Proiect la matematicaElev:Rusanu AlexandruCuprins:1.teorema lui Fermat 2:teorema lui Rolle 3:teorema lui Lagrange a cresterilor Finite4:teorema lui Lagrange a grupurilor

1. Marea teorem a lui Fermateste o celebrteoremdeteoria numerelor. Ea a fost enunat dePierre de Fermatn anul1637, iar demonstraia complet a fost gsit de-abia 357 de ani mai trziu de ctre matematicianulenglezAndrew Wiles.Enunul este simplu:Ecuaianu are soluii dac n>2 este numr natural, iar x,y,z suntnumere ntreginenule.Pentrun=2, ecuaiaare soluii. Exist triplete de numere naturale (x,y,z) cu care se pot forma laturile unuitriunghi dreptunghic; de aici, conformteoremei lui Pitagora, avem. De exemplu (3,4,5) sau (5,12,13). Exist chiar o infinitate de astfel de triplete, forma lor general fiindx=2uv,y=u2-v2,z=u2+v2, unde u i v sunt numere naturale oarecare.Pentru n>2, doar cazul n=4 admite o demonstraie elementar, schiat deFermatnsui. Chiar i pentru cazul n=3 demonstraia depete nivelul manualelor de liceu; primul care s-a ocupat de cazul n=3 a fost matematicianulLeonhard Euler, n 1753. n 1825, franceziiJohann Peter Gustav Lejeune DirichletiAdrien-Marie Legendretraneaz cazul n=5, demonstraia avnd ca punct de plecare o idee mai veche a luiSophie Germain. Dup civa ani, este finalizat demonstraia pentru n=7,de ctre francezulGabriel Lam.La mijlocul secolului XIX,Academia Francezinstituie un premiu de 3000franci(o sum enorm atunci) pentru o demonstraie complet a teoremei.Demonstraii pentru numere prime mai mici ca 100 au fost date aproximativ n aceeai perioad, de ctre matematicianulgermanErnst Kummer.n 1908, magnatul germanPaul Wolfskehlaloc uriaa sum de 100.000 demrcicelui ce va demonstra teorema ('oferta' fiind valabil pn n 2007).Dup apariiacalculatoarelor electronice, au fost abordate cazuri particulare pentru valori tot mai mari ale lui n; prin anii 1980,erau elucidate toate cazurile n care n2, matematicienii erau convini c prin metode elementare nu se mai poate aduce nimic nou.n anul1983, matematicianul german Gerd Faltings a demonstrat c exist cel mult o mulime finit de contra-exemple la marea teorem a lui Fermat.nseptembrie1994, matematicianul englez Andrew Wiles a dat demonstraia complet a teoremei, dup ce, n1993, propusese o alt demonstraie, care se dovedise a fi greit.2. Teorema lui Rolleeste o teorem enunat prima oar deMichel Rollen 1691. Dac f este o funcie definit pe un interval I i a i b dou puncte din I (a < b) i dac f este continu pe [a , b], derivabil pe (a , b), iar f(a) = f(b), atunci exist un punct c, a < c < b, n care derivata se anuleaz, f'(c)=0.Fie. Dac:1. este continu pe intervalul nchis;2. este derivabil pe intervalul deschis;3. are valori egale la capetele intervalului,),atunci exist cel puin un punctdin intervalul deschis, n care derivata se anuleaz,.Se analizeaz cazurile:1. Funciaeste constantpe intervalul nchis. n acest caz, oricare ar fii deci orice punctrspunde concluziei teoremei.2. Funcianu este constant. Cumeste continu pe un compact, atunci dinTeorema lui Weierstrasseste mrginit i i atinge marginile pe compact, adic existastfel nct,,unde,sunt marginea superioar, respectiv marginea inferioar a lui. Deoarecenu este constant, rezult.Dac punctul de minimse afl n interiorul intervalului, atunci conform Teoremei lui Fermat,.Deci lundteorema este demonstrat.Dac, decicoincide cu unul din capetele intervalului, atunci.n acest caz este clar c, punctul de maxim al lui, se afl n interiorul intervalului. Din nou aplicnd teorema lui Fermat se deduce.Decii teorema este complet demonstrat.Fie, continu pe, derivabil pei, undesunt rdcini pentru.Atunci exist cel puin un punctastfel nct. Deci ntre dou rdcini ale funcieise afl cel puin o rdcin a derivatei.Teorema lui Rolle are o interpretare geometric simpl. Dinrezult c tangenta la graficul funciein punctuleste paralel cu axa Ox. Deci dac cerinele Teoremei lui Rolle sunt ndeplinite, atunci pe graficul funcieiexist (cel puin) un punctn care tangenta este paralel cu axa Ox.Presupunem ceste timpul ieste coordonata unui punct, care se mic pe o dreapt, la momentul. La momentulpunctul are coordonata, apoi se mic ntr-un anumit mod cu vitezai se ntoarce la punctul de plecare cu coordonata, la momentul. Este clar c pentru a se ntoarce la punctul, el trebuie s se opreasc la un anumit moment, adic la un anumit momentviteza este zero,.1. Teorema lui Rolle este oteorem de existen.2. Toate cele trei cerine din teorema lui Rolle sunt eseniale pentru ca teorema s fie adevrat. Dac una din cele trei ipoteze nu se verific, atunci concluzia teoremei nu mai are loc. Vom ilustra prin exemplele de mai jos acest lucru.Fie funciadefinit prin

Aceasta funcie verific cerinele 2) i 3) din teorem, dar nu verific 1), adicnu este continu la dreapta n. Decinu este continu pe. Avem, oricare ar S considerm,pentru care se verific 1) (continuitatea pe intervalul), 3) (), dar nu se verific 2) ntructnu este derivabil n. Prin urmare, nu exist punct intermediarn care, cci

fii prin urmare, oricare ar fi.Fie,. Aceasta funcie verific 1), 2) din teorem, dar nu verific 3) (). Aadar nu existastfel nctdeoarece, oricare ar fi.Exemplul urmtor vine s atrag atenia c necesitatea ca domeniul de definiie al funciei s fie interval este esenial.Fie,

Evidenteste derivabil peii totuinu se anuleaz pe. Mulimea de definiie nu este interval.3. Nu trebuie s se trag concluzia c derivata unei funcii nu se anuleaz n niciun punct dac acea funcie nu satisface una una din condiiile teoremei lui Rolle. Nu avem dect s lum,3.Teorema lui Lagrange ( a cresterilor finite):Fie Daca:continua pe; derivabila peexista punctulastfel incat: formula lui LagrangeConsecinte ale teoremei lui Lagrange:I. Dacaare derivata nula pe un intervalconstanta pe acel interval.II.Daca au derivatele egale pe un intervalele difera printr-o constanta pe acel interval:

III. Fiederivabila;intervalDaca: crescatoare pe descrescatoare pestrict crescatoare pe strict descrescatoare peIntervale de monotonie: se calculeaza,se rezolva, se determina intervalele in careare semnconstantse stabilesc intervalele de monotonie.Punct de extrem local: Dacaare semne contrare de o parte si alta a luipunct de extrem local.IV.Fieinterval,Daca:continua in;derivabila pe;are derivata insiDaca= derivabila insi4 4.Teorema lui Lagrangeafirm c dac G este ungrup finit, atunci ordinul (numrul de elemente) al oricrui subgrupHdivide ordinul luiG.Mulimea elementelor luiGpoate fi partiionat n clase cu acelai numr de elemente, care este egal cu numrul de elemente al luiH.Partiionarea este definit printr-o relaie de echivalen:x~y dac i numai dac exist un h nHastfel nct x = y.hSe poate verifica uor c aceasta este o relaie de echivalen. Avem, n continuare,x~y dac i numai dacx aparine lui y.Hdac i numai dacy aparine lui x.HAadar, clasa unui element x este x.H, care poate fi notat la fel de bine cu y.H, pentru orice element y echivalent cu x.ns orice clas g.Hare acelai numr de elemente cuH. Pentru a dovedi aceasta, trebuie scris o bijecie ntre elementele lui H i elementele lui g.H.O bijecie este dat de:H g.Hx g.xSe verific uor c funcia definit mai sus este o bijecie.Mai trebuie observat cH, ca mulime, este la rndul ei o clas de echivalen:H=1.Hn concluzie, toate claseleH, g1.H, g2.H,.... au acelai numr de elemente, deci ordinul luiGtrebuie s fie un multiplu al ordinului luiH.Numrul de clase se numete indicele luiHnGi poate fi notat, de pild, cu [G:H]. Q.E.D.Prin a.Bs-a neles mai sus mulimea elementelor de forma a.b, unde b parcurgeB.