propuesta a -...

Propuesta A

1. a) Despeja la matriz X en la siguiente ecuación matricial: 3 · 𝑋 + 𝑋 · 𝐴 + 𝐵 = 𝐼4, suponiendo que todas las

matrices son cuadradas del mismo orden (I es la matrid identidad). (0´75 puntos)

b) Dada la ecuación matricial 𝑋 · ( 3 10 −1

) = ( 1 10 4

) , despeja y calcula la matriz X. (0´75 puntos)

2. En un coro, la suma de sopranos, mezzosopranos y contraltos es igual a 15. Un día que tuvieron que cantar

faltaron 2 mezzosopranos y 1 contralto debido a la gripe, de tal forma que ese día el número de sopranos era

igual a la media aritmética de mezzosopranos y contraltos. Y además ese día el número de mezzosopranos y el

número de contraltos coincidían.

a) Plantea el sistema de ecuaciones que nos permita averiguar el número total de sopranos, mezzosopranos y

contraltos que tiene el coro asiduamente. (1´5 puntos)

b) Resuelve el sistema planteado en el apartado anterior. (0´5 puntos)

3. Se considera la función 𝑓(𝑥) = { 𝑥2 + 4𝑥 𝑠𝑖 𝑥 < −1𝑡 𝑠𝑖 − 1 ≤ 𝑥 ≤ +1

𝑥2 − 4𝑥 𝑠𝑖 𝑥 > 1

a) Halla el valor de t para que f sea continua en x = 1. (0´5 puntos)

b) Para t = 0, representa gráficamente la función f. (1 punto)

4. La evolución del precio de un determinado producto, en miles de euros, durante 6 meses, viene dada por la

función 𝑓(𝑡) = 𝑡3 − 9 𝑡2 + 15𝑡 + 50, 0 ≤ 𝑡 ≤ 6, siendo t el tiempo medido en meses.

a) ¿Cuál fue el valor que alcanzó dicho producto el segundo mes (t = 2)? (0´25 puntos)

b) ¿Cuándo alcanzó su precio máximo ese producto? ¿Y a cuánto ascendió? (0´75 puntos)

c) ¿Cuándo alcanzó su precio mínimo? ¿Y a cuánto ascendió? (0´5 puntos)

5. De un estudio sobre accidentes de tráfico se dedujeron los siguientes datos: en el 15 % de los casos no se llevaba

puesto el cinturón de seguridad; en el 60 % no se respetaron los límites de velocidad permitidos; y en el 5 % de

los casos no se cumplían ambas normas, es decir, no llevaban puesto el cinturón y no se respetaban los límites

de velocidad.

a) Calcula la probabilidad de que, en un accidente de tráfico, no se haya cumplido alguna de las normas.

(0´75 puntos)

b) Razone si son independientes los sucesos “tener accidente no llevando puesto el cinturón” y “tener accidente

no respetando los límites de velocidad”. (0´75 puntos)

6. Se sabe que el número de pulsaciones después de realizar una serie de ejercicios sigue una distribución normal

de desviación típica σ = 5. Los siguientes datos representan las pulsaciones de 20 personas elegidas al azar

después de realizar dichos ejercicios: 123, 125, 122, 134, 128, 129, 124, 130, 125, 126, 122, 127, 116, 128, 121,

125, 129, 123, 126 y 128.

a) Determina el intervalo de confianza para la media poblacional del número de pulsaciones después de la

realización de los ejercicios con un nivel de confianza del 97 %. (1 punto)

b) ¿Sería razonable pensar que este ejemplo proviene de una población normal con media μ = 113´4 con un

nivel de confianza del 97 %? ¿Y con nivel de significación igual a 0´08? Razona tus respuestas. (1 punto)

z 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09

2.0

2.1

0.9772

0.9821

0.9778

0.9826

0.9783

0.9830

0.9788

0.9834

0.9793

0.9838

0.9798

0.9842

0.9803

0.9846

0.9808

0.9850

0.9812

0.9854

0.9817

0.9857

Propuesta B

1. Una empresa tiene 1 100 latas de perdiz en escabeche y 1 000 latas de lomo de orza. Desea elaborar dos tipos de

lotes para regalo con dichas latas: lotes tipo A formados por una lata de perdiz en escabeche y dos de lomo de

orza, que venderá a 70 euros; lotes de tipo B formados por dos latas de perdiz en escabeche y una de lomo

de orza que venderá a 60 euros.

a) Expresa la función objetivo. (0´25 puntos)

b) Describe mediante inecuaciones las restricciones del problema y representa gráficamente el recinto definido.

(0´75 puntos)

c) Halla el número de lotes de cada tipo que debe preparar para obtener la mayor cantidad de dinero.(0´5 puntos)

2. En una pequeña empresa de procesado de alimentos para su conservación, se tratan tres tipos de productos

alimenticios: A, B y C. Estos alimentos pasan por tres procesos para su conservación: lavado, escaldado y

congelación. En la tabla siguiente se muestra el tiempo que necesita un lote tipo para su procesado:

A B C

Lavado 5 minutos 3 minutos 2 minutos

Escaldado 10 segundos 20 segundos 30 segundos

Congelación 2 horas 3 horas 1 hora

a) Plantea el sistema de ecuaciones que nos permita averiguar cuántos lotes de cada producto alimenticio se

pueden procesar con una disponibilidad de 825 minutos para lavado; 4 000 segundos para el escaldado;

y 475 horas para congelado. (1´5 puntos)


3. Se considera la función 𝑓(𝑥) = { 𝑥2 + 6𝑥 + 9 𝑠𝑖 𝑥 < −1

1 𝑠𝑖 − 1 ≤ 𝑥 ≤ 1𝑥2 − 6𝑥 + 9 𝑠𝑖 𝑥 > 1

a) Estudia su continuidad en x = – 1. (0´5 puntos)

b) Calcula los extremos relativos de la función f(x) en el intervalo ( 1, 4 ). (0´5 puntos)

c) Calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función f(x) en ( 1, + ∞). (0´5 puntos)

4. Determina una función polinómica de segundo grado sabiendo que tiene un mínimo relativo en el punto (3, 2) y

que la recta tangente a dicha función en el punto de abcisa x = 4 es paralela a la recta y = 2x + 7. (1´5 puntos)

5. Una persona que corre habitualmente tiene una probabilidad 0´01 de lesionarse. Suponiendo que el hecho de que

una persona se lesione es independiente de que otra se lesione o no,

a) ¿Cuál es la probabilidad de que se lesionen dos personas que corren habitualmente? (0´25 puntos)

b) ¿Cuál es la probabilidad de que se lesione al menos una de cuatro personas que corren habitualmente?

(0´5 puntos)

c) ¿Cuál es la probabilidad de que se lesione exactamente una de dos que corren habitualmente? (0´75 puntos)

6. Un fabricante de lámparas LEDs sabe que la vida útil de una lámpara LED sigue una distribución normal de

media desconocida y desviación típica 1 000 horas. Tomando una muestra aleatoria de lámparas producidas por

dicho fabricante, se ha obtenido el siguiente intervalo de confianza para la media poblacional (49 804, 50 196)

con un nivel de confianza del 95 %.

a) Calcula el tamaño de la muestra utilizada y calcula el valor que se obtuvo para la media muestral.

(1´25 puntos)

b) ¿Cuál sería el error máximo admisible si se hubiera utilizado una muestra de tamaño 50 y un nivel de

confianza del 92´98 %? (0´75 puntos)

z 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09

1.8 0.9641 0.9649 0.9656 0.9664 0.9671 0.9678 0.9686 0.9693 0.9699 0.9706

1.9 0.9713 0.9719 0.9726 0.9732 0.9738 0.9744 0.9750 0.9756 0.9761 0.9767

SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS Y PROBLEMAS E LA PROPUESTA A

1. a) Despeja la matriz X en la siguiente ecuación matricial: 𝟑 · 𝑿 + 𝑿 · 𝑨 + 𝑩 = 𝑰𝟒, suponiendo que todas

las matrices son cuadradas del mismo orden (I es la matrid identidad). (0´75 puntos)

b) Dada la ecuación matricial 𝑿 · ( 𝟑 𝟏𝟎 −𝟏

) = ( 𝟏 𝟏𝟎 𝟒


Solución.

a) Despeja la matriz X en la siguiente ecuación matricial: 𝟑 · 𝑿 + 𝑿 · 𝑨 + 𝑩 = 𝑰𝟒, suponiendo que todas

las matrices son cuadradas del mismo orden (I es la matrid identidad). (0´75 puntos)

3 · 𝑋 + 𝑋 · 𝐴 + 𝐵 = 𝐼4 ⇔ 3 · 𝑋 + 𝑋 · 𝐴 + 𝐵 = 𝐼 ⇔ 3 · 𝑋 + 𝑋 · 𝐴 = 𝐼 − 𝐵 ⇔

⇔ 𝑋 · (3 · 𝐼 + 𝐴) = 𝐼 − 𝐵 ⇔ 𝑋 · (3 · 𝐼 + 𝐴) · (3 · 𝐼 + 𝐴)−1 = (𝐼 − 𝐵) · (3 · 𝐼 + 𝐴)−1 ⇔

⇔ 𝑋 · 𝐼 = (𝐼 − 𝐵) · (3 · 𝐼 + 𝐴)−1 ⇔ 𝑋 = (𝐼 − 𝐵) · (3 · 𝐼 + 𝐴)−1

b) Dada la ecuación matricial 𝑿 · ( 𝟑 𝟏𝟎 −𝟏

) = ( 𝟏 𝟏𝟎 𝟒


Teniendo en cuenta que la matriz 𝐴 = ( 3 10 −1

) tiene matriz inversa ya que es cuadrada y su determinante,

| 3 10 −1

| = −3 − 0 = −3 ≠ 0

es no nulo, entonces podemos despejar la matriz X según,

𝑋 · ( 3 10 −1

) = ( 1 10 4

) ⇔ 𝑋 · ( 3 10 −1

) · ( 3 10 −1

)−1

= ( 1 10 4

) · ( 3 10 −1

)−1

⇔

⇔ 𝑋 · ( 1 00 1

) = ( 1 10 4

) · ( 3 10 −1

)−1

⇔ 𝑋 = ( 1 10 4

) · ( 3 10 −1

)−1

Calculamos la matriz inversa de 𝐴 = ( 3 10 −1

). Podemos realizarlo mediante dos métodos:

Método de Gauss-Jordan,

( 3 10 −1

| 1 00 1

) 𝐹´1=𝐹1+𝐹2 → (

3 00 −1

| 1 10 1

) 𝐹´1=𝐹1/3 → 𝐹´2=𝐹´2·(−1) →

( 1 00 1

| 1/3 1/30 −1

)

Por lo tanto, ( 3 10 −1

)−1

= ( 1/3 1/30 −1

)

Método de los determinantes.

La matriz inversa de A es 𝐴−1 =𝐴𝑑𝑗(𝐴𝑡)

| 𝐴 | . Por tanto, calculamos primero la matriz traspuesta A

t,

( 3 10 −1

)𝑡

= ( 3 01 −1

)

Calculamos ahora la matriz adjunta de la matriz traspuesta,

𝐴𝑑𝑗 ( 3 10 −1

)𝑡

= ( −1 −10 3

)

Puesto que el determinante de la matriz A es – 3 entonces,

𝐴−1 =𝐴𝑑𝑗(𝐴𝑡)

| 𝐴 |= 1

−3· ( −1 −10 3

) = ( 1/3 1/30 −1

)

Por lo tanto, ( 3 10 −1

)−1

= ( 1/3 1/30 −1

)

Como la matriz X, una vez despejada, es de la forma,

𝑋 = ( 1 10 4

) · ( 3 10 −1

)−1

entonces podemos calcularla realizando la multiplicación,

𝑋 = ( 1 10 4

) · ( 1/3 1/30 −1

) = ( 1/3 −2/30 −4

)

2. En un coro, la suma de sopranos, mezzosopranos y contraltos es igual a 15. Un día que tuvieron que

cantar faltaron 2 mezzosopranos y 1 contralto debido a la gripe, de tal forma que ese día el número de

sopranos era igual a la media aritmética de mezzosopranos y contraltos. Y además ese día el número de

mezzosopranos y el número de contraltos coincidían.

a) Plantea el sistema de ecuaciones que nos permita averiguar el número total de sopranos,

mezzosopranos y contraltos que tiene el coro asiduamente. (1´5 puntos)


a) Plantea el sistema de ecuaciones que nos permita averiguar el número total de sopranos,

mezzosopranos y contraltos que tiene el coro asiduamente. (1´5 puntos)

Llamamos “x” al número de sopranos; “y” al número de mezzosopranos; y “z” al número de contraltos”.

En ese caso, las ecuaciones que describen el problema vienen determinadas por las siguientes afirmaciones,

En un coro, la suma de sopranos, mezzosopranos y contraltos

es igual a 15 ⇔ 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 15

Un día, faltaron 2 mezzosopranos y 1 contralto debido a la

gripe, de tal forma que ese día el número de sopranos era

igual a la media aritmética de mezzosopranos y contraltos ⇔ 𝑥 =

𝑦 − 2 + 𝑧 − 1

2

ese día el número de mezzosopranos y el número de

contraltos coincidían ⇔ 𝑦 − 2 = 𝑧 − 1

Por lo tanto, el sistema que describe el problema viene determinado por,

𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 15

𝑥 = 𝑦 − 2 + 𝑧 − 1

2𝑦 − 2 = 𝑧 − 1

} ⇔ 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 152𝑥 = 𝑦 + 𝑧 − 3𝑦 − 𝑧 = 2 − 1

} ⇔ 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 152𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = −3 𝑦 − 𝑧 = 1

}


Podemos resolver el sistema de dos modos,

Método de Gausss-Jordan,

𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 152𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = −3 𝑦 − 𝑧 = 1

} ⇔ ( 1 1 12 −1 −10 1 −1

| 15−31 ) 𝐹´2=𝐹2−2·𝐹1 → (

1 1 10 −3 −30 1 −1

| 15−331 )

𝐹´3=3·𝐹3+𝐹2 →

( 1 1 10 −3 −30 0 −6

| 15−33−30

) 𝐹´2=𝐹2/(−3) → 𝐹´3=𝐹3/(−6) →

( 1 1 10 1 10 0 1

| 15115 ) ⇔

𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 15 𝑦 + 𝑧 = 11 𝑧 = 5

}

⇔ 𝑥 + 𝑦 + 5 = 15 𝑦 + 5 = 11 𝑧 = 5

} ⇔ 𝑥 + 𝑦 = 15 − 5 𝑦 = 11 − 5

𝑧 = 5

} ⇔ 𝑥 + 𝑦 = 10 𝑦 = 6 𝑧 = 5

} ⇔ 𝑥 + 6 = 10 𝑦 = 6 𝑧 = 5

}

⇔ 𝑥 = 10 − 6

𝑦 = 6𝑧 = 5

} ⇔ 𝑥 = 4𝑦 = 6𝑧 = 5

}

Por tanto, en el coro hay 4 sopranos, 6 mezzosopranos y 5 contraltos.

Método de los determinantes,

𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 152𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = −3 𝑦 − 𝑧 = 1

}

Tendremos que las incógnitas son:

𝑥 =

| 15 1 1−3 −1 −11 1 −1

|

| 1 1 12 −1 −10 1 −1

|

= 15 − 3 − 1 + 1 + 15 − 3

1 + 2 + 0 + 0 + 1 + 2=24

6= 4 𝑠𝑜𝑝𝑟𝑎𝑛𝑜𝑠

𝑦 =

| 1 15 12 −3 −10 1 −1

|

| 1 1 12 −1 −10 1 −1

|

= 3 + 2 − 0 + 0 + 1 + 30

1 + 2 + 0 + 0 + 1 + 2=36

6= 6 𝑚𝑒𝑧𝑧𝑜𝑠𝑜𝑝𝑟𝑎𝑛𝑜𝑠

𝑧 =

| 1 1 152 −1 −30 1 1

|

| 1 1 12 −1 −10 1 −1

|

= −1 + 30 − 0 + 0 + 3 − 2

1 + 2 + 0 + 0 + 1 + 2=30

6= 5 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑙𝑡𝑜𝑠

Por tanto, en el coro hay 4 sopranos, 6 mezzosopranos y 5 contraltos.

3. Se considera la función 𝒇(𝒙) = { 𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 𝒔𝒊 𝒙 < −𝟏𝒕 𝒔𝒊 − 𝟏 ≤ 𝒙 ≤ +𝟏

𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 𝒔𝒊 𝒙 > 𝟏



Solución.


Para que una función f(x) sea continua en un valor de abcisa x = a, debe ocurrir que,

lim𝑥 → 𝑎−

𝑓(𝑥) = lim𝑥 → 𝑎+

𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎)

En tal caso, y concretando para nuestro ejercicio, para que f(x) sea continua en x = 1 debe ocurrir que,

lim𝑥 → 1−

𝑓(𝑥) = lim𝑥 → 1+

𝑓(𝑥) = 𝑓(1)

Calculamos los límites laterales y la imagen de la función en el valor de abcisa y comprobamos si son

iguales,

lim𝑥 → 1−

𝑓(𝑥) = lim𝑥 → 1−

𝑡 = 𝑡

lim𝑥 → 1+

𝑓(𝑥) = lim𝑥 → 1+

(𝑥2 − 4𝑥) = 12 − 4 · 1 = 1 − 4 = −3

𝑓(1) = 𝑡

En tal caso, para que f(x) sea continua en x = 1 debe ocurrir que t = – 3.


Sea la función f(x),

𝑓(𝑥) = { 𝑥2 + 4𝑥 𝑠𝑖 𝑥 < −10 𝑠𝑖 − 1 ≤ 𝑥 ≤ +1

𝑥2 − 4𝑥 𝑠𝑖 𝑥 > 1

se trata de representar dos funciones cuadráticas y una función constante.

Representamos por partes,

y = x2 + 4x , si x < – 1

El vértice de la función está en,

𝑉𝑥 = −𝑏

2𝑎= −

4

2 · 1= −2

Mediante una tabla de valores, calculamos

dos imágenes a la izquierda del valor de

abcisa del vértice y dos a la derecha.

x 𝑦 = 𝑥2 + 4𝑥

– 2 (−2)2 + 4 · (−2) = 4 − 8 = −4

– 3 (−3)2 + 4 · (−3) = 9 − 12

= −3

– 4 (−4)2 + 4 · (−4) = 16 − 16 = 0

– 1 (−1)2 + 4 · (−1) = 1 − 4 = −3

La representación en forma de parábola

está adjunta a la derecha.

y = 0 , si – 1 ≤ x < + 1

La función es constante. El trozo de la representación gráfica que se pide es segmento horizontal sobre

el eje OX entre – 1 y + 1 incluyendo los dos extremos.

Mediante una tabla de valores, se puede

también representar sin dificultad.

x 𝑦 = 0

0 0

0 0

+ 1 0

+ 2 0

La representación en forma de parábola

está adjunta a la derecha.

y = x2 – 4x , si + 1 < x

El vértice de la función está en,

𝑉𝑥 = −𝑏

2𝑎= −

−4

2 · 1= +2

Mediante una tabla de valores, calculamos dos

imágenes a la izquierda del valor de abcisa del

vértice y dos a la derecha.

x 𝑦 = 𝑥2 − 4𝑥

+ 2 (+2)2 − 4 · (+2) = 4 − 8 = −4

+ 3 (+3)2 − 4 · (+3) = 9 − 12 = −3

+ 4 (+4)2 − 4 · (+4) = 16 − 16 = 0

+ 1 (+1)2 − 4 · (+1) = 1 − 4 = 3

La representación en forma de parábola está

adjunta a la derecha.

Por lo tanto, la representación gráfica pedida es,

4. La evolución del precio de un determinado producto, en miles de euros, durante 6 meses, viene dada por la

función 𝒇(𝒕) = 𝒕𝟑 − 𝟗 𝒕𝟐 + 𝟏𝟓𝒕 + 𝟓𝟎, 𝟎 ≤ 𝒕 ≤ 𝟔, siendo t el tiempo medido en meses.




Solución.


Calculamos f(2),

𝑓(2) = 23 − 9 · 22 + 15 · 2 + 50 = 8 − 36 + 30 + 50 = +52

Por lo tanto, el valor que alcanzo en el segundo mes fue 52 000 euros.


Calculamos la primera derivada,

𝑓´(𝑡) = 3 · 𝑡2 − 18𝑡 + 15

Igualo a cero y calculo los valores de abcisa de los extremos relativos,

3𝑡2 − 18𝑡 + 15 = 0 ⇔ 𝑡 =−(−18) ± √ (−18)2 − 4 · 3 · 15

2 · 3=18 ± √ 324 − 180

6=

=18 ± √ 144

6=18 ± 12

6=

{

𝑡1 =18 + 12

6=30

6= 5

𝑡2 =18 − 12

6= 6

6= 1

Calculamos ahora la segunda derivada para sustituir los valores de abcisa de los extremos relativos y así

saber si son máximos o mínimos relativos mediante su sustitución en la misma.

𝑓´´(𝑡) = 6𝑡 − 18

Si t = 1 entonces f´´(+ 1)= 6·1 – 18 = 6 – 18 = – 12 < 0. Por lo tanto, en t = 1 hay un Máximo relativo.

Si t = 5 entonces f´´(+ 5)= 6·5 – 18 = 30 – 18 = + 12 > 0. Por lo tanto, en t = 5 hay un mínimo relativo.

Calculamos ahora la imagen del Máximo relativo t = 1,

𝑓(1) = 13 − 9 · 12 + 15 · 1 + 50 = 1 − 9 + 15 + 50 = 57

Por lo tanto, el valor que alcanzó en el primer mes fue 57 000 euros.

Puesto que la función es continua y tiene un máximo relativo en t = 1 y un mínimo relativo en t = 5 entonces

f(x) será creciente en (0, 1) ∪ (5, 6) mientras que será decreciente en (1, 5). Calculamos entonces la imagen

del valor de fin del estudio de la función en estudio (t = 6) para comparar dicho valor máximo y asegurarnos

de que hay si un Máximo absoluto en t = 1 o, por el contrario, es t = 6.

𝑓(6) = 63 − 9 · 62 + 15 · 6 + 50 = 216 − 324 + 90 + 50 = 32

Como f(6) = 32 y f(1) = 57 entonces el precio máximo del producto se alcanza en el primer mes y

asciende a 57 000 euros.


Calculamos ahora la imagen del mínimo relativo t = 5,

𝑓(5) = 53 − 9 · 52 + 15 · 5 + 50 = 125 − 225 + 75 + 50 = 25

Por lo tanto, el valor que alcanzó en el quinto mes fue 25 000 euros.

Al igual que antes, calculamos ahora la imagen del valor de inicio del estudio de la función en estudio

(t = 0) para comparar dicho valor mínimo y asegurarnos de que hay si un mínimo absoluto en t = 5 o, por el

contrario, es en t = 0.

𝑓(0) = 03 − 9 · 02 + 15 · 0 + 50 = 0 − 0 + 0 + 50 = 50

Como f(0) = 50 y f(5) = 25 entonces el precio mínimo del producto se alcanza en el quinto mes y

asciende a 25 000 euros.

Por lo tanto, el valor que alcanzo en el segundo mes fue 52 000 euros.

5. De un estudio sobre accidentes de tráfico se dedujeron los siguientes datos: en el 15 % de los casos no se

llevaba puesto el cinturón de seguridad; en el 60 % no se respetaron los límites de velocidad permitidos; y

en el 5 % de los casos no se cumplían ambas normas, es decir, no llevaban puesto el cinturón y no se

respetaban los límites de velocidad.


(0´75 puntos)

b) Razone si son independientes los sucesos “tener accidente no llevando puesto el cinturón” y “tener

accidente no respetando los límites de velocidad”. (0´75 puntos)

Solución.


(0´75 puntos)

Sean los sucesos C = “No llevar el cinturón puesto” y V = “No respetar los límites de velocidad”. El

enunciado expresa los valores de las siguientes probabilidades,

P(C) = 0´15 ; P(V) = 0´6 ; P(C∩V) = 0´05

Se nos pide la probabilidad de que no se haya cumplido alguna de las normas, es decir, se nos pide P(C ∪ V).

Puesto que,

𝑃(𝐶 ∪ 𝑉) = 𝑃(𝐶) + 𝑃(𝑉) − 𝑃(𝐶 ∩ 𝑉)

entonces,

𝑃(𝐶 ∪ 𝑉) = 0´15 + 0´6 − 0´05 = 0´7

En conclusión, hay una probabilidad del 70 % de que dado un accidente de tráfico, se haya incumplido

la norma de llevar el cinturón de seguridad o la norma de respetar el límite de velocidad.

b) Razone si son independientes los sucesos “tener accidente no llevando puesto el cinturón” y “tener

accidente no respetando los límites de velocidad”. (0´75 puntos)

Para que los sucesos sean independientes debe ocurrir que

𝑃(𝐶 ∩ 𝑉) = 𝑃(𝐶) · 𝑃(𝑉)

Calculamos,

𝑃(𝐶 ∩ 𝑉) = 0´05 ; 𝑃(𝐶) · 𝑃(𝑉) = 0´15 · 0´6 = 0´09

Como 0´05 ≠ 0´09 entonces 𝑃(𝐶 ∩ 𝑉) ≠ 𝑃(𝐶) · 𝑃(𝑉) y, por tanto, los sucesos “tener accidente no

llevando puesto el cinturón de seguridad” y “tener accidente no respetando los límites de velocidad”

no son independientes.

6. Se sabe que el número de pulsaciones después de realizar una serie de ejercicios sigue una distribución

normal de desviación típica σ = 5. Los siguientes datos representan las pulsaciones de 20 personas

elegidas al azar después de realizar dichos ejercicios: 123, 125, 122, 134, 128, 129, 124, 130, 125, 126, 122,

127, 116, 128, 121, 125, 129, 123, 126 y 128.



b) ¿Sería razonable pensar que este ejemplo proviene de una población normal con media μ = 113´4 con

un nivel de confianza del 97 %? ¿Y con nivel de significación igual a 0´08? Razona tus respuestas.

(1 punto)

z 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09

2.0

2.1

0.9772

0.9821

0.9778

0.9826

0.9783

0.9830

0.9788

0.9834

0.9793

0.9838

0.9798

0.9842

0.9803

0.9846

0.9808

0.9850

0.9812

0.9854

0.9817

0.9857

Solución.



Calculamos la media muestral,

𝑋 =2 · 123 + 3 · 125 + 2 · 122 + 134 + 3 · 128 + 2 · 129 + 124 + 130 + 2 · 126 + 127 + 116 + 121

20=

= 2 511

20= 125´55

Puesto que 1 – α = 0´97 entonces α = 0´03 y 𝛼

2= 0´015 por lo que hay que buscar en la tabla de la normal

estándar el valor de abcisa de la probabilidad 0´97 + 0´015 = 0´985. Ese valor es 2´17.

El intervalo de confianza para la media poblacional µ conocida la desviación típica σ = 5 será,

( 𝑋 − 𝑧𝛼 2⁄ ·𝜎

√𝑛 , 𝑋 + 𝑧𝛼 2⁄ ·

𝜎

√𝑛 ) = ( 125´55 − 2´17 ·

5

√20 , 125´55 + 2´17 ·

5

√20 )

= ( 123´1239, 127´9761)

b) ¿Sería razonable pensar que este ejemplo proviene de una población normal con media μ = 113´4 con

un nivel de confianza del 97 %? ¿Y con nivel de significación igual a 0´08? Razona tus respuestas.

(1 punto)

Puesto que μ = 113´4 está fuera del intervalo de confianza ( 123´1239, 127´9761) calculado anteriormente

para una confianza del 97 %, no es razonable pensar que la muestra proviene de una población normal

con media μ = 113´4 y para una confianza del 97 %.

Si el nivel de significación fuera α = 0´08 entonces el nivel de confianza sería,

1 – α = 1 – 0´08 = 0´92 = 92 %

Al disminuir la confianza el intervalo de confianza se estrecha, se hace más pequeño y como, con nivel de

confianza 97 % no era razonable pensar que la muestra procedía de una población normal de media μ =

113´4, menos razonable será pensar que procede de una población normal de media μ = 113´4 a un

nivel de confianza del 92 %.

SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS Y PROBLEMAS DE LA PROPUESTA B

1. Una empresa tiene 1 100 latas de perdiz en escabeche y 1 000 latas de lomo de orza. Desea elaborar dos

tipos de lotes para regalo con dichas latas: lotes tipo A formados por una lata de perdiz en escabeche y dos

de lomo de orza, que venderá a 70 euros; lotes de tipo B formados por dos latas de perdiz en escabeche y

una de lomo de orza que venderá a 60 euros.


b) Describe mediante inecuaciones las restricciones del problema y representa gráficamente el recinto

definido. (0´75 puntos)

c) Halla el número de lotes de cada tipo que debe preparar para obtener la mayor cantidad de dinero.

(0´5 puntos)

Solución.


Llamamos “x” al número de lotes tipo A e “y” al número de lotes tipo B. En ese caso, la función objetivo

que cuantifica los beneficios es,

𝐹(𝑥, 𝑦) = 70 · 𝑥 + 60 · 𝑦

b) Describe mediante inecuaciones las restricciones del problema y representa gráficamente el recinto

definido. (0´75 puntos)

Teniendo previamente en cuenta que el número de lotes tipo A y tipo B son números naturales y, por tanto,

positivos x ≥ 0 e y ≥ 0 , las inecuaciones que describen el problema son las siguientes:

Lotes tipo A formados por una lata de perdiz en escabeche

lotes de tipo B formados por dos latas de perdiz en

escabeche. Tiene 1 100 latas de perdiz en escabeche. ⇔ 𝑥 + 2𝑦 ≤ 1 100

Lotes tipo A formados por dos de lomo de orza; lotes de tipo

B formados por una de lomo de orza. Tiene 1 000 latas de

lomo de orza. ⇔ 2𝑥 + 𝑦 ≤ 1 000

Por tanto, el sistema de inecuaciones que describe el problema es,

𝑥 ≥ 0 , 𝑦 ≥ 0 𝑥 + 2𝑦 ≤ 1 1002𝑥 + 𝑦 ≤ 1 000

}

Para representar la región factible representamos cada una de las inecuaciones.

En el caso de x ≥ 0 e y ≥ 0 tendremos que el semiplano de soluciones se reduce al primer cuadrante.

Procedemos a representar la inecuación x + 2y ≤ 1 100. Para ello representamos la recta x + 2y = 1 100

despejando “y” para luego dar valores mediante una tabla:

x 𝑦 = 1 100 − 𝑥

2

0

𝑦 = 1 100 − 0

2= 550

+ 550

𝑦 = 1 100 − 550

2= 225

1 100

𝑦 = 1 100 − 1 100

2= 0

Para determinar el semiplano de

soluciones de la inecuación 2x + y ≤ 1

100, restringido al primer cuadrante,

probamos con un punto cualquiera que

no pertenezca a la recta 2x + y = 1 100. En este caso vamos a tomar el punto origen de coordenadas (0, 0)

2·0 + 0 = 0 ≤ 1 100

Por lo tanto, (0, 0) cumple la inecuación y el semiplano de soluciones es el semiplano al que pertenece el

punto (0, 0). La recta la hacemos continua porque la desigualdad de la inecuación NO es estricta.

Procedemos a representar la inecuación 2x + y ≤ 1 000. Para ello representamos la recta 2x + y = 1 000

despejando “y” para luego dar valores mediante una tabla:

x y = 1 000 – 2x

0

1 000 – 2·0 = 1 000

+ 250

1 000 – 2·250 = 500

+ 500

1 000 – 2·500 = 0

Para determinar el semiplano de soluciones

de la inecuación 2x + y ≤ 1 000, restringido al

primer cuadrante, probamos con un punto

cualquiera que no pertenezca a la recta

2x + y = 1 000. En este caso vamos a tomar

el punto origen de coordenadas (0, 0)

2·0 + 0 = 0 ≤ 1 000

Por lo tanto, (0, 0) cumple la inecuación y el semiplano de soluciones es el semiplano al que pertenece el

punto (0, 0). La recta la hacemos continua porque la desigualdad de la inecuación NO es estricta.

Por lo tanto, la región factible queda representada por la intersección de las dos restricciones

anteriores al primer cuadrante.

c) Halla el número de lotes de cada tipo que debe preparar para obtener la mayor cantidad de dinero.

(0´5 puntos)

Hemos señalado los vértices A, B, C y O de la región factible en la representación del apartado anterior. De

todos modos, vamos a calcularlos algebraicamente mediante sistemas de ecuaciones, determinando el punto

de intersección de rectas.

Cálculo de las coordenadas del punto A. Se trata del punto de corte de la recta x + 2y = 1 100 con el

eje de ordenadas x = 0. En ese caso, las coordenadas del punto serán:

𝑥 + 2𝑦 = 1 100𝑥 = 0

} ↔ 0 + 2𝑦 = 1 100

𝑥 = 0 } ↔ 𝑦 =

1 100

2𝑥 = 0

} ↔ 𝑦 = 5500𝑥 = 0

} ↔ 𝐴(0,+550)

Cálculo de las coordenadas del punto B. Se trata del punto de corte de la recta x + 2y = 1 100 con la

recta 2x + y = 1 000. En ese caso, las coordenadas del punto serán:

𝑥 + 2𝑦 = 1 1002𝑥 + 𝑦 = 1 000

} ·(−2) → +

−2𝑥 − 4𝑦 = −2 200 2𝑥 + 𝑦 = 1 000

}

−3𝑦 = −1 200 𝑦 =−1 200

−3= 400

1ª 𝑒𝑐.→ 𝑥 = 1 100 − 2𝑦 = 1 100 − 2 · 400 = 1 100 − 800 = 300 ↔ 𝐵(+300,+400)

Cálculo de las coordenadas del punto C. Se trata del punto de corte de la recta x + 2y = 1 000 con el eje

de abcisas y = 0. En ese caso, las coordenadas del punto serán:

2𝑥 + 𝑦 = 1 000𝑦 = 0

} ↔ 2𝑥 + 0 = 1 000

𝑦 = 0 } ↔

𝑥 =1000

2𝑦 = 0

} ↔ 𝑥 = 500𝑦 = 0

} ↔ 𝐶(+500, 0)

Cálculo de las coordenadas del punto O. Se trata del punto de corte del eje de abcisas y = 0 con el eje

de ordenadas x = 0. En ese caso, las coordenadas del punto serán O(0, 0).

La teoría de programación lineal indica que en los problemas de programación lineal de mínimo o de máximo

sobre una región acotada y compacta las soluciones óptimas se encuentran en algún vértice. En ese caso,

sustituimos las coordenadas de los vértices en la función objetivo F(x,y) = 60x + 70y, para comprobar qué

punto da valor máximo.

𝐹(𝐴) = 𝐹(0,550) = 70 · 0 + 60 · 550 = 0 + 33 000 = 33 000

𝐹(𝐵) = 𝐹(300,400) = 70 · 300 + 60 · 400 = 21 000 + 24 000 = 45 000

𝐹(𝐶) = 𝐹(500,0) = 70 · 500 + 60 · 0 = 35 000 + 0 = 35 000

𝐹(𝑜) = 𝐹(0,0) = 70 · 0 + 60 · 0 = 0 + 0 = 0

El vértice de valor máximo al sustituir en la función objetivo es B por lo que 300 lotes de tipo A y 400

lotes de tipo B es la solución óptima del problema y la mayor cantidad que se obtendrá será 45 000 €.

2. En una pequeña empresa de procesado de alimentos para su conservación, se tratan tres tipos de

productos alimenticios: A, B y C. Estos alimentos pasan por tres procesos para su conservación: lavado,

escaldado y congelación. En la tabla siguiente se muestra el tiempo que necesita un lote tipo para su

procesado:

A B C

Lavado 5 minutos 3 minutos 2 minutos

Escaldado 10 segundos 20 segundos 30 segundos

Congelación 2 horas 3 horas 1 hora

a) Plantea el sistema de ecuaciones que nos permita averiguar cuántos lotes de cada producto alimenticio

se pueden procesar con una disponibilidad de 825 minutos para lavado; 4 000 segundos para el

escaldado; y 475 horas para congelado. (1´5 puntos)


Solución.

a) Plantea el sistema de ecuaciones que nos permita averiguar cuántos lotes de cada producto alimenticio

se pueden procesar con una disponibilidad de 825 minutos para lavado; 4 000 segundos para el

escaldado; y 475 horas para congelado. (1´5 puntos)

Llamamos “x” al número de lotes tipo A; “y” al número de lotes tipo B; y “z” al número de lotes tipo C”.

En ese caso, las ecuaciones que describen el problema vienen determinadas por las siguientes afirmaciones,

Lavado: A: 5 minutos; B 3 minutos; C 2 minutos

Disponibilidad de lavado de 825 minutos. ⇔ 5𝑥 + 3𝑦 + 2𝑧 = 825

Escaldado: A: 10 segundos; B 20 segundos; C 30 segundos

Disponibilidad del escaldado de 4 000 segundos. ⇔ 10𝑥 + 20𝑦 + 30𝑧 = 4 000

Congelado: A: 2 horas; B 3 horas; C 1 hora

Disponibilidad de congelado de 475 horas. ⇔ 2𝑥 + 3𝑦 + 𝑧 = 475

Por lo tanto, el sistema que describe el problema viene determinado por,

5𝑥 + 3𝑦 + 2𝑧 = 82510𝑥 + 20𝑦 + 30𝑧 = 4 0002𝑥 + 3𝑦 + 𝑧 = 475

} ⇔

5𝑥 + 3𝑦 + 2𝑧 = 825𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 = 4002𝑥 + 3𝑦 + 𝑧 = 475

}


Podemos resolver el sistema de dos modos,

Método de Gausss-Jordan,

5𝑥 + 3𝑦 + 2𝑧 = 825𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 = 4002𝑥 + 3𝑦 + 𝑧 = 475

} ⇔ ( 5 3 21 2 32 3 1

| 825400475

) 𝐹1↔𝐹2 → ( 1 2 35 3 22 3 1

| 400825475

)

𝐹´2=𝐹2−5·𝐹1 → 𝐹´3=𝐹3−2·𝐹1 →

( 1 2 30 −7 −130 −1 −5

| 400−1175−325

) 𝐹´3=7·𝐹3−𝐹1 →

( 1 2 30 −7 −130 0 −22

| 400−1175−1 100

)

⇔ 𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 = 400

−7𝑦 − 13𝑧 = −1175 −22𝑧 = −1 100

}

⇔

𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 = 400 −7𝑦 − 13𝑧 = −1175

𝑧 =−1100

−22

} ⇔ 𝑥 + 2𝑦 + 3 · 50 = 400

−7𝑦 − 13 · 50 = −1175 𝑧 = 50

} ⇔

⇔ 𝑥 + 2𝑦 + 150 = 400

−7𝑦 − 650 = −1175 𝑧 = 50

} ⇔ 𝑥 + 2𝑦 = 400 − 150

−7𝑦 = −1175 + 650𝑧 = 50

} ⇔

⇔ 𝑥 + 2𝑦 = 250 −7𝑦 = −525 𝑧 = 50

} ⇔

𝑥 + 2𝑦 = 250

𝑦 =−525

−7 𝑧 = 50

} ⇔

⇔ 𝑥 + 2𝑦 = 250 𝑦 = 75 𝑧 = 50

} ⇔ 𝑥 + 2 · 75 = 250 𝑦 = 75 𝑧 = 50

} ⇔

⇔ 𝑥 + 150 = 250 𝑦 = 75 𝑧 = 50

} ⇔ 𝑥 = 250 − 150

𝑦 = 75𝑧 = 50

} ⇔ 𝑥 = 100𝑦 = 75𝑧 = 50

}

Por tanto, en el coro hay 100 lotes tipo A; 75 lotes tipo B y 50 lotes tipo C.

Método de los determinantes,

Dado el sistema de ecuaciones lineales que describe el problema,

5𝑥 + 3𝑦 + 2𝑧 = 825𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 = 4002𝑥 + 3𝑦 + 𝑧 = 475

}

Podemos resolver las tres incógnitas son:

𝑥 =

| 825 3 2400 2 3475 3 1

|

| 5 3 21 2 32 3 1

|

= 1 650 + 2 400 + 4 275 − 1 900 − 7 425 − 1 200

10 + 6 + 18 − 8 − 45 − 3=−2 200

−22= 100 𝑙𝑜𝑡𝑒𝑠 𝑡𝑖𝑝𝑜 𝐴

𝑦 =

| 5 825 21 400 32 475 1

|

| 5 3 21 2 32 3 1

|

= 2 000 + 950 + 4 950 − 1 600 − 7 125 − 825

10 + 6 + 18 − 8 − 45 − 3=−1 650

−22= 75 𝑙𝑜𝑡𝑒𝑠 𝑡𝑖𝑝𝑜 𝐵

𝑧 =

| 5 3 8251 2 4002 3 475

|

| 5 3 21 2 32 3 1

|

= 4 750 + 2 475 + 2 400 − 3 300 − 6 000 − 1 425

10 + 6 + 18 − 8 − 45 − 3=−1 100

−22= 50 𝑙𝑜𝑡𝑒𝑠 𝑡𝑖𝑝𝑜 𝐶

Por tanto, en el coro hay 100 lotes tipo A; 75 lotes tipo B y 50 lotes tipo C.

3. Se considera la función 𝒇(𝒙) = { 𝒙𝟐 + 𝟔𝒙 + 𝟗 𝒔𝒊 𝒙 < −𝟏

𝟏 𝒔𝒊 − 𝟏 ≤ 𝒙 ≤ 𝟏𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 + 𝟗 𝒔𝒊 𝒙 > 𝟏




Solución.


Para que una función f(x) sea continua en un valor de abcisa x = a, debe ocurrir que,

lim𝑥 → 𝑎−

𝑓(𝑥) = lim𝑥 → 𝑎+

𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎)

En tal caso, y concretando para nuestro ejercicio, para que f(x) sea continua en x = – 1 debe ocurrir que,

lim𝑥 →−1−

𝑓(𝑥) = lim𝑥 →−1+

𝑓(𝑥) = 𝑓(−1)

Calculamos los límites laterales y la imagen de la función en el valor de abcisa y comprobamos si son

iguales,

lim𝑥 →−1−

𝑓(𝑥) = lim𝑥 →−1−

(𝑥2 + 6𝑥 + 9) = 12 + 6 · 1 + 9 = 1 + 6 + 9 = 16

lim𝑥 →−1+

𝑓(𝑥) = lim𝑥 →−1+

1 = 1

𝑓(1) = 1

Puesto que los límites laterales y la imagen de la función en el punto existen pero no son iguales, la función

f(x) no es continua en x = – 1 y presenta una discontinuidad de salto finito.


Calculamos la derivada de la función 𝑦(𝑥) = 𝑥2 − 6𝑥 + 9 para buscar los extremos relativos de

la función f(x),

𝑦´(𝑥) = 2𝑥 − 6

Igualamos a cero,

2𝑥 − 6 = 0 ⇔ 2𝑥 = 6 ⇔ 𝑥 = 6

2= 3

Por tanto, en x = 3 la función presenta un extremo relativo. Procedemos a clasificarlo mediante su sustitución

en la segunda derivada.

𝑦´´(𝑥) = 2 ⇒ 𝑦´´(3) = 2 > 0

Puesto que la segunda derivada sustituida en x = 3 es negativa, la función presenta un mínimo relativo

en x = 3.

También podíamos haber llegado a la misma conclusión buscando el vértice de la

parábola 𝑦(𝑥) = 𝑥2 − 6𝑥 + 9 y observando que, al ser a > 0, la parábola es cóncava (∪) ya que, en tal caso,

el valor,

𝑉𝑥 =−𝑏

2𝑎=−(−6)

2 · 1= 6

2= 3

es un mínimo relativo de la función en x = 3.


En el intervalo ( 1, + ∞), la función tiene expresión analítica 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 6𝑥 + 9. En tal caso, y debido al

apartado anterior, sabemos que se trata de una parábola cóncava (∪) con vértice o mínimo relativo en x = 3.

Como la función en este intervalo presenta continuidad al tratarse de una función cuadrática, f(x) presenta

decrecimiento en el intervalo (1, 3) y crecimiento en ( 3, + ∞),

4. Determina una función polinómica de segundo grado sabiendo que tiene un mínimo relativo en el punto

(3, 2) y que la recta tangente a dicha función en el punto de abcisa x = 4 es paralela a la recta y = 2x + 7.

(1´5 puntos)

Solución. Sea la expresión analítica general de la función polinómica de segundo grado

𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐

cuya derivada es,

𝑓´(𝑥) = 2𝑎𝑥 + 𝑏

Seguimos las instrucciones que nos señalan en el problema para calcular los parámetros a, b y c.

La función f(x) pasa por el punto (3, 2) y, por tanto,

𝑓(3) = 2 ⇔ 𝑎 · 32 + 𝑏 · 3 + 𝑐 = 2 ⇔ 9𝑎 + 3𝑏 + 𝑐 = 2

La función f(x) tiene un mínimo relativo en el punto (3, 2) y, por tanto,

𝑓´(3) = 0 ⇔ 2𝑎 · 3 + 𝑏 = 0 ⇔ 6𝑎 + 𝑏 = 0

La recta tangente a la función f(x) en x = 4 es paralela a la recta y = 2x + 7.

Puesto que la pendiente de la recta tangente es la derivada y la pendiente de la recta dada es m = 2, entonces

ocurre que la derivada de la función en x = 4, es igual a la pendiente de la recta. En tal caso,

𝑓´(4) = 2 ⇔ 2𝑎 · 4 + 𝑏 = 2 ⇔ 8𝑎 + 𝑏 = 2

Tomamos las dos últimas ecuaciones generadas y resolvemos el valor de a y b.

6𝑎 + 𝑏 = 08𝑎 + 𝑏 = 2

} 𝑥 (−1) →

6𝑎 + 𝑏 = 0−8𝑎 − 𝑏 = −2

}

−2𝑎 = −2 ⇔ 𝑎 =−2

−2= +1

1ª 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛: 6𝑎 + 𝑏 = 0 ⇒ 6 · 1 + 𝑏 = 0 ⇔ 6 + 𝑏 = 0 ⇔ 𝑏 = −6

Calculamos el parámetro c a partir de la primera ecuación

9𝑎 + 3𝑏 + 𝑐 = 2 ⇒ 9 · 1 + 3 · (−6) + 𝑐 = 2 ⇔ 9 − 18 + 𝑐 = 2 ⇔

⇔ −9 + 𝑐 = 2 𝑐 = 2 + 9 = 11

Por lo tanto, la función polinómica de segundo grado f(x) que cumple con las condiciones descritas en el

enunciado tiene expresión analítica

𝑓(𝑥) = 1 · 𝑥2 − 6 · 𝑥 + 11 ⇔ 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 6𝑥 + 11

5. Una persona que corre habitualmente tiene una probabilidad 0´01 de lesionarse. Suponiendo que el hecho

de que una persona se lesione es independiente de que otra se lesione o no,



(0´5 puntos)

c) ¿Cuál es la probabilidad de que se lesione exactamente una de dos que corren habitualmente?

(0´75 puntos)

Solución.


La variable aleatoria X = “nº de personas que se lesionan” considerando una muestra de dos personas

independientes se distribuye mediante una binomial de tamaño n = 2 y probabilidad de lesión p = 0´01.

𝑋 = 𝐵(2, 0´01)

En tal caso, la probabilidad de que se lesionen dos personas que corren habitualmente será:

𝑃(𝑋 = 2) = ( 22 ) · 0´012 · (1 − 0´01)2−2 = 1 · 0´012 · 0´990 = 1 · 0´0001 · 1 = 0´0001

En Conclusión, la probabilidad de que se lesionen dos personas que corren habitualmente en las

condiciones del problema es de 0´01.

(*) Este apartado también se puede hacer mediante diagrama de árbol con dos fases.


(0´5 puntos)

La variable aleatoria X = “nº de personas que se lesionan” considerando una muestra de cuatro personas

independientes se distribuye mediante una binomial de tamaño n = 4 y probabilidad de lesión p = 0´01.

𝑋 = 𝐵(4, 0´01)

En tal caso, la probabilidad de que se lesione al menos una de cuatro personas que corren habitualmente será:

𝑃(𝑋 ≥ 1) = 1 − 𝑃(𝑋 < 1) = 1 − 𝑃(𝑋 = 0) = 1 − ( 40 ) · 0´010 · (1 − 0´01)4−0 =

= ( 40 ) · 0´010 · 0´994 = 1 · 1 · 0´96059601 = 0´03940399

En Conclusión, la probabilidad de que se lesione al menos una de las cuatro personas dos personas que

corren habitualmente en las condiciones del problema es de 0´03940399.

(*) Este apartado también se puede hacer mediante diagrama de árbol con cuatro fases.

c) ¿Cuál es la probabilidad de que se lesione exactamente una de dos que corren habitualmente?

(0´75 puntos)

Al igual que en el apartado a), la variable aleatoria X = “nº de personas que se lesionan” considerando una

muestra de dos personas independientes se distribuye mediante una binomial de tamaño n = 2 y probabilidad

de lesión p = 0´01.

𝑋 = 𝐵(2, 0´01)

En tal caso, la probabilidad de que se lesionen dos personas que corren habitualmente será:

𝑃(𝑋 = 1) = ( 21 ) · 0´011 · (1 − 0´01)2−1 = 2 · 0´011 · 0´991 = 2 · 0´01 · 0´99 = 0´0198

En Conclusión, la probabilidad de que se lesionen dos personas que corren habitualmente en las

condiciones del problema es de 0´01.

(*) Este apartado también se puede hacer mediante diagrama de árbol con dos fases.

6. Un fabricante de lámparas LEDs sabe que la vida útil de una lámpara LED sigue una distribución normal

de media desconocida y desviación típica 1 000 horas. Tomando una muestra aleatoria de lámparas

producidas por dicho fabricante, se ha obtenido el siguiente intervalo de confianza para la media

poblacional (49 804, 50 196) con un nivel de confianza del 95 %.


(1´25 puntos)



z 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09

1.8 0.9641 0.9649 0.9656 0.9664 0.9671 0.9678 0.9686 0.9693 0.9699 0.9706

1.9 0.9713 0.9719 0.9726 0.9732 0.9738 0.9744 0.9750 0.9756 0.9761 0.9767

Solución.


(1´25 puntos)

Puesto que el intervalo de confianza para la media poblacional µ dada la media muestral 𝑋 para un tamaño

muestra n y una desviación típica conocida σ = 1 000 horas, es

( 𝑋 − 𝑧𝛼 2⁄ ·𝜎

√𝑛 , 𝑋 + 𝑧𝛼 2⁄ ·

𝜎

√𝑛 )

Para un nivel de confianza 1 – α = 0´95 y, por tanto,

1 – 𝛼 = 0´95 ⇔ 1 − 0´95 = 𝛼 ⇔ 0´05 = 𝛼 ⇔ 0´05

2=𝛼

2 ⇔ 0´025 =

𝛼

2

⇒ 𝑃(𝑋 ≤ 𝑧𝛼 2⁄ ) = 0´95 + 0´025 ⇔ 𝑃(𝑋 ≤ 𝑧𝛼 2⁄ ) = 0´975 ⇒ 𝑧𝛼 2⁄ = 1´96

Igualamos al intervalo dado en el enunciamos y tratamos de despejar el tamaño muestral n y la media

muestral 𝑋,

( 𝑋 − 𝑧𝛼 2⁄ ·𝜎

√𝑛 , 𝑋 + 𝑧𝛼 2⁄ ·

𝜎

√𝑛 ) = ( 49 804, 50 196 )

𝑋 − 𝑧𝛼 2⁄ ·𝜎

√𝑛= 49 804

𝑋 + 𝑧𝛼 2⁄ ·𝜎

√𝑛= 50 196

} ⇔

𝑋 − 1´96 ·1 000

√𝑛= 49 804

𝑋 + 1´96 ·1 000

√𝑛= 50 196

}

⇔

𝑋 −1 960

√𝑛= 49 804

𝑋 +1 960

√𝑛= 50 196

}

⇔

+

𝑋 −1 960

√𝑛= 49 804

𝑋 +1 960

√𝑛= 50 196

}

2 · 𝑋 = 100 000 ⇔ 𝑋 =100 000

2= 50 000

Por tanto, 𝑿 = 𝟓𝟎 𝟎𝟎𝟎 𝒉𝒐𝒓𝒂𝒔.

Para calcular el tamaño muestral, sustituimos la media muestral en la primera ecuación y despejamos,

𝑋 −1 960

√𝑛= 49 804 ⇒ 50 000 −

1 960

√𝑛= 49 804 ⇔ 50 000 − 49 804 =

1 960

√𝑛 ⇔

⇔ 196 = 1 960

√𝑛 ⇔ √𝑛 =

1 960

196 ⇔ √𝑛 = 10 ⇔ 𝑛 = 102 = 100

En conclusión, el tamaño muestral para las condiciones del problema descritas es n = 100 lámparas.



El error máximo admisible 𝐸𝛼 para un nivel de confianza 1 – α cumple,

𝑧𝛼 2⁄ ·𝜎

√𝑛≤ 𝐸𝛼

En nuestro caso, puesto que el nivel de confianza es 1 – α = 0´9298 entonces,

1 – 𝛼 = 0´9298 ⇔ 1 − 0´9298 = 𝛼 ⇔ 0´0702 = 𝛼 ⇔ 0´0702

2=𝛼

2 ⇔ 0´0351 =

𝛼

2

⇒ 𝑃(𝑋 ≤ 𝑧𝛼 2⁄ ) = 0´9298 + 0´0351 ⇔ 𝑃(𝑋 ≤ 𝑧𝛼 2⁄ ) = 0´9649 ⇒ 𝑧𝛼 2⁄ = 1´81

Por tanto, el tamaño muestral

𝑧𝛼 2⁄ ·𝜎

√𝑛≤ 𝐸𝛼 ⇔ 1´81 ·

1 000

√50≤ 𝐸𝛼 ⇔

1810

√50≤ 𝐸𝛼 ⇔ 255´9726548 ≤ 𝐸𝛼

En Conclusión, el error máximo admisible para las condiciones dadas en el enunciado es,

𝑬𝜶 ≈ 𝟐𝟓𝟔 𝒍𝒂𝒎𝒑𝒂𝒓𝒂𝒔

propuesta a -...

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