3.1 Definición de matriz, notación y orden.

3.2 Operaciones con matrices.

3.3 Clasificación de las matrices.

3.4 Cálculo de la inversa de una matriz

3.5 Definición de determinante de una matriz

3.6 Propiedades de los determinantes

3.7 Inversa de una matriz cuadrada a través de la adjunta

3.8 Solución de un sistema de ecuaciones lineales a través de

la inversa.

3.9 Solución de un sistema de ecuaciones lineales por la regla

de Cramer .

3.10 Aplicación de matrices y determinantes.

UNIDAD III

3.3 Propiedades y clasificación de las matrices.

Propiedades de la Suma de las Matrices y de la Multiplicación por un escalar

Si A, B y C son matrices m X n y c y d son escalares, entonces se cumplen las

siguientes propiedades.

1.- A + B = B + A Propiedad conmutativa de la suma

2.- A + (B + C) = (A + B) + C Propiedad asociativa de la suma

3.- (cd)A = c(dA)

4.- 1A = A

5.- c(A + B) =cA + cB Propiedad distributiva

6.- (c + d)A = cA + dA Propiedad distributiva

Propiedades de la multiplicación de Matrices

Si A, B y C son matrices (con ordenes tales que los productos matriciales dados

están definidos) y c es un escalar, entonces se cumplen las siguientes

propiedades.

1. A(BC) = (AB)C Propiedad asociativa de la multiplicación

2. A(B + C) = AB + AC Propiedad distributiva

3. (A + B)C = AC + BC Propiedad distributiva

4. c(AB) = (cA)B = A(cB)

No conmutatividad de la Multiplicación de Matrices

Efectúe AB y BA usando las siguientes matrices.

12

31A

20

12B Solución

44

52

20

12

12

31AB

24

70

12

31

20

12BA

Observe que AB ≠ BA. Se concluye que no siempre hay conmutatividad en la multiplicación

Otra cualidad importante del álgebra de matrices es que no tiene una propiedad de

cancelación. Es decir, si AC = BC, no necesariamente es cierto que A = B.

Ejemplo: Demuestre que AC = BC para las siguientes matrices

10

31A

32

42B

21

21C

Solución

21

42

21

21

10

31AC

21

42

21

21

32

42BC

Por lo tanto AC = BC y, sin embargo, A≠ B.

Un tipo especial de matriz cuadrada es la que tiene unos en la diagonal principal

y ceros fuera de ella

1...000

.......

0...100

0...010

0...001

In

Si n=1,2 ó 3, se tiene

,1I1,

10

01I2

100

010

001

I3

La matriz In sirve como la identidad para la multiplicación de matrices; se

denomina matriz identidad de orden n

Notación exponencial

A1=A, A2=AA, y para un entero positivo k, Ak se define como

Ak = AAAA…A

k veces

Además:1. A0 = In

2. AJAk = A J+K

3. (AJ)K

= AJK

La transpuesta de una Matriz

La transpuesta se forma al escribir sus columnas como renglones, ejemplo:

mn3m2m1m

n3333231

n2232221

n1131211

a...aaa

.....

a...aaa

a...aaa

a...aaa

A

mnn3n2n1

3m332313

2m322212

1m312111

t

a...aaa

.....

a...aaa

a...aaa

a...aaa

A

orden m X n orden n X m

Si A=At esta matriz se denomina simétrica

Ejemplo: Encuentre la transpuesta de las siguientes matrices

8

2A

100

012

021

B

11

42

10

C

Producto de una matriz y su transpuesta

102

214

532

AEncuentre el producto A At y demuestre que es simétrica