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Projet de Fin d’Etudes
Dimensionnement et vérification de structures Dimensionnement et vérification de structures Dimensionnement et vérification de structures Dimensionnement et vérification de structures ––––
Introduction aux normes britanniques et européennes Introduction aux normes britanniques et européennes Introduction aux normes britanniques et européennes Introduction aux normes britanniques et européennes ----
RéponseRéponseRéponseRéponse dynamique au vent de l’aiguilledynamique au vent de l’aiguilledynamique au vent de l’aiguilledynamique au vent de l’aiguille métalliquemétalliquemétalliquemétallique de la Tour Samba de la Tour Samba de la Tour Samba de la Tour Samba
Élève ingénieur Génie Civil 5ième année INSA Strasbourg: M. Martin Grégoire
Professionnel encadrant Ecole : M. Guth Didier (Arcadis)
Professionnel encadrant Entreprise : M. Robert Franck (Buro Happold Ltd)
Juin 2010Juin 2010Juin 2010Juin 2010
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RemerciementsRemerciementsRemerciementsRemerciements
Travailler au sein de Buro Happold Ltd ne se résume pas qu’à la conception technique de
projets ambitieux tant au Royaume-Uni qu’à l’étranger. C’est également la rencontre de femmes
et d’hommes alliant à des compétences pluridisciplinaires, un important dévouement envers leur
société et leur client, ainsi qu’un goût affirmé pour le travail bien fait.
Je tiens ainsi à saluer messieurs ROBERT, MANGELSDORF et BEST pour l’encadrement
qu’ils ont tenu à m’apporter. Leur confiance tout au long de mon parcours à leurs côtés m’aida
beaucoup.
Merci à tous les ingénieurs avec lesquels j’ai eu la chance de collaborer. Spécialement
messieurs NOEL, WILEY, GREY et LEWIS, pour m’avoir assidûment suivi dans mon travail. Je
remercie aussi messieurs EPP, BROOKS et MAC FARLAND de s’être toujours montrés présents et
attentifs pour répondre à mes questions.
Enfin, le chaleureux accueil et le temps que chacun m’a accordé au quotidien m’ont
permis de parfaitement m’intégrer à toute l’équipe de Londres.
Merci à monsieur GUTH, mon tuteur INSA et ingénieur chez Arcadis.
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SommaireSommaireSommaireSommaire
Introduction ........................................................................................................................... 5
1. Contexte du projet : .......................................................................................................... 7
1.1. Caractéristiques géométriques de l’aiguille : ........................................................... 7
1.2. Caractéristiques géométriques de la tour : .............................................................. 8
1.3. Données numériques pour le dimensionnement : .................................................. 10
1.3.1. Conditions générales : .................................................................................... 10
1.3.2. Paramètres de calcul : ..................................................................................... 10
2. Contexte scientifique et technique : ............................................................................. 17
2.1. La tour Miglin-Beitler : ........................................................................................... 17
2.2. Le Victorian Art Centre .......................................................................................... 18
2.3. Flèche de l’Hôtel de Ville de Bruxelles ................................................................... 19
2.4. Charges issues des règlements : ........................................................................... 19
2.4.1. Charges statiques : ......................................................................................... 19
2.4.2. Charges dynamiques : .................................................................................... 20
2.5. Phénomène de fatigue : ......................................................................................... 22
2.6. Contexte réglementaire ......................................................................................... 27
3. Réponse dynamique des structures sous le vent : ........................................................ 30
3.1. Effets dynamiques dans la direction du vent : ........................................................ 32
3.2. Exemple pour les effets dans la direction du vent : ............................................... 34
3.3. La turbulence : ....................................................................................................... 36
3.4. Interaction sur la hauteur de la tour - Corrélation : ............................................... 38
3.5. Le facteur de réponse en bourrasque / de réponse dynamique : ........................... 39
3.6. Facteur de pic g : ................................................................................................... 40
4. Les tours élancées – Aiguille SAMBA : .......................................................................... 41
4.1. Coefficient de trainée (drag) : ................................................................................ 41
4.2. Réponse dynamique dans la direction du vent : ..................................................... 43
4.2.1. Coefficient de vent moyen : ............................................................................ 43
4.2.2. Chargement hors résonance dit background B : ............................................. 44
4.2.3. Chargement en résonance dit R : .................................................................... 45
4.2.4. Chargement total :.......................................................................................... 46
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4.3. Réponse dynamique perpendiculairement à la direction du vent : ......................... 50
4.4. Réponses simultanées dans la direction du vent et perpendiculairement : ............ 54
4.5. Ordre de grandeur des résultats pour l’aiguille SAMBA : ........................................ 57
4.5.1. Porosité / données structurelles : ................................................................... 58
4.5.2. Vérification de l’équation [60] (annexe 3) : .................................................... 58
4.5.3. Force moyenne du vent Fm,w(z) (annexe 4) : .................................................... 59
4.5.4. Force du vent en rafale Ft,w(z) (annexe 5) : ...................................................... 59
4.5.5. Force perpendiculaire à la direction du vent Fw(z) – vortex (annexe 6) : .......... 61
4.5.6. Vérification du rapport Vcritique galop/Vmoyen – galop (annexe 7) : ........................ 61
4.5.7. Fatigue dans la direction du vent (annexe 8) : ................................................ 62
4.5.8. Fatigue perpendiculairement à la direction du vent (annexe 9) : ..................... 63
Conclusion ........................................................................................................................... 65
Bibliographie ....................................................................................................................... 66
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IntroductionIntroductionIntroductionIntroduction
Le stage ST2 durant l’été 2009 s’est déroulé au sein des équipes des structures routières (routes
et ponts courants) du conseil municipal de Leicester. Les actions de maintenance et de
vérification structurelle effectuées ont permis d’évaluer de manière approfondie le coût total de la
vie d’un ouvrage. Les techniques de construction des ponts découvertes pendant ces trois mois
ont été la pierre angulaire de toutes réflexions concernant le fonctionnement mécanique d’un
ouvrage. Si cette troisième expérience professionnelle a ainsi été révélatrice de mon goût pour le
calcul structurel, l’option Aménagement du Territoire et Environnement en 5ième année génie civil
à l’INSA Strasbourg fut une ouverture d’esprit tout aussi importante. Un ouvrage quel qu’il soit
doit s’intégrer dans son environnement. Si le parti architectural prend en compte les contraintes
de développement du site, d’autres aspects globaux (hydraulique, législation, géotechnique,…)
existent. Avoir pu les découvrir au travers de cette « spécialisation » ingénieur est un atout.
Buro Happold Ltd est une société internationale pluridisciplinaire de consultants en ingénierie.
Les projets variés et de qualité qui m’entourent facilitent l’apprentissage et la transmission des
savoir-faire. Les ingénieurs des différentes antennes anglaises et internationales savent jongler
entre les codes de dimensionnement de plusieurs continents et utilisent les dispositifs
constructifs spécifiques aux mains d’œuvre locales qu’ils rencontrent. La vérification dynamique
au vent de l’aiguille de la tour SAMBA a nécessité de s’approprier un grand nombre de normes. Si
l’enjeu d’un PFE réside dans l’intégration à un nouvel environnement technique et scientifique, il
a fallu s’imprégner de la philosophie des textes réglementaires qui évoluent actuellement.
Quelques études structurelles en acier et béton armé au cours de ces derniers mois ont été
l’opportunité de se poser de nombreuses questions sur la signification physique des paramètres
de calcul et de réorganiser les connaissances acquises à l’INSA. L’annexe 1 du présent rapport est
une étude comparative des méthodes de calculs et des résultats entre le British Standard, les
Eurocodes 2-1 et le BAEL 91 - rév.99. Si la grande majorité des codes de dimensionnement
nationaux ne sont d’ores et déjà plus utilisables, ils restent des recueils de règles de l’art
indispensables pour s’approprier les nouveaux textes du Comité Européen de Normalisation
(CEN). Les principes de résistance des matériaux utilisés ont beau être universels, le concepteur
français privilégie un raisonnement déductif à partir de développements scientifiques détaillés.
L’approche inductive anglo-saxonne favorise l’objectif du calcul.
Le dimensionnement de l’aiguille SAMBA, structure métallique encastrée au sommet de
l’immeuble SAMBA Headquarters de 150m de haut, à Riyad, est mené par les concepteurs des
tours de grande hauteur de Buro Happold Ltd, à Londres. La conception de la tour s’effectue aux
codes de construction saoudiens, éventuellement complétés par les normes britanniques. La prise
en compte des effets dynamiques du vent requièrent l’utilisation des versions anglaises de
l’Eurocode pour les tours, mâts et cheminées et de l’Eurocode de vent. De plus, des informations
parcellaires, issues d’une recherche bibliographique sur des revues scientifiques, affirment les
étapes de conception et les grands paramètres de dimensionnement à étudier. Après le calcul des
efforts de vent dynamique, les éléments structuraux de l’aiguille sont vérifiés à la fatigue. Le
processus est itératif. La révision des hypothèses de calcul avec les ingénieurs du projet est
obligatoire mais parfois insuffisante. Pour comprendre et faire comprendre les enjeux de l’étude,
un retour à la théorie aérodynamique est nécessaire. Cette analyse complète est réalisée pour la
première fois dans l’entreprise. La construction de documents techniques réutilisables est le
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dernier enjeu du projet de fin d’études. Les fiches créées développent toutes les étapes de calcul
et les hypothèses réalisées. Le rapport du projet de fin d’études s’appuie dessus pour présenter
de manière exhaustive tous les résultats. Il est dès lors possible de se concentrer sur la démarche
et le questionnement des hypothèses réalisées.
Figure 1 : Vue architecturale du toit de la tour de grande hauteur SAMBA HQ, avec la structure
métallique de l’aiguille (Foster and Partners).
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1. Contexte du projet :
Le contexte dans lequel l’aiguille est dimensionnée n’est pas commun. Elle est encastrée au
sommet de la tour de grande hauteur pour la banque SAMBA à Riyad. L’architecte est le cabinet
Foster & Partners.
1.1. Caractéristiques géométriques de l’aiguille :
Figure 1 : Elévation dans la direction de la grande diagonale (à gauche) et de la petite diagonale (à
droite). Membrures vertes : 800*800*25mm – Membrures violettes : 800*400*25mm
Figure 2 : Vue 3D inclinée de l’aiguille SAMBA -
Membrures bleues : Eléments non structuraux
L’ensemble des dimensions des membrures sont
issues de la conception ELU et ELS réalisées avant
le début du PFE (cf. §4).
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1.2. Caractéristiques géométriques de la tour :
• 38 étages pour 150m de hauteur
• 3 niveaux de 2700m² en sous-sol, pour 15m sous terre (deux des trois niveaux
potentiellement sous l’eau)
• Une annexe de 5 étages donnant sur le parvis de la tour
Figure 3 : Coupe générale de la tour SAMBA HQ
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• 1 atrium central perce le bâtiment de haut en bas. La structure métallique vitrée, à la base
de l’aiguille et sur le toit de la tour, réfléchie la lumière naturelle dans l’atrium
Figure 4 : Vue et schéma de principe pour la pénétration de la lumière par l’intérieur du bâtiment
• Deux noyaux indépendants et excentrés, en béton armé
Figure 5 : Visualisation des murs des noyaux sur un plancher. Les noyaux agissent comme deux
poutres cantilevers. Leur structure en rectangle, fermé, leur procure une bonne rigidité à la
torsion.
• Planchers : dalles 300mm en béton post contraint dans deux directions orthogonales. La
précontrainte limite le déplacement aux extrémités des poutres cantilevers de reprise des
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poteaux. Les dalles se comportent comme des diaphragmes qui répercutent les charges
latérales de vent sur la tour, directement sur les deux noyaux.
• 26 poteaux BA par étage, dimensionnés au flambement et fluage (raccourcissement axial
et déplacements différentiels sont encore à quantifier). Eléments prévus pour 34 kPa de
résistance latérale (exemple : explosion (bomb blast) créant des rotules plastiques et
conduisant progressivement à la ruine).
• Sky Garden à deux niveaux de la tour : 4 hauteurs d’étages sont laissées libres de
plancher, pour y créer des jardins intérieurs. Dalle 600mm pour le plancher et poutres de
transfert des poteaux 1600mm*600mm (largeur*profondeur)
1.3. Données numériques pour le dimensionnement :
1.3.1. Conditions générales :
o Capacité portante du sol :
� Couche 1 : 60m de roches légèrement attaquées dans la formation
Jurassique (RQD 40 à 50%)
� Couche 2 : Rocher sain dans la formation Jubaila (RQD 90% et résistance à
la compression simple 10 à 50 MPa)
o Capacité portante de la fondation : 1800 kPa. Charges maximales : 800 kPa de
poids propres et 1000 kPa de charge vent
o Perméabilité du sol moyenne à élevée : 1.0 à 6.0*10-6 m/s
o Nappe à 50 à 60m sous terre. Une strate d’eau existe de -15m à -20m, provenant
de l’infiltration des eaux de pluie et d’irrigation
o Contraintes météorologiques faibles : (été : +20 à 40°C - hiver : +10 à 20°C).
Charges thermiques considérées : ∆T = +/-30°C.
Compte tenu du vitrage qui dirige la lumière vers l’atrium, les éléments métalliques sur le toit de
la tour subissent la réflexion des rayons lumineux. Les dilatations thermiques résultantes
pourraient être contraignantes. Pour un calcul aux ELU de l’aiguille, l’addition d’une charge
thermique ∆T sur le logiciel Robot® est envisageable. Mais pour une vérification à la fatigue, le
nombre de cycles de chargement entre Tmax (jour) et Tmin (nuit) restent minimes, en comparaison
des cycles de chargement de vent.
1.3.2. Paramètres de calcul :
o Sismique de la tour SAMBA HQ
� Accélération maximale 25 milli-g selon la norme ISO 10137 (période de
retour de 10 ans)
� Accélération maximale 17.2 milli-g déterminée sur maquette.
La région est très stable en termes d’activité sismique : 0.008g, soit ag = 0.10 m²/s. Le code
saoudien donne une classe A (accélération < 40 milli-g) pour la tour vis-à-vis des séismes, soit
un risque très faible.
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Sous le logiciel Robot®, on affecte l’inertie de la tour SAMBA (700m4 en moyenne) à une première
barre sans masse volumique de 150m. Une seconde barre sans masse volumique, d’inertie
0.05m4 et de 70m modélise l’aiguille. agr = 0.08 et coefficient d’importance γi = 1.2.
Figure 6 : A gauche : masse linéaire appliquée aux barres sans masse volumique pour le calcul
sismique – A droite : Premier mode de vibration. Déplacement maximal 21mm après calcul sous
Robot®. Cette valeur est le 10ième du déplacement de vent.
o Les charges vent dimensionnent la géométrie de l’aiguille (cf. §4).
Des essais en soufflerie ont déjà été réalisés pour valider les valeurs de charges et de contraintes
obtenues par les codes de construction et le logiciel Robot®. Les capteurs de contraintes ont été
placés au pied et à certains étages du modèle de l’immeuble SAMBA HQ. Ces essais avec capteurs
coûtent environ 18 000 Euros. Dans le cas de l’aiguille les contraintes doivent être connues pour
chaque membre de la structure. Une telle analyse est plus complexe à réaliser et avoisine les
30 000 Euros. Les directeurs du projet souhaitent s’affranchir de ce coût supplémentaire.
Figure 7 : Modèle de la tour SAMBA pour les essais en soufflerie (échelle : 1/ 300ième)
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La vitesse de vent initiale, utilisée dans chaque code, est différente. Le code nord américain
dimensionne par rapport à un vent de bourrasque de 3 secondes. Ce sont les vitesses de vent les
plus élevées et elles correspondent, sans facteur de sécurité, aux ELU.
Tableau 1 : Vitesse en bourrasque déterminées lors des essais en soufflerie. Ces vents sont
rapportés à une altitude référence de 10m pour un terrain sans obstacle (soit une catégorie 4
dans l’Eurocode : rugosité minimale de l’environnement).
Les vents réels en bourrasque déterminés au sommet de l’aiguille (230m d’altitude), 50 ans de
période de retour : V = 36 m/s.
Le cabinet d’essais en soufflerie BMT donne l’équivalence suivante :
Tableau 2 : Ces vents sont rapportés à une altitude référence de 10m pour un terrain sans
obstacle (catégorie 4 de l’Eurocode : rugosité de l’environnement minimal)
Le vent moyen sur 1 heure, était utilisé dans le British Standard 6399, l’ancien code anglais de
vent. L’Eurocode utilise des coefficients de rugosité pour l’environnement plus faible que le BS
6399. Il conserve un facteur de sécurité suffisant en appliquant un vent moyen sur 10 minutes,
plus intense, dans ses calculs. BMT ne donne pas d’équivalence dans ce cas.
La littérature donne le diagramme suivant :
Période de retour Vitesse bourrasque 3sec (m/s)
500 ans 47
50 ans 38
Période de retour Vitesse vent moyen 1h (m/s)
500 ans 28
50 ans 23
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Figure 8 : Evolution du rapport de la vitesse maximale de vent sur un temps t, à la vitesse
moyenne de vent sur une heure.
����� ��� (��� � �) ������ = 1.07
Vitesse utilisée pour le dimensionnement : V10 minutes= V1 heure + 7% = 23 * 1.07 ~ 25 (m/s).
Les périodes de retour 1, 5 et 10 ans correspondent à un vent aux états limites de service. Or la
fatigue des structures est vérifiée au ELS. Mais le vent est un phénomène physique aléatoire et
l’Eurocode utilise dans ces calculs les valeurs ELU (période de retour 50 ans). C’est au niveau des
charges statiques de vent obtenues par l’Eurocode que la théorie ELS sera prise en compte :
aucun facteur de sécurité ne sera appliqué.
o Forces et moments globaux maximaux par le chargement latéral du vent (Z
vertical, X et Y en plan) :
[MN] FX FY
ELU 7.3 11.2
ELS 8.3 13.0
Tableau 3 : Forces latérales F dans deux directions orthogonales dans le plan (X ; Y). Ces
directions correspondent aux deux vents privilégiés en réalité (vent du Nord et vent d’Ouest).
Ftotale = 0.5 MN sur X et Y, dans le modèle Robot® utilisé jusqu’à présent pour dimensionner les
membrures métalliques de l‘aiguille (capacité des sections, flambement, déplacement max). En
comparaison aux valeurs du tableau 3, Ftotale est faible mais toujours sécuritaire en comparaison
de la surface sous le vent des deux ouvrages :
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� Tour SAMBA HQ ~ 6000 m² + surface entièrement solide
� Aiguille SAMBA ~500 m² + porosité de 50% en moyenne
La suite du rapport montre que Ftotale est supérieure aux forces de vent dynamique.
o Période propre de l’immeuble :
o
Tableau 4 : Les mouvements de la tour SAMBA HQ sont lents d’où une fréquence propre faible
La période de l’aiguille SAMBA, peut être déterminée à l’aide de l’annexe F de l’Eurocode vent EN
1991-1-4. Pour les bâtiments à ossature métallique :
h�������� = 72m46 = 1.65 s. ↔ N1 (fréquence propre) = 0.64 Hz
Pour la partie haute de l’aiguille, (après le changement d’angle des membres), un rapide calcul
manuel selon la théorie donne :
11 = 23 45 267
� K = rigidité de la structure F9N: = k9N m⁄ : ∗ >lèche f 9m:
f = q ∗ LB 8EI5 pour un cantilever sous chargement uniforme et F9N: = q9N m⁄ : ∗ L
I = moment d’inertie pris au centre de gravité de l’aiguille (environ 1/3 – 2/3 de l’élévation).
I est pris différent selon la direction des deux diagonales du losange (dans la vue en plan de la
structure).
I est obtenu sur un logiciel de dessin, fonction « mass properties », qui correspond aux valeurs
trouvées par le théorème de Huygens (I ~ 0.02 m4)
3 = 8FG H�5
� M = masse de la structure. M = 80 000kg (modèle Robot®, fonction
« quantity survey » dans les tables de résultats)
N1 = 0.99Hz dans la direction de la petite diagonale
N1 = 1.72Hz dans la direction de la grande diagonale
Mode1 Mode2 Mode3
Période propre 6.37sec 5.57sec 2.94sec
Fréquence propre 0.16Hz 0.18Hz 0.34Hz
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Une étude séparée de la partie haute de l’aiguille sur Robot® donne N1=0.98Hz et N1=1.36Hz
selon les deux diagonales.
Figure 9 : Vue logiciel des modes fondamentaux de vibration de la partie haute de l’aiguille. A
gauche : grande diagonale. A droite : petite diagonale.
Une étude dynamique de l’aiguille dans son ensemble donne N1=0.63Hz et N1=0.74Hz selon les
deux diagonales. La partie haute de l’aiguille n’est plus directement sur appui fixe mais repose
sur les quatre membres de la base. La souplesse de la structure augmente ainsi que la période de
vibration. La fréquence diminue.
Figure 10 : Vue logiciel des modes fondamentaux de vibration de l’aiguille complète. A gauche :
vibrations selon la grande diagonale – 0.74 Hz A droite : vibrations selon la petite diagonale –
0.63 Hz
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Figure 11 : Vue logiciel des troisièmes
harmoniques de vibration de l’aiguille
complète.
Il est considéré que l’aiguille possède une seule fréquence propre, sur toute sa hauteur. La
différence de type de structure entre la tour SAMBA (béton armé / rigidité élevée) et l’aiguille,
permet d’admettre que les deux ouvrages oscillent selon des modes différents l’un de l’autre,
sous l’action du vent.
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2. Contexte scientifique et technique :
La réponse d’une tour élancée au vent est complexe. Pour exemple, le comportement d’un treillis
diffère beaucoup de celui d’une cheminée. Dans ce dernier cas l’amplification dynamique est
importante car la géométrie de l’ouvrage ne vient pas perturber le flux d’air. Un treillis vient
brouiller les différents courants et est donc moins susceptibles de vibrer selon son mode propre.
Les années 1950, 1960 ont vu se développer les théories aérodynamiques en laboratoire et les
modèles mathématiques associés (cf. §3 et 4).
2.1. La tour Miglin-Beitler :
La tour Miglin-Beitler de Chicago (Etats-Unis) est surmontée par une aiguille métallique de 137m
de hauteur. Le contreventement de la structure est assuré par des éléments horizontaux qui
connectent les douze colonnes verticales descendant en cascade depuis le sommet.
Figure 12 : Elévation et vue en plan de la tour Miglin - Beitler
La rigidité globale est améliorée par un contreventement en X sur chaque panneau du treillis. Rien
de tel n’est prévu sur l’aiguille SAMBA, malgré son importance vis-à-vis des effets dynamiques
du vent (Chicago est surnommée The windy city).
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Figure 13 : Elévation de l’aiguille du Victorian Art
Centre
2.2. Le Victorian Art Centre
Le Victorian Art Centre de
Melbourne (Australie) est
recouvert d’une « robe » en treillis
métallique curviligne, qui se
termine en aiguille droite sur 84m
de haut. Les paramètres de
dimensionnement ont été un vent
de période de retour 100 ans pour
une durée de vie de 100ans.
L’effet dominant du vent et des
réponses dynamiques associées,
dimensionnèrent les sections
d’acier requises. Des essais en
soufflerie sur une maquette
échelle 1 :100, permirent de
considérer un facteur de sécurité
pour le chargement de 1.64, au
lieu de 2.00 conseillé par les
codes. La résistance de la
structure est limitée par le
phénomène de fatigue. En effet, le
poids propre de l’aiguille est faible,
et les tractions-compressions alternées dans les membres du treillis, au vent, sont critiques pour
les connections (boulonnage et soudage). Ces dernières furent testées en laboratoire pour établir
leurs courbes « Contraintes-Nombre de cycles ». Lorsqu’un assemblage rompt, le chargement se
réparti de manière différente entre les membrures. Une nouvelle analyse du modèle doit alors
être menée. Pour une période de retour de 100 ans, le supplément de contraintes par rupture
d’assemblages fut calculé à 26% de la contrainte initiale. La fatigue de la structure globale ne peut
être évaluée en laboratoire (cf. paragraphe suivant). Un modèle de chargement composé de 12
angles de 22.5° a donc défini la direction du vent. Les oscillations dans la direction du vent, et
perpendiculairement, furent couplés, en prenant soin de ne pas faire coïncider les amplitudes
maximales. Une conception optimale nécessitant un travail itératif, les ingénieurs étudièrent
différents systèmes de stabilisation dont l’utilisation de câbles tendus. Plusieurs types d’éléments
acier furent testés (sections creuses carrées ou circulaires, angles simples, acier doux ou inox,
aluminium). Des membres tubulaires inoxydables et un boulonnage de capacité en traction 1000
MPa constituent l’aiguille finale. L’acier est sablé et recouvert de deux couches de peinture époxy.
Le cas de l’aiguille du Victorian Art Centre fut repris dans une étude, sur l’opportunité de réaliser
des essais en soufflerie de manière quasi systématique, pour une structure sensible au vent. Pour
les chercheurs, un modèle soumis à un chargement statique donné par un code de
dimensionnement, n’interprète pas correctement la réponse structurelle. Ainsi un chargement
statique surestime en général les déplacements et les niveaux de contraintes, provoquant un
surdimensionnement des sections d’acier. La prise en compte de la fatigue, ou encore de
l’amortissement, dans les membres et les assemblages des structures sensibles au vent,
nécessitent des tests dynamiques.
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2.3. Flèche de l’Hôtel de Ville de Bruxelles
Le dernier exemple est la réponse au vent de la flèche de la
mairie de Bruxelles, construite au 15ième siècle. Cette
structure béton armé comporte des cerclages en acier à
chaque des paliers, qui rigidifient la tour.
Il y a 20 ans, les restaurateurs ont souhaité modéliser le
comportement dynamique de la tour, pour renforcer au
mieux les zones de béton tendu. Avant les essais
aérodynamiques et la modélisation non linéaire du
comportement du béton, les chercheurs ont procédé à une
étude linéaire élastique. A partir d’un vent extrême de 196
km/h sur une période de retour de 500 ans, la pression
dynamique est 1.84 kN/m². La force appliquée sur la
structure correspond au facteur pression dynamique -
coefficient de pression cp, ce dernier dépendant de la
géométrie de la flèche. Si cette étude permet de visualiser
des zones tendues, des tests aérodynamiques restent
nécessaires pour connaître les amplitudes des contraintes de
traction.
Figure 14 : Vue de la tour de l’Hôtel de Ville de Bruxelles
2.4. Charges issues des règlements :
Les paramètres de calcul du paragraphe 2.3 sont issus de l’ancien code vent belge NBN B03-002-
1 (1988). Les étapes de calcul du code Neige et Vent 65 français sont identiques et donnent un
bon aperçu du processus calculatoire utilisé pour les charges de vent appliquées statiquement.
2.4.1. Charges statiques :
� Estimation du vent maximal : paramètre fonction de la topographie du terrain et de la
vitesse du vent à une hauteur référence de 10 m
� Vérifications des structures : charges normales (ELS) ou actions extrêmes (ELU)
pression dynamique normale (à 10m de hauteur) q�NO���� = VentQ16.3 et q�NO����q�STOê�� = 1.75
action élémentaire unitaire q ∗ c (coef>icient de pression)
action résultante élémentaire U q ∗ c (toutes faces structure)
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action résultante totale P = (U q ∗ c ) ∗ surface totale
P est la résultante géométrique de toutes les actions, décomposables entre une composante
horizontale de trainée (effet d’entrainement et de renversement), et une composante verticale
ascendante de portance (effet de soulèvement et de renversement) :
T = ct ∗ q ∗ St et U = cu ∗ q ∗ Su
Q est fonction de la hauteur de calcul (calcul du rapport q hauteur max / q 10m) et subit l’influence des
effets de masque, de la topographie du terrain, de la perméabilité des parois,…
Ct et Cu sont les coefficients de trainées et de portance.
St et Su sont les surfaces soumises aux effets d’entrainement et de soulèvement.
� Les constructions légères ont un faible amortissement et de longues périodes
d’oscillations, ce qui rend les effets dynamiques potentiellement plus contraignants que
les effets statiques. Pour les constructions ajourées en treillis (R. 3, 5), l’action qglobale ne
possède que la composante T de trainée.
2.4.2. Charges dynamiques :
Les commentaires du règlement NV 65 - R. 3, 1 ; 5 sont les suivants :
« En dehors des actions dynamiques parallèles à la direction du vent, les structures hautes et
élancées placées dans un vent même régulier peuvent être soumises à des sollicitations
dynamiques qui agissent perpendiculairement à la direction du vent, et les mettent en état
d’oscillations forcées. […]
- les tourbillons dits de « Bernard-Karman » qui impriment à la structure des impulsions
latérales alternées, rythmées […]. »
Il y a décollement du flux de l’air derrière une paroi du fait de sa rugosité, provoquant des
tourbillons stationnaires (vortex shedding en anglais).
Figure 15 : Création d’un vortex en arrière d’un cylindre sous le vent.
Dans le cas de l’aiguille SAMBA, le phénomène se produit lorsque la structure est recouverte dans
son quart supérieur de panneaux bloquant le passage du vent. L’amplitude du mouvement
devient problématique pour une vitesse de vent dite critique. En augmentant la rigidité de
l’aiguille, on peut amener cette vitesse critique au-dessus des vitesses rencontrées dans la réalité
21
et l’aiguille ne réagit plus en résonnance. L’Eurocode 1991-1-4 annexe E, calcule le nombre de
Strouhal pour vérifier la sensibilité des structures aux vortex.
- « les phénomènes de galop […] des oscillations auto-entretenues tirant leur origine d’une
instabilité aérodynamique du profil de la structure […]. (galloping en anglais).
- les phénomènes de battement qui sont des oscillations auto-entretenues tirant leur
origine d’un couplage mécanique entre des oscillations latérales de la structure et des
oscillations de torsion […]. »
Le galop se produit également à une vitesse de vent critique, et est dangereux si la capacité de
dissipation d’énergie de la structure est excédée. Lorsque le phénomène se déclenche (pour des
sections d’acier creuses rectangulaires essentiellement, a fortiori recouvertes de glace), les
amplitudes du mouvement croissent très rapidement jusqu’à la rupture de la structure. Des
sections de rapport (profondeur / largeur) = 1 :1 à 1 :3, et attaquées par des vents avec un angle
de 15° par rapport à la normale des faces, sont sensibles au galop. La théorie définit la variation
de la force latérale due au galop par : ∆F[ ��TéO��� = q9pression vent moyen: ∗ b9largeur structure: ∗ 1 m ∗ ∆α
∆α = variation de l’angle d’attaque du vent face à la structure du fait de son mouvement latéral.
∆α prend aussi en compte la variation du coefficient de trainée. Si l’amplitude de variation de
l’angle augmente alors ∆Fz et Fz augmentent. Le mouvement latéral croit encore et par là ∆α.
Lorsque le galop s’amorce plus rien ne peut l’arrêter.
Figure 16 : Paramètres géométriques définissant l’amplitude due au galop
Deux autres instabilités dynamiques touchent d’avantages les structures de type « plaque » dont
le rapport (longueur / épaisseur) ~ 4 / 1. Ce sont la divergence et le battement (flutter). Le
moment aérodynamique variable réduit la rigidité à la torsion de la structure. L’aiguille SAMBA n’y
sera pas soumise.
Le code NV 65 prend en compte les effets dynamiques de la manière suivante :
� Dans la direction parallèle au vent, aux ELS :
q`a����b�� ��Nc��� = q`a� `� c�d� ∗ θ 9 = f(type de construction): ∗ (1 + i 9= f(période propre):+ τ 9= f(pulsation):)
� Dans la direction parallèle au vent, aux ELU :
22
q�STOê�� = q`a� `� base ∗ θ ∗ (1 + i + τ) ∗ (0.5 + θ2)
Dans la direction perpendiculaire au vent, une analyse numérique ou expérimentale est
recommandée. L’Eurocode EN 1993-3-1, spécialisé dans les tours métalliques et mâts, ne se
contente pas de redéfinir les paramètres précédents, à partir de nouvelles études expérimentales.
Dans une démarche scientifique réaffirmée, le texte se reporte à la théorie aérodynamique
construite depuis maintenant 50 ans. La vérification au vent dynamique de l’aiguille SAMBA a
donc nécessité de s’approprier un domaine scientifique complètement inconnu et à un niveau de
détail important (cf. §3 et 4 et annexes 2 à 9).
2.5. Phénomène de fatigue :
Le modèle courant de rupture par fatigue utilise un cycle sinusoïdal de contrainte. Lorsque les
sollicitations dans la direction du vent provoquent des vibrations en résonnance autour d’un pic
resserré, les contraintes résiduelles sont aussi considérées sinusoïdales à amplitude variable.
Selon l’amplitude des cycles, l’endommagement résultant s’additionne tout au long de la vie de la
structure. Elle risque ainsi de se rompre après de très nombreuses sollicitations, et alors que les
contraintes sont toujours restées inférieures à la résistance ultime voire à la limite d’élasticité. La
fatigue est le phénomène de décroissance de la résistance du matériau aux actions variables avec
le temps.
La loi de Miner définit un critère de défaillance sous chargement répété et variable :
h = U 1iji = 1
où ni est le nombre de cycle d’amplitude ∆σi, quelconque, pendant la durée de vie de calcul
requise, et Ni est le nombre de cycle conduisant à la ruine pour la sollicitation d’amplitude ∆σi.
Pour i quelconque, D indique la proportion de dommage causée par ∆σi. La loi de Miner n’impose
pas d’ordre dans l’application des chargements aléatoires et il s’agit d’un critère général. A moins
de sur dimensionner assez largement les sections d’acier, on ne peut être certain que les
sollicitations variables ne dépassent pas la limite d’endurance. Les tests d’Alfred M. Freudenthal
dans les années 1960, ont montré que la limite d’endurance est considérablement réduite par un
nombre, même faible, de contraintes supérieures à cette limite. D multiplie alors l’amplitude des
contraintes réelles pour prendre en compte le dommage cumulé.
23
Essai sur un tube
métallique
Limite Limite Limite Limite
d’endurance d’endurance d’endurance d’endurance σd
sous contrainte sous contrainte sous contrainte sous contrainte
constante et faible constante et faible constante et faible constante et faible
(< σ(< σ(< σ(< σdddd)))) valant
75 à 8075 à 8075 à 8075 à 80 MPaMPaMPaMPa
Niveaux de
contraintes
appliquées
(MPa)
Part (%) des
contraintes
appliquées
6 niveaux
Part (%) des
contraintes
appliquées
5 niveaux
Part (%) des
contraintes
appliquées
4 niveaux
49 82.200 % - -
63 14.560 82.200 % -
77 2.664 14.560 82.200 %
91 0.460 2.664 14.560
105 0.100 0.458 2.664
119 0.018 0.118 0.576
Durée de vie de la
structure
(millions de
cycles)
- 1.55 1.50 5.18
Tableau 5 : Résultats de l’étude de Freudenthal sur l’accumulation des dommages
L’élimination des deux niveaux de contraintes inférieurs à σd augmente de plus de 3 fois la durée
de vie de l’élément. Puisqu’un niveau de contrainte en moins sous σd ne provoque aucune
modification (de même que des contraintes sous σd, seules, par définition), Freudenthal fait
l’hypothèse suivante : le dommage accru provient de l’interaction entre les contraintes de niveaux
inférieurs et supérieurs à σd.
Les essais de fatigue se séparent entre essais d’endurance, pour déterminer la durée de vie de la
structure, et essais de fissuration, pour mesurer la vitesse de propagation des fissures de fatigue.
Dans le premier cas, des éprouvettes sont soumises à des cycles d’efforts périodiques,
d’amplitude maximale et de fréquences constantes. On obtient finalement les courbes
« contraintes (Stress) – nombre de cycles à la rupture (Number of cycles)) » ou courbes de
Wöhler :
Figure 17 : Courbe S-N
après un essai
d’endurance
24
Avant ~ 104 cycles, on parle de fatigue plastique oligocyclique sous fortes contraintes : la rupture
s’initie à partir de d’une déformation généralisée ou localisée (entaille) de la pièce.
Dans de nombreux cas, on peut tracer une branche asymptotique à la courbe de Wöhler, qui
correspond à la limite d’endurance ou limite de fatigue σd. Si les contraintes sont toujours
inférieures à σd, alors la rupture n’intervient pas avant la durée de vie envisagée de la pièce
mécanique. En pratique cette limite est inaccessible, et on la remplace par une limite d’endurance
conventionnelle σd(Nf), ou SaD à la figure 16, relative au nombre de cycles (Nf = 5*107, 108,…)
choisi comme durée de vie.
Le chapitre 9 de l’Eurocode 3 – état limite de fatigue, définit le dimensionnement par fatigue.
Pour les niveaux de chargement constants, l’inégalité suivante est vérifiée (combinaison rare à
l’ELS) : klm ∗ ∆no,Q ≤ ∆nrksm
où ∆σE,2 est l’amplitude de la contrainte de chargement transférée à une référence de 2 millions
de cycles, et ∆σC est la résistance à la fatigue à 2 millions de cycles. γFf et γMf sont des
coefficients de sécurité prenant en compte, respectivement, l’inconsistance des valeurs de
chargement supposées sur la structure, et la résistance du matériau utilisé.
La section 8 du chapitre 9 de l’Eurocode 3 regroupe un grand nombre de détails constructifs
dans10 tables, et donne leur ∆σC particuliers.
Détail constructif ∆σC à 2*106 cycles
Membrure d’un seul tenant 125 MPa
Connexion avec plaque soudée
entre 2 membrures 56 MPa
Simple soudure ente deux
membrures 71 MPa
Connexion avec boulons 50 MPa
Tableau 6 : Résistance à la fatigue pour des détails constructifs rencontrés sur l’aiguille SAMBA
Ces données sont issues de campagnes d’essais à grande échelle. On retrouve les valeurs de la
courbe S-N utilisée dans l’Eurocode. Selon le type de détail constructif, le texte choisit de placer
la limite horizontale d’endurance à différents niveaux.
25
Figure 18 : Courbe S-N réglementaire selon EN 1993-1-9 section 7. Elle définit la résistance à la
fatigue sous amplitude constante ∆σD (N < 5 millions de cycles et m=3) et rajoute une partie de
courbe à coefficient directeur m=5 pour les cas à amplitude variable.
Pour l’exemple d’une membrure d’un seul tenant, la table 1 du chapitre 8 donne ∆σC = 160 MPa.
Les annexes nationales révisent cette valeur à 125 MPa. Pour ne pas se placer trop en sécurité,
γMf = 1.15 (Eurocode 3-1 – facteur de sécurité sur les matériaux) est donné à 1.10. Dans le cas
de l’aiguille de la tour SAMBA, une cartographie des vents en fonction de l’altitude est disponible.
Les valeurs de chargement sont donc connues et γFf =1.00 (γFf (max)=1.50).
L’EN 1993-1-9 définit enfin :
∆no,Q = t� ∗ tQ ∗ … ∗ tv ∗ ∆no
où ∆σE = |nxyz − nx|v| issue d’un calcul numérique sur Robot®. Les efforts appliqués sont les
forces de vent statique équivalent prenant en compte les effets dynamiques (cf. §4).
λi est le facteur de transfert de N cycles (calculé avec les Eurocodes) à 2 millions de cycles. Il y a
un facteur de transfert par cycle i considéré, soit par type d’excitation de la structure. Pour des
chargements traités dans le détail par les Eurocodes (cas du vent), on trouve :
t = }j (~�~���) 2 ∗ 10�5 �� x (�� mm �|� �� ��)5 (Fj 1993 − 3 − 1)
Où m est défini Figure 18 et N est défini dans le chapitre 4.4 du rapport.
26
Les cas de chargement cycliques « mécaniques » dont on peut prévoir la séquence, se reportent à
l’annexe A de l’EN 1993-1-9 (les figures suivantes en sont extraites) :
o Les séquences de chargement…
o …sont transformées en cycles de contraintes
o Les amplitudes des cycles sont calculées selon la méthode du réservoir (détaillée dans le
code PD 6695-1-9 :2008)…
o …puis reportées dans un diagramme S-N
27
Il apparaît donc clairement que la fatigue est une limite structurelle fondée sur l’amplitude
atteinte par des chargements « standard » et non pas extrêmes.
La dernière courbe est construite en associant à chaque ∆σi un nombre limite de cycles Ni :
klm ∗ ∆no,Q (~�11�) ∆nr (~�11�) ksm57 < � √h� = 2U 1i (~�11�) ji5� �
Figure 19 : Nombre de cycles associé à chaque amplitude de contraintes réelles ↔ ni est connu
2.6. Contexte réglementaire
La lecture attentive des codes, introduits ci-dessous, n’est pas suffisante. Les références non
explicites à la théorie sont nombreuses et la compréhension détaillée des paramètres de calculs
passent obligatoirement par des ouvrages spécialisés.
28
Figure 20 : Relations entre tous les codes de dimensionnement abordés lors de la vérification au
vent de l’aiguille SAMBA
� Légende des relations
[1][1][1][1] Les codes généraux de dimensionnement, ou au contraire, les annexes particulières,
apportent une aide à la conception (détail des principes généraux, valeurs et méthodes de
conception recommandées au niveau national).
[2][2][2][2] Les sections 4, 5 et 6 du code EN 1991-1-4:2005 définissent les paramètres généraux pour le
calcul de la force de vent Fw dans la direction des oscillations.
F� = cs ∗ cd ∗ ∑9cf(facteur de résistance au vent) ∗ qp(pression vent) ∗ Aref(surface exposée)]
Ces sections se réfèrent à leur annexe B pour le calcul des paramètres structuraux cd et cs
(représentant, respectivement, l’effet des turbulences et la non simultanéité des pics de pression
qp). Leur annexe A tient compte de l’influence des constructions voisines.
[3]
[7]
[6]
[4]
[1]
EN 1993-3-1:2006 (EC3 : Calculs des tours et mâts métalliques)
NV 65 (France - Calculs des charges neige et vent)
EN 1993-1-9:2005 (EC3 pour la fatigue des structures métalliques)
NA to EN 1993-1-9:2005 PD 6695-1-9:2008
(Annexes nationales)
EN 1993-3-2:2006 (EC3 : Calculs des tours et mâts métalliques – principes de construction)
[1]
EN 1993-1-1:2006 (Eurocode 3 (EC3): Calculs des structures en acier)
[1]
[2]
EN 1991-1-4:2005 (Calculs des charges vent)
[5]
29
L’annexe B de l’EN 1993-3-1:2006 définit des valeurs particulières aux tours et mâts métalliques,
pour cf, Fw moyen, et Fw bourrasque. Cette même annexe fait entièrement référence à l’annexe E du code
EN 1991-1-4:2005 pour la vérification des vortex et galop.
[3][3][3][3] L’annexe E (EN 1991-1-4:2005 – Vent) permet de transformer l’effort vent perpendiculaire à
la direction des oscillations (vortex et galop) (en kN), en un diagramme S-N.
[4][4][4][4] L’annexe E (EN 1991-1-4:2005 – Vent) permet de transformer l’effort vent dans la direction
des oscillations (vortex et galop) (en kN), en un diagramme S-N. L’EN 1993-1-9 donne cependant
une méthode simplifiée qu’il est pratique d’utiliser (cf. §4.4).
[5] [5] [5] [5] Bien que l’EN 1993-1-9:2005 soit, avec ses annexes nationales, autonomes pour la méthode
de vérification des structures à la fatigue, la section 9 de l’EN 1993-3-1:2006 définit le facteur
d’équivalence λ, spécifique aux tours et mâts (cf. §2.5).
[6][6][6][6] Les méthodes constructives pour l’amélioration de l’amortissement de la structure se trouvent
dans l’annexe B du code EN 1993-3-2:2006. L’amortissement est un paramètre important pour
diminuer la réponse dynamique de l’aiguille, sans augmenter les sections d’acier à l’infini.
[7][7][7][7] La section 9 de l’EN 1993-3-2:2006 est un bon résumé du principe de vérification de la
fatigue des structures (possible limite de dimensionnement pour la vérification de l’aiguille
SAMBA).
30
3. Réponse dynamique des structures sous le vent :
Par définition, les charges de vent sont extrêmement variables. Les flux turbulents qui soufflent à
proximité de la surface rugueuse et obstruée du sol en sont la première cause. La deuxième
source est les vortex qui se produisent en arrière des surfaces fermées et qui provoquent une
excitation perpendiculaire à la direction du vent. La réponse dynamique de la structure ne
correspond donc plus uniquement à une valeur instantanée du vent en rafale. L’histoire passée du
chargement doit être considéré.
Une itération du calcul pour la vérification de l’aiguille au chargement dynamique correspond à :
Figure 21 : Démarche pour la vérification dynamique de l’aiguille SAMBA
Redéfinition des membrures
Vérification à la fatigue
Vents équivalents statiques avec effets dynamiques
Vent statique simple conservateur ?
Non
Oui
Contraintes dues au vent équivalent statique dans la direction des oscillations
Contraintes dues au vent équivalent statique
perpendiculaire aux oscillations
Vérifications
équations § 2.6
Architecte / Ingénieur Géométrie initiale
Vérification Membrures
Etudes avec vent statique simple
Vérification des chargements statiques
Calcul vents dynamiques
Vent perpendiculaire aux oscillations
Vortex
Galop
Flambement
Capacité des sections
Déplacement maximal
Vérification de l’équation [60] (cf. § 4)
Vent dans la direction des oscillations
Vent moyen
Vent rafale
31
Les étapes en vert ont été réalisées avant le début du projet de fin d’études, à l’aide de forces
statiques de vent, appliquées à un modèle Robot®. La première étape de la vérification est de
s’assurer que les charges statiques simples, alors utilisées (Ftotale = 0.5 MN – cf. §1.3.2), ne sont
pas inférieures au chargement dynamique que subit réellement l’aiguille.
L’annexe B de l’Eurocode 3-3-1 permet de calculer des charges statiques équivalentes prenant en
compte les effets dynamiques par l’intermédiaire de coefficients. Cette simplification est soumise
à la vérification de l’équation [60] qui suit (+ cf. annexe 3). On remarque que les formules des
charges statiques équivalentes pour les tours treillis et les mâts haubanés, par exemple, sont
identiques dans l’annexe B. Seules les équations pour l’application de la méthode statique
équivalente diffèrent. Le fait est que l’Eurocode s’appuie sur la théorie aérodynamique
développée ces 50 dernières années, pour calculer les charges équivalentes. Le développement
des chapitres 3 et 4 du rapport introduit les notions importantes. Ce niveau de détail est
nécessaire car la quantité de variables à calculer (cf. annexes 4, 5,6 et 8) est grande. Les formules
empiriques introduites au paragraphe 2.4.2 ne sont plus de mise et les paramètres physiques et
probabilistes de la théorie peuvent être facilement mal interprétés.
La seconde étape fondamentale est la vérification à la fatigue des membrures et assemblages de
l’aiguille SAMBA (cf. §2.6).
Enfin, la base de l’aiguille possède un élancement maximum (hauteur / largeur) proche de 2,
quand la partie supérieure possède un élancement d’environ 15. Les effets dynamiques sont
différents sur ces deux parties et la base réagit statiquement à tout type de chargement (cf.
annexe 5). De plus, dans la partie haute, les conditions de porosité sont très différentes : le
treillis est recouvert de panneaux solides dans les 10 derniers mètres, au sommet de l’aiguille. La
formulation d’hypothèses géométriques globales, revient à modéliser l’aiguille comme une tour à
section rectangulaire et dotée d’une seule valeur de porosité. Les forces de vent statique
équivalentes sont alors déterminées très grossièrement.
Pour parvenir à un calcul plus fin, il est possible d’étudier l’aiguille par tronçon. En effet, les
propriétés dynamiques de chaque division (dimensions de la section, amortissement,…), pour le
calcul des forces de vent, sont indépendantes: l’influence d’une division sur le comportement des
tronçons inférieurs vient de la dynamique de son chargement et non de ses propriétés
dynamiques intrinsèques. Seule la fréquence est considérée constante. Les résultats ne seront
fusionnés qu’au niveau des charges statiques équivalentes. En outre, la multiplication des
références pratiques permet de mieux comprendre l’influence de chaque variable de la
vérification dynamique.
Figure 22 : Tronçonnage de l’aiguille pour la vérification dynamique et modèle associé
32
3.1. Effets dynamiques dans la direction du vent :
A noter les différences fondamentales qui opposent une charge vent à une charge sismique :
- Les tremblements de terre sont des phénomènes de courte durée
- Les fréquences d’un tremblement de terre sont 10 à 50 fois celles d’une excitation au
vent
- Les charges sismiques sont appliquées sur toute la hauteur d’un immeuble. Ce n’est pas
le cas pour les vortex.
Il est nécessaire de distinguer la réponse dynamique en résonnance (resonant dynamic response),
et les oscillations transitoires récurrentes (background fluctuating reponse) de la structure. Ces
deux phénomènes mèneront au calcul de coefficients distincts, B et R respectivement.
Les réponses « B » reposent essentiellement sur des fréquences inférieures à la plus faible des
fréquences naturelles de la structure. Ces effets sont la plupart du temps majoritaires : dans le
temps, les oscillations du bâtiment coïncident pratiquement avec les variations des valeurs de
chargement. Mais lorsque la structure devient de plus en plus haute, ou longue, par rapport à sa
largeur, les effets « R » prennent le dessus : la fréquence du vent se rapproche des fréquences
naturelles de la structure. L’expérience considère les effets R > B lorsque la fréquence
fondamentale du bâtiment est inférieure à un Hertz. L’aiguille de la tour Samba a une fréquence
fondamentale d’environ 0.6 Hz selon la petite diagonale et 0.7 Hz selon la grande :
Figure 23 : La symétrie de l’aiguille de la tour
Samba selon ses deux diagonales permet de ne
considérer que les quatre angles ci-contre pour
définir l’action du vent.
Les effets R sont néanmoins contrebalancées par :
- L’amortissement aérodynamique, proportionnel à la vitesse du vent. L’amortissement
absorbe une partie de l’énergie développée par la résonnance, par la mise en
mouvement
- L’inertie de la structure
- La rigidité de la structure, proportionnelle aux déplacements
La modélisation de ce phénomène physique indéterminé, repose sur le concept de vibration
aléatoire. Les forces excitatrices ou encore les contraintes dans la structure sont :
�(�) = �� + �p(�) [1]
33
Avec X(t), valeur globale de vitesse, pression, force, contrainte due au vent
��, valeur moyenne de vitesse, pression, force, contrainte
x’(t), partie variable telle que (�p�)������� = 0
De plus, les probabilités définissent les fonctions densité comme suit :
Figure 24 : P [a < x < b] est la probabilité que le variable aléatoire x soit comprise entre a et b.
Avec fx(x), la fonction densité de probabilité d‘obtenir x quelconque, on a :
�9� < � < �: = � �z(�)���y
Le concept de vibration aléatoire, ou approche spectrale, repose sur la notion de fonction densité
:
Figure 25 : Pour chaque grandeur physique (vitesse, pression du vent,…) il faut déterminer la
fonction densité de fréquence, soit la gamme de fréquence du phénomène physique (premier
cadre, en bas, à gauche). Les fonctions d’admittance (cf. suite) font le lien entre chaque spectre
de fréquence. Par exemple, l’amplification du déplacement lors de la résonnance est tout de suite
répercutée dans l’intégrale de la fonction densité et donc dans le spectre (dernier cadre, en bas, à
droite). Le concept de vibration aléatoire approche ainsi la réponse dynamique en résonnance.
�p(�) = �(�) − ��, soit la partie variable de la réponse, étant la plus importante, les formules
théoriques intègrent les notions de :
- moyenne (équivalent à l’abscisse du centre de gravité de l’aire sous la courbe de la
fonction de densité) :
[2]
34
�� = �� ∗ ∑ �| =| ��z(�)¡∞¢∞ ��
- variance (analogue à un moment d’inertie d’une section (ici l’aire sous la fonction
densité), par rapport à son centre de gravité (ici la moyenne)) :
nz² = 1j ∗ U (�| − ��)²| = � (� − ��)Q ∗ �z(�)¡∞
¢∞��
σS, la racine carrée de la variance, est l’écart-type. Il mesure la dispersion d’une série de valeurs
autour de leur moyenne.
3.2. Exemple pour les effets dans la direction du vent :
L’exemple qui suit aide à comprendre les formules utilisés par l’Eurocode 1993-3-1: 2006 (EC3-
3-1) :
Equation de mouvement pour une structure à un degré de liberté masse - ressort - amortisseur,
soumis à un vent de face variable D(t) :
4�¤ + ~�¥ + 3� = h(�)
Holmes montre que (hypothèse de turbulence faible),
h²���� = (��~���¦ H = 4h§Q §²5 ) ∗ �p²����
Avec h§, force moyenne du vent de face
�’§ , vitesse moyenne du vent variable
En termes de densité spectrale, sur une gamme de fréquence infinie :
� ©ª(1)�1∞
� = H ∗ � ©«(1)�1∞
�
Avec SD(n), fonction densité spectrale de la force du vent
Su(n), fonction densité spectrale de la vitesse du vent variable, donc turbulent
Comme :
h§ = 3 ∗ ��
On obtient pour le passage des efforts aux déplacements :
[3]
[4]
[5]
[6]
[7]
[8]
35
©z(1) = 1 3Q5 ∗ ©ª(1) ∗ |¬(1)|² (��1~�i�1 �p��4i���1~� ��¦�~��¦����)
|¬(1)|² permet le passage des efforts aux déplacements (Figure 25, 2ième cadre du bas en partant
de la droite). H(n) est un coefficient d’amplification dynamique.
Entre [7] et [9], on relie la densité spectrale des déplacements à celle des vitesses de vent
variables.
Pour les structures de taille importante (aiguille Samba), les variations de la vitesse du vent ne se
produisent pas simultanément sur toute la surface de chargement. Une deuxième fonction
d’admittance i(1)², aérodynamique, permet d’extrapoler les déplacements directement à partir
de la vitesse, et est intégrée dans la formule (Figure 25, 2ième cadre du bas en partant de la
gauche) :
©z(1) = Hp ∗ |¬(1)|Q ∗ i(1)² ∗ ©«(1)
Au final la variance des déplacements variables autour de leur moyenne vaut :
nz² = � ©z(1)∞
� �1 = � Hp ∗ |¬(1)|Q ∗ i(1)² ∗ ©«(1)∞
� �1 ≅ Hp ∗ n�² ∗ 9® + ¯:
Il apparaît, pour toute fréquence :
® = i(1)Q ∗ °©«(1) n�²� ±∞� . �1
Dans le cas d’une tour métallique en treillis, qui n’opposent pas une grande résistance aux flux
d’air, l’écriture pratique de B repose sur la densité spectrale de turbulence (paragraphe 3.2
suivant). Cela concorde avec la signification physique de B et son expression pratique est
explicitée au paragraphe 4.2.2. Après intégration B devient indépendant de la fréquence du vent,
et pour beaucoup de structures B reste très supérieur à R.
Il apparaît aussi :
¯ = i(1�)Q ∗ °©«(1�) n�²� ± ∗ |¬(1)|Q∞� �1
Avec n1 la fréquence de résonnance. Puisque la gamme de fréquence autour de n1 est très
resserrée (cf. Figure 26), la densité spectrale se résume à n1 et on approxime :
i(1)Q ∗∞� °©«(1) n�²� ± . �1 ²�¦ i(1�)Q ∗ °©«(1�) n�²� ±
L’équation théorique du coefficient d’amplification dynamique est :
[9]
[10]
[12]
[11]
[13]
[14]
36
|¬(1)|² = 1³1 + ´1 1�5 µ²¶Q + 4 ∗ ·¸ = �4�¦�i���4�1� ¦e���4�¦�i���4�1� ~¦i�i¹��ºQ ∗ ´1 1�5 µQ
Après intégration sur [0 ; +∞9 Crandall et Mark démontre que le coefficient d’amplification
dynamique devient 6. 1� 4. ¸5 . Cela constitue une première expression pour R (cf. paragraphe
4.2.3), et termine l’étude de la réponse dynamique dans la direction du vent du système masse –
ressort – amortisseur.
Figure 26 : Répartition des réponses B et R
Dans le cas d’une structure à plusieurs degrés de liberté avec masses réparties, une analyse
modale complète est nécessaire (matrice de raideur et de masse). Mais les principes restent
identiques à ceux du cas simple précédent.
Enfin, les effets de B et des vitesses de vent moyen sont souvent prépondérants face à la réponse
dynamique de résonnance R. Mais si le nombre d’harmoniques augmente, il n’est plus possible
de minimiser l’influence de ces « pics » du spectre dans le calcul de la densité spectrale (fonction
de l’aire sous la courbe). La réponse extrême est finalement calculée de manière quasi statique,
en estimant chaque réponse de manière indépendante :
¦(¦e²�1�� ���¦e4�) = ¦(¦e². 4���11�) + 2¦½² (¦e². ®) + ∑ ¦¾² (¦e². ¯ ��¦ ¿ r�¦4�1i¹���)À
L’absence d’interaction entre B et R est importante. Les méthodes statiques équivalentes, utilisées
en théorie puis dans les Eurocodes pour les tours et mâts, s’appuie sur cette hypothèse pour
calculer simplement ces deux paramètres (cf. paragraphe 4.2.4).
3.3. La turbulence :
Le niveau de turbulence est estimé à partir de l’écart-type σu sur la vitesse du vent, donc en
effaçant la part moyenne de l’excitation. L’équation [1] donne :
¨(�) = § + �p(�)
[17]
[15]
[16]
37
Avec U(t), vitesse totale dans la direction du vent
u’(t), vitesse du vent variable turbulent
§, composante moyenne
D’où l’intensité des turbulences Iu : G� = n� §5
L’expérience montre qu’Iu décroit avec l’altitude, car l’incidence de la rugosité du terrain z0 (ou
friction) diminue (σu est constant et § augmente).
G� = 1 ��Á ( Â�5 )�
Il apparait une équation similaire à celle de l’Eurocode 1 :
GÃ(Â) = nà Äx(Â)5 = 3Å ³~�(Â) ∗ ��Á ( Â�5 )¶�
Avec vm(z), vitesse moyenne du vent
kl, facteur de turbulence (conservateur si pris égal à 1)
c0(z), facteur de topographie (influence négligeable des obstacles alentour → c0 = 1)
En outre, la distribution des turbulences est décrite, en fonction de la fréquence du vent, par la
densité spectrale de la vitesse du vent turbulent :
n�² = � ©�(1)∞
� �1
Les travaux de Von Karman (1948) puis Harris (1968) expriment alors la densité spectrale
turbulente avec :
1. ©�(1) n�²� = 4(1H�/§) 91 + 70.8 ∗ (1H�/ §)²:Ç/�� Ce rapport est un des deux facteurs de B (paragraphe 3.1). Lu est la longueur turbulente et
exprime la longueur d’onde λ :
§ ∗ �v = t = 6.85 ∗ H� pour Von Karman. Lu dépend de la rugosité du terrain (z0) et de la hauteur
au-dessus du sol.
L’Eurocode 1 donne la formule empirique de longueur turbulente :
H(Â) = H�ém ∗ (z zOéÈ5 )α = 300 ∗ (z 2005 )�.�É¡�.�Ç∗�� ([Ê) ²��¦  < 2004
L correspond à la longueur moyenne des bourrasques d’un vent naturel.
[18]
[19]
[20]
[21]
[22]
[23]
38
Une formule empirique existe pour la seconde composante de B :
ℵ(1) = 1 }1 + ³21√Ì/ §¶B/���
Avec A la surface sous le vent. Le paragraphe 4.2.2 fait la synthèse des composantes de la
réponse de type B.
Pour la réponse en résonnance R, il faut considérer les turbulences verticales. Les travaux
mathématiques donnent :
1. ©Í(1) nͲ� = 2.15(1Â/ §) 91 + 11.16 ∗ (1Â/ §):Ç/�� Il apparait la formule de l’Eurocode 1 pour Sl (z,n), la densité spectrale :
1. ©Ã(Â, 1) nò� = 6.8 ∗ �Î(Â, 1) 91 + 10.2 ∗ �Î(Â, 1):Ç/��
Avec fL(z, n), la fréquence dite non dimensionnelle :
�Î(Â, 1) = 1. H(Â) Äx(Â)�
La différence de coefficients entre [24] et [25], provient des valeurs utilisées dans fL(zs, n). Selon
Busch et Panofsky (1968), L est directement proportionnelle à l’altitude z, dans le cas des turbulences verticales. De plus, § est remplacée par la vitesse moyenne calculée à une altitude
référence zs.
Le paragraphe 4.2.3 fait la synthèse des composantes de la réponse de type R.
3.4. Interaction sur la hauteur de la tour - Corrélation :
Il s’agit d’une analogie à la ligne d’influence. En un point d’altitude z1, la corrélation permet de
prendre en compte tous les effets des chargements le long de la structure, appliqués à une
altitude z2 variable.
� Pour la réponse B : ~���� �� ~�¦¦é���i�1 Ï ≈ �¢~�1���1��∗|Ñ�¢ÑQ|
Si les altitudes z1 et z2 sont égales, la corrélation est totale (ρ=1).
� Pour la réponse R : Bendat et Piersol (1999) définissent la fonction de cohérence :
Ï = �¢��v��yv� ∗|Ñ�¢ÑQ|/(Å�vÒ� �� �p�v� Ó�v «§5 )
[25]
[26]
[27]
[28]
[29]
[24]
39
Un problème mathématique apparaît : pour de faibles fréquences n, ρ→1 quelque soit la distance
entre les points considérés. R correspondant surtout à n élevé, le désavantage causé n’est
cependant pas décisif.
Le paragraphe 4.2 revient sur les formules « pratique » pour la corrélation, introduites dans les
Eurocodes.
3.5. Le facteur de réponse en bourrasque / de réponse dynamique :
Appliqué à la vitesse d’un vent peu variable, le facteur de réponse en bourrasque est définit par :
Ô = �é²��~�4�1� �� ~�1�¦�i1�� ÕÖ× ²�1��1� ��é²��~�4�1� �� ~�1�¦�i1�� ÕØÙÚÛÛÚ ²�1��1� �
Avec
�Ü = �� + �p(�) = �� + (Á = ��~���¦ �� ²i~ 9§3.6:) ∗ (nz = é~�¦� ��²� �� ¦é²�1�� �1 �é²��~�4�1�)
D’où Ô = �Ü ��5 = 1 + Á ∗ nz ��5 = 1 + 2 ∗ Á ∗ (ÝHp = 2�� §5 ) ∗ √® + ¯ (~�. ²�¦�Á¦�²r� 3.1)
Dans l’Eurocode 3, G est calculé pour la fréquence fondamentale puis est appliqué aux forces de
vent moyen. G perd toute signification dans le cas d’un vent variable ou lorsque la réponse de
vent moyen est quasi nulle (cas des excitations des vortex).
L’EN 1991-1-4 lui préfère alors le facteur de réponse dynamique, appelé cs*cd (facteur
d’échelle*facteur dynamique). Les formulations [32] et [34] restent proches.
Le facteur dynamique regroupe les effets des deux réponses B et R.
��Þvyx|ß� ≡ ¦é²�1�� 4�� ���� (® + ¯ + ��)¦é²�1�� 4�� ���� (® + ��) = ¦é²�1�� ����i¹��
~� ∗ ~� = ´1 + 2 ∗ 3á ∗ GÃ(Â�) ∗ √®² + ¯²µ (1 + 7 ∗ GÃ(Â�))�
Avec ~� = (1 + 7 ∗ GÃ(Â�) ∗ √®²) 1 + 7 ∗ GÃ(Â�)�
Cs utilise B et prend en compte la non-simultanéité d’occurrence des pressions extrêmes du vent. Cs traduit alors la propriété de i(1)², fonction d’admittance aérodynamique présente dans B (cf.
[12]).
~� = (1 + 2 ∗ 3á ∗ GÃ(Â�) ∗ √®² + ¯²) (1 + 7 ∗ GÃ(Â�) ∗ √®Q)�
Cd prend en compte la démultiplication des effets lors de la résonnance, et notamment des déplacements. Cd utilise alors la propriété de ¬(1)², fonction d’admittance structurelle présente
[30]
[31]
[32]
[33]
[34]
[35]
[36]
40
dans R.
zs, est la hauteur de calcul de la turbulence et, par suite, du facteur de réponse
dynamique. L’Eurocode 1 prévoit zs différent de zmax : Â� = 0.6 ∗ ℎ�����¦ ℎ �� �p�iÁ�i���.
3.6. Facteur de pic g :
Utilisé dans l’EN 1991-1-4, il découle du travail de Davenport (1964) qui associe la densité
spectrale à une gaussienne. Il dépend de l’intervalle de temps T pendant lequel la réponse
maximale est calculée, et de la gamme de fréquence effective µ :
Á = Ý2 ∗ log (ã ∗ ä) + 0.577 Ý2 ∗ log (ã ∗ ä)�
Il est conservateur de prendre µ = n1 (fréquence fondamentale).
L’EN 1991-1-4 définit : ã = 1� ∗ 2¯² ®² + ¯²5 ≥ 0.08¬Â
On reconnait la fréquence propre n1 multiplié par un facteur inférieur à 1.
L’EN 1991-1-4 nomme g, kp et l’intègre directement dans le calcul de cs*cd, le facteur de réponse
dynamique. kp est appelé « rapport de la partie variable de la réponse par rapport à l’écart type ».
[37]
[38]
41
4. Les tours élancées – Aiguille SAMBA :
L’expression pratique du chargement puis de la réponse dynamique d’une tour élancée se fonde
sur le chapitre 3. Dans le chapite 4, la formulation des Eurocodes est commentée. Les résultats de
la vérification dynamique de l’aiguille sont introduits en dernière section. La démarche complète
et détaillée est disponible dans les annexes 2 à 9.
La tour Eiffel fut dimensionnée avec une pression statique de 2 kPa à sa base et 4 kPa à son
sommet. Dans le tiers médian où la tour est plus fragile (forme courbe dite d’eiffelisation), Eiffel
considéra une surface sous le vent fermée, valant quatre fois la surface réelle de tous les
membres d’acier. La structure qui en résulta possédait un facteur de sécurité de 3.5 sur le
coefficient de trainée utilisé dans les calculs.
Les études menées entre la fin du 19ième siècle et les années 1970, regroupent des noms comme
Dryden and Hill (1930, essais grandeur réelle sur des cheminées en maçonnerie � importance du
nombre de Reynolds pour les sections circulaires), Davenport (1975, interprétation des tests
aérodynamiques du laboratoire de la tour Eiffel) ou encore Scruton (1950, vibrations
perpendiculaires à la direction du vent des tours métalliques).
4.1. Coefficient de trainée (drag) :
Le coefficient de trainée cd est appelé coefficient de résistance au vent cf dans l’Eurocode 1993-
3-1: 2006 (EC3-3-1).
La force de trainée (force dans la direction du vent) vaut :
h = ~� ∗ ÌÑ ∗ ¹Ñ
Avec cd, coefficient de trainée (équivalent à cf)
Az, surface chargée par le vent, projetée sur un plan perpendiculaire à la direction du vent
qz, pression dynamique du vent
Le paragraphe 4.2.4 définit la force moyenne dans la direction du vent, équivalente à D, utilisée
dans l’Eurocode.
On trouve encore : (CSIR Recommendations, 1990 and ASCE Guidelines, 1990)
h = ¹Ñ ∗ 9~�v� ∗ Ìv� ∗ cos(æ)Q + ~�vQ ∗ ÌvQ ∗ sin(æ)Q: ∗ çè
Avec
Θ, angle d’incidence du vent sur une face de la structure prise comme référence. Θ = 0° quand le
vent est perpendiculaire à cette face. La symétrie de l’aiguille SAMBA n’impose aucune référence
particulière.
An1 et An2, aires de deux faces sous le vent, consécutives autour de la structure. Si l’angle Θ est
très ouvert (Θ proche de 90°), la part de réponse de la face 2 augmente avec le sinus.
[39]
[40]
42
Facteur d’incidence du vent çè = 1 + 0.55 ∗ é ∗ sin(2æ)Q
Facteur de solidité é = y|� ���yÅ � Åy my� �ry�Òé �(ê�¡êy)� ∑ ê y|� và Å�áá my� �ry�Òé (cf. équation [45])
Il apparaît dans la partie entre crochets de l’équation [40], les formules employées dans l’annexe
B du code de dimensionnement des tours et mâts (EC3-3-1) :
~m = ~m,� + ~m,y
Avec cf,s, coefficient de résistance au vent des membres métalliques structuraux.
cf,a, coefficient de résistance au vent des membres métalliques non structuraux
(équipements ou « ancillaries » en anglais)
Cette formulation est suffisante pour les structures ayant des surfaces consécutives identiques.
Le paragraphe B.2.7 définit une formulation pour les cas particuliers (aires des faces non égales,
pas de symétrie).
� Cf,s, pour les tours à section triangulaire équilatérale ou carrée :
~m,� = çè ∗ ~m,�,� ∗ Ì� ∑ Ì5
Avec
Kθ, équivalent à la formule [41] théorique
As = aire des cylindres Ac et des membres structuraux à arêtes Af, projetés perpendiculairement
à la face considérée
∑ Ì = Ì� + Ì� (�i¦� �1~i���¦i��) ~m,�,�(~���� ~m,� ��1� ����� �� ��¦��) ≈ ~m,�,m(é) ∗ êm(y�ê� �)ê� + ~m,�,�(é) ∗ ê�(�ÞÅ|v�� �)ê�
Les coefficients cf,0,f et cf,0 ,c sont explicités en annexe 2.
Donc ~m,� = çè ∑ Ì5 ∗ ´~m,�,m(é) ∗ Ì� + ~m,�,�(é) ∗ Ì~µ
On détermine ainsi la résistance au vent des membres structuraux, par rapport à leur proportion
dans la surface totale exposée au vent. Le principe est le même pour les ancillaries (cf. [48]) et il
convient de sommer ces deux valeurs relative (cf. [43]).
� Cf,a pour les tours à section triangulaire équilatérale ou carrée :
~m,y = çê ∗ ~m,y,� ∗ Ì� ∑ Ì5 ∗ sin (ë)²
[41]
[42]
[43]
[44]
[45]
[46]
[47]
[48]
43
Avec
facteur de réduction Ka = 0.8 (prise en compte de la protection au vent des ancillaries par les
éléments structuraux)
résistance standard au vent ~m,y,� fonction du nombre de Reynolds :
Cas des sections circulaires
Re < 2.105 Cf,a,0 = 1.2
Re = 4.105 0.6
Re > 10.105 0.7
Tableau 7 : Extrait du tableau B.2.1 de l’Eurocode 3-3-1 – annexe B
ψ, angle dans un plan vertical, entre la direction du vent (horizontal) et l’axe des membres non
structuraux. Intuitivement, plus l’angle est ouvert plus l’influence des ancillaries est forte ; d’où
l’utilisation d’un sinus.
L’expression du coefficient de trainée pour les tours treillis n’est pas évidente à mettre en œuvre.
Elle fait l’objet d’une annexe complète (annexe 2).
4.2. Réponse dynamique dans la direction du vent :
Holmes et Kasperski (1996) préconise l’utilisation de la méthode statique équivalente pour le
calcul du chargement due au vent. Les chargements statiques sont censés reproduire les mêmes
valeurs de moments fléchissants, de forces axiales, ou encore de déplacements que l’application
d’un vent variable. Pour les deux scientifiques, cette méthode est applicable sans restriction aux
tours treillis.
Le chargement statique extrême équivalent (effective static peak loading distribution) est obtenu
à partir de trois valeurs :
- Une part de vent moyen (mean load component)
- Une part relative à la zone de fréquence hors résonnance B (background component)
- Une part relative à la zone de fréquence en résonnance R (resonant component)
L’Eurocode 3-3-1 – annexe B permet aussi l’utilisation d’une méthode statique équivalente mais
la soumet à la vérification de l’équation [60] qui suit. Dans cette méthode :
� la réponse extrême somme les réponses moyenne et dynamique (cf. paragraphe 4.2.4)
�la réponse dynamique intègre les réponses B et R par l’intermédiaire du coefficient de réponse
dynamique cs*cd.
4.2.1. Coefficient de vent moyen :
Selon Holmes et Kasperski, la force créée dans la direction d’un vent moyen, par unité de hauteur,
vaut :
44
�(Â) = 90.5 ∗ Ïy ∗ §(Â)Q: ∗ ~� ∗ �(Â)
Avec ρa, densité de l’air
§Ñ, vitesse moyenne du vent à la hauteur z
bz, largeur de la structure à la hauteur z
cd, coefficient de trainée
Cette valeur est intégrée le long de la ligne d’influence de la structure pour avoir la force globale.
La partie entre crochet correspond à la pression moyenne du vent. On reconnaît à travers [49]
l’équation [39].
4.2.2. Chargement hors résonance dit background B :
C’est un chargement quasi statique produit par les turbulences autour de la structure. La
fréquence d’excitation est inférieure à la fréquence de résonance.
Les expressions de i(1) et de ©�(1) n�²� (§ 3.2) donnent un aperçu théorique de la construction
de l’expression pratique de B (Eurocode 1). Holmes donne une définition de B dans son étude de
1996, version b.
L’Eurocode 1-1-4 – annexe B.2 donne :
®² = 1ì1 + 0.9 ∗ í(� + ℎ) H(Â�)� î
�.��ï
Avec b, largeur de la structure
h, hauteur de la structure
L(zs), longueur turbulente à la hauteur référence zs (cf. [36] pour zs)
Dans la théorie, la corrélation entre la force et ses effets est exprimée par i(1)², fonction
d’admittance (paragraphe 3.1). Dans le paragraphe 3.2., Holmes définit un coefficient de
corrélation ρ, en exponentielle et fonction de z. B intègre donc un coefficient d’extrapolation,
entre la force variable à une altitude quelconque z de la structure et l’effet de la force.
Alors qu’aucun facteur particulier n’apparait explicitement, l’Eurocode 1 définit B² comme
prenant en compte l’extrapolation nécessaire à la corrélation de la réponse dynamique tout au
long de la structure.
Enfin, le tronçonnage de l’aiguille en 6 divisions analysées indépendamment les unes des autres
(cf. Figure 21), permet de déterminer B² de manière précise : B (largeur) et h (hauteur) sont plus
représentatifs et l’évolution des types de réponse tout au long de l’aiguille est riche
d’enseignement.
[49]
[50]
45
4.2.3. Chargement en résonance dit R :
La méthode statique équivalente de Holmes et Kasperski calcule le chargement provoqué par la
réponse R à la fréquence propre uniquement :
�¾(Â) = Á¾ ∗ 4(Â) ∗ (261�)Q ∗ Ý�p²���� ∗ Φ�(Â)
Avec gr, facteur de pic à la résonnance
m(z), masse linéaire
n1, fréquence fondamentale
Φ�(Â), forme du mode, normalisé à 1 pour le déplacement maximal
Ý�p²����, moyenne sur la somme des carrées du déplacement
Cette formulation s’apparente à la distribution de forces d’inertie sur toute la hauteur de la tour.
Cette simplification de la méthode statique équivalente théorique ne correspond pas à la théorie
développée précédemment.
Ainsi l’Eurocode 1 – Partie 4 - Annexe B utilise :
¯² = 6² 2é5 ∗ ©Î(Â�, 1�) ∗ ¯r(¸r) ∗ ¯�(¸�)
Avec
o Sl(z, n), densité spectrale (cf. [26])
o R, fonction d’extrapolation dans la largeur b ou la hauteur h de la structure (la
réponse en résonnance R considère les turbulences verticales) :
¯(� �� r) = 1 ¸(� �� r)5 − 1 2¸(� �� r)²5 ∗ (1 − �¢Qð(ñ òó r))
Il apparaît une exponentielle qui rappelle la fonction de cohérence du paragraphe 3.3. Et :
¸� �� r = 4.6 ∗ (� �� ℎ) �(Â�)� ∗ �Î(Â�, 1�) �p�²¦è� 927:, ¸� �� r = 4.6 ∗ (� �� r) �(Â�)� ∗ 1��(Â�) Äx(Â�)� = 4.6 ∗ (� �� r) ∗ 1� §(Â�)�
¸, paramètre de l’exponentiel des Eurocodes, correspond à la fonction de cohérence avec ∆z
max.
o δ, l’amortissement total :
é = é�������� + éyx���|�� ��� �áé�|y�z + éyé���Þvyx|ß�
[51]
[52]
[53]
[54]
[55]
[56]
46
é�������� = 0.05 donnée dans l’annexe F – EN 1991-1-4
é�4�¦�i����¦ est primordial : si les contraintes dues à la résonnance s’avèrent trop importantes, il
faut garder à l’esprit la possibilité d’utiliser des systèmes d’amortissement spéciaux pour
diminuer R et donc les effets de fatigue.
éyé���Þvyx|ß� = �é�|��yv� � Åy �������� y� à v� ∗ áé�|�� �p���|ÅÅy�|�v|v ��| � Åy ��������
éyé���Þvyx|ß� = ´~m ∗ ��¦Á��¦ � ∗ ³0.5 ∗ Äi����� Äx�Þ(Â) ∗ Ïy¶µ ∗ �vô 4(Â)�
La formule théorique de R était ([13]) :
¯ = i(1�)Q ∗ õö©«(1�) n�²� ÷ø ∗ � |¬(1)|Q∞
� �1
Les paramètres physiques et de corrélation impliqués, sont équivalents. L’annexe 5 décrit
précisément les étapes de calcul de R² et B².
4.2.4. Chargement total :
La méthode statique équivalente de Holmes et Kasperski permet d’appliquer l’approximation du
paragraphe 3.1. ([16]) Avec les équations [49] et [51] dans les paragraphes 4.2.1 à 4.2.3 :
���x�|vé(Â) = �(Â) + Ý�½(Â)² + �¾(Â)²
L’Eurocode 3 somme aussi la réponse de vent moyen et les effets dynamiques mais exploite pour
cela le facteur de réponse dynamique cs*cd.
[58]
[57]
[59]
47
y = -0.0125x + 1.7791
R² = 0.9967
0.7
0.8
0.9
1
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
30 35 40 45 50 55 60
Ré
sult
at
po
ur
[60
]
Aire de l'enveloppe (m²)
0°
Si Holmes considère que l’utilisation de la méthode statique équivalente n’est soumise à aucune
condition, l’Eurocode 1 demande de vérifier :
7 ∗ 4ùÏ� ∗ ~m,ù ∗ Ìù ∗ Ý�� ∗ ú� ∗ û56 −ℎùℎ üQ < 1
L’annexe 3 donne en détail toutes les hypothèses formulées et la
démarche pour vérifier [60]. L’équation correspond globalement à un
ratio entre l’inertie de la structure et ses dimensions géométriques.
Pour la division rouge ci-contre (par exemple), les 4 divisions qui la
surmontent, influencent sa réponse avec leur propre inertie. Pour le cas
particuliers de la vérification de [60], il est donc préférable de prendre
en compte pour chaque division, la division et celles qui lui sont
supérieures.
Ainsi, mT, masse totale de la structure sur la hauteur hT
h, hauteur totale depuis la base de la division considérée jusqu’au sommet de l’aiguille
hT ~ h/3, comptée à partir du sommet de l’aiguille et contribuant à cf,T.
ρs, masse volumique de l’acier
cf,T*AT ~ cf*(ΣA)/3, compté à partir du sommet de l’aiguille (cf voir §4.1)
τ0 = 0.001m (constante)
db, profondeur de la section dans la direction du vent. db pris au centre de gravité de h.
On remarque néanmoins que seules les propriétés inertielles du dernier tiers supérieur de la
structure sont considérées.
Lors de la première itération du calcul (Avril 2010), [60] n’était pas vérifiée au-delà de la base
grise. Une étude d’influence des paramètres de [60] a alors été menée (les valeurs des graphiques
sont celles pour la division rouge et la direction du vent 0° (cf. figures 22 et 23), seulement) :
o [60] diminue lorsque l’aire de l’enveloppe dans laquelle s’inscrit l’aiguille, augmente.
Figure 27
[60]
48
y = 0.0086x
R² = 1
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
80 100 120 140 160
Ré
sult
at
po
ur
[60
]
Masse de la division rouge (kN)
0.9
1
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
3 5 7
Ré
sult
at
po
ur
[60
]
Db (m)
0°
y = -0.061x + 1.9619
R² = 0.9928
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
9 11 13 15 17 19
Ré
sult
at
po
ur
[60
]
Aire structurelle As (m²)
0°
o [60] diminue avec la masse. Figure 28
o [60] diminue lorsque la profondeur de la section augmente. Figure 29
o [60] diminue lorsque la surface des membres structuraux augmente (influence indirecte à
travers le coefficient cf). Figure 30
49
G. Lewis, ingénieur en charge de toute la structure métallique au sommet de la tour Samba, a
dimensionné la partie haute de l’aiguille avec des membrures de 800*400*25mm (cf. §1.1). La
valeur de poids propre = 800kN (c.à.d. 380 kg/m) tout au long de hT, est trop élevée. Pour de
telles sections, le déplacement au sommet est limitée à 160mm (hauteur 72m/450), pour la
combinaison de vent statique simple la plus défavorable.
Des graphiques précédents, la diminution de masse est plus efficace et n’oblige pas à revoir la
géométrie de l’aiguille. Le tiers supérieur est désormais formé de membrures 400*400*10mm
plus petites, abaissant le poids à 122 kg/m. Cette section est la plus résistante, et donc la plus
lourde, qu’il est possible d’utiliser pour vérifier [60]. La partie basse de l’aiguille a, elle, été
renforcée (redistribution de la masse). Le déplacement au sommet, sous la combinaison de vent
statique simple la plus défavorable, est maintenant de 197 mm (hauteur 72m / 350). En pratique,
un ratio limite pour un cantilever est estimé à hauteur/180. De plus, le moment réel MEd,max sur
ces sections vaut 150 kN.m contre une capacité Mpl,Rd d’environ 400kN.m. Le pré
dimensionnement de l’aiguille sous vent statique simple est donc toujours valable.
Figure 31 : Nouvelle répartition de la masse sur l’aiguille SAMBA pour la vérification de [60].
Membrures vertes : 800*800*25mm – Membrures oranges : 800*400*30mm – Membrures
violettes : 400*400*10m
50
� L’Eurocode 3 – Partie 3 – Annexe B calcule la force de vent moyen par :
ýx,þ(Â) = �¹á(Â) 1 + 7 ∗ GÃ( )� � ∗ ∑(�m ∗ (Ì� m = ∑ Ì))
Outre le cas particuliers de l’équation [60], tous les paramètres sont maintenant calculés pour
chaque division, conformément à la figure 22.
Avec
qp(z), la pression extrême de vent, est déterminée à différentes hauteurs z de l’aiguille, pour ne
pas sur dimensionner en excès (cas où qp pris constant et maximum, à z = h)
cf, est pris égal sur chaque section de calcul de qp(z).
¹á(Â) 1 + 7 ∗ GÃ(Â)� correspond à la pression de vent moyen qm(z) = 0.5*vm(z)²*ρa. Le rapport de
l’équation [61] utilise une pression extrême qp par rapport à la turbulence Iv(zmax=h), la plus faible
(cf. [20]). La pression de vent moyen est ainsi légèrement majorée.
� L’Eurocode 3 – Partie 3 –Annxe B calcule la force de vent en rafale par :
ýù,þ(Â) = ýx,þ(Â) + ýx,þ(Â) ∗ ��1 + 0.2 ∗ �Âxr�²� ∗ 91 + 7 ∗ GÃ( ): ∗ ~� ∗ ~� − 1~�(Â) �
Avec
zm, la hauteur d’application du chargement, pris au centre de gravité (~1/2*hauteur partie
structurelle considérée)
C0(z) = 1.0 (coefficient topographique plaçant en sécurité)
Les annexes 4 et 5 présentent la démarche détaillée et les résultats pour l’aiguille SAMBA.
4.3. Réponse dynamique perpendiculairement à la direction du vent :
Des déplacements importants se produisent pour un amortissement faible et une fréquence de
vortex qui coïncide avec la fréquence naturelle de la tour. La dernière condition est réalisée
lorsque la vitesse de vent est égale à une vitesse critique vcritique. Pour vcritique en dehors de la
gamme des vitesses du vent réel, il n’y a pas de problèmes dans la réponse perpendiculaire à la
direction du vent : les effets de fatigue et le nombre de cycles d’excitation ne sont pas
déterminants.
[61]
[62]
51
Le critère d’appréciation de l’effet des vortex dans les Eurocodes est :
Ä��|�|ß� > 1.25 ∗ Äx (Äi����� Ä�1� 4���1 à  �ù ��� Ä�¦��� �Ái���1�) → Ä�¦��� ��1� �����
Avec
Ä��|� = � ∗ 1� ©�5
1�, fréquence fondamentale de la structure pour la flexion perpendiculaire à la direction du vent
�, largeur de la section, face au vent, à l’altitude où le déplacement est maximum (i.e. en tête de
l’aiguille)
St, nombre de Strouhal, variable avec la forme géométrique de la section de l’aiguille.
St est donné par le tableau E.1 de l’EN 1991-1-4 pour différents rapports largeur / profondeur de
section. Théoriquement :
©� = 1Ã��� z ∗ �§( , ���i���� ¦é�é¦�1~�)
Pour une géométrie de section donnée (b), St indique simplement que la fréquence du
phénomène de vortex (nvortex = n1 pour vcritique) est proportionnelle à la vitesse moyenne de vent
qui frappe la structure.
De plus si vcritique est très faible par rapport au vent réel, les excitations aérodynamiques des
vortex n’auront que peu d’effets. Cela bien que [63] ne soit pas vérifiée.
En théorie, le calcul de la réponse due aux vortex utilise l’hypothèse d’une excitation sinusoïdale
(Eurocode 1) ou l’hypothèse d’une excitation aléatoire. Vickery et Basu (1983) ont développé un
modèle mathématique pour la seconde : lorsque nvortex coïncide avec n1, la magnitude des forces
de vortex augmente. Ainsi sur toute la hauteur de la structure, la corrélation entre ces forces (i.e.
l’effet de chacune des forces en un point) est plus importante. Le modèle non linéaire de Vickery
et Basu, qui dépend de l’amplitude du déplacement, prend en compte cet effet. L’Eurocode 1 se
réserve néanmoins le droit d’appliquer la méthode déterministe sinusoïdale.
Les travaux de Scruton (1981) ont développé l’hypothèse d’une excitation variable, quasi-
sinusoïdale, due aux vortex. Le chargement est alors équivalent à amortissement aérodynamique
négatif. Les réponses dynamiques engendrées sont aussi sinusoïdales.
Si l’hypothèse n’est pas très précise sous un vent turbulent, elle est suffisante pour déterminer si
les vortex posent un problème ou non.
Avec l’équation [5] et pour une vibration selon la seule fréquence fondamentale n1 (aucun autre
harmonique n’est considéré) :
4�¤ + ~�¥ + 3� = (�) = xyz ∗ sin (��� + �)
[63]
[64]
[65]
[66]
52
Avec Qmax, amplitude constante de l’excitation
xyz = 12 ∗ Ïy|� ∗ �Å ∗ � ∗ � §Q(Â)ÑQÑ� . �(Â). �Â
§ , vitesse moyenne
cl, coefficient de résistance au vent latéral (analogie au coefficient de trainée cd)
b, largeur de la section au sommet de la structure considérée (déplacement maximum)
[z1, z2], tronçon de la structure où les effets de vortex sont calculés
Φ1(z), mode de vibration pris égal à 1 quand z = �ÂQ– Â�� = h (déplacement maximum)
Et �� = 26 ∗ 1� = 2�x , �� ²�����i�1
Pour un chargement harmonique en système amorti, l’amplitude maximale à la résonnance est :
�xyz = xyz2 ∗ 3 ∗ û¸ = ~2√43ü (~���� �4�¦�i���4�1�) = xyz2 ∗ (�� = 261�)Q ∗ 4 ∗ ¸
D’où la réponse en déplacement, en injectant [65] et [67] dans [69] :
�xyz(ℎ) = �xyz ∗ ( �(ℎ) = 1) = 12 . Ïy|�.�Å. �. §Q(Â)ÑQÑ� . �(Â). �Â8. 6². 1�². 4. ¸ = Ïy|�.�Å . ��. �(Â)ÑQÑ� . �Â16. 6². 4. ¸. ©�²
Ou encore,
�xyz(ℎ)� = Ïy|�.�Å . �². �(Â)ÑQÑ� . �Â16. 6². 4. ¸. ©�² = �Å . �(Â)ÑQÑ� . �Â4. 6. ©~. ©�². �(Â)²r� . �Â
Sc est le nombre de Scruton qui représente l’amortissement par l’inertie de la structure (masse
m).
Lorsque la théorie donne : ©~ = 4. 6. 4. ¸Ïy|�. �
Les Eurocodes définissent Sc comme le rapport entre la masse structurelle et la masse fluide
déplacée par la structure :
©~ = 2. é�. 4Ïy|� . � i. �. é�(�4�¦�i���4�1� ��¦�~��¦��) = 26. ¸
Et avec
3 = �(Â)ÑQÑ� . � �(Â)²r� . � → �xyz(ℎ)� = �Å . 34. 6. ©~. ©�²
[67]
[68]
[69]
[70]
[71]
[72]
[73]
[74]
53
Pour mieux prendre en compte les effets des vortex, Ruscheweyh (1990) applique l’excitation
sinusoïdale sur une longueur d’interpolation L, inférieure à la hauteur totale de la structure (cf.
[79])
L’Eurocode reprend la définition de Ruscheweyh. La figure E.3 de l’EN 1991-1-4 décrit L pour
différents types de structures. [78] permet de calculer L. Les vortex à une hauteur inférieure sont
négligés.
Finalement à l’Eurocode 1, �xyz� = �Åy�. ç. çÍ©~. ©�²
Avec
clat équivalent à cl [67]. La résistance aux forces latérales de vortex repose directement sur le
rapport de la vitesse critique à la vitesse moyenne, calculé au centre de gravité de la longueur
d’interpolation. Clat est maximum lorsque la vitesse critique est dans la gamme de vent réelle (V
critique < 0.83*V moyen). L’annexe 6 présente les résultats obtenus pour l’aiguille SAMBA.
Les deux paramètres qui suivent sont indépendants de la hauteur où le vortex agit. Ils dépendent
de la géométrie de la structure qui est excitée. Dans le cas de l’aiguille SAMBA, seul le cantilever
supérieur « dynamique » de 50m de haut est considéré. La largeur et profondeur de la section du
cantilever sont admises constantes et égales à celles de son centre de gravité.
o K est fonction du mode vibratoire fondamental, intégré sur toute la hauteur de la
structure :
ç = | �(Â)| ry�� �� ���yÅ . �Â46. | �(Â)|
ry�� �� ���yÅ ². �Â
Avec
�(Â) = } Ñr���yÅ ���Q.Ç á��� Å � ����� � xâ��
(Annexe F.3 – En 1991-1-4)
Le tableau EN 1991-1-4 - E.5 donne K = 0.13 pour un cantilever. Par intégration de la formule
sur h = 50.05m, on trouve K =0.136.
o Kw prend en compte la longueur d’interpolation de l’effet des vortex. Pour la vibration
selon la fréquence fondamentale :
[75]
[76]
[77]
54
çÍ = | �(Â)| Î |v� �á�Åy�|�v . � | �(Â)| �y�� �� ���yÅ . � = 3 ∗ H �Î5r/�r
∗ í1 − H �Î5r/�r
+ 13 ∗ ° H �Î5r/�r
±Qî
Kw fait intervenir le rapport de l’élancement de l’aiguille sur la longueur d’excitation L (bL au
centre de gravité de L), sur l’élancement de la partie haute de l’aiguille (bh au centre de gravité de
la tour).
L’Eurocode veut Kw < 0.6. L est choisi pour valider [78].
A partir du déplacement maximum, l’Eurocode 1 définit une force Fw(z) due aux vortex, par unité
de longueur :
ýÍ(Â) = 4 ∗ (�� = 26 ∗ 1�)² ∗ �(Â) ∗ (�(r) = �xyz)
La formule correspond à l’application de forces d’inertie sur la hauteur de la tour, dues aux
déplacement du cantilever sur L. Fw(z) doit être appliquée sur la longueur d’interpolation L,
perpendiculairement à la direction du vent, c’est-à-dire perpendiculairement aux directions des
forces Fm,w(z) [61] et FT,w(z) [62]. Fw(z) décroit vite avec la magnitude de sa déformée, soit avec
[77]. Cela justifie l’hypothèse initiale de Ruscheweyh.
L’annexe 6 présente la démarche détaillée et les résultats pour l’aiguille SAMBA.
4.4. Réponses simultanées dans la direction du vent et
perpendiculairement :
Les effets de vent aux états limites ultimes sont obtenus en combinant le chargement dans la
direction du vent et perpendiculairement. Mais considérer simultanément deux charges extrêmes
pourrait conduire à un sur dimensionnement. Holmes proposent une méthode de
superposition scalaire.
Les contraintes selon deux directions de chargement privilégiées, sont additionnées. Les
contraintes internes totales dans la structure sont alors approchées par : (directions de
chargement orthogonales x et y)
n����yÅ = n�z + n�Þ + 2(n�z − |n�z|)Q + ´n�Þ − �n�Þ�µQ
Avec n�, la contrainte dérivée du chargement extrême, selon x et y
n�, la contrainte dérivée du chargement moyen, selon x et y
L’équation [80] s’appuie sur la superposition de phénomènes gaussiens (approximation des
réponses en résonnance), quasi indépendants. C’est le cas lorsque les fréquences sont
[78]
[79]
[80]
55
sensiblement différentes selon x et y. En approchant encore, les 3 cas de chargement
suivants peuvent être étudiés :
n����yÅ = n�z + n�Þ + 0.75 ∗ ³(n�z − |n�z|) + (n�Þ − �n�Þ�)¶ ²��¦ 1 35 < (n�z − |n�z|) (n�Þ − �n�Þ�)� < 3
n����yÅ = n�z + n�Þ + (n�z − |n�z|) ²��¦ (n�z − |n�z|) > (n�Þ − �n�Þ�)
n����yÅ = n�z + n�Þ + (n�Þ − �n�Þ�) ²��¦ (n�z − |n�z|) < (n�Þ − �n�Þ�)
L’Eurocode 3-1-9 requiert cependant d’effectuer les vérifications de fatigue aux états limites de
service. Les chargements Ft,w(z) ne sont donc pas munis de facteur de sécurité. De plus, l’EN
1993-3-1 et l’EN 1991-1-4 propose deux méthodes indépendantes pour vérifier la fatigue,
respectivement dans la direction du vent et perpendiculairement.
o La première étape est de déterminer les amplitudes de contrainte dans différentes membrures
de la structure. L’analyse numérique sous Robot® détermine les contraintes totales selon le
critère de Von Mises :
nzz²+ nÞÞ²+ nÑѲ − nzz ∗ nÞÞ − nzz ∗ nÑÑ − nÞÞ ∗ nÑÑ + 3 ∗ ´nzÞQ + nzÑQ + nÞÑQ µ < �Þ²
o EN 1993-3-1 : fatigue dans la direction du vent – méthode simplifiée
∆n = 1.1 ∗ �nà v� �ymyÅ − nà v� x�Þ v� Les cas de chargement utilisés sont les suivants, pour déterminer les contraintes σ totales :
� Poids propre + vent Ft,w(z) direction 0°
� Poids propre + vent Ft,w(z) direction 30°
� Poids propre + vent Ft,w(z) direction -30°
� Poids propre + vent Ft,w(z) direction -60°
� Poids propre + vent Fm,w(z) direction 0°
� Poids propre + vent Fm,w(z) direction 30°
� Poids propre + vent Fm,w(z) direction -30°
� Poids propre + vent Fm,w(z) direction -60°
[84]
[81]
[82]
[83]
[85]
56
Figure 32 : Cas de chargement Ft,w(z) direction 30° pour le calcul des amplitudes de contrainte
Le collecteur de lumière est une structure métallique horizontale suspendue aux quatre jambes
de la base de l’aiguille. Son influence n’est pas considérée lors de l’étude de l’aiguille car sa
réponse dynamique est différente de celle de l’aiguille. Le collecteur est potentiellement soumis à
des effets de divergence et de battement (torsion de la plaque). Mais il est maintenu dans sa
partie centrale et le rapport [longueur entre appui/épaisseur] est inférieur à 4 (cf. 2.4.2 et EN
1991-1-4 annexe E.4.2). Les effets dynamiques du collecteur sont donc inexistants.
Lors de l’optimisation des membrures (cf. 4.5.8), une charge statique horizontale sera appliquée
sur les quatre jambes de la base de l’aiguille pour y prendre en compte le report du vent qui
frappe le collecteur.
o EN 1991-1-4 : fatigue perpendiculairement à la direction du vent
∆n = �2 ∗ nà v� �ymyÅ (4��)� Les cas de chargement utilisés sont les suivants :
� Poids propre + vent Fw(z) direction 0°/30°
� Poids propre + vent Fw(z) direction -30°/-60°
[86]
57
Figure 33 : Cas de chargement Fw(z) direction 0°/30° pour le calcul des amplitudes de contrainte
o La seconde étape est de déterminer le nombre de cycles par chargement
o EN 1993-3-1 : fatigue dans la direction du vent – méthode simplifiée
j = h�¦é� �� Äi� �� �� ��¦�~��¦� (�1 �11é�)50 ∗ 10Ç
N=105 cycles sur 50 ans.
o EN 1991-1-4 : fatigue perpendiculairement à la direction du vent
L’annexe 9 revient en détail sur la détermination de N, agrémenté d’un exemple d’application.
Donc N ~ 2*108 cycles sur 50 ans. Les turbulences désordonnées des vortex sont préjudiciables
aux vues des cycles de chargement / déchargement créés.
4.5. Ordre de grandeur des résultats pour l’aiguille SAMBA :
Les résultats complets, pour chaque direction de vent (0°, 30°, -30° et -60°), sont disponibles
dans les annexes 2 à 9. Les sections suivantes donnent un aperçu des ordres de grandeur
obtenus (moyennes), au début du mois de Juin 2010. Les résultats posant un problème sont
marqués en rouge.
[87]
58
4.5.1. Porosité / données structurelles :
4.5.2. Vérification de l’équation [60] (annexe 3) :
o [60] inférieure à 1 pour que la méthode statique équivalente soit applicable.
0.95
0.80
0.70
0.60
0.50
0.90
0%
10%
40%
50%
20%
75%
Membrures 400*400*10mm
Membrures 800*400*30mm
Membrures 800*800*25mm
59
4.5.3. Force moyenne du vent Fm,w(z) (annexe 4) :
La porosité diminue (cf. § 4.5.1) plus on progresse vers le sommet de l’aiguille. La réduction de
l’enveloppe, dans les divisions supérieures, ne suffit pas à faire diminuer la charge.
4.5.4. Force du vent en rafale Ft,w(z) (annexe 5) :
o Réponse B² (à gauche) et R² (à droite)
13 kN
13 kN
13 kN
15 kN
23 kN
55 kN 55 kN
77 kN
0.89
0.88
0.88
0.88
0.87
0.79
0.25
0.30
0.42
0.28
0.30
0.02
60
o Facteur dynamique cs*cd (amplification sensible si cs*cd > 1.00)
La base ne répond pas dynamiquement.
o Force du vent en rafale Ft,w(z)
33 kN
33 kN
34 kN
36 kN
57 kN
118 kN 118 kN
192 kN
Augmentation rapport à Fm,w(z) (Due à l’amplification dynamique)
× 2.5
× 2.5
× 2.6
× 2.4
× 2.4
× 2.1
1.02
1.04
1.08
1.04
1.02
0.90
61
Le vent statique simple, utilisé pour la vérification ELU et ELS des membrures à l’Eurocode 3-1
(capacité des sections, flambement, déplacement), est de 470 kN. L’hypothèse initiale de
chargement place donc sécurité par rapport à la somme des vents avec coefficient dynamique
(310 kN).
Aux ELS, pour des membrures 400*400*10mm au sommet de l’aiguille, la combinaison la plus
défavorable avec le modèle vent statique simple 470 kN donne 197mm. La combinaison la plus
défavorable avec le modèle vent équivalent (dynamique) 310 kN donne une valeur proche de
205mm. Ces deux combinaisons diffèrent en valeur mais aussi en direction : les 470 kN sont
appliqués statiquement dans la direction du vent dominant (déterminée sur le site réel), différente
de la direction « faible » de l’aiguille. D’où 205mm > 197mm bien que 470 kN soit supérieur à
310 kN.
L’étude dynamique valide l’étude statique précédente. Il ne reste qu’à vérifier la fatigue.
4.5.5. Force perpendiculaire à la direction du vent Fw(z) – vortex (annexe 6) :
Les forces de vortex sont prépondérantes dans la vérification de la structure à la fatigue, car le
nombre de cycles est très important.
4.5.6. Vérification du rapport Vcritique galop/Vmoyen – galop (annexe 7) :
Il n’y a pas de risque de galop des membrures si le rapport est supérieur à 1.25 (cf. §4.2.4).
4.0 kN/m
2.0 kN/m
L
62
Le galop est fonction de données géométriques comme la largeur de section sous le vent en
rafale ou encore la fréquence propre de l’aiguille. Un avis spécialiste du bureau de simulation en
soufflerie BMT est nécessaire. Il s’agit de revalider les hypothèses déjà admises (cf. démarche de
vérification présentée en annexe 7).
4.5.7. Fatigue dans la direction du vent (annexe 8) :
o Amplitude des contraintes directes γFf * ∆σE,2 [MPa] (théorie de Von Misès) (cf. §2.5)
0.18
0.18
0.30
0.22
0.20
0.050.050.050.05
26
26
14
21
23
35
Valeur limite ∆σc
= 114 MPa
63
La fatigue due au vent de face n’est pas dimensionnante, compte tenu du faible nombre de cycles
de chargement donné par l’EN 1993-3-1 (100 000 cycles).
4.5.8. Fatigue perpendiculairement à la direction du vent (annexe 9) :
o Amplitude des contraintes directes γFf * ∆σE,2 [MPa] (théorie de Von Misès) (cf. §2.5)
Les dimensions des membrures inférieures sont trop faibles sous un chargement cyclique poids
propre et vortex. Le nombre très important de cycles calculés par l’EN 1991-1-4 (2*108 cycles)
pénalise la vérification. Néanmoins, on garde à l’esprit que les valeurs de vent en rafales FT,w(z)
sont obtenus pour un vitesse de vent V de période de retour 50 ans, conformément à l’EN 1991-
1-4. Les amplitudes cycliques de contraintes sont donc, à l’heure actuelle, calculées sur un
chargement qui apparaît potentiellement 1 fois tous les 50 ans. Cette hypothèse est trop
sécuritaire.
Le rendu final de l’étude au client est programmé à fin Juillet 2010. La dernière itération de la
vérification dynamique de l’aiguille consistera à séparer le calcul d’optimisation des sections
d’acier, du calcul de fatigue
Le premier calcul est toujours conduit avec Fm,w, FT,w et Fw maximum, pour V(50 ans). De plus, on
appliquera une force statique sur les quatre membrures de la base de l’aiguille, pour modéliser le
report de la force de vent du collecteur vitré (cf. 4.4). Cette force, déterminée en soufflerie fin Juin
2010, est fonction de la rugosité du vitrage utilisé. Elle ne prend pas part aux cycles de
chargement / déchargement pour la fatigue.
Le second calcul est conduit avec Fm,w, FT,w et Fw pour V(1 an), voire moins. L’Eurocode ne stipule
aucune valeur de vent pour la vérification à la fatigue : cette hypothèse associe donc un nombre
de cycles à une valeur d’amplitude de contraintes, plus cohérents avec la réalité.
La fatigue peut alors ne plus être dimensionnante. Ainsi les sections 400*400*10mm, qui étaient
conservées imposantes en vue de la vérification de la fatigue mais qui vérifient tout juste [60],
pourront être optimisées.
Valeur limite ∆σc
= 114 MPa
80
80
23
28
25
111133334444
64
65
ConclusionConclusionConclusionConclusion
La vérification sous un vent dynamique de l’aiguille de la tour SAMBA aborde un grand nombre de
connaissances nouvelles. Les Eurocodes fondent le dimensionnement sur les modèles
aérodynamiques développés depuis les années 1960. La plupart de ces théories ont été
développées en laboratoire. Le retour d’expérience sur les constructions industrielles du 19ième
siècle ou sur plusieurs bâtiments d’après guerre, a porté l’attention sur des notions primordiales.
Les rafales de vent créent des vortex en arrière de l’obstacle. Ces vortex excitent
perpendiculairement la structure. De plus, le galop est une vibration des membrures dépendant
de la géométrie de l’aiguille uniquement. Il se produit pour une vitesse critique de vent et conduit
irrémédiablement à la ruine. Mais l’intensité de ces turbulences n’est pas plus pénalisante que
celle d’un vent en rafale : la résonance de la structure sous un vent de face s’ajoute à ses
oscillations régulières. Pourtant, au regard du nombre de cycles de chargement / déchargement
pour les vibrations perpendiculaires à la direction du vent, l’enjeu de la conception se situe
parfois à un autre niveau. Ainsi, la fatigue des structures devient un facteur de dimensionnement
à part entière. Enfin pour un treillis 3D, les flux d’air sont cassés par l’irrégularité de la surface
sous le vent et la résonnance est plus difficile à obtenir. Les données scientifiques les plus
récentes traduisent en détail le comportement d’un ouvrage pour l’ensemble de ces sollicitations.
Les facteurs de sécurité pour les effets dynamiques des anciens codes NV 65 ou BS 6399, ont été
éprouvés par l’expérience. Les Eurocodes donnent néanmoins plus de libertés à l’ingénieur et
plus de pistes de réflexion. En contrepartie, la démarche de vérification dynamique n’apparaît pas
clairement à la première lecture des normes, sous le foisonnement de concepts mathématiques et
calculatoires. Mais si la formulation des paramètres est complexe, la réponse au vent d’une
structure est avant tout un phénomène physique. Il est ainsi souvent préférable de se représenter
intuitivement le comportement des flux d’air autour de l’ouvrage. Lors des premières itérations,
la difficulté majeure fut de prendre du recul par rapport au dimensionnement « applicatoire », sur
des concepts complètement neufs. L’optimisation des membrures de l’aiguille sous vent
dynamique de période de retour 50 ans, complètera l’étude pour fin Juillet 2010 (cf. 4.5.8, p.63).
Le projet de fin d’études mené au sein de la division structures de Buro Happold à Londres a
permis d’approfondir, et à minima de réorganiser, les connaissances acquises à l’INSA. La
collaboration étroite avec les antennes internationales du groupe facilite le retour d’expérience,
sur des projets d’envergure. Le personnel multiculturel de l’entreprise et le management gèrent
très bien l’intégration des nouveaux membres. La contribution du projet de fin d’études n’est pas
uniquement scolaire et Buro Happold a su saisir l’opportunité d’approfondir un champ technique
particulier. Les discussions informelles et les concertations en réunion ont ainsi accru le
sentiment d’appartenance au projet de la tour SAMBA. Pour un futur ingénieur INSA, l’opportunité
du projet de fin d’études est de démontrer sa capacité à développer une compétence
professionnelle, dans un domaine de connaissances inconnu au départ. Avec temps et
application, la possibilité lui est donnée d’approfondir chaque étape de la conception. Avec
l’expérience viendront peut être les responsabilités et le temps pourra manquer. Mais la curiosité
et l’ambition des professionnels que j’ai rencontré au cours de mes études, de mes expériences
professionnelles et tout particulièrement chez Buro Happold, permet de relever des défis bien
plus grands.
66
BibliographieBibliographieBibliographieBibliographie
Ouvrages et revues scientifiques
[1] Collectif, « Victorian Arts Centre Spire – Melbourne », Revue de l’International Association for
Bridge and Structural Engineering (IABSE), vol. 10 - 1976, p.286 et suite
[2] Collectif, « Wind tunnel model tests on wind sensitive structures », Revue de l’International
Association for Bridge and Structural Engineering (IABSE), vol. 12 - 1984, p.720 et suite
[3] Collectif, « The Miglin – Beitler tower - Chicago », Revue de l’International Association for
Bridge and Structural Engineering (IABSE), vol. 14 - 1992, p.272 et suite
[4] Collectif, « Wind induced stresses in the spire of Brussels », Revue de l’International
Association for Bridge and Structural Engineering (IABSE), vol. 70 - 1993, p.452 et suite
[5] C. Chazallon, « Cours de rhéologie - Lois de comportement – Chapitre 5 : fatigue,
endommagement, rupture », Cours dispensé à l’INSA de Strasbourg, année scolaire 2008-2009
[6] Collectif, « Règles NV 65 », CSTB, Avril 2000, 220p.
[7] G. Kerilis et Al., « SAMBA Bank New HQ – Schematic Design report », Buro Happold, Décembre
2009, 120p.
[8] T.K. « 081126TK Aeroelastic Instabilities» (first assumptions), Buro Happold, Novembre 2008,
4p.
[9] P. Lestuzzi « Analyse et dimensionnement sismiques», Ellipses col. Technosup, 2009, 207p.
[10] E. Heckmann, « PS 92 – Règles de construction parasismique NF p 06-013, Eurocode 8 –
Calcul des structures pour leur résistance au séisme», Cours dispensé à l’INSA de Strasbourg,
année scolaire 2008-2009
[11] P. Favez, « Spectre de plancher et comportement non-linéaire », EPFL, 2007, 22p.
[12] John D. Holmes, « Wind loading of structures », Spon Press, 2003, 356p.
Codes réglementaires
[13] Collectif, « Eurocode 3 – Design of steel structures – Part 3-1: Towers, masts and chimneys –
Incorporating corrigendum July 2009; BS EN 1993-3-1:2006 », British Standard Institute, 2006,
82p.
[14] Collectif, « Eurocode 1 – Actions on structures – Part 1-4: General actions –Wind actions -
Incorporating corrigendum July 2009; BS EN 1991-1-4:2005 », British Standard Institute, 2005,
152p.
67
[15] Collectif, « UK National annex to Eurocode 1 – Actions on structures – Part 1-4: General
actions –Wind actions - Incorporating corrigendum July 2009; NA to BS EN 1991-1-4:2006 »,
British Standard Institute, 2005, 40p.
[16] Collectif, « Eurocode 3 – Design of steel structures – Part 1-9: Fatigue – Incorporating
corrigenda December 2005, September 2006 and April 2009; BS EN 1991-1-9:2005 », British
Standard Institute, 2005, 40p.
[17] Collectif, « UK National annex to Eurocode 3 – Design of steel structures – Part 1-9: Fatigue;
NA to BS EN 1991-1-4:2005 », British Standard Institute, 2005, 12p.
[18] Collectif, « Recommendations for the design of structures to BS EN 1993-1-9; PD 6695-1-
9:2008 », British Standard Institute, 2005, 26p.
Annexe 1
[19] Collectif, « Fascicule 62 – Titre 1- Section 1 ; Règles techniques de conception et de calcul
des ouvrages et constructions en béton armé suivant la méthode des états limites ; BAEL 91
révisé 99 », Travaux relevant du ministère de l’équipement, des transports, et du logement, Avril
1999, 226p.
[20] Collectif, « Eurocode 2: Design of concrete structures; Part 1-1 General rules and rules for
buildings; BS EN 1992-1-1:2004 », British Standard Institute (BSI), Corrigendum 2008, 226p.
[21] Collectif, « Structural use of concrete; Part 1: Code of practice for design and construction; BS
8110-1:1997 », British Standard Institute (BSI), 2007, 160p.
[22] Collectif, « Code of practice for design of concrete structures for retaining aqueous liquid; BS
8007:1987 », British Standard Institute (BSI), November 1998, 32p.