projektovanje elektronskih kolaleda.elfak.ni.ac.rs/education/pek_elektronika/literatura...analiziraj...

13.03.2017. 1

Projektovanje elektronskih kola

Sadržaj:1. Uvod - osnovni pojmovi2. Stilovi projektovanja i izrade prototipova3. Projektovanje analognih kola4. Osnove fizičkog projektovanja

(projektovanje štampanih ploča)5. Projektovanje digitalnih kola (vežbe)

LEDA - Laboratory for Electronic Design Automation http://leda.elfak.ni.ac.rs/

13.03.2017. 2


Koji su koraci potrebni da bi se projektovala analogna kola?

1. Naučiti osobine pojedinih analognih kola (pojačavači,...)

2. Izabrati pravu topologiju za dati zadatak (strukturno projektovanje).

3. Odrediti vrednosti parametara pojedinih komponenata (gm, otpornost, kapacitivnost,...)

4. Proveriti da li smo dobili željeni odziv.5. Ako smo zadovoljni idemo na fizičko

projektovanjeLEDA - Laboratory for Electronic Design Automation http://leda.elfak.ni.ac.rs/

13.03.2017. 3


Koji su koraci potrebni da bi se projektovala analogna kola?

1. Naučiti osobine pojedinih analognih kola (pojačavači,...)

2. Izabrati pravu topologiju za dati zadatak (strukturno projektovanje).

3. Odrediti vrednosti parametara pojedinih komponenata (gm, otpornost, kapacitivnost,...)

4. Proveriti da li smo dobili željeni odziv.5. Ako smo zadovoljni idemo na fizičko

projektovanjeLEDA - Laboratory for Electronic Design Automation http://leda.elfak.ni.ac.rs/

13.03.2017. 4


Suština je u - određivanju vrednosti parametara pojedinih

komponenata kola (sinteza) i- proveri da li je dobijen željeni odziv

Vrednosti parametara određuju se automatski, primenom programa za optimizaciju parametara, a za proveru se koriste programi za analizu kola.

U oviru optimizacije ponavljaju se koraci promene parametara kola i poređenje dobijenog odziva sa željenim.


13.03.2017. 5


Suština je u - određivanju vrednosti parametara pojedinih

komponenata kola (sinteza) i- proveri da li je dobijen željeni odziv

Vrednosti parametara određuju se automatski, primenom programa za optimizaciju parametara, a za proveru se koriste programi za analizu kola.

U oviru optimizacije ponavljaju se koraci izračunavanja vrednosti parametara kola koje dovode do smanjenja odstupanja dobijenog odziva od željenog.

21.03.2016. 6


Projektovanje analognih kola

Funkcija => šta hoćemo

Šema => kako realizovati

Šta nedostaje?

Vrednosti parametara da bi se dobio

željeni odziv

Kako odrediti prave vrednosti parametara?


13.03.2017. Algoritam optrimizacije 7

Kako odrediti prave vrednosti parametara?

Projektovanje analognih kola

Uporedi sa željenim loše

dobro

Specifikacija: Šta želimo

Analiziraj kolo - nađi odziv Koriguj parametre

• Usvoji šemu• Definiši željeni odziv za datu pobudu• Usvoji početne vrednosti parametara

kraj

13.03.2017. 8


Tokom svakog koraka neophodno je analizirati ponašanje kola sa korigovanim vrednostima parametara.

Zato ovaj deo projektovanja počinjemo upoznavaljem sa metodama za analizu elektronskih kola.

9

Analiza elektronskih kola1. Uvod2. Analiza linearnih kola u DC domenu

(jednosmerni režim)3. Analiza linearnih kola u AC domenu

(frekvencijski domen)4. Analiza linearnih kola u TR domenu

(vremenski domen)5. Analiza nelinearnih kola u DC domenu6. Analiza nelinearnih kola u TR domenu

13.03.2017.


10

Analiza kola

Analiza elektronskih kola1. Uvod2. Analiza linearnih kola u DC domenu

(jednosmerni režim) 103. Analiza linearnih kola u AC domenu

(frekvencijski domen)4. Analiza linearnih kola u TR domenu

(vremenski domen)5. Analiza nelinearnih kola u DC domenu6. Analiza nelinearnih kola u TR domenu

13.03.2017.

11

Analiza kolaTipovi elektronskih kola

1. Linearna otporna

2. Linearna reaktivna

3. Nelinearna otporna

4. Nelinearna reaktivna

R1 1k

I R3

1k

R2

1k

L1INDUCTOR

R1 1k

C1

1nF

I

R2

1k

I D1

DIODE PIN

R1 1k

R1 1k

IC1

1nF

D1

DIODE PIN

13.03.2017. 12

Analiza kolaAnaliza kola

Šta podrazumeva?Odrediti odziv kola kada je poznata pobuda.

Odziv: Nepoznati naponi i struje u kolu

Pobuda: Poznate struje i naponi u kolu

Analiza: Odrediti nepoznate napone i struje u kolu ako je poznata pobuda i vrednosti elemenata kola

13.03.2017.

13


Tipovi analize?Zavisno od vrste pobude, ima smisla analizirati ponašanje kola u

1. jednosmernom domenu (određivanje položaja jednosmerne radne tačke kola).

2. frekvencijskom domenu (frekvencijska karakteristika kola – amplitudska, fazna)

3. vremenskom domenu (talasni oblik napona/struja na izlazu kola pobuđenog impulsima poznatog talasnog oblika)

13.03.2017. 14

Analiza kolaTipovi analize kola

1. Jednosmerni domen (DC analiza)

2. Frekvencijski domen (AC analiza)

3. Vremenski domen (TR analiza)

R1 1k

C1

1nF

D1

DIODE PIN

I=5mA

R1 1k

C1

1nF

D1

DIODE PINi(ω)=5·10-3ejω

R1 1k

C1

1nF

D1

DIODE PINi(t)=510-3cos(2πft+ϕ)

13.03.2017.

15


Tipovi analize?

Zavisno od vrste elemenata od kojih se kolo sastoji, različiti tip problema i metoda za analizu

1. Linearna otporna kola (R, linearni generatori, nezavisni i kontrolisani)

2. Linearna reaktivna kola (R, L, C, m, ...)

3. Nelinearna otporna (poluprovodničke komponente, R, ...)

4. Nelinearna reaktivna (poluprovodničke komponente, R, L, C,...)

13.03.2017. 16

Analiza kola

Tipovi elektronskih kola

1. Linearna otporna R

2. Linearna reaktivna L, C, m, ...

3. Nelinearna otporna dioda, tranzistor, R, ...

4. Nelinearna reaktivna dioda, tranzistor, R, L, C,...

Tipovi analize kola

1. Jednosmerni domen (DC analiza)

2. Frekvencijski domen (AC analiza)

3. Vremenski domen (TR analiza)

13.03.2017.

17

Analiza kola

Ponašanje linearnih otpornih kola u jednosmernom domenu opisuje se

sistemom linearnih algebarskih jednačina

Matematički model1. Linearne algebarske

jednačine

0R

V

R

V

R

VV

IR

VV

3

2

2

2

1

12

1

21

=++−

=−

V2

R1 1k

I R3

1k

R2

1k

1 2

V1I

Tip kola i analize1. Linearna otporna

kola u DC domenu

13.03.2017. 18

Analiza kola

Ponašanje linearnih otpornih kola u jednosmernom domenu opisuje se

sistemom linearnih algebarskih jednačina

0VRRR

VR

IVR

VR

2321

11

11

1

=

+++−

=−

1111

112

V2

R1 1k

I R3

1k

R2

1k

1 2

V1I

Tip kola i analize1. Linearna otporna

kola u DC domenu

13.03.2017.


jednačine

19

Analiza kola


jednačine sa kompleksnim koeficijentima

Ponašanje linearnih reaktivnih kola u frekvencijskom domenu opisuje se

sistemom linearnih algebarskih jednačina sa kompleksnim

koeficijentima

L1INDUCTOR

R1 1k

C1

1nF

I

1 2

V1I=|I|ejφφφφ V20VC jω

L jω

V

R

VV

IR

VV

211

2

1

12

1

21

=⋅+⋅

+−

=−

Tip kola i analize2. Linearna reaktivna u

AC domenu

13.03.2017. 20

Analiza kola

Ponašanje linearnih reaktivnih kola u frekvencijskom domenu opisuje se

sistemom linearnih algebarskih jednačina sa kompleksnim

koeficijentima

L1INDUCTOR

R1 1k

C1

1nF

I

1 2

V1I=|I|ejφφφφ V2


jednačine sa kompleksnim koeficijentima

0VC jωL jωR

VR

IVR

VR

2111

11

21

11

=

⋅+

⋅++−

=−

111

11


AC domenu

13.03.2017.

21

Analiza kola

Matematički model3. Linearne

diferencijalne jednačine

Ponašanje linearnih reaktivnih kola u vremenskom domenu opisuje se

sistemom linearnih diferencijalnih jednačina

0)(

)(

0)(

C)(R

)()(

)(iR

)()(

L2

21L

1

12

1

21

=∂

∂−

=∂

∂++

−

=−

t

tiLtv

t

tvti

tvtv

ttvtv

v1(t)

1 2

v2 (t)L1INDUCTOR

R1 1k

C1

1nF

I

I(t)=Isin(ωωωωt)

iL(t)


TR domenu

13.03.2017. 22

Analiza kola

Matematički model3. Linearne


Ponašanje linearnih reaktivnih kola u vremenskom domenu opisuje se

sistemom linearnih diferencijalnih jednačina

0)(

)(

0)(

C)()(R

1)(

R

1

)(i)(R

1)(

R

1

L2

21L2

11

1

21

11

=∂

∂−

=∂

∂+++−

=−

t

tiLtv

t

tvtitvtv

ttvtv

v1(t)

1 2

v2 (t)L1INDUCTOR

R1 1k

C1

1nF

I


iL(t)


TR domenu

13.03.2017.

23

Analiza kola

Matematički model4. Nelinearne

algebarske jednačine

Ponašanje nelinearnih kola u jednosmernom domenu opisuje se sistemom nelinearnih algebarskih

jednačina

)1(eI)(i

0R

)(iR

IR

Vs2d

2

22d

1

12

1

21

2

−=

=++−

=−

T

V

V

VV

VV

VV

V2

1 2

V1IR2

1k

I D1

DIODE PIN

R1 1k

id

Tip kola i analize4. Neinearna otporna u

DC domenu

13.03.2017. 24

Analiza kola

Ponašanje nelinearnih kola u jednosmernom domenu opisuje se sistemom nelinearnih algebarskih

jednačina


algebarske jednačine

0)1(eIR

1

R

1

R

1

IR

1

R

1

Vs2

211

1

21

11

2

=−+

++−

=−

T

V

VV

VV

V2

1 2

V1IR2

1k

I D1

DIODE PIN

R1 1k

id

Tip kola i analize4. Neinearna otporna u

DC domenu

13.03.2017.

25

Analiza kola



Ponašanje nelinearnih reaktivnih kolau vremenskom domenu domenu opisuje se sistemom nelinearnih

diferencijalnih jednačina

0)(

C)1(eIR

)()(

)(iR

)()(

2V

)(

s1

12

1

21

2

=∂

∂+−+

−

=−

t

tvtvtv

ttvtv

T

tv1nF

V2

1 2

V1id

R1 1k

C1D1

DIODE PIN

i(t)=510-3cos(2πft+ϕ)

Tip kola i analize5. Neinearna reaktivna

u TR domenu

13.03.2017. 26

Analiza kola



Ponašanje nelinearnih reaktivnih kolau vremenskom domenu domenu opisuje se sistemom nelinearnih

diferencijalnih jednačina

0)(

C)1(eI)(R

1)(

R

1

)(i)(R

1)(

R

1

2V

)(

s21

11

21

11

2

=∂

∂+−++−

=−

t

tvtvtv

ttvtv

T

tv1nF

V2

1 2

V1id

R1 1k

C1D1

DIODE PIN

i(t)=510-3cos(2πft+ϕ)

Tip kola i analize5. Neinearna reaktivna

u TR domenu

13.03.2017.

27

Analiza kola

Tipovi kola i analize

1. Linearna otporna DC domen

2. Linearna reaktivna AC domen

3. Linearna reaktivna TR domen

4. Nelinearna otporna DC domen

5. Nelinearna reaktivna TR domen

Matematički model

1. Linearne algebarske jednačine

2. Linearne algebarske jednačine (kompleksne)

3. Linearne diferencijalne jednačine

4. Nelinearne algebarske jednačine

5. Nelinearne diferencijalne jednačine

13.03.2017. 28

Analiza kola

Matematički model

1. i 2. Linearne jednačine

(realne i kompleksne)




Način rešavanja sistema j-na

1. i 2. LU faktorizacija (Gauss)

3. Numeričko integraljenje -diskretizacija - svođenje na linearne algebarske (Euler)

4. Linearizacija - Iterativno svođenje na linearne algebarske (Newton-Kantorovič)

5. Diskretizacija - svođenje na nelinearne algebarske i linearizacija - Iterativno svođenje na linearne algebarske

13.03.2017.

29

Analiza kola

0V)R

1

R

1

R

1(V

R

1

IVR

1V

R

1

2321

11

21

11

=+++−

=−

0R

V

R

V

R

VV

IR

VV

3

2

2

2

1

12

1

21

=++−

=−

1 2R1 1k

I R3

1k

R2

1k

V1I=5mA V2

0)V1010(10V10

105V10V10

2333

13

32

31

3

=+++−

⋅=−−−−−

−−−

=

++−

−

0

I

V

V

R

1

R

1

R

1

R

1R

1

R

1

2

1

3211

11

⋅=

⋅

⋅−

− −

−−

−−

0

105

V

V

10310

1010 3

2

1

33

33

ivG~

=⋅

28.03.2016. 30

Analiza kola1 2R1 1k

I R3

1k

R2

1k

V1I=5mA V2

i

i

i

...00

...0

...

1...

0...1

0...01

n

1

1

1

1

222

11211

21

21

=

⋅

⋅

=⋅⋅

MMMMMMMMMM

nnn

n

n

nn v

v

v

u

uu

uuu

ll

l

ivUL~~

1

11

~ivG

0

510

310 3

2

13

=⋅

=

⋅

−

−−−

v

v

~

ivG

0

5

V

V

31

11

2

1

=⋅

=

⋅

−

−

...00

...0

...

1...

0...1

0...01

...

...

...

222

11211

21

21

21

22221

11211

~

⋅

=

⋅=

nn

n

n

nnnnnn

n

n

u

uu

uuu

ll

l

ggg

ggg

ggg

MMMMMMMMMMMM

~~ULG

28.03.2016.

31


I R3

1k

R2

1k

V1I=5mA V2

i

i

i

...00

...0

...

1...

0...1

0...01

n

2

1

2

1

222

11211

21

21

=

⋅

⋅

=⋅⋅

MMMMMMMMMM

nnn

n

n

nnv

v

v

u

uu

uuu

ll

l

ivUL~~

~

ivG

0

5

V

V

31

11

2

1

=⋅

=

⋅

−

−

x

x

x

x

...00

...0

...

n

2

1

2

1

222

11211

=

⋅

=⋅

MMMMMM

nnn

n

n

v

v

v

u

uu

uuu

xvU~

28.03.2016.

i

i

i

1...

0...1

0...01

n

2

1

2

1

21

21

=

⋅

=⋅

MMMMMM

nnnx

x

x

ll

l

ixL~

32

Analiza kola

=

⋅

=⋅

n

2

1

2

1

21

21

i

i

i

1...

0...1

0...01

MMMMMM

nnn x

x

x

ll

l

ixL~

x

x

x

0...0

...0

...

n

1-n

1

1

1

,11,1

11211

=

⋅

=⋅

−−−−

MMMMMM

n

n

nn

nnnn

n

v

v

v

u

uu

uuu

xvU~

x1=i1

l21x1+x2=i2 => x2= i2 -l21x1

unnvn=xn => vn= xn/unn

vn-1 = (xn -un-1nvn )/un-1n-1

28.03.2016.

33


I R3

1k

R2

1k

V1I=5mA V2

−

−=

=

31

11

2221

1211

gg

gg

~G

~

ivG

0

5

V

V

31

11

2

1

=⋅

=

⋅

−

−

⋅

=⋅=

22

1211

21 01

01

u

uu

l~~~ULG

=

=

22

1211

21 0

1

01

u

uu

l ~~UL

28.03.2016. 34


I R3

1k

R2

1k

V1I=5mA V2

~ivG

0

5

V

V

31

11

2

1

=⋅

=

⋅

−

−

?

?

?

=

=

=

=

22

21

12

11

0

u

u

u

ujj gu 11 =

-1

;1

1212

1111

==

==

gu

gu

, 1

ij

n

k

kjik gu l =⋅∑=

1

;?

;0

1

22

21

12

11

=

=

=

=

l

l

l

l

=

=

22

1211

21 0

1

01

u

uu

l ~~UL

28.03.2016.

35


I R3

1k

R2

1k

V1I=5mA V2

~ivG

0

5

V

V

31

11

2

1

=⋅

=

⋅

−

−

?=

=

−==

==

22

21

1212

1111

0

1

1

u

u

gu

gu

, 1

ij

n

k

kjik gu l =⋅∑=

1

;

;0

1

22

21

12

11

=

=

=

=

l

l

l

l

?

1

01

21

=

l~L

2111212122112121221121 0

2 1, 2, za

gulglululul

nji

=⋅⇒=⋅+⋅=⋅+⋅

===

−=

220

11

u~U

11

1

11

2121 −=

−==⇒

u

gl

28.03.2016. 36


I R3

1k

R2

1k

V1I=5mA V2

~ivG

0

5

V

V

31

11

2

1

=⋅

=

⋅

−

−

?=

=

−==

==

22

21

1212

1111

0

1

1

u

u

gu

gu

, 1

ij

n

k

kjik gu l =⋅∑=

1

;1

;0

1

22

21

12

11

=

−=

=

=

l

l

l

l

11

01

−=

~L

122122222222122122221221 1

2 2, 2, za

ulguguululul

nji

⋅−=⇒=⋅+⋅=⋅+⋅

===

−=

220

11

u~U

213 22 =−=⇒ u

28.03.2016.

37


I R3

1k

R2

1k

V1I=5mA V2

~ivG

0

5

V

V

31

11

2

1

=⋅

=

⋅

−

−

−=

−=

20

11 ,

11

01~~UL

28.03.2016. 38


I R3

1k

R2

1k

V1I=5mA V2

~ivG

0

5

V

V

31

11

2

1

=⋅

=

⋅

−

−

0

5

11

01

2

1

=

⋅

−

=⋅

x

x

ixL~

01 21 =+⋅−⇒ xx 5 12 ==⇒ xx

5 1 =⇒ x

5

5

2

1

=

=

x

xx

28.03.2016.

39


I R3

1k

R2

1k

V1I=5mA V2

~ivG

0

5

V

V

31

11

2

1

=⋅

=

⋅

−

−

5

5

20

11

2

1

=

⋅

−

=⋅

v

v

xvU~

Vvv 5.2 52 22 =⇒=⋅⇒

28.03.2016. 40


I R3

1k

R2

1k

V1I=5mA V2

~ivG

0

5

V

V

31

11

2

1

=⋅

=

⋅

−

−

7.5V2.55 5 511 2121 =+=+=⇒=⋅−⋅ vvvv

5

5

20

11

2

1

=

⋅

−

=⋅

v

v

xvU~

Vv 5.2 2 =

5.2

5.7

2

1

=

=

v

vv

28.03.2016.

24.02.2011 41

I. Uvod: Šta smo naučili?

Šta treba da znamo?

Elementarno (za potpis)Šta se podrazumeva pod analizom kola?

Osnovna (za 6)1. Domeni analize kola2. Tipovi kola i odgovarajući tip analize

LEDA - Laboratory for Electronic Design Automation http://leda.elfak.ni.ac.yu/

Analiza kola - Uvod

24.02.2011 42

LEDA - Laboratory for Electronic Design Automation http://leda.elfak.ni.ac.yu/28.03.2016. 42

Analiza kola - Uvod

Šta treba da znamo?

Ispitna pitanjaa) Osnovni principi na kojima je zasnovana analiza digitalnih kola

(logička simulacija).

b) Koji tip jednačina opisuje ponašanje linearnih otpornih kola u jednosmernom domenu?

c) Koji tip jednačina opisuje ponašanje linearnih reaktivnih kola u frekvencijskom domenu?

d) Koji tip jednačina opisuje ponašanje nelinearnih otpornih kola u jednosmernom domenu?

e) Koji tip jednačina opisuje ponašanje linearnih reaktivnih kola u vremenskom domenu?

f) Koji tip jednačina opisuje ponašanje nelinearnih reaktivnih kola u vremenskom domenu?

43

Analiza kola

Matematički model

1. i 2. Linearne jednačine

(realne i kompleksne)




Način rešavanja sistema j-na

1. i 2. LU faktorizacija (Gauss)

3. Numeričko integraljenje -diskretizacija - svođenje na linearne algebarske (Euler)

4. Linearizacija - Iterativno svođenje na linearne algebarske (Newton-Kantorovič)

5. Diskretizacija - svođenje na nelinearne algebarske i linearizacija - Iterativno svođenje na linearne algebarske 13.03.2017. 44

Analiza kola

0)(

)(

0)(

C)(R

)()(

)(iR

)()(

2

21L

1

12

1

21

=∂

∂−

=∂

∂++

−

=−

t

tiLtv

t

tvti

tvtv

ttvtv

1 2

v1(t) v2 (t)L1INDUCTOR

R1 1k

C1

1nF

I


iL(t)

)(xfdt

dxx ==&

h

xx

h

)x(t)tx(

tt

)x(t)tx()t(x

n1nn1n

n1n

n1n1n

−=

−=

−

−=

++

+

++&

Diskretizacija vremenske ose

13.03.2017.

45

Analiza kola

0)(

)(

0)(

C)(R

)()(

)(iR

)()(

2

21L

1

12

1

21

=∂

∂−

=∂

∂++

−

=−

t

tiLtv

t

tvti

tvtv

ttvtv

1 2


R1 1k

C1

1nF

I


iL(t)

0)()(

)(

0)()(

C)(R

)()(

)(iR

)()(

L1L12

21211L

1

1112

11

1211

=−

−

=−

++−

=−

++

++

++

+++

h

titiLtv

h

tvtvti

tvtv

ttvtv

nnn

nnn

nn

nnn

13.03.2017. 46

Analiza kola

1 2


R1 1k

C1

1nF

I


iL(t)

n

L

n

L

n

nn

L

nn

nn

ih

Li

h

Lv

vh

ivh

v

vv

−=−

=+++−

=−

++

+++

+++

112

2111

21

1

11

1

1n12

1

11

1

C)

C

R

1(

R

1

iR

1

R

1

−

=

⋅

−

+−

− +

+

+

+

n

L

n

n

n

L

n

n

ih

L

vh

C

i

v

v

h

L

h

1

21

1

1

12

11

1

1

11

11i

10

1C

R

1

R

1

0R

1

R

1

Sistem linearnih jednačina

nn ivG~

=⋅ +1 13.03.2017.

47

Analiza kola

Linearne diferencijalne jednačine

Linearne algebarske jednačine

Dis

kre

tizacij

a

vrem

ensk

a pe

tlja

13.03.2017. 48

Analiza kola

Diskretizacija vremenske ose.

Da bi se našlo rešenje u trenutku t=tn+1, potrebno je da se zna rešenje za trenutak t=tn.

Potrebno je definisati granične uslove za t=0.

Za analizu kola u intervalu do 50ms sa korakom 5µµµµs potrebno je formirati i rešiti sistem linearnih algebarskih jednačina 10 000 puta!

13.03.2017.

13.03.2017. 49

Analiza kola

Diskretizacija vremenske ose.

Da bi se našlo rešenje u trenutku t=tn+1, potrebno je da se zna rešenje za trenutak t=tn.

Potrebno je definisati granične uslove za t=0.

Za analizu kola u intervalu do 50ms sa korakom 5µµµµs potrebno je formirati i rešiti sistem linearnih algebarskih jednačina 10 000 puta!

13.03.2017. 50

Analiza kola

13.03.2017. 51

Analiza kola

Primena Eulerove formule na kapacitivnu granu

n

C

1n

C

1n

C

n

C

1n

C

1n

C

n

C

1n

C1n

C

CC

vh

Cv

h

Ci

)v(vh

Ci

h

)v(vCi

dt

dvCi

−=

−=

−=

=

++

++

++

13.03.2017. 52

Analiza kola

Primena Eulerove formule na kapacitivnu granu

Struja iC(tn+1) ima dve komponente:

Jedna zavisi od napona vC (tn+1) a druga od vC(tn)

nC

1nC

1nC v

h

Cv

h

Ci −=

++

h

CG C =

1n

Cv+

1nCi

+

(t)iC

(t) vC nC

nC v

h

Ci =

13.03.2017. 53

Analiza kola

Analiza greške diskretizacije

Intuitivno je jasno (a znanja iz numeričke matematike to potvrđuju) da diskretizacija unesi određenu grešku, i da može da se očekuje da greška bude manja ako je korak diskretizacije manji i ako je promena sporija.

Želimo da utvrdimo

-koliko iznosi greška i

-od čega zavisi.

13.03.2017. 54

Analiza kola


Neka je x(tn+1) tačna vrednost

a xn+1 izračunata vrednost pomenljive x.

Tada je lokalna greška zaokruživanja

(Local trncation Error, LTE)

εεεεTx= x(tn+1) - xn+1

13.03.2017. 55

Analiza kola


Razvojem funkcije x(t) u Tajlorov red u okolini tačke t=tn+1 dobija se

...xh2

1xh)x(t)x(t

...xh2

1xh)x(t)x(t

tth

...x)t(t2

1x)t(t)x(t)x(t

tt za

...x)t(t2

1x)t(t)x(tx(t)

1n1n

1n1n

1n1n

1n1n

tt

2

ttn1n

tt

2

tt1nn

n1n

tt

21nntt1nn1nn

n

tt

21ntt1n1n

−−+=

++−=

−=

+−+−+=

=

+−+−+=

++

++

++

++

==+

==+

+

=+=++

=+=++

&&&

&&&

&&&

&&&

,

13.03.2017. 56

Analiza kola


Na osnovu

1ntt

n1n xhxx+=

+ += &

sledi da je približna vrednost promenljive x u trenutku t=tn+1

h

xx

h

)x(t)tx(

tt

)x(t)tx()t(x

n1nn1n

n1n

n1n1n

−=

−=

−

−=

++

+

++&

( )1ntt1ntt

n1ntt

21nttnTx

1n1nTx

xh2

1xhxxh

2

1xh)x(tε

x)x(tε

+=+=+=+=

++

−=+−

−+=

−=

&&&&&&2

Ako se pretpostavi da je u t=tn, poznato tačno rešenje i da je

x(tn)=xn, tada je

−+≅

++ ==+1n1n tt

2

ttn1n xh2

1xh)x(t)x(t &&&

13.03.2017. 57

Analiza kola


1ntt1n

1nTx xhx)x(tε+=

++ −=−= &&

2

2

1

Lokalna greška zaokruživanja (local truncation error LTE)

proporcionalna je kvadratu veličine koraka h i

brzini promene signala

LTEVremenski korak hPromena brzine odziva

13.03.2017. 58

Analiza kola

...xh2

1

h

)x(t)x(t)(txx

tth

...x)t(t2

1x)t(t)x(t)x(t

tt za

...x)t(t2

1x)t(t)x(tx(t)

1n1n

1n1n

1n1n

ttn1n

1ntt

n1n

tt

21nntt1nn1nn

n

tt

21ntt1n1n

++−

==

−=

+−+−+=

=

+−+−+=

++

++

++

=

++=

+

=+=++

=+=++

&&&&

&&&

&&&

,


Tokom izračunavanja izvoda pravi se, takođe, lokalna greška zaokruživanja izvoda

1n1nTd x)(txε +

+ −= &&

13.03.2017. 59

Analiza kola


Znajući da je

1n

1n

1n

ttTd

ttTd

n1ntt

n1nTd

1n1nTd

xh2

1ε

...xh2

1ε

h

)x(t)x(t...xh

2

1

h

)x(t)x(tε

x)(txε

+

+

+

=

=

+

=

+

++

≈

+=

−−++

−=

−=

&&

&&

&&

&&

h

)x(t)x(tx n1n1n −

= ++&

sledi

13.03.2017. 60

Analiza kola

LTE izvodaVremenski korak hPromena brzine odziva

Lokalna greška zaokruživanja izvoda (LTE izvoda)

proporcionalna je veličini koraka h i

brzini promene signala


13.03.2017. 61

Analiza kola


Greška je manja za monotone odzive jer se izvod aproksimira pravom linijom

1ntt

1n1nTx xhx)x(tε

+=

++ −=−= &&

2

2

1

1nttTd xh2

1ε

+== &&

13.03.2017. 62

Analiza kola

Funkcija x=t2

Da se podsetimo: prvi i drugi izvod funkcije

13.03.2017. 63

Analiza kola

Izbor koraka diskretizacije

Izbor koraka diskretizacije

Kako izabrati pravu veličinu koraka?

Korak se bira na osnovu vrednosti elemenata kola i/ili na osnovu brzine

promene signala pobude.

13.03.2017. 64

Analiza kola

Izbor vremena završetka analize

Zavisi od pobude (recimo 10 tačaka po periodi)

Zavisi od očekivanog odzivaDa bi se C napunio treba najmanje 4 τ

13.03.2017. 65


Naravno, ako je ograničavajuća promena u kolu diktirana brzinom pobude, tada se izabere korak

koji je u stanju da prati pobudu.

Brzina promene signala u kolu zavisi od vrednosti vremenskih konstanti u kolu.

Dobra je praksa da se izabere korak h < ττττ/100 gde je τ τ τ τ lokalna vremenska konstanta.

Bira se najmanji korak

13.03.2017. 66

Analiza kola

Veličina koraka analize h<τ/100τn lokalna vremenska konstanta za čvor n

Otpornost diode – rd – menja se u zavisnosti od režima

13.03.2017. 67

Primer

RC kolo ττττ=1ms

Analiza linearnih kola u vremenskom domenu

13.03.2017. 68

Primer

RC kolo ττττ=1ms

Analiza linearnih kola u vremenskom domenu

t tačno

0 0

1E-5 9.900498

1E-4 9.04837

1E-3 3.67879

h=0.01ms

0

9.0099

9.05287

3.69711

h=0.1ms h=1ms

0 0

9.09091

3.85543 5.00000

13.03.2017. 69

Odziv RC kola ττττ=1ms

•Analiza linearnih kola u vremenskom domenu

13.03.2017. 70

h=10-3

h=10-4

apsolutna greška


13.03.2017. 71

relativna greška


13.03.2017. 72



Greška je proporcionalna veličini koraka h i brzini promene signala x&&

Da bi se zadržala konstantna greška, treba smanjiti korak tamo gde je brzina promene signala veća i

obrnuto.

Ovo je iskorišćeno u algoritmima za automatsku kontrolu koraka (Spice)

13.03.2017. 73


Gde je prvi izvod najveći za sinusnu pobudu?

Kako zavisi od frekvencije?

13.03.2017. 74



Primer:

Neka je odziv sinusna funkcija sa amplitudom V=4V i periodom T=5ms. Odrediti minimalni korak da bi

maksimalna LTE bila εεεεTx= 10-4V dobija se:

sin 2V/s106,3tT

2π

T

2π4x

x

2εh

62

Txmin

⋅=

=

=

&&

&&

8925,6μ

5ms

h

TN ≈==

s

Za jednu periodu !!!

s 5,6μhmin =⇒

13.03.2017. 75



Greška može da se nagomilava

Ukoliko se ne povećava greška kaže se da je rešenje stabilno

13.03.2017. 76

Analiza kola

Automatska kontrola veličine koraka

13.03.2017. 77

Analiza kola

13.03.2017. 78

Analiza kola

Da ne bismo „čekali“ da seuspostavi stacionarno stanje (C napunjen na DC, 4τ=0.4s,što je za pobudu od 1kHz400 perioda) treba koristitiSpice naredbu.IC Initial Condition

projektovanje elektronskih kolaleda.elfak.ni.ac.rs/education/pek_elektronika/literatura...analiziraj...

Documents