propagation et contrôle non destructif dans les solides...
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Propagation et Contrôle Non Destructif dans les solides
AC03Master Sciences et Technologie
mention " Acoustique et Mécanique"parcours recherche "acoustique" et "matériaux et acoustique"
Université du Maine - Le Mans 2008-2009
Catherine POTEL
I. ONDES ELASTIQUES DANS LES SOLIDES ANISOTROPES
1 Rappels d'élasticitéa) Tenseur des déformationsb) Tenseur des contraintesc) Mise sous forme matricielle
2 Comportement d'un solide élastiquea) Relation entre contraintes et déformations : loi de Hookeb) Cas particulier du solide isotropec) Milieux ayant des propriétés de symétried) Exemple de calcul de constantes élastiques par changement de repère
3 Equation de propagation4 Solution de l'équation de propagation sous forme d'ondes planes5 Propriétés du tenseur de Christoffel6 Propagation suivant des directions liées aux éléments de symétrie, dans la
direction 37 Ondes élastiques dans un milieu isotrope8 Energie - Vecteur de Poynting
a) Bilan énergétiqueb) Vitesse d'énergie pour une onde plane
9 Surfaces caractéristiquesa) Surface des vitessesb) Surface des lenteursc) Surface d'onde
II. REFLEXION ET REFRACTION DES ONDES PLANES MONOCHROMATIQUES
1 Equation de continuité (solides rigidement liés)2 Conservation de la fréquence et de la projection des vecteurs d'onde sur
l'interface3 Construction graphique : utilisation des surfaces des lenteurs4 Angles critiques - ondes évanescentes5 Coefficients de réflexion et de transmission
III. PROPAGATION DANS UNE SEULE COUCHE
1 Propagation à travers une interface2 Nombre des ondes dans une couche3 Notations - hypothèses4 Obtention des vecteurs lenteur et polarisation5 Vecteur déplacements - contraintes dans une couche6 Problèmes numériques dans le cas d'une couche7 Ecriture des conditions aux limites dans le cas d'une couche plongée dans un
fluide
IV. PROPAGATION DANS UN MULTICOUCHE1 Matrice de transfert d'une couche q2 Ecriture des conditions aux limites aux interfaces extrêmes
V. LES ONDES MODALES : CAS PARTICULIER DES ONDES DE LAMB
1 Introduction2 Déplacements et contraintes
a) Déplacementsb) Contraintesc) Mise sous forme matricielle
3 Modes de Lamb4 Courbes de dispersion
a) Domaine des basses fréquencesb) Domaine des hautes fréquencesc) Modes de Lamé
5 Analyse des déplacements6 Modes de Lamb généralisés
a) Réflexion non spéculaireb) Modes de Lamb en milieu anisotrope
7 Montage expérimentala) Génération d'une onde de Lambb) Mesure de la vitesse de groupe
VI. LES ONDES MODALES : CAS PARTICULIER DES ONDES DE RAYLEIGH
1 Obtention des ondes de Rayleigh en milieu isotropea) Rappelsb) Existence de l'onde de surfacec) Vecteur déplacements-contraintesd) Conditions aux frontières : méthodes géométrique et analytique
3 Onde de Rayleigh "généralisée"4 Généralisation aux milieux stratifiés
VII. INTRODUCTION AU CND PAR ULTRASONS1 Introduction
a) Les transducteursb) Les différents types d'échographie
3 Les transducteurs "conformables"4 Mesure de vitesses ultrasonores - Les précautions de réglage
BIBLIOGRAPHIE
C. Potel, Université du Maine 2
Onde mécanique (1/5)
La particule d'eau au centre bougeet transmet son mouvement aux autres
Une onde mécanique est un mouvement oscillatoire qui se transmet de proche en proche dans un milieu matériel, par voisinage, comme une information, un changement de position que l'on transmet à son voisin.
http://www.kettering.edu/~drussellAnimation courtesy of Dr. Dan Russell, Kettering University molécule
Représentation schématique de matière constituée de molécules (de masses données) en interactions élastiques.
Onde mécanique (2/5)
Onde mécanique : onde de compression (3/5)
dans un gaz
dans un ressort
http://www.kettering.edu/~drussellAnimation courtesy of Dr. Dan Russell, Kettering University
Onde mécanique : onde de cisaillement (4/5)
système discret
système continu : propagation d'une impulsion le long d'un ressort. Les sections du ressort se déplacent de haut en bas à mesure que le pulse se déplace de la gauche vers la droite
C. Potel, Université du Maine 3
Onde mécanique : onde de flexion (5/5)
ondes de flexion dans une corde vibrante
http://www.kettering.edu/~drussellAnimation courtesy of Dr. Dan Russell, Kettering University
GAZ LIQUIDE SOLIDE
V air = 340 m/s V eau = 1500 m/s V métal ≅ 6000 m/s
Vitesse de propagation
Aspect schématique des trois états fondamentaux de la matière et ordre de grandeur de la vitesse propagation des ondes de compression pour chacun d'eux
Seul mouvementautorisé
Aucune informationn'est transmise
L'information est transmise d'autant plus vite que la raideur des ressorts est grande
ONDE DE CISAILLEMENT
ONDE DE COMPRESSION
De la matière discontinue...
polarisation
propagation
polarisation
propagation
particule λ
λ
... à la matière continue
C. Potel, Université du Maine 4
http://www.ens-lyon.fr/Planet-Terre/Infosciences/Geodynamique/Structure-interne/Sismologie/pendulum.html
Différents types d'onde
I II0
III
rupture
σ = FS
ε = ∆ LL 0
zone I Elasticité linéairezone II Elasticité non linéairezone III Plasticité
L0
L
0SAAA
A
A
A
A
A
B
B
A
A
BB
L
L u
- F→
F→
F→
- F→
AA
AA
AA
section
section ≈ 0SS
S <section 0S section ≈ 0SS
section Su << S0
Eprouvette non sollicitée
Eprouvette sollicitée avant l'apparition de la striction
Eprouvette sollicitée après l'apparition de la striction
Eprouvette reconstituée après rupture
Essai de traction
F→
L
L'
M N
M' N'
∆ x
u(x+∆ x) - u(x) + ∆ x
u(x)
u(x+∆ x)
x x+∆ x
x + u(x) x + ∆ x + u(x+∆ x)
( )⎯⎯ →⎯
= 'MMxurdéplacement particulaire :
variation relative de longueur du petit élément MN :
( ) ( )[ ]xu
xxxxuxxu
∆∆
=∆
∆−∆+−∆+( ) ( )xuxxuu −∆+=∆
0u =∆0u ≠∆
simple translationdéformation
Allongement d'un fil extensible
Ω+=Sugrad r( ) xdugradxdxuxd
xuxd
xuud 3
32
21
1
rrrrr
r⋅=
∂∂
+∂∂
+∂∂
= avec
symétrique antisymétrique
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂
∂−
∂
∂−⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂
∂−
∂
∂−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂
∂−
∂
∂⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂
∂−
∂
∂−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂
∂−
∂
∂⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂
∂−
∂
∂
=Ω
0xu
xu
21
xu
xu
21
xu
xu
210
xu
xu
21
xu
xu
21
xu
xu
210
2
3
3
2
1
3
3
1
2
3
3
2
1
2
2
1
1
3
3
1
1
2
2
1
( ) ( ) jjijjijijji xdxdSxuxdxu Ω++=+
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂
∂+
∂
∂=
i
j
j
iji x
uxu
21S
( ) ( ) udMuNu rrr+=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
∂
∂⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂
∂+
∂
∂⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂
∂+
∂
∂
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂
∂+
∂
∂
∂
∂⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂
∂+
∂
∂
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂
∂+
∂
∂⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂
∂+
∂
∂
∂
∂
=
3
3
2
3
3
2
1
3
3
1
2
3
3
2
2
2
1
2
2
1
1
3
3
1
1
2
2
1
1
1
xu
xu
xu
21
xu
xu
21
xu
xu
21
xu
xu
xu
21
xu
xu
21
xu
xu
21
xu
S
M N
udr
M'
N'
r ( )Nur
( )Mu
( ) ( ) MOdSMOdMuNu ⋅+⋅Ω+=rr
Tenseur des déformations S
C. Potel, Université du Maine 5
( ) ( ) MOdSMOdMuNu ⋅+⋅Ω+=rr
0=Ω 0S =Si et alors ( ) ( )MuNu rr=
simple translation
MN
M' N'
O
OMOMdOM +
rr ( ) ( )MuNu =
OMd
simple translation
MN
M' N'
O
OMOMdOM +
rr ( ) ( )MuNu =
OMdM
N
M' N'
O
OMOMdOM +
rr ( ) ( )MuNu =rr ( ) ( )MuNu =
OMd OMd
0S =Si et alors( ) 0Murr
= ( ) MOdNu ⋅Ω=r
( ) NMxdxdxd
xdxdxd
00
0
ududud
Nu
3
2
1
3
2
1
3
2
1
12
13
23
3
2
1
∧ω=∧ωωω
=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
ωω−ω−ωωω−
==rr
BBBB
M=M '
N'
N
ω
ω→
simple rotation( ) MOdMu ⋅Ω+r : déplacement du solide au sens mécanique
Si et alors( ) 0Murr
= ( ) MOdSNu ⋅=r
0=Ω déformation
( ) ( ) MOdSMOdMuNu ⋅+⋅Ω+=rr
translation rotation déformation pure
mécanique
Interprétation (1/3)
simple translation
M N
N'N" udr
M'
MN
M' N'
xdr
O
xrxdx rr
+
rr ( ) ( )MuNu =
translation + déformationtranslation + rotation
translation + déformation + rotationM N
N"'
N"
udr
M'
N'
N IV
rud S
Ωudr
r ( )Nu
M N
N'
N"udr
M'r ( )Nu
rud
rr ( ) ( )MuNu = +rud S Ωud
r+
r ( )Nu
Interprétation (2/3) : déplacement local de deux points
Interprétation (3/3)
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
∂
∂⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂
∂+
∂
∂⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂
∂+
∂
∂
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂
∂+
∂
∂
∂
∂⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂
∂+
∂
∂
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂
∂+
∂
∂⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂
∂+
∂
∂
∂
∂
=
3
3
2
3
3
2
1
3
3
1
2
3
3
2
2
2
1
2
2
1
1
3
3
1
1
2
2
1
1
1
xu
xu
xu
21
xu
xu
21
xu
xu
21
xu
xu
xu
21
xu
xu
21
xu
xu
21
xu
S
Sii : déformation dans la direction xi
Sij : demi distorsion dans les directions xi et xj
M Nixi→
Nj
xj→
N'i
N'j
α
( )332211 xuxuxu1V'V ∂∂+∂∂+∂∂+≈ ( ) StraceudivVV'V =≈−r
( )2
1
1
2
0xd0xd21 x
uxu
2limn,n,M
21 ∂
∂+
∂
∂=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ α−
π=γ
→→
rr
a
bcx1
x2
x3
McbaV =
a'
b'
c'M
'c'b'a'V =
déformation supposée sans cisaillement
MI
II
n→dS
→T
d F→
( ) n.TSdFdlimn,MT
0Sd
rr==
→
→
→
kkii nT=T
x 3
x 2
x 1 ∆ S 2
∆ F 3
→
∆ F 2
→
∆ F 1
→
∆ F→
cisaillement
traction ou compression
ikk
i
0ski TSF
limTk
=∆
∆=
→∆
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
333231
232221
131211
TTTTTTTTT
T
( )32
22
12
xx
TTT
eTe,MT22
B=⋅=
→ rr
Tenseur des contraintes T (1/2)
C. Potel, Université du Maine 6
x 3
x 2
x 1
O
M
A1
A2
A3
dS2
T12
T22
T32
dS3
dS1
T11
T21
T31
T13
T23
T33
Tenseur des contraintes T (2/2)
Hypothèse des petites déformations :
rigidités élastiques
Notation matricielle : c α β = c i j k l
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 621125133142332
333222111↔=↔=↔=↔↔↔
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂
∂+
∂
∂=
i
j
j
iji x
uxu
21S
T i j = c i j k l S k l
126135234
333222111
S2SS2SS2S
SSSSSS
===
===T α = c α β S β
Loi de Hooke
( )( )lk
ji↔β↔α
Loi de Hooke
avec
et
Loi de Hooke
( )( )( )
( )( )
( ) ( )
( ) 1211
12
1211
1211
212
11
1211
12
1211
ccc
222E
3c2c
32
E33E
213EB
ccc
2c23EEE
2cc
12E
cE32E
211E
c,c,,E,E
+µ+λλ
µµ−
νν
+µ+λ
−µµ
ν−
+−
µ+λµ+λµ
−µµ
ν+µ
λ−µ
µ−µν−ν+
νλ
µλµν
E : Module de Young (Pa)
ν : Module de Poisson (sans unité)
B : Module d'élasticité volumique (Pa/m2)
λ , µ : Coefficients de Lamé (Pa)
c 11 , c 12 : constantes de rigidité (Pa)
Relations en solide isotrope
Eléments de symétrie directe : An, axe de rotation d'ordre n
rotation d'angle 2 π / n propriétés inchangées
Eléments de symétrie inverse : A n, axe de rotation inverse d'ordre n
rotation d'angle 2 π / n
symétrie par rapport à un centre C
Miroir : axe inverse d'ordre 2 : A 2 = M
propriétés inchangées
x1
x3
x2
C
Mrotation π
symétrie
M'
x1
x3
x2
C
M' ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−=
100010001
H
lll ijkmnpqqpknjmi*ijk ccHHHHc ==
Matrice de passage
Symétries d'orientation des cristaux
C. Potel, Université du Maine 7
Constantes de rigidité élastiques
extrait de D. Royer et E. Dieulesaint, "Ondes élastiques dans les solides", tome 1 : propagation libre et guidée, Masson, (1996) C. Potel, Université du Maine 8
0°/90° 0°/45°/90°/135°
Matériaux composites : exemple des composites de type carbone-époxyde
couche à 0°
x1
x2
x3 ≡ A6x'1x'2
x'3
x"1
x"2
x"3
R x1/-90° R x3/-90° ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−=
001100010
100001010
010100001
H
lll ijkmnpqqpknjmi*ijk ccHHHHc ==
matrice de passage
mnpq1q1p1n1m*1111
*11 cHHHHcc ==
seul H31≠0m=n=p=q=3 333333
*11 ccc ==
mnpq2q2p1n1m*1122
*12 cHHHHcc ==
seuls H31≠0 et H12≠0m=n=3 ; p=q=1 31
*12 cc =
mnpq3q3p1n1m*1133
*13 cHHHHcc ==
32*13 cc =
seuls H31≠0 et H23≠0m=n=3 ; p=q=2
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⋅⋅⋅⋅⋅⋅•⋅⋅⋅⋅⋅⋅•⋅⋅⋅⋅⋅⋅•••⋅⋅⋅•••⋅⋅⋅•••
=αβ
x
c
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
=αβ
55
44
66
221232
121113
231333
*
cc
cccccccccc
c
etc...
Exemple de calcul
O
x1x2
x3R0
→Ttot
M
n→dσ
Σ V
Résultante dynamique ( ) ⎮⌡
⌠⎮⌡
⌠⎮⌡
⌠∂∂
ρ=V
VRV dtu/d 2
2
0
rr
∫∫∫= V VdfF ee
rr
⎮⌡⌠
⎮⌡⌠
⎮⌡⌠=⎮⌡
⌠⎮⌡⌠ σ=
Σ VVdTdivdn.TF tottoti
rr( ) n.Tn,MT tottot
rr=
→
( )( )( )
∑ ∑
∑
∑
∑
= =
=
=
=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂
∂=
∂
∂∂
∂∂
∂
=
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂∂
∂+
∂
∂+
∂
∂∂
∂+
∂
∂+
∂
∂
==3
1ix
3
1j j
ji
3
1j j
j3
3
1j j
j2
3
1j j
j1
03
33
2
23
1
13
3
32
2
22
1
12
3
31
2
21
1
11
0
xttot
xttot
xttot
0
toti
3
2
1
exT
xTxTxT
xT
xT
xT
xT
xT
xT
xT
xT
xT
e.Tdiv
e.Tdiv
e.Tdiv
Tdivr
r
r
r
BBB
Résultante des forces extérieures ( ) ∫∫∫ ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=→
→
V VV dTdivfext e
rR
eee fff0
rrrδ+=avec
avec
M
dV
Σ V
→fe
ds
Equation de propagation (1/3)PFD pour les résultantes :
A l'équilibre changement de variable :
( ) ( ) VRVV ∀=→→
,/dext 0
rR
2
2
tote tuTdivf
∂∂
ρ=+rr
VVVVV
∀⎮⌡
⌠⎮⌡
⌠⎮⌡
⌠∂∂
ρ=⎮⌡⌠
⎮⌡⌠
⎮⌡⌠
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ + ,d
tudTdivf 2
2
tote
rr
0Tdivf 0e 0
rr=+ 0tot TTT −=
2
2
e tuTdivf
∂∂
ρ=+δrr
3,2,1i,xT
tu 3
1j j
ji2
i2
=∂
∂=
∂
∂ρ ∑
=
Report dans l'équation de propagation
∑ ∑= = ⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂
∂=
3
1ix
3
1j j
jii
exT
Tdiv ror
variation de contrainte autour de la position d'équilibre
eee fff0
rrrδ+=avec
( ) 2
2
0ee tuTTdivff
0 ∂∂
ρ=++δ+rrr
→0
2
2
tuTdiv
∂∂
ρ=r
en dehors des sources
en présence de sources
et
Equation de propagation (2/3)
C. Potel, Université du Maine 9
Loi de Hooke ll kijkji ScT = ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂
∂+
∂
∂=
k
kk x
uxu
21S l
llavec
( )k
ijkkijk
ijkk
ijkji xu
cc21
xu
c21
xu
c21T
∂
∂+=
∂
∂+
∂
∂= l
lll
ll
l
=
kijkji x
ucT
∂
∂= l
l
Dérivée des contraintes
3,2,1i,xT
tu 3
1j j
ji2
i2
=∂
∂=
∂
∂ρ ∑
=
kj
2
ijkj
ji
xxu
cxT
∂∂
∂=
∂
∂ ll
Equation de propagation
3,2,1i,xx
uc
tu
kj
2
ijk2i
2
=∂∂
∂=
∂
∂ρ l
l
Remarque : pas d'hypothèse d'onde plane
Equation de propagation (3/3) Les ondes planes (1/2)
( ) ( ) ( )tcrngtcrnft;ru 00i +⋅+−⋅=rrrrr
MOr =r
( )[ ]rntcF 0rr
⋅−κ
0OMcosOMMOnrn =θ=⋅=⋅rrr
θ n→
n→
M 0
MO r→
n→
x
y
z
O
R
M
r→
A 1 instant donné, en tout point M tel que
constantern =⋅rr
la valeur de la variable de champ (grandeur physique) est la même.
Ces points sont situés dans un même plan, appelé plan d'onde (surface d'ondeplane), perpendiculaire à la direction de n :→
Les ondes planes (2/2)
( ) constanterntc 0 =⋅−rr
( ) 0rntcd 0 =⋅−rr
0ctdrdn =⋅r
r
Lorsque le temps varie, suivre une valeur donnée de F
vitesse à laquelle doit se déplacer un point géométrique M pour suivre une valeur donnée de F
c.à.d. soit
si r // n nctdrd
0r
r
=→→
n→
c0
c0
c0
Les plans d'onde qui véhiculent une valeur donnée de la variable de champ F, se déplacent parallèlement à eux-mêmes dans la direction n qui leur est perpendiculaire, et avec la vitesse de propagation c0.
→
Equation de propagation 3,2,1i,xx
uc
tu
kj
2
ijk2i
2
=∂∂
∂=
∂
∂ρ l
l
Solution en ondes planes (1/2)
Forme de solutions particulières ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅
−=Vxn
tFPV
rntFPu jjiii
rr
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
∂
∂
Vxn
t"FPtu jj
i2i
2
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−=
∂
∂
Vxn
t'FVn
Pxu jjj
jl
l
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−=
∂∂
∂
Vxn
t"FV
nnP
Vxn
t"FVn
Vn
Pxx
u jj2
kjjjkj
kj
2
lll
(1)
(2)
(3)
(2) et (3) dans (1) t,r,Vxn
t"FV
nnPc
Vxn
t"FP jj2
kjijk
jji ∀∀⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−ρ
rll
ll PV
nncP 2
kjijki =ρ
ll PnncPV kjijki2 =ρ
liΓ : tenseur de ChristoffelC. Potel, Université du Maine 10
( ) ( ) ( ) 3232i23i3131i13i2121i12i2333i
2222i
2111i
kjijki
nnccnnccnnccncncnc
nnc
lllllllll
ll
++++++++=
=Γ
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
233213311221
3234313521452333
2244
215533
3244233145362125462334
2224
215623
3224314621262344
2222
216622
3245363155132156142335
2246
211513
3225463156142166122345
2226
211612
3256311521162355
2266
211111
nnc2nnc2nnc2ncncnc
nnccnnccnnccncncnc
nnc2nnc2nnc2ncncnc
nnccnnccnnccncncnc
nnccnnccnnccncncnc
nnc2nnc2nnc2ncncnc
Γ=ΓΓ=ΓΓ=Γ
+++++=Γ
++++++++=Γ
+++++=Γ
++++++++=Γ
++++++++=Γ
+++++=Γ
Equation de propagation : i2
i PVP ρ=Γ ll
P i : vecteur propre de Γ il ; ρ V 2 : valeur propre de Γ il
Solution en ondes planes (2/2) : tenseur de Christoffel
(2) P q→
n q→
(1) P q→
(3) P q→
onde quasi-longitudinale (QL)
onde quasi-transversale (QT1)
onde quasi-transversale (QT2)
n q→
(η) P q→
direction de propagation
vecteur polarisation de l'onde (η)
Propagation dans un matériau q
Direction de propagation :
Propagation suivant des directions liées aux éléments de symétrie, dans la direction x3
3xenrr
=
Tenseur de Christoffel :⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
==Γ
333435
344445
354555
kjijki
ccccccccc
nnc ll
Système de symétrie monoclinique :⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=Γ
33
4445
4555
i
c000cc0cc
l
vecteur propre valeur propre
1 onde longitudinale + 2 ondes transversales
3x)1( eP rr
=ρ
= 33)1( cV
Solide avec axe d'ordre p>2 :⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=Γ
33
44
44
i
c000c000c
l
deux valeurs propres identiquesdeux ondes transversales dégénérées ; Ox3 = axe acoustique
( ) ( )t;xut;xu 3rrr
=0xu
0xu
2i
1i
=∂∂
=∂∂
3311 xuT ∂∂λ=
3322 xuT ∂∂λ=
( ) 3333 xu2T ∂∂µ+λ=
0T 21 =
3131 xuT ∂∂µ=
3232 xuT ∂∂µ=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂
∂+
∂
∂µ=
i
j
j
iji x
uxu
T
i
i
3
3
2
2
1
1ii x
u2
xu
xu
xu
T∂
∂µ+⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂λ=
Loi de Hooke
contraintesnormales
contraintestangentielles
O
x1
x2
x3
Rplan d'onde
M
Solide isotrope (1/5) : découplage de l'équation de propagation
C. Potel, Université du Maine 11
homogène à L2T-2i = 3 ∑= ∂
∂=
∂
∂ρ
3
1j j
j323
2
xT
tu
23
32
23
2
xu2
tu
∂
∂⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ρ
µ+λ=
∂
∂
ρµ+λ
=2VL 0
tu
V1
xu
23
2
2L
23
32
=∂
∂−
∂
∂on pose ondes de compression(longitudinales)
homogène à L2T-2i = 1 ∑= ∂
∂=
∂
∂ρ
3
1j j
j121
2
xT
tu
23
12
21
2
xu
tu
∂
∂
ρµ
=∂
∂
ρµ
=TV 0tu
V1
xu
21
2
2T
23
12
=∂
∂−
∂
∂on pose ondes de cisaillement(transversales)
O
x1
x2
x3
Rplan d'onde
O
x1
x2
x3
Rplan d'onde
i = 2 ∑= ∂
∂=
∂
∂ρ
3
1j j
j222
2
xT
tu
23
22
22
2
xu
tu
∂
∂
ρµ
=∂
∂
0tu
V1
xu
22
2
2T
23
22
=∂
∂−
∂
∂ ondes de cisaillement(transversales)
Solide isotrope (2/5) : découplage de l'équation de propagation
Sans rotation, mais avec variation de volume
Avec rotation, mais sans variation de volume
0urot L
rr=
⎯→⎯
0udiv T
rr=
potentiel scalaire ψ : ψ=⎯→⎯
gradu Lr
potentiel vecteur χ :→ χ=⎯→rotu T
r →
déplacement particulaire : ψ=
⎯→⎯gradu
r χ+⎯→rot →
=→∇ ψ +
→∇ ∧ χ→
Solide isotrope (3/5) : déformations
( ) ( ) uudivgradtu2
2 rrr
∆µ+µ+λ=∂∂
ρEquation de propagation :
avec TL uurotgradu rrrr+=χ+Ψ=
Découplage de l'équation de propagation :
0uVt
uT
2T2
T2 rrr
=∆−∂
∂ρ
−=
ρµ
=2
ccV 1211
T
onde de compression se propageant à la vitesse ρ
=ρ
µ+λ= 11
Lc2V
0uVt
uL
2L2
L2 rrr
=∆−∂
∂
onde de cisaillement se propageant à la vitesse
Cas des ondes planes, en relation avec une direction de propagation nr
onde de compression = onde longitudinaleonde de cisaillement = onde transversale
Solide isotrope (4/5) : ondes quelconques
( ) ( ) tiexˆt;xˆ ω+Ψ=ψrr
0tˆ
V1ˆ
2
2
2L
=∂
ψ∂−ψ∆ 0
t
ˆ
V1ˆ
2
2
2T
rrr
=∂
χ∂−χ∆
0ˆkˆ 2L =Ψ+Ψ∆ 0ˆkˆ 2
T
rrr=Χ+Χ∆
LL Vk ω= TT Vk ω=
( ) ( ) tiexˆt;xˆ ω+Χ=χrrrr
0tV
12
2
2L
=∂
ψ∂−ψ∆ 0
tV1
2
2
2T
rrr
=∂
χ∂−χ∆Equations d'onde et
et
et
Equations de Helmholtz
avec etOndes planes monochromatiques
et
O
x1
x2
x3
Rplan d'onde
n→ nkk LLrr
= nkk TTrr
=
( ) ( )txkiL
LeAxˆ ω−⋅−=ψrrr
( ) ( )txkiT
TeAxˆ ω−⋅−=χrrrrr
et
Solide isotrope (5/5) : ondes monochromatiques
C. Potel, Université du Maine 12
Exemple : ondes planes monochromatiques (1/2)Ondes longitudinales
( ) ( )t;xˆgradt;xu 11L ψ=r ( ) ( )txki
L11LeAt;xˆ ω−−=ψ
( )( )
0xˆu
0xˆu
eAkixˆu
t;xu
3L
2L
txkiLL1L
1L
3
2
1L
1
=∂ψ∂=
=∂ψ∂=
−=∂ψ∂=
=
ω−−
B
r
( ) ( )[ ] ( )1xL1LLL1L1L exktsinAkt;xuet;xu rrr
α+−ω== R LiLL eAA α=
3211 x13x12x11xL eTeTeTeTT rrrrr++=⋅=
( ) ( ) ( )txkiL
2L1L11
1L
1eAk2xu2T ω−−µ+λ−=∂∂µ+λ=
0xuT 1L12 2=∂∂µ= 0xuT 1L13 3
=∂∂µ=
( ) ( )1
1L
1 xtxki
L2Lx11L eeAk2eTT
rrr ω−−µ+λ−==
( ) ( )1xL1LL
2LLL exktcosAk2TeT rrr
α+−ωµ+λ−=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡= R
avecO
x2
x3
x1
Rplan d'ondek
→
avec
avec
et
1xenrr
=
mouvement de compression / détente
( ) ( )[ ] ( )( )
322
233
xT1TTT
xT1TTT1T1T
exktsinAk
exktsinAkt;xuet;xur
rrr
α+−ω+
α+−ω−== R
Exemple : ondes planes monochromatiques (2/2)Ondes transversales
avec
avec
avec
et
mouvement de cisaillement
( ) ( )t;xˆrott;xu 11T χ=rr ( ) ( )txki
T11TeAt;xˆ ω−−=χ
rr
( ) ( )( )txki
TTT
txkiTTT
T
12
13
2112
1331
3223
3
2
1
3
2
1
1T1T
23
1T
32
1
eAkiu
eAkiu
0u
xˆxˆ
0
xˆxˆxˆxˆxˆxˆ
ˆˆˆ
xxx
t;xuω−−
ω−−
−=
=
=
=∂χ∂∂χ∂−=
∂χ∂−∂χ∂∂χ∂−∂χ∂∂χ∂−∂χ∂
=χχχ
∧∂∂∂∂∂∂
=
BBBBB
r
2T
22
iTT eAA
α=
3T
33
iTT eAA
α=
3211 x13x12x11xT eTeTeTeTT rrrrr++=⋅=
( ) 0xu2T 1T11 1=∂∂µ+λ=
( )txkiT
2T1T12
1T
32eAkxuT ω−−µ=∂∂µ=
( )txkiT
2T1T13
1T
23eAkxuT ω−−µ−=∂∂µ=
;
( ) ( )3
1T
22
1T
332 xtxki
T2Tx
txkiT
2Tx13x12T eeAkeeAkeTeTT
rrrrr ω−−ω−− µ−µ=+=
( ) ( )322233 xT1LT
2TxT1LT
2TTT exktcosAkexktcosAkTeT rrrr
α+−ωµ−α+−ωµ=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡= R
1xenrr
=(O x2 x3)
Intégration de l'équation de propagationEquation de conservation de l'énergie acoustique (1/3)
j
ji2
i2
xT
tu
∂
∂=
∂
∂ρ
tu i
∂
∂
tu i
∂
∂
2i
c tu
21
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂
∂ρ=E
tc
∂
∂E
txu
Tt
uT
x j
i2
jii
jij ∂∂
∂−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂
∂
∂∂
avec
densité volumique d'énergie cinétique( )jiji
j
iji S
tT
xu
tT
∂∂
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂
∂
∂∂
ll kijkji ScT =
tp
∂
∂E
jikijkp SSc21
ll=Eavecdensité volumique d'énergie potentielle
avec
( )Pdivt
uTdiv i
ji −=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂
∂
tuT
∂∂
⋅−=r
Pavec vecteur de Poynting
Equation locale d'énergie ( ) 0divt
=+∂∂ PE
avec pc EEE += densité volumique d'énergie acoustique totale
Rappel : densité d'énergie = énergie emmagasinée par unité de volume (Evolume dV / dV )
loi de Hooke
: flux d'énergie acoustique instantané, ramené à l'unité de surface et àl'unité de temps (puissance instantanée traversant l'unité de surface dσ, transportée par l'onde acoustique) ; analogue à en fluide
Equation de conservation de l'énergie acoustique (2/3)
M
n→dσ
Σ V
u→
L'énergie acoustique E présente localement dans la particule (Ec + Ep) résulte donc d'un apport et d'une perte d'énergie.
Lors de la propagation acoustique
emmagasine de l'énergie et la restitue aux particules adjacentes
particules adjacentes
flux d'énergie apporté et retiré au volume en permanence.
vp r=P: travail élémentaire fourni par une particule à son environnement
pendant le temps dt.
tuT
∂∂
⋅−=r
P
tddtuT σ⋅⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
⋅−r
C. Potel, Université du Maine 13
Equation de conservation de l'énergie acoustique (3/3)
Bilan intégral ( ) ( )⎮⌡⌠
⎮⌡⌠
⎮⌡⌠−=⎮⌡
⌠⎮⌡⌠
⎮⌡⌠ +
∂∂
VVVPVEE ddivd
t pc
⎮⌡⌠
⎮⌡⌠ σ⋅−
Σ
dnrP
( ) ( ) 0ddivt pc =⎮⎮⌡
⌠⎮⎮⌡
⌠⎮⎮⌡
⌠⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡++
∂∂
V
VPEE
variation par unité de temps de l'énergie acoustique contenue dans un volume V
opposé de l'énergie sortante par unité de temps
(Th. d'Ostrogradsky)
flux total d'énergie entrant dans le volume V par unitéde temps
Vecteur de Poynting tuT
∂∂
⋅−=r
P donne la direction de propagation de l'énergie
Vitesse d'énergieEP
=eVr
avec jikijk
2i
pc SSc21
tu
21
ll+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂
∂ρ=+= EEE
Vitesse d'énergie pour une onde plane
Vitesse d'énergieEP
=eVr
avect
uT j
jii ∂
∂−=P
jikijk
2i
pc SSc21
tu
21
ll+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂
∂ρ=+= EEE
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
Vxn
tFPu jjii
V'FnPPc2
kjijki ll=P
p2
iic 'FPP21 EE =ρ= au cours de la propagation, énergie répartie de
manière égale entre énergie cinétique et énergiepotentielle
VPPnPPc
Vmm
kjijkei ρ
= ll
Projection de la vitesse d'énergie sur la direction de propagation
VnV e =⋅rr
nr
eVr
V
plan d'onde
nr
n1r
Pr
eau
solide anisotrope la vibration se dirige dans la direction de P→
lieu des extrémités du vecteur lenteur m, tracé à partir d'un point fixe O, lorsque la direction de propagation n varie.→
→
Vnmr
r=Vecteur lenteur :
direction de propagation
Vitesse d'énergie perpendiculaire au plan tangent à la surface des lenteurs
Carbone/Epoxyde, hexagonal, axe A6 // x1
x3
x1O
Surfaces des lenteurs (1/3)
onde QLonde QT1
onde QT2
Surface des lenteurs (2/3) : exemple du carbone/époxyde (système hexagonal)
C. Potel, Université du Maine 14
Surface des lenteurs (3/3)
Direction du plan tangent : ii
ndnmmd
∂∂
=r
r
Vn
m jj =Or j
i2
ji
i
j nnV
V1
Vnm
∂∂
−δ
=∂
∂
Vitesse d'énergie : VnV e =⋅rr
i
ei n
VV∂∂
=j
ei2
ji
i
j nVV1
Vnm
−δ
=∂
∂
soit ii
jj nd
nm
md∂
∂=
ijei2
jij ndnV
V1
Vmd ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
δ=
perpendiculaire au plan tangenteVr 0Vmd e =⋅
rr
Démontration : ij
ej
ei2
ej
jii
ejj
ei2
jiejj
e ndnVVV1V
VndVnV
V1
VVmdVmd ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
δ=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
δ==⋅
rr
Or VnVVnV jej
e =⇒=⋅rr V
0ndVVV1
VV
Vmd iei2
eie =
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛−=⋅
rr VV e
i
C. Potel, Université du Maine 15
II. REFLEXION ET REFRACTION DES ONDES PLANES MONOCHROMATIQUES
1 Equation de continuité (solides rigidement liés)2 Conservation de la fréquence et de la projection des vecteurs d'onde sur
l'interface3 Construction graphique : utilisation des surfaces des lenteurs4 Angles critiques - ondes évanescentes5 Coefficients de réflexion et de transmission
x2
x3
x12
1
onde incidente onde(s) réfléchie(s)
onde(s) transmise(s)
θinc
Réflexion et réfraction (1/2)
x2
x3
x12
1
continuité des déplacements en x3 = 0 :
continuité des contraintes en x3 = 0 :
333
423
513
x
TTTTTT
eTT3
===
=⋅=B
rrcontraintes d'exerçant sur un élément de surface à l'interface
réf1θ
inc1θ
réf2θ
tr1θ
tr2θ
tr3θ
réf3θ
∑∑ =+tr
tri
réf
réfi
inci uuu
∑∑ =+tr
tr3i
réf
réf3i
inc3i TTT
Réflexion et réfraction (2/2) Visualisation de la loi de Snell-Descartes :surface des lenteurs
Lieu des extrémités du vecteur lenteur m, tracé à partir d'un point fixe O, lorsque la direction de propagation n varie.→
→
Vnmr
r=Vecteur lenteur :
Milieu isotrope : 2 vitesses pour une direction de propagationmêmes vitesses dans toutes les directions
surfaces des lenteurs = sphères
L
T
θ
LV1
TV1
TVsin θ
LVsin θ
Loi de Snell-Descartes :
2
2
1
1
Vsin
Vsin θ
=θ
C. Potel, Université du Maine 16
Milieux isotropes : angles critiques - ondes évanescentes
θinc θréf
trLθ
trTθ
fluideV1
T
L
fluide
solide isotrope
L
θc1 θréf
trTθ
T
L
L
θc2 θréf
T
L
θinc
trLθ
trTθ
réfLV1
TL
solide isotrope 1
solide isotrope 2
T
LréfTV1
trLV
1trTV1
réfLθ
réfTθ
x1
x3
1er angle critique
2ème angle critique
m→ = kω
→vecteur lenteur :
L1L
L
11 kk
kV1k
m >⇒ω
=>ω
=
Relation de dispersion :
0kkkkkk 21
2L
2L3
2L
2L3
21 <−=⇒=+
k 3L = i k"3L2L
21L3 kk"k −±=
( )txkix"kL
13L3 eeAˆ ω−−=ψ
x 3
x 1k'L→
k"L
→
plan équiphase
plan équiamplitude
k"3L< 0
k"3L> 0critère de rayonnementà l'infini
k 1 > k L
x 3
x 1
k'L→
k"L
→
x 1
x 3
θréfθinc
1/V 1
1/VL
m 1 =k 1
ω
m inc→ m réf→
1
2
Milieu isotrope : ondes évanescentes
θinc θréf
QL2θ
12QTθ
22QTθ
eauV1
QLQT1
QT2
eau
carbone-époxyde
θc2
QLQT1
QT2
θc1
QLQT1
QT2
θc3
QLQT1
QT2
12QTθ
22QTθ
θréf
θréfθréf
22QTθ
1er angle critique
2ème angle critique 3ème angle critique
Milieux anisotropes : angles critiques - ondes évanescentes
0
1
2
3
45
-180
-90
0
90
180
angle d'incidence (degré)0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
phas
e (d
egré
)m
odul
e
TV
L
TV
L
0
0.2
0.40.6
0.81
1.2
-180
-90
0
90
180
angle d'incidence (degré)0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
phas
e (d
egré
)m
odul
e
1er angle critique
2ème angle critique
angle de Rayleigh
eau
alu
L
L
TV
Lρ = 2786 kg/m3
VL = 6650 m/s
VT = 3447 m/s
ρ = 1000 kg/m3
VL = 1480 m/s
AluminiumEau
Coefficients de réflexion et de transmission en amplitude de déplacement
C. Potel, Université du Maine 17
Exemple (Tzz/µ) : f(X) = cos(kX), ka = 4, θ<θcL
ondes transmises
ondes transmises
champ total ayant un caractère stationnaire suivant z mais propagatifsuivant x
isotrope
Exemple (Tzz/µ) : f(X) = cos(kX), ka = 4, θ<θcL
ondes transmises
onde incidenteonde réfléchie
onde transmise longitudinale uniquement onde transmise transversale uniquement
somme des champs L et T
isotrope
Exemple (Tzz/µ) : f(X) = cos(kX), ka = 4, θcL< θ <θcT
ondes transmisesL évanescenteT propagative
champ total ayant un caractère stationnaire suivant z mais propagatifsuivant x
isotrope
Exemple (Tzz/µ) : f(X) = cos(kX), ka = 4, θcL< θ <θcT
ondes transmises
onde incidenteonde réfléchie
onde transmise longitudinale évanescente uniquement
onde transmise transversale uniquement
somme des champs L et T
isotropeC. Potel, Université du Maine 18
Exemple (Tzz/µ) : f(X) = cos(kX), ka = 4, θcL< θ <θcT
ondes transmises
onde incidenteonde réfléchie
onde transmise longitudinale évanescente uniquement
onde transmise transversale uniquement
somme des champs L et T
isotrope
Exemple (Tzz/µ) : f(X) = cos(kX), ka = 4, θ >θcT
ondes transmisesL et T évanescentes
champ total ayant un caractère stationnaire suivant z mais propagatifsuivant x
ondes transmisesL et T évanescentes
isotrope
Faisceau gaussien incident sur une interface fluide/solide
Programmes réalisés par Ph. Gatignol, Pr., Université de Technologie de Compiègne
Fluide 1/2 infini
Solide 1/2 infiniisotrope
R
T
L x
z
2 a
θ
transducteur ultrasonore
Représentation du module de la contrainte
Avant le premier angle critique
1,010 =ρρ x/a
z/a
Programmes réalisés par Ph. Gatignol, Pr., Université de Technologie de Compiègne
Onde Longitudinale (L)
Onde Transversale Verticale (TV)
k0a = 60, kLa = 15, kTa=30, θ < θc1
C. Potel, Université du Maine 19
Entre les deux angles critiques
x/a
z/a
1,010 =ρρ
Programmes réalisés par Ph. Gatignol, Pr., Université de Technologie de Compiègnek0a = 60, kLa = 15, kTa=30, θc1 <θ < θc2
Onde Transversale Verticale (TV)
Onde Longitudinale évanescente
Après les deux angles critiques
x/a
z/a
1,010 =ρρ
Programmes réalisés par Ph. Gatignol, Pr., Université de Technologie de Compiègne
Onde Longitudinale évanescente
Onde Transversale verticale évanescente
k0a = 60, kLa = 15, kTa=30, θ > θc2
axe A6 // x3
x1
x3
θ
EAU
Interface eau / composite unidirectionnel
QTH
QTV
QL
-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
m1 (µs/mm)
m3
(µs/
mm
)
x1
x3
EAU
Coupe par un plan de la surface des lenteurs du carbone/époxyde
m1
m1
mr)1(
mr)2(
mr)3(
mr)4(
mr)5(
mr)6(
x1
x3
eau
solide anisotrope 2
solide anisotrope 1
onde incidenteondes réfléchies
ondes transmises
QL
QLQT1
QLQT1
solide anisotrope
fluide
onde incidente onde réfléchieLL
a)
b)
QT2
QT2
QL
QT1QT2
C. Potel, Université du Maine 20
Coupe par un plan de la surface des lenteurs du carbone/époxyde
m1m1
mr)1(
mr)2(
mr)3(
mr)6(
x1
x3
eau
mr)5(mr)4(
C. Potel, Université du Maine 21
III. PROPAGATION DANS UNE SEULE COUCHE
1 Propagation à travers une interface2 Nombre des ondes dans une couche3 Notations - hypothèses4 Obtention des vecteurs lenteur et polarisation5 Vecteur déplacements - contraintes dans une couche6 Problèmes numériques dans le cas d'une couche7 Ecriture des conditions aux limites dans le cas d'une couche plongée dans un
fluide
couche 1x1
x3
O
milieu 0
milieu 2
θω
x2
Réflexion - transmission dans une couche q (1/4)
6 ondes dans chaque couche :
3 dans la direction x3 > 0
3 dans la direction x3 < 0
(1)(2)
(3) (4)(5)
(6)
x1
x3
x1
x3
couche 1
milieu 0
milieu 2
couche 1
milieu 0
milieu 2
θω
x2
O
O
O'
h
Réflexion - transmission dans une couche q (2/4)
QLQT1
QT2
m1x1
x3
direction de propagation
1/V11/V2 1/V3
Réflexion - transmission dans une couche q (3/4)
C. Potel, Université du Maine 22
Coupe par un plan de la surface des lenteurs du carbone/époxyde
m1
m1
q)1( mr
q)2( mr
q)3( mr
q)4( mr
q)5( mr
q)6( mr
Vecteur lenteur :
ω==
η
η
ηη
q)(
q)(
q)(q)( k
Vnm
rrr
Réflexion - transmission dans une couche q (4/4)
( ) 0Pmmc k)(
ikl)(
j)(
ijkl =δρ− ηηη
Données :
Inconnues :
Résolution :
(1)
(3)
(2)
0m,m 2)(
1 =η
3,2,1kP,m k)(
3)( =ηη
( ) 0mmcdet ikl)(
j)(
ijkl =δρ−ηη
Equation de degré 6 en 3)( mη
6 vecteurs lenteur 6,,1m)( Kr
=ηη
6 vecteurs polarisation P)( rη
Equation de propagation
(choix du plan sagittal)
Vecteur déplacement particulaire
( ) ( )x.ktωi)()()( )(ePat;xu
rrrrr η−ηηη =
( ) ( )33)(
11 xmxmtωi)()(321
)( ePat;x,x,xuη−−ηηη =
rr
( ) ( ) ∑=η
ω−ηη− η
=6
1
xmi)()(xmtωi321
33)(
11 ePaet;x,x,xurr
Onde plane (η) monochromatique
amplitude vecteur polarisation
Déplacement particulaire total
rigidités élastiques
c α β = c i j k l
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 621125133142332
333222111↔=↔=↔=↔↔↔
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂
∂+
∂
∂=
i
j
j
iji x
uxu
21S
T i j = c i j k l S k l
126135234
333222111
S2SS2SS2S
SSSSSS
===
===T α = c α β S β
Loi de Hooke
( )( )lk
ji↔β↔α
Loi de Hooke
avec
et
Loi de Hooke (rappel)
Hypothèse des petites déformations :
Notation matricielle :
C. Potel, Université du Maine 23
Vecteur contrainte
( )3
4
5
33
32
13
x
TTT
TTT
e,MT3
BB==
rrnormale aux interfaces : 3xertangentiel
normal
( )
[
( )] .5,4,3,PmPmc
PmcPmc
PmcPmcea
eiT
3)(
11)(
3)(
5
2)(
162)(
3)(
4
6
13
)(3
)(31
)(11
xmi)(
xmtωi
33)(
11
=α++
+++
+
ω−=
ηηηα
ηα
ηηα
=η
ηηα
ηα
ω−η
−α
∑η
Vecteur déplacements-contraintes( ) hx0,T,T,T,u,u,ux 3
T1323333213 ≤≤=W
T)6()5()4()3()2()1( a,a,a,a,a,a=A
( ) ( ) ( )11 xmtωi33 exAx −Ω= AHW
Vecteur déplacements contraintes
Vecteur amplitudes
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
ω−ω−
ω−=Ω
i000000i000000i000000100000010000001
( )
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
ω−
ω−
ω−
ω−
ω−
ω−
33)6(
33)5(
33)4(
33)3(
33)2(
33)1(
xmi
xmi
xmi
xmi
xmi
xmi
3
e000000e000000e000000e000000e000000e
xH
η-ième colonne donnée par :
( )( )
( )
( ) ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
++
+++
++
+++
++
+++=
ηηη
ηηηηηη
ηηη
ηηηηηη
ηηη
ηηηηηη
η
η
η
η
q3
)(1
q1
)(q3
)(q55
q2
)(1
q56
q2
)(q3
)(q54
q3
)(q3
)(q53
q1
)(1
q51
q3
)(1
q1
)(q3
)(q45
q2
)(1
q46
q2
)(q3
)(q44
q3
)(q3
)(q43
q1
)(1
q41
q3
)(1
q1
)(q3
)(q35
q2
)(1
q36
q2
)(q3
)(q34
q3
)(q3
)(q33
q1
)(1
q31
q3
)(
q2
)(
q1
)(
q
PmPmc
PmcPmcPmcPmc
PmPmc
PmcPmcPmcPmc
PmPmc
PmcPmcPmcPmc
P
P
P
A
Matrice de propagation d'une couche q
(1)(3)
(2)(4)
(6)(5)
ωθ
x3 = 0
x3 = Hx3
x1
milieu 0
milieu 1
milieu 2
onde (1) inhomogène
onde (4) inhomogène
Solution : référencer l'onde (1) en x3 = 0 et l'onde (4) en x3 = H
H"kH'kiHki 333 eee −− =
facteur de propagation exponentiel :
Problèmes numériques
C. Potel, Université du Maine 24
Déplacements et contraintes dans la couche de la forme :
( ) ( )∑∑=η
−ω−η
=η
−ω−η
ηη
α+α6
4
Hxmi3
1
0xmi 33)(
33)(
ee
En x3 = 0
(1)(3)
(2)(4)
(6)(5)
x3 = 0
x3 = Hx3
x1
44444 344444 214si0
ee6
4
H"mH'mi3
1
3)(
3)(
=η→
α+α ∑∑=η
ω−ω+η
=ηη
ηη
En x3 = H ∑∑=η
η=η
ω+ω−η α+
=η→
αηη 6
4
3
1
H"mH'mi
1si0
ee 3)(
3)(
44444 344444 21
3)(
3)(
3)( "mi'mm ηηη +=avec
Changement de référence
Conditions aux limitesR
Tx3
fluide
fluide
hx1
θ
8 équations
Inconnues
R , T
8 inconnues
(η)a , η=1,...,6
Cas d'une couche anisotrope plongée dans un fluide
(1)(2)(3)
(4) (5)(6)
x3 = 0 : égalité u 3 , T 13 , T 23 , T33
x3 = h : égalité u 3 , T 13 , T 23 , T33
∑=η
ηη
η
=+6
1 A3
)()(réf3
réfinc3
inc3
3
PaPaPa:u
∑=η
ηη=ρ+ρ
6
14
)(ff
réfff
inc33 AaVaVa:T
∑=η
ηη=
6
15
)(32 Aa0:T
∑=η
ηη=
6
16
)(31 Aa0:T
( ) tr3
tr6
13
)(3 PahAa:u =∑
=ηηηη
η H
( ) fftr
6
14
)(33 VahAa:T ρ=∑
=ηηηη
η H
( ) 0hAa:T6
15
)(32 =∑
=ηηηη
η H
( ) 0hAa:T6
16
)(31 =∑
=ηηηη
η H
x3 = 0 x3 = h
trinc Pcos
0sin
Prr
=θ
θ=
B
fréf3
tr3f
inc3
f1
Vcosm
mVcosm
Vsinm
θ−=
=θ=
θ=
θ−
θ=
cos0
sinPréf
B
r
C. Potel, Université du Maine 25
IV. PROPAGATION DANS UN MULTICOUCHE1 Matrice de transfert d'une couche q2 Ecriture des conditions aux limites aux interfaces extrêmes
Milieu multicouche
x1
x 3
milieu 0O
milieu Q+1
x2
q=1
q=Q
ω θ
q=2q=3
Hh q
ζ1ζ2
ζ3
ζq-1ζq
ζQ
ζ0
q
Matrices de transfert
( ) ( ) ( )11q
3qq
3q xmtωiexpxBx −= AHW
q31q x ζ≤≤ζ −
qq AB Ω=
( ) ( )11 xmtωiqq1q
q eB −− =ζ AW
( ) ( )11 xmtωiqqqq
q eB −=ζ AHW
( ) ( ) ( )1qq1qqq
qq BB −
−ζ=ζ WHW
x1
x 3
milieu 0O
milieu Q+1
x2
q=1
q=Q
ω θ
q=2q=3
Hh q
ζ1ζ2
ζ3
ζq-1ζq
ζQ
ζ0
q
x1x1
x 3x 3
milieu 0O
milieu Q+1
x2x2
q=1
q=Q
ω θ
q=2q=3
Hh q
ζ1ζ2
ζ3
ζq-1ζq
ζQ
ζ0
q
Dans une couche q ,
Enavec
1q3x −ζ=
q3x ζ=En
: matrice de tranfert de la couche qτ q
( )qqq hHH =et
Egalité des déplacements et contraintes en q3x ζ=
( ) ( )q1q
qq ζ=ζ +WW
( ) ( )1111 xmtωi1q1q1qxmtωiqqq eBeB −+++− = AHAH
( ) ( ) qqq11qqqq11q1q AABB AHAHA−+−++ ==
( ) ( ) 1112
1Qq
1qqq1QQ BBBB AHHA ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛= ∏
−=
−−
( ) ( )0111QQ
QQ ζ=ζ τττ − WW L
: matrice de tranfert du multicoucheτou (méthode équivalente)
Cas d'un multicouche plongé dans un fluide
Conditions aux limites
4+6(Q-1)+4=6Q+2 équations
Inconnues
R , T
(6 Q + 2) inconnues
(η)aq , η=1,...,6 ; q=1, ...,Q
x3 = 0 : égalité u 3 , T 13 , T 23 , T33
x3 = H : égalité u 3 , T 13 , T 23 , T33
x1
x 3
fluideO
fluide
x2
q=1
q=Q
ω θ
q=2q=3
Hh q
ζ1ζ2
ζ3
ζq-1ζq
ζQ
ζ0
q
R
T x3 = ζq : égalité u, T ; q=1,...,Q-1→ →
C. Potel, Université du Maine 26
N+1
p = P
p = 1
p = 2
x1
x3
ωθonde incidente plane
monochromatiqueR
T
Multicouche périodique
τ
τ P
N+1
p = P
p = 1
p = 2
x1
x3
τ
τ : matrice de transfert d'une période, d'ordre 6
z p
z p-1
( ) ( )1pp zz −= WW τ
Vecteur déplacements - contraintes :
( )⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
=p
pp T
uz r
r
W
pur
pTr
Conditions aux limites :– égalité des déplacements– égalité des contraintes
Matrice de transfert d'une période
C. Potel, Université du Maine 27
V. LES ONDES MODALES : CAS PARTICULIER DES ONDES DE LAMB
1 Introduction2 Déplacements et contraintes
a) Déplacementsb) Contraintesc) Mise sous forme matricielle
3 Modes de Lamb4 Courbes de dispersion
a) Domaine des basses fréquencesb) Domaine des hautes fréquencesc) Modes de Lamé
5 Analyse des déplacements6 Modes de Lamb généralisés
a) Réflexion non spéculaireb) Modes de Lamb en milieu anisotrope
7 Montage expérimentala) Génération d'une onde de Lambb) Mesure de la vitesse de groupe
8 Application au CND par immersion
BIBLIOGRAPHIE
énergie acoustique :- se propage le long des couches- est bornée en x3
x3
x 1
2x
3x
sous-espace modal
sous-espace de propagation
O
Ondes mécaniquesondes locales
ondes modales
ondes guidéesondes de surfaceondes d'interface
Ondes modales (1/4)
Vide/ paroi rigide / impédance réactive
Ondes d'Osborne et Hart
a)
b)
Vide/ paroi rigide / impédance réactive
vide
solide a)
vide
b)solide
fluide ou solide
fluide ou solide
fluide ou solide
fluide ou solide
a)
b)
ondes guidées
- onde de Rayleigh a)- onde anti-modale b)
- onde de Scholte, onde deStoneley,onde de Rayleigh-Cezawa, etc... a)- onde anti-modale b)
ondes de surface ondes d'interface
onde de Lamb
Ondes modales (2/4) Ondes modales (3/4) : onde de Rayleigh
vide
solide
http://www.kettering.edu/~drussellAnimation courtesy of Dr. Dan Russell, Kettering University
C. Potel, Université du Maine 28
Tremblement de terre Sumatra-Andama (2004)
Courtesy http://www.sciencemag.org/cgi/content/full/308/5725/1133/DC1Charles J. Ammon, Chen Ji, Hong-Kie Thio, David Robinson, Sidao Ni, Vala Hjorleifsdottir, Hiroo Kanamori, Thorne Lay, Shamita Das, Don Helmberger, Gene Ichinose, Jascha Polet, David Wald ; The animation was made with the help of Santiago Lombeyda at the Center for Advanced Computing Research, Caltech
Rayleigh waves traveling around the globe
Ondes modales (4/4) : les ondes de Lamb
ondes de compression (mode symétrique) ondes de flexion (mode antisymétrique)
distribution du champ de déplacement particulaire vectoriel à la surface de la plaque et son effet sur la forme de la plaque
Vide
Vide
solide isotrope
Mode de Lamb
Eau / Aluminium / Eau ; ka=170 ; H=5 mm ; avant le 1er angle critique
plaquedéfaut
transducteurdéplacement
défaut propagation de l'onde perturbée
Utilisation des ondes de Lamb en CND : recherche de défauts
C. Potel, Université du Maine 29
Transducteurémetteur
Transducteurrécepteur
onde incidente
onde réfléchie
onde de Lamb
"Ondes de Lambgénéralisées" Transducteur
émetteur
Transducteurrécepteur
onde incidente
onde réfléchie
onde de Lamb
Cartographies en ondes de Lamb
au facteur exp[-i (kxx - ωt) ] près
2L
2xz kkk
L−=
Déplacements-contraintes en milieu isotrope
LTx
2
T
L
LL
LL kkk;
2kk
;V
k;V
k >>µ+λ
µ=⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ω=
ω=
2T
2xz kkk
T−=
( ) ( )( ) ( ) ⎪
⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
µ−µ−−µ+−µ+
−µ+−µ−µ+µ−
−−
−−
=
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
+
−
+
−
zkiT
zkiT
zkiL
zkiL
TzxTzxL2T
2xL
2T
2x
T2T
2xT
2T
2xLzxLzx
TxTxLzLz
TzTzLxLx
zz
zx
z
x
Tz
Tz
Lz
Lz
TT
LL
LL
TT
eB
eA
eB
eA
kkki2kkki2kkk2ikkk2i
kkk2ikkk2ikkki2kkki2
kkkkkkkk
kkkkkkkk
T
T
u
u
z
x
vide
vide
h
h/2
- h/2
TB
LBLA
TA
z
x
vide
vide
h
h/2
- h/2
A L
A T
B L
B T
système homogène d’ordre 4( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )⎪
⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=+++=+++=+++=+++
0BBAA0BBAA0BBAA0BBAA
TLTL
TLTL
TLTL
TLTL
( )
( ) 02hksin
2hkcoskk2
2hksin
2hkcoskkk4
2hksin
2hkcoskk2
2hksin
2hkcoskkk4
TLLTTL
LTTLTL
zz22
T2xzzzz
2x
zz22
T2xzzzz
2x
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
•⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
modes antisymétriques
modes symétriques
déterminant (4 × 4) = 0
Conditions aux limites :
02hTxz =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−
02hTzz =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−
02hTxz =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
02hTzz =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
Ondes de Lamb en milieu isotrope
kzL et kzT réels OL et OT propagatives
kzL imaginaire pur et kzT réel OL évanescente et OT propagative
kzL et kzT imaginaires purs OL et OT évanescentes
Courbes de dispersion des ondes de Lambplan (kx.h , f.h) ou (kx.h/(2π) , ωh/(2π) )
C. Potel, Université du Maine 30
M
direction d'observationquelconque
O
direction perpendiculaireaux plans d'onde
plans d'onde
k→V ϕ
→
kωn→ Vitesse de phase "canonique"
ou intrinsèque : évaluée dans la direction perpendiculaire aux plans d'onde
ncnk
V 0canorr
=ω
=ϕ→
0ck
V =ω
≥ϕ→ k
Vn ω=⋅ ϕ
→r
onde guidée :
z
→V ϕ
xc 0 n→
k x
→k
Vitesse de phase appréciée parallèlement au guide
xkV ω
=ϕ
Vitesse de phase (rappel)
kzL et kzT réels OL et OT propagatives
kzL imaginaire pur et kzT réel OL évanescente et OT propagative
kzL et kzT imaginaires purs OL et OT évanescentes
Courbes de dispersion des ondes de Lambplan (f h , Vϕ)
figures extraites de : D. Royer et E. Dieulesaint, "Ondes élastiques dans les solides", tome 1 : propagation libre et guidée, Masson, (1996)J.L. Rose, "Ultrasonic waves in solid media",Cambridge Univ. Press, 1999
Vide
Vide
solide isotrope
ondes de compression (mode symétrique) ondes de flexion (mode antisymétrique)
distribution du champ de déplacement particulaire vectoriel à la surface de la plaque et son effet sur la forme de la plaque
Déplacements des ondes de Lamb (1/2) Déplacements des ondes de Lamb (2/2)
animations réalisées par Patrick Lanceleur, Université de Technologie de Compiègnehttp://www.utc.fr/~lanceleu/links_CT04.html
ondes de compression (mode symétrique) ondes de flexion (mode antisymétrique)
distribution du champ de déplacement particulaire vectoriel à la surface de la plaque et son effet sur la forme de la plaque
mode S0 mode A0
C. Potel, Université du Maine 31
figures extraites de : D. Royer et E. Dieulesaint, "Ondes élastiques dans les solides", tome 1 : propagation libre et guidée, Masson, (1996)
Modes de Lamb quand k h <<1
figures extraites de : J.L. Rose, "Ultrasonic waves in solid media",Cambridge Univ. Press, 1999
S 0 S 1 S 2
plaque d'aluminium, épaisseur d, VL = 6300 m/s ; VT = 3100 m/s ; u = u1 (trait continu) et w = u3 (trait pointillé)
Déplacements particulaires - modes symétriques
figures extraites de : J.L. Rose, "Ultrasonic waves in solid media",Cambridge Univ. Press, 1999
plaque d'aluminium, épaisseur d, VL = 6300 m/s ; VT = 3100 m/s ; u = u1 (trait continu) et w = u3 (trait pointillé)
A 0 A 1 A 2
Déplacements particulaires - modes antisymétriques
figure extraite de : J.L. Rose, "Ultrasonic waves in solid media",Cambridge Univ. Press, 1999
Déplacements "in-plane" dominants
C. Potel, Université du Maine 32
figures extraites de : D. Royer et E. Dieulesaint, "Ondes élastiques dans les solides", tome 1 : propagation libre et guidée, Masson, (1996)
Tzx V2VkkT
=⇒= ϕ
Mode de Lamé
Conditions aux limitesR
Tz
fluide
fluide
h x
θ
isotrope A L
A T
B L
B T
z = 0 : égalité u z , T xz , T zz
z = h : égalité u z , T xz , T zz
6 équations
Inconnues
R , T
6 inconnues
Si : modes de Lamb R = 01s
f <<ρ
ρ
minimum de | R |
C s = 0 : modes de Lamb symétriques ; C a = 0 : modes de Lamb antisymétriques
( )( )τ+τ−
τ−=
iCiCCC
as
2asR ( )( )τ+τ−
+τ=
iCiCCC
ias
asTθ
θ
ρ
ρ=τ
coscos
VV L
L
f
s
favec
A T , A L , B L , B T
Modes de Lamb généralisés
Y
X
plaque en carbone/époxyde unidirectionnelleθ = 9.8°, f = 1.35 MHz ; e = 0.59 mm
Champ réfléchi
figures extraites de : J.L. Rose, "Ultrasonic waves in solid media",Cambridge Univ. Press, 1999
zéro associé à un phénomène d’interférence
to leak ≡ fuir
Réflexion non spéculaire
C. Potel, Université du Maine 33
plaques isotropes : formules analytiquesplaques anisotropesmilieux multicouches anisotropes
f1 fixée
3 minima de R
Courbes de dispersion
modèle
Modes de Lamb en milieu anisotrope (1/2)
θ==⇒
θ= ϕ sin
Vm1V
Vsinm eau
xeaux
Modes de Lamb en milieu anisotrope (2/2)
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
0 1 2 3 4 5
f.H (MHz.mm)
inci
denc
e (°
)
ω fixé
mode fixé
Vitesse V ϕ
Carbone/Epoxyde
f
figures extraites de : J.L. Rose, "Ultrasonic waves in solid media",Cambridge Univ. Press, 1999
Montage expérimental
figures extraites de : J.L. Rose, "Ultrasonic waves in solid media",Cambridge Univ. Press, 1999
Plaque d'aluminium
Mode S0, fh=1.434 MHz.mm
x = 76.2 mmτ = 15.875 µs ==> Vg = 4800 m/sτ
Mesure de la vitesse de groupe
C. Potel, Université du Maine 34
défaut propagation de l'onde perturbée
Montage en transmission ou en réflexion
plaques en carbone/époxyde : défaut entre le 3ème et le 4ème pli
0°/45°/90°/135°0° en carbone/époxyde, comportant 8 plis en symétrie miroir. Incidence de 10,3°, fréquence de 2 MHz.bleu : plaque sainerouge : plaque avec défaut
0 2 4 6 8 10-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5x 10-3
10e-6 s
V
(1)
(2)
(3) (4)(1)8 plis
3 plis
5 plis
8 plis
Détection de défaut par ondes de Lamb (1/6)
0102030405060708090
0.0 1.0 2.0 3.0 4.0Fréquence (MHz)
Inci
denc
e (°
)
3 plis 0°/45°/90°
0102030405060708090
0.0 1.0 2.0 3.0 4.0Fréquence (MHz)
Inci
denc
e (°
)
5 plis 135°/135°/90°/45°/0°
Si mode (2) ou mode (3) différents du mode (1)alors mode (4) ≠ mode (1) défaut détecté
Si mode (2) ou mode (3) proches du mode (1)alors mode (4) ≈ mode (1) défaut non détecté
Conversion du mode (1) en (2) et (3) puis (4)
Défaut entre le 3ème et le 4ème pli
(1)
(2)
(3) (4)(1)8 plis
3 plis
5 plis
8 plis
0102030405060708090
0.0 1.0 2.0 3.0 4.0Fréquence (MHz)
Inci
denc
e (°
)
8 plis [0°/45°/90°/135°]2s
Détection de défaut par ondes de Lamb (2/6)
défaut
Montage en échographie
Transducteur récepteurTransducteur
émetteurdéfaut
θ
1 :écho de surface2 : rayonnement de l’onde de Lamb3 : écho du défaut4 : écho du bord de la plaque
Détection de défaut par ondes de Lamb (3/6) : cartographie en ondes de Lamb
-3
-2
-1
0
1
2
3
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
temps (µs)
ampl
itude
s (m
V)
1
2
3 4
0°/90° miroir comportant 8 plisf=1 MHz, θ=10°C. Potel, Université du Maine 35
bleu : plaque sans défaut
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
temps (µs)
ampl
itude
s (m
V)
rouge : plaque avec défaut
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
temps (µs)
ampl
itude
s (m
V)
Détection de défaut par ondes de Lamb (4/6)
Carbone-Epoxyde [0°/90°]2s, θ = 10°, f = 1 MHz5 couches 0°/90° miroir SCS-6 matrice Ti - 6 Al - 4 V
T. Kundu et al., Ultrasonics,1996 et 1997
couche 1 : 0°pas de défautcouche 2 : 90°décollementcouche 3 : 0°fibres casséescouche 4 : 90°fibres manquantescouche 1 : 0°pas de défaut0.
394
mm
1.97
mm
L-Scan
fibres manquantes de la 4ème couche
fibres cassées de la 3ème couche
θ = 20° ; f = 5.05 MHz θ = 21° ; f = 5.15 MHz
fibres manquantes de la 4ème couche
décollement dans la 2ème couche
Détection de défaut (5/6) : cartographie en ondes de Lamb
fibres manquantes de la 4ème couche
fibres cassées de la 3ème couche
θ = 20° ; f = 5.05 MHz θ = 21° ; f = 5.15 MHz
fibres manquantes de la 4ème couche
décollement dans la 2ème couche
répartition de la contrainte normale en fonction de l'épaisseur
42 31 542 31 5
Détection de défaut (6/6) : cartographie en ondes de Lamb
C. Potel, Université du Maine 36
VI. LES ONDES MODALES : CAS PARTICULIER DES ONDES DE RAYLEIGH
1 Obtention des ondes de Rayleigh en milieu isotropea) Rappelsb) Existence de l'onde de surfacec) Vecteur déplacements-contraintesd) Conditions aux frontières : méthodes géométrique et analytique
3 Onde de Rayleigh "généralisée"4 Généralisation aux milieux stratifiés
Condition d'existence d'une onde de surfacePeut-il exister des ondes se propageant le long d'une interface, sans apport permanent d'énergie (onde modale) ?
z
Fluide 1/Fluide 2
F1
F2Non : B1 et A2 éloignent l'énergie de l'interface alors qu'il n'y a pas d'apport d'énergie
B1
A2
Fluide 2/Miroir
Non : l'énergie part sans apport d'énergie
Oui : 1/2 onde plane qui se propage parallèlement à l'interface
Vide/Fluide
F
Vide Tzz = -p = 0
Non : p=0 imposé en z=0, donc également partout dans le fluide ==> pas d'acoustique
Vide/Solide
F1B1
S
Vide
S
Vide
AT ALAT
F1 B1
Oui : ondes évanescentes==> énergie véhiculée le long de l'interface.
Non : AL et AT éloignent l'énergie de l'interface alors qu'il n'y a pas d'apport d'énergie
ALz
Onde de Rayleigh
vide
solide
http://www.kettering.edu/~drussellAnimation courtesy of Dr. Dan Russell, Kettering University
z
x
vide
0
au facteur exp[-i (kxx - ωt) ] près
LL z2x
2Lz "kikkk −=−=
Déplacements-contraintes en milieu isotrope
LTx
2
T
L
LL
LL kkk;
2kk
;V
k;V
k >>µ+λ
µ=⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ω=
ω=
0kk"k 2L
2xz L
>−=avec
TT z2x
2Tz "kikkk −=−= 0kk"k 2
T2xz T
>−=avec
( )( )
( )( )
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
µ−−µ
−µ−µ−
−=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
µ−−µ
−µ−µ−
−
=
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
−
−
−
−
z"kT
z"kL
TzxL2T
2x
T2T
2xLzx
TxLz
TzLx
zkiT
zkiL
TzxL2T
2x
T2T
2xLzx
TxLz
TzLx
zz
zx
z
x
Tz
Lz
T
L
L
T
Tz
Lz
T
L
L
T
eA
eA
k"kk2kkk2i
kkk2ik"kk2
kkk"ki
k"kikk
eA
eA
kkki2kkk2i
kkk2ikkki2
kkkk
kkkk
T
T
u
u
TALA
C. Potel, Université du Maine 37
Déplacements en milieu isotrope (1/2) : OLVecteur déplacement, ondes longitudinales
( ) ( )[ ] ( )txkiz"kzLzxLxLL
xLzL
eeek"kiekkAu ω+−−−=
rrr
( )LL iexpA α
( ) ( ) ( )Lxz"k
LxLxx txkcosekkAueu LzLL
α+ω+−==−
R
( ) ( ) ( )Lxz"k
LzLzz txksinek"kAueu LzLLL
α+ω+−==−
R
( ) ( ) 1ek"kA
u
ekkA
u2
z"kLzL
z
2
z"kLxL
x
LzL
L
Lz
L =⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
+⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−
2z
2z
2L
2x LL
"k"kkk >+=Lx txk α+ω+−=θ
θ=0 0u;0uLL zx =>
θ=π/2 0u;0uLL zx >= ( )0"k
Lz >θ=0
θ=π/2
θ=π
θ=-π/2
( ) ( )[ ] ( )LxLzL
txkiz"kzLzxLxLL eeek"kiekkAu α+ω+−−
−=rrr
Déplacements en milieu isotrope (2/2) : OTVecteur déplacement, ondes transversales
( ) ( )[ ] ( )txkiz"kzTxxTzTT
xTzT
eeekkek"kiAu ω+−−+=
rrr
( )TT iexpA α
( ) ( ) ( )Txz"k
TzTxx txksinek"kAueu TzTTT
α+ω+−−==−
R
( ) ( ) ( )Txz"k
TxTzz txkcosekkAueu TzTT
α+ω+−==−
R
( ) ( )1
ekkA
u
ek"kA
u2
z"kTxT
z
2
z"kTzT
x
Tz
T
TzT
T =⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛+
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−
2z
2z
2T
2x TT
"k"kkk >+= Tx txk α+ω+−=θ
θ=0 0u;0uTT zx >=
θ=π/2 0u;0uTL zx =< ( )0"k
Tz >
θ=0
θ=π/2
θ=π
θ=-π/2
( ) ( )[ ] ( )TxTzT
txkiz"kzTxxTzTT eeekkek"kiAu α+ω+−−
+=rrr
Contraintes en milieu isotrope (1/2) : OLVecteur contraintes, ondes longitudinales
( )[ ] ( )txkiz"kyL
2T
2xxLzxLL
xLzL
eeekkk2iek"kk2AT ω+−−−µ+µ−=
rrr
( )LL iexpA α
( ) ( ) ( )Lxz"k
LzxLxx txkcosek"kk2ATeT LzLLL
α+ω+−µ−==−
R
( ) ( )[ ] ( )Lxz"k
L2T
2xLzz txksinekkk2ATeT Lz
LLα+ω+−−µ−==
−R
( ) ( ) 1ekkk2A
T
ek"kk2A
T2
z"kL
2T
2xL
z
2
z"kLzxL
x
Lz
L
LzL
L =⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−µ+
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
µ−−
2z
2z
2L
2x LL
"k"kkk >+=Lx txk α+ω+−=θ
θ=0 0T;0TLL zx =<
θ=π/2 0T;0TLL zx <= ( )0"k
Lz >θ=0
θ=π/2
θ=π
θ=-π/2
( )[ ] ( )LxLzL
txkiz"kzL
2T
2xxLzxLL eeekkk2iek"kk2AT α+ω+−−
−µ+µ−=rrr
Contraintes en milieu isotrope (2/2) : OTVecteur contraintes, ondes transversales
( )( ) ( )[ ] ( )txkiz"kzTzxxT
2T
2xTT
xTzT
eeek"kk2ekkk2iAT ω+−−µ−−µ−=
rrr
( )TT iexpA α
( ) ( )[ ] ( )Txz"k
T2T
2xTxx txksinekkk2ATeT Tz
TTα+ω+−−µ==
−R
( ) ( ) ( )Txz"k
TzxTzz txkcosek"kk2ATeT TzTTT
α+ω+−µ−==−
R
( )( ) ( ) 1ek"kk2A
T
ekkk2A
T2
z"kTzxT
z
2
z"kT
2T
2xT
x
TzT
T
Tz
T =⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
µ+
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−µ−−
2z
2z
2T
2x TT
"k"kkk >+= Tx txk α+ω+−=θ
θ=0 0T;0TTT zx <=
θ=π/2 0T;0TTL zx => ( )0"k
Tz >
( )( ) ( )[ ] ( )TxTzT
txkiz"kzTzxxT
2T
2xTT eeek"kk2ekkk2iAT α+ω+−−
µ−−µ−=rrr
θ=0
θ=π/2
θ=π
θ=-π/2
C. Potel, Université du Maine 38
Conditions aux frontières : raisonnement géométriqueEllipses décrites par les particules
z
x
0OL OT
Pour répondre aux conditions aux frontières, il suffit d'ajuster AL et AT
- en module pour que ces ellipses deviennent égales
- en phase pour que les deux vecteurs contraintes soient opposés (et le demeurent au cours du temps).
Les ellipses décrites par les vecteurs déplacement L et T ont des grands axes de même orientation.
z
x
0
Conditions aux frontières
Vide TTr
LTrSolide
0TTT TLrrrr
=+= sur la surface
Il faut même ellipiticité : EL = ET
Vitesse de Rayleigh par raisonnement géométrique (1/2)
( ) ( ) ( )Lxz"k
LzxLxx txkcosek"kk2ATeT LzLLL
α+ω+−µ−==−
R
( ) ( )[ ] ( )Lxz"k
L2T
2xLzz txksinekkk2ATeT Lz
LLα+ω+−−µ−==
−R
( ) ( )[ ] ( )2txkcosekkk2ATeT Txz"k
T2T
2xTxx
TzTT
π−α+ω+−−µ==−
R
( ) ( ) ( )2txksinek"kk2ATeT Txz"k
TzxTzzTz
TTTπ−α+ω+−µ==
−R
Ellipticité longitudinale : EL = bL/aL
aL
bL
Ellipticité transversale : ET = bT/aT
aT
bT
Lzx
2T
2x
L
LL "kk2
kk2
ab
E−
==
2T
2x
zx
T
TT
kk2
"kk2
ab
E T
−==
Vitesse de Rayleigh par raisonnement géométrique (2/2)Egalité des ellipticités
22L
22T
2T
L
zx
2T
2x
L
LL
VV
VV2
V2
V"kk2
kk2
ab
EL ϕ
ϕ
−
−=
−==
22T
22TT
2T
2x
zx
T
TT
VV2
VVV2
kk2
"kk2
ab
E T
ϕ
ϕ
−
−=
−==
0kk"k 2L
2xz L
>−=
0kk"k 2T
2xz T
>−=avec
LL Vk ω=TT Vk ω=
ϕω= Vk x
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500
EL
ET
VRVϕ
VL = 5000 m/s ; VT = 3000 m/s
La vitesse de l'onde de Rayleigh VR, est, comme attendu, indépendante de la fréquence, puisqu'aucune longueur de référence n'est présente dans le problème
système homogène d’ordre 2
( )( ) 0
k"kk2kkk2i
kkk2ik"kk2
TzxL2T
2x
T2T
2xLzx
T
L =µ−−µ
−µ−µ−
déterminant (2 × 2) = 0
( ) t,0z,x,0t;0z,xT zx ∀=∀==
Conditions aux frontières : méthode analytique (1/2)
z
x
vide
0
TALA( ) t,0z,x,0t;0z,xT zz ∀=∀==
( ) 0"k"kk4kk2TL zz
2x
22T
2x =−−
ou encore⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛− ϕϕϕ
2
L
2
T
42
T VV
1VV
116VV
2
ω=ϕ xkVavec Equation de Rayleigh
La solution Vϕ = VR (ou kx) de cette équation permet d'obtenir la vitesse de l'onde de RayleighC. Potel, Université du Maine 39
Conditions aux frontières : méthode analytique (2/2)
Coefficient de Poisson :
Formule approchée
( )2T
2L
2T
2L
2111
21
VV2
V2V
ccc
−
−=
+=ν
si 0 < ν < 0.5 : ν+ν+
≈1
13.187.0VV TR
211422604700Cuivre
290031006380Aluminium
282730406040Nickel
288331005970Acier
VR (m/s)VT (m/s)VL (m/s)
Retour sur les déplacements : raisonnement géométriqueEllipses décrites par les particules
z
x0OL OT
Ces deux ellipses ne pourront jamais être identiques pour que les deux vecteurs et soient opposés (et le demeurent au cours du temps).
Les ellipses décrites par les vecteurs déplacement L et T ont des grands axes d'orientations différentes.
Solide élastique
Solide rigide
sur la surface0uuu TLrrrr
=+=
pas d'onde de surface possible
Lur Tur
Condition aux frontières :
Onde de Rayleigh "généralisée"Faisceau borné
z
x
Fluide
TALA
θ=θR
interférences destructives
onde de traîne("leaky wave")
F
SSolide
1,010 =ρρ
Ondes planes
00.20.40.60.811.2
-180
-90
0
90
180
angle d'incidence (degré)0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
phas
e (d
egré
)m
odul
e |R
|
1er angle critique2ème angle critique
angle de Rayleigh
interférences destructives
k0a = 60, kLa = 15, kTa=30, θ = θRayleigh
Programmes réalisés par Ph. Gatignol, Pr., Université de Technologie de Compiègne
1,010 =ρρ
réflexion spéculaire
réflexion non spéculaire
réflexion nulle
C. Potel, Université du Maine 40
k0a = 80, kLa = 15, kTa=30, θ = θRayleigh
Programmes réalisés par Ph. Gatignol, Pr., Université de Technologie de Compiègne
02,010 =ρρ
Onde de Rayleigh : généralisation (1/3)Milieux anisotropes
La vitesse des ondes de Rayleigh ne dépend toujours pas de la fréquence, mais dépend de l'orientation du matériau
c.à.d. pas de dispersion fréquentielle, mais dispersion angulaire
-0.80
-0.60
-0.40
-0.20
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
-0.80 -0.60 -0.40 -0.20 0.00 0.20 0.40 0.60 0.80
Ox
Oy
x
z
yvide
carbone/époxydeaxe A6 // Ox
Courbe des lenteurs de Rayleigh (µs/mm)
µs/mm
µs/m
m
Onde de Rayleigh : généralisation (2/3)Milieux multicouches anisotropes
La vitesse des ondes de Rayleigh dépend de la fréquence (présence d'une échelle de longueur) et de l'orientation du matériau
c.à.d. dispersion fréquentielle ET angulaire
Courbe des lenteurs de Rayleigh (µs/mm)
y
x
f = 2.5 MHz
0°/45°/90°/135°
vide
milieu stratifié
x
z
y
Onde de Rayleigh : généralisation (3/3)
Ondes de Floquetmodes de propagation du milieu multicouche périodique infinisolutions indépendantes liées aux valeurs propres et vecteurs propresde la matrice τ de transfert d'une période
Onde de Rayleigh multicoucheOnde modale de surfaceCombinaison linéaire de 3 ondes de Floquet inhomogènes (en milieu multicouche anisotrope)Onde dispersive
p = 1
p = 2
x1
x3
vide
p = 1
p = 2
x1
x3
(1)
(2)(3)
vide
C. Potel, Université du Maine 41
VII. INTRODUCTION AU CND PAR ULTRASONS1 Introduction
a) Les transducteursb) Les différents types d'échographie
3 Les transducteurs "conformables"4 Mesure de vitesses ultrasonores - Les précautions de réglage
BIBLIOGRAPHIE
Plus le défaut est petit,plus la fréquence doit être grandedéfaut
λ = Vf
CND par ultrasons
CONTRÔLE NON DESTRUCTIF
EVALUATION NON DESTRUCTIVE
Présence ou non de défauts
Compréhension des phénomènes de propagation
Détermination des propriétés élastiques (ou viscoélastiques)
Transducteurs Transducters à immersion focalisés
Différents types de transducteurs
Transducteurs d'angle
-0.15
-0.10
-0.05
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.0 5.0 10.0 15.0 20.0 25.0 30.0
µs
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0MHz
http://www.ndt-ed.org
C. Potel, Université du Maine 42
LT
L
matériauabsorbant
élémentsensible
coin
faisceau ultrasonore
Transducteur ultrasonore d'angle
λ=
4D 2
0l
champ proche champ lointain
z
γp(y,z)
yp(0,z)
z1
≈
D22,1sin λ
=γ
dernier maximum
lobe principallobes secondaire
p(y,l0)A0
φ
2A 0
ζ
0z l=
y
z0l y
à z fixé
Champ ultrasonore généré par un transducteur ultrasonore plan
Transducteur
boîtier
lame de protection
élément actif : lame piézoélectrique
masse arrière(backing)
connexion
Transforme un signal électrique en unevibration mécanique et inversement
∆ t = 2 e
V
Echographie ultrasonore
écho de face avantou d'interface
inversionde phase
∆ t
t
écho de fond
t
écho de défaut
edéfaut
transducteurZ2 > Z1
Principes du CND par ultrasons
Echographie B (B-Scan) : correspond à une coupe du matériau
trajet dutransducteur
a
b
balayage
tem
ps
t ≡ b
a
Echographie A (A-Scan)
t
e
Echographie A - Echographie B
C. Potel, Université du Maine 43
Echographie C : correspond à une représentation d’une tranche de matériau
trajet dutransducteur
a c
h
c
fenêtre temporelle
≡ épaisseur h
couleur a
Echographie C (C-Scan) Echographie C sur pièce de monnaie
IMPACT
0.7mm3 mm0.6 mm
0.7mm3 mm
MAT ROVING
MAT
Z
XY
ROVINGMAT
13
11
200 mm
50 m
m
1
3
5
7
9
11
Impact sur une poutre pultrudée
Echographie C sur poutre impactée Modèle hybrideDéfauts de différents types pris en compte – Exemple (Bscan simulé)
balayage
tem
ps
Écho d’entrée
Écho de fond
DélaminageDélaminage, double réflexion
Trou
Interface glissante
Inclusion
Comparaison simulation / expérience
DETECS / Service simulation et systèmes pour la Surveillance et le Contrôle
CEA courtesy
C. Potel, Université du Maine 44
Traducteur multi-éléments flexible au contact(T.C.I., CEA)
Champ calculé
T.C.I. Profil mesuré
60.0-60.0 0.0 40.0Balayage (mm)
Tem
psA
mpl
itude
SimulationSimulation
--13 dB13 dB
60.0-60.0 0.0 40.0
--10 dB10 dBTe
mps
Am
plitu
de
Balayage (mm)
ExpExpéériencerience
Echographie B avec transducteur multi-éléments
DETECS / Service simulation et systèmes pour la Surveillance et le Contrôle
CEA courtesy
Multiples réflexions dans une pièce Multiples réflexions dans la colonne d'eau
Conséquences d'un mauvais réglage de la colonne d'eau
intercalage d'un écho de fond entre les échos d'interface, qui pourrait être confondu avec un écho de défaut.
Précautions de réglage (1/2)
décroissanceexponentielle
impulsion
τ1 ∆ t ∆ t ∆ t
he
t
τ1
t
τ1 τ1 τ1
h
décroissanceexponentielle
impulsion
impulsion
t
écho de fond
échos d'interface
Réglage de la fréquence de récurrence
Précautions de réglage (2/2)
he
τ1
t
τ1 τ1 τ1
décroissanceexponentielle
impulsion
τr
t
τr
Conséquences d'un mauvais réglage de la fréquence de récurrence
intercalage d'échos d'interface ou de fond de la seconde récurrence entre les échos d'interface de la première récurrence, qui pourraient être confondus avec un écho de défaut.
Exemple de signal d'excitation
-0.15
-0.10
-0.05
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.0 5.0 10.0 15.0 20.0 25.0 30.0
µs
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0MHz
ser5.dav
θinc
plaque
e
eau
eau
0°/45°/90°/135°carbon-epoxy plate
C. Potel, Université du Maine 45
-0.04
-0.02
0.00
0.02
0.04
0.06
0.0 5.0 10.0 15.0 20.0 25.0 30.0
µs
-0.10
-0.05
0.00
0.05
0.10
0.15
0.0 5.0 10.0 15.0 20.0 25.0 30.0
µs-0.10
-0.05
0.00
0.05
0.10
0.15
0.0 5.0 10.0 15.0 20.0 25.0 30.0
µs
-0.04
-0.02
0.00
0.02
0.04
0.0 5.0 10.0 15.0 20.0 25.0 30.0
µs
θinc = 0°signal réfléchi
signal transmis
signal réfléchi
signal transmis
∆ t
∆ t
e = 10 mm ; λL = 2.8 mm ; λT = 1.4 mmVL = 6340.4 m/sVT = 3138.9 m/s
1er angle critique = 13.5°2ème angle critique = 28°
θinc = 0°
θinc = 10°
θinc = 10°
Plaque d’aluminium plongée dans l'eau(simulation en ondes planes)
∆ t
2 eVL =
échantillon
e
Transducteur ultrasonoreeau
eau
eau
Signal de référence
Signal transmis
τ
Vitesse de propagation d'une onde dans le matériau, pour une direction donnée
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛θ−
ττ+
=
cos2e
Ve
V1
VV
eaueau
eau
Mesures de vitesses (1/2)
Constantes élastiques réelles
θinc
Mesures de vitesses (2/2)θinc
θtr
A
B'
B
plan d'onde
e
fluide
fluide
θinc
trABcosV
eV
ABtθ
==
Trajet dans la pièce
Trajet dans le fluide
( ) ( )tr
0
inctr
0
inctr
0'AB
cosVcose
VcosAB
V'ABt
θ
θ−θ=
θ−θ==
VV
sinsinn 0
tr
inc=
θθ
=avec
( ) [ ]nsinsincoscoscosV
eV
Vcos
cosVe
tt
inctrinctrtr
0inctrtr
AB'AB
−θθ+θθθ
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−θ−θ
θ=
−=τ
nV
V 0=
etinctr sin
n1sin θ=θ
inc22tr sinnn1cos θ−=θ
inc222
inc0 sinncoseV
θ−=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛θ−
τ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛θ−
ττ+== inc00
00 cos2
eV
eV
1Vn
VV
Longueur d'onde >> etotaledifficile de séparerles différents échos
Déformation des échosdifficile évaluation des temps
Influence de l'anisotropie
Problème inverse
MAIS...
surface des lenteurs A6//x1
-0.80
-0.60
-0.40
-0.20
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
-0.80 -0.60 -0.40 -0.20 0.00 0.20 0.40 0.60 0.80
µs/mm
µs/m
mtemps de vol
vitesse
inverse de la vitesse (lenteur)
constantes élastiques
C. Potel, Université du Maine 46
0°/90° 0°/45°/90°/135°
Matériaux composites (1/2) : exemple des composites de type carbone-époxyde
0°/45°/90°/135°P=5 ; θ = 10°
x1
N+1
p = P
p = 1
p = 2
x3
ωθ R
T
caractéristiques de toutes les ondes
coefficient(s) de réflexion Rcoefficient(s) de transmission T
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0
fréquence (MHz)
|R|
Matériaux composites (2/2) : exemple des composites de type carbone-époxyde
-0.08
-0.04
0.00
0.04
0.08
0.12
0.0 5.0 10.0 15.0 20.0 25.0 30.0
µs
-0 .10
-0 .05
0 .00
0 .05
0 .10
0 .15
0 .0 5 .0 10 .0 15 .0 20 .0 25 .0 30 .0
µs
-0.06
-0.04
-0.02
0.00
0.02
0.04
0.06
0.08
0.0 5.0 10.0 15.0 20.0 25.0 30.0
µs
-0.08
-0.06
-0.04
-0.02
0.00
0.02
0.04
0.06
0.08
0.10
0.0 5.0 10.0 15.0 20.0 25.0 30.0
µs
θinc = 0°signal réfléchi
θinc = 10°signal réfléchi
signal transmisθinc = 0°
signal transmisθinc = 10°
0°/45°/90°/135° ; 5 périodes (20 plis) ; carbone/époxyde
Plaque composite plongée dans l'eau(simulation en ondes planes)
C. Potel, Université du Maine 47