programmation linéaire en nombres entiers pour l’ordonnancement modulo sous contraintes de...
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7/26/2019 Programmation linaire en nombres entiers pour lordonnancement modulo sous contraintes de ressources.
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Def. Problme Approche PLNE Dantzig-Wolfe Lagrange Hybride Conclusion
Programmation linaire en nombres entiers pourlordonnancement modulo sous contraintes de
ressources.
Maria Alejandra Ayala P.
Universit de Toulouse III, FranceLAAS - CNRS
15 Juin 2011
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Def. Problme Approche PLNE Dantzig-Wolfe Lagrange Hybride Conclusion
Contexte et motivation
Contexte industriel : problme dordonnancement cyclique
dinstructionsParalllisme dinstructions
Architectures VLIW : ST200 de STMicroelectronics
Proposer un ordonnancement des instructions pour terminer leprogramme en un temps minimal.
Optimiser lexcution des boucles : pipeline logiciel.
problme dordonnancement cyclique : ordonnancement modulo.2/75
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Def. Problme Approche PLNE Dantzig-Wolfe Lagrange Hybride Conclusion
Plan
1 Dfinition du problme RCMSP
2 Programmation linaire en nombres entiers
3 Dcomposition de Dantzig-Wolfe
4 Relaxation Lagrangienne
5 Mthode hybride
6 Conclusion et perspectives
3/75
D f P bl A h PLNE D W lf L H b d C l
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Def. Problme Approche PLNE Dantzig-Wolfe Lagrange Hybride Conclusion
Plan
1 Dfinition du problme RCMSP
2 Programmation linaire en nombres entiers
3 Dcomposition de Dantzig-WolfeNouvelles formulationsGnration de colonnesSous-problmeRsultats exprimentaux
4 Relaxation LagrangienneDfinition et rsolution du sous-problme LagrangienHeuristique
Rsultats exprimentaux5 Mthode hybride
Mthode hybrideRsultats exprimentaux
6 Conclusion et perspectives
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D f P bl A h PLNE D t i W lf L H b id C l i
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Ordonnancement cyclique
Un ensemble doprations gnriques : {Oi}1in rptes uneinfinit de fois (diffrentes occurrences ou instances).
Dure{pi}1in
la qime ocurrence de la tche gnrique i.
Ordonnancement : date de dbut qide chaque occurrence.
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Ordonnancement priodique
DfinitionLe temps de cycle moyen :
z() = limq
maxiO(qi +pi)
q
Problme : trouver un ordonnancement ralisable minimisant le tempsde cycle moyen z() tout en respectant des contraintes de prcdenceentre les tches.
Dfinition
Ordonnancement priodique avec une priode
iO, q1, qi =0i + q
La priode est gale au temps de cycle moyen z().
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Ordonnancement modulo sous contraintes de ressources(RCMSP)
Ordonnancement modulo : structure dordonnancement cyclique(1)-priodique avec priode entire.
Dures unitaires.Ensemble de mressources.
Chaque ressource a une disponibilit limite Bs.
Chaque tche demande bsiunits de chaque ressource s.
Ensemble Ede contraintes de prcdence (latence
j
i, distanceji) pour (i,j) E.
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Ordonnancement modulo sous contraintes de ressources(RCMSP)
Variables de dcision : i {0...T}, o Test lhorizon de temps.Formulation du RCMSP :
min Lex(,n
i=1wii)
s.cji+
ji
ji, (i,j) E
iA(t) bsi Bs, s {1, . . . , m}, t N
i0, i=1, 2, ..., n
o A(t) ={i {1, . . . , n}|q N, qi =t} est lensemble des instancesdes tches excutes linstant t N
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Contraintes de prcdence (ou de dpendance)
Graphe orient
Sommets : oprationsArcs(i,j) E ou Eensemble de prcdenceslatence ji: longueur de la dpendance.distance ji : nombre ditrations qui sparent les occurrences dei et j
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pp g g g y
Contraintes de prcdence
Exemple de dpendance :Dpendance (i,j) avec j
i
=2, j
i
=1, = 2.
1 2 1 2
ji= 1
= 2
ji=
2
j; q
i; q
j; q+ 1 q+ ji itration de la tche j
Contrainte de prcdence entre et
q1, qi + ji
q+ji
j
q1, i+ ji i
j j
Problme polynomiale, ordonnancements priodiques,
algorithmes O(n3logn) de recherche de circuite critique.10/75
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Ordonnancement modulo sous contraintes de ressources(RCMSP)
Exemple dutilisation des ressources :
Ressources R1 R2 R3 R4
Disponibilit 4 1 1 2
Oprations R1 R2 R3 R41 1 0 0 02 1 1 0 03 1 1 0 04 1 1 0 05 1 0 0 06 1 1 0 07 1 0 0 0
8 1 0 0 09 1 0 1 1
10 1 0 0 0
4.24.1
8.1
7.1
8.2
72 3 4 5 61 98
9.1
4.1 2.1 3.1 6.1 4.2
9.1
9.1
4.0 1.0 3.0 6.0
9.0
9.0
1.0
4.0
2.0
8.0 7.0
5.0 9.0
3.0
1.1
6.0 1 0. 0 2. 1
5.1
3.1 6.1 10.1
1.2
R1
R2
R3
R4
= 4, Cmax=5
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Ordonnancement modulo sous contraintes de ressources(RCMSP)
1= 2=
Lallocation des ressources est conserve dune itration lautre en
ordonnancement modulo.12/75
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Rsolution du RCMSP
Mthode classique dordonnancement modulo (Rau et al. 1981, 1996)
calcul dune borne infrieure pour la priodemin=max(
res, prec)
prec = max circuit de G
()()
res = max1sm
ni=1
bsi
Bs
Recherche pour la plus petite priode telle que le RCMSP estralisable.
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Etat de lart pour le RCMSP
Ordonnancement cyclique sur processeurs paralleles. Hanen etMunier (1994)
Thorie classique dordonnancement modulo : Rau et al. (1981),
Lam (1988), Rau (1996)Pipeline logiciel dcompos (DSP) : Gasperoni et Schwiegelshohn(1991), Waung et Eisenbis (1994), Hanen et Benabid (2009,2011), Insertion Scheduling Dupont-de-Dinechin (1995).
Mthodes exactes et PLNE : Govindarajan et al. (1991),
Eichenberger et Davidson(1995), Dupont-de-Dinechin (2003)Mthodes sans une valeur de fixe. Lombardi et al. 2011.
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Instances pour lexprimentation
Deux groupes dinstances :
36 instances dures unitaires provenant du processeur ST200 deSTMicroelectronics : consommation des ressourcesprincipalement unitaires
Groupe dinstances correspondants une modification dupremier ensemble dinstances : genration alatoire (U [1, 10])de la consommation de ressources.
Linstance la plus petite, gsm-st231.10.rcmsest compose de 10tches gnriques et 42 relations de prcdence.
Linstance la plus grande, gsm-st231.18.rcmsest compose de 214tches gnriques et 1063 relations de prcdence.
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Ordonnancement modulo sous contraintes de ressources(RCMSP)
2=
Resource Capacity
ALU 4
MEM 1
CTL 1
ODD 2
RESERVATION A LU MEM CTL ODD
ALU 1 0 0 0
ALUX 2 0 0 1
MUL 1 0 0 1
MULX 2 0 0 1
MEM 1 1 0 0
MEMX 2 1 0 1
CTL 1 0 1 1
Exemple.
Cmax=716/75
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Plan
1 Dfinition du problme RCMSP
2 Programmation linaire en nombres entiers
3 Dcomposition de Dantzig-WolfeNouvelles formulationsGnration de colonnesSous-problmeRsultats exprimentaux
4 Relaxation LagrangienneDfinition et rsolution du sous-problme LagrangienHeuristiqueRsultats exprimentaux
5 Mthode hybrideMthode hybrideRsultats exprimentaux
6 Conclusion et perspectives
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PLNE pour le RCMSP
But dutilisation de la PLNE :
Calculer des bornes infrieures de la priode optimale et delobjectif secondaire.
Rsolution exacte si cest possible ou approche.
PLNE pour le RCMSP :Formulation directe :
date de dbut de la tche gnrique i, i[0, T 1]
Formulation dcompose :
i=ki+ i
o : ki[0, ..., T1
], kiest le numro du cycle dans lequelchaque tche est place. i=imod, date de dbut de la tchegnrique idans lintervalle [0, 1].
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PLNE pour le RCMSP
Formulation dcompose :
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1 32 10 2 3
0 1
i
Cmax= 4 = 4
ki
5=5+k5 avec5=2+0(4) =2
Formulation directe :
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1 2 3 4 5 76
Cmax= 4 = 4
i
iest place dans lhorizon T.
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PLNE pour le RCMSP
Formulation dcompose (Eichenberger et al1997) : i=ki + i
minn
i=1
wi(1=0
yi +ki)
1
=0
y
i =1, i[1, n]
1=0
yi +ki + ji
ji
1=0
yj +kj, (i,j) E
ni=1
yibsi Bs, sm, [0, 1]
yi {1, 0}, ki N
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PLNE pour le RCMSP
Contrainte de dpendance structure : base sur rsultats deChaudhuri et al. (1994).
1x=
yix+
(+ji1)mod
x=0
yjx+kikj
ji
+ji1
+1, [0, 1], (i,j) E
Meilleure relaxation de programmation linaire.
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PLNE pour le RCMSP
Formulation directe (Dupont de Dinechin 2004). i= Tt=0tx
ti.
minn
i=1
wi(Kt=0
txti)
K
t=0 xti =1Kt=0
txti + ji
ji
Kt=0
txtj, (i,j) E
ni=1
K
k=0
x+ki bsi Bs, [0, 1], s[1, m)
xti {0, 1}
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Def. Problme Approche PLNE Dantzig-Wolfe Lagrange Hybride Conclusion
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PLNE pour le RCMSP
Contrainte de prcdence dsagrge : Christofides et al. (1987).
Kh=t
xhi +t+
j
ij
i1h=0
xhj 1, t[0, . . . , K 1], (i,j) E
Meilleure relaxation de la programmation linaire.
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C d l d l
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Comparaison des relaxations de programmation linairepour le RCMSP
But : tudier la qualite des relaxations PLNE des formulationsdecompose et directe.
Comparaison des valeurs thoriques des relaxations.
Comparaison exprimentalement les deux formulations PLNE.
Remarque : la formulation directe comporte plus de variables et decontraintes que la formulation dcompose.
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Def. Problme Approche PLNE Dantzig-Wolfe Lagrange Hybride Conclusion
C i d l i d i li i
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Comparaison des relaxations de programmation linairepour le RCMSP
Thorme
Soit z(decomp) la valeur optimale pour la relaxation de laformulation (decomp) et z(direct) la valeur optimale pour larelaxation de la formulation (direct). Nous avons
z(direct) = z(decomp)
Thorme
Soit z
(decomp+) la valeur optimale pour la relaxation de laformulation dcompose renforce et z(direct+) la valeur optimalepour la relaxation de la formulation directe renforce, alors
z(direct+) = z(decomp+)
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C i d l ti d ti li i
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Comparaison des relaxations de programmation linairepour le RCMSP
Principe de la dmonstration :
T=K, avec T, K, N.
i=i+ki.
yi =
K1k=0
x+ki i {1, . . . , n}, {0, . . . , 1}
ki=K1
k=1K1
t=k xti i {1, . . . , n}Remplacement de variables et demonstration de lunimodularitdes matrices de contraintes.
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Calcul de bornes infrieures et rsolution exacte
Borne infrieure pour la priode :
Mthode itrative = min=max(res, prec).
Contraintes dintgralit relches.
Si PL irralisable alors : (= +1).Borne infrieure pour le makespan (Cmax) :Cmaxmin=max(, Cmax), tel que ralisable.
Solution optimale :
Mme principe de calcul de borne infrieure avec rsolution
PLNE.
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S l l d ll
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Solutions optimales : instances industrielles
Instances min PLNE(decomp+) PLNE(direct+) Cmax CPUs Cmax CPUs
adpcm-st231.1 21 21 30 14400 21 30 16235adpcm-st231.2 38 40 42 582362 40 42 601000
gsm-st231.1 24 24 33 0.05 24 33 0.05gsm-st231.2 26 26 32 79362 26 32 83991gsm-st231.5 11 11 17 0.05 11 17 0.05gsm-st231.6 7 7 13 17 7 13 20gsm-st231.7 11 11 17 0.05 11 17 0.05gsm-st231.8 8 8 8 0.05 8 8 0.05gsm-st231.9 28 28 28 0.05 28 28 0.05
gsm-st231.10 4 4 4 0.05 4 4 0.05gsm-st231.11 20 20 21 0.05 20 21 0.05gsm-st231.12 8 8 8 0.05 8 8 0.05
gsm-st231.13 19 19 25 1856 19 25 2023gsm-st231.14 10 10 13 301.25 10 13 478gsm-st231.15 8 8 8 0.05 8 8 0.05gsm-st231.16 16 16 20 7520 16 20 8156gsm-st231.17 9 9 16 0.05 9 16 0.05gsm-st231.18 53 - - - - - -gsm-st231.19 8 8 9 0.05 8 9 0.05gsm-st231.20 6 6 10 0.05 6 10 0.05gsm-st231.21 18 18 22 0.05 18 22 0.05gsm-st231.22 18 18 22 0.05 18 22 0.05gsm-st231.25 16 16 25 3652 16 25 4001
gsm-st231.29 11 11 17 12.6 11 17 15gsm-st231.30 7 7 13 12 7 13 15gsm-st231.31 11 11 17 47 11 17 73gsm-st231.32 15 15 15 0.05 15 15 0.05gsm-st231.33 15 15 21 2365 15 21 2503gsm-st231.34 4 4 5 0.05 4 5 0.05gsm-st231.35 6 6 11 0.05 6 11 0.05gsm-st231.36 10 10 15 27 10 15 42gsm-st231.39 8 8 16 0.05 8 16 0.05gsm-st231.40 10 10 10 0.05 10 10 0.05gsm-st231.41 18 18 24 2356 18 24 2562gsm-st231.42 6 6 10 0.05 6 10 0.05gsm-st231.43 8 8 14 0.05 8 14 0.05 28/75
Def. Problme Approche PLNE Dantzig-Wolfe Lagrange Hybride Conclusion
S l i i l i difi
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Solutions optimales : instances modifies
Instances min PLNE(decomp+) PLNE(direct+) Cmax CPUs Cmax CPUs
adpcm-st231.1 52 - - - - - -adpcm-st231.2 82 - - - - - -
gsm-st231.1 24 25 42 250 25 42 375gsm-st231.2 59 - - - - - -gsm-st231.5 26 36 46 280 36 46 299.03gsm-st231.6 17 27 27 152 27 27 265gsm-st231.7 28 41 45 92 41 45 115gsm-st231.8 9 12 12 0.27 12 12 0.31gsm-st231.9 28 32 35 0.56 32 35 60
gsm-st231.10 6 8 8 0.10 8 8 0.11gsm-st231.11 20 24 24 0.37 24 24 0.39gsm-st231.12 10 13 13 12.65 13 13 19
gsm-st231.13 27 43 48 985.03 43 48 1236gsm-st231.14 20 33 45 220 33 45 252gsm-st231.15 9 12 12 12.36 12 12 13gsm-st231.16 38 - - - - - -gsm-st231.17 23 33 33 90 33 33 105gsm-st231.18 120 - - - - - -gsm-st231.19 12 15 15 38.23 15 15 43gsm-st231.20 13 20 27 123 20 27 137gsm-st231.21 20 30 30 42.03 30 30 59gsm-st231.22 18 29 29 80.36 29 29 112gsm-st231.25 37 56 (Gap=1.75%) 56 604800 - - -
gsm-st231.29 28 42 42 210 42 42 513gsm-st231.30 16 25 25 58 25 25 67gsm-st231.31 26 39 39 142 39 39 169gsm-st231.32 21 30 30 0.25 30 30 1.01gsm-st231.33 33 52(Gap=8%) 50 604800 - - -gsm-st231.34 7 7 7 5.05 7 7 8gsm-st231.35 12 14 16 52 14 16 53gsm-st231.36 18 24 28 230 24 24 403gsm-st231.39 15 21 25 95 21 25 168gsm-st231.40 12 17 21 15 17 21 29gsm-st231.41 33 - - - - - -gsm-st231.42 14 18 26 12 18 26 17gsm-st231.43 15 20 25 15 20 25 23 29/75
Def. Problme Approche PLNE Dantzig-Wolfe Lagrange Hybride Conclusion
B i f i i t i d t i ll
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7/26/2019 Programmation linaire en nombres entiers pour lordonnancement modulo sous contraintes de ressources.
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Bornes infrieures : instances industrielles
Instances min Cmax CPU (s) (decomp+) CPU (s) (direct+)
adpcm-st231.1 21 21 29.5 498 536adpcm-st231.2 38 38 42 5326.37 6012
gsm-st231.1 24 24 33 0.02 0.02gsm-st231.2 26 26 31.5 586 614gsm-st231.5 11 11 15.2 0.02 0.02gsm-st231.6 7 7 11.2 0.02 0.02gsm-st231.7 11 11 15.2 0.02 0.02gsm-st231.8 8 8 8 0.02 0.02gsm-st231.9 28 28 28 0.02 0.02
gsm-st231.10 4 4 4 0.00 0.00gsm-st231.11 20 20 21 0.02 0.02gsm-st231.12 8 8 8 0.00 0.00gsm-st231.13 19 19 25 0.02 0.02
gsm-st231.14 10 10 12.63 0.02 0.02gsm-st231.15 8 8 8 0.00 0.00gsm-st231.16 16 16 16.97 3625.12 3812.03gsm-st231.17 9 9 15.25 0.02 0.02gsm-st231.18 53 53 53 7256 8002.03gsm-st231.19 8 8 8 0.00 0.00gsm-st231.20 6 6 10 0.00 0.00gsm-st231.21 18 18 22 15 15gsm-st231.22 18 18 21 17 20gsm-st231.25 16 16 24.52 789.26 814gsm-st231.29 11 11 15.2 7.52 7.84
gsm-st231.30 7 7 11.2 0.02 0.02gsm-st231.31 11 11 15.2 0.02 0.02gsm-st231.32 15 15 15 4.25 4.45gsm-st231.33 15 15 17.23 42 42gsm-st231.34 4 4 5 0.00 0.00gsm-st231.35 6 6 8.2 0.00 0.00gsm-st231.36 10 10 10 0.02 0.02gsm-st231.39 8 8 12.5 0.02 0.02gsm-st231.40 10 10 10 0.00 0.00gsm-st231.41 18 18 18 12 0.02gsm-st231.42 6 6 10 0.02 0.02gsm-st231.43 8 8 10.4 0.00 0.00
30/75
Def. Problme Approche PLNE Dantzig-Wolfe Lagrange Hybride Conclusion
B i f i i t difi
-
7/26/2019 Programmation linaire en nombres entiers pour lordonnancement modulo sous contraintes de ressources.
31/75
Bornes infrieures : instances modifies
Instances min Cmax CPU (s) (decomp+) CPU (s) (direct+)
adpcm-st231.1 52 52 52 1800 1995.03adpcm-st231.2 82 82 82 7214 7327
gsm-st231.1 24 24 32 600 626gsm-st231.2 59 59 59 7200 7298.04gsm-st231.5 26 26 26 600 600gsm-st231.6 17 17 17 600 600gsm-st231.7 28 28 28 22 23gsm-st231.8 9 9 9 0.02 0.02gsm-st231.9 28 28 28 25 30
gsm-st231.10 6 6 6 0.0001 0.0001gsm-st231.11 20 20 21 0.15 0.152gsm-st231.12 10 10 10 0.0001 0.0001gsm-st231.13 27 27 27 48 52
gsm-st231.14 20 20 20 18 21gsm-st231.15 9 9 9 0.001 0.002gsm-st231.16 38 38 38 420 452gsm-st231.17 24 24 24 720 795gsm-st231.18 120 120 120 600 603gsm-st231.19 12 12 12 0.002 0.002gsm-st231.20 13 13 13 0.002 0.002gsm-st231.21 20 20 22 24 24gsm-st231.22 18 18 21 8 8gsm-st231.25 37 37 37 300 317gsm-st231.29 28 28 28 60 62
gsm-st231.30 16 16 16 0.25 0.253gsm-st231.31 26 26 26 58 60gsm-st231.32 21 21 21 3.02 3gsm-st231.33 33 33 33 52 51gsm-st231.34 6 6 6 0.001 0.001gsm-st231.35 11 11 11 0.002 0.002gsm-st231.36 18 18 18 8 8gsm-st231.39 15 15 15 0.06 0.08gsm-st231.40 12 12 12 0.0001 0.0001gsm-st231.41 34 34 34 47 49gsm-st231.42 14 14 14 4.03 6gsm-st231.43 15 15 15 0.026 0.02
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Def. Problme Approche PLNE Dantzig-Wolfe Lagrange Hybride Conclusion
Pl
-
7/26/2019 Programmation linaire en nombres entiers pour lordonnancement modulo sous contraintes de ressources.
32/75
Plan
1 Dfinition du problme RCMSP
2 Programmation linaire en nombres entiers3 Dcomposition de Dantzig-Wolfe
Nouvelles formulationsGnration de colonnesSous-problme
Rsultats exprimentaux
4 Relaxation LagrangienneDfinition et rsolution du sous-problme LagrangienHeuristiqueRsultats exprimentaux
5 Mthode hybrideMthode hybrideRsultats exprimentaux
6 Conclusion et perspectives
32/75
Def. Problme Approche PLNE Dantzig-Wolfe Lagrange Hybride Conclusion
Dcomposition de Dantzig Wolfe pour le RCMSP
-
7/26/2019 Programmation linaire en nombres entiers pour lordonnancement modulo sous contraintes de ressources.
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Dcomposition de Dantzig-Wolfe pour le RCMSP
Amliorer les bornes obtenues par relaxation de PLNE pour lapriode .
Proposer nouvelles formulations PLNE pour le RCMSP : grand
nombre de variables.Schma de gnration de colonnes de manire rsoudre larelaxation de ces formulations.
Utilisons lapproche de Vanderbeck (2000) pour proposer desnouvelles formulations pour le RCPSP bases sur la dcomposition de
Dantzig-Wolfe.
33/75
Def. Problme Approche PLNE Dantzig-Wolfe Lagrange Hybride Conclusion
Plan
-
7/26/2019 Programmation linaire en nombres entiers pour lordonnancement modulo sous contraintes de ressources.
34/75
Plan
1 Dfinition du problme RCMSP
2 Programmation linaire en nombres entiers3 Dcomposition de Dantzig-Wolfe
Nouvelles formulationsGnration de colonnesSous-problme
Rsultats exprimentaux
4 Relaxation LagrangienneDfinition et rsolution du sous-problme LagrangienHeuristiqueRsultats exprimentaux
5 Mthode hybrideMthode hybrideRsultats exprimentaux
6 Conclusion et perspectives
34/75
Def. Problme Approche PLNE Dantzig-Wolfe Lagrange Hybride Conclusion
Formulations renforces pour le RCMSP
-
7/26/2019 Programmation linaire en nombres entiers pour lordonnancement modulo sous contraintes de ressources.
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Formulations renforces pour le RCMSP
Dcomposition de Dantzig-Wolfe :P() : ensemble de solutions ralisables respectant les contraintes deressources linstant {0,...,}.
P() = y {0, 1}n | ni=1
yib
si Bs, s {1, . . . , m}
Correspondance bijective entre les points ralisables non-nuls deP() et lensemble R des ensembles doprations {i1, . . . , iq} tel
queqp=1bsip Bs, s {1, . . . , m}.Chaque ensemble de R est appel un ensemble ralisable.
35/75
Def. Problme Approche PLNE Dantzig-Wolfe Lagrange Hybride Conclusion
Formulations renforces pour le RCMSP
-
7/26/2019 Programmation linaire en nombres entiers pour lordonnancement modulo sous contraintes de ressources.
36/75
Formulations renforces pour le RCMSP
Dcomposition de Dantzig-Wolfe :Le polydre P() peut tre reprsent par lnumration de tous seslments :
P() =y Rn | y = lR
z
l
Pl et lR
z
l
=1 pour tout z
l
{0, 1}, l RMatrice binaire atel que ali=1 si la tche iappartient lensemble ralisable Pl (a
li reprsente le i-me lment de Pl).
En remplaant yi parlR
alizl, tel que zl {0, 1}, lR.
36/75
Def. Problme Approche PLNE Dantzig-Wolfe Lagrange Hybride Conclusion
Formulations renforces pour le RCMSP
-
7/26/2019 Programmation linaire en nombres entiers pour lordonnancement modulo sous contraintes de ressources.
37/75
Formulations renforces pour le RCMSP
4.24.1
8.1
7.1
8.2
72 3 4 5 61 98
9.1
4.1 2.1 3.1 6.1 4.2
9.1
9.1
4.0 1.0 3.0 6.0
9.0
9.0
1.0
4.0
2.0
8.0 7.0
5.0 9.0
3.0
1.1
6.0 1 0. 0 2. 1
5.1
3.1 6.1 10.1
1.2
R1
R2
R3
R4
= 4, Cmax=5
= 4, {0, 1}
l1 ={4, 8, 1} z0l1
= 1, z1l1
=0, z2l1
=0, z3l1
=0
l2 ={1, 7, 5, 2} z0l2
= 0, z1l2
= 1, z2l2
=0, z3l2
=0
l3 = {3} z0l3
=0, z1l3
=0, z2l3
=1, z3l3
= 0
l4 ={9, 6} z0l
=0, z1l4
= 0, z2l4
=0, z3l4
=1
37/75
Def. Problme Approche PLNE Dantzig-Wolfe Lagrange Hybride Conclusion
Formulations renforces pour le RCMSP
-
7/26/2019 Programmation linaire en nombres entiers pour lordonnancement modulo sous contraintes de ressources.
38/75
Formulations renforces pour le RCMSP
Nouvelle formulation (M-decomp) pour le RCMSP.
min
ni=1
wi(ki+
1=0
lR
alizl )
lR1
=0a
liz
l =1 i {1, ...,n}
lR
zl 1, {0, . . . , 1}
1
=0
lR
a
l
jz
l lR
a
l
iz
l + (kjkj) jiji (i,j) Ezi {0, 1} l {R}, {0, . . . , 1}
ki {0, . . . ,K1}, i {1, . . . ,n}38/75
Def. Problme Approche PLNE Dantzig-Wolfe Lagrange Hybride Conclusion
Formulations renforces pour le RCMSP
-
7/26/2019 Programmation linaire en nombres entiers pour lordonnancement modulo sous contraintes de ressources.
39/75
Formulations renforces pour le RCMSP
Contraintes de prcdence structures :
1
x=lRa
liz
xl +
(+ji1) mod
x=0 lRa
ljz
xl +kikj
ji
+ji1
+1,
{0, . . . , 1}, (i,j) E (1)
Une nouvelle formulation renforc appele (M-decomp+) est doncobtenue.
Remarque : mme schma pour (M-direct) et (M-direct+)
39/75
Def. Problme Approche PLNE Dantzig-Wolfe Lagrange Hybride Conclusion
Plan
-
7/26/2019 Programmation linaire en nombres entiers pour lordonnancement modulo sous contraintes de ressources.
40/75
Plan
1 Dfinition du problme RCMSP
2 Programmation linaire en nombres entiers3 Dcomposition de Dantzig-Wolfe
Nouvelles formulationsGnration de colonnesSous-problme
Rsultats exprimentaux4 Relaxation Lagrangienne
Dfinition et rsolution du sous-problme LagrangienHeuristiqueRsultats exprimentaux
5 Mthode hybrideMthode hybrideRsultats exprimentaux
6 Conclusion et perspectives
40/75
Def. Problme Approche PLNE Dantzig-Wolfe Lagrange Hybride Conclusion
Gnration de colonnes
-
7/26/2019 Programmation linaire en nombres entiers pour lordonnancement modulo sous contraintes de ressources.
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Gnration de colonnes
PMR
RR
RR
-
7/26/2019 Programmation linaire en nombres entiers pour lordonnancement modulo sous contraintes de ressources.
42/75
ob e dua o u at o ( deco p)
Les contraintes duales associe la variable zl du problme matredonn par la formulation (M-decomp) :
n
i=1 alii+ (i,j)E ij(a
lja
li)
n
i=1 wiali, lR, {0, . . . , 1}
ce qui donne
n
i=1 F(i, )ali, lR, {0, . . . , 1}
o F(i, ) =i+
(j,i)Eji
(i,j)Eij+wi
.
42/75
Def. Problme Approche PLNE Dantzig-Wolfe Lagrange Hybride Conclusion
Plan
-
7/26/2019 Programmation linaire en nombres entiers pour lordonnancement modulo sous contraintes de ressources.
43/75
1 Dfinition du problme RCMSP
2 Programmation linaire en nombres entiers3 Dcomposition de Dantzig-Wolfe
Nouvelles formulationsGnration de colonnesSous-problme
Rsultats exprimentaux4 Relaxation Lagrangienne
Dfinition et rsolution du sous-problme LagrangienHeuristiqueRsultats exprimentaux
5 Mthode hybrideMthode hybrideRsultats exprimentaux
6 Conclusion et perspectives
43/75
Def. Problme Approche PLNE Dantzig-Wolfe Lagrange Hybride Conclusion
Sous-problme
-
7/26/2019 Programmation linaire en nombres entiers pour lordonnancement modulo sous contraintes de ressources.
44/75
p
Il est possible de trouver une contrainte duale viole, cest--dire un
vecteuraitel queni=1w1(i, )ai.max
ni=1
F(i, )ai
ni=1
aibsi Bs, s {1, . . . , m}
ai {0, 1}, i {1, . . . , n}
Pour chaque =0,..., 1. Nous avons donc sous-problmes rsoudre.
Le problme matre est rsolu, puis les sous-problmes sontgalement rsolus.
44/75
Def. Problme Approche PLNE Dantzig-Wolfe Lagrange Hybride Conclusion
Calcul des bornes infrieures
-
7/26/2019 Programmation linaire en nombres entiers pour lordonnancement modulo sous contraintes de ressources.
45/75
La plus petite valeur de ralisable obtenue avec la solution desrelaxations des nouvelles formulations proposes, en utilisant leschma de gnration de colonnes.
La borne pour le makespan est dfinie parCmaxmin=max(, Cmax), o Cmax correspond la valeurobtenue avec la rsolution des relaxations en utilisant le schmade gnration de colonnes, uniquement si le programme linaireadmet une solution ralisable pour une valeur de donne.
45/75
Def. Problme Approche PLNE Dantzig-Wolfe Lagrange Hybride Conclusion
Plan
-
7/26/2019 Programmation linaire en nombres entiers pour lordonnancement modulo sous contraintes de ressources.
46/75
1 Dfinition du problme RCMSP
2 Programmation linaire en nombres entiers3 Dcomposition de Dantzig-Wolfe
Nouvelles formulationsGnration de colonnesSous-problme
Rsultats exprimentaux4 Relaxation Lagrangienne
Dfinition et rsolution du sous-problme LagrangienHeuristiqueRsultats exprimentaux
5 Mthode hybrideMthode hybrideRsultats exprimentaux
6 Conclusion et perspectives
46/75
Def. Problme Approche PLNE Dantzig-Wolfe Lagrange Hybride Conclusion
Rsultats exprimentaux
-
7/26/2019 Programmation linaire en nombres entiers pour lordonnancement modulo sous contraintes de ressources.
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Figure:Bornes pour la priode . Instances modifies.
Relaxation (decomp+) GC(M-decomp+)
Nombre dinstances rsolues 36/36 34/36Test avec = opt 0/28 23/28Ecart maximal opt 16 1
Ecart moyen opt
7.10 0.5847/75
Def. Problme Approche PLNE Dantzig-Wolfe Lagrange Hybride Conclusion
Rsultats exprimentaux
-
7/26/2019 Programmation linaire en nombres entiers pour lordonnancement modulo sous contraintes de ressources.
48/75
Figure:Bornes pour le Cmax. Instances modifies.
Relaxation (decomp+) GC (M-decomp+)Nombre dinstances rsolues 36/36 34/36Test avec Cmax=Cmaxopt 0/28 15/28Ecart maximal CmaxCmaxopt 25 12
Ecart moyen CmaxCmax
opt
9.57 2.5848/75
Def. Problme Approche PLNE Dantzig-Wolfe Lagrange Hybride Conclusion
Plan
-
7/26/2019 Programmation linaire en nombres entiers pour lordonnancement modulo sous contraintes de ressources.
49/75
1 Dfinition du problme RCMSP
2 Programmation linaire en nombres entiers3 Dcomposition de Dantzig-Wolfe
Nouvelles formulationsGnration de colonnesSous-problme
Rsultats exprimentaux4 Relaxation Lagrangienne
Dfinition et rsolution du sous-problme LagrangienHeuristiqueRsultats exprimentaux
5 Mthode hybrideMthode hybrideRsultats exprimentaux
6 Conclusion et perspectives
49/75
Def. Problme Approche PLNE Dantzig-Wolfe Lagrange Hybride Conclusion
Relaxation Lagrangienne
-
7/26/2019 Programmation linaire en nombres entiers pour lordonnancement modulo sous contraintes de ressources.
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But : Obtenir bornes suprieures pour la priode et pour le Cmax
Relaxation Lagrangienne sur la formulation PLNE directedesagrge.
Rsultats de Mhring et al. pour le RCPSP : solution desous-problme= coupe minimale dans un graphe oriente.
Heuristique : transformation de la formulation PLNE dcomposeen utilisant la relaxation lagrangienne.
50/75
Def. Problme Approche PLNE Dantzig-Wolfe Lagrange Hybride Conclusion
Relaxation Lagrangienne
-
7/26/2019 Programmation linaire en nombres entiers pour lordonnancement modulo sous contraintes de ressources.
51/75
Considerons
L,(x) =m
s=1
1=0
,s(n
i=1
t mod =
bsixti)
ms=1
1=0
,sBs.
le programme linaire
min{L,(x)| x ()}
,s 0 [0, 1].
() polydre dfini par les contraintes de prcdence de laformulation directe structure.
51/75
Def. Problme Approche PLNE Dantzig-Wolfe Lagrange Hybride Conclusion
Relaxation Lagrangienne
-
7/26/2019 Programmation linaire en nombres entiers pour lordonnancement modulo sous contraintes de ressources.
52/75
Proposition
() est vide si pour un0, () est vide ou L,>0.
Soit le problme Lagrangien dual
max0
min{L,(x)| x ()}
borne infrieure RL : plus petit telque L 0
Remarque : Nous ne sommes pas intresses par la valeur de la borneinfrieure por la priode .
52/75
Def. Problme Approche PLNE Dantzig-Wolfe Lagrange Hybride Conclusion
Relaxation Lagrangienne
-
7/26/2019 Programmation linaire en nombres entiers pour lordonnancement modulo sous contraintes de ressources.
53/75
Borne pour le Cmax.
Sous-problme Lagrangien : L,(x) =Cmax+L,(x) avec
Cmax=
Tt=0tx
tn+1.
Sous-problme Lagrangien :
min{L,(x)| x ()}
Borne pour le Cmax: solution du dual Lagrangien :
max0
min{L,
(x)| x ()}
53/75
Def. Problme Approche PLNE Dantzig-Wolfe Lagrange Hybride Conclusion
Plan
-
7/26/2019 Programmation linaire en nombres entiers pour lordonnancement modulo sous contraintes de ressources.
54/75
1 Dfinition du problme RCMSP
2 Programmation linaire en nombres entiers3 Dcomposition de Dantzig-Wolfe
Nouvelles formulationsGnration de colonnesSous-problme
Rsultats exprimentaux4 Relaxation Lagrangienne
Dfinition et rsolution du sous-problme LagrangienHeuristiqueRsultats exprimentaux
5 Mthode hybrideMthode hybrideRsultats exprimentaux
6 Conclusion et perspectives
54/75
Def. Problme Approche PLNE Dantzig-Wolfe Lagrange Hybride Conclusion
Dfinition et rsolution du sous-problme Lagrangien
-
7/26/2019 Programmation linaire en nombres entiers pour lordonnancement modulo sous contraintes de ressources.
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ralisable pour la relaxation de la formulation PLNE directe.
Borne pour le Cmax : sous problme Lagrangien
L
,(x) = Cmax+L,(x) =
Tt=0
txtn+1+
ms=1
1=0
,s (
ni=1
t mod =
bsix
ti)
ms=1
1=0
,s Bs
Dfinition de poids :
fi,t=
ms=1
bsi,s si i
-
7/26/2019 Programmation linaire en nombres entiers pour lordonnancement modulo sous contraintes de ressources.
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Cas particulier du problme dordonnancement de projet avec cotsdpendant des dates de dbut dcrit par Mhring et al. (2003)
Arcs daffectation { } { }....0,...1),( 1,, Ttnivv titi +
arcs temporels { }....0,),(),( )(,, TtEjivv jijititi +
sommets { } { }....0,...1, Ttniv ti
,tif
capacits.,tif
n
a b
T210 . . .
1
2
.
.
.
56/75
Def. Problme Approche PLNE Dantzig-Wolfe Lagrange Hybride Conclusion
Dfinition et rsolution du sous-problme Lagrangien
-
7/26/2019 Programmation linaire en nombres entiers pour lordonnancement modulo sous contraintes de ressources.
57/75
Thorme
Il existe une correspondance une une entre la coupe minimale a bet la paire(X, X) G avec exactement n arcs avant et une solutionoptimale x pour le probleme Lagrangien obtenu par xi,t=1 si
(vi,t, vi,t+1) est un arc sortant de la coupe(X, X), et xi,t=0 sinon.La valeur w(x) dune solution optimale du problme Lagrangien estgale la capacit c(X, X) de la coupe minimale(X, X) de G.
Mhringet al. (2003).
Rsolution de dual Lagrangien : Sous-gradient
57/75
Def. Problme Approche PLNE Dantzig-Wolfe Lagrange Hybride Conclusion
Plan
-
7/26/2019 Programmation linaire en nombres entiers pour lordonnancement modulo sous contraintes de ressources.
58/75
1 Dfinition du problme RCMSP
2 Programmation linaire en nombres entiers3 Dcomposition de Dantzig-Wolfe
Nouvelles formulationsGnration de colonnesSous-problme
Rsultats exprimentaux4 Relaxation Lagrangienne
Dfinition et rsolution du sous-problme LagrangienHeuristiqueRsultats exprimentaux
5 Mthode hybrideMthode hybrideRsultats exprimentaux
6 Conclusion et perspectives
58/75
Def. Problme Approche PLNE Dantzig-Wolfe Lagrange Hybride Conclusion
Heuristique
-
7/26/2019 Programmation linaire en nombres entiers pour lordonnancement modulo sous contraintes de ressources.
59/75
Le vecteur xobtenu par lalgorithme du dual Lagrangien estentier (0 1)
Construction des solutions ralisables.
Heuristique :Formulation dcompose.i=i+kiValeurs de ki fonction du vecteur xtrouv par la relaxationLagrangienne.Solution de PLNE avec les valeurs ki fixes.
59/75
Def. Problme Approche PLNE Dantzig-Wolfe Lagrange Hybride Conclusion
Plan
-
7/26/2019 Programmation linaire en nombres entiers pour lordonnancement modulo sous contraintes de ressources.
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1 Dfinition du problme RCMSP
2
Programmation linaire en nombres entiers3 Dcomposition de Dantzig-Wolfe
Nouvelles formulationsGnration de colonnesSous-problme
Rsultats exprimentaux4 Relaxation Lagrangienne
Dfinition et rsolution du sous-problme LagrangienHeuristiqueRsultats exprimentaux
5 Mthode hybrideMthode hybrideRsultats exprimentaux
6 Conclusion et perspectives
60/75
Def. Problme Approche PLNE Dantzig-Wolfe Lagrange Hybride Conclusion
Rsultats exprimentaux
-
7/26/2019 Programmation linaire en nombres entiers pour lordonnancement modulo sous contraintes de ressources.
61/75
Nombre dinstances rsolues 36/36Test avec = opt 28/36Ecart maximal opt 8Ecart moyen opt 0.55Test avec Cmaxsup = Cmax
opt 21/28Ecart maximal Cmaxopt Cmaxsup 5Ecart moyen Cmaxopt Cmaxsup 0.68
Table:Rcapitulatif des bornes suprieures obtenues pour la priode etpour le Cmax. Instances industrielles
Nombre dinstances rsolues 33/36Test avec sup =
opt 14/28Ecart maximal opt sup 3Ecart moyen opt sup 0.64
Test avec Cmaxsup = Cmaxopt
12/14Ecart maximal Cmaxopt Cmaxsup 5Ecart moyen Cmaxopt Cmaxsup 1.21
Table:Rcapitulatif des bornes suprieure obtenues pour la priode etpour le Cmax. Instances modifies
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Def. Problme Approche PLNE Dantzig-Wolfe Lagrange Hybride Conclusion
Plan
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7/26/2019 Programmation linaire en nombres entiers pour lordonnancement modulo sous contraintes de ressources.
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1 Dfinition du problme RCMSP
2
Programmation linaire en nombres entiers3 Dcomposition de Dantzig-Wolfe
Nouvelles formulationsGnration de colonnesSous-problme
Rsultats exprimentaux4 Relaxation Lagrangienne
Dfinition et rsolution du sous-problme LagrangienHeuristiqueRsultats exprimentaux
5 Mthode hybrideMthode hybrideRsultats exprimentaux
6 Conclusion et perspectives
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Plan
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1 Dfinition du problme RCMSP
2
Programmation linaire en nombres entiers3 Dcomposition de Dantzig-Wolfe
Nouvelles formulationsGnration de colonnesSous-problme
Rsultats exprimentaux4 Relaxation Lagrangienne
Dfinition et rsolution du sous-problme LagrangienHeuristiqueRsultats exprimentaux
5 Mthode hybrideMthode hybrideRsultats exprimentaux
6 Conclusion et perspectives
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Mthode hybride
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But : bornes suprieures ou solutions ralisables en tempsraisonnables.Mthode hybride :
Collaboration avec Abir BENABID et Claire HANEN (LIP6).
Pipeline logiciel dcomposTransformation du vecteur colonne dinstructions (i) en unematrice deux dimensions.Les lignes : la date de dbut idans la priode Les colonnes : litration dans la boucle dorigine (i.e. le numro
de la priode k
i).
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Pipeline logiciel dcompos
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()
()
()
' ()
' ()
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DSP : Dcalage des instructions
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Dcalage des instructions : circuit retimingG= (O, E, , ), un vecteur retiming (i) est une fonction qui affecteles poids des arcs du graphe G.
(i,j) E, : (i,j) Z tel que i,j=(ji) =
ji+ j i
Dfinition
Un retiming lgal est un retiming tel que
(i,j)
E, : (i,j)
Z tel que
i,j=(j
i) =j
i+
j
i0
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Mthode hybride
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()
* '
()
nikii
,...,1, =
nii
,...,1=
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Mthode hybride
Al ith 1 Mth d h b id
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Algorithme 1: Mthode hybride1 Calculer un retiming lgal pour G2 Trouver ralisable (mthode itrative) et une solution ralisable du systeme suivant :
min
ni=1
wi(
1=0
yi +i)
1=0
yi = 1, i[1, n]
1
x=y
ix+
(+ji1)mod
x=0y
jx+ij
ji
+ji1
+1, [0, ), (i,j) E
ni=1
yi b
si ms, s {1, . . . , m}, [0, )
yi {0, 1}
3 Dfinir un ordonnancement i i=1..n, i = i+i
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Plan
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1 Dfinition du problme RCMSP
2 Programmation linaire en nombres entiers
3 Dcomposition de Dantzig-WolfeNouvelles formulationsGnration de colonnesSous-problme
Rsultats exprimentaux4 Relaxation Lagrangienne
Dfinition et rsolution du sous-problme LagrangienHeuristiqueRsultats exprimentaux
5 Mthode hybrideMthode hybrideRsultats exprimentaux
6 Conclusion et perspectives
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Rsultats exprimentaux
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HybrideHD HybrideGS DSP iFLAT Rellag
Nombre dinstances rsolues 36/36 36/36 36/36 33/33 36/36Test avec = opt 34/36 32/36 30/36 26/33 28/36Ecart maximal opt 1 3 3 3 8Ecart moyen opt 0.005 0.22 0.25 0.24 0.55
Table:Comparaison de la mthode hybride avec des autres mthodes pourla recherche des solutions ralisables. Instances industrielles
HybrideHD HybrideGS DSP iFLAT RellagNombre dinstances rsolues 34/36 32/36 36/36 25/25 33/36Test avec = opt 21/28 20/28 20/28 16/25 14/28Ecart maximal opt 4 3 5 3 3Ecart moyen opt 0.39 0.42 0.82 0.64 0.64
Table:Comparaison de la mthode hybride avec des autres mthodes pourla recherche des solutions ralisables. Instances modifies
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Plan
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1 Dfinition du problme RCMSP
2 Programmation linaire en nombres entiers
3 Dcomposition de Dantzig-WolfeNouvelles formulationsGnration de colonnesSous-problme
Rsultats exprimentaux4 Relaxation Lagrangienne
Dfinition et rsolution du sous-problme LagrangienHeuristiqueRsultats exprimentaux
5 Mthode hybrideMthode hybrideRsultats exprimentaux
6 Conclusion et perspectives
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Conclusion et perspectives
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Problme dordonnancement modulo sous contraintes de
ressources : application lordonnancement dinstructions VLIW.Formulations PLNE pour le RCMSP :
Formulations dcompose et directe + version structure etdsagrge.Comparaison des valeurs thoriques des relaxations.Comparaison exprimentale des formulations presentes.Bornes faibles pour la priode .
Dcomposition de Dantzig-Wolfe :
Nouvelles formulations rnforces : grand nombre de variables.Schma de gnration de colonnes : solution des relaxations desnouvelles formulations.
Amelioration des bornes pour les instances avec consommation deressources non unitaires.
Rsultats publis : PMS 2010 et Article sumis Discrete AppliedMathematics (2 revision)
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Conclusion et perspectives
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Relaxation Lagrangienne :
Relaxation Lagrangienne sur la formulation directe structure.Solution du sous-problme partir dune coupe minimale :rsultats de Mhring.Heuristique : relaxation Lagrangienne + formulation PLNEdcompose.Bornes suprieures de bonne qualit pour la priode et pour le
Cmax.Temps de calcul importants.Rsultats publis : ISCO 2010. Electronic Notes in DiscreteMathematics, Vol.36, pp.191-198, Aot 2010
Mthode hybride :
Combinaison de DSP + formulation PLNE structureNouvelles bornes suprieures pour la priode .Amlioration des temps de calcul.Rsultats publis : article sumis Computational OptimizationAnd Applications
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Conclusion et perspectives
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Gnration de colonnes : inclure rgles pour rduire lespace dessous ensembles ralisables (coupes).
Heuristique base sur la relaxation Lagrangienne pour larecherche des solutions ralisables (sans PLNE) .
Amlioration de limplmentation du code de programmation dela gnration de colonnes et relaxation Lagrangienne.
Extension des mthodes et techniques proposes pour desproblmes dordonnancement stochastiques en considrant ladure des oprations ou dautres paramtres du problme comme
des variables alatoires.
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Merci de votre attention.
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