analisi per le applicazioni all’ingegneria



1. (a) Disegnare la regione {z ∈ C : 0 < |z| < 3, π4

< arg(z) < π3} e individuare la

sua immagine tramite la trasformazione w = 1z.

(b) Utilizzando il fatto che z = 1 −√

3i e una radice del polinomio P (z) = z4 −4z3 + 12z2 − 16z + 16 decomporlo in polinomi irriducibili reali.

2. Sia

F (x) =

∫ x

0

t5et2dt.

Trovare l’espressione esplicita di F e, senza utilizzarla, trovare

limx→0

F (x2)

x12.

3. Studiare la convergenza della seguente serie

+∞∑n=1

(−1)n n2 + 1

n3 + 3n

4. Dimostrare chen∑

k=0

(n

k

)akbn−k = (a + b)n.

23

Prova scritta del 13 giugno 2007Analisi per le applicazioni all’ingegneria



1. Calcolare le radici del polinomio z4+1 e disegnarle sul piano complesso. Dedurne unadecomposizione di tale polinomio come prodotto di due polinomi reali (irriducibili).Mostrare inoltre che se z e una radice di un polinomio a coefficienti reali allora anchez e radice.

2. Risolvere il seguente problema di Cauchy{y′ =

√1− y2

y(0) = 0.

Attenzione:√

1− y2 ≥ 0.

3. Senza calcolare l’integrale, determinare il dominio, gli eventuali punti di massimo eminimo relativo, gli eventuali asintoti, la convessita di

f(t) =

∫ t

1

x2 − 4

x3 + xdx.

Disegnare inoltre un grafico di f compatibile con l’analisi effettuata.

4. Dimostrare che

limx→0

sin x

x= 1

A

24

Prova scritta del 5 settembre 2006Analisi per le applicazioni all’ingegneria



1. Dimostrare per induzione che, per ogni n ∈ N, si ha

n∑k=1

k(k + 1) = 2

(n + 2

3

).

2. Determinare lo sviluppo di Taylor (centrato in x0 = 0) di

f(x) =x + 3

x2 + 3x + 2,

specificando l’intervallo di convergenza. Determinare inoltre f (12)(0).


f(x) =x + 2√

x2 + 2x + 4.

Dedurne il grafico della funzione exp(f(x)) e di arctan(f(x)).

4. Enunciare e dimostrare il teorema del confronto per i limiti.

25

Prova scritta del 14 giugno 2006Analisi per le applicazioni all’ingegneria



1. Dimostrare per induzione che per ogni n ∈ N si ha∫ π/2

0

sin2n+1(x)dx =(2n)!!

(2n + 1)!!,

dove m!! = m(m− 2)(m− 4) · · · 1.

2. Stabilire l’insieme di convergenza della seguente serie di potenze

+∞∑n=0

(2n)!

(n2 + 1)(n!)2xn.


f(x) =x2 − 1

x3 + 6x.

Dedurne il grafico della funzione exp(f(x)) e di log(f(x)).

4. Definire la serie di Fourier di una funzione regolare a tratti fornendo almeno unesempio significativo.

26

Prova scritta del 19 aprile 2006Analisi per le applicazioni all’ingegneria



1. Dimostrare per induzione che per ogni n ∈ N si ha

n∑k=0

1

k2 + 11k + 30=

n + 1

5n + 30.

2. Dopo aver determinato la costante c che rende continua la seguente funzione, scrivernela sua serie di Taylor, precisando in quale intervallo lo sviluppo e valido.

f(x) =

{sin(2x2)−2x2+ 4

3x6

x10 se x 6= 0.c se x = 0

Calcolare inoltre f (16)(0).

3. Senza calcolare l’integrale, determinare il dominio, gli eventuali punti di massimo eminimo relativo, l’esistenza di eventuali asintoti, la convessita di

f(x) =

∫ x

2

t− 5

t2 + 2t− 2dt.

Disegnare inoltre un grafico della funzione compatibile con l’analisi effettuata.

4. Si dimostri che

limx→0

sin x

x= 1.

27

Prova di esame del 2 febbraio 2006Analisi per le applicazioni all’ingegneria


Acconsento all’ affissione del voto con il mio cognome

1. Calcolare (se esiste) il seguente limite

limx→π

2+

logx−π2(− cos x).

2. Determinare il carattere della seguente serie

+∞∑n=50

1

(√

n− 5) 10√

n6 − sin n.

3. Determinare il dominio, gli eventuali punti di massimo e minimo relativo, l’esistenzadi eventuali asintoti della seguente funzione integrale (non e richiesto lo studio dellaconvessita)

F (x) =

∫ x

1

(t− 2)(t− 3)√t(t3 + 1)

dt.

Disegnare un grafico di F compatibile con l’analisi effettuata.

4. Enunciare e dimostrare il primo teorema fondamentale del calcolo integrale.

A

28

Prova di esame del 10 aprile 2008Introduzione all’analisi matematica.




1. (6 punti) Dedurre dallo sviluppo di Taylor centrato nell’origine delle funzioni sin xe ex quello della funzione

f(x) = sin(ex2 − 1)

fino al sesto ordine. Dedurne un’ approssimazione di sin(e0,25 − 1).

2. (7 punti) Dimostrare per induzione che per n ≥ 1 ed m ≤ n si ha

n∑k=m

(k

m

)=

(n + 1

m + 1

).

3. (7 punti) Trovare gli eventuali punti di massimo e minimo relativo e gli eventualiasintoti della seguente funzione

|x2 + |x| − 3||x + 3| − 4

.

Dedurne un grafico di exp(f(x)).

4. Il Teorema della permanenza del segno.

29

Calcolo I (Ingegneria Civile) 7 CREDITIProva scritta - 29 gennaio 2009


Acconsento all’ affissione del voto con il mio cognomefirmare in caso si acconsenta,scrivere la matricola altrimenti.

(6 punti) Mostrare per induzione che per n ≥ 1 ed m ≤ n si ha

n∑k=m

(k

m

)=

(n + 1

m + 1

).

(6 punti) Calcolare il seguente integrale: ∫x3 log(2x)dx.

(6 punti) Studiare il seguente limite al variare del parametro a

limx→0

eax2 − 1 + x2

x(sin(3x)− 3x).

(8 punti) Determinare il dominio, gli eventuali punti di massimo e minimo relativo, gli even-tuali asintoti e disegnare un grafico qualitativo della seguente funzione

f(x) = log

(x + 1

x2 − 3|x + 1|

).

(4 punti) Il I teorema fondamentale del calcolo.

30

Calcolo I (Ingegneria Civile)Prova scritta - 10 novembre 2008



(6 punti) Sia f(x) =∑n

k=0 akxk (con an 6= 0) un polinomio di grado n. Mostrare per induzione

che

a` =f (`)(0)

`!per ` = 0, 1, . . . , n.

(6 punti) Calcolare il seguente integrale:∫x2 arctan(1 + 2x)dx.

(4 punti) Calcolare e verificare attraverso la definizione il seguente limite

limx→1

x2 + 1

x + 2.


f(x) = exp

∣∣∣∣ x + 1

x2 − 3x + 2

∣∣∣∣ .

(6 punti) Teorema di caratterizzazione delle funzioni costanti.

31

Calcolo I (Ingegneria Civile)Prova scritta - 11 giugno 2008



(6 punti) Calcolare il seguente integrale ∫sin5 x cos8 xdx.

(6 punti) Dimostrare per induzione che per x > 0 e n ≥ 0

ex > 1 + x +x2

2+ · · ·+ xn

n!.


f(x) =

√x2 + 2|x| − 3

x + 5.

Dedurne un grafico qualitativo di log(f(x)).

(4 punti) Calcolare e verificare tramite la definizione il seguente limite

limx→0

x2 + 2x + 3

x + 5.

(6 punti) Teorema di esistenza dei valori intermedi.

A

32

Calcolo I (Ingegneria Civile)Prova scritta - 11 giugno 2008



(6 punti) Calcolare il seguente integrale ∫cos5 x sin8 xdx.

(6 punti) Dimostrare per induzione che per x > 0 e n ≥ 0

ex > 1 + x +x2

2+ · · ·+ xn

n!.


f(x) =

√x2 + 3|x| − 4

x + 7.

Dedurne un grafico qualitativo di log(f(x)).

(4 punti) Calcolare e verificare tramite la definizione il seguente limite

limx→0

x2 + 4x + 1

x + 2.

(6 punti) Utilizzando il teorema della derivata della funzione inversa calcolare D(arcsin x).

B

33

Calcolo I (Ingegneria Civile)Prova scritta - 7 aprile 2008



(6 punti) Risolvere il seguente problema di Cauchy{y′ = y2+2y−3

y+4

y(0) = 0.

(4 punti) Trovare le soluzioni della seguente equazione

z3 =2 + 2i

1− i

e disegnarle sul piano complesso.


f(x) =x + 3

x2 − |x| − 2.

Dedurne un grafico qualitativo di exp(f(x)).

(6 punti) Trovare lo sviluppo di Taylor centrato nell’origine fino al sesto ordine di

log(cos x).

(6 punti) Enunciare e dimostrare il teorema fondamentale del calcolo.

A

34

Calcolo I (Ingegneria Civile)Prova scritta - 7 aprile 2008



(6 punti) Risolvere il seguente problema di Cauchy{y′ = y2+5y−6

y+1

y(0) = 0.

(4 punti) Trovare le soluzioni della seguente equazione

z3 =1− i

2 + 2i



f(x) =x2 − |x| − 2

x + 3.

Dedurne un grafico qualitativo di exp(f(x)).

(6 punti) Trovare lo sviluppo di Taylor centrato nell’origine fino al sesto ordine di

log(cos(2x)).

(6 punti) Enunciare e dimostrare il teorema del confronto per i limiti.

B

35

Calcolo I (Ingegneria Civile)Prova scritta - 4 febbraio 2008




x(x2 + 1)dx

2. Trovare le soluzioni della seguente equazione

z6 + (1 + i)z3 + i = 0.

3. Determinare il dominio, gli eventuali punti di massimo e minimo relativo, gli even-tuali asintoti e disegnare un grafico qualitativo della seguente funzione

f(x) =|x + 1|

x2 − 4x + 3.

4. Provare per induzione che

cos x + cos 3x + · · ·+ cos(2n− 1)x =sin 2nx

2 sin x

5. Enunciare e dimostrare il teorema della permanenza del segno.

A

36





x3 − 1dx


z6 − iz3 + 2 = 0.

3. Determinare il dominio, gli eventuali punti di massimo e minimo relativo, gli even-tuali asintoti e disegnare un grafico qualitativo della seguente funzione

f(x) =|x + 3|

x2 − 3x + 2.

4. Provare per induzione che

sin x + sin 2x + · · ·+ sin nx =sin nx

2sin (n+1)x

2

sin x2

5. Enunciare e dimostrare il teorema della media (del calcolo integrale).

B

37

Calcolo I (Ingegneria Civile)II Prova di esonero - 29 gennaio 2008



1. Trovare la soluzione del seguente problema di Cauchy{y′ = 3x2y + sin xex3

y(0) = 1.


z3 + 2iz2 + 3z = 0.

3. Determinare il dominio, gli eventuali punti di massimo e minimo relativo, l’esistenzadi eventuali asintoti della seguente funzione integrale

F (x) =

∫ x

5

√t3 − 8 + t2√

t2 − 9

[exp

(1

t4 + t

)− 1

]dt.


4. Trovare lo sviluppo di Taylor centrato in 0 di

x + 1

x2 + 5x + 6.

5. Trattare uno dei seguenti temi:

(a) (8 punti) Il metodo di Fermat per l’integrale di∫ b

1xpdx

(b) (6 punti) Il teorema fondamentale del calcolo integrale.

D

38

Calcolo I (Ingegneria Civile)I Prova di esonero - 29 novembre 2007



1. Dimostrare per induzione che per n ≥ 1 si ha

n∑k=1

k3k−1 =3n(2n− 1) + 1

4.

2. Calcolare la derivata della seguente funzione come limite del corrispondente rapportoincrementale

f(x) =√

x2 + 2x.

3. (a) Determinare il dominio, il segno, gli eventuali punti di massimo e minimorelativo, gli eventuali asintoti e tracciare il grafico (non e richiesto lo studiodella convessita) della seguente funzione

f(x) =x + 5

x2 − x− 2.

(b) Determinare il piu grande intervallo contenente il punto x = 4 su cui la funzionerisulti invertibile e trovare l’espressione dell’inversa.

4. Determinare la distanza fra la curva y =√

x, x ≥ 0 e il punto (a, 0), a > 0 (atten-zione: bisogna distinguere due casi).

5. Enunciare e dimostrare il Teorema di Rolle.

A

39

Calcolo I (Ingegneria Civile)I Prova di esonero - 29 novembre 2007



1. Dimostrare per induzione che per n ≥ 1 si ha

n∑k=1

k4k−1 =4n(3n− 1) + 1

9.

2. Calcolare la derivata della seguente funzione come limite del corrispondente rapportoincrementale

f(x) =√

x2 − 3x.

3. (a) Determinare il dominio, il segno, gli eventuali punti di massimo e minimorelativo, gli eventuali asintoti e tracciare il grafico (non e richiesto lo studiodella convessita) della seguente funzione

f(x) =x + 1

x2 − 2x + 3.

(b) Determinare il piu grande intervallo contenente il punto x = 6 su cui la funzionerisulti invertibile e trovare l’espressione dell’inversa.

4. Determinare la distanza fra la curva y = x2, x ≥ 0 e il punto (0, a), a > 0 (atten-zione: bisogna distinguere due casi).

5. Enunciare e dimostrare il Teorema di Fermat.

B

40

Calcolo I (Ingegneria Civile)Prova scritta - 21 novembre 2007



1. Provere per induzione che per n ≥ 1 si ha

nn ≤ (3n)!

(suggerimento: potete utilizzare il fatto che(1 + 1

n

)n ≤ 3 per ogni n ≥ 1).

2. Senza calcolare alcuna derivata determinare lo sviluppo di Taylor centrato in 0 finoal ventesimo ordine di

f(x) =x2

x2 − 9.

3. Determinare il dominio, il segno, gli eventuali punti di massimo e minimo relativo,gli eventuali asintoti e tracciare il grafico (non e richiesto lo studio della convessita)della seguente funzione

f(x) = exp

(x + 2

x2 − x

).

4. Calcolare il seguente integrale ∫ e

1

eex+xdx.


41

Prova di esame del 5 settembre 2007Calcolo I



1. Trovare tutte le soluzioni dell’equazione

z3 + z2 + z = 0


2. Trovare i valori di a e b che rendono il seguente limite finito e calcolarlo

limx→0

11−sin x

− 1− ax− bx2

x3.

3. Calcolare il seguente integrale indefinito∫cos4 xdx

giustificando tutti i passaggi.

4. Studiare la seguente funzione

f(x) =||x|+ 2 + x|||x− 1| − |x||

.

Dedurne (senza calcolare alcun integrale) il grafico della funzione

F (x) =

∫ x

0

f(t)dt.

5. Dimostrare l’identita (n− 1

k

)+

(n− 1

k − 1

)=

(n

k

).

42

Prova scritta del 9 luglio 2007Calcolo I



1. Risolvere la seguente equazione in campo complesso e disegnarne le radici sul pianodi Gauss

z6 = 2z4 − 4z2


0

x3 arctan x2dx


f(x) =x2 + 3x

x2 − 3x + 1.

Dedurne un grafico approssimato di log(f(x)).

4. Studiare il seguente limite al variare del parametro a.

limx→0

log(cos x)− ax2

x4.

5. Dare le definizione formali (in termini di ε, δ etc.) di

(a) limx→x+0

f(x) = `

(b) limx→+∞ f(x) = −∞(c) limx→−∞ f(x) = −`

A

43

Prova scritta del 22 giugno 2007Calcolo I



1. Dimostrare per induzione che

n∑k=0

(2k + 1) = (n + 1)2.


0

x + 5

x2 − 4dx.


f(x) =

√x2 + 1

x + 6.

4. Calcolare (se esiste) il seguente limite

limx→0

esin x − ex + x3

6

x4.

5. Dimostrare che√

2 e un numero irrazionale.

B

44

Calcolo I (Ingegneria Civile)Prova di esame - 11 aprile 2007




1. Calcolare il seguente integrale ∫ π2

0

sin3 xecos xdx.

2. Determinare il polinomio di Taylor di ordine n centrato nell’origine della seguentefunzione

f(x) =x + 1

x2 + 5x + 6

e dedurne f (15)(0).


f(x) =x + 2√

x2 + x + 1.

Dedurne un grafico approssimato della funzione exp(f(x)).


z4 + z2 + 1 = 0.

5. Mostrare che L(x) =∫ x

11tdt soddisfa

limx→+∞

L(x) = +∞ e L(xy) = L(x) + L(y).

45






Dn[(1− 2x)−1] = (n)!2n(1− 2x)−n−1

2. Verificare tramite la definizione il seguente limite

limx→1

4x2

x + 1= 2


F (x) =

∫ x

1

t− t2

t3 + 1arctan

1

t2 + 5dt.



z4 + 3z = 0.


A

46






Dn[(1 + x)−1] = (−1)n(n)!(1 + x)−n−1

2. Verificare tramite la definizione il seguente limite

limx→1

6x2

x + 2= 2.


F (x) =

∫ x

2

t + t2

t3 − 1log

(1 +

1

t2

)dt.



z4 − iz = 0.

5. Enunciare e dimostrare il II teorema fondamentale del calcolo integrale.

B

47

I Prova di esonero - 1 dicembre 2006Calcolo I (Ingegneria Civile)




n∑l=1

(l + 3l2) = n(n + 1)2.

2. Determinare la derivata della seguente funzione calcolando il corrispondente limitedel rapporto incrementale

f(x) =x

x + 3.


f(x) =x2 + 3x

x + 1.

Dedurne inoltre un grafico approssimato di exp(f(x)).

4. Una regione piana e composta da un rettangolo sormontato da un triangolo equi-latero (vedi figura). Sapendo che il perimetro della regione e fissato (= p), trovarele dimensioni dei lati che ne rendono massima l’area.

5. Enunciare e dimostrare il teorema di Fermat.

A

48

I Prova di esonero - 1 dicembre 2006Calcolo I (Ingegneria Civile)




n∑l=1

(2l + l2) =n(n + 1)(2n + 7)

6.

2. Determinare la derivata della seguente funzione calcolando il corrispondente limitedel rapporto incrementale

f(x) =1

x2 + 1.


f(x) =x + 2

x2 + 1.

Dedurne inoltre un grafico approssimato di log(f(x)).

4. Una regione piana e composta da un rettangolo sormontato da un semicerchio (vedifigura). Sapendo che il perimetro della regione e fissato (= p), trovare le dimensionidei lati che ne rendono massima l’area.

5. Enunciare e dimostrare il teorema del confronto per i limiti.

B

49

programma del corso di calcolo i per ingegneria civile a.a. … · 2011. 2. 9. · programma del...

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