Carlos Perales GonzálezMétodos Numéricos y Simulación2º de Grado de Física UCOCurso 2012-2013

PROPAGACIÓN DE UNA ENFERMEDADEN POBLACIONES DINÁMICAS

(14 Y 44)

ÍNDICE

1.- Análisis del problema

1.1.- Modelos de propagacion de enfermedades1.2.- Modelos depoblaciones

2.- Metodología

2.1.- Metodología del problema del crecimiento poblacional, aplicado a la población mundial2.2.- Metodología del problema de la propagación de enfermedades

3.- Códigos de Matlab

3.1.- Modelos de poblaciones3.2.- Modelos de propagación de enfermedades

4.- Resultados numéricos y análisis

4.1.- Crecimiento poblacional4.2.- Propagación de enfermedades

5.- Bibliografía

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1.- Análisis del problema

En la teoría de propagación de enfermedades, muchos modelos de los que se utilizan sonsimplificaciones de comunidades de individuos más o menos grandes, cuyo único aspectoimportante es la evolución de la enfermedad a estudiar, sin tener en cuenta otros factores como elcrecimiento. En el trabajo se ha incluido un apartado extra en el que se trata distintos modelos decrecimiento de una población, con el fin de elegir uno de ellos para nuestro problema, en función decaracterísticas que discutiremos en dicho apartado.

1.1.- Modelos de propagación de enfermedades

La idea principal de este trabajo es estudiar distintos modelos de propagación de unaenfermedad en comunidades estáticas y dinámicas. Usaremos dos en particular. El primero de ellosse representará por dos variables: los individuos infectados de una población, que denominaremos"y(t)", y los que no lo están y por tanto son susceptibles de enfermar, "x(t)". Sabemos entonces que,si todos los individuos tienen la misma probabilidad de infectarse, y existe un límite de usuariosinfectados. Este límite es es la población total, a la que designaremos como "m", no siendo unavariable que dependa del tiempo en este primer modelo. Podemos usar un modelo de tipo logístico,que explicaremos en el apartado 1.2 con más detalle.

dydt

=k1 y (m−y )

Donde k1 es una constante de infección. Se denota con subíndice, a pesar de ser la únicaconstante del 1er modelo, puesto que se corresponde con la constante de infección de nuestro 2o

modelo. En nuestro problema, dicha constante la tenemos como valor, pero en otro caso podría serposible hallarla mediante ajuste lineal de datos estadísticos.

La cantidad de individuos susceptibles a enfermar en cada momento se daría como

x (t )=m−y (t )

El sistema tiende a que todos los individuos se infecten y los individuos sanos desaparezcancuando el tiempo crece indefinidamente. Dicha ecuación diferencial de primer orden tiene unasolución analítica. Desarrollando la ecuación diferencial,

dydt

=k1my−k1 y2

Se trata de una ecuación diferencial de Bernouilli. Para resolverla, realizamos el cambio

u(t )= 1y; dydt

=−1

u2

dudt

Sustituyendo, nos queda la siguiente ecuación diferencial lineal completa:

dudt

=−k 1mu+k 1

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Cuya solución es del tipo:

y (t )= 1

Ce−k1mt+1m

Siendo C una constante que se ajusta conociendo un valor de y(t); en nuestro problema devalores iniciales, de y(0).

En el segundo modelo, añadimos una variable más: z(t). Esta da cuenta de los individuosque, a efectos de la enfermedad, se eliminan de la población total m (m(t) cuando la poblacióndependa del tiempo). Esto quiere decir que hay individuos que ya no se tienen en cuenta para eldesarrollo de la enfermedad porque se inmunizan, porque son aislados, porque mueren a causa deesta, etc. En definitiva, que han pertenecido a la población total como parte del grupo y(t) y queahora pueden encontrarse vivos o muertos, pero no pueden infectar ni ser infectados.

En este modelo, suponemos que es la población de individuos saludables x(t) la que decrecea cero exponencialmente, de la forma

x (t )=x (0)e(k1/ k2) z (t )

Siendo x(0) los individuos sanos en t=0, k1 la constante de infección que aparecía en elmodelo anterior y k2 la constante de recuperación, relacionada con la velocidad de crecimiento delgrupo de población z(t) y que por tanto aparece en la ecuación diferencial de esta. Aunquellamemos a esta constante de "recuperación", esto no significa que los individuos z(t) están sanados;simplemente, como hemos comentado anteriormente, no se computan como infectados, pero puedenestar aislados en cuarentena o muertos.

La variación de z(t) depende de los individuos del grupo y(t) que halla. La ecuacióndiferencial mediante la cual se determina z(t) parte de considerar que la suma de todos losindividuos grupos x(t), y(t), z(t) resultan el conjunto total m.

m=x (t )+ y (t )+z (t )Además, el crecimiento de la población z(t) depende de la cantidad de infectados y(t) que

haya, mediante la constante de recuperación anterior. De esta forma, la ecuación diferencial queda:

dzdt

=k 2 y=k 2(m−z−x)=k 2(m−z−x (0)e−(k1 /k 2) z)

Esta es la ecuación que rige nuestro 2º modelo. A diferencia del primero, este no se puederesolver analíticamente. Por lo que no podemos comprobar los resultados numéricos con los valoresreales; pero si la aproximación numérica en el otro modelo resulta bastante acertada con el númerode intervalos tomado, podríamos suponer que en este los resultados numéricos obtenidos tambiénson fiables

Una vez que y(t) alcance aproximadamente el valor m, el crecimiento de la población z(t)será a ritmo constante. Este modelo sirve para periodos de tiempo cortos, pues vemos que elgrupo de población z(t) puede crecer indefinidamente, al no existir una limitación a su crecimiento.

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Una corrección de este modelo sería convertir la ecuación diferenicial de z(t) en una funciónlogística, imponiendo como límite m(t). La ecuación quedaría:

dzdt

=k 2 y (m−y )=k 2 (m−z−x (0)e−(k 1/ k2) z)(z+x (0)e−(k 1/ k2 )z)

El modelo, obviamente, se complicaría, y esta modificación tampoco admitiría soluciónanalítica. Como el problema tratará de periodos de tiempo de un mes, en el cual z(t) no alcanza untamaño considerable con respecto a m(t), no realizaremos esta corrección sobre el modelo.

Cuando el tamaño de la población varía (m(t) es una función dependiente del tiempo), como loselementos de la población que crecen son los susceptibles a enfermar y no los infectados ni losrecuperados, hay que realizar la siguiente modificación:

x (t )=(m−y (0))e(k1/ k2)z (t )

dzdt

=k 2(m−z−(m−y (0))e−(k 1/ k2) z)

y=m−z−(m− y (0))e−(k1 / k2) z

Estas serán las ecuaciones con las que elaboraremos el tercer modelo para nuestro problema.

1.2.- Modelos de poblaciones

A continuación, vamos a estudiar tres tipos de modelos: uno con crecimiento fijo, otro concrecimiento variable siguiendo el coeficiente de crecimiento una ecuación de una recta, y unmodelo logístico.

En el primero, se trata de un crecimiento exponencial, en el cual la varición de la población esproporcional a esta, mediante una constante de proporcionalidad σ. Expresada en tanto por ciento,la ecuación diferencial de la población queda:

dPdt

= σ100

P

Sirve para intervalos muy pequeños; para el crecimiento mundial, del orden de 1 decena deaños o menos. Examinando datos tabulados obtenidos [1], es fácil observar que la tasa decrecimiento de la población mundial varía considerablemente cuando elegimos más de 5-10 añosseguidos. Parece lógico pensar que este modelo no nos servirá para nuestro problema, pero a pesarde ello lo ejecutaremos y graficaremos, con el objetivo de comprobar si esto es cierto o no.

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Año Población Tasa de crecimiento interanual(%)

1990 5,287,166,778 1.569

1991 5,370,142,696 1.581

1992 5,455,057,523 1.513

1993 5,537,583,721 1.462

1994 5,618,516,091 1.442

1995 5,699,516,291 1.411

1996 5,779,912,412 1.361

1997 5,858,582,659 1.322

1998 5,936,039,484 1.299

1999 6,013,121,531 1.275

2000 6,089,810,661 1.261

2001 6,166,582,980 1.245

2002 6,243,351,444 1.225

2003 6,319,822,330 1.217

2004 6,396,726,866 1.201

2005 6,473,525,274 1.201

2006 6,551,256,997 1.197

2007 6,629,668,134 1.185

2008 6,708,196,774 1.166

2009 6,786,381,274 1.140

En el 2º modelo, se predice que el crecimiento decrecerá linealmente, desde un σ1 hasta unσ2, entre un tiempo t1 y t2. En este caso, la dependencia de σ(t) con el tiempo es directamenteproporcional. Su ecuación será:

σ(t )=σ1+(σ2−σ1)

(t2−t1)(t−t1)

Aunque se puede extender su uso más allá del área de trabajo del 1er modelo, la dificultadasociada a este es que hemos propuesto que la tasa de crecimiento varie linealmente sabiendo la tasade crecimiento entre dos tiempos dados. No es, por tanto, un modelo para usar en periodos muyamplios de tiempo. De hecho, el tiempo idóneo para trabajar con este modelo es en el periodo t2 - t1.Esto es porque hemos propuesto que el crecimiento sigue esa recta, predicha hasta ese año. Siextendiésemos este modelo a periodos de tiempo mayores, podría ocurrir dos cosas, dependiendo desu pendiente. Si la pendiente es negativa, veremos que, en algún momento, la población alcanzaríasu máximo, como demostraremos en los apartados siguientes, para después decrecer cada vez más

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rápidamente hasta extinguirse, cosa que sabemos que no ocurre con las poblaciones reales. Si lapendiente es positiva, la población crecería más rápidamente cada vez, sin límite ninguno. Además,deberíamos conocer dos puntos de esa recta, por lo que debemos usar datos estadísticos o realizarun estudio más profundo sobre la población y sus características.

Por último, recurrimos al modelo de población más conocido: el logístico. Surge como unrefinamiento del de crecimiento exponencial. En este, la variación de una población con respectodel tiempo es igual a la población que haya, por una constante positiva si crece hacia el infinito, onegativa si decrece hasta 0. Esto quiere decir que, cuanto más población haya, más rápido crecerá odecrecerá, pues más individuos participarán en el proceso de crecimiento o decrecimiento.

El problema del crecimiento exponencial positivo es que no hay ningun impedimentomatemático para que se siga desarrollando la población; no existe un "tope". Lo que se quiereseñalar es que, para periodos de tiempo muy grandes, según el modelo la población creceráininterrumpidamente, tendiendo al infinito cuando el tiempo también lo haga. Esto no tiene ningúnsentido real, pues una población no puede crecer indefinidamente al verse limitada por el alimentodel que dispone, el espacio y los depredadores que la acechan, entre otros parámetros.

No ocurre así si la constante del crecimiento exponencial es negativa; en ese caso, lapoblación cuando el tiempo tiende hacia infinito es 0. Aquí, población no decrece indefinidamentehacia valores negativos, sino que existe un límite con sentido físico: la extinción de esa población.El modelo de tipo exponencial negativo lo hemos utilizado en el caso del x(t) (las personassusceptibles de infectarse) en nuestro segundo modelo de infección, puesto que estamosconsiderando que no se toman medidas contra la enfermedad antes de que un individuo se infecte y,por tanto, cada individuo finalmente se infectará. Como hemos dicho, cuando se infecta, puedepasar a formar parte del colectivo z(t), dentro del cual se engloban las personas que son aisladas,tratadas, que están inmunizadas o que han muerto a causa de la enfermedad.

Sin embargo, existe una forma de modelizar el hecho de que la velocidad de crecimiento deuna población dependa de la cantidad de individuos por la que esté compuesta y, al mismo tiempo,que exista un límite máximo al cual pueda tender esa población al existir una cantidad finita derecursos: a esto se le llama el modelo logístico. La ecuación que uitiliza en la que se basa este fuepublicada por Pierr François Verhulst en 1838, y tiene gran aplicación no solo en la propagación deenfermedades, sino también en las poblaciones biológicas y difusión de noticias a través de lasredes sociales.

La ecuación que nosotros utilizaremos será del tipo:

dPdt

= σ100

P (Pmax−P )=σ' P (Pmax−P)

Donde el límite para la población será Pmáx.

2.- Metodología

Una vez espuesto los distintos modelos, explicaremos un poco los valores con los quesimularemos los distintos modelos y la justificación de estos. Pero para tratar el problema de ladifusión de la enfermedad, antes probaremos los distintos modelos poblacionales, con el fin de

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justificar la elección del modelo logístico.

2.1.- Metodología del problema del crecimiento poblacional, aplicado a la poblaciónmundial

Se prueban los distintos modelos de poblaciones. Los datos que tenemos son parapoblaciones mundiales, así que los parámetros con los que operaremos son:

a = 2000, tiempo inicial en añosb = 2050, tiempo final en añosn = 500, número de intervalos a tomar, siendo el tamaño del paso entre cada punto calculado

h = 0.1P0 = 6000, habitantes en millones de habitantesσ = 1.25, tasa de crecimiento para el 1er modeloσ1 = 1.25, tasa de crecimiento inicial para el 2º modeloσ2 = 0.45, tasa de crecimiento final para el 2º modeloσ' = 5·10-6, tasa de crecimiento para el 3er modeloPmax = 10000, población máxima en millones de habitantes

Para los 3 modelos, utilizaremos el método de Runge-Kutta de orden 4, por ser bastantepreciso y tratarse de una sola ecuación diferencial cada vez. Destaca el hecho de que para laresolución de problemas logísticos se necesita ese valor tan pequeño de σ' para que el sistemaconverja, pues se ha observado que para valores mayores como 0,0004 o 0,004 el método deRunge-Kutta presentaba problemas de estabilidad. También lo hace si, para cualquiera de losmodelos usados, el tamaño del paso entre un nodo y otro es menor de 0,1. Por esto, el número deintervalos que hay que tomar es:

n≥b−ah

También estudiaremos para qué fecha, con los valores que hemos impuesto, la poblaciónsegún el 2º modelo es máxima y empieza a decrecer. Para el momento en el que esto ocurre, ese esel valor máximo de tiempo máximo hasta al cual podríamos extrapolar nuestro modelo. Una vezque ejecutemos todos estos datos, veremos que el mejor modelo para representar la variación de lapoblación total de nuestro problema de propagación de enfermedades es el logístico, puesto que,además de ser bastante usado en el ámbito de la biología, es eficaz a largo plazo y no es preciso unestudio profundo sobre la población a tratar.

2.2.- Metodología del problema de la propagación de enfermedades

Primero, probaremos los dos modelos de propagación para una población estática m, ycompararemos en el primero de ellos la solución aproximada con la exacta, pues hemos demostradoen el apartado anterior que su ecuación diferencial corresponde a un a ecuación de Bernouilli cuyoresultado podemos obtener analíticamente. Los parámetros, para los dos modelos, son:

a = 0, tiempo inicial en díasb = 30, tiempo final en díasn = 300, número de intervalos a tomar, siendo el tamaño del paso h = 0.1

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k1 = 2·10-6, constante de infecciónk2 = 10-4, constante de desaparicióny0 = 103, individuos infectados inicialesx0 = 9,9·104, individuos susceptibles de enfermar inicialesm = 105, individuos totales de la población estática, que son los mismos que los de la

población total inicial del 3er modelommax = 1.5·105 , población máxima para el 3er modeloσ' = 4·10-7, tasa de crecimiento para el 3er modelo

Para el primer caso, la solución exacta del modelo es

y (t )=1

9,9 ·10−4e−0,2 t+10−5

Para una población total variable, usaremos la siguiente ecuación diferencial:

dmdt

=4 ·10−6m(1.5 ·105−m)

Junto con la ecuación diferencial del 3er modelo:

dzdt

=10−4(m−z−(m−103

)e−0,2 z)

La tasa de crecimiento en la ecuación diferencial de m(t) es un orden de magnitud menorque en el usado para el crecimiento de poblaciones con el fin de que se aprecie el efecto delcrecimiento en el posterior análisis de los datos.

3.- Códigos de Matlab

3.1.- Modelos de poblaciones

El código a usar es

% POBLACIONES DINÁMICAS% ------------------------------------------------------------------------% 1) Si la población sigue una ecuación de crecimiento variable como en una% rectaf=inline('(1.25+(0.45-1.25)./(2050-2000).*(t-2000)).*P./100','t','P');% 2) Si la población tiene un crecimiento fijo de 1.25%g=inline('1.25.*P./100','t','P');% 3) Si la población sigue un modelo logísticoh=inline('P.*(10000-P)*5.e-06','t','P'); % Parámetros de Runge-Kuttaa=2000;b=2050;P0=6000; % En millones de habitantesn=500;[t1,P1]=rungekutta(f,a,b,P0,n);[t2,P2]=rungekutta(g,a,b,P0,n);[t3,P3]=rungekutta(h,a,b,P0,n);

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figure(1);plot(t1,P1,'-',t2,P2,'-',t3,P3,'-');legend('Crecimiento variable','Crecimiento constante','Modelo logístico'); % Veremos en qué año el valor de la población en el 2º modelo se hace% máximo. Para ello, ejecutaremos aquí código de Runge-Kutta de% orden 4 un bucle 'if' que compare los dos valores anteriores, y concluya% si el valor que se calculó anteriormente es el valor máximo o no % Runge-Kutta para el 2º modelo% Añadimos un valor alto del parámetro b, que nos asegure que el máximo% esté entre 'a' y 'b', y tomamos n de forma que h=0.1b=2400;n=4000;% Tomamos un tamaño de paso equidistanteh=(b-a)/n;% Hallamos el numero de columnas que tendrá nuestra matriz finalm=length(P0);% Se crea el vector 't' y la matriz 'y', que se rellenan con cerost=zeros(n+1,1);y=zeros(n+1,m);% Se añaden a 't' e 'y' los valores inicialesy(1,:)=P0;t(1)=a;% Ejecutamos el bucle, en el que se aplica el métodofor i=1:n k1=f(t(i),y(i,:)); k2=f(t(i)+h/2,y(i,:)+h/2*k1); k3=f(t(i)+h/2,y(i,:)+h/2*k2); k4=f(t(i)+h,y(i,:)+h*k3); y(i+1,:)=y(i,:)+h/6*(k1+2*k2+2*k3+k4); t(i+1)=t(i)+h; % Añadimos el bucle, que se ejecutará a partir del tercer punto calculado if i>=2 if y(i-1)<y(i) && y(i)>y(i+1) fprintf('La población máxima para el 2º modelo se alcanza para t = %d, y es de P = %d\n',round(t(i)),round(y(i,:))); end endend% Dibujamos la gráficafigure(2);plot(t,y,'-');legend('Modelo 2, máximo')

Como vemos, ya está comentado y no es necesario hacer aclaraciones fuera del código.

3.2.- Modelos de propagación de enfermedades

Al igual que ocurre con el de poblaciones, este código aparece ya comentado

% PROPAGACIÓN DE UNA ENFERMEDAD% En nuestro programa, contaremos con tres modelos.% ------------------------------------------------------------------------% 1) Calculamos la variación de los individuos sanos "x" y los% infectados "y" suponiendo que la población total no varía y los infectados% no sanan% Población total "m" = 1.e0+5% Población inicial infectada "y0" = 1.e+03

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% Constante de proporcionalidad de transmisión "k1" = 2.e-06 y0=1.e+03;f=inline('2.e-06*y.*(1.e+05-y)','t','y');a=0;b=30;n=300; % Para asegurarnos de que h=<0.1[t1,y1]=rungekutta(f,a,b,y0,n);x1=1.e+05-y1;% Comparamos esta aproximación de orden 4 con la solución real, obtenida a% partir de un cambio de variableyreal=inline('1./(9.9e-04.*exp(-0.2.*t)+1.e-05)');% Evaluamos en los puntos en los que sabemos la solución aproximaday2=yreal(t1);x2=1.e+05*ones(size(y2),1)-y2;% Podemos ignorar el 'warning' con respecto a la línea 23 sin mayor% problema% Graficamos la solución aproximadafigure(1);plot(t1,y1,'-',t1,x1,'-');legend('Población infectada','Población sana');title('Modelo 1) Solución aproximada');% Graficamos la solución realfigure(2);plot(t1,y2,'-',t1,x2,'-');legend('Población infectada','Población sana');title('Modelo 1) Solución real');% Mostramos los datos numéricos por pantalladisplay('Para el primer modelo del trabajo 14:');fprintf('El número aproximado de contagiados es %i; con la ecuación exacta, son %i\n',round(y1(300)),round(y2(300)));e=abs((y1(300)-y2(300))/y1(300));fprintf('El error relativo en tanto por uno sería de %f\n\n',e); %-------------------------------------------------------------------------% 2) Calculamos la variación de los individuos sanos "x", los infectados% "y" y los que estuvieron infectados pero ya no "z" (por inmunización o% muerte) suponiendo que la población total no varía% Población total "m" = 1.e0+5% Población inicial infectada "y0" = 1.e+03% Población inicial sana "x0" = 9.9e+04% Constante de proporcionalidad de transmisión "k1" = 2.e-06% Constante de proporcionalidad de recuperación "k2" = 1.e-04 y0=1.e+03;k1=2.e-06;k2=1.e-04;g=inline('1.e-04*(1.e05-z-9.9e+04*exp(-2.e-02*z))','t','z');a=0;b=30;n=300;[t3,z]=rungekutta(g,a,b,0,n);x3=9.9e+04*exp(-(k1/k2).*z);y3=1.e05-z-x3;figure(3);plot(t3,x3,'-',t3,y3,'-');legend('Población no infectada','Población infectada');title('Modelo 2) Propagación de la infección');figure(4);plot(t3,z,'-');

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legend('Población inmunizada o muerta');title('Modelo 2) Población inmunizada o muerta');display('Para el segundo modelo del trabajo 14:');fprintf('El número final de contagiados es %i, el sanos es %i, y el de inmunizados o muertos es %i\n\n',round(y3(300)),round(x3(300)),round(z(300))); %-------------------------------------------------------------------------% 3) Calculamos la variación de los individuos sanos "x", los infectados% "y" y los que estuvieron infectados pero ya no "z" (por inmunización o% muerte) suponiendo que la población total varía según el modelo logístico% Población total inicial "m0" = 1.e+05% Población total máxima "mmax" = 1.5e+05% Población inicial infectada "y0" = 1.e+03% Población inicial sana "x0" = 9.9e+04% Constante de proporcionalidad de evolución de población "d" = 4.e-03% Constante de proporcionalidad de transmisión "k1" = 2.e-06% Constante de proporcionalidad de recuperación "k2" = 1.e-04% Definiremos el vector "u" como el vector fila de las derivadas de "m" y "z" h=@(t,u)([4.e-07*u(1).*(15.e+04-u(1)),1.e-04*(u(1)-u(2)-(u(1)-1000)*exp(-2.e-02.*u(2)))]);a=0;b=30;n=300;[t4,U]=rungekutta(h,a,b,[1.e+05,0],n);x4=(U(:,1)-1000).*exp(-(k1/k2).*U(:,2));y4=U(:,1)-U(:,2)-x4;figure(5);plot(t4,x4,'-',t4,y4,'-',t4,U(:,1),'-');legend('Población no infectada','Población infectada','Población total');title('Modelo 3) Propagación de la infección');figure(6);plot(t4,U(:,2),'-');legend('Población inmunizada o muerta');title('Modelo 3) Población inmunizada o muerta');display('Para el tercer modelo del trabajo 14:');fprintf('Con una población inicial de %i y final de %i, el número final de contagiados es %i, el de sanos es %i,\ny el de inmunizados o muertos es %i\n',round(U(1,1)),round(U(300,1)),round(y4(300)),round(x4(300)),round(U(300,2))); % Comparación del crecimiento de z(t) en el modelo 2 y 3figure(7);plot(t3,z,'-',t4,U(:,2),'-');title('Comparación de la población inmunizada o muerta');legend('Modelo 2)','Modelo 3)');

4.- Resultados numéricos y análisis

A continuación, expondremos los datos que hemos obtenido y realizaremos un análisis deestos.

4.1.- Crecimiento poblacional

Como vemos en la tabla de datos anteriormente expuesta para el 1er modelo, el valor de1,25% es adecuado para el rango de fechas de 1998 hasta 2006, pero no más allá. Por tanto, para

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nuestra predicción a 50 años, no resulta tan correcto como el 2º y 3er modelo.

Apoyándonos en la gráfica de los tres modelos para el mismo intervalo de tiempo, podemosexplicar por qué hemos usado el logístico en lugar de los otros dos para nuestro problema depropagación de enfermedades

El 1er modelo queda descartado, puesto que se trata de un crecimiento exponencial, soloválido para periodos cortos de tiempo, y que crece indefinidamente. Al principio es parecido al del2º modelo, pero luego vemos que se distanta y crece mucho más rápidamente, llegando al final delaño 2050 a sobrepasar en más de 1000 habitantes al 2º y 3er modelo.

Entre el 2º y 3er modelo, elegimos el logístico, debido a que el segundo presenta un máximoy posteriormente decrece hasta que la población se extingue, como vemos en la siguiente gráfica.En nuestro problema de propagación de enfermedades, la comunidad total m(t) que estudiamos notiene por qué desaparecer, sea a causa de la infección o por otras causas.

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El máximo se alcanza en el año 2078, cuando la población mundial es de 9777 millones dehabitantes. Además, para aplicarlo a nuestro problema, necesitaríamos realizar un estudio a fondode la población sobre la cuál estamos estudiando la difusión de la infección y, por tanto, nuestromodelo no valdría para cualquier población, sino para unas muy específicas.

No ocurre así con el modelo logístico que, al tener la pendiente configurada por la cantidadmáxima de invididuos que el entorno es capaz de albergar, es más general. En conclusión, elegimospara nuestro modelo de propagación de enfermedades una población que se rija por una ecuacióndiferencial de tipo logístico.

4.2.- Propagación de enfermedades

Para el modelo más simple de población, vemos que la solución aproximada por el métodode Runge-Kutta de orden 4 es tan parecida a la exacta, calculada sabiendo que se trata de unaecuación diferencial de Bernouilli, que ha sido necesario graficarlas por separado para compararlas,pues se dibujaban una encima de la otra.

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Como vemos, de ocupar una misma gráfica, las líneas se superpondrían, y no podríamosdiscernir si realmente hemos graficado cuatro líneas o solo dos. De hecho, el número de infectadosa los 30 días que se logra con la solución aproximada es, redondeado a las unidades, igual que el de

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la solución exacta. El método de Runge-Kutta de orden 4 es suficientemente exacto a la hora detratar con diferenciales que derivan en exponenciales, siempre y cuando tomemos como tamaño depaso 0.1 .

A la hora de discernir entre el 1er y 2º modelo, la solución no es tan sencilla como graficarlos dos resultados y comprar.

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Como vemos, ni comparando las gráficas ni graficando unos resultados encima de los otroses posible apreciar la diferencia. Esta diferencia no es otra que el número de individuos del grupoz(t), salvo errores de redondeo cometidos al usar distintas ecuaciones diferenciales. Graficando laevolución de este, nos damos cuenta de que los valores que adopta son bajos, en comparación con lapoblación total. Por esto, la aproximación exponencial para z(t) es correcta. Graficamos aparte laevolución del grupo de los z(t)

Mientras que el valor de infectados pasados un mes en el modelo 1 es 79977, para elsegundo es 79847, y el número de individuos "recuperados" z(t) es 80. Este valor de orden 10,mientras que el del número de infecados es de 104, por lo que en la gráfica de los infectados y lossusceptibles de enfermar esta variación es imperceptible. El 2º modelo (y por extensión, el tercero)son útiles, por tanto, para predecir la evolución de la gente que se inmuniza de la enfermedad omuere a causa de esta, y no son prácticos para estudiar la población infectada, pues sucomportamiento es muy similar al del 1er modelo, que es más simple.

Por último, nuestro modelo de difusión de la enfermedad, estimado para una poblacióninicial de 100000 final de 138485, concluye con un total de 129332 infectados y 136 individuoscategorizados dentro del grupo z(t). Como vemos en la gráfica, el crecimiento moderado de lapoblación total permite al grupo x(t) predominar en la población más tiempo que en los demásmodelos. Sin embargo, a partir del décimo día, el crecimiento se estabiliza, y gana peso lainfección, que iguala en número a los individuos susceptibles de enfermar en torno al vigésimo día.

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En el gráfico de los individuos "recuperados", vemos que sigue un crecimiento exponencialpero que, como supusimos, el valor que alcanza es pequeño comparado con el total de la población,al igual que en el segundo modelo. Esto nos permite usar la aproximación que vimos en el primerapartado de este trabajo.

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Comparando con el 2º modelo:

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Evidentemente, el crecimiento de la población z(t) en el 3er modelo es mayor que en el 2º,puesto que la población de infectados y(t) es mayor que en este. Aparte de esto, no existe ningunaotra diferencia en el desarrollo de este grupo de la población; el crecimiento de este grupo no sufrevariaciones en el modo de crecimiento originadas por el crecimiento de la población total. Es decir,que en el inico, cuando el crecimiento de la población total es mayor, no se aprecian diferencias.Una muestra de ello es que, hasta los 10 días, el desarrollo de la población z(t) es el mismo en losdos modelos. Podemos decir que la utilización de un modelo de crecimiento de población variablepara el estudio de la propagación de la enfermedad, dentro del plazo que hemos estudiado, no tieneninguna influencia. Si queremos estudiar la población de infectados, escogeremos el 1er modelo; siqueremos estudiar la población de "recuperados", elegiremos el 2º modelo.

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5.- Bibliografía

[1] United States Census Bureau, http://www.census.gov/population/international/data/worldpop/table_population.php, visitado el 30/5/2013[2] Función logística, Wikipedia http://es.wikipedia.org/wiki/Función_logística, visitado el 8/6/2013[2] D.N. Burghes, M.S. Borrie. Modelling with Differential Equations

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