propagation dans les équations de réaction-diffusion ...alfaro/hdr.pdfce mémoire résume...

Rapport scientifique presente par

Matthieu ALFARO

pour obtenir

l’Habilitation a Diriger des Recherches.

Propagation dans les equations de reaction-diffusion&

quelques lois de conservation fractionnaires

Soutenue le 10 decembre 2013. Jury compose de

M. Remi CARLES ExaminateurM. Francois HAMEL ExaminateurM. Cyril IMBERT ExaminateurM. Mayan MIMURA ExaminateurM. Benoıt PERTHAME RapporteurM. Jean-Michel ROQUEJOFFRE RapporteurM. Vitaly VOLPERT Rapporteur

i

Remerciements

Je tiens d’abord a remercier vivement tous les membres du jury pour leur implicationdecisive dans cette soutenance, malgre des emplois du temps tres charges. Benoıt Per-thame, Jean-Michel Roquejoffre et Vitaly Volpert ont accepte, sans hesitation, la lourdetache d’etre les rapporteurs de cette HDR. J’apprecie sincerement l’interet qu’ils portenta mes travaux ainsi que leurs commentaires avises. Je suis egalement tres reconnaissanta Francois Hamel, Cyril Imbert et Mayan Mimura d’avoir accepte de faire partie du juryet ce au prix de voyages plus ou moins compliques... Enfin, je remercie Remi Carles nonseulement pour sa participation au jury mais encore pour avoir declenche — en bon chefd’equipe — la redaction de ce travail.

Je voudrais encore une fois exprimer ma gratitude a ma directrice de these, DanielleHilhorst, pour m’avoir mis sur de bons rails mathematiques. Ceux-ci m’ont mene, entreautres, au Japon ou Hiroshi Matano m’a souvent fait profiter de la clarte de ses idees etde son grand sens de l’hospitalite. Un grand merci egalement a Jerome Droniou. Il ne l’ajamais evoque mais je sais la part qu’il a prise dans mon recrutement a Montpellier !

Ce travail n’existerait pas sans les personnes avec qui j’ai eu le plaisir de travailler.Discuter, argumenter, remplir des tableaux d’idees et de calculs (parfois fumeux) est unprocessus essentiel et dynamisant. Merci donc a Nathael Alibaud, Pierre Alifrangis, HenriBerestycki, Vincent Calvez, Pascal Chossat, Jerome Coville, Jerome Droniou, ArnaudDucrot, Gregory Faye, Harald Garcke, Thomas Giletti, Danielle Hilhorst, Elisabeth Logak,Hiroshi Matano, Gregoire Nadin, Gael Raoul, Ophelie Ronce, Reiner Schatzle...

Merci egalement a tous les mathematiciens (non cites precedemment) avec qui j’aiechange et qu’il est toujours agreable de croiser dans une conference et/ou autour d’un pot,repas : Adrien Blanchet, Jean-Baptiste Burie, Guillemette Chapuisat, Jacques Demongeot,Nicolas Forcadel, Tadahisa Funaki, Yoshikazu Giga, Marie Henry, Michel Langlais, PierreMagal, Sebastien Martin, Khashayar Pakdaman, Lionel Roques, Hatem Zaag...

Merci a Bernadette Lacan pour son aide et son efficacite : son huile dans les rouages ad-ministratifs est tres appreciable sinon vitale ! Merci a Baptiste Chapuisat pour sa patienceavec mes ordinateurs portables... Merci aux nombreux membres de l’equipe ACSIOM dontle sens de l’humour egaie les dejeuners ou cafes ! Cet ensemble etant beaucoup trop vaste,il m’est impossible d’en nommer ici tous les elements... Je me contenterai donc de troisexemples representatifs : Catherine Lacour qui m’a accueilli a bras ouverts dans son bureauet les “jeunes”Vanessa Lleras et Simon Mendez qui, au dela de leurs qualites scientifiques,ont apporte du lien social tres appreciable dans un laboratoire de mathematiques. Merciegalement aux autres membres de l’I3M aux qualites humaines appreciables !

Enfin, je remercie tous mes autres amis et les membres de ma famille, tous non-EDPistes, souvent non-mathematiciens, parfois non-scientifiques voire litteraires...

iii

a Maıte, Malou et Lucie

v

Table des matieres

Introduction generale 1

Chapitre I : Interfaces bistables 5

1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2 Comprehension fine de Allen-Cahn (♯2), (♯3), (♯10), (♯11) . . . . . . . . . . 8

2.1 Equation d’Allen-Cahn et mouvement classique . . . . . . . . . . . 8

2.2 Systeme de FitzHugh-Nagumo et mouvement classique . . . . . . . 10

2.3 Equation d’Allen-Cahn et mouvement generalise . . . . . . . . . . . 11

3 Un systeme de chemotaxis croissance (♯1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

4 Anisotropie et heterogeneite (♯5) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

5 Diffusion non lineaire (♯4, ♯9) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

6 Equations non locales sans comparaison (♯17) . . . . . . . . . . . . . . . . 20

7 Perspective : FitzHugh-Nagumo et mouvement generalise . . . . . . . . . . 22

Chapitre II : Interfaces monostables 25

1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2 Nouvelle approche pour interfaces dans Fisher-KPP (♯7, ♯6) . . . . . . . . . 27

3 Equation monostable avec retard (♯14) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

4 Diffusion non lineaire et effet de drift (♯8) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

5 Perspective : role de l’heterogeneite (♯21) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

Chapitre III : Invasion dans modeles non locaux 35

vii

Table des matieres

1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2 L’equation de Fisher-KPP non locale (♯13), (♯19) . . . . . . . . . . . . . . 37

3 Les cas bistable et ignition (♯16) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4 Invasion et evolution (♯15) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

5 Invasion et rechauffement climatique (♯18) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

6 Perspectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

Chapitre IV : Lois de conservation fractionnaires 47

1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2 Lois de conservation fractionnaires pour les gaz (♯12) . . . . . . . . . . . . 49

3 Le cas critique : premiers resultats (♯20) et perspectives . . . . . . . . . . . 51

Liste des travaux 53

Bibliographie 55

viii

Introduction generale

1


Ce memoire resume l’ensemble de mes recherches en mathematiques appliquees depuisma these “Systemes de convection-reaction-diffusion et dynamique d’interface”, soutenueen 2006 (directrice de these : Danielle Hilhorst). Il s’agit donc de faire le point sur septans de lectures, decouvertes, apprentissages, calculs, idees, echecs, reussites... autour desequations aux derivees partielles non lineaires, mais egalement d’esquisser quelques pistesde recherches (amorcees ou futures). Ce rapport est compose de trois premiers chapitressur des EDPs paraboliques et d’un quatrieme plutot hyperbolique.

La recherche mathematique est une experience riche en rencontres. Aussi, avant derentrer dans quelques details scientifiques, je voudrais citer les gens avec qui j’ai eu leplaisir de collaborer :• partie parabolique (Chapitres I, II, III) : Pierre Alifrangis, Henri Berestycki, Je-

rome Coville, Jerome Droniou, Arnaud Ducrot, Harald Garcke, Thomas Giletti, DanielleHilhorst, Elisabeth Logak, Hiroshi Matano, Gael Raoul, Ophelie Ronce et Reiner Schatzle,• partie hyperbolique (Chapitre IV) : Nathael Alibaud et Jerome Droniou.

Propagation dans les equations de reaction-diffusion

De nombreux motifs apparaissant en science des materiaux, chimie, biologie peuventetre vus comme des problemes de transition de phase entre deux etats bien distincts dusysteme : etat solide–etat liquide, region peuplee–region vide... Mathematiquement, lesequations de reaction-diffusion peuvent decrire de tels phenomenes d’evolution des zonesde transition.

Les Chapitres I, II et III traitent des equations ou systemes de reaction-diffusion. Ils’agit d’etudier le comportement qualitatif des solutions, et tout particulierement leurpropagation. Pour ce faire on est amene a s’interesser au deplacement d’interfaces ou al’existence et aux proprietes de fronts progressifs.

Interfaces

Lorsque le terme de reaction est grand devant celui de diffusion, la solution peutexhiber des zones de transition abrupte dont on souhaite comprendre le deplacement et,si possible, evaluer l’epaisseur. Typiquement on considere donc un probleme de reaction-diffusion (P ε) ou intervient un petit parametre ε > 0 et on etudie sa limite singuliere(P 0) qui est un probleme de deplacement d’interface. On peut egalement voir le problemedans l’autre sens : etant donne une hypersurface se deplacant suivant une loi donnee (P 0),peut-on l’approcher par une equation de reaction-diffusion (P ε) qui, elle, a l’avantagede posseder la regularite parabolique ? On comprend egalement que dans un contextenumerique d’approximation de (P 0) par (P ε), l’objectif est non seulement d’obtenir de laconvergence mais aussi d’identifier, autant que possible, des taux de convergence.

Le Chapitre I est centre sur les interfaces de type bistable. Le resultat modele estalors que la limite singuliere de l’equation d’Allen-Cahn est le mouvement par courburemoyenne (MCM). Schematiquement et abusivement on a, quand ε→ 0,

(P ε) : ∂tuε = ∆uε +

1

ε2(uε − (uε)3) → (P 0) : V = −κ, (1)

2

tant que le MCM reste classique puis, des apparition de singularites dans celui-ci,

(P ε) : ∂tuε = ∆uε +

1

ε2(uε − (uε)3) → (P 0) : ∂tw = |Dw|div

(Dw

|Dw|

), (2)

avec w solution de viscosite definissant, par ces lignes de niveau, un MCM generalise quipermet de traiter les pathologies. Obtenir une comprehension la plus fine possible de cesconvergences est au centre du Chapitre I : on prouve des taux de convergence nouveauxet optimaux pour (1) et (2). On s’interesse egalement a des diffusions anisotropes oudegenerees. Enfin, on considere des cas (systemes ou equations non locales) sans principede comparaison.

Le Chapitre II traite des interfaces de type monostable. Les modeles sous-jacentsviennent principalement de la dynamique des populations. Partant de l’equation homo-gene de Fisher-KPP, on considere ensuite l’effet d’un retard (prise en compte du tempsnecessaire pour atteindre l’age de reproduction), d’une diffusion “densite dependante”(cherchant a eviter la foule), de la chemotaxis ou d’une heterogeneite spatiale. Ici le re-sultat modele est que la limite singuliere de l’equation de Fisher-KPP est la propagationa vitesse constante. Cette derniere est selectionnee par les queues de la condition initialeparmi les vitesses admissibles [c∗,∞) des ondes progressives. Schematiquement on a donc,quand ε→ 0,

(P ε) : ∂tuε = ε∆uε +

1

εuε(1− uε) = 0 → (P 0) : V = c ∈ [c∗,∞). (3)

La convergence (3) a ete etudiee avec des outils probabilistes ou de type Hamilton-Jacobi.L’apport essentiel du chapitre II est d’avoir etudie (3) avec des outils simples de typereaction-diffusion (principe de comparaison, toute la panoplie des ondes progressives...)qui permettent d’obtenir un taux de convergence et qui peuvent egalement se generaliseraux situations plus complexes evoquees ci-dessus.

Invasion dans equations non locales

Dans le Chapitre III, on considere des modeles de type reaction-diffusion en dynamiquedes populations et on cherche a determiner si la population va s’eteindre ou survivre, voireenvahir son environnement. Les fronts progressifs, qui decrivent la transition a vitesseconstante d’un etat stationnaire a un autre, sont des outils puissants pour analyser detelles invasions.

Du point de vue mathematique, le terme de reaction des equations considerees contientun effet non local qui interdit tout principe de comparaison et rend l’analyse difficile. Uneequation modele est l’equation de Fisher-KPP non locale

∂tu = ∆u+ u(1− ϕ ∗ u), (4)

ou ϕ est un noyau traduisant une competition non locale, et qui peut parfois destabiliserl’equilibre u ≡ 1. Nous nous interessons aux ondes progressives dans (4) et ses variantes detype bistable ou ignition. Nous considerons egalement une equation non locale pour une

3


population structuree en espace et en un trait phenotypique et evoluant dans un gradientenvironnemental, dont une version simple est

∂tn(t, x, y)−∆x,yn(t, x, y) =

(1− (y −Bx)2 −

∫Rn(t, x, y′) dy′

)n(t, x, y). (5)

Nous construisons des ondes progressives pour de telles equations puis nous interessons al’effet du rechauffement climatique qui deplace le gradient environnemental vers le Nord(par exemple).

Lois de conservation fractionnaires

Le Chapitre IV est un peu plus singulier puisqu’on peut considerer que le point dedepart est hyperbolique : typiquement, on considere des lois de conservation auxquelleson ajoute une puissance fractionnaire du Laplacien. L’equation modele est donc

∂tu+ div(f(u)) + (−∆)λ/2u = 0, (6)

ou 0 < λ ≤ 2. La condition initiale est simplement supposee bornee. Une question centraleest alors de determiner si c’est l’effet loi de conservation ou Laplacien fractionnaire quil’emporte : on a creation de chocs lorsque 0 < λ < 1 et regularisation lorsque 1 < λ ≤ 2.Le cas critique λ = 1 est evidemment plus subtil et est generalement considere avec deshypotheses d’integrabilite sur la condition initiale.

Dans un premier temps, on s’interesse a une generalisation de (6) intervenant dansun modele de detonation dans les gaz ou le Laplacien fractionnaire est remplace par unoperateur pseudo-differentiel plus general. On montre le caractere bien pose pour la notionde solution entropique et un effet regularisant lorsque 1 < λ ≤ 2.

Enfin, nous avons tres recemment considere le cas critique λ = 1 qui est celui dumodele physique. Nous montrons avec des methodes originales que, pour des conditionsinitiales seulement bornees, la solution entropique est reguliere, c’est a dire que le Lapla-cien l’emporte encore pour le cas critique.

Avant-propos

A noter que les chapitres sont de plus en plus courts car ils suivent l’ordre chronolo-gique dans lequel j’ai aborde les problemes. Les resultats sont donc plus nombreux pourles interfaces, notamment de type bistable, que pour les phenomenes invasifs dans lesequations non locales ou que pour les lois de conservation fractionnaires. Neanmoins, cesdeux derniers sujets sont ceux qui, actuellement, m’interessent le plus et j’ose esperer queles Chapitres III et IV seront bientot completes par de nouveaux resultats significatifs.

La difficulte principale de l’exercice present reside dans l’equilibre entre “explicationssimples, voire formelles, des phenomenes et resultats” et “resultats mathematiques rigou-reux”. J’ai essaye, dans la mesure du possible, de rendre vrai l’enonce “un lecteur qui nelit que les noms des theoremes (et pas les details) comprend malgre tout les mecanismesprincipaux”. J’espere avoir, au moins partiellement, atteint cet objectif.

4

Chapitre IInterfaces bistables

Sommaire

1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2 Comprehension fine de Allen-Cahn (♯2), (♯3), (♯10), (♯11) . . . 8

2.1 Equation d’Allen-Cahn et mouvement classique . . . . . . . . . 8

2.2 Systeme de FitzHugh-Nagumo et mouvement classique . . . . . 10

2.3 Equation d’Allen-Cahn et mouvement generalise . . . . . . . . 11

3 Un systeme de chemotaxis croissance (♯1) . . . . . . . . . . . . 15

4 Anisotropie et heterogeneite (♯5) . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

5 Diffusion non lineaire (♯4, ♯9) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

6 Equations non locales sans comparaison (♯17) . . . . . . . . . 20

7 Perspective : FitzHugh-Nagumo et mouvement generalise . . 22

5

Chapitre I Interfaces bistables

1 Introduction

Contexte physique. Pour decrire l’evolution d’un materiau polycristallin, Allen et Cahn[9] ont propose l’equation de reaction-diffusion

∂tu = 2αβ∆u+ αf(u),

ou u(t, x) represente la phase du materiau, α > 0 une constante cinetique et β > 0 uncoefficient d’energie. La non-linearite f = −W ′ derive d’un potentiel dont les deux puits,de meme profondeur, correspondent aux etats stables du systeme. L’energie de Ginzburg-

0−1 1−1.5 −0.5 0.5 1.50

0.2

0.4

0.1

0.3

0.05

0.15

0.25

0.35

0−1 1−1.5 −0.5 0.5 1.50

−2

2

−1

1

−1.5

−0.5

0.5

1.5

Figure 1 – Potentiel W et non-linearite bistable f = −W ′.

Landau est donnee par ∫ (αβ|∇u|2 + αW (u)

)dx.

On s’interesse alors a l’asymptotique

2αβ = 1, α =1

ε2, ε→ 0,

qui accelere la cinetique et reduit l’energie gradient. On s’attend alors a ce que la solutionsoit proche d’un des deux etats stables, sauf autour d’une interface mobile.

Analyse mathematique formelle. On considere donc

∂tuε = ∆uε +

1

ε2f(uε) Equation d’Allen-Cahn, (1)

avec, typiquement, f(u) = u−u3. Dans un premier temps, dit de generation de l’interface,le terme de diffusion est negligeable et l’equation est approchee par l’EDO ∂tu

ε = f(uε) ;ainsi, les valeurs de uε deviennent rapidement proches de l’un des deux equilibres stables 1ou −1 et une zone de transition se developpe entre les deux regions uε ≈ 1 et uε ≈ −1.A son voisinage, le terme de diffusion ne peut plus etre neglige et sa combinaison avec leterme de reaction induit, dans un deuxieme temps, un deplacement de l’interface.

De nombreux travaux ont porte sur le comportement asymptotique de l’equationd’Allen-Cahn. En 1979, Allen et Cahn [9] obtiennent, par analyse formelle, l’equation

6

1. Introduction

du probleme a frontiere libre limite : l’interface se deplace selon sa courbure moyenne.Nous renvoyons egalement aux travaux de Kawasaki et Ohta [120], en 1982.

L’idee consiste a ecrire

uε(t, x) = U0

(t, x,

d(t, x)

ε

)+ εU1

(t, x,

d(t, x)

ε

)+ · · · (2)

ou d(t, x) designe la distance signee d’un point x a l’interface limite Γt au temps t (voirFigure 2). On insere ce developpement formel dans l’equation. En retenant les termes enε−2 on decouvre que U0(t, x, z) = U0(z) est la standing wave solution de

U0′′ + f(U0) = 0

U0(−∞) = 1, U0(+∞) = −1,

normalisee par U0(0) = 0. Ensuite les termes en ε−1 fournissent

U1zz + f ′(U0)U1 = U0′(∂td−∆d).

L’alternative de Fredholm assure alors que U0′, etant dans le noyau de l’operateur de

gauche, doit etre orthogonal au membre de droite, ce qui conduit a

∂td(t, x) = ∆d(t, x) sur Γt. (3)

Comme ∇d(t, x) n’est autre que le vecteur normal exterieur n(t, x) a Γt au point x, (3)se reecrit ∂td(t, x) = div n(t, x), soit encore

Vn = −κ,

ou Vn est la vitesse normale de l’interface, mesuree dans la direction exterieure n, κ lasomme des courbures principales (positives aux points de convexite).

d(t, x) < 0

uε ≈ −1

Ω−t

d(t, x) > 0

hypersurface Γt

Vn = −κ

Vn = −κ

Vn = −κ

uε ≈ +1

Ω+t

Figure 2 – Allen-Cahn et MCM classique.

7


Objectifs. Dans ce chapitre, on s’interesse donc a l’emergence et au deplacement d’inter-faces vues comme limites singulieres d’EDPs de reaction-diffusion bistables. Il s’agit deprouver la convergence du probleme parabolique vers l’interface limite et, quand cela estpossible, d’identifier des taux de convergence. Avant de discuter differents phenomenes,nous commencons par un traitement de l’equation modele d’Allen-Cahn, pour laquelle,en collaboration avec Jerome Droniou, Danielle Hilhorst et Hiroshi Matano, differentsresultats complementaires ont ete obtenus.

2 Vers une comprehension fine de Allen-Cahn (♯2),

(♯3), (♯10), (♯11)

2.1 Equation d’Allen-Cahn et mouvement classique

Seduits par le lien entre une equation de reaction-diffusion et le mouvement par cour-bure moyenne, de nombreux mathematiciens ont apporte des justifications rigoureuses decette convergence, [53], [63, 64] et [137, 138].

Dans (♯2), nous avons etudie l’equation d’Allen-Cahn perturbee

∂tuε = ∆uε +

1

ε2(f(uε)− εgε(t, x, uε)) dans (0,∞)× Ω (4)

avec conditions de Neumann homogenes sur ∂Ω et une condition initiale u0(x) relativementgenerale, au sens ou elle ne depend pas de ε et ne possede donc pas deja les couches detransition attendues. Le debalancement O(ε) de la non-linearite equilibree f dans (4)induit un terme supplementaire de pression dans le mouvement limite alors donne par

(P 0)

Vn = −κ+ c0

∫ 1

−1g(t, x, r) dr sur Γt

Γt

∣∣t=0

= Γ0 =: x ∈ Ω : u0(x) = 0,

ou c0 est une constante explicite ne dependant que de f .

Remarque 1. Concernant la perturbation gε de la non-linearite f , on suppose l’existenced’une fonction g(t, x, u) telle que

|gε(t, x, u)− g(t, x, u)| = O(ε). (5)

C’est cette fonction limite g qui intervient dans le probleme limite (P 0). Nous ne faisonspas d’hypotheses de regularite sur g car nous souhaitons appliquer le resultat pour l’equa-tion a une famille de systemes pour lesquels gε perd la regularite C2,1 quand ε→ 0 (voirsous-section 2.2).

Il est connu [67] que, si Γ0 est une hypersurface sans bord et reguliere, le probleme(P 0) admet une solution reguliere sur [0, Tmax], 0 < Tmax ≤ +∞. Dans la suite, onfixe 0 < T < Tmax et on note

∪0≤t≤T (t × Γt) la solution. Notre apport consiste en

l’estimation O(ε) des couches de transition de uε. Cette estimation est valable pour desconditions intiales non preparees et ameliore l’estimation O(ε| ln ε|) connue jusqu’alors[63]. Nous donnons maintenant des enonces mathematique rigoureux de ces resultats (voirFigure 2 pour certaines notations).

8

2. Comprehension fine de Allen-Cahn (♯2), (♯3), (♯10), (♯11)

Theoreme 2 (Generation, deplacement et epaisseur des couches de transition). Soit η > 0arbitrairement petit. On definit

µ = f ′(0).

Alors, il existe ε0 > 0 et C > 0 tels que, pour tout ε ∈ (0, ε0), tout tε ≤ t ≤ T ou

tε := µ−1ε2| ln ε| (temps de generation) (6)

on a

uε(t, x) ∈

[−1− η, 1 + η] si x ∈ NCε(Γt)

[−1− η,−1 + η] si x ∈ Ω−t \ NCε(Γt)

[1− η, 1 + η] si x ∈ Ω+t \ NCε(Γt),

ou Nr(Γt) := x ∈ Ω : dist(x,Γt) < r designe le r voisinage tubulaire de Γt.

Corollaire 3 (Convergence). Quand ε→ 0, uε → ±1 dans∪

0<t≤T (t × Ω±t ).

On precise ensuite le lien entre la ligne de niveau zero de la solution paraboliqueΓεt := x ∈ Ω : uε(t, x) = 0 (qui peut s’epaissir) et l’interface limite Γt (qui reste une

hypersurface) solution de (P 0).

Theoreme 4 (Estimation d’erreur). Il existe C > 0 tel que

Γεt ⊂ NCε(Γt) pour tout 0 ≤ t ≤ T.

Corollaire 5 (Convergence des couches de transition vers l’interface). Il existe C > 0 telque

dH(Γεt ,Γt) ≤ Cε pour tout 0 ≤ t ≤ T,

ou dH(A,B) := maxsupa∈A d(a,B), supb∈B d(b, A) designe la distance de Hausdorffentre deux compacts A et B. Par suite Γε

t → Γt quand ε → 0 uniformement dans0 ≤ t ≤ T , au sens de la distance de Hausdorff.

L’idee consiste a construire des paires optimales de sous et sur-solutions qui mimentla discussion formelle (2) de la section 1. Pour la generation on se base sur les proprietesde l’equation sans diffusion ∂tu

ε = ε−2 (f(uε)− εgε(t, x, uε)). Quant au deplacement onse base sur les deux premiers termes du developpement formel (2). Une des difficultestechniques consiste a trouver des perturbations fines pour recuperer l’estimation O(ε).Remarque 6. Notons que ces resulats sont generalisables a une perturbation non localedu type

∂tuε = ∆uε +

1

ε2f

(uε, ε

∫Ω

uε),

que l’on peut voir comme la limite σ → 0 et τ → 0 du systeme de type FitzHugh-Nagumo∂tu

ε = ∆uε +1

ε2f

(uε, ε|Ω|γvε)

τ∂tvε =

1

σ∆vε + uε − 1

γvε.

Remarquons que, malgre la perturbation non locale, un principe de comparaison un peusubtil s’applique. Pour un cas ou le caractere non local annihile la comparaison, on renvoiea la Section 6.

9


Les resultats precedents nous indiquent que les couches de transition de uε sont confi-nees dans un O(ε) voisinage tubulaire de l’interface limite, dont le mouvement avait eteanticipe grace au developpement formel (2). Neanmoins, ces resultats ne permettent pasde decrire le profil de uε DANS ses couches de transition et de repondre a la question “lessolutions uε ont-elles le profil de l’ansatz (2) ?” S’il existe des reponses pour des condi-tions initiales preparees [29], rien ne semblait connu pour des conditions intiales generales.Dans (♯11), nous avons demontre la validite du premier terme du developpement asymp-totique, au sens ci-dessous. En d’autres termes, le developpement formel (2) est efficacenon seulement pour determiner le mouvement de l’interface limite mais aussi pour decrire(au moins par son premier terme) les couches de transition de la solution.

Theoreme 7 (Validite du premier terme). Fixons α > 1. Alors on a les resultats suivants.

(i) Si ε > 0 est assez petit alors, pour tout t ∈ [αtε, T ], la ligne de niveau Γεt est en

fait une hypersurface reguliere qui peut etre ecrite comme un graphe sur l’interfacelimite Γt.

(ii)

limε→0

supαtε≤t≤T, x∈Ω

∣∣∣∣uε(t, x)− U0

(dε(t, x)

ε

)∣∣∣∣ = 0 ,

ou dε(t, x) designe la distance signee associee a Γεt .

(iii) Il existe une famille de fonctions

θε : ∪0≤t≤T (t × Γt)→ R (0 < ε << 1)

dont les normes L∞ restent bornees quand ε→ 0, telle que

limε→0

supαtε≤t≤T, x∈Ω

∣∣∣∣uε(t, x)− U0

(d(t, x)− εθε(t, p(t, x))

ε

)∣∣∣∣ = 0 ,

ou d(t, x) designe la distance signee associee a Γt et p(t, x) designe un point sur Γt

tel que dist(x,Γt) = ∥x− p(t, x)∥.

La preuve du Theoreme 7 repose sur les deux resultats suivants

(i) la ligne de niveau Γεt est O(ε) proche de l’interface limite Γt (cf les resultats

ci-dessus sur l’epaisseur et la localisation des zones de transition),(ii) toute solution eternelle de Allen-Cahn coincee entre deux ondes planes estune onde plane (resultat essentiel de [36]),

ainsi qu’un argument de rescaling.

2.2 Systeme de FitzHugh-Nagumo et mouvement classique

Nous avons generalise les resultats precedents (taux de convergence en O(ε) vers leprobleme limite classique et validite du premier terme du developpement formel) a une

10


famille de systemes de reaction-diffusion n’admettant pas de principe de comparaisonnaturel. Parmi ceux ci citons le systeme de FitzHugh-Nagumo

(FHN ε)

∂tuε = ∆uε +1

ε2(f(uε)− εvε)

∂tvε = D∆vε + αuε − βvε,

qui est une version simplifiee du modele de Hodgkin-Huxley pour la transmission nerveuse,ou le systeme proie-predateur

(PP ε)

∂tuε = ∆uε +1

ε2((1− uε)(uε − 1/2)− εvε

)u

∂tvε = D∆vε + (αuε − βvε)vε,

dont les problemes limites sont

(FHN0)

Vn = −κ+ c0 2v(t, x)

∂tv = D∆v + αu− βv,

(PP 0)

Vn = −κ+ c0 v(t, x)/2

∂tv = D∆v + (αu− βv)v.

Il s’agit de systemes composes d’une equation de deplacement de surfaces et d’une EDPparabolique. La fonction etagee u prend les valeurs ±1 et est completement determinee parΓt, aussi une solution du probleme limite est une paire (Γ, v) := (∪0≤t≤T (t×Γt), v(t, x)).

Le Theoreme 3 de generation, propagation et epaisseur des couches de transition etle Theoreme 4 d’estimation d’erreur entre couches et interface limite sont encore vraispour de tels systemes. La strategie consiste a regarder (disons pour FitzHugh-Nagumo)f(uε)−εvε comme une O(ε) perturbation de f(uε) et a chercher a appliquer nos resultatspour l’equation seule avec gε ← vε. Evidemment la difficulte tient au fait que vε n’estplus donnee mais est la solution de la deuxieme EDP du systeme. En particulier, la limitevε → v (ε → 0) n’est pas garantie et l’estimation cruciale (5) reste a prouver. Commeuε converge vers u qui est discontinue, les estimations classiques Lp ou de Schauder nedonnent pas (5). Nous nous appuyons sur des estimations du noyau de la chaleur et surle fait que uε reste uniformement regulier en dehors d’un O(ε) voisinage tubulaire del’hypersurface reguliere Γt.

De maniere plus directe, et toujours en considerant la premiere EDP du systeme commeune pertubation de Allen-Cahn, on generalise aux systemes le Theoreme 7 de validite dupremier terme du developpement formel.

2.3 Equation d’Allen-Cahn et mouvement generalise

La limitation des resultats precedents tient au fait que le mouvement par courburemoyenne (MCM) developpe des singularites en temps fini, et ce meme si Γ0 est reguliereet sans bord. Dans R2, la singularite se resume a “devenir un point” mais, en dimensionsuperieure, d’autres pathologies sont possibles : par exemple, la frontiere d’une haltere dont

11


le cylindre central est etroit (Figure 3) se “coupe en deux” (phenomene de pinching-off),changeant ainsi de topologie. Il s’avere donc necessaire, grace a une chirurgie adequate, dedefinir un MCM generalise qui permette d’etudier la limite singuliere d’Allen-Cahn pourtout t ≥ 0.

Figure 3 – Haltere subissant le pinching-off.

MCM generalise. Une strategie efficace consiste a utiliser une methode level-set : l’in-terface Γt est vue comme une ligne de niveau d’une fonction outil w(t, x) qui est solutiond’une EDP non lineaire. Cette approche a ete developpee par Evans et Spruck [89], et, inde-pendamment, par Chen, Giga et Goto [68]. On choisit une fonction continue g : RN → R,constante a l’infini, pour representer l’interface intiale :

Γ0 = x ∈ RN : g(x) = 0 .

Ensuite on considere l’EDP ∂tw − tr[(I − Dw ⊗ Dw)D2w] = 0 sur (0,∞) × RN , qui estnon lineaire, degeneree et meme non definie aux points ou Dw s’annule (avec p := p

|p|).Neanmoins le probleme

(P 0)

∂tw − tr

[(I − Dw ⊗ Dw)D2w

]= 0 sur (0,∞)× RN

w(0, x) = g(x) sur RN ,

admet une unique solution de viscosite w ∈ C([0,∞)×RN) constante a l’infini, et chaqueligne de niveau de w evolue par courbure moyenne dans un sens generalise. Cette dernierepropriete se comprend mieux sur la reecriture

∂tw = |Dw|div(Dw

|Dw|

)de l’equation, qu’on peut formellement rapprocher de (3). Pour la notion de solutions deviscosite, on renvoie evidemment au User’s guide de Crandall, Ishii et Lions [76]. Pourtout t ≥ 0, on definit alors “l’interface au temps t” par

Γt := x ∈ RN : w(t, x) = 0 , (7)

qui est un compact de RN . Alors la famille Γtt≥0 ne depend pas du choix initial de g etdefinit le mouvement par courbure moyenne generalise. Insistons sur le fait que Γt n’est

12


plus une hypersurface mais une ligne de niveau de w(t, x), ce qui permet de prendre encompte les comportements aussi surprenants que l’epaississement ou l’extinction instan-tanee [89].

Allen-Cahn et MCM generalise. Evans, Soner et Souganidis [87] ont prouve que,quand ε → 0, la solution uε de (P ε) converge vers +1/−1, localement uniformementdans w < 0/w > 0 (voir Figure 4). Il s’agit de l’extension naturelle des resultatsde convergence vers le MCM classique mentionnes precedemment. Signalons egalementles generalisations autorisant des non-linearites dependant de (t, x) ou debalancees deBarles, Bronsard et Souganidis [17] ou Barles, Soner et Souganidis [22]. Pour une etudecomplete de l’emergence et du deplacement de l’interface dans ce contexte de MCM ge-neralise, on renvoie a Soner [164, 165], Barles et Souganidis [24], Barles et Da Lio [18].Notons l’introduction dans ces derniers travaux d’une approche open-set qui, en cas denon epaississement de Γt, est equivalente a l’approche level-set.

uε ≈ +1

w < 0

w > 0

uε ≈ −1

Γt := x : w(t, x) = 0

∂tw = |Dw|div(

Dw|Dw|

)avec

Ligne de niveau

w = 0

Figure 4 – Allen-Cahn et MCM generalise.

Ces resultats nous indiquent que les couches de transition de uε convergent vers l’in-terface limite generalisee, c’est-a-dire une ligne de niveau de w la solution de viscosite de(P 0), et ce pour tout t ≥ 0 (voir Figure 4). Neanmoins, dans ce cadre mouvement gene-ralise, aucun taux de convergence ni estimation de l’epaisseur des couches n’etait connu.Ayant prouve des estimations O(ε) dans le cadre classique, nous nous sommes attachesa identifier une estimation dans le cadre generalise. Plutot que d’enoncer trop de resul-tats rigoureux, essayons de decrire simplement les problemes rencontres et les solutionsproposees.

Sandwich ameliore. Les premieres barrieres pour prouver la convergence de Allen-Cahnvers le MCM generalise ont ete construites dans [87]. Notons que dans le cas classiqueou l’interface est reguliere, la distance signee est reguliere dans un voisinage tubulaire del’interface et satisfait l’equation de la chaleur (3) SUR l’interface Γt = d = 0. D’autre

13


part, par regularite, on peut controler |∂td(t, x) − ∆d(t, x)| par C|d(t, x)| en dehors del’interface, ce qui est essentiel pour la construction de sous- et sur-solutions. En revanche,dans le cas generalise, il s’avere que d est sur-solution de viscosite de la chaleur dansd > 0 mais sous-solution de viscosite dans d < 0. Aussi la construction de sur-et sous-solutions requiert une fonction de cut-off qui paralyse la mauvaise region [87].En combinant les idees de [87] et (♯2), nous avons ameliore ces barrieres et montre queles couches de uε sont sandwichees entre deux interfaces evoluant par MCM generalise,pourvu que celles-ci sandwichent a t = 0 un O(ε| ln ε|) voisinage de l’interface initiale Γ0.

Domaines admissibles. On dispose donc du MCM (Γt) provenant de Γ0 et, par lesandwich, de deux MCM (γ±ε,t) provenant de γ

±ε,0 qui sont des O(ε| ln ε|) voisins de Γ0. La

continuite des solutions de viscosite de (P 0) par rapport a la condition initiale est connue(voir [89] ou [10]) mais le taux de convergence n’est pas identifie. En d’autres termes, lesandwich ameliore redonne la convergence d’Allen-Cahn vers le MCM generalise mais pasle taux de convergence espere... Neanmoins, certains cas favorables existent : pour certainsdomaines initiaux, dits admissibles, on peut obtenir un taux de convergence. L’observationfondamentale est que l’EDP de MCM est invariante par translations en temps, dilatations,rotations : si w(t, x) verifie

∂tw = |Dw|div(Dw

|Dw|

), (8)

il en est de meme pour w(t + s, x) avec s ≥ 0, w(λ2t, λx) avec λ > 0 et w(Rt, x) avecR ∈ SOn(R). On definit alors la notion de domaines admissibles (voir egalement [22]).

Definition 8 (Domaines admissibles). Soit Ω0 un domaine borne de RN dont la frontiereΓ0 := ∂Ω0 est une hypersurface sans bord et reguliere. On dit que Ω0 est admissible siexistent a1 ≥ 0, a2 ≥ 0 et une matrice anti-symetrique Z tels que (a1, a2) = (0, 0) et que,pour tout x ∈ Γ0,

(−a1x+ Zx− a2κ(x)n(x)) · n(x) < 0 ,

ou κ(x) est la somme des courbures principales en x et n(x) le vecteur unitaire normal aΓ0 en x.

De maniere prosaıque, un domaine Ω0 est admissible si en laissant evoluer Γ0 un peu parMCM et/ou en dilatant un peu et/ou en tournant un peu, on recupere un objet qui“rentrecorrectement dans Ω0”... Parmi les domaines admissibles, notons les domaines fortementetoiles (utiliser une dilatation dans l’explication prosaıque), les halteres (utiliser l’evolutionpar MCM), les diabolos (utiliser une dilatation), les galaxies (utiliser une dilatation et unerotation), les engrenages (utiliser l’evolution par MCM et une dilatation).

Distance espace-temps. Notons enfin une autre difference fondamentale avec le casclassique ou le Corollaire 5 donnait, A CHAQUE TEMPS 0 ≤ t ≤ T , l’estimationdHRN

(Γεt ,Γt) = O(ε). Dans le cadre generalise, on ne peut esperer utiliser la distance

en espace a chaque temps du fait de l’apparition de singularites : prenons deux spheresconcentriques initialement tres proches ; juste apres l’extinction de la petite la distance enespace est infinie ; en revanche, si on mesure les distances en espace-temps, on conserve laproximite puisqu’on autorise les “retours dans le passe”.

14

3. Un systeme de chemotaxis croissance (♯1)

Figure 5 – Diabolo, Galaxie et Engrenage.

Conclusion. Dans le cas favorable ou Ω0 est admissible, les observations ci-dessus —notamment les proprietes d’invariance de l’EDP de MCM— nous permettent d’obtenir letaux

dist(γ±ε,0,Γ0) = O(ε| ln ε|) =⇒ dHRN+1(γ±ε ,Γ) = O(ε| ln ε|), (9)

ou dHRN+1designe la distance de Hausdorff dans l’espace-temps RN+1 et ou Γ := (t, x) :

w(t, x) = 0 designe l’interface espace-temps. Le taux (9) et le sandwich ameliore four-nissent alors le resultat espere.

Theoreme 9 (Localisation et epaisseur des couches). On suppose Ω0 admissible. Fixonsα < β dans (−1,+1). Alors

(t, x) ∈ [tε,∞)× RN : α ≤ uε(t, x) ≤ β ⊂ NCε| ln ε|(Γ) ,

ou Nr(A) := (t, x) ∈ [0,∞) × RN : dist((t, x),A) < r est le r-voisinage de A dans[0,∞)× RN , et tε est le temps de generation de l’interface defini en (6).

Il est connu que, pour des domaines admissibles, Γ ne developpe pas d’interieur [22,Theorem 4.3], c’est-a-dire qu’il n’y a pas de fattening phenomenon. Ainsi le resultat estnon seulement une localisation mais aussi une estimation de l’epaisseur des couches detransition. Il precise egalement le devenir de uε apres l’extinction du MCM : la solution uε

devient tres proche de −1 des un temps t∗+O(ε| ln ε), ou t∗ designe le temps d’extinctiondu MCM. Enfin, certains domaines admissibles (certaines halteres par exemple) subissentle pinching-off, aussi notre theoreme contient bien des cas pathologiques.

3 Un systeme de chemotaxis croissance (♯1)

La chemotaxis est la tendance de certaines cellules a diriger leurs mouvements en fonc-tion de certains composes chimiques. Elle peut conduire a des phenomenes d’agregationpour des bacteries (Escherichia Coli) ou des amibes (Dictyostelium discoideume). Les Dic-tyostelides sont des organismes pouvant prendre alternativement une forme unicellulaire(amibe) ou une forme pluricellulaire. On les trouve dans les tapis de feuilles en decom-position. Dans un premier temps, les amibes se dispersent et se nourrissent de bacteries.Lorsque ces dernieres ont toutes ete consommees, les amibes emettent un attracteur, dit

15


chimiotactique, de facon a attirer les amibes voisines. Par agregation, il se forme un or-ganisme pluricellulaire de centaines de milliers de cellules, sorte de limace de quelquesmillimetres de longueur. Cet organisme est compose de trois parties, un disque basal, unpied et une masse de spores qui donnent naissance a de nouvelles amibes. Sur le modelebiologique on renvoie a [121], [143] ou [94].

L’etude des mechanismes qui sous-tendent de tels phenomenes generant un organismepluricellulaire est d’un grand interet en biologie. En 1970, Keller et Segel [121] ont proposele systeme d’equations paraboliques

(KS)

∂tu = du∆u−∇ · (u∇χ(v))τ∂tv = dv∆v + u− γv,

pour la modelisation mathematique de ce processus d’agregation ; la fonction u representela concentration d’amibes et v celle de l’attracteur chimiotactique, dont le taux de degra-dation est donne par la constante positive γ ; du et dv sont des coefficients de diffusionsupposes constants ; τ est une constante positive ; la fonction strictement croissante χexprime l’attraction des amibes par la substance chimiotactique. Les amibes sont ainsisoumises a deux phenomenes : la diffusion et la chemotaxis, c’est-a-dire une propension ase diriger vers la substance attractrice qu’elles ont elles-memes secretee.

De nombreuses analyses mathematiques de ce modele d’agregation (l’un des plus etu-dies en biomaths) ont ete faites. La chemotaxis jouant un role de “diffusion negative” [143]suggere que la population se concentre en un point soit, mathematiquement, un pheno-mene d’explosion en temps fini. La situation est en fait plus subtile : l’agregation ne seproduit jamais en dimension un d’espace alors qu’en dimension deux elle ne se produitque si le nombre initial d’amibes est suffisamment eleve. Pour de telles etudes on renvoie,entre autres, a [69], [155], [128], [117], [142], [111], [112].

Dans un cadre different, Mimura et Tsujikawa [135] ont considere des motifs d’agre-gation dans le modele de chemotaxis-croissance :

(MT ε)

∂tu

ε = ε2∆uε − ε∇ · (uε∇χ(vε)) + fε(uε),

τ∂tvε = ∆vε + uε − γvε,

avec typiquement fε(u) = u(1 − u)(u − 1/2) + εαu(1 − u) (soit un leger debalancementd’une fonction bistable equilibree). Les coefficients de diffusion et de chemotaxis sontpetits devant celui de croissance. Ils observent l’emergence de zones de transition entreuε ≈ 0 et la zone d’agregation uε ≈ 1, puis leurs deplacements. L’equilibre des troiseffets (diffusion, chemotaxis et croissance) autorise ce mecanisme d’agregation.

Nous avons considere une variante de (MT ε) qui couple une EDP parabolique pouruε a une EDP elliptique pour vε (τ = 0) :

(P ε)

∂tuε = ∆uε −∇ · (uε∇χ(vε)) + 1

ε2fε(u

ε) sur (0,∞)× Ω

0 = ∆vε + uε − γvε sur (0,∞)× Ω,

avec conditions “zero flux” sur le bord. Sous l’hypothese d’une condition initiale bienpreparee, c’est-a-dire presentant deja une interface, Bonami, Hilhorst, Logak et Mimura

16

4. Anisotropie et heterogeneite (♯5)

[49] ont montre que, lorsque ε → 0, la solution (uε, vε) converge vers (u0, v0), ou u0 estune fonction en escalier prenant les valeurs 0 et 1. Le probleme a frontiere libre limite(tant qu’il reste classique) est donne par les equations couplees :

(P 0)

Vn = −κ+∂χ(v0)

∂n+√2α sur Γt,

0 = ∆v0 + u0 − γv0 dans (0, T ]× Ω.

La premiere equation gouverne le deplacement de la frontiere libre separant les regions

u0 = 0 et u0 = 1. Notons que le terme ∂χ(v0)∂n

, lie a la chemotaxis, tend a regrouper

les individus alors que le terme√2α, lie a la croissance, tend a les separer. De notre cote

nous avons considere des conditions initiales “non preparees”. Apres une etude fine del’emergence et du deplacement des couches de transition, nous avons demontre pour lesysteme (P ε) des resultats analogues au Theoremes 2 et 4, soulignant ainsi un taux deconvergence O(ε). A noter que, comme pour le systeme de FitzHugh-Nagumo de la sous-section 2.2, une estimation de l’erreur sur la deuxieme composante du systeme, c’est-a-diresur vε − v0, est necessaire. Elle est obtenue via des estimations classiques de la fonctionde Green associee au probleme de Neumann pour l’equation elliptique.

Pour conclure, citons les travaux, pour une equation de chemotaxis-croissance ou vε

est consideree comme donnee, [110] (convergence) et [4] (taux de convergence) dans lecadre generalise, via les solutions de viscosite.

4 Anisotropie et heterogeneite (♯5)

Le contexte de cette section est la modelisation de mouvements d’interfaces en sciencedes materiaux, ou la vitesse normale de deplacement de l’interface depend de l’angle duvecteur normal avec une direction fixe ainsi que de la position spatiale. On cherche donc aintegrer des effets anisotropes et heterogenes dans l’equation d’Allen-Cahn. Les solutionsde cette derniere font decroıtre l’energie de Ginzburg Landau associee∫

Ω

(1

2|∇u|2 + 1

ε2W (u)

).

Considerons alors une energie inhomogene et anisotrope du type

F(u) =∫Ω

(a(x,∇u) + 1

ε2W (u)

)m(x)dx,

ou a(x, p) depend de la position x et est anisotrope (c’est-a-dire depend de la direction dep ∈ RN). Le flot gradient de F par le produit scalaire a poids (u, v) =

∫Ωu(x)v(x)m(x)dx

conduit alors au probleme

∂tuε =

1

m(x)div[m(x)ap(x,∇uε)

]+

1

ε2f(uε) sur (0,∞)× Ω, (10)

avec ap(x,∇uε) · ν = 0 sur (0,∞) × ∂Ω. On suppose la fonction a(x, p) strictementpositive, strictement convexe et 2 homogene (en la variable p) sur Ω × RN \ 0. Nous

17


utilisons la notation ap(x, p) pour le vecteur gradient

(∂a

∂p1, · · · , ∂a

∂pN

)(x, p) et, motives

par les applications physiques, nous supposons que la fonction a(x, p) est de classe C3+ϑloc

SEULEMENT sur Ω × RN \ 0, autrement dit que le terme de diffusion div[ap(x,∇u)]est singulier aux points ou le gradient de la solution s’annule. Il nous faut donc utiliserune notion de solution faible, pour laquelle nous demontrons un principe de comparaison.

Definition 10 (Solution faible). On se donne u0 ∈ H1(Ω) ∩ L∞(Ω). Une fonction uε ∈L2(0, T ;H1(Ω)) ∩ L∞(QT ) est solution faible si

(i) ∂tuε ∈ L2(QT ),

(ii) ap(x,∇uε(t, x)) ∈ L∞(0, T ;L2(Ω)),

(iii) uε(x, 0) = u0(x) pour presque tout x ∈ Ω,

(iv) uε satisfait ∫ t

0

∫Ω

[∂tu

εφ+ ap(x,∇uε) · ∇φ−1

ε2f(uε)φ

]m(x)dxdt = 0 ,

pour toute fonction positive φ ∈ L2(0, T ;H1(Ω)) ∩ L∞(QT ) et tout t ∈ (0, T ).

Remarque 11. L’equation parabolique (10) contient, en particulier, l’equation inhomo-gene ∂tu

ε = div(A(x)∇uε)+ 1ε2f(uε), ou A(x) est une matrice symetrique definie positive,

et l’equation anisotrope ∂tuε = div

(A(∇uε)

)+ 1

ε2f(uε), ou les coefficients de la matrice

∇p ⊗A = ∇ptA peuvent etre singuliers au point p = 0.

Un ingredient essentiel pour l’etude de la limite singuliere ε→ 0 de (10) est la construc-tion d’une metrique adaptee au probleme anisotrope en utilisant des resultats de Bellettini,Paolini et Venturini sur une metrique de Finsler, [30] et [31]. Equipes de cette metrique,nous demontrons alors que uε → u presque partout, ou u est une fonction en escaliervalant ±1, et definie via l’interface limite qui se deplace selon

Vn,ϕ = −κϕ sur Γt,

ou Vn,ϕ designe la vitesse de deplacement anisotrope de l’interface le long de la normaleanisotrope a Γt et κϕ une version anisotrope de la courbure moyenne de l’interface. L’ecri-ture du probleme limite se complique sensiblement en geometrie euclidienne :

m(x)√2a(x, n)

Vn = −div[ m(x)√

2a(x, n)ap(x, n)

]sur Γt.

Nous obtenons, ici encore, le taux de convergence O(ε) qui est optimal. Notons que destaux de convergence ameliores existent mais ils sont de nature differente puisqu’ils neconcernent que des conditions initiales deja preparees, c’est-a-dire tres proches du profilformel dependant de ε. Citons [28] pour des problemes anisotropes tres proches ou [84,85] pour des potentiels W (u) de type double obstacle, c’est-a-dire W (u) = +∞ pouru /∈ (0, 1). Pour des conditions initiales generales, signalons [32] pour une preuve deconvergence (sans taux) dans un probleme anistrope mais homogene. Enfin, pour dessimulations numeriques, on renvoie a [33], [96], [25, 26] et [146].

18

5. Diffusion non lineaire (♯4, ♯9)

5 Diffusion non lineaire (♯4, ♯9)

Nous commencons par rappeler la pertinence d’une diffusion non lineaire dans certainsmodeles de dynamique des populations. Il est clair que des taux de naissances ou decesdensity dependent peuvent assurer le controle de la population. Considerons maintenantune croissance lineaire et l’equation

∂tu = −div j+G(x)u ,

ou u(t, x) est la densite de la population, G = G(x) la fonction de croissance et j(t, x) levecteur densite de flux de population. La marche aleatoire conduit a l’equation lineaire∂tu = ∆u + G(x)u. Une autre possibilite est d’utiliser la marche aleatoire biaisee ou lesmouvements sont largement aleatoires mais legerement modifies par la distribution desindividus, ce qui conduit a ∂tu = ∆u+ div (ugradu)+G(x)u. Carl [59] a cependant observedes populations allant des regions denses vers les regions moins habitees et ce meme sices dernieres sont moins favorables. La dispersion cherche donc a eviter les foules. Pourde tels mouvements on utilise le modele de deplacement dirige (les individus stationnentou suivent les gradients decroissant de population) et on obtient

∂tu = ∆(u2) +G(x)u .

Gurney et Nisbet [102] ont analyse qualitativement ces trois modeles de dispersion (alea-toire, aleatoire biaise et dirige), et montre qu’une dispersion non lineaire peut conduire aune regulation de la population. Dans cet esprit, Gurtin et Mac Camy [103] considerentdes equations avec diffusion degeneree et reaction non lineaire

∂tu = ∆(um) + f(u) , m ≥ 2 . (11)

En l’absence de reaction, (11) se reduit a l’equation des milieux poreux

∂tu = ∆(um) , (12)

qui decrit, entre autres, le flot d’un gaz ideal dans un media homogene (m ≥ 2), l’infli-tration d’eau dans le sol (m = 2), un fin film visqueux sous l’effet de la gravite (m = 4),ou la propagation de la chaleur dans un plasma (m ≃ 6). Cette equation est largementetudiee dans la litterature : voir le livre reference de Vasquez [170]. Le point fondamentalest que l’equation degenere aux points ou u = 0. En consequent, les solutions ne sont pasregulieres et les perturbations se propagent a vitesse finie, contrairement a l’equation dela chaleur.

Definition 12 (Solution faible). On dit que u : [0,∞)→ L1(Ω) est solution de (11) avec

la condition de bord∂(um)

∂ν= 0 et la condition initiale u0 ∈ L∞(Ω), u0 ≥ 0 p.p. si, pour

tout T > 0,

(i) u ∈ C ([0,∞);L1(Ω)) ∩ L∞(QT ) ;

(ii) pour toute φ ∈ C2(QT ) telle que φ ≥ 0 et∂φ

∂ν= 0 sur ∂Ω, on a∫

Ω

u(T )φ(T )−∫ ∫

QT

(uφt + um∆φ) =

∫Ω

u0φ(0) +

∫ ∫QT

f(u)φ .

19


Il est alors classique [14, Theorem 5] qu’on dispose d’un principe de comparaison etqu’il existe une unique solution u ∈ C(QT ) [78] (voir egalement [118] et [46]).

On s’interesse ici a l’interface limite ε → 0 dans l’equation des milieux poreux avecreaction bistable

∂tuε = ε∆((uε)m) +

1

εf(uε) (m ≥ 2) sur (0,∞)× Ω, (13)

avec∂((uε)m)

∂ν= 0 sur (0,∞)×∂Ω. Typiquement on a f(u) = u(u−a)(1−u) (0 < a < 1),

et on suppose∫ 1

0mum−1f(u) du > 0 de telle sorte que la vitesse c∗ de l’unique onde

progressive degeneree sous-jacente est positive. Cette onde (c∗, U), cf Hosono [114], verifie

(Um)′′ + c∗U ′ + f(U) = 0 sur (−∞, ω)U(−∞) = 1

U(0) = a

U ′ < 0 sur (−∞, ω)(Um)′(ω) = 0

U ≡ 0 sur [ω,∞) ,

pour un ω > 0. A l’aide de cette onde on construit des sous-solutions pour etudier lapropagation de l’interface. Pour les sur-solutions on doit utiliser de fines perturbations de(c∗, U) (pour les faire “decoller”) et on travaille sur des domaines qui evoluent au coursdu temps. Combinant avec une etude de l’emergence des couches de transition on prouvealors la convergence vers l’interface limite dont le deplacement est donne par

Vn = c∗ sur Γt.

6 Equations non locales sans comparaison (♯17)

Les resultats ci-dessus s’appuient fortement sur le principe de comparaison. Quandcelui-ci ne tient plus, une possibilite est de construire une solution approchee a l’aide dedeveloppements formels, puis d’estimer l’erreur entre cet ansatz et la solution, grace a unebonne comprehension du spectre de l’operateur linearise sous-jacent (pour le spectre, cf[65], [27], [7, 8], [138]). Dans cet esprit, citons les travaux de de Mottoni et Schatzman [138]pour l’equation d’Allen-Cahn (sans utiliser la comparaison !) ; Alikakos, Bates et Chen [6]pour la convergence de l’equation de Cahn-Hilliard

∂tuε +∆

(ε∆uε +

1

εf(uε)

)= 0,

vers le probleme de Hele-Shaw ; Caginalp et Chen [57] pour le systeme phase field...Recemment Chen, Hilhorst et Logak [66] ont considere l’equation d’Allen-Cahn avec

conservation de la masse

∂tuε = ∆uε +

1

ε2

(f(uε)− 1

|Ω|

∫Ω

f(uε)

), (14)

20

6. Equations non locales sans comparaison (♯17)

proposee par [154] comme modele d’une separation de phase dans un melange binaire. Ilsont prouve la convergence vers le MCM avec preservation du volume :

Vn = −κ+1

|Γt|

∫Γt

κ dHn−1 sur Γt. (15)

Pour des resultats relies on renvoie a [54] (cas radial, arguments d’energie) et [109] (casd’un systeme).

Nous avons considere une autre equation d’Allen-Cahn avec conservation de la masse

∂tuε = ∆uε +

1

ε2

(f(uε)−

∫Ωf(uε)∫

Ω

√4W (uε)

√4W (uε)

)sur (0,∞)× Ω, (16)

avec condition “zero flux” au bord, et ou (pour simplifier) f(u) := −W ′(u) = u− u3, avecW (u) = 1

4(1− u2)2 un puits a deux potentiels de meme profondeur. Le terme

−∫Ωf(uε(t, x)) dx∫

Ω

√4W (uε(t, x)) dx

√4W (uε(t, x)) =: −λε(t)

√4W (uε(t, x)) (17)

peut etre vu comme un multiplicateur de Lagrange pour la contrainte de conservation dela masse d

dt

∫Ωuε(t, x) dx = 0. La grande difference avec (14) est que ce multiplicateur me-

lange des effets non locaux ET locaux. L’avantage est que ce choix permet d’annuler tousles termes d’ordre ε dans les developpements formels et donc d’esperer une meilleure ap-proximation de (15). Ceci est confirme numeriquement dans [51]. On renvoie par exemplea [97] et [58] pour une telle amelioration grace a un choix adequat du terme de perturba-tion, dans des modeles locaux. L’inconvenient (mais aussi l’interet mathematique...) estque l’estimation d’erreur entre la vraie solution uε et l’ansatz uε,k reclame une analyseplus fine, notamment d’erreur entre le multiplicateur reel λε et son ansatz λε,k.

Donnons pour conclure les resultats mathematiques precis.

Theoreme 13 (Construction de solutions approchees). Fixons un entier k > max(N, 4).Alors on peut construire (uε,k(t, x), λε,k(t))x∈Ω, 0≤t≤T tels que∥∥∥∥∂tuε,k −∆uε,k −

1

ε2

(f(uε,k)− ελε,k(t)

√4W (uε,k)

)∥∥∥∥L∞((0,T )×Ω)

= O(εk) quand ε→ 0

avec uε,k satisfaisant la condition “zero flux” au bord et conservant la masse.

Theoreme 14 (Estimation d’erreur). Fixons un entier k > max(N, 4). Notons uε lasolution de (16) avec condition de Neumann homogenes et condition initiale

gε(x) = uε,k(x, 0) + ϕε(x) ∈ [−1, 1],∫Ω

ϕε = 0, ∥ϕε∥L2(Ω) = O(εk−12 ).

Alors il existe ε > 0 tel que, pour tout ε > 0 assez petit,

sup0≤t≤T

∥uε(·, t)− uε,k(·, t)∥L2(Ω) ≤ Cεk−12 .

21


Notons que la solution approchee verifie, par construction,

∥uε,k − u∥L∞((t,x): |d(t,x)|≥√ε) = O(εk+2), quand ε→ 0,

avec u la fonction etagee ±1 definie via le MCM avec preservation de volume (15). LeTheoreme 14 contient donc un resultat de convergence de (16) vers(15) :

sup0≤t≤T

∥uε(·, t)− u(·, t)∥L2(Ω) = O(ε1/4), quand ε→ 0.

7 Perspective : FitzHugh-Nagumo et mouvement ge-

neralise

Dans la Section 2, nous avons obtenu, pour des conditions intiales relativement ge-nerales, des taux nouveaux de convergence de l’equation d’Allen-Cahn vers le MCM :O(ε) en espace dans le cas classique, et O(ε| ln ε|) en espace-temps pour des domainesadmissibles dans le cas generalise. En ce qui concerne le systeme de FitzHugh-Nagumo laconvergence en O(ε) dans le cas classique a ete obtenue. Une question naturelle est donc :peut-on identifier un taux de convergence de (FHN ε) dans le cas generalise ?

Rappelons que le systeme est donne par

(FHN ε)

∂tuε = ∆uε +1

ε2(f(uε)− εvε) dans (0,∞)× RN

∂tvε = D∆vε + αuε − βvε dans (0,∞)× RN ,

avec conditions initiales uε(0, x) = u0(x) et vε(0, x) = v0(x). Le probleme limite, tant qu’il

reste classique, est donne par

(FHN0class)

Vn = −κ+ c0 2v(t, x)

∂tv = D∆v + αu− βv,

avec conditions initiales Γt

∣∣t=0

= Γ0 := x : u0(x) = 0, v(0, x) = v0(x). On est tented’ecrire le probleme limite generalise sous la forme

(FHN0gener)

∂tw = |Dw|(div(

Dw|Dw|

)− c0 2v(t, x)

)∂tv = D∆v + αu− βv,

avec conditions initiales w(0, x) = d0(x) la distance signee a Γ0, v(0, x) = v0(x) mais onpressent alors un probleme de choix : u est censee etre la fonction etagee ±1 en dehorsde Γt := x : w(t, x) = 0. Or, pour donner un sens a la deuxieme EDP de (FHN0

gener),comment definir u sur l’interface Γt lorsque celle ci developpe un interieur ?...

Dans ce cadre, detaillons certains resultats de Souganidis et Soravia [166] sous unehypothese essentielle de periodicite. Cette derniere permet, au prealable, une extractionfondamentale : pour une suite de εn → 0, on a uεn u dans L∞(QT ) faible ∗ et vεn → vdans C(QT ). Du coup v est solution, au sens des distributions, d’une EDP

∂tv = D∆v +G(v).

22

7. Perspective : FitzHugh-Nagumo et mouvement generalise

Le long de la sous-suite εn → 0, l’etude du systeme de FitzHugh-Nagumo se reduit alors aune equation (qui admet le principe de comparaison) dont [166] etudie la limite singuliereεn → 0. Ceci fait, ils recuperent, a posteriori, que G(v) = ±α− βv en dehors de Γt alorsque sur Γt on peut seulement dire que −α− βv ≤ G(v) ≤ α− βv. Ensuite, en cas de nonepaississement de Γt, ils montrent que la limite est valable pour ε → 0 (et non le longd’une sous-suite seulement) et le flou du systeme limite (FHN0

gener) est leve grace au nonepaississement.

Comme pour l’equation d’Allen-Cahn, on peut construire des barrieres raffinees [5].En les combinant avec une notion adequate de domaines admissibles, il semble raison-nable d’identifier un taux de convergence du systeme de FitzHugh-Nagumo dans le casgeneralise...

23


24

Chapitre IIInterfaces monostables

Sommaire

1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2 Nouvelle approche pour interfaces dans Fisher-KPP (♯7, ♯6) . 27

3 Equation monostable avec retard (♯14) . . . . . . . . . . . . . . 29

4 Diffusion non lineaire et effet de drift (♯8) . . . . . . . . . . . 31

5 Perspective : role de l’heterogeneite (♯21) . . . . . . . . . . . . 33

25

Chapitre II Interfaces monostables

1 Introduction

L’equation de reaction-diffusion avec non-linearite de type logistique

∂tu = ∆u+ u(1− u), t > 0, x ∈ RN , (1)

fut introduite par Fisher [93], Kolmogorov, Petrovsky et Piskunov [122]. Elle est tresutilisee dans des modeles de genetique des populations [93], [16] ou d’invasions biologiques[158], [149], [132].

Une propriete fondamentale de l’equation de Fisher-KPP est d’admettre des ondes pro-gressives positives connectant l’etat instable u ≡ 0 a l’etat stable u ≡ 1, et ce pour toutevitesse c ≥ c∗, avec c∗ = 2 dans le cas le plus simple considere ci-dessus ([15], [171]). Cesondes jouent un role central dans la dynamique puisqu’elles decrivent le comportement entemps long du probleme de Cauchy associe a l’equation de Fisher-KPP (1). C’est alors laqueue de la condition initiale qui vient selectionner la vitesse decrivant la solution lorsquet→∞. Par exemple, pour des conditions initiales a support compact, c’est la vitesse cri-tique c∗ qui est selectionnee. Pour des conditions initiales a decroissance exponentielle, onrenvoie aux travaux [133], [50], [126] avec des outils probabilistes et [125], [152], [169], [115]avec des outils de type reaction-diffusion. Signalons egalement l’acceleration des solutionspour des conditions initiales decroissant plus lentement que tout exponentielle [106] oupar une diffusion de type Laplacien fractionnaire [55]. De telles proprietes expliquent lesucces de l’equation, notamment dans la modelisation des invasions.

Dans ce chapitre, nous nous interessons aux phenomenes d’interfaces dans l’equation deFisher-KPP et ses variantes. Pour observer de tels phenomenes, on procede au changementd’echelle uε(t, x) := u

(tε, xε

)et on etudie la limite singuliere de

(P ε)

∂tuε = ε∆uε +1

εuε(1− uε) dans (0,∞)× RN

uε(0, x) = u0,ε(x) dans RN ,

lorsque le parametre ε > 0 tend vers zero. Si la condition initiale est a support compactalors la solution limite est un escalier prenant la valeur 1 d’un cote d’une interface mobileet 0 de l’autre cote. Cette interface se deplace a vitesse constante c∗. On obtient les vitessesc > c∗ en jouant sur les queues des conditions initiales. La situation est resumee Figure 1.

Remarque 15 (Comportement en temps long de (1) et limite singuliere de (P ε)). Signa-lons que les resultats de type “interface” (i.e. etude de (P ε) lorsque ε → 0) ne sont pasequivalents aux resultats de type “Fisher-KPP en temps long”. En effet, le comportementen temps long de (1) traite de la stabilisation de l’interface en une forme spherique pourdes temps grands. Seule la memoire des queues de la condition initiale est alors conserveevia la vitesse selectionnee. En revanche, l’approche limite singuliere decrit un comporte-ment en temps long qui garde une memoire non seulement des queues initiales mais ausside la forme de la condition initiale. Cette approche permet donc de decrire un processusintermediaire durant laquelle l’interface se deplace a vitesse constante, avant que sa formene se stabilise autour d’une sphere.

26

2. Nouvelle approche pour interfaces dans Fisher-KPP (♯7, ♯6)

uε ≈ 0

d(t, x) > 0

uε ≈ 1

Ωct

Vn = c

hypesurface Γt

d(t, x) < 0

Vn = c

Vn = c

Figure 1 – Fisher-KPP et mouvement limite.

La limite singuliere ε → 0 de (P ε) a d’abord ete etudiee par Freidlin [95] avec desoutils probabilistes. Ensuite, Evans et Souganidis [88] ont etudie le probleme avec destechniques de type Hamilton-Jacobi (voir egalement [19], [23] mais aussi [131], [148] pourdes problemes relies).

Le point de depart de ce Chapitre est une collaboration avec Arnaud Ducrot. Nous re-etudions la limite singuliere de (P ε) en utilisant des techniques de type reaction-diffusion :principe de comparaison, ondes progressives... que nous considerons (a juste titre ?) plussimples que les outils probabilistes de [95] ou Hamilton-Jacobi de [88]. Face a ce derniertravail, la limite de nos resultats est qu’ils sont restreints aux temps ou l’interface limitene developpe pas de singularite. En revanche, dans cet intervalle de temps, nos techniques— au dela de leur simplicite— permettent, elles, d’estimer l’epaisseur des couches detransition de uε. A notre connaissance, il s’agit de la premiere etude de (P ε) par des tech-niques reaction-diffusion ainsi que de la premiere estimation des couches pour Fisher-KPP(travail alors plutot reserve a Allen-Cahn, cf Chapitre I).

2 Nouvelle approche pour interfaces dans Fisher-KPP

(♯7, ♯6)

Nous considerons donc la limite singuliere ε→ 0 de (P ε). Nous considerons des condi-tions initiales avec des comportements a l’infini tres divers obtenant ainsi le continuum devitesses [c∗,∞) pour l’interface limite. Enfin, nous prouvons une estimation en O(ε| ln ε|)de l’epaisseur des zones de transition pour les solutions uε de (P ε).

Commencons par detailler le cas d’une condition initiale u0,ε = g a support compact.Precisement on fait les hypotheses suivantes.

Hypothese 16 (Condition initiale). On se donne un ouvert borne convexe Ω ⊂ RN afrontiere reguliere Γ0. On se donne g : Ω→ R strictement positive dans Ω, nulle sur ∂Ω

27


et telle que, pour un δ > 0, ∣∣∣∣∂g∂n(y)∣∣∣∣ ≥ δ pour tout y ∈ Γ0,

ou n designe le vecteur normal unitaire exterieur a Γ0 au point y. Alors la conditioninitiale u0,ε ≡ g : RN → R de (P ε) est donnee par

g(x) =

g(x) si x ∈ Ω

0 si x /∈ Ω.

Le mouvement de l’interface limite est alors regi par

(P ∗)

Vn = c∗ sur Γ∗

t

Γ∗t

∣∣t=0

= Γ0 ,

ou c∗ est la vitesse miminale des fronts Fisher-KPP. Les hypotheses de regularite de Γ0

et de convexite initiale permettent de definir une solution classique de (P ∗) pour touttemps : Γ∗ =

∪t≥0(t × Γ∗

t ). On cherche donc a valider le scenario de la Figure 1, avecune estimation aussi fine que possible des zones de transition autour de l’interface, entreuε ≈ 0 et uε ≈ 1.

Mettant a profit la convexite, on construit une famille de sur-solutions — indexee parles points x0 ∈ Γ0— dont les lignes de niveau sont des plans avancant a la vitesse c∗ :

u+x0(t, x) := Cste U∗

((x− x0) · n0 − c∗t

ε

), (2)

ou n0 est le vecteur unitaire normal exterieur a Γ0 au point x0, et (c∗, U∗) le front critique

solution de(U∗)′′(z) + c∗(U∗)′(z) + U∗(z)(1− U∗(z)) = 0 pour tout z ∈ RU∗(−∞) = 1, U∗(0) = 1

2, U∗(∞) = 0.

Le controle de uε “par-dessous” est plus delicat. Pour les temps courts de generationde l’interface, l’EDP peut etre formellement approchee par l’EDO ∂tu

ε = 1εuε(1−uε). On

construit alors des sous-solutions (pour des temps courts) en utilisant une perturbationbistable de la dynamique de cette EDO. Il s’agit ensuite d’analyser la propagation del’interface par-dessous. Observons d’abord que Hilhorst et al. [113] ont construit des sous-solutions de propagation pour etudier la limite singuliere de Fisher-KPP avec diffusiondegeneree. Dans ce cas les ondes progressives sous-jacentes sont a support compact cequi permet de les utiliser comme sous-solutions. Pour notre probleme non degenere, nousutilisons les solutions de type ondes progressives non monotones de vitesse c < c∗ qui,elles, changent de signe :

U ′′(z) + cU ′(z) + U(z)(1− U(z)) = 0 pour tout z ∈ RU(−∞) = 1, U(∞) = 0

U(z) > 0 pour tout z < 0

U(0) = 0 .

(3)

28

3. Equation monostable avec retard (♯14)

On construit alors des sous-solutions du type

u−cε(t, x) :=

(1− ε)U

(d(t,x)+ε| ln ε|m1em2t

ε

)si d(t, x) + ε| ln ε|m1e

m2t < 0,

0 sinon,(4)

ou d(t, x) designe la distance signee a l’interface Γcεt et avec l’asymptotique cε = c∗ −

O(ε| ln ε|). En conclusion, on obtient alors le resultat suivant (voir Figure 1 pour certainesnotations).

Theoreme 17 (Emergence, deplacement et epaisseur des couches). Soit T > 0. Il existeα > 0 et C > 0 tels que, pour tout ε > 0 assez petit et tout tε ≤ t ≤ T , ou

tε := αε| ln ε| ,

on a

uε(t, x) ∈

[0, 1 + ε] si x ∈ NCε| ln ε|(Γ

∗t )

[1− ε, 1 + ε] si x ∈ Ω∗t \ NCε| ln ε|(Γ

∗t )

[0, ε] si x ∈ (RN \ Ω∗t ) \ NCε| ln ε|(Γ

∗t ) ,

ou Nr(Γ∗t ) := x ∈ RN : dist(x,Γ∗

t ) < r designe le r-voisinage tubulaire de Γ∗t .

Ensuite, nous considerons pour condition initiale des perturbations exponentielles deg :

u0,ε(x) := g(x) + hε(x), hε(x) ∼ e−λ∥x∥ε quand ∥x∥ → ∞.

Quand λ ≥ 1 alors la perturbation s’ecrase plus vite que l’onde critique (c∗, U∗) quise comporte comme ze−z quand z → ∞. Dans ce cas, la perturbation n’a aucun effetsur le probleme limite et tous les resultats ci-dessus restent valables. Neanmoins, quand0 < λ < 1, l’ecrasement de la perturbation correspond a celui en e−λz de l’onde de vitessecλ := λ + λ−1 ∈ (c∗ = 2,∞). Dans ce cas, l’interface limite se deplace non plus avec lavitesse c∗ mais avec la vitesse cλ > 2, et les resultats ci-dessus se generalisent. A noterque, cette fois, les ondes de vitesses legerement inferieures a la vitesse attendue cλ nechangent pas de signe, aussi la construction de sous-solutions (3)—(4) ne fonctionne pas.Nous utilisons l’onde naturelle (cλ, Uλ) mais aussi l’onde legerement plus lente (cε :=cλ − ε| ln ε|, Vε) — qui decroıt plus vite— pour construire nos sous-solutions :

u−cε(t, x) := Uλ

(d(t, x) + ε| ln ε|m1e

m2t

ε

)− εVε

(d(t, x) + ε| ln ε|m1e

m2t

ε

).

3 Equation monostable avec retard (♯14)

Nous nous sommes egalement interesses au comportement asymptotique ε → 0 deuε : [−ετ,∞)× RN → R la solution de l’equation de reaction-diffusion avec retard

∂tu(t, x) = ε∆u(t, x) +1

ε[f(u(t− ετ, x))− u(t, x)] , t > 0, x ∈ RN , (5)

29


avec condition initiale de type retard

u (θ, x) = φ

(θ

ε, x

), −ετ ≤ θ ≤ 0, x ∈ RN ,

τ > 0 etant un parametre de retard donne ; la condition initiale φ : [−τ, 0] × RN → Rverifie des hypotheses en lien avec l’Hypothese 16. On se place dans le cas monostabledans le regime monotone, c’est-a-dire qu’on suppose que f : [0,∞)→ [0,∞) verifie

f(0) = 0, f(1) = 1, f ′(0) > 1, f ′(1) < 1,

f ′(u) > 0, ∀u ∈ (0, 1),

f(u) > u, ∀u ∈ (0, 1).

(6)

L’equation (5) est largement utilisee dans les modeles de dynamique des populations.Dans ce contexte, u(t, x) designe la densite des individus aux temps t et position x. Lafonction f represente le taux de naissances qui apparaıt avec un retard, prenant ainsien compte le temps necessaire pour atteindre l’age de reproduction. Enfin, le terme −ucorrespond a un taux de deces renormalise. Quand f est la fonction de Ricker

f(u) = αue−u, α ∈ (1, e),

qui verifie (6) avec ln α jouant le role de 1, l’equation (5) est communement appelee equa-tion de Nicholson avec retard et a ete utilisee pour une population de Lucilia Cuprinadites “mouches du mouton australien”. Pour la partie reactive, c’est-a-dire l’equation dif-ferentielle a retard, on renvoie a [153]. Concernant l’equation complete avec diffusion, destravaux portant sur la vitesse de propagation et les ondes progressives ont ete effectues :So et Zou [163], So, Wu et Zou [162], Thieme et Zhao [168], Fang et Zhao [90].

Revenons au cas general de f monostable. Alors l’equation monodimensionelle a retard

(∂t − ∂xx + 1)u(t, x) = f (u(t− τ, x)) , t > 0, x ∈ R,

admet des solutions ondes progressives si et seulement si c ≥ c∗ ou c∗ > 0, [156, Theorem2.7] (voir egalement [127]). L’onde critique (c∗, U∗) verifie

(U∗)′′(z) + c∗(U∗)′(z) + f (U∗(z + c∗τ))− U∗(z) = 0, ∀z ∈ R,U∗(−∞) = 1 et U∗(∞) = 0.

Nous avons alors montre que le scenario de la Section 2 pour Fisher-KPP sans retard sereproduit pour notre equation monostable a retard. En d’autres termes, on a convergencevers l’interface evoluant a vitesse c∗.

Theoreme 18 (Convergence vers l’interface). On a(i) Pour toute vitesse c ∈ (0, c∗) et tout t0 > 0, on a

limε→0+

supt≥t0

supx∈Ωc

t

|1− uε(t, x)| = 0.

30

4. Diffusion non lineaire et effet de drift (♯8)

(ii) Pour toute vitesse c > c∗ et tout t0 > 0, on a

limε→0+

supt≥t0

supx∈RN\Ωc

t

uε(t, x) = 0.

Les sur-solutions peuvent etre construites en utilisant l’onde critique U∗, comme dans(2). Le controle par-dessous pour les temps courts necessite une etude de la dynamique del’equation differentielle a retard associee (ou on utilise les resultats de Smith [161], Thieme[167] ou Hale et Verduyn Lunel [104]). En ce qui concerne la “propagation par-dessous”,on ne peut reproduire la strategie de la Section 2 car l’existence des ondes non monotonesde vitesse c < c∗ n’est pas connue dans le cas retard. L’idee centrale est d’approcher fmonostable sur (0, 1) par fη bistable sur (−η, 1). On utilise alors l’onde bistable (cη, Uη)

Uη′′(z) + cηUη

′(z) + fη (Uη(z + cητ))− Uη(z) = 0, ∀z ∈ R,Uη(−∞) = 1, Uη(0) = 0, Uη(∞) = −η,

pour construire des sous-solutions qui donnent alors le resultat car cη c∗ quand η 0.

4 Diffusion non lineaire et effet de drift (♯8)

Nous analysons ici une equation de Fisher-KPP avec diffusion density-dependent etadvection

(P ε)

∂tu

ε = ε∆ [(uε)m]−∇ · (uε∇vε) + 1

εuε(1− uε) dans (0,∞)× Ω ,

∂(uε)m

∂ν= 0 sur (0,∞)× ∂Ω ,

uε(0, x) = g(x) dans Ω ,

ou vε(t, x) = v(t, x) +O(ε) est une fonction donnee et m ≥ 2. Le probleme (P ε) est uneversion simplifiee d’un systeme de chemotaxis-croissance avec non-linearite logistique, ouvε(t, x) est alors couplee a uε via une equation parabolique ε∂tv

ε = ∆vε + uε − γvε, ouson approximation elliptique 0 = ∆vε + uε − γvε (voir Chapitre I, Section 3). Pour lapertinence d’une diffusion non lineaire dans les modeles de dynamique des populations,on renvoie au Chapitre I, Section 5. Le probleme etant degenere, on definit une notion desolution faible.

En ce qui concerne la limite singuliere de (P ε), signalons les travaux [80] pour desconditions initiales preparees et [113] pour un taux de convergence O(ε| ln ε|) lorsqu’il n’ya pas d’advection (vε ≡ 0). Nous avons considere des conditions initiales non preparees,montre la convergence de (P ε) vers l’interface limite evoluant par

(P 0)

Vn = c∗ +∂v

∂nsur Γ∗

t ,

Γ∗t

∣∣t=0

= Γ0,

avec une estimation O(ε) des couches de transition de uε. Comme indique precedemment,la diffusion degeneree simplifie en fait l’etude de la propagation de l’interface : on peut

31


construire des sous-solutions a l’aide des ondes progressives degenerees qui sont a sup-port compact. Le phenomene le plus subtil est ici l’effet du drift, notamment pour lestemps courts. Dans la suite, nous soulignons l’importance du drift, principalement pourl’emergence des couches.

Pour des temps courts, le terme de diffusion est negligeable devant le terme de drift−∇uε ·∇vε et le terme de reaction ε−1uε(1−uε) qui sont de force comparable. En d’autrestermes, l’EDP est approchee par un couplage entre l’equation de transport ∂tu

ε +∇uε ·∇vε = 0 et l’EDO ∂tu

ε = ε−1uε(1 − uε). Ainsi, l’EDO indique qu’une interface abruptese forme rapidement entre les regions uε ≈ 0 et uε ≈ 1 mais le transport indiqueque cette interface sera generee non pas autour de Γ0 mais d’un leger shift Γε,drift

0 deΓ0. En vue d’etudier ce phenomene, on utilise alors les coordonnees lagrangiennes. Pour(t0, x0) ∈ R×RN , on designe par φ(t0,x0) la solution, definie sur R, du probleme de Cauchy

dX

dt(t) = ∇v (t,X(t))

X(t0) = x0 .

On appelle Φ le flot associe defini sur R× R× RN par

Φ(t1, t2, x3) := φ(t2,x3)(t1) . (7)

Depuis t = 0 jusqu’atε := ε| ln ε| (temps de generation) ,

on laisse chaque point de Γ0 evoluer avec la loi (7) et on definit alors Γε,drift0 par

Γε,drift0 := Φ(tε, 0, x) : x ∈ Γ0 .

Le resultat mathematique traduisant l’emergence des couches est alors le suivant.

Theoreme 19 (Emergence des couches). Soit η ∈ (0, 1/2) arbitraire. Alors il existeM0 > 0 tel que, pour tout ε > 0 assez petit, on a les resultats suivants pour tout x ∈ Ω.

(i) 0 ≤ uε(tε, x) ≤ 1 + η ;

(ii) si g(Φ(0, tε, x)) ≥M0ε alors uε(tε, x) ≥ 1− η ;(iii) si dist(Φ(0, tε, x),Ω0) ≥M0ε alors uε(tε, x) = 0, ou Ω0 = x : g(x) > 0.

Notons que le point (iii) indique qu’en un point qui “provient par le flot (7)” d’unendroit qui etait en dehors d’au moins O(ε) de l’interface initiale, la solution, au temps degeneration tε, est nulle. C’est donc une propriete de propagation a vitesse finie du support,phenomene recurrent dans les equations degenerees.

A noter que l’ecriture du resultat complet (avec la propagation) utilisera alors le pro-bleme limite avec drift initial :

(P 0ε,drift)

Vn = c∗ +∂v

∂nsur Γε,drift

t ,

Γε,driftt

∣∣t=0

= Γε,drift0 .

32

5. Perspective : role de l’heterogeneite (♯21)

5 Perspective : role de l’heterogeneite (♯21)

Pour prendre en compte certains changements de l’environnement, introduisons main-tenant de l’heterogeneite dans l’equation de Fisher-KPP (pour l’instant sans scaling) :

∂tu = ∆u+ f(x, u). (8)

On considere ici une heterogeneite periodique : f(·, u) : RN → R est Li > 0 periodique enxi.

Dans ce cadre periodique, l’extension naturelle du front progressif est alors le frontpulsatoire, introduit par Xin [174] pour une propagation de flamme. Citons egalement lestravaux de Berestycki et Hamel [35], Berestycki, Hamel et Roques [38, 39], Hamel [105],Hamel et Roques [107]. Citons enfin Nadin [139] pour un environnement periodique enespace-temps.

On suppose que la valeur propre principale de l’operateur linearise L0ϕ := −∆ϕ −fu(x, 0)ϕ avec conditions periodiques est strictement negative (hypothese pour permettrela survie), ce qui implique l’existence d’une unique solution bornee du probleme station-naire

−∆p− f(x, p) = 0 dans RN

p(x) > 0.

Pour une direction donnee e ∈ RN , un front pulsatoire de vitesse c ∈ R∗ est une solutionentiere u(t, x) = U(x.e− ct, x; e) de (8) ou la fonction U(z, ·; e) : RN → R est periodique,et

U(−∞, x; e) = p(x) ≥ U(z, x; e) ≥ U(+∞, x; e) = 0,

avec limites uniformes en x ∈ RN quand z → ±∞.

Theoreme 20 (Fronts pulsatoires pour Fisher-KPP [39]). Pour une direction donneee ∈ RN , il existe c∗(e) > 0 telle qu’un front pulsatoire (c, U) existe si et seulement sic ≥ c∗(e).

Dans un travail en cours avec Thomas Giletti, nous essayons de comprendre le pheno-mene d’interface dans un tel modele periodique. Pour ce faire, nous considerons

(P ε)

∂tuε = ε∆uε +

1

εf(xε, uε)

dans (0,∞)× RN

uε(0, x) = g(x) dans RN ,

et laissons ε→ 0. L’interface limite devrait se deplacer avec une vitesse qui, en tout point,depend de la direction de la normale, soit un mouvement relativement original. Pour desconditions initiales a support compact, on devrait obtenir

Vn = c∗(n) sur Γt

ou Vn est la vitesse normale de Γt dans la direction n, la normale unitaire exterieure a Γt.Ici c∗(n) designe la vitesse minimale des fronts pulsatoires Fisher-KPP dans la directionn.

33


34

Chapitre IIIInvasion dans modeles non locaux

Sommaire

1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2 L’equation de Fisher-KPP non locale (♯13), (♯19) . . . . . . . 37

3 Les cas bistable et ignition (♯16) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4 Invasion et evolution (♯15) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

5 Invasion et rechauffement climatique (♯18) . . . . . . . . . . . 42

6 Perspectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

35

Chapitre III Invasion dans modeles non locaux

1 Introduction

Les equations de reaction-diffusion sont frequemment utilisees en dynamique des po-pulations. On cherche a analyser des phenomenes de propagation/invasion grace a l’etudede fronts progressifs. Ces fronts sont des solutions entieres decrivant la transition, a vitesseconstante, d’un etat stationnaire a un autre. Ils ont prouve dans de nombreuses situationsleur efficacite pour decrire la dynamique de la population modelisee.

Considerons l’equation de reaction-diffusion mono-dimensionelle et homogene

∂tu = ∂xxu+ f(u) dans (0,∞)× R. (1)

L’existence des fronts progressifs est bien connue pour trois familles de non-linearites :monostable (en particulier Fisher-KPP f(u) = u(1 − u)), bistable et ignition. Un front

0 1−0.6 −0.4 −0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1.2 1.4 1.60

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0.2

0.4

−0.7

−0.5

−0.3

−0.1

0.1

0.3

0 1−0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1.2 1.40

−0.4

−0.2

0.2

0.4

−0.3

−0.1

0.1

0.3

−0.35

−0.25

−0.15

−0.05

0.05

0.15

0.25

0.35

0 1−0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1.2 1.4

0

−0.2

−0.3

−0.1

0.1

−0.25

−0.15

−0.05

0.05

0.15

Figure 1 – Nonlinearite monostable (de type KPP), bistable, ignition.

progressif est compose d’une vitesse c et d’un profil positif U tels que−U ′′ − cU ′ = f(U) dans R

U(−∞) = 1, U(∞) = 0.

Pour les cas bistable et ignition, la vitesse du front est unique alors que, dans le casmonostable, il existe un intervalle [c∗,∞) de vitesses admissibles. Les resultats les plusclassiques sont ceux de Fisher [93], Kolmogorov, Petrovski et Piskunov [122], Kanel [119],Aronson et Weinberger [15, 16], ou Fife et Mc Leod [92].

Pour des extensions, notamment aux cas periodiques et heterogenes, on renvoie a[41], [43], [171], [116], [175], [35], [39], [139], [145], [144]... Citons egalement les travaux[75], [73, 74], [157] ou la diffusion est modelisee par un noyau non local. Enfin, pour unedefinition generalisee des fronts pour une grande famille d’equations de reaction-diffusion,signalons le travail de Berestycki et Hamel [36] ainsi que [134], [37].

Dans ce contexte local (ou non local dans la diffusion), l’outil essentiel est le prin-cipe de comparaison. Il permet, a priori, d’obtenir de tres bonnes informations sur lesondes : caractere borne, caractere monotone (via une possible utilisation de la methodede glissement developpee par Berestycki et Nirenberg [42]). La construction de sous- et sur-solutions efficaces peut egalement fournir certains comportements asymptotiques. Enfin laconstruction des ondes peut parfois etre obtenue via un processus d’iterations monotones.

36

2. L’equation de Fisher-KPP non locale (♯13), (♯19)

Le point de depart de ce chapitre est base sur des collaborations avec Jerome Coville etGael Raoul. Nous considerons l’introduction d’un effet non local dans le terme de reactionqui interdit l’utilisation du principe de comparaison, et donc l’application des methodesclassiques mentionnees ci-dessus. Cela permet de modeliser des effets de competition nonlocale tres naturels en dynamique des populations et conduit a des situations riches (etdonc difficiles) du point de vue mathematique. Commencons par discuter l’equation deFisher-KPP non locale.

2 L’equation de Fisher-KPP non locale (♯13), (♯19)

Si on considere une population ou la competition se fait avec tous les individus quelleque soit leur position, on peut considerer la version non locale de l’equation de Fisher-KPP :

∂tu = ∂xxu+ µu(1− ϕ ∗ u), (2)

ou µ > 0 et ou ϕ est un noyau de convolution donne : ϕ ≥ 0,∫R ϕ = 1.

Definition 21. Une onde progressive est une vitesse c ∈ R et un profil positif U tels que

−cU ′ = U ′′ + µU(1− ϕ ∗ U) x ∈ R ,

etlim infx→−∞

U(x) > 0 , U(+∞) = 0 . (3)

Lorsque le noyau ϕ est la fonction de Dirac, on retrouve l’equation locale de Fisher-KPP

∂tu = ∂xxu+ µu(1− u) , (4)

pour laquelle on sait que des ondes existent pour toute vitesse c ≥ c∗ := 2√µ ; ces ondes

sont monotones et connectent l’etat instable 0 (quand x → ∞) a l’etat stable 1 (quandx→ −∞).

L’affaiblissement de la condition U(−∞) = 1 en lim infx→−∞ U(x) > 0 est lie auphenomene le plus deroutant de l’equation de Fisher-KPP non locale : l’equilibre u ≡ 1peut devenir instable ! En effet, en linearisant autour de l’equilibre 1, on s’interesse auprobleme aux valeurs propres λv = v′′ − ϕ ∗ v qui, apres passage en Fourier, conduit a

λ = −ξ2 − µϕ(ξ),

qui est toujours negatif (et donc l’equilibre 1 reste stable) quand ϕ ≥ 0 ou quand µest petit. Neanmoins des noyaux dont la transformee de Fourier change de signe (parexemple ϕ = 1

21[−1,1]) et des µ assez grands peuvent destabiliser l’equilibre 1 vis a vis des

perturbations periodiques. Ce phenomene a ete souligne et etudie dans [52], [101], [98],[11].

Comme indique en introduction le caractere non local de l’equation interdit les me-thodes les plus classiques (principe de comparaison, monotonie...). Neanmoins, un premierresultat de construction rigoureuse (autre que perturbative, cf [12, 13]) d’ondes est prouvepar Berestycki, Nadin, Perthame et Ryzhik [40].

37


Theoreme 22 (Ondes pour Fisher-KPP non local, [40]). Pour tout c ≥ c∗ = 2√µ, il

existe une onde (c, U) au sens de la Definition 21. De plus, si ϕ > 0 ou si µ << 1 alorsl’onde construite verifie U(−∞) = 1. Pour tout c < c∗, il n’y a pas d’onde au sens de laDefinition 21.

Pour construire l’onde de vitesse minimale, les auteurs considerent un probleme dansune boıte (−a, a)

Pτ (a)

−u′′ − cu′ = τ1u≥0µu(1− ϕ ∗ u) sur (−a, a)u(−a) = 1, u(a) = 0,

u(0) = ε,

ou 0 ≤ τ ≤ 1 est un parametre d’homotopie connectant un probleme local et trivial(τ = 0) a un probleme non local (τ = 1). La normalisation u(0) = ε permet de borner lesvitesses admissibles et est destinee, moralement, a passer sous les eventuelles oscillations agauche (reliees a l’instabilite potentielle de u ≡ 1). Une serie d’estimations a priori sur lesvitesses et les profils permet alors la construction dans la boıte via un argument de degretopologique de Leray-Schauder, developpe dans ce contexte par Berestycki, Nicolaenko etScheurer [41]. Il s’agit ensuite de faire tendre la boıte (−a, a) vers R pour recuperer alorsl’onde (c∗, U). Les ondes plus rapides se construisent ensuite par le Theoreme de pointfixe de Schauder. Notons que l’amelioration de lim infx→−∞ U(x) > 0 en U(−∞) = 1 pourϕ > 0 ou µ << 1 n’est pas surprenante puisque ces deux dernieres conditions assurent lastabilite de l’equilibre u ≡ 1.

Notons que, lorsque ϕ change de signe ou quand µ > 0 devient grand, le Theoreme 22reste flou sur le comportement en −∞ : l’onde approche-t-elle l’etat instable u ≡ 1 ? l’ondeapproche-t-elle un autre etat stationnaire periodique ? Une premiere reponse partielle estapportee dans [91] pour des noyaux a decroissance exponentielle. L’argument cle est quele linearise de l’equation autour de u ≡ 0 a un signe :

− u′′ − cu′ − u = −uϕ ∗ u ≤ 0. (5)

Ceci permet aux auteurs d’appliquer un schema d’iterations monotones, developpe dans[173] pour un probleme a retard, recuperant ainsi de la monotonie. Ils concluent queU(−∞) = 1 pour des ondes assez rapides. Plus recemment, nous avons montre (♯13) unresultat similaire mais par des arguments “directs” reposant essentiellement sur une esti-mation L2 de u′. Notre preuve n’utilise pas de monotonie et presente deux avantages parrapport a celle de [91]. D’abord, elle autorise les noyaux a decroissance lente (algebriquepar exemple), tres utilises dans les modeles biologiques. Ensuite elle est plus facilementgeneralisable puisqu’elle n’utilise pas le signe de (5) : par exemple, elle donnera une in-formation pour le cas bistable de la Section 3 malgre l’absence de signe du linearise del’equation autour de u ≡ 0. Notre resultat montre que, pour des noyaux a second momentfini, les ondes rapides du Theoreme 22 satisfont U(−∞) = 1 pouvant ainsi connecter l’etatinstable u ≡ 0 a l’etat Turing instable u ≡ 1.

Theoreme 23 (Les ondes rapides connectent deux etats instables !). On definit

c = c(ϕ, µ) := µ

(∫Rz2ϕ(z) dz

)1/2(∫Rϕ(z)(1− µz

2

2)+ dz

)−1

.

38

3. Les cas bistable et ignition (♯16)

Alors les ondes construites dans le Theoreme 22 verifient U(−∞) = 1 des que c > c.

Pour conclure, disons que la comprehension du comportement de ces ondes quandx → −∞ est un sujet difficile et actif. La question “Y a t il des ondes pour Fisher-KPPnon local qui connectent 0 a un etat stationnaire oscillant ?” reste non tranchee. Dans[141], des simulations numeriques pour un noyau a support compact semblent indiquerque l’onde de Fisher-KPP non local connecte toujours 1. Neanmoins, pour une equationnon locale mais tres simplifiee (assimilable a un retard ponctuel en espace), une ondeconnectant un wavetrain est construite dans [140]...

3 Les cas bistable et ignition (♯16)

L’equation locale de reaction-diffusion bistable

∂tu = ∂xxu+ u(u− θ)(1− u), 0 < θ < 1,

permet de prendre en compte l’effet Allee fort, a savoir que le taux de croissance devientnegatif a faible densite de population (manque de diversite genetique par exemple). Nousnous interessons ici a la construction de fronts pour une version non locale de l’equationbistable, a savoir

∂tu = ∂xxu+ u(u− θ)(1− ϕ ∗ u). (6)

De meme que la construction de fronts bistables dans des cylindres infinis est plus subtileque celle des fronts monostables, les fronts dans (6) sont plus difficiles a capturer que ceuxde (2). Le changement de signe de la non linearite bistable et l’equilibre supplementaireu ≡ θ s’ajoutent a la difficulte creee par le caractere non local. Notons egalement que l’etatu ≡ 1 peut etre destabilise (cf Section precedente), contrairement a une non-linearite dutype u(ϕ ∗ u− θ)(1− u) traitee dan [172].

Dans (♯16), nous avons construit une onde progressive.

Theoreme 24 (Une onde bistable). Il existe une vitesse c∗ ∈ R et un profil positifU ∈ C2(R) solution de

−U ′′ − c∗U ′ = U(U − θ)(1− ϕ ∗ U) sur R,

telle que, pour un certain ε > 0,

U(x) ≥ θ + ε pour tout x ∈ (−∞,−1/ε),

U decroıt sur [x,+∞) avec x > 0, et

limx→+∞

U(x) = 0.

Ici encore on commence par construire une solution dans une boıte grace au degretopologique de Leray Schauder et l’homotopie entre un probleme trivial pour τ = 0 et leprobleme non local pour τ = 1 :

Pτ (a)

−u′′ − cu′ = τ1u≥0u(u− θ)(1− ϕ ∗ u) sur (−a, a)

u(−a) = 1, u(0) = θ, u(a) = 0.

39


En laissant ensuite a → ∞ on recupere une solution sur R mais l’equilibre intermediaireu ≡ θ oblige a s’assurer de la non trivialite de l’onde construite, au sens ou on souhaitequ’elle visite (0, θ) et (θ, 1). Cette difficulte supplementaire est classique pour le cas bis-table. Elle survient, par exemple, pour la construction d’ondes bistables dans des cylindresinfinis dans [43] ; les auteurs utilisent alors de subtils arguments d’energie pour montrerla non trivialite. Notre cadre non local semble exclure de telles preuves. Nos argumentssont relativement directs : on montre d’abord la propriete essentielle que, pour des boıtesassez grandes,

u(x) = θ si et seulement si x = 0,

grace a un argument de continuation le long de l’homotopie et le lemme de Hopf ; ensuite onfait glisser depuis l’infini des sous-solutions “petites bosses” pour faire legerement decollerla solution a gauche et a droite.

Encore une fois, la question du comportement de l’onde a gauche reste ouverte. Onpeut cependant donner un premier resultat de type perturbatif. Si le noyau se concentrevers une masse de Dirac alors on s’attend a ce que l’onde non locale soit une perturbationde l’onde du cas local, soit (c∗0, U0) l’unique solution de

U0′′ + c∗0U0

′ + U0(U0 − θ)(1− U0) = 0

U0(−∞) = 1, U0(0) = θ, U0(∞) = 0,(7)

et on s’attend donc a ce que U(−∞) = 1. Nous sommes a meme de prouver ce scenariolorsque c∗0 = 0, ce qui est equivalent a θ = 1

2. Prenons σ > 0 comme parametre de

concentration et definissons

ϕσ(x) :=1

σϕ(xσ

).

Proposition 25 (Noyaux concentres). Notons (c∗σ, Uσ) l’onde progressive associee aunoyau ϕσ construite au Theoreme 24.

(i) Supposons

∫R|z|ϕ(z) dz <∞. Alors c∗σ → c∗0, quand σ → 0.

(ii) Supposons θ = 12et

∫Rz2ϕ(z) dz < ∞. Alors il existe σ0 > 0 tel que, pour tout

0 < σ < σ0,Uσ(−∞) = 1.

Le resultat perturbatif (i) s’appuie sur la bonne comprehension [92, Theorem 3.1] entemps long du probleme de Cauchy local obtenu comme perturbation du cas non local.Le point (ii) s’appuie sur la generalisation au cas bistable de l’argument “estimation L2

de u′ pour Fisher-KPP (♯13)” (cf les quelques lignes avant le Theoreme 23).

Remarque 26 (Cas ignition). Les resultats de cette section s’etendent de maniere quasidirecte (avec l’information supplementaire que c∗ > 0) au cas ignition, a savoir

−U ′′ − c∗U ′ =

0 quand U < θ

(U − θ)(1− ϕ ∗ U) quand U ≥ θ,

ou les choses sont plus simples puisque “calculables” a droite.

40

4. Invasion et evolution (♯15)

4 Invasion et evolution (♯15)

On s’interesse ici aux phenomenes de propagation dans des equations de reaction-diffusion non locales s’ecrivant

∂tn(t, x, y) −∆xn(t, x, y)−∆yn(t, x, y)

=

(r(y −Bx · e)−

∫Rk(y −Bx · e, y′ −Bx · e)n(t, x, y′) dy′

)n(t, x, y),

ou (x, y) ∈ Rd × R, e ∈ Sd−1, B ≥ 0, r : R → R et k : R2 → R+. Ces equationsapparaissent comme modeles en dynamique des populations [147], [150], [136] et n(t, x, y)est une densite de population dependant d’une variable spatiale x ∈ Rd et d’un traitphenotypique continu y ∈ R. La population est sujette a quatre phenomenes : dispersionspatiale, mutations, croissance et competition. Dispersion et mutations sont modeliseespar des operateurs de diffusion. Le taux de croissance au point x et au trait y est donnepar r(y − Bx · e), avec r maximal en zero et negatif en dehors d’un intervalle compact.Cela represente une population vivant dans un gradient environnemental : pour survivreen x un individu doit avoir un trait proche du trait optimal donne par yopt = Bx ·e. Ainsi,si la population veut envahir son environnement, elle doit evoluer ! Enfin, on considereune regulation logistique de la population qui est non locale en le trait y : il existe unecompetition (pour la nourriture par exemple) avec tous les individus, quel que soit leurtrait. On renvoie a [60] pour plus de details sur ces modeles individus-centres.

On s’interesse au devenir de la population en temps long. Sans perte de generaliteon peut supposer que e = e1 puis, en posant n(t, x, z) := n(t, x, z + Bx · e1), on reecritl’equation sous la forme

∂tn(t, x, z)− E(n)(t, x, z) =(r(z)−

∫Rk(z, z′)n(t, x, z′) dz′

)n(t, x, z), (8)

avec E(n) := ∆xn+(B2 + 1) nzz−2B∂x1zn (operateur elliptique). De maniere classique, lesigne de la valeur propre principale (voir [44], [45] pour plus de details sur cette notion dansdes domaines generaux) du probleme elliptique linearise en zero tranche entre extinctionet propagation.

Definition 27 (Valeur propre principale). On designe par (λ0∞,Γ0∞) ∈ R × C∞(R) la

solution du probleme valeur propre principale− (B2 + 1)∆zΓ

0∞(z)− r(z)Γ0

∞(z) = λ0∞Γ0∞(z) pour tout z ∈ R

Γ0∞(z) > 0 pour tout z ∈ R, Γ0

∞(0) = 1.

Pour fixer les idees, on peut choisir le cas type ou r(z) = 1 − Az2, A > 0, auquel cas

on calcule λ0∞ =√A (B2 + 1)− 1 et Γ0

∞(z) = exp(−√

AB2+1

z2

2

)est une gaussienne.

Lorsque λ0∞ > 0, on montre facilement que la population s’eteint exponentiellementvite, en utilisant le principe de comparaison parabolique sur l’equation lineaire obtenue ensupprimant le terme non local. Lorsque λ0∞ < 0, on construit des fronts qui se propagentle long de l’axe optimal z = 0 (qui correspond a y = Bx · e1) au sens suivant.

41


Theoreme 28 (Fronts progressifs). On suppose λ0∞ < 0 et definit

c∗ := 2

√−λ0∞B2 + 1

. (9)

(i) Pour tout c ≥ c∗, il existe U ∈ C2(R2) solution strictement positive de

−E(U)(x, z)− cUx(x, z) =

(r(z)−

∫Rk(z, z′)U(x, z′) dz′

)U(x, z) sur R2, (10)

ou E(u) := uxx + (B2 + 1)uzz − 2Buxz, avec

ν1(x,z)∈(−∞,0]×[−ν,ν](x, z) ≤ U(x, z) ≤ Ce−Kz2 , ∀(x, z) ∈ R2, (11)

pour certains ν > 0, C > 0, K > 0, et

∥U(x, ·)∥∞ →x→+∞ 0,

∫RU(x, z) dz →x→+∞ 0. (12)

(ii) Pour 0 ≤ c < c∗, il n’y a pas de solution U(x, z) positive de (10) telle que U(x, z) ≤ψ(z) avec ψ ∈ L1(R) et lim infx→+∞ U(x, 0) = 0.

Il s’agit d’abord de construire une solution dans une boıte grace au degre topologique.La premiere estimation a priori est celle de la masse

∫u(x, z) dz obtenue par integration

en z de l’equation et utilisation du principe du maximum. Combinant ce controle dela masse avec des resultats de “controle local par la norme L1” [99, Theoremes 9.20 et9.26], on obtient une borne uniforme sur le profil u. Une autre estimation fine est lecontrole des queues de u pour z → ±∞. Il s’agit, grosso modo, de dominer par desperturbations des fonctions propres (disons des gaussiennes). Enfin, on a besoin de bornerles vitesses. Soulignons l’utilisation assez recurrente de l’inegalite de Harnack. A noterque, contrairement a [41] et [40], la monotonie des fronts par rapport a x assez grandest loin d’etre claire. Enfin, comme precedemment, concernant le comportement de l’ondequand x→ −∞, on ne peut que donner l’estimation par en-dessous de (11).

5 Invasion et rechauffement climatique (♯18)

On reprend le modele de la section precedente mais en prenant en compte, en plus del’evolution, le rechauffement climatique.

Par exemple, on considere que, a t = 0, le taux de croissance est maximal le longd’un trait optimal qui depend lineairement de la position x (qu’on peut voir comme lalatitude) yopt = −Bx puis que, sous l’effet du rechauffement climatique, les conditionssont translatees a une vitesse donnee c > 0 (disons vers le nord). Ainsi, pour t > 0, lemeilleur trait pour croıtre est donne par y = −B(x − ct). Nous considerons donc desmodeles du type

∂tn(t, x, y)− ∂xxn(t, x, y)− ∂yyn(t, x, y)

=

(r(x− ct, y)−

∫RK(t, x, y, y′)n(t, x, y′) dy′

)n(t, x, y). (13)

42

5. Invasion et rechauffement climatique (♯18)

avec 0 < k− ≤ K(t, x, y, y′) ≤ k+ <∞.En accord avec l’exemple ci-dessus, la fonction de croissance type est donnee par

r(x− ct, y) = 1− A(y +B(x− ct))2 cas non confine

ou A > 0. Dans un registre legerement different, nous considerons egalement une deuxiemeforme de fonction de croissance donnee par

r(x− ct, y) = 1− A(y +B(x− ct))2 − εy2 cas confine

ou A > 0, ε > 0. Notons que dans le cas non confine tous les traits y permettent desurvivre pourvu que la position soit adaptee. En revanche, dans le cas confine, des que letrait ou la position est trop grand, il n’y a aucune position favorable pour survivre.

Notre but est de determiner les conditions qui impliquent l’extinction de l’espece etcelles qui autorisent sa survie, voire sa propagation. Qualitativement, a l’aide d’un pro-bleme de valeur propre principale, on determine une vitesse critique c∗ > 0 (cas confine),c∗∗ > 0 (cas non confine) pour le changement climatique. Dans le cas confine, si c > c∗

alors le climat va trop vite et la population s’eteint ; si 0 < c < c∗ alors la population a letemps de s’adapter et survit (sans toutefois envahir). Dans le cas non confine, si c > c∗∗

alors la population s’eteint ; si 0 < c < c∗∗ alors la population survit et meme envahitl’espace.

Donnons maintenant des resulats mathematiques precis un peu plus precis. Pour definirla vitesse critique, on suit le travail de Berestycki, Diekmann, Nagelkerke et Zegeling [34]qui ont pris en compte le rechauffement climatique pour un modele local sans prise encompte de l’evolution. Posant u(t, x, y) := e

cx2 n(t, x+ ct, y), l’equation (13) se reecrit

∂tu− ∂xxu− ∂yyu

=

(r(x, y)− c2

4−∫RK(t, x+ ct, y, y′)e−

cx2 u(t, x, y′) dy′

)u(t, x, y).

Designant alors par (λ∞,Γ∞) ∈ R × C∞(R) la solution du probleme valeur propre prin-cipale−∂xxΓ∞(x, y)− ∂yyΓ∞(x, y)− r(x, y)Γ∞(x, y) = λ∞Γ∞(x, y) pour tout (x, y) ∈ R2

Γ∞(x, y) > 0 pour tout (x, y) ∈ R2, ∥Γ∞∥∞ = 1,

on definit alors les vitesses critiques

c∗ :=

2√−λ∞ si λ∞ ≤ 0

−∞ si λ∞ > 0.cas confine, (14)

c∗∗ :=

2√−λ∞ 1+B2

B2 if λ∞ < 0

−∞ if λ∞ ≥ 0cas non confine. (15)

On considere alors n(t, x, y) solution positive de (13) avec condition initiale n0 ≥ 0et possedant des queues exponentielles (dans un sens dependant du cas confine ou non).

43


En integrant l’equation en y ∈ R, on peut montrer que la masse N(t, x) =∫R n(t, x, y) dy

reste bornee. Ceci permet alors de controler le terme non local et d’utiliser alors l’inegalitede Harnack parabolique [86, page 391]. On montre que n(t, x, y) conserve, dans un certainsens, les queues exponentielles de la condition initiale. Ceci permet ensuite de localiser lesraisonnements et de montrer successivement les resultats mathematiques extinction/surviedans la cas confine et extinction/invasion dans le cas non confine. On se contente icid’enoncer le resultat d’invasion “vers la droite” dans le cas non confine.

Theoreme 29 (Invasion vers la droite et vitesse associee). On se place dans le cas nonconfine et on suppose 0 ≤ c < c∗∗. Alors toute solution positive n(t, x, y) de (13) aveccondition initiale a support compact n0 ≥ 0, n0 ≡ 0 se propage vers x = +∞ a vitesse

ω+x =

√− 4λ∞1 +B2

− B2

(1 +B2)2c2 +

B2

1 +B2c.

Plus precisement il existe une fonction ψ : R→ R avec ψ(z)→z→∞ 0 et telle que

∀(t, x) ∈ [1,∞)× R, max

(∥n(t, x, ·)∥∞,

∫Rn(t, x, y) dy

)≤ ψ(x− ω+

x t), (16)

et, pour toute vitesse −√− 4λ∞

1+B2 − B2

(1+B2)2c2 + B2

1+B2 c < ωx < ω+x , il existe β > 0 tel que

∀t ∈ [1,∞),

∫Rn(t, ωxt, y) dy ≥ β. (17)

6 Perspectives

Sans rentrer dans trop de details, evoquons ici trois pistes possibles de recherches pourles equations non locales.

Lecture ecologique de la Section 5. Les resultats mathematiques sur le modele nonlocal de la Section 5 prenant en compte l’evolution et le rechauffement climatique sont encours de redaction. En parallele, nous avons commence des discussions avec Ophelie Ronce(Institut des Sciences de l’Evolution de Montpellier) en vue d’en donner une lecture eco-logique. O. Ronce travaille notamment sur les phenomenes decoulant de l’adaptation (viamutations par exemple) des especes aux gradients environnementaux [151], [83]. L’echangeest enrichissant : O. Ronce essaie de nous faire comprendre les attentes de la “commu-naute ecologie” et nous essayons, ensemble, de reecrire nos resultats dans cet esprit... Nousesperons ainsi ecrire un papier pour soumission dans une revue d’ecologie.

Connecter zero a un wavetrain. Comme indique en Section 2, la construction (asupposer qu’il existe !) d’un front connectant zero a un wavetrain pour Fisher-KPP nonlocal (2) est un probleme ouvert et delicat. Une possibilite est de s’inspirer de certainstravaux [173], [129, 130], [124], [100], [108] portant sur l’equation de Fisher-KPP avecretard :

∂tu(t, x) = ∂xxu(t, x) + u(t, x)(1− u(t− τ, x)), τ > 0, (18)

44

6. Perspectives

pour laquelle l’existence d’un front “zero—wavetrain” est connue [108]. Certes le retarddans l’equation (18) est plus facile a traiter que le caractere non local de (2), mais certainesidees sont peut-etre exploitables.

Remarque 30. Entre la redaction de ce document et sa soutenance, un resultat instruc-tif dans cette direction a ete obtenu en collaboration avec P. Chossat et G. Faye (♯19).Nous considerons (2) avec un certain noyau ϕ ayant la forme d’un dos de chameau eta transformee de Fourier changeant de signe. Quand µ > 0 grandit on est donc dans lasituation ideale pour obtenir une onde progressive u(x− ct) — qui sera forcement “lente”au vu de [91] et (♯13)— connectant 0 a un wavetrain. Neanmoins nous montrons pardes techniques de bifurcation que toutes les ondes progressives connectent 0 a 1 (et pas aun wavetrain !). Ceci renforce la conjecture numerique de [141] : pour connecter 0 a unwavetrain dans (2) l’ansatz onde progressive u(x− ct) n’est pas adapte...

Approche Hamilton-Jacobi. Un objectif voisin de la construction d’un front “zero—wavetrain” pourrait etre de considerer la limite ε → 0 de l’equation de Fisher-KPP nonlocale redimensionnee :

∂tuε = ε∆uε +

1

εuε(1− ϕ ∗ uε),

obtenue par le changement d’echelle uε(t, x) := u(tε, xε

). On etudie alors le phenomene

de concentration obtenue dans la limite ε → 0. En s’inspirant, entre autres, des travaux[79], [21], [20], [61], on espere alors montrer que uε tend vers des masses de Dirac qui sepropagent et qui sont caracterisees par la solution de viscosite d’une equation de Hamilton-Jacobi, qu’il s’agit d’identifier.

45


46

Chapitre IVLois de conservation fractionnaires

Sommaire

1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2 Lois de conservation fractionnaires pour les gaz (♯12) . . . . . 49

3 Le cas critique : premiers resultats (♯20) et perspectives . . . 51

47

Chapitre IV Lois de conservation fractionnaires

1 Introduction

Ce chapitre sort du cadre reaction-diffusion et traite des lois de conservation fraction-naires. Afin de planter le decor, commencons par quelques rappels issus de l’introductionlimpide de la these de Alibaud [1], ou on trouvera plus de details.

Lois de conservation. Considerons

∂tu+ div(f(u)) = 0,

avec donnee initiale u0 ∈ L∞ et un flux f suppose localement lipschitzien. Une etudesimple du cas Burgers f(u) = u2

2par la methode des caracteristiques montre que des

chocs peuvent se creer, et ce meme pour u0 et f lisses. Il faut donc sortir du cadre dessolutions classiques. On se tourne alors naturellement vers les solutions faibles obtenuespar multiplication par fonctions tests et integration par parties mais il peut alors existerune infinite de solutions... La bonne notion est celle de solution entropique definie parKruzhkov [123]. La loi de conservation scalaire est bien posee dans ce cadre : l’existenced’une solution entropique se montre par approximation parabolique et l’unicite s’obtientpar la methode devenue classique de dedoublement des variables [123].

Laplacien fractionnaire. Le laplacien fractionnaire d’ordre 0 < λ ≤ 2 est un operateurpseudo-differentiel gλ defini via la transformee de Fourier par

F (gλ[φ]) (ξ) = |ξ|λF (φ) (ξ)

pour φ ∈ S(RN). La solution de l’equation fractionnaire

∂tu+ gλ[u] = 0,

avec donnee initiale u0 ∈ L∞ s’ecrit alors par convolution du noyau K(t, ·) := F−1(e−t|·|λ)avec la condition initiale et est donc C∞

b sur (t0,∞) × RN des que t0 > 0. L’equationreellement fractionnaire 0 < λ < 2 a donc des effets regularisants, tout comme l’equationde la chaleur obtenue pour λ = 2.

Lois de conservation fractionnaire. On considere dans ce chapitre les lois de conser-vation fractionnaires

∂tu+ div(f(u)) + gλ[u] = 0, (1)

ou s’opposent l’effet hyperbolique de la loi de conservation et l’effet parabolique fraction-naire. Ces equations apparaissent notamment dans des modeles decrivant des phenomenesde detonation dans les gaz [70], [71], [77]. Les premiers travaux mathematiques sont dusa Biler, Funaki et Woyczynski [47], Biler, Karch et Woyczynski [48].

Droniou, Gallouet et Vovelle [81] ont montre le caractere bien pose de l’equation dansun cadre“solutions classiques” lorsque 1 < λ ≤ 2. Dans le cas 0 < λ < 1, Alibaud, Droniouet Vovelle [3] ont montre que des chocs pouvaient apparaıtre. Alibaud [2] generalise alorsla notion de solution entropique de Kruzhkov aux lois de conservation fractionnaires quisont, dans ce contexte, bien posees. Nous discuterons le cas critique λ = 1 dans la Section3.

Ce court chapitre est le fruit d’une collaboration avec Jerome Droniou et d’un travailen cours avec Nathael Alibaud.

48

2. Lois de conservation fractionnaires pour les gaz (♯12)

2 Generalisation des lois de conservation fraction-

naires pour les gaz (♯12)

En realite, le modele physique de detonation dans les gaz [70], [71], [77] conduit a uneversion plus elaboree que la loi de conservation fractionnaire (1) : plutot que le Laplacienfractionnaire de symbole |ξ|λ, il apparaıt un operateur pseudo-differentiel de symbole (amasses de Dirac pres) |ξ|λH(ξ), avec H(ξ)→ 1 quand |ξ| → ∞.

Plus precisement, dans les modeles de [70], [71], [77] l’onde de choc dans les detonationsest donnee par ζ = β(τ, η), ou τ est le temps, ζ et η les coordonnees longitudinaleset transverses au choc. Si on developpe β suivant les puissances d’un petit parametrephysique, on tombe, a l’ordre zero, sur une equation lineaire des ondes puis, a l’ordre un,sur

∂β1∂τ

+1

2

(∂β1∂η

)2

+ G[β1] = 0.

Une information centrale pour la physique est alors la creation et l’evolution de “cretes”,chocs pour u := ∂β1

∂ηqui verifie

∂tu+ ∂x

(u2

2

)+ G[u] = 0.

L’operateur pseudo-differentiel G est donne par

F (G[u(t, ·)]) (ξ) = |ξ|λH(ξ)F (u(t, ·)) (ξ) ,

avec λ = 1 et H(ξ) =√1 +W (i|ξ|), avec W , definie sur l’axe imaginaire, reguliere et

telle que W (is) ∼ b/s quand s → ∞. Sous ces hypotheses, on montre alors qu’il existec ∈ R tel que

Π := F−1(| · |λ(H(·)− 1)) ∈ cδ0 + L1(RN),

avec δ0 la masse de Dirac en zero.Ainsi, plutot que (1), l’equation physique a considerer est

∂tu+ div(f(u)) + gλ[u] + Π ∗ u+ cu = 0 sur (0,∞)× RN , (2)

avec condition initiale u0 ∈ L∞(RN). Pour un tel modele, nous avons generalise unepartie des resultats mentionnes en Introduction pour (1). Dans la suite, pour simplifierles ecritures, on suppose c = 0 oubliant ainsi le terme local et lineaire (qui se traite sansdifficulte).

De maniere naturelle, on commence par etendre la notion de solution entropique de[2]. Avant cela, notons la representation integrale (voir [82]) du Laplacien fractionnaire

gλ[φ](x) = −cN(λ)∫|z|≥r

φ(x+ z)− φ(x)|z|N+λ

dz

−cN(λ)∫|z|≤r

φ(x+ z)− φ(x)−∇φ(x) · z|z|N+λ

dz , (3)

pour r > 0 et φ ∈ C∞c (RN), avec cN(λ) > 0 une constante identifiee.

49


Definition 31 (Solution entropique). Une solution entropique de (2) avec condition ini-tiale u0 ∈ L∞(RN) est une fonction u de L∞((0, T ) × RN) pour tout T > 0 et telle que,pour tout r > 0, toute φ ∈ C∞

c ([0,∞) × RN) positive, toute η ∈ C1(R) convexe et touteΦ : R→ RN telle que ∇Φ = η′∇f , on a∫ ∞

0

∫RN

(η(u)∂tφ+ Φ(u) · ∇φ) +∫ ∞

0

Gλ,r[u, η, φ](t) dt

−∫ ∞

0

∫RN

η′(u)φ (Π ∗ u) +∫RN

η(u0)φ(0, ·) ≥ 0 , (4)

ou

Gλ,r[u, η, φ](t) :=

cN(λ)

∫RN

∫|z|≥r

η′(u(t, x))u(t, x+ z)− u(t, x)

|z|N+λφ(t, x) dzdx

+cN(λ)

∫RN

∫|z|≤r

η(u(t, x))φ(t, x+ z)− φ(t, x)−∇φ(t, x) · z

|z|N+λdzdx .

Pour δ > 0 on definit uδ : [0,∞) × RN → R par le splitting suivant (voir [81] ou [2]pour de tels arguments). Soit uδ(0, ·) := u0 et, pour tout n ≥ 0, on definit par recurrence

(i) uδ sur (2nδ, (2n+ 1)δ]× RN l’unique solution entropique de

∂tu+ 2div(f(u)) + 2 gλ[u] = 0 , (5)

avec la condition initiale uδ(2nδ, ·).

(ii) uδ sur ((2n+ 1)δ, (2n+ 2)δ]× RN la solution bornee de

∂tu+ 2Π ∗ u = 0 , (6)

avec la condition initiale uδ((2n+ 1)δ, ·).

On prouve, en utilisant le Theoreme d’Arzela-Ascoli, la compacite relative de uδ : 0 <δ < T dans C([0, T ];L1

loc(RN)), puis, par extraction d’une suite δ → 0, on construit unesolution entropique. L’unicite est obtenue par une propriete de propagation a vitesse finie.

Theoreme 32 (Caractere bien pose). Soit 0 < λ ≤ 2 et u0 ∈ L∞(RN). Alors il existeune unique solution entropique u qui, de plus, est continue [0,∞)→ L1

loc(RN).

Enfin, on prouve l’effet regularisant attendu lorsque 1 < λ < 2 en utilisant une formulede Duhamel.

Theoreme 33 (Effet regularisant). Soit 1 < λ ≤ 2 et u0 ∈ L∞(RN). Alors la solutionentropique est reguliere pour t > 0 : pour tout 0 < a < T , u ∈ C∞

b ((a, T )× RN).

50

3. Le cas critique : premiers resultats (♯20) et perspectives

3 Le cas critique : premiers resultats (♯20) et pers-

pectives

Comme explique ci-dessus, l’etude de l’equation (2) permet de mieux rendre comptedu modele physique que l’equation (1). Neanmoins, la physique demande de comprendrele cas critique λ = 1 (racine carree du Laplacien), dans un premier temps pour (1).

Dans un travail en cours, nous nous penchons donc sur la loi de conservation fraction-naire

∂tu+ div(f(u)) + (−∆)1/2u = 0. (7)

Dans ce contexte critique, Chan et Czubak [62] ont montre que la solution est regulierepour une condition initiale L2. Leur preuve suit la methode de De Giorgi developpee parCaffarelli et Vasseur pour l’equation quasi geostrophique [56]. Tres recemment, Constantinet Vicol [72] ont developpe un principe du maximum non lineaire pour le Laplacien frac-tionnaire tres puissant : il leur fournit la regularite de la solution pour condition initialedans W 1,∞ et “asssez decroissante” a l’infini. Notons que ces deux resultats sont valablespour le flux Burgers f(u) = u2

2et que, surtout, le cadre naturel L∞ semblait ouvert... En

quelque sorte, il faut s’affranchir de la localisation apportee par les hypotheses de [62] ou[72] sur la condition initiale.

Dans un premier temps, nous avons recemment obtenu la regularite pour une conditionintiale L∞. Nous sommes meme capables de controler les oscillations par une EDO quinous fournit l’uniforme continuite. Il s’agit de combiner des idees des solutions de viscositeavec le principe du maximum de [72]. Dans un deuxieme temps, nous venons de nousapercevoir que — meme si ce n’est pas clairement enonce— les travaux de Silvestre [159,160] fournissent la regularite Holder pour (7) et condition initiale L∞... La deceptionpassee, nous nous attelons maintenant a obtenir, nous aussi, la regularite Holder avec nosmethodes originales, simplifiees et peut etre-porteuses d’ameliorations (controle explicitedes oscillations)...

51


52

Liste des travaux

En preparation

(♯21) M. Alfaro et T. Giletti. Pulsating asymptotic analysis of a multidimensionalFisher-KPP equation in periodic media.

(♯20) M. Alfaro et N. Alibaud. Smoothness for critical fractal conservation laws.

En redaction

(♯19) M. Alfaro, P. Chossat et G. Faye. All travelling waves of a nonlocal Fisher-KPPequation converge to 1.

(♯18) M. Alfaro, H. Berestycki et G. Raoul. The effect of climate shift on a speciessubmitted to dispersion, evolution, growth and nonlocal competition.

Soumis

(♯17) M. Alfaro et P. Alifrangis (2013). Convergence of a mass conserving Allen-Cahnequation whose Lagrange multiplier is nonlocal and local. Interfaces Free Bound.,21p.

Publies ou a paraıtre

(♯16) M. Alfaro, J. Coville et G. Raoul (2014). Bistable travelling waves for nonlocalreaction diffusion equations. Discrete Contin. Dyn. Syst. Ser. A 34 , 1775–1791.

(♯15) M. Alfaro, J. Coville et G. Raoul (2013). Travelling waves in a nonlocal reaction-diffusion equation as a model for a population structured by a space variable and aphenotypical trait. Comm. Partial Differential Equations 38 , 2126–2154.

(♯14) M. Alfaro et A. Ducrot (2014). Propagating interface in a Fisher-KPP equationwith delay. Differential Integral Equations 27 , 81–104.

(♯13) M. Alfaro et J. Coville (2012). Rapid travelling waves in the nonlocal Fisherequation connect two unstable states. Appl. Math. Lett. 25 , no. 12, 2095–2099.

(♯12) M. Alfaro et J. Droniou (2012). General fractal conservation laws arising from

53

Liste des travaux

a model of detonations in gases. Appl. Math. Res. Express 2 , no. 2, 127–151.

(♯11) M. Alfaro et H. Matano (2012). On the validity of formal asymptotic expansionsin Allen-Cahn equation and FitzHugh-Nagumo system with generic initial data.Discrete Contin. Dyn. Syst. Ser. B. 17 , no. 6, 1639–1649.

(♯10) M. Alfaro, J. Droniou et H. Matano (2012). Convergence rate of the Allen-Cahnequation to generalized motion by mean curvature. J. Evol. Equ. 12 , no. 2, 267–294.

(♯9) M. Alfaro et D. Hilhorst (2012). Interface dynamics of the porous medium equa-tion with a bistable reaction term. Asymptot. Anal. 76 , no. 1, 35–48.

(♯8) M. Alfaro et E. Logak (2012). Thickness of the transition layers in a chemotaxis-Fisher equation with density-dependent diffusion. J. Math. Anal. Appl. 387 , no. 1,251–266.

(♯7) M. Alfaro et A. Ducrot (2012). Sharp interface limit of the Fisher-KPP equation.Comm. Pure Appl. Anal. 11 , no. 1, 1–18.

(♯6) M. Alfaro et A. Ducrot (2011). Sharp interface limit of the Fisher-KPP equationwhen initial data have slow exponential decay. Discrete Contin. Dyn. Syst. Ser.B. 16 , no. 1, 15–29.

(♯5) M. Alfaro, H. Garcke, D. Hilhorst, H. Matano et R. Schatzle (2010). Motionby anisotropic mean curvature as sharp interface limit of an inhomogeneous andanisotropic Allen-Cahn equation. Proc. Roy. Soc. Edinburgh Sect. A. 140 , no. 3-4,673–706.

(♯4) M. Alfaro et D. Hilhorst (2010). Generation of interface for an Allen-Cahn equa-tion with nonlinear diffusion. Math. Model. Nat. Phenom. 5 , no. 5, 1–12.

(♯3) M. Alfaro (2010). Generation, motion and thickness of transition layers for anonlocal Allen-Cahn equation. Nonlinear Anal. 72 , no. 7-8, 3324–3336.

(♯2) M. Alfaro, D. Hilhorst et H. Matano (2008). The singular limit of the Allen-Cahnequation and the FitzHugh-Nagumo system. J. Differential Equations 245 , no. 2,505–565.

(♯1) M. Alfaro (2006). The singular limit of a chemotaxis-growth system with generalinitial data. Adv. Differential Equations 11 , no. 11, 1227–1260.

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