Производная Производная

и графики функцийи графики функций

Курышова Н. Е. СПб лицей 488

Доказать, что функция монотонна на заданном промежутке:

.;448

;;sin2

;;20084

35

хеслиxxy

хеслиxху

хеслиxy

Дана непрерывная на функция. Используя график производной этой

функции, определите, имеет ли функция точки экстремума.

y

x

xfy

Найти пары .; xfxf

x xx

yyy

x x x

y y y

1 2 3

4 5 6

(1; 4); (3; 2); (6; 5)

Нарисовать эскизы графиков

xfy

xfy

y

x

x

x

xfy

xfиxf

Исследовать функцию и построить её график

2. Функция нечётная, график симметричен относительно начала отсчёта.

3. Точки пересечения с осями: с Оу: (0; 0); с Ох: (0; 0).

4. Промежутки знакопостоянства функции:

;;22;22; yD

+ +- --2 20 х

42

3

x

xy

5. Вертикальные асимптоты: так как,22 хих

,0

8

42

3

2lim

x

x

x

.0

8

42

3

2lim

x

x

x

.4

;4 2

3

22

3

2limlim

x

x

x

x

xx

.4

;4 2

3

22

3

2limlim

x

x

x

x

xx

y

x-2 2

эскиз

6. Наклонные асимптоты

xy

.144 2

3

2

3

limlim

xx

x

xx

xk

xx

.0limlim

xxfxxfbxx

.04

4

;04

4

4

4

4

2

22

33

2

3

lim

limlimlim

x

x

x

x

x

xxxx

x

x

x

xxx

x

y

эскиз

xy

7. Исследование на монотонность и наличие точек экстремума.

.2;2

,04

,22

xx

x

еслисуществуетнеxf

.32;0

012,0

;4

12

2

24

22

24

xx

xxеслиxf

x

xxxf

xf

х

xf32322 20

++--++

3332

32

f

максимумалокальноготочкаx

3332

32

f

минимумалокальноготочкаx

Исследование на направление выпуклостей и наличие точек перегиба.

2,2

,

xx

еслисуществуетнеxf

.0,0

;4

12832

2

xеслиxf

x

xxxf

2 х0 2

+-+-

перегибаточкаf 0;0

xf

xf

42

3

x

xy

y

x

эскиз

Спасибо за внимание!