propuesta didáctica para la enseñanza de los conceptos de
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Propuesta didáctica para la enseñanza de los
conceptos de semejanza y congruencia,
dirigida a estudiantes de grado octavo.
Alirio Sanabria Mejia
Universidad Nacional de Colombia
Facultad de Ciencias
Bogotá, Colombia
2018
Propuesta didáctica para la enseñanza de los
conceptos de semejanza y congruencia,
dirigida a estudiantes de grado octavo.
Alirio Sanabria Mejia
Trabajo de grado presentado como requisito parcial para optar al título de:
Magister en Enseñanza de las Ciencias Exactas y Naturales
Directora:
Clara Helena Sánchez Botero Ph.D.
Universidad Nacional de Colombia
Facultad de Ciencias.
Bogotá, Colombia
2018
ii
A Dios por brindarme la fuerza para poder culminar con
este sueño, a mí madre por su infinita paciencia y
dedicación, a mí padre por su ejemplo y amor
incondicional, a mis hijos por ser mi motivación diaria y
finalmente a mis estudiantes que me inspiran cada día.
iii
Agradecimientos
Agradezco primero a Dios por darme la oportunidad de cumplir este sueño, a mí madre que
durante este proceso estuvo incondicionalmente, a la institución educativa donde laboro que me
brindo los espacios para la culminación de este sueño.
También quiero agradecer a aquella persona que me brindó sus conocimientos como lo fué la
profesora Clara Helena Sánchez Botero, directora de este trabajo de quien aprendí mucho en la
realización del mismo.
Gracias a mis estudiantes de grado octavo que siempre estuvieron dispuestos a colaborar y
aprender durante el desarrollo de este trabajo.
iv
Resumen
El presente documento constituye el trabajo final de Maestría en Enseñanza de las ciencias
exactas y Naturales donde sé presenta una propuesta didáctica para la enseñanza de los conceptos
de semejanza y congruencia, dirigida a estudiantes de grado octavo. En primer lugar se realiza un
recorrido histórico que han dado lugar a la noción de semejanza y congruencia, en segundo lugar
se hace una revisión de los elementos básicos de la geometría euclidiana relativos a la relación de
semejanza y congruencia de figuras planas, posteriormente se tiene en cuenta el modelo de Van
Hiele para finalizar con el diseño y análisis de la propuesta didáctica.
Palabras clave: Semejanza, congruencia y geometría.
v
Abstract
The current paper corresponds to the final work of the Masters in Natural and Exact Sciences
Teaching. This document shows a didactic framework for teaching the concepts of similarity and
congruence and it is aimed to eighth graders. First it presents a historical background that has
ended in the notion of similarity and congruence, second there is a revision of the basic elements
of the Euclidian geometry relative to the relation between similarity and congruence of plane
shapes, moreover it is considered the model of Van Hiele to end up with the design and analysis
of the didactic framework.
Keywords: Similarity, congruence and geometry.
vi
Tabla de Contenidos
Introducción ..................................................................................................................................... 1 2. Marco Histórico ........................................................................................................................ 5
2.1 El Papiro de Rhind ........................................................................................................... 5
2.2 Tales de Mileto (585 a.C.-507 a.C.) ................................................................................. 6 2.3 La escuela Pitagórica ........................................................................................................ 8
2.4 La Teoría de las Proporciones en los Elementos .............................................................. 9 3. Marco Disciplinar ................................................................................................................... 11
3.1 Congruencia ................................................................................................................... 11 3.2 Congruencia entre Segmentos ........................................................................................ 11
3.3 Congruencia entre ángulos ............................................................................................. 12 3.4 Congruencia de figuras geométricas .............................................................................. 13 3.5 Congruencia de Triángulos ............................................................................................ 16
3.6 Criterios de congruencia de triángulos ........................................................................... 18 3.7 Semejanza de Figuras Geométricas ................................................................................ 20
3.8 Propiedades de las proporciones. ................................................................................... 22 3.9 Semejanza de triángulos ................................................................................................. 25 3.10 Polígonos Semejantes. .................................................................................................... 26
4. Aspectos Didácticos ............................................................................................................... 29
4.1 El Modelo Van Hiele ...................................................................................................... 29 4.2 Niveles de Van Hiele ...................................................................................................... 31 4.3 Fases de Aprendizaje ...................................................................................................... 33
4.4 Análisis de las actividades de la Propuesta Didáctica .................................................... 35 4.5 Prueba Diagnóstica ......................................................................................................... 36
5. Actividades de la Propuesta Didáctica ................................................................................... 37 5.1 Descripción de las actividades de la Unidad Didáctica .................................................. 37 5.2 Análisis general de la aplicación de la Propuesta Didáctica .......................................... 59
6. Conclusiones .......................................................................................................................... 61
7. Anexo: Actividades fase diagnóstica fase .............................................................................. 62 8. Bibliografía ............................................................................................................................. 89
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Lista de tablas Tabla 1. Respuestas fase diagnóstica 1........................................................................................................ 38 Tabla 2. Respuestas fase diagnóstica 2........................................................................................................ 41 Tabla 3. Respuestas fase diagnóstica 3........................................................................................................ 43 Tabla 4. Respuestas fase diagnóstica 4........................................................................................................ 44 Tabla 5. Respuestas fase diagnóstica 5........................................................................................................ 45 Tabla 6. Respuestas fase diagnóstica 6........................................................................................................ 46 Tabla 7. Respuestas fase diagnóstica 7........................................................................................................ 47 Tabla 8. Respuestas actividad 1 .................................................................................................................. 48 Tabla 9. Respuestas actividad 2 .................................................................................................................. 50 Tabla 10. Respuestas actividad 3 ................................................................................................................ 51 Tabla 11. Resultados actividad 4 ................................................................................................................. 54 Tabla 12. Resultados actividad 5. ................................................................................................................ 56 Tabla 13. Resultados actividad 6. ................................................................................................................ 57 Tabla 14. Resultados actividad 7 ................................................................................................................. 58
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Lista de Imágenes Imagen 1. Problema 56 Papiro de Rhind. ..................................................................................................... 5 Imagen 2. Seqt. Fuente (Boyer, 1986) .......................................................................................................... 6 Imagen 3. Teorema de Tales. ....................................................................................................................... 7 Imagen 4. Aplicación del teorema de Tales ................................................................................................. 8 Imagen 5. Segmentos congruentes. ............................................................................................................ 11 Imagen 6. Ángulos congruentes. ................................................................................................................ 13 Imagen 7. Congruencia de triángulos. ........................................................................................................ 13 Imagen 8. Congruencia entre figuras geométricas. .................................................................................... 15 Imagen 9. Correspondencia de triángulos. ................................................................................................. 16 Imagen 10. Congruencia LAL. ................................................................................................................... 18 Imagen 11. Congruencia ALA. .................................................................................................................. 18 Imagen 12. Congruencia LLL. ................................................................................................................... 19 Imagen 13. Figuras congruentes. ................................................................................................................ 19 Imagen 14. Triángulos semejantes. ............................................................................................................ 21 Imagen 15. Segmentos proporcionales. ...................................................................................................... 25 Imagen 16. Triángulos semejantes. ............................................................................................................ 26 Imagen 17. Figuras geometricas no semejantes. ........................................................................................ 27 Imagen 18. Figuras geométricas no semejantes con ángulos correspondientes congruentes. .................... 27 Imagen 19. Cuadrados semejantes. ............................................................................................................ 28 Imagen 20. Punto 3 de la fase diagnóstica. ................................................................................................ 39 Imagen 21. Punto 3 guía 3 .......................................................................................................................... 49 Imagen 22. Mural resultado final de la unidad didáctica. .......................................................................... 60
1
1
Introducción
El Trabajo Final que voy a presentar tuvo como interés fundamental enriquecer la geometría en la
Institución Educativa Santa Inés, en Villavicencio, a partir de actividades para mejorar los valores
académicos y personales de los estudiantes. Tuvo como fin específico colaborar con el desarrollo
del proyecto Educativo Institucional (PEI) y por supuesto está relacionado con el fortalecimiento
del área de matemáticas en el grado octavo.
Los diferentes pensamientos establecidos en los estándares básicos de competencias en
matemáticas del Ministerio de Educación Nacional (Ministerio de Educación Nacional, 2006),
que son de obligatorio cumplimiento para las diferentes instituciones educativas oficiales hizo
que en la institución surgiera la necesidad de reformar el plan de estudios y allí nos dimos cuenta
que hace falta implementar los estándares que hacen referencia a la geometría en los diferentes
niveles, dadas las falencias que presentan los estudiantes en el desarrollo de sus competencias.
En la Institución se ha venido trabajando en una reestructuración académica que le ha permitido
al área tomar en cuenta los derechos básicos de aprendizaje (Ministerio de Educación Nacional ,
2017), los cuales han sido vinculados al plan de estudios de la institución recobrando la
importancia que tiene la geometría en la formación de los estudiantes. Así, por ejemplo,
“Identifica relaciones de congruencia y semejanza entre las formas geométricas que configuran el
diseño de un objeto” (Ministerio de Educación Nacional , 2017), el derecho básico número seis
para grado octavo, contiene los conceptos de semejanza y congruencia en figuras geométricas.
El interés de los estudiantes se centra en el uso de elementos tecnológicos, el uso de las redes
sociales, con frecuencia de manera inapropiada, y de obtener dinero de forma fácil y rápida. En
medio de este panorama social se ha decidido realizar actividades lúdicas para el mejoramiento
del área y evaluar el mayor porcentaje posible durante el desarrollo de las diferentes clases.
Las características de los estudiantes de esta institución en el área de matemática son de diversas
clases, ya que es una población muy flotante que pertenece a estratos cero y uno que no se
preocupan por el cumplimiento de los horarios ni sus compromisos académicos tanto en
2
matemáticas como en otras áreas; por eso en este trabajo me preocupé por motivarlos para
acercarse al conocimiento y a una de las áreas que considero muy importante como lo es la
matemática. Los conceptos de semejanza y congruencia de figuras geométricas son un tema
muy interesante para vincularlos al desarrollo de sus habilidades y generar en ellos disciplina
académica.
Una de las principales dificultades que presentan los estudiantes, de acuerdo con las
observaciones que he realizado en el desarrollo de las clases durante los dos últimos años como
docente de esta área en grado octavo, es que carecen de herramientas para resolver problemas en
diferentes contextos ya que no conocen los conceptos que los fundamentan. Por todo lo anterior
se ha venido transformando el plan de estudios para que los estudiantes empiecen a mejorar sus
niveles de desempeño.
Desde mí rol como docente de esta área en la institución, he observado que en nuestra labor como
docentes nos dedicamos a plantear de forma tradicional ejercicios, que buscan en un principio el
desarrollo algorítmico de los problemas, aun sabiendo el grado de dificultad que presentan los
estudiantes en un tema sin tener los fundamentos teóricos claros. El estudio de la geometría en la
Institución se ha dejado rezagado al último período dentro del plan de estudios para cada año, sin
tener en cuenta que este por cuestiones de tiempo siempre es el más corto y el que generalmente
presenta mayores interrupciones por actividades extra curriculares.
Es importante resaltar que el razonamiento geométrico es una herramienta que se puede usar para
fortalecer el análisis y la argumentación no solo en matemática sino en otras ciencias, ya que
potencia las habilidades de los estudiantes para resolver problemas dentro de su contexto y fuera
de él; pero para ello debemos primero mejorar la percepción y reconocimiento de figuras
geométricas para luego aplicar los conceptos de semejanza y congruencia.
Se evidenció que los estudiantes tienen diversas dificultades en la formulación y resolución de
problemas que involucran relaciones y propiedades de semejanza y congruencia, las cuales
fueron estudiadas y mejoradas durante el desarrollo de este trabajo. Van Hiele (1957), en su
tesis doctoral, muestra como un estudiante comprende un concepto cuando es capaz de actuar
3
adecuadamente en una situación diferente de la cual adquirió los conocimientos relacionados y
utiliza los medios empleados de forma consciente. En sus palabras “Podemos partir del
convencimiento de que la semejanza es un concepto que les es familiar, aunque el nombre quizá
les suene a nuevo y congruencia usando representaciones visuales, además se le dificulta resolver
problemas usando modelos geométricos”. (Van Hiele P. M., 1957).
El razonamiento es una actividad que adopta multitud de formas, ya que abarca enfoques muy
alejados unos de otros. (Codina, 1999). Algunas estrategias didácticas que se han implementado
respecto a la fundamentación en el área de geometría se han reflejado en los niveles de
desempeño de los estudiantes de la institución educativa Santa Inés, pero aún es necesario
desarrollar una estrategia para que los niveles de razonamiento geométrico de los estudiantes
mejoren y logren plantear y resolver problemas en diferentes campos con estas herramientas.
Del análisis del problema antes descrito surgió la siguiente pregunta:
¿Qué estrategia didáctica se puede utilizar para que los estudiantes de grado octavo
mejoren los niveles de pensamiento geométrico y comprendan los conceptos de semejanza y
congruencia?
Para dar solución a esta pregunta desarrollé una secuencia didáctica que buscó mejorar los
niveles de desempeño en pensamiento geométrico, específicamente desarrollando los conceptos
de semejanza y congruencia aplicados a figuras geométricas y muy especialmente a los
triángulos. Al desarrollar el razonamiento geométrico en el estudiante se busca que participe de
una manera más puntual y precisa en la generación de su propio conocimiento. Es por eso muy
importante que los estudiantes diferencien los conceptos de semejanza y congruencia para que los
puedan utilizar en la solución de problemas en diferentes contextos del ámbito escolar y fuera de
él.
El aporte principal a la formación de estudiantes en el ciclo IV radica en alcanzar la capacidad de
razonamiento para deducir y solucionar diferentes situaciones en diversos contextos usando las
relaciones de semejanza y congruencia en figuras geométricas.
4
En los estándares básicos de competencias en matemáticas, dispuestos por el Ministerio de
Educación Nacional (MEN), se plantea que los estudiantes al finalizar el grado noveno hayan
desarrollado competencias relacionadas con congruencia y semejanza entre triángulos y otras
figuras al igual que reconozcan propiedades básicas dadas por teoremas como el de Pitágoras y el
de Tales.
Las causas de las debilidades de los estudiantes en geometría tienen una entrañable relación con
el surgimiento de la matemática moderna, donde se vislumbra una pérdida del sentido intuitivo
espacial que por muchos años la geometría euclidiana proporcionó y que facilita al estudiante la
comprensión del rigor en las demostraciones geométricas.
Por ello en los últimos años se han venido realizando propuestas con excelentes resultados en la
enseñanza de la geometría; así por ejemplo (Gualdrón & Gutiérrez, 2007) realizaron un trabajo
donde aportan elementos a los profesores de matemáticas que les permitan mejorar los procesos
de enseñanza aprendizaje de la semejanza.
Con base en las reflexiones anteriores este trabajo está constituido por cuatro capítulos. En el
primero se desarrollan los aspectos históricos del surgimiento de los conceptos de semejanza y
congruencia, teniendo en cuenta los principales momentos y los personajes que aportaron al
desarrollo de estos temas. En el segundo capítulo se estudian los aspectos disciplinares
relacionados con los conceptos de semejanza y congruencia de figuras geométricas. En el tercer
capítulo se analizan los aspectos didácticos, en particular los procesos de enseñanza aprendizaje
basados en los niveles de razonamiento de Van Hiele. El cuarto capítulo contiene las actividades
de la propuesta didáctica y se culmina con las conclusiones, sugerencias y la bibliografía
utilizada.
5
1. Marco Histórico
La siguiente reseña histórica toma como referencia principal el texto de Carl Boyer (1986).
La geometría es una rama de la matemática que se ocupa del estudio de las propiedades de las
figuras en el plano o el espacio. Unas de esas propiedades son la semejanza y la congruencia. El
concepto de semejanza se usó para resolver problemas de la vida cotidiana de manera intuitiva y
es por esto que se realizaron estudios donde se profundizó este tema. Pero no hay un documento
específico que nos oriente hacia el surgimiento de las ideas de semejanza y congruencia en la
antigüedad. A continuación un breve recuento de ese recorrido.
1.1 El Papiro de Rhind
El Papiro de Rhind1fué copiado por el escriba Ahmes en Egipto aproximadamente entre los años
2000 y 1800 a.C. Se debe su nombre a Henry Rhind, egiptólogo escocés que en 1858 adquirió
una colección de papiros entre los que se encontraba este, en el cual se destaca el problema 56
relacionado con la semejanza entre triángulos. (Zarco, 2017).
Imagen 1. Problema 56 Papiro de Rhind.
1 El papiro mide aproximadamente 6 metros de largo por 33 centímetros de ancho y contiene 87 problemas planteados y resueltos.
6
¿Cuál es el seqt2 de una pirámide de 250 cubits de altura y 360 cubits de lado en la base?
La resolución presentada por Ahmes es la siguiente: Calcula 1
2 de 360 que da 180. Multiplica
250 hasta obtener 180, que da 1
2+
1
5+
1
50 . Un cubit son 7 palmos. Multiplica ahora 7 por
1
2 +
1
5+
1
50 que da 5 +
1
25. Luego el seqt es 5 +
1
25 palmos por codo. En la figura 1 representamos los
datos del problema:
Consideramos los triángulos ABC y AB´C´ como aparecen en la figura 2, donde 𝛼 = ∡ 𝐶𝐴𝐵, y con las letras
minúsculas notamos las longitudes de los segmentos correspondientes, así 𝑏 = 𝐶´𝐵´̅̅ ̅̅ ̅̅ es el cateto opuesto al ángulo 𝛼
en el triángulo 𝐴𝐵´𝐶´, 𝑏´ = 𝐶𝐵̅̅ ̅̅ es el cateto opuesto al ángulo 𝛼 en el triángulo 𝐴𝐵𝐶, 𝑎 = 𝐴𝐵´̅̅ ̅̅ ̅ es un cateto
adyacente al ángulo 𝛼, en el triángulo 𝐴𝐵´𝐶´ 𝑦 𝑎´ = 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ es el otro cateto adyacente al ángulo 𝛼 en el triángulo
𝐴𝐵𝐶, luego tenemos que el 𝑠𝑒𝑞𝑡(𝑥) =𝑎
𝑏.
Y por semejanza de triángulos tendríamos que 𝑎
𝑏=
𝑎`
𝑏`= 𝑠𝑒𝑞𝑡
3
Imagen 2. Seqt. Fuente (Boyer, 1986)
1.2 Tales de Mileto (585 a.C.-507 a.C.)
De la vida de Tales de Mileto se sabe muy poco, de la fecha de nacimiento y muerte no se
conocen fechas con exactitud, se dice que falleció a los 78 años. La historia ha considerado a
Tales de Mileto un hombre muy inteligente, primer filósofo y uno de los siete sabios griegos. Se
le atribuyen varios teoremas, entre ellos el teorema que lleva su nombre:
2 El seqt es lo que hoy conocemos por pendiente de una superficie plana inclinada. En mediciones verticales se
utilizaba como unidad de medida el codo y en horizontales la mano o palmo, que equivalía a 1
7 del codo.
3 Actualmente el seqt corresponde a la cotangente del ángulo CAB formada por el cateto adyacente y el cateto
opuesto en cualquiera de los triángulos ABC y AB´C´ como se observa en la figura 2.
7
Teorema de Tales: Dadas dos rectas 𝑟 y 𝑠 en un plano y tres rectas 𝐴𝐴´, 𝐵𝐵´ y 𝐶𝐶´ paralelas
entre sí que corten a las anteriores determinan segmentos correspondientes proporcionales. Es
decir 𝐴𝐵
𝐵𝐶=
𝐴´𝐵´
𝐵´𝐶´ o bien
𝐴𝐵
𝐴´𝐵´=
𝐵𝐶
𝐵´𝐶´ como se muestra en la imagen 3.
Imagen 3. Teorema de Tales.
Igualmente se le reconocen los siguientes teoremas, aunque no se sabe como los demostró:
1. Todo círculo queda dividido en dos partes iguales por un diámetro.
2. Los ángulos de la base en un triángulo isósceles son iguales.
3. Los ángulos opuestos por el vértice que se forman al cortarse dos rectas son iguales.
4. Si dos triángulos son tales que dos ángulos y un lado de uno de ellos son
respectivamente iguales a dos ángulos y un lado del otro, entonces los dos triángulos
son congruentes.
Proclo, basándose en Eudemo, atribuye a Tales los cuatro teoremas que acabamos de mencionar.
Diógenes Laercio, seguido por Plinio y Plutarco, nos cuenta que Tales midió las alturas de las
pirámides de Egipto observando las longitudes de sus sombras en el momento en que la sombra
proyectada por un palo vertical era exactamente igual a su altura, igualmente se cuenta la historia
de un agrimensor romano que describe como Tales logró calcular la distancia de un barco a la
costa como describimos a continuación. (Boyer, 1986).
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Imagen 4. Aplicación del teorema de Tales
a) Supuso que el barco está ubicado en el mar lejos de la costa en el punto A y que la costa
del mar corre a lo largo del segmento BD, como muestra la figura 4.
b) Así el segmento AB es perpendicular a la línea de la costa
c) Puso un poste en el punto C sobre la costa, marcó la distancia CD igual a BC de tal forma
que el punto C es el punto medio del segmento BD.
d) A partir del punto D sobre la costa, caminó perpendicularmente a BD, alejándose de la
costa hasta que observó el poste en C alineado con el barco en A y marco el punto E.
e) Si esto sucede en el punto E, entonces, la distancia DE es igual a la distancia del barco a
la línea de costa.
Evidentemente en este caso se usa que los triángulos rectángulos ABC y EDC son semejantes.
1.3 La escuela Pitagórica
Pitágoras fue una especie de profeta y de místico nacido en Samos, una de las islas cercanas a
Mileto, donde también nació Tales. Pitágoras viajó a Egipto y a Babilonia, durante esos viajes
asimiló no sólo conocimientos matemáticos y astronómicos, sino cuestiones religiosas. Al
regreso se estableció en Crotona en la costa sudeste de lo que hoy es Italia, pero que en aquella
época era conocida como la Magna Grecia.
Pitágoras fundó una orden de tipo comunal y secreta, los temas abordados en sus estudios eran
mantenidos en régimen de comunidad, y por lo tanto no se podía atribuir un descubrimiento a
ningún miembro en concreto de la escuela, por ello se habla de los aportes de la escuela
pitagórica, aunque en la antigüedad se atribuían al maestro. Conocidos por el famoso teorema que
lleva el nombre del maestro “en un triángulo rectángulo el cuadrado sobre la hipotenusa es igual
a la suma de los cuadrados sobre los catetos” (Sanchez, 2012) y la demostración de la
9
inconmensurabilidad de la diagonal de un cuadrado respecto a su lado, lo que les genera graves
problemas con sus creencias de lo que es un número o relaciones en ellas.
Se supone que Eudoxio de Cnido el creador de la teoría de las proporciones fué miembro de la
escuela. Esta teoría constituye el libro V de la famosa obra de los Elementos de Euclides (330
a.C.-275 a.C.) a la cual dedicamos el siguiente apartado.
1.4 La Teoría de las Proporciones en los Elementos
Los Elementos de Euclides son un conjunto de 132 definiciones, 5 postulados, 5 nociones
comunes o axiomas y 465 proposiciones o teoremas distribuidos en 13 libros. En el libro V se
desarrolla la teoría de las proporciones aplicable a las magnitudes conmensurables e
inconmensurables, contiene 18 definiciones y 25 proposiciones, entre las cuales vamos a utilizar
para el desarrollo de este trabajo las siguientes tomadas de (Puertas C. M., 1994):
3. Razón es cualquier relación entre dos magnitudes del mismo género según su cantidad.
4. Dícese que dos magnitudes tienen razón entre sí, cuando cada una puede ser multiplicada
en modo de superar a la otra.
5. Dícese que la razón de una primera magnitud a una segunda es igual a la de una tercera a
una cuarta, cuando las primeras y las terceras igualmente multiplicadas o al mismo tiempo
superan, o al mismo tiempo son iguales o al mismo tiempo son inferiores que las
segundas y las cuartas igualmente multiplicadas.
6. Las magnitudes que tiene la misma razón se llaman proporcionales.
10. Si cuatro magnitudes son (continuamente) proporcionales, se dice que la primera tiene a
la cuarta una razón triplicada de la que tiene a la segunda, y siempre del mismo modo en
adelante, cualquiera que sea la proporción.
12. La razón se llama conmutada cuando se toma el antecedente con el antecedente y el
consecuente con el consecuente.
13. La razón se llama inversa cuando se toma el consecuente como antecedente y el
antecedente en lugar de su consecuente.
Algunos historiadores de los Elementos reconocen una independencia del libro V con respecto a
los que lo anteceden; también están de acuerdo en que el libro VI constituye una particularización
de la teoría de las proporciones generalizada y que en esencia aborda el estudio de la semejanza
10
entre figuras; establecen igualmente que la teoría expuesta en el libro V no condiciona el
tratamiento de la teoría de las proporciones en el ámbito aritmético, contenida en esencia en el
Libro VII.
En el libro VI se hace la aplicación de la teoría eudoxiana a las figuras planas, triángulos y
polígonos semejantes, llegando al concepto de área, y las construcciones de la tercera, la cuarta y
la media proporcional. Contiene 4 definiciones y 33 proposiciones. Las definiciones más
relevantes para el desarrollo de este trabajo son:
1. Figuras rectilíneas semejantes son las que tienen los ángulos iguales uno a uno y
proporcionales los lados que comprenden los ángulos iguales.
2. Dos figuras están inversamente relacionadas cuando en cada una de las figuras hay
razones antecedentes y consecuentes.
3. Se dice que una recta ha sido cortada en extrema y media razón cuando la recta entera es
al segmento mayor como el segmento mayor es al segmento menor.
11
11
2. Marco Disciplinar
En este capítulo se realizará un desarrollo formal sobre los conceptos de semejanza y
congruencia, estableciendo características de cada uno al igual que sus relaciones y sus
diferencias; para ello tendremos en cuenta el libro Geometría Moderna (Moise & Downs, 1986).
2.1 Congruencia
De manera intuitiva podemos decir que dos segmentos son congruentes si al mover uno de ellos y
superponerlo sobre el otro coinciden en todos sus puntos. Siguiendo con esas ideas intuitivas
diremos que dos figuras geométricas planas son congruentes, si una de ellas se puede superponer
sobre la otra, de tal manera que coincidan. Por ejemplo, dos triángulos equiláteros cuyos lados
tengan la misma longitud son congruentes, dos círculos del mismo radio son congruentes.
2.2 Congruencia entre Segmentos
Para el desarrollo del trabajo tomaremos como referencia dos definiciones una desde el punto de
vista geométrico y otra a nivel métrico.
Definición 1 (Métrico): Diremos que dos segmentos 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ y 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ son congruentes con 𝐴𝐵 y 𝐶𝐷
sus respectivas longitudes tales que 𝐴𝐵 = 𝐶𝐷 en tal caso se escribe 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ ≅ 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ . Así 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ ≅ 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ sí
𝐴𝐵 = 𝐶𝐷 (1)
Imagen 5. Segmentos congruentes.
12
Definición 1(Geométrico): Diremos que dos segmentos 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ y 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ son congruentes si 𝐴𝐵̅̅ ̅̅
coincide con 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ en todos sus puntos. Esto es si al trasladar el segmento 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ sobre 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ de tal
forma que coincidan en todos sus puntos. Así 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ ≅ 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ sí 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ coincide con 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ en todos sus
puntos. (1)
𝑻𝒆𝒐𝒓𝒆𝒎𝒂 𝟏: 𝐿𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑔𝑟𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑠𝑒𝑔𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎
𝑫𝒆𝒎𝒐𝒔𝒕𝒓𝒂𝒄𝒊ó𝒏:
a) 𝐿𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑔𝑟𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑠𝑒𝑔𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑒𝑠 𝑟𝑒𝑓𝑙𝑒𝑥𝑖𝑣𝑎, 𝑝𝑢𝑒𝑠 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑠𝑒𝑔𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑔𝑟𝑢𝑒𝑛𝑡𝑒
𝑐𝑜𝑛𝑠𝑖𝑔𝑜 𝑚𝑖𝑠𝑚𝑜, 𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑟 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ ≅ 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ .
b) 𝐿𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑔𝑟𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑠𝑒𝑔𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑒𝑠 𝑠𝑖𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎, 𝑝𝑢𝑒𝑠 𝑠𝑖 𝐴𝐵 ̅̅ ̅̅ ̅ ≅ 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑡𝑜𝑑𝑜𝑠 𝑙𝑜𝑠
𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝐴𝐵 ̅̅ ̅̅ ̅𝑐𝑜𝑖𝑛𝑐𝑖𝑑𝑒𝑛 𝑐𝑜𝑛 𝑡𝑜𝑑𝑜𝑠 𝑙𝑜𝑠 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ . 𝐿𝑢𝑒𝑔𝑜 𝑒𝑣𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒
𝐶𝐷̅̅ ̅̅ ≅ 𝐴𝐵 ̅̅ ̅̅ ̅.
c) 𝐿𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑔𝑟𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑠𝑒𝑔𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑒𝑠 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑎. 𝐸𝑠 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑟, 𝑠𝑖 𝐴𝐵 ̅̅ ̅̅ ̅ ≅ 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ 𝑦 𝐶𝐷 ̅̅ ̅̅ ̅ ≅ 𝐸𝐹̅̅ ̅̅
𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑡𝑜𝑑𝑜𝑠 𝑙𝑜𝑠 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝐴𝐵 ̅̅ ̅̅ 𝑐𝑜𝑖𝑛𝑐𝑖𝑑𝑒𝑛 𝑐𝑜𝑛 𝑙𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ 𝑦 𝑙𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ 𝑐𝑜𝑖𝑛𝑐𝑖𝑑𝑒𝑛 𝑐𝑜𝑛 𝑙𝑜𝑠
𝑑𝑒 𝐸𝐹̅̅ ̅̅ 𝑙𝑢𝑒𝑔𝑜 𝑙𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝐴𝐵 ̅̅ ̅̅ ̅ 𝑐𝑜𝑖𝑛𝑐𝑖𝑑𝑒𝑛 𝑐𝑜𝑛 𝑙𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝐸𝐹̅̅ ̅̅ . 𝑃𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝐴𝐵 ̅̅ ̅̅ ̅ ≅ 𝐸𝐹̅̅ ̅̅ .
𝐷𝑒 𝑎), 𝑏) 𝑦 𝑐) 𝑠𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑔𝑟𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑠𝑒𝑔𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛
𝑑𝑒 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎.
2.3 Congruencia entre ángulos
Definición 2: Dos ángulos ∡ 𝐴 𝑦 ∡ 𝐵 son congruentes y se nota ∡ 𝐴 ≅ ∡ 𝐵 si tienen la misma
amplitud. Así: ∡ 𝐴 ≅ ∡ 𝐵 significa que 𝑚 ∡ 𝐴 = 𝑚 ∡𝐵 (2)
Cada una de las igualdades de la derecha de (𝟏) y (𝟐) es una igualdad entre números. Cada una
de las congruencias de la izquierda es una congruencia entre figuras geométricas. No
escribiremos el símbolo de igualdad (=) entre dos nombres de figuras geométricas, a menos que
queramos decir que las figuras son exactamente una misma. Por ejemplo, en la figura 6 se
observa que ∡ 𝐵𝐴𝐶 = ∡ 𝐷𝐴𝐸.
13
Imagen 6. Ángulos congruentes.
La anterior afirmación es correcta porque ∡ 𝐵𝐴𝐶 = ∡ 𝐷𝐴𝐸 no solo son congruentes sino que son
exactamente el mismo ángulo. De manera análoga, 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ 𝑦 𝐵𝐴̅̅ ̅̅ son siempre el mismo segmento y,
por eso, se puede escribir tanto que 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ ≅ 𝐵𝐴̅̅ ̅̅ como 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ = 𝐵𝐴̅̅ ̅̅ .
2.4 Congruencia de figuras geométricas
Diremos intuitivamente que dos figuras geométricas son congruentes si tienen exactamente la
misma forma y el mismo tamaño. Una manera de mostrar que dos figuras son congruentes es
superponer una sobre la otra y que coincidan exactamente en todos sus puntos. Así, por ejemplo,
en la figura 7 podríamos comprobar que el Δ𝐴𝐵𝐶 y el Δ DEF son congruentes, pues si
recortáramos una de ellas y la pudiéramos superponer sobre la otra veríamos que coinciden en
todos sus puntos.
Imagen 7. Congruencia de triángulos.
14
Para superponer el Δ𝐴𝐵𝐶 sobre el Δ DEF debemos colocar 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ sobre 𝐸𝐹̅̅ ̅̅ , 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ sobre 𝐸𝐷̅̅ ̅̅ y 𝐶𝐸̅̅ ̅̅
sobre 𝐷𝐹̅̅ ̅̅ y podemos escribir así los pares de lados correspondientes.
𝐴𝐵̅̅ ̅̅ ↔ 𝐸𝐷̅̅ ̅̅
𝐴𝐶̅̅ ̅̅ ↔ 𝐸𝐹̅̅ ̅̅
𝐶𝐸̅̅ ̅̅ ↔ 𝐹𝐷̅̅ ̅̅
En este caso también se establece una correspondencia entre los vértices y los ángulos de los
triángulos que se escribe así:
𝐴 ↔ 𝐸
𝐵 ↔ 𝐷
𝐶 ↔ 𝐹
∡𝐴 ↔ ∡𝐸
∡𝐵 ↔ ∡𝐷
∡𝐶 ↔ ∡𝐹
Un apareamiento como el descrito se llama una correspondencia biunívoca, y se nota de esta
manera 𝐴𝐵𝐶 ↔ 𝐸𝐷𝐹. Claramente se tiene que 𝐴𝐵𝐶 ↔ 𝐴𝐵𝐶 y si 𝐴𝐵𝐶 ↔ 𝐸𝐷𝐹 también se tiene
que 𝐸𝐷𝐹 ↔ 𝐴𝐵𝐶. El lector puede comprobar que también es transitiva luego la correspondencia
biunívoca entre dos figuras con el mismo número de lados es una relación de equivalencia.
Entre las correspondencias biunívocas de figuras del mismo número de lados nos interesan dos de
manera especial: las congruencias y las semejanzas.
En el ejemplo dado se trata de una congruencia entre dos triángulos.
Ahora consideremos en la figura 8 la correspondencia biunívoca 𝐴𝐵𝐶𝐷 ↔ 𝐹𝐸𝐻𝐺, en la que los
siguientes pares de segmentos se van a superponer:
𝐴𝐵̅̅ ̅̅ ↔ 𝐹𝐸̅̅ ̅̅ , 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ ↔ 𝐸𝐻̅̅ ̅̅ , 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ ↔ 𝐻𝐺̅̅ ̅̅ y 𝐷𝐴̅̅ ̅̅ ↔ 𝐺𝐹̅̅ ̅̅ .
15
Imagen 8. Congruencia entre figuras geométricas.
Así los vértices y los ángulos que resultan correspondientes son:
𝐴 ↔ 𝐹
∡𝐴 ↔ ∡𝐹
𝐵 ↔ 𝐸
∡𝐵 ↔ ∡𝐸
𝐶 ↔ 𝐻
∡𝐶 ↔ ∡𝐻
𝐷 ↔ 𝐺
∡𝐷 ↔ ∡𝐺
Por lo anterior como los lados correspondientes coinciden en todos sus puntos, en este caso
también se tiene una congruencia de figuras planas que se va a notar 𝐴𝐵𝐶𝐷 ≅ 𝐴𝐵𝐶𝐷.
No siempre las correspondencias biunívocas son congruencias, veamos un ejemplo.
16
Imagen 9. Correspondencia de triángulos.
Aunque podemos establecer la correspondencia 𝐴𝐵𝐶 ↔ 𝐷𝐸𝐹, no hay lados correspondientes
congruentes ni ángulos respectivos congruentes.
La próxima sección se la dedicaremos a la congruencia de triángulos.
2.5 Congruencia de Triángulos
Definición 2: Dos triángulos son congruentes si tienen congruentes sus tres lados homólogos y
sus tres ángulos correspondientes. Esto es si Δ𝐴𝐵𝐶 y Δ𝐷𝐸𝐹 son dos triángulos y se tiene la
correspondencia biunívoca 𝐴𝐵𝐶 ↔ 𝐷𝐸𝐹 tal que 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ ≅ 𝐷𝐸̅̅ ̅̅ , 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ ≅ 𝐷𝐹̅̅ ̅̅ , 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ ≅ 𝐸𝐹̅̅ ̅̅ , ∡𝐴 ≅
∡𝐷, ∡𝐵 ≅ ∡𝐸 y ∡𝐶 ≅ ∡𝐹 entonces Δ𝐴𝐵𝐶 ≅ Δ𝐷𝐸𝐹.
Teorema 4: La relación de congruencia entre triángulos es una relación de equivalencia.
Demostración:
a) Δ𝐴𝐵𝐶 ≅ Δ𝐴𝐵𝐶, es decir la relación es reflexiva porque claramente porque todos sus
lados y ángulos respectivos coinciden.
b) Sí Δ𝐴𝐵𝐶 ≅ Δ𝐷𝐸𝐹 entonces Δ𝐷𝐸𝐹 ≅ Δ𝐴𝐵𝐶.
Sí Δ𝐴𝐵𝐶 ≅ Δ𝐷𝐸𝐹 por definición sus lados homólogos y sus ángulos correspondientes
son congruentes y como la congruencia de lados y de ángulos es simétrica entonces
claramente Δ𝐷𝐸𝐹 ≅ Δ𝐴𝐵𝐶 luego es simétrica.
c) Sí Δ𝐴𝐵𝐶 ≅ Δ𝐷𝐸𝐹 𝑦 Δ𝐷𝐸𝐹 ≅ Δ𝐺𝐻𝐼 entonces Δ𝐴𝐵𝐶 ≅ Δ𝐺𝐻𝐼
Sí Δ𝐴𝐵𝐶 ≅ Δ𝐷𝐸𝐹 y Δ𝐷𝐸𝐹 ≅ Δ𝐺𝐻𝐼 y por definición sus lados homólogos y sus ángulos
correspondientes son congruentes tendremos que Δ𝐴𝐵𝐶 ≅ Δ𝐺𝐻𝐼
17
Por lo tanto, la relación de congruencia entre triángulos es una relación de equivalencia.
Consideremos ahora una correspondencia entre los vértices de los triángulos Δ𝐴𝐵𝐶 𝑦 Δ𝐷𝐸𝐹.
𝐴𝐵𝐶 ↔ 𝐷𝐸𝐹
Esto nos da una correspondencia entre los lados de los triángulos:
𝐴𝐵̅̅ ̅̅ ↔ 𝐷𝐸̅̅ ̅̅
𝐴𝐶̅̅ ̅̅ ↔ 𝐷𝐹̅̅ ̅̅
𝐵𝐶̅̅ ̅̅ ↔ 𝐸𝐹̅̅ ̅̅
Y nos da una correspondencia entre los ángulos de los dos triángulos:
∡ 𝐴 ↔ ∡ 𝐷
∡ 𝐵 ↔ ∡ 𝐸
∡ 𝐶 ↔ ∡ 𝐹
Cuando escribimos Δ𝐴𝐵𝐶 ≅ Δ𝐷𝐸𝐹, queremos decir que la correspondencia de 𝐴𝐵𝐶 ↔ 𝐷𝐸𝐹 es
una congruencia.
Si Δ𝐴𝐵𝐶 ≅ Δ𝐷𝐸𝐹 la congruencia de triángulos definida desde el punto de vista geométrico se
puede traducir desde el punto de vista métrico usando el (1) y (2) en las siguientes condiciones:
𝐴𝐵 = 𝐷𝐸 𝑚∡ 𝐴 = 𝑚∡ B
𝐴𝐶 = 𝐷𝐹 𝑚∡ B = 𝑚∡ E
𝐵𝐶 = 𝐸𝐹 𝑚∡ C = 𝑚∡ F
En cada una de las seis líneas anteriores, la congruencia de la izquierda significa lo mismo que la
igualdad de la derecha. Nos podemos referir a las seis partes de la definición anterior mediante el
siguiente enunciado: “Partes correspondientes de triángulos congruentes son congruentes”.
18
2.6 Criterios de congruencia de triángulos
Imagen 10. Congruencia LAL.
Teorema 5 LAL(Lado-Ángulo-Lado): Si dos triángulos Δ𝐴𝐵𝐶 𝑦 Δ𝐷𝐸𝐹 tienen dos lados
congruentes, y el ángulo que se forma entre ellos también es congruente, entonces los dos
triángulos son congruentes.
Este teorema se puede escribir simbólicamente así: Si los triángulos Δ𝐴𝐵𝐶 𝑦 Δ𝐷𝐸𝐹 satisfacen
𝐴𝐵̅̅ ̅̅ ≅ 𝐷𝐸̅̅ ̅̅ , 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ ≅ 𝐷𝐹̅̅ ̅̅ 𝑦 𝑒𝑙 ∡𝐵𝐴𝐶 ≅ ∡𝐸𝐷𝐹 entonces Δ𝐴𝐵𝐶 ≅ Δ𝐷𝐸𝐹.
Imagen 11. Congruencia ALA.
Teorema 6 ALA (Ángulo- Lado- Ángulo): Si dos triángulos Δ𝐴𝐵𝐶 𝑦 Δ𝐷𝐸𝐹 tienen dos ángulos
congruentes, y el lado común entre ellos tambiés es congruente, entonces los dos triángulos son
congruentes.
Este teorema se puede escribir simbólicamente así: Si los triángulos Δ𝐴𝐵𝐶 𝑦 Δ𝐷𝐸𝐹 satisfacen
𝐴𝐶̅̅ ̅̅ ≅ 𝐷𝐹̅̅ ̅̅ , ∡𝐵𝐴𝐶 ≅ ∡𝐸𝐷𝐹 𝑦 𝑒𝑙 ∡𝐵𝐶𝐴 ≅ ∡𝐸𝐹𝐷 entonces Δ𝐴𝐵𝐶 ≅ Δ𝐷𝐸𝐹.
19
Imagen 12. Congruencia LLL.
Teorema 7 LLL (Lado-Lado-Lado): Dados dos triángulos Δ𝐴𝐵𝐶 𝑦 Δ𝐷𝐸𝐹 que tienen tres lados
iguales son congruentes.
Este teorema se puede escribir simbólicamente así: Si Δ𝐴𝐵𝐶 𝑦 Δ𝐷𝐸𝐹 tales que 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ ≅
𝐷𝐸̅̅ ̅̅ , 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ ≅ 𝐸𝐹̅̅ ̅̅ y 𝐴𝐶̅̅̅̅̅ ≅ 𝐷𝐹̅̅ ̅̅ , entonces los triángulos son congruentes.
Imagen 13. Figuras congruentes.
Los polígonos A y B que aparecen en la imagen 13 son congruentes ya que tiene la misma forma
y tamaño y en este caso se podría comprobar empíricamente cortando una y superponiéndola
sobre la otra.
Esta definición de carácter métrico se escribe de la siguiente manera.
Definición 5: Dos polígonos con el mismo número de lados son congruentes si sus ángulos
correspondientes y sus lados correspondientes son congruentes.
20
En el caso de los polígonos de la figura 16 se tendría que 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸 ≅ 𝐹𝐺𝐻𝐼𝐽 si cumple las
siguientes 10 congruencias como en el caso de los triángulos podemos trabajar la congruencia de
los triángulos a través de la medida de sus lados y sus ángulos en cuyo caso la definición de
congruencia de polígono de igual número de lados quedará así:
𝐴𝐵̅̅ ̅̅ ≅ 𝐹𝐺̅̅ ̅̅
𝐵𝐶̅̅ ̅̅ ≅ 𝐺𝐻̅̅ ̅̅
𝐶𝐷̅̅ ̅̅ ≅ 𝐻𝐼̅̅̅̅
𝐷𝐸̅̅ ̅̅ ≅ 𝐼�̅�
𝐸𝐴̅̅ ̅̅ ≅ 𝐽𝐹̅̅ ̅
∡ 𝐴 ≅ ∠ 𝐹
∡ 𝐵 ≅ ∠𝐺
∡ 𝐶 ≅ ∠ 𝐻
∡ 𝐷 ≅ ∠𝐼
∡ 𝐸 ≅ ∠ 𝐽
Es importante señalar que para trabajar con medida se requiere una “regla” y un “transportador”.
2.7 Semejanza de Figuras Geométricas
Definición: Dos polígonos del mismo número de lados que tengan sus respectivos ángulos
congruentes y no necesariamente sus lados, se dice que son semejantes.
Para estudiar el concepto de semejanza de figuras planas la geometría nos proporciona elementos
suficientes para comparar magnitudes del mismo tipo sin necesidad de asignar valores numéricos
a las magnitudes consideradas. Precisamente en el libro V de los Elementos encontramos
herramientas de razonamiento geométrico que fortalecen el análisis de situaciones para aplicar
este concepto.
Una manera de expresar que dos figuras son semejantes es considerar que una de ellas es un
modelo a escala de la otra.
21
Imagen 14. Triángulos semejantes.
En el ejemplo de la imagen 14 es posible “estirar” el primer triángulo, sin alterar su forma, para
que coincida con el segundo triángulo. El “estiramiento” puede representarse mediante la
correspondencia 𝐴𝐵𝐶 ↔ 𝐷𝐸𝐹 en la cual los lados del segundo triángulo son el doble de los
correspondientes del primero, esto es: 𝐷𝐸 = 2𝐴𝐵, 𝐷𝐹 = 2𝐴𝐶 𝑦 𝐵𝐶 = 2𝐸𝐹 o dicho de otra
manera 𝑑 = 2𝑎, 𝑒 = 2𝑏 𝑦 𝑓 = 2𝑐 o si se quiere 1
2𝑑 = 𝑎,
1
2𝑒 = 𝑏 𝑦
1
2𝑓 = 𝑐. Esto es, las
razones entre los respectivos lados están en razón numérica de1 a 2 ó 2 a 1. Así también se tiene
𝑑
𝑎=
𝑒
𝑏=
𝑓
𝑐= 2 y
𝑎
𝑑=
𝑏
𝑒=
𝑐
𝑓=
1
2.
Las ternas así relacionadas de esta manera se dice que son proporcionales.
De acuerdo con el Grupo Beta. “El estudio de las magnitudes proporcionales ha estado
tradicionalmente en dos campos separados: el campo aritmético y el campo geométrico. El
tratamiento unificado de la teoría de conjuntos ha permitido constatar que «funcionan» igual las
proporcionalidades «geométricas» y las «aritméticas»”. (Beta, 1990).
Definición 6: Una proporción es la igualdad de dos razones, esto es sí 𝑎
𝑏 y
𝑐
𝑑 son dos razones se
dice que forman una proporción cuando 𝑎
𝑏=
𝑐
𝑑 y esto se cumple cuando 𝑎𝑑 = 𝑏𝑐. En otras
palabras 𝑎
𝑏=
𝑐
𝑑 sí y solo sí 𝑎𝑑 = 𝑏𝑐.
Nota: En una razón 𝑎
𝑏, a se llama el antecedente y b se le llama el consecuente.
22
Definición 7: Dadas dos sucesiones de números positivos 𝑎, 𝑏, 𝑐, … y 𝑝, 𝑞, 𝑟, … tales que si 𝑎
𝑝=
𝑏
𝑞=
𝑐
𝑟= ⋯ , se dice que las sucesiones 𝑎, 𝑏, 𝑐, … y 𝑝, 𝑞, 𝑟, … son proporcionales.
Trataremos en nuestro trabajo la proporcionalidad con los métodos corrientes del álgebra. La
proporcionalidad más fácil de manejar es la que comprende solamente cuatro números. A este
tipo de proporcionalidad la llamaremos simplemente proporción.
A continuación, encontraremos algunas propiedades de las proporciones que van a ser usadas en
el desarrollo de este trabajo.
2.8 Propiedades de las proporciones.
Definición 8: Dada una proporción 𝑎
𝑏=
𝑐
𝑑 los términos 𝑎 y 𝑑 se llaman extremos de la
proporción; 𝑏 y 𝑐 se llaman medios.
De la definición anterior se deduce que en toda proporción se verifica que el producto de los
medios es igual al producto de los extremos; esto es: 𝑎𝑑 = 𝑏𝑐 de acuerdo con la definición 6.
Esto permite encontrar el valor desconocido de uno cualquiera de los cuatro términos de la
proporción, conocidos los otros tres.
Propiedad 1: En toda proporción pueden intercambiarse los medios o los extremos sin que
cambie la proporción; es decir:
i. Si 𝑎
𝑏=
𝑐
𝑑 entonces
𝑎
𝑐=
𝑏
𝑑
ii. Sí 𝑎
𝑏=
𝑐
𝑑 entonces
𝑑
𝑏=
𝑐
𝑎
Demostración:
Se sabe que si 𝑎
𝑏=
𝑐
𝑑 por la definición 8 tenemos que 𝑎𝑑 = 𝑏𝑐 y al dividir por 𝑐𝑑, tendremos
𝑎𝑑
𝑐𝑑=
𝑏𝑐
𝑐𝑑 Ahora simplificando obtenemos
𝑎
𝑐=
𝑏
𝑑, por lo tanto
Sí 𝑎
𝑏=
𝑐
𝑑 entonces
𝑎
𝑐=
𝑏
𝑑.
La segunda parte se demuestra de forma análoga.
23
Propiedad 2: Si en una proporción se invierten ambas razones, entonces se obtiene otra
proporción; es decir:
Si 𝑎
𝑏=
𝑐
𝑑 entonces
𝑏
𝑎=
𝑑
𝑐.
Demostración:
Se sabe que si 𝑎
𝑏=
𝑐
𝑑 por la propiedad 1 tenemos que 𝑎𝑑 = 𝑏𝑐, luego 𝑏𝑐 = 𝑎𝑑 y al dividir por
𝑎𝑑, tendremos 𝑏𝑐
𝑎𝑐=
𝑎𝑑
𝑎𝑐. Ahora simplificando obtenemos
𝑏
𝑎=
𝑑
𝑐, por lo tanto
Sí 𝑎
𝑏=
𝑐
𝑑 entonces
𝑏
𝑎=
𝑑
𝑐.
Propiedad 3: En toda proporción se cumple que la suma (o resta) de los antecedentes es la suma
(o resta) de los consecuentes como cada antecedente es a su consecuente; es decir
Si 𝑎
𝑏=
𝑐
𝑑 entonces
𝑎±𝑐
𝑏±𝑑=
𝑎
𝑏=
𝑐
𝑑
Demostración:
Se sabe que si 𝑎
𝑏=
𝑐
𝑑 por la definición de proporciones al sumar 1 a ambos lados de la igualdad
tenemos
𝑎
𝑏=
𝑐
𝑑
𝑎
𝑐=
𝑏
𝑑
𝑎
𝑐+ 1 =
𝑏
𝑑+ 1
𝑎 + 𝑐
𝑐=
𝑏 + 𝑑
𝑑
𝑎 + 𝑐
𝑐(𝑐𝑑) =
𝑏 + 𝑑
𝑑(𝑐𝑑)
(𝑎 + 𝑐)𝑑 = (𝑏 + 𝑑)𝑐
(𝑎 + 𝑐)𝑑
(𝑏 + 𝑑)𝑑=
(𝑏 + 𝑑)𝑐
(𝑏 + 𝑑)𝑑
24
Luego sí 𝑎
𝑏=
𝑐
𝑑 entonces
𝑎 + 𝑐
𝑏 + 𝑑=
𝑐
𝑑
Y de forma análoga se tiene que 𝑠í 𝑎
𝑏=
𝑐
𝑑 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠
𝑎−𝑐
𝑏−𝑑=
𝑎
𝑏=
𝑐
𝑑
Propiedad 4: En toda proporción se cumple que la suma (o resta) de los términos de la primera
razón es a su consecuente como la suma (o resta) de los términos de la segunda razón es a su
consecuente; es decir:
Si 𝑎
𝑏=
𝑐
𝑑 entonces
𝑎±𝑏
𝑏=
𝑐±𝑑
𝑑
Demostración:
Se sabe que si 𝑎
𝑏=
𝑐
𝑑 por la definición de proporción al sumar 1 a ambos lados de la igualdad
tenemos
𝑎
𝑏+ 1 =
𝑐
𝑑+ 1
𝑎 + 𝑏
𝑏=
𝑐 + 𝑑
𝑑
Luego sí 𝑎
𝑏=
𝑐
𝑑 entonces
𝑎+𝑐
𝑏+𝑑=
𝑐
𝑑
Y de manera análoga se prueba que sí 𝑎
𝑏=
𝑐
𝑑 entonces
𝑎−𝑐
𝑏−𝑑=
𝑐
𝑑
Definición 9: Cuando los dos medios son iguales en una proporción 𝑎
𝑏=
𝑏
𝑑 se dice que 𝑏 es la
media proporcional entre 𝑎 y 𝑑, también conocida como media geométrica.
Propiedad 5: En toda proporción, la media proporcional es igual a la raíz cuadrada del producto
de los extremos; es decir:
𝑆í 𝑎
𝑥=
𝑥
𝑏 entonces 𝑥 = √𝑎𝑏.
Demostración:
Se sabe que si 𝑎
𝑥=
𝑥
𝑑 por la definición de proporción entonces 𝑎𝑑 = 𝑥2 y al sacar la raíz
cuadrada se tiene que 𝑥 = √𝑎𝑏 .
25
Definición 10: Los segmentos 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ y 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ son proporcionales a los segmentos 𝐸𝐹̅̅ ̅̅ y 𝐺𝐻̅̅ ̅̅ si se
cumple 𝐴𝐵
𝐶𝐷=
𝐸𝐹
𝐺𝐻
Así por ejemplo en la imagen 15 aparecen dibujados los segmentos 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ , 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ , 𝐸𝐹̅̅ ̅̅ y 𝐺𝐻̅̅ ̅̅ .
Imagen 15. Segmentos proporcionales.
Superponiendo el segmento pequeño en el grande en cada caso, o utilizado un compás se puede
comprobar que:
3𝐴𝐵 = 𝐶𝐷 y 3𝐸𝐹 = 𝐺𝐻, luego
𝐶𝐷
𝐴𝐵= 3 y
𝐺𝐻
𝐸𝐹= 3
Como las dos razones son iguales entonces podemos formar con ellas una proporción.
𝐶𝐷
𝐴𝐵=
𝐺𝐻
𝐸𝐹
2.9 Semejanza de triángulos
Ahora vamos a enunciar la definición de semejanza entre dos triángulos. Deben considerar el
Δ𝐴𝐵𝐶 y Δ𝐷𝐸𝐹 y supongamos que tenemos la correspondencia 𝐴𝐵𝐶 ↔ 𝐷𝐸𝐹 .
26
Imagen 16. Triángulos semejantes.
Definición 11: Supongamos que los ángulos correspondientes son congruentes ∡𝐴𝐵𝐶 ≅ ∡𝐷𝐸𝐹,
∡𝐵𝐶𝐴 ≅ ∡𝐸𝐹𝐷 y ∡𝐶𝐴𝐵 ≅ ∡𝐹𝐷𝐸 y que además los lados son proporcionales 𝐴𝐵
𝐷𝐸=
𝐵𝐶
𝐸𝐹=
𝐴𝐶
𝐷𝐹
entonces se tiene que Δ𝐴𝐵𝐶 es semejante a Δ𝐷𝐸𝐹 y se nota Δ𝐴𝐵𝐶 ~ Δ𝐷𝐸𝐹.
𝑎
𝑑=
𝑏
𝑒=
𝑐
𝑓
decimos que la correspondencia 𝐴𝐵𝐶 ↔ 𝐷𝐸𝐹es una semejanza y escribimos Δ𝐴𝐵𝐶~Δ𝐷𝐸𝐹.
Sean Δ𝐴𝐵𝐶 y Δ𝐷𝐸𝐹 dos triángulos y una correspondencia Δ𝐴𝐵𝐶 ↔ Δ𝐷𝐸𝐹 tal que
Δ𝐴𝐵𝐶~Δ𝐷𝐸𝐹.
Si los ángulos correspondientes son congruentes y los lados correspondientes son proporcionales,
entonces la correspondencia se llama una semejanza y decimos que los triángulos son
semejantes.
Para el caso de los triángulos, resultará que si se cumple una de las dos condiciones, que los
ángulos sean congruentes o que los lados sean proporcionales, también se cumple la otra.
2.10 Polígonos Semejantes.
Si consideremos ahora un cuadrado y un rectángulo y verifiquemos las dos condiciones de
proporcionalidad de lados correspondientes y de ángulos respectivamente iguales. En la
correspondencia de cuadriláteros 𝐴𝐵𝐶𝐷 ↔ 𝐸𝐹𝐺𝐻 como lo muestra la figura 17 los ángulos
27
correspondientes son congruentes, porque todos los ángulos son rectos. Pero los lados
correspondientes no son proporcionales y, desde luego ninguna de las dos figuras es un modelo a
escala de la otra.
Imagen 17. Figuras geometricas no semejantes.
Para otros cuadriláteros, pueden cumplirse la segunda condición y no la primera. Ahora
consideremos un cuadrado y un rombo, como lo muestra la imagen 18.
Imagen 18. Figuras geométricas no semejantes con ángulos correspondientes congruentes.
En la correspondencia 𝐴𝐵𝐶𝐷 ↔ 𝐸𝐹𝐺𝐻, los lados correspondientes son proporcionales y dos
cuadrados siempre serán semejantes pues sus ángulos son todos rectos y sus lados serán
proporcionales.
28
Imagen 19. Cuadrados semejantes.
Evidentemente son semejantes pues la medida del lado del cuadrado 𝐶2 es dos veces la medida
del lado del cuadrado 𝐶1.
29
3. Aspectos Didácticos
Después de haber planteado un marco disciplinar que justifique los conceptos matemáticos que se
usaron en el desarrollo de esta propuesta y que además responda a las necesidades del contexto
particular en el cual se implementó, en este apartado tratamos los aspectos didácticos que
fortalecieron la elaboración de las actividades que se desarrollaron.
Los aspectos que consideramos para esta propuesta están orientados por el modelo de Van Hiele,
que permiten que los estudiantes de grado octavo reconozcan, usen y entiendan los conceptos de
semejanza y congruencia. Así mismo se hizo uso de herramientas tecnológicas en el aula como
herramienta de apoyo en los procesos de enseñanza aprendizaje en el área de matemáticas.
En este capítulo se presentan aspectos del modelo de Van Hiele (Van Hiele P. M., 1957) para lo
cual se tendrá en cuenta muy de cerca la tesis presentada para la obtención del grado de Doctor
en Matemáticas y Ciencias Naturales en la Universidad Real de Utrecht el 4 de julio de 1957 y el
artículo Modelo de Van Hiele para la didáctica de la Geometría de Fernando Fouz y Berritzegune
de Donosti (2005) donde se realiza un análisis muy completo al modelo.
3.1 El Modelo Van Hiele
El modelo de Van Hiele realizado por la pareja Dina y Pierre Van Hiele, fué propuesto en su tesis
doctoral hacia 1957, allí se plantean una serie de niveles por los cuales los estudiantes pasan
durante su desarrollo académico, a través de unas fases determinadas.
“Los componentes principales del modelo Van Hiele son la teoría de los niveles de razonamiento,
que explica cómo se produce el desarrollo en la calidad de razonamiento geométrico de los
estudiantes cuando éstos estudian geometría, y las fases de aprendizaje, que constituye su
30
propuesta didáctica para la secuenciación de actividades de enseñanza-aprendizaje en el aula”
(Zambrano, 2005)
“Se dice que un niño tiene comprensión en un determinado campo de la geometría cuando, a
partir de los datos y relaciones geométricas que se le suministran, es capaz de llegar a una
conclusión en una situación con la que nunca se había enfrentado antes”. (Van Hiele P. M., 1957)
Este sería el proceso de formación de la comprensión en geometría:
1°. Primero se produce una estructuración del campo perceptivo. El caso de si esta estructuración
es o no repentina no tiene mucha importancia puesto que ello no juega un papel determinante en
el proceso de aprendizaje.
2°. La estructuración del campo perceptivo va unida a distintas palabras.
3°. El proceso mental acerca de las figuras se va desarrollando cada vez más en el terreno verbal,
es decir, la estructuración perceptiva se va convirtiendo paulatinamente en estructuración
lingüística.
4°. Se crea cierta autonomía en la estructuración lingüística. Ciertas agrupaciones de premisas
llevan automáticamente a determinadas conclusiones, o a la inversa, la búsqueda de ciertas
conclusiones lleva automáticamente a la búsqueda de ciertas premisas.
Cuando se han realizado los tres primeros momentos, decimos que hay comprensión. Cuando se
ha realizado el cuarto, ha llegado el momento de llegar a una estructuración mayor, a una
comprensión mayor. Las palabras, que ahora se han convertido en bien común, pueden servir de
puntos de partida. (Van Hiele P. M., 1957)
El modelo Van Hiele está formado por dos partes, la primera que se define como descriptiva en la
que se identifican unas secuencias de tipos de razonamiento llamados los niveles de Van Hiele y
la segunda la cual se caracteriza por ser la etapa instructiva que orienta a los docentes sobre cómo
lograr que los estudiantes obtengan un nivel superior de razonamiento que se denominan fases de
aprendizaje.
31
3.2 Niveles de Van Hiele
Nivel 1: Reconocimiento o Visualización: Los estudiantes perciben las figuras geométricas por
su forma y no por sus propiedades.
Este nivel tiene tres características fundamentales de este nivel:
✓ Los objetos se perciben en su totalidad como una unidad, sin diferenciar sus atributos y
componentes.
✓ Se describen por su apariencia física mediante descripciones meramente visuales y
asemejándose a elementos familiares del entorno (parece como una ventana, tiene forma
de CD, etc.). No hay lenguaje geométrico básico para llamar a las figuras por su nombre
correcto.
✓ No reconocen de forma explícita componentes y propiedades de los objetos con los
cuales se trabaja.
Nivel 2: Análisis: Los alumnos son conscientes de que las figuras geométricas están formadas
por partes y de que están dotadas de propiedades matemáticas.
En este nivel podemos apreciar cuatro características fundamentales:
✓ Se perciben los componentes y propiedades (condiciones necesarias) de los objetos y
figuras. Esto lo obtienen tanto desde la observación como de la experimentación.
✓ De una manera informal pueden describir las figuras por sus propiedades pero no de
relacionar unas propiedades con otras o unas figuras con otras. Como muchas
definiciones en Geometría se elaboran a partir de propiedades no pueden elaborar
definiciones.
✓ Experimentando con figuras u objetos pueden establecer nuevas propiedades.
✓ No realizan clasificaciones de objetos y figuras a partir de sus propiedades.
32
Nivel 3: Clasificación (Abstracción): Los estudiantes comienzan a desarrollar su capacidad de
razonamiento matemático. Son capaces de realizar razonamientos deductivos. Entienden el
significado de una definición.
Es importante mencionar que en el anterior nivel los estudiantes empiezan a generalizar, con lo
que se inicia el razonamiento matemático, señalando que figuras cumplen una determinada
propiedad matemática pero siempre considerará las propiedades como independientes no
estableciendo relaciones entre propiedades equivalentes, Alcanzar este nivel significa que el
estudiante:
✓ Describe las figuras de manera formal, es decir se señalan las condiciones necesarias y
suficientes que deben cumplir. Esto es importante pues conlleva a entender el significado
de las definiciones, su rol dentro de la Geometría y las condiciones que siempre
requieren.
✓ Realiza clasificaciones lógicas de manera formal ya que el nivel de su razonamiento
matemático ya está iniciado. Esto significa que reconocen como unas propiedades
derivan de otras, estableciendo relaciones entre propiedades y las consecuencias de esas
relaciones.
✓ Siguen demostraciones pero, en la mayoría de los casos, no las entienden en cuanto a su
estructura. Esto se debe a que con su nivel de razonamiento lógico son capaces de seguir
pasos individuales de un razonamiento pero no de asimilarlo en su globalidad. Esta
dificultad les impide captar la naturaleza axiomática de la geometría.
Nivel 4: Deducción formal (Deducción): Los estudiantes pueden realizar razonamientos lógicos
formales, las demostraciones de varios pasos ya tienen sentido para ellos y aceptan su necesidad
como único medio para verificar la veracidad de una afirmación.
Características:
✓ En este nivel ya se realizan deducciones y demostraciones lógicas y formales, viendo la
necesidad para justificar las proposiciones planteadas.
33
✓ Se comprenden y manejan las relaciones entre propiedades y se formalizan en sistemas
axiomáticos, por lo que ya se entiende la naturaleza axiomática de las matemáticas.
✓ Se comprende cómo se puede llegar a los mismos resultados partiendo de proposiciones o
premisas distintas lo que permite entender que se pueden realizar distintas formas de
demostraciones para obtener un mismo resultado.
Nivel 5: Rigor: Los estudiantes son capaces de trabajar en distintos sistemas axiomáticos
prescindiendo de cualquier soporte concreto para desarrollar su actividad matemática.
✓ Se conoce la existencia de diferentes sistemas axiomáticos y se pueden analizar y
comparar permitiendo comparar diferentes geometrías.
✓ Se puede trabajar la geometría de manera abstracta sin necesidad de ejemplos concretos,
alcanzándose el más alto nivel de rigor matemático.
3.3 Fases de Aprendizaje
Fase 1. Información: El profesor indica a sus estudiantes sobre el campo de estudio que van a
trabajar, como por ejemplo conceptos que van a manejar, problemas, materiales, entre otros.
Se trata de determinar, o acercarse lo más posible, a la situación real de los estudiantes. Se
cumpliría la famosa afirmación de Ausubel: “Si tuviera que reducir toda la Psicología Educativa a
un solo principio diría lo siguiente: el factor más importante que influye en el aprendizaje es lo
que el estudiante sabe. Averígüese esto y enséñese en consecuencia” (Ausubel 1978) citado por
(Fouz & De Donosti, 2005).
Está fase es oral y mediante las preguntas adecuadas se trata de determinar el punto de partida de
los estudiantes y el camino a seguir de las actividades las actividades siguientes. Se puede
realizar mediante un test o preguntas individualizadas utilizando actividades del nivel de partida.
Cabe señalar que muchas veces el nivel no lo marca tanto la pregunta coma la respuesta, es decir,
diseñamos una pregunta pensando en un nivel concreto y, la respuesta recibida, nos puede señalar
un nivel distinto del pensado inicialmente.
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Fase 2. Orientación dirigida: Los estudiantes comienzan a explorar el campo de estudio,
resolviendo problemas y actividades basadas en el material proporcionado por el profesor.
Aquí es donde cobra importancia la capacidad didáctica del docente. De su experiencia señalan
que el rendimiento de los estudiantes (resultados óptimos frente a tiempo empleado) no es bueno
sino existen una serie de actividades concretas, bien secuenciadas, para que los estudiantes
descubran, comprendan, asimilen, apliquen, etc. las ideas, conceptos, propiedades, relaciones,
etc. que serán motivo de su aprendizaje en ese nivel.
Fase 3. Explicitación: Los estudiantes intercambian sus experiencias, comentan lo que han
observado, explican cómo han resuelto las actividades, etc…, todo ello dentro de un contexto de
diálogo en el grupo.
Es una fase de interacción (intercambio de ideas y experiencias) entre estudiantes y en la que el
papel del docente se reduce en cuanto a contenidos nuevos y, sin embargo, su actuación va
dirigida a corregir el lenguaje de los alumnos conforme a lo requerido en ese nivel. La interacción
entre estudiantes es importante ya que les obliga a ordenar sus ideas, analizarlas y expresarlas de
modo comprensible para los demás.
Fase 4. Orientación libre: Los estudiantes deberán ahora aplicar y combinar los conocimientos
que han adquirido en las fases anteriores para resolver las actividades más complicadas. En esta
fase los estudiantes conocen el campo de estudio, pero todavía deben perfeccionar el
conocimiento del mismo, tanto de contenidos como de habilidades de razonamiento.
Aparecen actividades más complejas fundamentalmente referidas a aplicar lo anteriormente
adquirido, tanto respecto a contenidos como al lenguaje necesario. Estas actividades deberán ser
lo suficientemente abiertas, lo ideal son problemas abiertos, para que puedan ser abordables de
diferentes maneras o puedan ser de varias respuestas válidas conforme a la interpretación del
enunciado. Esta idea les obliga a una mayor necesidad de justificar sus respuestas utilizando un
razonamiento y lenguaje cada vez más potente.
35
Fase 5. Integración: Los nuevos conceptos y las habilidades que los estudiantes han aprendido
en las fases anteriores están asimilados, pero aún deben adquirir una visión general de los
contenidos y métodos, relacionando los nuevos conocimientos con otros campos que ya hayan
estudiado anteriormente.
La primera idea importante es que, en esta fase, no se trabajan contenidos nuevos sino que sólo se
sintetizan los ya trabajados. Se trata de crear una red interna de conocimientos aprendidos o
mejorados que sustituya a la que ya poseía. Como idea final podemos señalar como en esta
estructura de actividades se pueden integrar perfectamente actividades de recuperación para los
estudiantes que presenten algún retraso en la adquisición de los conocimientos geométricos y, por
otra parte, rehaciendo adecuadamente los grupos profundizar algo más con aquellos estudiantes
de mejor rendimiento. Aunque no se ha explicitado las actividades de evaluación, también se
integrarían fácilmente en esta estructura de actividades.
3.4 Análisis de las actividades de la Propuesta Didáctica
Considerando los aspectos antes mencionados como fundamentales para el desarrollo de la
propuesta, a continuación se presentan las actividades que permitieron que los estudiantes de
grado octavo alcanzaran el primer, segundo y tercer nivel de desarrollo según Van Hiele, esto es,
reconocimiento o visualización, análisis y clasificación.
Se observó durante el desarrollo de la propuesta que es importante generar en ellos motivaciones
para estudiar Geometría, primero hacia el área para luego hacerlos comprender que esta ciencia
les aporta en su formación de una manera interdisciplinar. La Geometría se enseñó con una
componente lúdica para hacer que cada uno de ellos adquiriera hábitos de estudio que pueda
aplicar en otras áreas. Además fué importante que los estudiantes mediante la comprensión de los
conceptos de semejanza y congruencia adquirieran un nivel de razonamiento en matemáticas que
les pueda servir en otras áreas.
36
3.5 Prueba Diagnóstica
La prueba diagnóstica es la actividad introductoria que nos permitió desarrollar la secuencia
didáctica, se desarrolló con el objetivo de identificar los conocimientos previos de los estudiantes
de grado octavo en conceptos de semejanza y congruencia; se buscaba tener un punto de partida
para poder desarrollar la secuencia y solucionar los problemas que presentan los estudiantes en
temáticas previas que fortalezcan el desarrollo de los conceptos de semejanza y congruencia.
Las temáticas abordadas en la prueba diagnóstica fueron: el manejo algebraico de las
proporciones, nociones intuitivas de semejanza y congruencia, para poder abordar las demás
actividades de la secuencia didáctica con fluidez. Desde mí experiencia en la institución
educativa se generó una actividad diagnóstica con varias fases para generar en ellos la motivación
suficiente en el desarrollo de las actividades en el área de Matemática.
La prueba se le aplicó a 28 estudiantes de la Institución Educativa Santa Inés, pero no todos
estuvieron en las diferentes fases que se realizaron para identificar los conocimientos previos,
como el uso de la igualdad, el interés simple, el despeje algebraico de ecuaciones. Se inició con
una actividad lúdica con la cual se pretendía motivar a los estudiantes.
Las guías de las demás fases se centraron en preguntas abiertas, las cuales hacen que la reflexión
académica de los estudiantes sea más precisa. De esta manera la evaluación fué más completa ya
que requirió un nivel de justificación del cual muchos estudiantes carecían.
Para la implementación de esta prueba se tuvo en cuenta los Estándares Básicos de Competencia
en Matemáticas, para el ciclo tres, correspondientes a octavo y noveno, los cuales se relacionan a
continuación:
✓ Conjeturo y verifico propiedades de congruencias y semejanzas entre figuras
bidimensionales y entre objetos tridimensionales en la solución de problemas.
✓ Reconozco y contrasto propiedades y relaciones geométricas utilizadas en demostración
de teoremas básicos (Pitágoras y Tales)
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✓ Aplico y justifico criterios de congruencias y semejanza entre triángulos en la resolución y
formulación de problemas.
✓ Uso representaciones geométricas para resolver y formular problemas en las matemáticas
y en otras disciplinas.
4. Actividades de la Propuesta Didáctica
4.1 Descripción de las actividades de la Unidad Didáctica
La guía está compuesta de siete actividades, cada una de ellas fué diseñada fundamentándose en
los siguientes componentes metodológicos:
1. Encabezado: Contiene los datos básicos del colegio, nombre de la asignatura, nombre del
profesor, espacio para el nombre del estudiante y grado.
2. Contenidos previos que se usarán durante el desarrollo de la guía.
3. Objetivo correspondiente a las mallas curriculares del plan de estudios de la institución educativa.
4. Desarrollo de la actividad donde cada estudiante empieza con situaciones de muy poca
complejidad, luego van aumentando su nivel para que el estudiante comprenda el concepto
propuesto, se empiezan con ejercicios de intuición y se va dialogando en el grupo de trabajo. Un
breve marco teórico que le permite conceptualizar y recordar los componentes temáticos básicos
que se desarrollarán a lo largo de la guía. Se dan las instrucciones claras para su desarrollo,
5. Los materiales que se usarán durante el desarrollo de la práctica.
6. Ejemplos de posibles situaciones que se presentan para abordar el tema.
7. Evaluación, la cual es constante y busca a través de actividades determinar si se cumplió con el
objetivo propuesto inicialmente.
38
Actividad Diagnóstica Fase 1
AMPLIACIÓN DE UN DIBUJO
Objetivo: Realizar la ampliación a escala 1 a 3 de uno de los personajes de los Simpson
Desarrollo de la Actividad: Los estudiantes en la primera actividad de diagnóstico estuvieron
muy motivados ya que la actividad dentro del aula no parecía ser de matemáticas, además por ser
los Simpson personajes del agrado de ellos se comprometieron con la elaboración de su dibujo a
escala ya que los modelos escogidos fueron de su satisfacción. Al comienzo les costó un poco por
el uso de la regla ya que algunos confundían aún como se mide desde cero y al ser una escala 1 a
3 (ver anexo 1) confundieron las medidas; luego se concentraron, algunos mencionaron frases
como esta: “Esto no parece clase de matemática, parece de dibujo”, ese fué un indicio para
percibir en ellos la motivación de los chicos hacia el vínculo del arte con los números.
La actividad se desarrolló durante dos horas de clase y el 92,86 % presentó su actividad con
excelentes resultados, ya que se observó que los dibujos fueron ampliados en su gran mayoría
conservando sus características; se encontró también que la gran mayoría entendió que existe
relación entre la matemática y las demás ciencias.
Evaluación: Los estudiantes en su gran mayoría terminaron la actividad completamente, ya que
les pareció muy atractiva por estar relacionada con el área de artes, disfrutaron del dibujo sin
entender el concepto de razón como se pretendía en la actividad.
La debilidad principal para empezar y desarrollar el trabajo y que les tomó más tiempo fué la de
medir usando la regla ya que no todos tenían el material por sus condiciones de rechazo frente al
área de matemáticas. Algunos estudiantes incluso manifestaron que no podían realizar la
actividad porque no les interesaba hacerlo, y entre los grupos de trabajo solicitaron a sus
compañeros que les ayudaran a trazar las líneas para formar la cuadrícula.
Tabla 1. Respuestas fase diagnóstica 1.
Pregunta Correctas Incorrectas No Resueltas Total de estudiantes
1 96,3 % 3,70 % 0 27
39
Actividad Diagnóstica Fase No. 2
CONCEPTOS INTUITIVOS DE SEMEJANZA
Objetivo: Afianzar los conceptos previos de semejanza y congruencia de figuras geométricas.
Desarrollo de la Actividad: La actividad se desarrolló durante un periodo de 2 horas de clase en
el aula de matemáticas la cual cuenta con un videobeam donde se les mostró la guía de trabajo a
los estudiantes quienes conformaron grupos de 3 estudiantes. Se les entregó la guía de trabajo y
se sentaron en las mesas hexagonales, cada uno empezó a trabajar individualmente; al surgir
dudas cada estudiante le preguntó a sus compañeros de grupo, al no entender se dirigían al
docente quien los orientaba y les brindaba soluciones a las dudas. En cada grupo se pudo dialogar
con facilidad para socializar las respuestas al finalizar las actividades por la forma como se
integraron los grupos.
Imagen 20. Punto 3 de la fase diagnóstica.
Los estudiantes iniciaron muy motivados y en el punto uno se observa que los estudiantes se
encuentran en el I nivel de Van Hiele donde perciben los objetos como una unidad; al justificar
describieron la apariencia física a través de la visualización pero no usaron el lenguaje
geométrico básico para nombrar las figuras por su nombre correcto. El 88,89% de los estudiantes
contestaron las preguntas correctamente mientras que al 11,11% se les dificultó contestar la
40
pregunta. El principal error de los estudiantes que se equivocaron fué la confusión porque no
podían tener claridad si efectivamente eran semejantes como se puede observar en la figura 20.
Durante el desarrollo de la guía número dos de diagnóstico en el literal uno (ver anexo 2) se pudo
observar que los sentidos ayudan al reconocimiento de las propiedades de las figuras, además los
estudiantes usando la simple observación reconocen cuando dos figuras geométricas tienen la
misma forma pero diferente tamaño, aunque carecen de argumentos para defender su posición.
Lo anterior tiene sentido ya que presentan debilidades en la definición de semejanza, pero es
importante destacar que las figuras que son iguales en ese momento son identificadas por
observación directa pero no pueden relacionar de manera específica la correspondencia puntual
entre las partes.
En el literal dos de esta actividad se encuentran con un acercamiento al proceso de visualización,
donde se busca aproximar a las características fundamentales de este nivel de reconocimiento
cuyas características fueron mencionadas anteriormente. Se pudo evidenciar que perciben los
objetos en su totalidad como una unidad, sin diferenciar sus atributos y componentes; además
describen los objetos por su apariencia física mediante descripciones meramente visuales y
asemejándolas a elementos familiares del entorno. No utilizan términos geométricos para
referirse a las figuras, lo cual significa que en ese momento no conocían la clasificación de los
polígonos, ni siquiera la de los triángulos.
En el numeral tres de la actividad dos de los estudiantes reconocieron con facilidad cuando dos
dibujos no son iguales a pesar de sus pocas diferencias; reconocen que tienen el mismo tamaño y
afirman que tienen características iguales pues se componen de fichas de la misma forma y
diferente tamaño.
Evaluación: La actividad buscaba saber que entendían los estudiantes por semejanza y se
encontró que el término era desconocido para ellos, no reconocían los términos geométricos para
describir las figuras, pero los objetos de la vida real los podían describir completamente a partir
41
de sus características físicas; con frecuencia no entendían la pregunta como se muestra en la
imagen 20.
Tabla 2. Respuestas fase diagnóstica 2.
Pregunta Correctas Incorrectas No Resueltas Total de estudiantes
1 88,89% 11,11% 0 27
2 44,44 48,15% 7,41% 27
3 59,26% 18,52% 22,22% 27
4 88,89% 11,11% 0 27
42
Actividad Diagnóstica Fase No. 3.
CONCEPTOS PREVIOS DE RAZONES Y PROPORCIONES
Objetivo: Identificar los conceptos previos de proporcionalidad y razones que manejan los
estudiantes de grado octavo.
Desarrollo de la Actividad: La actividad se desarrolló durante un periodo de 2 horas de clase
donde se encontraban los 28 estudiantes de grado octavo; para los primeros literales de la
pregunta 1 se observa que aproximadamente el 50 % de los estudiantes tienen un manejo
algebraico que se basa en la regla de tres simple y en la multiplicación de números. Sin embargo,
ningún estudiante hace un manejo analítico de las razones y las proporciones, se limita el trabajo
a despejar y resolver ecuaciones y despejar variables.
En la actividad tres de la fase de diagnóstico se buscaba acercarse a los conceptos de
proporcionalidad desde el punto de visto operativo, sin entender qué sucede en realidad, qué
significa una proporción. Su razonamiento fue puramente numérico sin tener en cuenta los
razonamientos geométricos que son importantes para entender los conceptos de semejanza y
congruencia ejes centrales del trabajo propuesto.
En el numeral uno donde se trataba de acercarlos a los conceptos de proporcionalidad, al 53,57 %
de los estudiantes se les dificultó hacer un manejo algebraico con las razones para calcular el
valor faltante para completar la proporción. Se observó que una minoría, exactamente el 14,29 %
aún no tienen las tablas de multiplicar muy claras. Además, hay errores en las operaciones
algebraicas que conducen a obtener malos resultados, otros estudiantes confundieron los
extremos con los medios en una proporción, y por lo tanto no pueden completarla para conocer el
valor faltante del segmento que forma el triángulo.
43
Evaluación: Las preguntas que tuvieron una mayor aceptación fueron las que se tenían como
ejemplos y eran algorítmicas, así por ejemplo se observó que los estudiantes copiaban sin
entender que estaban comparando sin usar el término razón ni mucho menos el de proporción.
Tabla 3. Respuestas fase diagnóstica 3.
Pregunta Correctas Incorrectas No Resueltas Total de estudiantes
1.a) 46,43% 32,14% 21,43% 28
1.b) 50% 32,14% 17,86% 28
1.c) 53,57% 25% 21,43% 28
1.d) 50% 25% 25% 28
2.a) 28,57% 50% 21,43% 28
2.b) 21,43% 60,71% 17,86% 28
2.c) 25% 57,14% 17,86% 28
3.d) 17,86% 57,14% 25% 28
3 50% 39,29% 10,71% 28
4 53,57% 42,86% 3,57% 28
5 57,14% 35,72% 7,14% 28
44
Actividad Diagnóstica Fase No. 4
SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS
Objetivo: Resolver triángulos usando proporciones.
Desarrollo de la Actividad: Se les mostró la guía en el videobeam como era costumbre en el
aula de matemática en los grupos de trabajo que se habían integrado a partir de la segunda
actividad, se discutió en el tablero y uno de los estudiantes pasó al tablero a explicar lo que el
entendía a través de un ejemplo, los demás lo escucharon con atención; el estudiante estuvo muy
motivado y seguro de lo que estaba diciendo. Luego se les entregó la guía, la cual desarrollaron
en dos horas de clase en sus mesas de trabajo. Se nota la falta de fundamentos en el uso de las
igualdades y despeje en ecuaciones de primer grado en un porcentaje muy alto. Además un grupo
rezagado de los demás, claramente no maneja las tablas de multiplicar de manera práctica y
fluida, razón por la cual empiezan a dejar de contestar algunas preguntas porque no realizan los
planteamientos y confunden medios con extremos en las proporciones.
Los que contestaron bien presentan un buen desempeño con las tablas de multiplicar, y entienden
los algoritmos de las proporciones de manera numérica, aun no pueden explicar como se pueden
comparar dos segmentos, simplemente usan las medidas y realizan las operaciones.
Evaluación: Las preguntas 1 y 2 tienen un porcentaje mayor debido a que son las que más
tiempo le dedicaron. en las tres y la cuatro empiezan a fallar y no resuelven el punto 4 un 20%.
Tabla 4. Respuestas fase diagnóstica 4
Pregunta Correctas Incorrectas No Resueltas Total de estudiantes
1 72% 28% 0% 25
2 76% 24% 0 25
3 60% 32% 8% 25
4 56% 24% 20% 25
45
Actividad Diagnóstica Fase No. 5
RECETAS DE COCINA
Objetivo: Entender la proporcionalidad en un caso de la vida real usando una receta de cocina.
Desarrollo de la Actividad: Para esta actividad se dispuso de 2 horas de clase, se ubicaron en los
grupos de trabajo previamente seleccionados, en las mesas del aula, se les mostró la guía de
trabajo se leyó con ellos y se dispuso a entregárselas, la primera pregunta les tomó demasiado
tiempo porque no sabían cómo proponer una relación de proporcionalidad entre los elementos
dados y lo que se quería indagar, ningún estudiante resolvió la pregunta, lo más curioso fue que a
la hora de comentar sobre una receta casera muy conocida para ellos en sus hogares, saben como
se prepara, los ingredientes, pero no expresan nada en lenguaje algebraico que represente
proporciones.
Evaluación: La parte algebraica está muy débil ya que los estudiantes no cuentan con un buen
manejo de las tablas de multiplicar y en ocasiones solicitan el uso de la calculadora el cual se está
intentando disminuir en el aula de clase.
Tabla 5. Respuestas fase diagnóstica 5.
Pregunta Correctas Incorrectas No Resueltas Total de estudiantes
1 0% 64% 36% 25
2.a) 100% 0% 0% 25
2.b) 100% 0% 0% 25
2.c) 100% 0% 0% 25
2.d) 100% 0% 0% 25
3.a) 0% 72% 28% 25
3.b) 0% 24% 76% 25
4.a) 16% 48% 36% 25
4.b) 16% 48% 36% 25
4.c) 16% 48% 36% 25
4.d) 16% 48% 36% 25
46
Actividad Diagnóstica Fase No. 6
MEDIR LA ALTURA DE UN ÁRBOL
Objetivo: Medir la altura de un árbol usando una regla.
Desarrollo de la Actividad: Cada grupo se ubica en las mesas del aula de clase, se les realiza
una lectura en voz alta de la guía de trabajo y se verifica que todos los grupos traigan sus
respectivos materiales. Luego cada grupo realiza la medición de un árbol de la institución
previamente seleccionado y realiza la medición de su altura, para ello solo sigue las instrucciones
que se dieron en la guía de trabajo.
Al finalizar la actividad se realiza una plenaria para que cada grupo ponga en común los
resultados y los comparen con los propios. Al finalizar la actividad los estudiantes discuten por
qué a todos los grupos no les dio el mismo resultado, es más ninguno coincidió, un grupo no
realizó la actividad pero lo más curioso es que la mayoría lo realizó mal porque no siguió las
instrucciones de la guía.
Evaluación: La mayoría del grupo no resolvió la pregunta debido a que se centraron en hacer
cálculos sin entender la situación, además es importante destacar que le nivel de lectura de los
estudiantes es muy bajo.
Tabla 6. Respuestas fase diagnóstica 6.
Pregunta Correctas Incorrectas No Resueltas Total de estudiantes
1 46,15 59% 3. 26
47
Actividad Diagnóstica Fase No. 7
MIDIENDO LA ALTURA DEL POLIDEPORTIVO
Objetivo: Medir la altura del polideportivo.
Desarrollo de la Actividad: En esta actividad se dio una cinta métrica o un metro de
construcción y una cuerda de aproximadamente 2 metros donde se propone medir la altura del
polideportivo que los estudiantes usan para recrearse en sus horas de descanso y para desarrollar
las clases de educación física, se les da a los estudiantes un metro y una cuerda de
aproximadamente 2 m. Se les pide que por grupos de 3 estudiantes realicen la propuesta para
medir el alto del polideportivo sugerido. Se les hace sugerencias de la medida del centro a la base
del techo. En este caso ningún grupo del grado realizó la medición con precisión.
Evaluación: El resultado de la actividad estuvo lleno de anécdotas donde cada grupo proponía
desde subirse y lanzar una cuerda más larga, pero ninguno usó las bases geométricas previas
trabajadas, al final de las dos horas de clase propusieron resolverla en la siguiente con la ayuda
del docente, quien los dejo intrigados durante algunos días mientras llegaban a clase nuevamente.
Tabla 7. Respuestas fase diagnóstica 7.
Pregunta Correctas Incorrectas No Resueltas Total de estudiantes
1 0 % 100 % 0% 24
48
Actividad Unidad Didáctica No. 1
CONCEPTO INTUITIVO DE CONGRUENCIA
Objetivo: Mostrar de manera intuitiva cuando dos figuras son congruentes.
Desarrollo de la Actividad: Para esta actividad se dispuso de dos horas de clase, se ubicaron en
los grupos de trabajo previamente seleccionados, en las mesas del aula, se les mostró la guía de
trabajo se leyó con ellos y se dispuso a entregárselas, los estudiantes mostraron una actitud de
responsabilidad y lo más importante fué que se hicieron todos los ejercicios a pesar de que
algunos se equivocaron porque no pudieron llegar a la congruencia de las figuras debido a que no
contaban con un objeto para medir.
Evaluación: Los estudiantes reconocen intuitivamente cuando dos polígonos son congruentes
por observación directa en esta fase mediante las preguntas adecuadas se trata de determinar el
punto de partida de los estudiantes y el camino a seguir en las actividades siguientes mientras
ellos coloreaban.
Tabla 8. Respuestas actividad 1
Pregunta Correctas Incorrectas No Resueltas Total de estudiantes
1 69,23% 30,77% 0% 26
49
Actividad Unidad Didáctica # 2
CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS CON GEOGEBRA
Objetivo: Construir triángulos congruentes con regla y compás usando geogebra.
Desarrollo de la Actividad: Para esta actividad se dispuso de dos horas de clase, se ubicaron en
los grupos de trabajo previamente seleccionados, en las mesas del aula de matemáticas, se les
mostró la guía de trabajo se leyó con ellos y se dispuso a entregárselas al igual que el computador
por cada estudiante. Esta herramienta hizo que los estudiantes tuvieran respuestas con un nivel
del 100 % de efectividad, en este caso la gran mayoría de los estudiantes terminaron la actividad
antes de tiempo. Ya que pudieron verificar las medidas
Imagen 21. Punto 3 guía 3
Evaluación: La verdad en este momento pensé que los estudiantes manejaban el concepto de
congruencia por la exactitud en los resultados de los estudiantes en el software como se aprecia
en uno de los trabajos de los estudiantes, ya que en este momento las construcciones me dejaban
percibir que el objetivo se estaba cumpliendo como se puede observar en la figura 21.
50
Tabla 9. Respuestas actividad 2
Pregunta Correctas Incorrectas No Resueltas Total de estudiantes
1 100% 0% 0% 26
2 100% 0% 0% 26
3 100% 0% 0% 26
4 100% 0% 0% 26
5.a) 69,23% 39,77% 0% 26
5.b) 69,23% 39,77% 0% 26
6 100% 0% 0% 26
51
Actividad Unidad Didáctica No. 3
COMPROBANDO LA CONGRUENCIA CON LA AYUDA DE LA REGLA Y EL
COMPÁS
Objetivo: Reconocer el concepto de congruencia a través del uso de las medidas de ángulos.
Desarrollo de la Actividad: Para esta actividad se dispuso de dos horas de clase, se ubicaron en
los grupos de trabajo previamente seleccionados, en las mesas del aula, se les mostró la guía de
trabajo se leyó con ellos y se dispuso a entregárselas, se revisaron los materiales la regla y el
compás y se dispuso a empezar a trabajar, no pasaron cinco minutos cuando empezaron a surgir
las debilidades con el uso de las herramientas, los estudiantes no medían bien ni los ángulos ni
los lados, el uso de la regla fué una de las principales dificultades que se presentaron salvo uno de
los grupos donde entre los estudiantes compartieron la manera de medir, el 11,11 % de los
estudiantes pudieron contestar con exactitud usando los materiales, para solucionar este
inconveniente se realizó una explicación acerca del uso de la regla y el trasportador con un
material gigante de madera para resolver dudas a pesar de ello no se pudo terminar la actividad.
Evaluación: La mayoría de los estudiantes no terminaron la actividad porque no saben medir ni
lados ni ángulos con la regla y el trasportador por lo tanto el objetivo no se cumplió.
Tabla 10. Respuestas actividad 3
Pregunta Correctas Incorrectas No Resueltas Total de estudiantes
1.a) 11,11% 62,96% 25,93% 27
1.b) 11,11% 59,26% 29,63% 27
1.c) 11,11% 59,26% 29,63% 27
1.d) 11,11% 62,96% 25,93% 27
1.e) 11,11% 59,26% 29,63% 27
1.f) 11,11% 59,26% 29,63% 27
1.g) 11,11% 59,26% 29,63% 27
1.h) 11,11% 62,96% 25,93% 27
52
Actividad Unidad Didáctica # 4
COMPROBANDO LA CONGRUENCIA CON LA AYUDA DE GEOGEBRA
Objetivo: Reconocer el concepto de congruencia a través del uso de las medidas de ángulos y
lados usando el software geogebra.
Desarrollo de la Actividad:
La actividad número cuatro se desarrolló en el aula de matemáticas, la cual cuenta con un
computador por estudiante, un videobeam y un tablero inteligente, para mejorar las explicaciones
necesarias para usar el programa. Estos recursos hacen que los estudiantes se sientan más
cómodos durante el desarrollo de la actividad, además que el programa les facilita elaborar
construcciones con medidas exactas sin margen de error. El 100% de los estudiantes lograron
finalizar la actividad salvo algunos errores, unos más rápidos que otros, pero ninguno se quedó
rezagado; los más habilidosos en el uso del computador orientaron a los demás para finalizar la
actividad, medir lados y ángulos usando geogebra es un ejercicio que considero no aporta lo
suficiente si no se usa como medio de comprobación de lo que se hace con lápiz y papel, por lo
que considero que es muy importante trabajar los temas de geometría con los materiales que
puedan ser manipulados por los estudiantes y no que las ayudas les resuelvan el problema.
Se observó una motivación por usar el software GeoGebra ya que el 95% de los estudiantes no
cuenta con un computador en sus casas. Se destaca el compromiso de los estudiantes para
resolver situaciones relacionadas con la congruencia y semejanza entre figuras geométricas por
medio del uso de las TIC´S.
En la actividad número cuatro se presentó esta situación muy particular ya que consistía en
realizar la misma actividad con una variante la debían realizar usando la regla, el trasportador,
lápiz y papel, pero sin usar ningún tipo de tecnología, y los resultados no fueron los esperados. Se
pretendía que los estudiantes hicieran un manejo del concepto de semejanza y congruencia
parecido al realizado con GeoGebra sin embargo pude observar que la mayoría de los estudiantes
53
presentaron dificultad al realizar la actividad ya que no encontraron la manera rápida de hacer el
ejercicio. En ese momento intenté solucionar los inconvenientes usando una explicación con un
trasportador de madera, para la medición de ángulos y con una regla de madera para medir
segmentos y observé que a los estudiantes les costaba usar el trasportador correctamente igual
que la regla, no sabían medir ángulos, y las medidas con sus reglas no eran tomadas con
precisión.
Surge una duda y es: ¿Las herramientas tecnológicas garantizan que le estudiante comprenda un
concepto? luego de hacerme esta pregunta me encontré con reflexiones en ambas posiciones.
Descubrí que no siempre es correcto pensar que una ayuda tecnológica garantice la apropiación
de un concepto y además que se desarrolle dentro de los niveles que nos aporta Van Hiele. Es
claro que es una opinión personal de la situación presentada, por lo cual describo las dificultades
de trabajar con los materiales ya que las medidas de los triángulos y demás figuras en su gran
mayoría tenían errores como que un segmento midiera más de lo real, este fenómeno se presentó
ya que no se hacía coincidir el cero de la regla con el punto inicial de los segmentos, además
cuando se midieron ángulos no se ubicaba el transportador de una forma adecuada para tomar la
medida correcta.
El uso de la tecnología puede llegar a ser una poderosa herramienta para que los estudiantes
logren crear diferentes representaciones de ciertas tareas y sirve como medio para que formulen
sus propias preguntas o problemas lo que constituye un importante aspecto en el aprendizaje de
las matemáticas. (Camacho & Santos, 2004)
Evaluación: Al final creo que las herramientas tecnológicas sirven para afianzar un tema pero no
para conceptualizarlo, el trabajo con lápiz y papel en matemática es fundamental para adquirir
habilidades de razonamiento.
54
Tabla 11. Resultados actividad 4
Pregunta Correctas Incorrectas No Resueltas Total de estudiantes
1.a 70,37% 29,63% 0% 27
1.b 77,78% 22,22% 0% 27
1.c 85,18% 14,81% 0% 27
1.d 85,18% 14,81% 0% 27
1.e 81,48% 18,51% 0% 27
1.f 85,18% 14,81% 0% 27
1.g 88,89% 11,11% 0% 27
1.h 88,89% 11,11% 0% 27
55
Actividad Unidad Didáctica # 5
CONGRUENCIA
Objetivo: Afianzar el concepto de congruencia entre figuras geométricas.
Desarrollo de la Actividad: Para esta actividad se dispuso de cuatro horas de clase, se ubicaron
en los grupos de trabajo previamente seleccionados, en las mesas del aula, se les mostró la guía
de trabajo se leyó con ellos y se dispuso a entregárselas, para esta actividad se hizo una pausa
donde se dedicaron varias sesiones de clase a implementar el uso de la regla y el trasportador en
la medida de longitudes que les permitieran tomar medidas, por lo que los resultados con lápiz y
papel fueron mejorando al transcurrir el tiempo, los grupos de trabajo se convirtieron más
homogéneos y los estudiantes intercambian sus experiencias, comentan lo que han observado,
explican cómo han resuelto las actividades, todo ello dentro de un contexto de diálogo en el
grupo, lo que genero en ellos más interés para aplicar y combinar los conocimientos que se
adquirieron en las fases anteriores para resolver actividades más complicadas.
Evaluación: Se observa que los estudiantes realizan clasificaciones lógicas y que su nivel de su
razonamiento matemático ya está iniciado, reconocen como unas propiedades derivan de otras,
estableciendo relaciones entre propiedades y las consecuencias de esas relaciones para trabajar
conceptos de congruencia, se cumplió el objetivo totalmente ya que además de aprender sobre
estos temas se formaron hábitos de estudio.
56
Tabla 12. Resultados actividad 5.
Pregunta Correctas Incorrectas No Resueltas Total de estudiantes
1 81,48% 18,52% 0% 27
2 77,78% 22,22% 0% 27
3 81,48% 18,52% 0% 27
4 77,78% 22,22% 0% 27
5 85,18% 14,82% 0% 27
6 81,48% 18,52% 0% 27
7 88,89% 11,11% 0% 27
8 85,18% 14,82% 0% 27
57
Actividad Unidad Didáctica No. 6
SEMEJANZA
Objetivo: Afianzar los conceptos básicos para entender la semejanza entre figuras geométricas.
Desarrollo de la Actividad: Para esta actividad se dispuso de cuatro horas de clase, se ubicaron
en los grupos de trabajo previamente seleccionados, en las mesas del aula, se les mostró la guía
de trabajo se leyó con ellos y se dispuso a entregárselas, los estudiantes empezaron a reconocer
semejanzas de triángulos de acuerdo a las propiedades estudiadas, la gran mayoría de los
estudiantes plantean las relaciones de semejanza, calculan la razón de semejanza entre figuras y
lo aplican a situaciones de la vida real. Los errores mas comunes de los estudiantes son de cálculo
numérico ya que no manejan las tablas de multiplicar con fluidez, entre los grupos de trabajo se
apoyan.
Evaluación: Los estudiantes reconocen triángulos semejantes, luego lo hacen con polígonos y lo
aplican a la vida real, además usan el teorema de tales con facilidad, además usa los criterios de
semejanza pero las equivocaciones en los ejercicios se limitan al cálculo numérico, también se
presentan errores en el planteamiento de las proporciones porque las confunden, a pesar de ello se
observa que la mayoría de los estudiantes alcanzaron el nivel tres de Van Hiele.
Tabla 13. Resultados actividad 6.
Pregunta Correctas Incorrectas No Resueltas Total de estudiantes
1 88,46% 11,54% 0% 26
2 84,46% 15,54% 0% 26
3 80,77% 19,23% 0% 26
4 65,38% 34,62% 0% 26
5 53,85% 46,15% 0% 26
6 61,54% 38,46% 0% 26
7 73,08% 26,92% 0% 26
8 84,46% 15,54% 0% 26
58
Actividad Unidad Didáctica No. 7
TEOREMA DE TALES
Objetivo: Reconocer propiedades y relaciones geométricas utilizadas en situaciones de la vida
real usando el teorema de Tales.
Desarrollo de la Actividad: Para esta actividad se dispuso de dos horas de clase, se ubicaron en
los grupos de trabajo previamente seleccionados, en las mesas del aula, se les mostró la guía de
trabajo se leyó con ellos y se dispuso a entregárselas, luego los estudiantes se sentaron por grupos
de trabajo resolvieron las actividades de lo que podemos deducir que mas o menos el 90 %
aproximadamente pueden usar el teorema de tales para resolver problemas de la vida real.
Evaluación: Los estudiantes describen las figuras para plantear los problemas y poder
resolverlos es decir se señalan las condiciones necesarias y suficientes que deben cumplir. Esto es
importante pues conlleva a entender el significado de las definiciones su rol dentro de la
Geometría y las condiciones que siempre requieren.
Tabla 14. Resultados actividad 7
Pregunta Correctas Incorrectas No Resueltas Total de estudiantes
1 84,61% 15,38% 0% 26
2 84,61% 15,38% 0% 26
3 92,30% 7,70% 0% 26
4 92,30% 7,70% 0% 26
59
4.2 Análisis general de la aplicación de la Propuesta Didáctica
Durante el desarrollo de la propuesta se observó que al comenzar cualquier actividad el rol del
docente es importante para indicar a sus estudiantes que temas se van a estudiar para acercarse lo
más posible, a la situación real de los estudiantes y generar un proceso de reflexión continua.
La concepción negativa del estudiante frente al área de matemática se debe borrar paulatinamente
y hacer que ellos puedan generar espectativas acerca del aprendizaje que desean lograr. El
estudiante puede dedicarse a la parte algorítmica que no lo deja desarrollar otras habilidades de
pensamiento por lo cual se pudo evidenciar que las diferentes actividades realizadas al aire libre
favorecieron el aprendizaje de los estudiantes; se logró cumplir con el objetivo propuesto durante
este trabajo.
Las construcciones de conceptos geométricos necesitan que los estudiantes pasen por diferentes
niveles según Van Hiele para que comprendan las definiciones y las puedan usar, es por ello que
los estudiantes se ubicaron en los tres primeros niveles cumpliendo el primero en su totalidad y
faltándoles algunos aspectos en los otros dos.
60
Imagen 22. Mural resultado final de la unidad didáctica.
61
5. Conclusiones
El análisis histórico de los temas aporta una mirada más amplia del desarrollo de los conceptos
trabajados que posibilitan generar inquietudes en los estudiantes y posibilitan la interiorización de
los mismos.
La elaboración del mural con la participación de los estudiantes es el resultado de poner en
práctica el concepto de semejanza en una aplicación de la vida real. (ver figura 22)
Las aplicaciones de situaciones en la vida real son excusas muy poderosas en la asimilación de
conceptos de semejanza y congruencia, usando las estrategias planteadas por Van Hiele en la
apropiación de los mismos, ya que permite que los estudiantes a partir de su experimentación
directa comprendan e interioricen el concepto.
La apropiación de un concepto no se puede delegar al uso de un programa o software, es
necesario que los estudiantes experimenten con sus propios sentidos y usen los materiales para
entrar en comunicación directa con la geometría.
62
6. Anexo: Actividades fase diagnóstica fase
Preparación de la actividad: A cada estudiante se le repartirá una hoja DIN A4 de dibujo
técnico y un personaje de los Simpson que está cortado en un cuadrado de 4 x 4 cm
Desarrollo de la actividad: Cada estudiante pega su personaje en la parte superior derecha de la
hoja y le realiza una cuadricula de 1 cm para luego empezar a realizar la ampliación del mismo
personaje.
𝑨𝑪𝑻𝑰𝑽𝑰𝑫𝑨𝑫 𝑫𝑰𝑨𝑮𝑵Ó𝑺𝑻𝑰𝑪𝑨 𝑵𝒐. 𝟏
𝑨𝑴𝑷𝑳𝑰𝑨𝑪𝑰Ó𝑵 𝑫𝑬 𝑼𝑵 𝑫𝑰𝑩𝑼𝑱𝑶 𝑰𝑵𝑺𝑻𝑰𝑻𝑼𝑪𝑰Ó𝑵 𝑬𝑫𝑼𝑪𝑨𝑻𝑰𝑽𝑨 𝑺𝑨𝑵𝑻𝑨 𝑰𝑵É𝑺
𝑽𝑰𝑳𝑳𝑨𝑽𝑰𝑪𝑬𝑵𝑪𝑰𝑶 𝑴𝑬𝑻𝑨
Á𝑹𝑬𝑨 𝑫𝑬
𝑴𝑨𝑻𝑬𝑴Á𝑻𝑰𝑪𝑨
𝑮𝑹𝑨𝑫𝑶: 𝑶𝑪𝑻𝑨𝑽𝑶
𝑫𝒐𝒄𝒆𝒏𝒕𝒆: 𝑨𝒍𝒊𝒓𝒊𝒐 𝑺𝒂𝒏𝒂𝒃𝒓𝒊𝒂 𝑴𝒆𝒋í𝒂
𝑶𝒃𝒋𝒆𝒕𝒊𝒗𝒐: 𝑅𝑒𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑟 𝑢𝑛𝑎 𝑎𝑚𝑝𝑙𝑖𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑎 𝑒𝑠𝑐𝑎𝑙𝑎 1: 3 𝑑𝑒 𝑢𝑛𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑝𝑒𝑟𝑠𝑜𝑛𝑎𝑗𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑆𝑖𝑚𝑝𝑠𝑜𝑛
𝑵𝒐𝒎𝒃𝒓𝒆𝒔 𝒚 𝑨𝒑𝒆𝒍𝒍𝒊𝒅𝒐𝒔 𝒄𝒐𝒎𝒑𝒍𝒆𝒕𝒐𝒔: 𝑭𝒆𝒄𝒉𝒂:
𝑴𝒂𝒕𝒆𝒓𝒊𝒂𝒍𝒆𝒔: Hoja DIN A 4 de dibujo técnico, lápiz, regla y borrador.
63
Taller de Actividades
1. Coloree con el mismo color las figuras que tienen la misma forma pero diferente tamaño, luego explique por qué escogió las que coloreó.
𝑰𝑵𝑺𝑻𝑰𝑻𝑼𝑪𝑰Ó𝑵 𝑬𝑫𝑼𝑪𝑨𝑻𝑰𝑽𝑨 𝑺𝑨𝑵𝑻𝑨 𝑰𝑵É𝑺 𝑽𝑰𝑳𝑳𝑨𝑽𝑰𝑪𝑬𝑵𝑪𝑰𝑶 𝑴𝑬𝑻𝑨
𝑨𝑪𝑻𝑰𝑽𝑰𝑫𝑨𝑫 𝑫𝑰𝑨𝑮𝑵Ó𝑺𝑻𝑰𝑪𝑨 𝑵𝒐. 𝟐 𝑪𝑶𝑵𝑪𝑬𝑷𝑻𝑶𝑺 𝑰𝑵𝑻𝑼𝑰𝑻𝑰𝑽𝑶𝑺 𝑫𝑬 𝑺𝑬𝑴𝑬𝑱𝑨𝑵𝒁𝑨
Á𝑹𝑬𝑨 𝑫𝑬
𝑴𝑨𝑻𝑬𝑴Á𝑻𝑰𝑪𝑨
𝑮𝑹𝑨𝑫𝑶: 𝑶𝑪𝑻𝑨𝑽𝑶
𝑫𝒐𝒄𝒆𝒏𝒕𝒆: 𝑨𝒍𝒊𝒓𝒊𝒐 𝑺𝒂𝒏𝒂𝒃𝒓𝒊𝒂 𝑴𝒆𝒋í𝒂
𝑶𝒃𝒋𝒆𝒕𝒊𝒗𝒐:Afianzar los conceptos previos de semejanza y congruencia de figuras geométricas. 𝑬𝒔𝒕𝒖𝒅𝒊𝒂𝒏𝒕𝒆: 𝑭𝒆𝒄𝒉𝒂: 𝑴𝒂𝒕𝒆𝒓𝒊𝒂𝒍𝒆𝒔: Guía de trabajo
64
2. De las siguientes figuras debe decidir cuales tienen "la misma forma" y justificar su elección
3. ¿Se puede afirmar que los dos rinocerontes son semejantes, si no lo son escriba por qué?
(Pinterest, 2017)
4. Explique por qué las siguientes figuras son o no son semejantes.
65
65
𝑹𝒆𝒄𝒖𝒆𝒓𝒅𝒆 𝒒𝒖𝒆: 𝐅𝐫𝐚𝐜𝐜𝐢𝐨𝐧𝐞𝐬 𝐄𝐪𝐮𝐢𝐯𝐚𝐥𝐞𝐧𝐭𝐞𝐬. Definimos como fracciones equivalentes a todas aquellas que
representan unn mismo valor real, es decir, que al ser resueltas dan como resultado el mismo
número.
𝐄𝐣𝐞𝐦𝐩𝐥𝐨:3
2es lo mismo que decir
6
4ó
24
16.
𝐿𝑎 𝒓𝒆𝒈𝒍𝒂 𝒅𝒆 𝟑 𝒔𝒊𝒎𝒑𝒍𝒆 𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝑜𝑝𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑞𝑢𝑒 𝑛𝑜𝑠 𝑎𝑦𝑢𝑑𝑎 𝑎 𝑟𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑒𝑟 𝑟á𝑝𝑖𝑑𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑙𝑒𝑚𝑎𝑠
𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑜𝑟𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑, 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎. 𝑃𝑎𝑟𝑎 ℎ𝑎𝑐𝑒𝑟 𝑢𝑛𝑎 𝒓𝒆𝒈𝒍𝒂 𝒅𝒆 𝟑 𝒔𝒊𝒎𝒑𝒍𝒆 𝑛𝑒𝑐𝑒𝑠𝑖𝑡𝑎𝑚𝑜𝑠 3 𝑑𝑎𝑡𝑜𝑠: 𝑑𝑜𝑠 𝑚𝑎𝑔𝑛𝑖𝑡𝑢𝑑𝑒𝑠 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑜𝑟𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑠í, 𝑦 𝑢𝑛𝑎 𝑡𝑒𝑟𝑐𝑒𝑟𝑎 𝑚𝑎𝑔𝑛𝑖𝑡𝑢𝑑. 𝑬𝒋𝒆𝒎𝒑𝒍𝒐:Si con 1 kilogramo de harina preparó 3 tortas, con 5 kilogramos de harina cuántas tortas se prepararán.
15
→ 3𝑥
𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 1 ∗ 𝑥 = 3 ∗ 5 𝑙𝑢𝑒𝑔𝑜 𝑥 = 15 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑠𝑒 𝑝𝑟𝑒𝑝𝑎𝑟𝑎𝑟í𝑎𝑛 15 𝑡𝑜𝑟𝑡𝑎𝑠.
𝑻𝒂𝒍𝒍𝒆𝒓 𝒅𝒆 𝑨𝒄𝒕𝒊𝒗𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆𝒔
1. 𝐶𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑡𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑠𝑖𝑔𝑢𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑒𝑗𝑒𝑟𝑐𝑖𝑐𝑖𝑜𝑠 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑞𝑢𝑒 ℎ𝑎𝑐𝑒 𝑓𝑎𝑙𝑡𝑎 𝑟𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑟 Δ.
a) 1
2=
4
Δ 𝑙𝑢𝑒𝑔𝑜 Δ___? 𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒__________________________________
b) 3
4=
Δ
20 𝑙𝑢𝑒𝑔𝑜 Δ___? 𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒__________________________________
c) Δ
5=
10
25 𝑙𝑢𝑒𝑔𝑜 Δ___? 𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒__________________________________
d) 2
Δ=
8
12 𝑙𝑢𝑒𝑔𝑜 Δ___? 𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒__________________________________
𝑰𝑵𝑺𝑻𝑰𝑻𝑼𝑪𝑰Ó𝑵 𝑬𝑫𝑼𝑪𝑨𝑻𝑰𝑽𝑨 𝑺𝑨𝑵𝑻𝑨 𝑰𝑵É𝑺 𝑽𝑰𝑳𝑳𝑨𝑽𝑰𝑪𝑬𝑵𝑪𝑰𝑶 𝑴𝑬𝑻𝑨
𝑨𝑪𝑻𝑰𝑽𝑰𝑫𝑨𝑫 𝑫𝑰𝑨𝑮𝑵Ó𝑺𝑻𝑰𝑪𝑨 𝑵𝒐. 𝟑 𝑪𝑶𝑵𝑪𝑬𝑷𝑻𝑶𝑺 𝑷𝑹𝑬𝑽𝑰𝑶𝑺 𝑫𝑬
𝑷𝑹𝑶𝑷𝑶𝑹𝑪𝑰𝑶𝑵𝑨𝑳𝑰𝑫𝑨𝑫
Á𝑹𝑬𝑨 𝑫𝑬
𝑴𝑨𝑻𝑬𝑴Á𝑻𝑰𝑪𝑨
𝑮𝑹𝑨𝑫𝑶: 𝑶𝑪𝑻𝑨𝑽𝑶
𝑫𝒐𝒄𝒆𝒏𝒕𝒆: 𝑨𝒍𝒊𝒓𝒊𝒐 𝑺𝒂𝒏𝒂𝒃𝒓𝒊𝒂 𝑴𝒆𝒋í𝒂 𝑶𝒃𝒋𝒆𝒕𝒊𝒗𝒐: Identificar los conceptos previos de proporcionalidad y razones que manejan los
estudiantes
de grado octavo. 𝑰𝒏𝒕𝒆𝒈𝒓𝒂𝒏𝒕𝒆𝒔: 𝑭𝒆𝒄𝒉𝒂: 𝑴𝒂𝒕𝒆𝒓𝒊𝒂𝒍𝒆𝒔: 𝐺𝑢í𝑎 𝑑𝑒 𝑡𝑟𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜
66
2. 𝐶𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑡𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑠𝑖𝑔𝑢𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑒𝑗𝑒𝑟𝑐𝑖𝑐𝑖𝑜𝑠 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑞𝑢𝑒 ℎ𝑎𝑐𝑒 𝑓𝑎𝑙𝑡𝑎.
a) 1
2=
4,5
Δ 𝑙𝑢𝑒𝑔𝑜 Δ___? 𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒__________________________________
b) 3
4=
Δ
13,6 𝑙𝑢𝑒𝑔𝑜 Δ___? 𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒__________________________________
c) Δ
5=
6,25
12,5 𝑙𝑢𝑒𝑔𝑜 Δ___? 𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒__________________________________
d) 3,2
Δ=
19,2
27,6 𝑙𝑢𝑒𝑔𝑜 Δ___? 𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒_________________________________
3. 𝐿𝑎 𝑟𝑎𝑧ó𝑛 𝑑𝑒 𝑛𝑖ñ𝑜𝑠 𝑎 𝑛𝑖ñ𝑎𝑠 𝑒𝑛 𝑢𝑛𝑎 𝑐𝑙𝑎𝑠𝑒 𝑒𝑠 𝑑𝑒 2 𝑎 3. 𝐻𝑎𝑦 12 𝑐ℎ𝑖𝑐𝑜𝑠 ¿ 𝑐𝑢á𝑛𝑡𝑎𝑠 𝑐ℎ𝑖𝑐𝑎𝑠 ℎ𝑎𝑦?
4. 𝑃𝑒𝑑𝑟𝑜 𝑝𝑢𝑒𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑚𝑒𝑟 2 𝑝𝑎𝑠𝑡𝑒𝑙𝑒𝑠 𝑒𝑛 3 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠. ¿ 𝐶𝑢á𝑛𝑡𝑜 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑙𝑒 𝑙𝑙𝑒𝑣𝑎𝑟á 𝑐𝑜𝑚𝑒𝑟 12 𝑝𝑎𝑠𝑡𝑒𝑙𝑒𝑠?
5. 𝑆𝑖 5 𝑐ℎ𝑖𝑐𝑎𝑠 𝑏𝑒𝑏𝑒𝑛 3 𝑏𝑜𝑡𝑒𝑙𝑙𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑖𝑚𝑜𝑛𝑎𝑑𝑎, ¿ 𝐶𝑢á𝑛𝑡𝑎𝑠 𝑏𝑜𝑡𝑒𝑙𝑙𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑖𝑚𝑜𝑛𝑎𝑑𝑎 𝑝𝑜𝑑𝑟á𝑛 𝑏𝑒𝑏𝑒 30 𝑐ℎ𝑖𝑐𝑎𝑠?
67
Taller de Actividades
En cada uno de los triángulos calcular el valor de x
𝑨𝑪𝑻𝑰𝑽𝑰𝑫𝑨𝑫 𝑵𝒐. 𝟒 𝑺𝑬𝑴𝑬𝑱𝑨𝑵𝒁𝑨 𝑫𝑬 𝑻𝑹𝑰Á𝑵𝑮𝑼𝑳𝑶𝑺
𝑰𝑵𝑺𝑻𝑰𝑻𝑼𝑪𝑰Ó𝑵 𝑬𝑫𝑼𝑪𝑨𝑻𝑰𝑽𝑨 𝑺𝑨𝑵𝑻𝑨 𝑰𝑵É𝑺 𝑽𝑰𝑳𝑳𝑨𝑽𝑰𝑪𝑬𝑵𝑪𝑰𝑶 𝑴𝑬𝑻𝑨
Á𝑹𝑬𝑨 𝑫𝑬
𝑴𝑨𝑻𝑬𝑴Á𝑻𝑰𝑪𝑨
𝑮𝑹𝑨𝑫𝑶: 𝑶𝑪𝑻𝑨𝑽𝑶
𝑫𝒐𝒄𝒆𝒏𝒕𝒆: 𝑨𝒍𝒊𝒓𝒊𝒐 𝑺𝒂𝒏𝒂𝒃𝒓𝒊𝒂 𝑴𝒆𝒋í𝒂 𝑶𝒃𝒋𝒆𝒕𝒊𝒗𝒐: 𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑒𝑟 𝑡𝑟𝑖á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜𝑠 𝑢𝑠𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑜𝑟𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑬𝒔𝒕𝒖𝒅𝒊𝒂𝒏𝒕𝒆: 𝑭𝒆𝒄𝒉𝒂: 𝑴𝒂𝒕𝒆𝒓𝒊𝒂𝒍𝒆𝒔: 𝐺𝑢í𝑎 𝑑𝑒 𝑡𝑟𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜.
68
𝑻𝒂𝒍𝒍𝒆𝒓 𝒅𝒆 𝑨𝒄𝒕𝒊𝒗𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆𝒔
1. 𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑜𝑐𝑖𝑛𝑎𝑟 𝑢𝑛𝑎 𝑑𝑜𝑐𝑒𝑛𝑎 𝑑𝑒 𝑔𝑎𝑙𝑙𝑒𝑡𝑎𝑠 𝑛𝑒𝑐𝑒𝑠𝑖𝑡𝑎𝑚𝑜𝑠 1
2 𝑙𝑖𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑒𝑐ℎ𝑒, 2 𝑡𝑎𝑧𝑎𝑠 𝑑𝑒 ℎ𝑎𝑟𝑖𝑛𝑎,
1
4
𝑑𝑒 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎 𝑑𝑒 𝑚𝑎𝑛𝑡𝑒𝑞𝑢𝑖𝑙𝑙𝑎 𝑦 𝑢𝑛 ℎ𝑢𝑒𝑣𝑜. ¿ 𝐶ó𝑚𝑜 ℎ𝑎𝑔𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑠𝑎𝑏𝑒𝑟 𝑙𝑎 𝑐𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑔𝑟𝑒𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑎 6 𝑑𝑜𝑐𝑒𝑛𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑔𝑎𝑙𝑙𝑒𝑡𝑎𝑠?
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
2. 𝐼𝑛𝑣𝑒𝑠𝑡𝑖𝑔𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒 𝑢𝑛𝑎 𝑟𝑒𝑐𝑒𝑡𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑐𝑖𝑛𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑑𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 (𝑠𝑎𝑛𝑐𝑜𝑐ℎ𝑜)𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑒 𝑝𝑟𝑒𝑝𝑎𝑟𝑒 𝑒𝑛 𝑐𝑎𝑠𝑎.
𝑬𝒍𝒆𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐𝒔 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝑹𝒆𝒄𝒆𝒕𝒂
a) 𝑁𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑐𝑒𝑡𝑎
________________________________________________________________
b) ¿ 𝑃𝑜𝑟 𝑞𝑢é 𝑠𝑒 𝑝𝑟𝑒𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑒𝑠𝑡𝑎 𝑟𝑒𝑐𝑒𝑡𝑎 𝑒𝑛 𝑐𝑎𝑠𝑎?________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
c) 𝐿𝑜𝑠 𝑖𝑛𝑔𝑟𝑒𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑙𝑙𝑒𝑣𝑎 𝑦 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑡𝑎𝑠 𝑝𝑒𝑟𝑠𝑜𝑛𝑎𝑠______________________________
____________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________
d) 𝐸𝑙 𝑚𝑜𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑒𝑝𝑎𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑚𝑖𝑠𝑚𝑎____________________________________________
____________________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________________
𝑨𝑪𝑻𝑰𝑽𝑰𝑫𝑨𝑫 𝑵𝒐. 𝟓 𝑹𝑬𝑪𝑬𝑻𝑨𝑺 𝑫𝑬 𝑪𝑶𝑪𝑰𝑵𝑨
𝑰𝑵𝑺𝑻𝑰𝑻𝑼𝑪𝑰Ó𝑵 𝑬𝑫𝑼𝑪𝑨𝑻𝑰𝑽𝑨 𝑺𝑨𝑵𝑻𝑨 𝑰𝑵É𝑺 𝑽𝑰𝑳𝑳𝑨𝑽𝑰𝑪𝑬𝑵𝑪𝑰𝑶 𝑴𝑬𝑻𝑨
Á𝑹𝑬𝑨 𝑫𝑬
𝑴𝑨𝑻𝑬𝑴Á𝑻𝑰𝑪𝑨
𝑮𝑹𝑨𝑫𝑶: 𝑶𝑪𝑻𝑨𝑽𝑶
𝑫𝒐𝒄𝒆𝒏𝒕𝒆: 𝑨𝒍𝒊𝒓𝒊𝒐 𝑺𝒂𝒏𝒂𝒃𝒓𝒊𝒂 𝑴𝒆𝒋í𝒂 𝑶𝒃𝒋𝒆𝒕𝒊𝒗𝒐: 𝐸𝑛𝑡𝑒𝑛𝑑𝑒𝑟 𝑙𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑜𝑟𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑒𝑛 𝑢𝑛 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑣𝑖𝑑𝑎 𝑟𝑒𝑎𝑙 𝑢𝑠𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑢𝑛𝑎 𝑟𝑒𝑐𝑒𝑡𝑎
𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑐𝑖𝑛𝑎 𝑬𝒔𝒕𝒖𝒅𝒊𝒂𝒏𝒕𝒆: 𝑭𝒆𝒄𝒉𝒂: 𝑴𝒂𝒕𝒆𝒓𝒊𝒂𝒍𝒆𝒔: 𝐺𝑢í𝑎 𝑑𝑒 𝑡𝑟𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜.
69
3. 𝑳𝒂𝒔 𝒎𝒂𝒕𝒆𝒎á𝒕𝒊𝒄𝒂𝒔 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒓𝒆𝒄𝒆𝒕𝒂.
a) 𝐸𝑠𝑐𝑟𝑖𝑏𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑐𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑔𝑟𝑒𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑢𝑠𝑎𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑎 4 𝑝𝑒𝑟𝑠𝑜𝑛𝑎𝑠
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
b) 𝐸𝑠𝑐𝑟𝑖𝑏𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑐𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑔𝑟𝑒𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑒 𝑛𝑒𝑐𝑒𝑠𝑖𝑡𝑎𝑛 𝑝𝑎𝑟𝑎 20 𝑝𝑒𝑟𝑠𝑜𝑛𝑎𝑠
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
4. 𝐴ℎ𝑜𝑟𝑎 𝑛𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑑𝑢𝑒ñ𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑢𝑛 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑎𝑢𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒
a) 𝐷𝑒𝑏𝑒 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑒𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑒𝑥𝑎𝑐𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑒𝑝𝑎𝑟𝑎𝑟 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑐𝑒𝑡𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑙𝑎𝑠 4 𝑝𝑒𝑟𝑠𝑜𝑛𝑎𝑠 (𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑒𝑙𝑙𝑜
𝑐𝑜𝑛𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎 𝑙𝑜𝑠 𝑝𝑟𝑒𝑐𝑖𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑖𝑛𝑔𝑟𝑒𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 (𝑠𝑖 𝑎𝑙𝑔𝑢𝑛𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑖𝑛𝑔𝑟𝑒𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑛𝑜 𝑠𝑒 𝑢𝑠𝑎
𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑡𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑠𝑡𝑖𝑚𝑎 𝑠𝑢 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟)
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
b) ¿ 𝐶𝑢á𝑛𝑡𝑜 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑎𝑟í𝑎 𝑝𝑟𝑒𝑝𝑎𝑟𝑎𝑟 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑐𝑒𝑡𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑎 20 𝑝𝑒𝑟𝑠𝑜𝑛𝑎𝑠?
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
c) 𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒𝑏𝑒𝑟í𝑎 𝑝𝑎𝑔𝑎𝑟 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑢𝑛𝑜 𝑠𝑖 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑚𝑖𝑑𝑎 𝑞𝑢𝑒 ℎ𝑎𝑠 𝑝𝑟𝑒𝑝𝑎𝑟𝑎𝑑𝑜
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑢𝑎𝑡𝑟𝑜 𝑝𝑒𝑟𝑠𝑜𝑛𝑎𝑠 𝑠𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑚𝑒𝑛 𝑑𝑜𝑠 𝑝𝑒𝑟𝑠𝑜𝑛𝑎𝑠, 𝑝𝑒𝑟𝑜 𝑢𝑛𝑎 𝑑𝑒 𝑒𝑙𝑙𝑎𝑠 𝑐𝑜𝑚𝑒 3 𝑣𝑒𝑐𝑒𝑠 𝑚á𝑠
𝑞𝑢𝑒 𝑙𝑎 𝑜𝑡𝑟𝑎
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
d) 𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑐𝑒𝑡𝑎 𝑝𝑟𝑒𝑝𝑎𝑟𝑎𝑑𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑎 20 𝑝𝑒𝑟𝑠𝑜𝑛𝑎𝑠. 𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒𝑏𝑒𝑟á𝑛 𝑝𝑎𝑔𝑎𝑟 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑢𝑛𝑎 𝑑𝑒
𝑒𝑙𝑙𝑎𝑠. 𝑌 𝑠𝑖 𝑠ó𝑙𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎𝑐𝑢𝑑𝑒𝑛 10 𝑝𝑒𝑟𝑠𝑜𝑛𝑎𝑠, ¿ 𝑐𝑢á𝑛𝑡𝑜 𝑝𝑎𝑔𝑎𝑟í𝑎𝑛 𝑠𝑖 𝑛𝑜 𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟𝑒𝑠 𝑝𝑒𝑟𝑑𝑒𝑟 𝑑𝑖𝑛𝑒𝑟𝑜?
¿ 𝑌 𝑠𝑖 𝑎𝑐𝑢𝑑𝑒𝑛 15 𝑝𝑒𝑟𝑠𝑜𝑛𝑎𝑠?
70
𝑨𝑪𝑻𝑰𝑽𝑰𝑫𝑨𝑫 𝑵𝒐. 𝟔 𝑴𝑰𝑫𝑰𝑬𝑵𝑫𝑶 𝑳𝑨 𝑨𝑳𝑻𝑼𝑹𝑨
𝑫𝑬 𝑼𝑵 Á𝑹𝑩𝑶𝑳 𝑰𝑵𝑺𝑻𝑰𝑻𝑼𝑪𝑰Ó𝑵 𝑬𝑫𝑼𝑪𝑨𝑻𝑰𝑽𝑨 𝑺𝑨𝑵𝑻𝑨 𝑰𝑵É𝑺
𝑽𝑰𝑳𝑳𝑨𝑽𝑰𝑪𝑬𝑵𝑪𝑰𝑶 𝑴𝑬𝑻𝑨
Á𝑹𝑬𝑨 𝑫𝑬
𝑴𝑨𝑻𝑬𝑴Á𝑻𝑰𝑪𝑨
𝑮𝑹𝑨𝑫𝑶: 𝑶𝑪𝑻𝑨𝑽𝑶
𝑫𝒐𝒄𝒆𝒏𝒕𝒆: 𝑨𝒍𝒊𝒓𝒊𝒐 𝑺𝒂𝒏𝒂𝒃𝒓𝒊𝒂 𝑴𝒆𝒋í𝒂 𝑶𝒃𝒋𝒆𝒕𝒊𝒗𝒐: 𝑀𝑒𝑑𝑖𝑟 𝑙𝑎 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑒 𝑢𝑛 á𝑟𝑏𝑜𝑙 𝑢𝑠𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑢𝑛𝑎 𝑟𝑒𝑔𝑙𝑎 𝑬𝒔𝒕𝒖𝒅𝒊𝒂𝒏𝒕𝒆: 𝑭𝒆𝒄𝒉𝒂: 𝑴𝒂𝒕𝒆𝒓𝒊𝒂𝒍𝒆𝒔: 𝑈𝑛𝑎 𝑅𝑒𝑔𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑛 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎𝑠 Es fácil medir la altura de un árbol usando solo una regla.
𝑷𝒓𝒐𝒄𝒆𝒅𝒊𝒎𝒊𝒆𝒏𝒕𝒐: Medir la altura de un árbol, un edificio o cualquier otro objeto es
relativamente sencillo si se dispone de una regla. El procedimiento es el siguiente: 1. Colocarse a una distancia conocida del objeto cuya altura H se quiere medir, en este
caso el árbol. Llamamos D a esa distancia. 2. Extender el brazo mientras se sostiene una regla verticalmente a la altura de los ojos.
Llamamos d a la distancia entre la mano y el ojo. 3. Cerrar uno de los ojos y con el restante determinar a cuantos centímetros de la regla
corresponde la altura del árbol. A esa longitud medida en la regla la denominamos h.
71
𝑨𝑪𝑻𝑰𝑽𝑰𝑫𝑨𝑫 𝑵𝒐. 𝟕 𝑴𝑰𝑫𝑰𝑬𝑵𝑫𝑶 𝑳𝑨 𝑨𝑳𝑻𝑼𝑹𝑨 𝑫𝑬𝑳 𝑷𝑶𝑳𝑰𝑫𝑬𝑷𝑶𝑹𝑻𝑰𝑽𝑶
𝑰𝑵𝑺𝑻𝑰𝑻𝑼𝑪𝑰Ó𝑵 𝑬𝑫𝑼𝑪𝑨𝑻𝑰𝑽𝑨 𝑺𝑨𝑵𝑻𝑨 𝑰𝑵É𝑺 𝑽𝑰𝑳𝑳𝑨𝑽𝑰𝑪𝑬𝑵𝑪𝑰𝑶 𝑴𝑬𝑻𝑨
Á𝑹𝑬𝑨 𝑫𝑬
𝑴𝑨𝑻𝑬𝑴Á𝑻𝑰𝑪𝑨
𝑮𝑹𝑨𝑫𝑶: 𝑶𝑪𝑻𝑨𝑽𝑶
𝑫𝒐𝒄𝒆𝒏𝒕𝒆: 𝑨𝒍𝒊𝒓𝒊𝒐 𝑺𝒂𝒏𝒂𝒃𝒓𝒊𝒂 𝑴𝒆𝒋í𝒂 𝑶𝒃𝒋𝒆𝒕𝒊𝒗𝒐: 𝑀𝑒𝑑𝑖𝑟 𝑙𝑎 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑜𝑙𝑖𝑑𝑒𝑝𝑜𝑟𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑬𝒔𝒕𝒖𝒅𝒊𝒂𝒏𝒕𝒆: 𝑭𝒆𝒄𝒉𝒂: 𝑴𝒂𝒕𝒆𝒓𝒊𝒂𝒍𝒆𝒔:Una cinta metrica o un metro de construcción y una cuerda de aproximadamente
2 metros Se propone medir la altura del polideportivo que los estudiantes usan para recrearse en sus
horas de descanso y para desarrollar las clases de educación física, se les da a los estudiantes un
metro y una cuerda de aproximadamente 2 m. Se les pide que por grupos de 3 estudiantes
realicen la propuesta para medir el alto del polideportivo sugerido. Se les hace sugerencias de la
medida del centro a la base del techo.
72
𝑰𝑵𝑺𝑻𝑰𝑻𝑼𝑪𝑰Ó𝑵 𝑬𝑫𝑼𝑪𝑨𝑻𝑰𝑽𝑨 𝑺𝑨𝑵𝑻𝑨 𝑰𝑵É𝑺 𝑽𝑰𝑳𝑳𝑨𝑽𝑰𝑪𝑬𝑵𝑪𝑰𝑶 𝑴𝑬𝑻𝑨
𝑨𝑪𝑻𝑰𝑽𝑰𝑫𝑨𝑫 𝑵𝒐. 𝟏 𝑪𝑶𝑵𝑪𝑬𝑷𝑻𝑶 𝑰𝑵𝑻𝑼𝑰𝑻𝑰𝑽𝑶 𝑫𝑬 𝑪𝑶𝑵𝑮𝑹𝑼𝑬𝑵𝑪𝑰𝑨
Á𝑹𝑬𝑨 𝑫𝑬
𝑴𝑨𝑻𝑬𝑴Á𝑻𝑰𝑪𝑨
𝑮𝑹𝑨𝑫𝑶: 𝑶𝑪𝑻𝑨𝑽𝑶
𝑫𝒐𝒄𝒆𝒏𝒕𝒆: 𝑨𝒍𝒊𝒓𝒊𝒐 𝑺𝒂𝒏𝒂𝒃𝒓𝒊𝒂 𝑴𝒆𝒋í𝒂
𝑶𝒃𝒋𝒆𝒕𝒊𝒗𝒐: 𝑀𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎𝑟 𝑑𝑒 𝑚𝑎𝑛𝑒𝑟𝑎 𝑖𝑛𝑡𝑢𝑖𝑡𝑖𝑣𝑎 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑑𝑜𝑠 𝑓𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎𝑠 𝑠𝑜𝑛 𝑐𝑜𝑛𝑔𝑟𝑢𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠.
𝑵𝒐𝒎𝒃𝒓𝒆𝒔 𝒚 𝑨𝒑𝒆𝒍𝒍𝒊𝒅𝒐𝒔 𝒄𝒐𝒎𝒑𝒍𝒆𝒕𝒐𝒔:
𝑴𝒂𝒕𝒆𝒓𝒊𝒂𝒍𝒆𝒔: 𝐺𝑢í𝑎 𝑑𝑒 𝑡𝑟𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜 , 𝑡𝑖𝑗𝑒𝑟𝑎𝑠 𝑦 𝑝𝑒𝑔𝑎𝑛𝑡𝑒
𝑷𝒓𝒆𝒑𝒂𝒓𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒂𝒄𝒕𝒊𝒗𝒊𝒅𝒂𝒅: Recorte las figuras que crea que se pueden superponer sobre la otra y muestre de manera intuitiva
si las figuras son congruentes (una figura es congruente si tiene la misma forma y tamaño), para
ello recibirá dos hojas con las figuras una para recortar y otra para pegar.
73
𝑰𝑵𝑺𝑻𝑰𝑻𝑼𝑪𝑰Ó𝑵 𝑬𝑫𝑼𝑪𝑨𝑻𝑰𝑽𝑨 𝑺𝑨𝑵𝑻𝑨 𝑰𝑵É𝑺 𝑽𝑰𝑳𝑳𝑨𝑽𝑰𝑪𝑬𝑵𝑪𝑰𝑶 𝑴𝑬𝑻𝑨
𝑨𝑪𝑻𝑰𝑽𝑰𝑫𝑨𝑫 𝑵𝒐. 𝟐 𝑪𝑶𝑵𝑮𝑹𝑼𝑬𝑵𝑪𝑰𝑨 𝑫𝑬 𝑻𝑹𝑰Á𝑵𝑮𝑼𝑳𝑶𝑺
𝑪𝑶𝑵 𝑮𝑬𝑶𝑮𝑬𝑩𝑹𝑨
Á𝑹𝑬𝑨 𝑫𝑬 𝑴𝑨𝑻𝑬𝑴Á𝑻𝑰𝑪𝑨
𝑮𝑹𝑨𝑫𝑶: 𝑶𝑪𝑻𝑨𝑽𝑶
𝑫𝒐𝒄𝒆𝒏𝒕𝒆: 𝑨𝒍𝒊𝒓𝒊𝒐 𝑺𝒂𝒏𝒂𝒃𝒓𝒊𝒂 𝑴𝒆𝒋í𝒂
𝑶𝒃𝒋𝒆𝒕𝒊𝒗𝒐: 𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡𝑟𝑢𝑖𝑟 𝑡𝑟𝑖á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑔𝑟𝑢𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛 𝑟𝑒𝑔𝑙𝑎 𝑦 𝑐𝑜𝑚𝑝á𝑠 𝑢𝑠𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑔𝑒𝑜𝑔𝑒𝑏𝑟𝑎
𝑵𝒐𝒎𝒃𝒓𝒆𝒔 𝒚 𝑨𝒑𝒆𝒍𝒍𝒊𝒅𝒐𝒔 𝒄𝒐𝒎𝒑𝒍𝒆𝒕𝒐𝒔:
𝑴𝒂𝒕𝒆𝒓𝒊𝒂𝒍𝒆𝒔: 𝐺𝑢í𝑎 𝑑𝑒 𝑡𝑟𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜, 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑢𝑡𝑎𝑑𝑜𝑟 𝑐𝑜𝑛 𝑒𝑙 𝑠𝑜𝑓𝑡𝑤𝑎𝑟𝑒 𝑔𝑒𝑜𝑔𝑒𝑏𝑟𝑎 𝑑𝑒 𝑢𝑠𝑜 𝑙𝑖𝑏𝑟𝑒
1. 𝐸𝑛𝑐𝑖𝑒𝑛𝑑𝑎 𝑒𝑙 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑢𝑡𝑎𝑑𝑜𝑟 𝑦 𝑎𝑏𝑟𝑎 𝑒𝑙 𝑝𝑟𝑜𝑔𝑟𝑎𝑚𝑎 𝐺𝑒𝑜𝑔𝑒𝑏𝑟𝑎 (𝐴𝑝𝑎𝑟𝑒𝑐𝑒𝑟á 𝑙𝑎 𝑠𝑖𝑔𝑢𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑝𝑎𝑛𝑡𝑎𝑙𝑙𝑎)
74
2. Construya de ser posible un triángulo con los segmentos de medida 10 cm, 7cm y 5 cm, para ello
siga las instrucciones siguientes.
a) Trace el segmento cuya medida sea 10 cm
b) Trace una circunferencia de radio 7 cm con centro en uno de los extremos
75
c) Trace otra circunferencia con centro en el otro extremo de radio 5 cm
d) Marque el punto de intersección de las dos circunferencias y una los extremos del segmento con el punto de intersección para formar un triángulo.
76
3. Construya de ser posible un triángulo con los segmentos de medida 7 cm, 10 cm y 5 cm, para ello siga las instrucciones siguientes.
a) Trace el segmento cuya medida sea 7 cm b) Trace una circunferencia de radio 10 cm en uno de los extremos c) Trace otra circunferencia con centro en el otro extremo de radio 5 cm d) Marque el punto de intersección de las dos circunferencias y una los extremos
del segmento con el punto de intersección para formar un triángulo.
4. Construya de ser posible un triángulo con los segmentos de medida 5 cm, 10 cm y 7 cm, para ello siga las instrucciones siguientes.
a) Trace el segmento cuya medida sea 5 cm b) Trace una circunferencia de radio 10 cm en uno de los extremos c) Trace otra circunferencia con centro en el otro extremo de radio 7 cm d) Marque el punto de intersección de las dos circunferencias y una los extremos
del segmento con el punto de intersección para formar un triángulo.
5. Resuelva las siguientes preguntas
a) ¿Los tres triángulos construidos son iguales? Explique su respuesta _________________________________________________________________
b) Si considera que los anteriores triángulos tienen diferencias por favor escríbalas. _________________________________________________________________
6. Construya 3 triángulos iguales en diferente posición usando geogebra.
77
𝑰𝑵𝑺𝑻𝑰𝑻𝑼𝑪𝑰Ó𝑵 𝑬𝑫𝑼𝑪𝑨𝑻𝑰𝑽𝑨 𝑺𝑨𝑵𝑻𝑨 𝑰𝑵É𝑺 𝑽𝑰𝑳𝑳𝑨𝑽𝑰𝑪𝑬𝑵𝑪𝑰𝑶 𝑴𝑬𝑻𝑨
𝑨𝑪𝑻𝑰𝑽𝑰𝑫𝑨𝑫 𝑵𝒐. 𝟑 𝑪𝑶𝑴𝑷𝑹𝑶𝑩𝑨𝑵𝑫𝑶 𝑳𝑨 𝑪𝑶𝑵𝑮𝑹𝑼𝑬𝑵𝑪𝑰𝑨 𝑪𝑶𝑵
𝑳𝑨 𝑨𝒀𝑼𝑫𝑨 𝑫𝑬 𝑳𝑨 𝑹𝑬𝑮𝑳𝑨 𝒀 𝑬𝑳 𝑻𝑹𝑨𝑺𝑷𝑶𝑹𝑻𝑨𝑫𝑶𝑹
Á𝑹𝑬𝑨 𝑫𝑬 𝑴𝑨𝑻𝑬𝑴Á𝑻𝑰𝑪𝑨
𝑮𝑹𝑨𝑫𝑶: 𝑶𝑪𝑻𝑨𝑽𝑶
𝑫𝒐𝒄𝒆𝒏𝒕𝒆: 𝑨𝒍𝒊𝒓𝒊𝒐 𝑺𝒂𝒏𝒂𝒃𝒓𝒊𝒂 𝑴𝒆𝒋í𝒂
𝑶𝒃𝒋𝒆𝒕𝒊𝒗𝒐: 𝑅𝑒𝑐𝑜𝑛𝑜𝑐𝑒𝑟 𝑒𝑙 𝑐𝑜𝑛𝑐𝑒𝑝𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑔𝑟𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑣é𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑢𝑠𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎𝑠 𝑑𝑒 á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜𝑠 𝑦 𝑙𝑎𝑑𝑜𝑠.
𝑵𝒐𝒎𝒃𝒓𝒆𝒔 𝒚 𝑨𝒑𝒆𝒍𝒍𝒊𝒅𝒐𝒔 𝒄𝒐𝒎𝒑𝒍𝒆𝒕𝒐𝒔:
𝑴𝒂𝒕𝒆𝒓𝒊𝒂𝒍𝒆𝒔: 𝐺𝑢í𝑎 de 𝑡𝑟𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜, 𝑟𝑒𝑔𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑛 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎𝑠, 𝑡𝑟𝑎𝑠𝑝𝑜𝑟𝑡𝑎𝑑𝑜𝑟
𝑫𝒆𝒔𝒂𝒓𝒓𝒐𝒍𝒍𝒐 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒂𝒄𝒕𝒊𝒗𝒊𝒅𝒂𝒅.
1. De las siguientes figuras decida cuales de ellas son iguales en forma y tamaño usando la regla para medir las magnitudes de sus lados y el trasportador para medir sus ángulos correspondientes.
a) Mida los lados y los ángulos de los triángulos
𝐴𝐵 = ∠ 𝐴 =
𝐵𝐶 = ∠ 𝐵 =
𝐴𝐶 = ∠ 𝐶 =
𝐷𝐸 = ∠ 𝐷 =
𝐸𝐹 = ∠ 𝐸 =
𝐷𝐹 = ∠ 𝐹 =
78
b) Mide los lados y los ángulos de los cuadriláteros
𝐴𝐵 = ∠ 𝐴 =
𝐵𝐶 = ∠ 𝐵 =
𝐶𝐷 = ∠ 𝐶 =
𝐴𝐷 = ∠ 𝐷 =
𝐸𝐹 = ∠ 𝐸 =
𝐹𝐺 = ∠ 𝐹 =
𝐺𝐻 = ∠ 𝐺 =
𝐸𝐻 = ∠ 𝐻 =
c) Mide los lados y los ángulos de los cuadriláteros.
𝐴𝐵 = ∠ 𝐴 =
𝐵𝐶 = ∠ 𝐵 =
𝐶𝐷 = ∠ 𝐶 =
𝐴𝐷 = ∠ 𝐷 =
𝐸𝐹 = ∠ 𝐸 =
𝐹𝐺 = ∠ 𝐹 =
𝐺𝐻 = ∠ 𝐺 =
𝐸𝐻 = ∠ 𝐻 =
d) Mide los lados y los ángulos de los cuadriláteros.
𝐴𝐵 = ∠ 𝐴 =
𝐵𝐶 = ∠ 𝐵 =
𝐶𝐷 = ∠ 𝐶 =
𝐴𝐷 = ∠ 𝐷 =
𝐸𝐹 = ∠ 𝐸 =
𝐹𝐺 = ∠ 𝐹 =
𝐺𝐻 = ∠ 𝐺 =
𝐸𝐻 = ∠ 𝐻 =
79
e) Mide los lados y los ángulos de los cuadriláteros
𝐴𝐵 = ∠ 𝐴 =
𝐵𝐶 = ∠ 𝐵 =
𝐶𝐷 = ∠ 𝐶 =
𝐷𝐸 = ∠ 𝐷 =
𝐴𝐸 = ∠ 𝐸 =
𝐹𝐺 = ∠ 𝐹 =
𝐺𝐻 = ∠ 𝐺 =
𝐻𝐼 = ∠ 𝐻 =
𝐼𝐽 = ∠ 𝐼 =
𝐹𝐽 = ∠ 𝐽 =
f) Mide los lados y los ángulos de los cuadriláteros
𝐴𝐵 = ∠ 𝐴 =
𝐵𝐶 = ∠ 𝐵 =
𝐶𝐷 = ∠ 𝐶 =
𝐴𝐷 = ∠ 𝐷 =
𝐸𝐹 = ∠ 𝐸 =
𝐹𝐺 = ∠ 𝐹 =
𝐺𝐻 = ∠ 𝐺 =
𝐸𝐻 = ∠ 𝐻 =
80
g) Mide los lados y los ángulos de los triángulos
𝐴𝐵 =
∠ 𝐴 =
𝐵𝐶 =
∠ 𝐵 =
𝐴𝐶 =
∠ 𝐶 =
𝐷𝐸 =
∠ 𝐷 =
𝐸𝐹 =
∠ 𝐸 =
𝐷𝐹 = ∠ 𝐹 =
h) Mida los lados y los ángulos de los triángulos.
𝐴𝐵 =
∠ 𝐴 =
𝐵𝐶 =
∠ 𝐵 =
𝐴𝐶 =
∠ 𝐶 =
𝐷𝐸 =
∠ 𝐷 =
𝐸𝐹 =
∠ 𝐸 =
𝐷𝐹 = ∠ 𝐹 =
81
𝑫𝒆𝒔𝒂𝒓𝒓𝒐𝒍𝒍𝒐 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒂𝒄𝒕𝒊𝒗𝒊𝒅𝒂𝒅:
1. De las siguientes figuras decida cuales de ellas son iguales en forma y tamaño usando geogebra para medir las magnitudes de sus lados y sus ángulos correspondientes.
a) Mida los lados y los ángulos de los triángulos
𝐴𝐵 = ∠ 𝐴 =
𝐵𝐶 = ∠ 𝐵 =
𝐴𝐶 = ∠ 𝐶 =
𝐷𝐸 = ∠ 𝐷 =
𝐸𝐹 = ∠ 𝐸 =
𝐷𝐹 = ∠ 𝐹 =
𝑰𝑵𝑺𝑻𝑰𝑻𝑼𝑪𝑰Ó𝑵 𝑬𝑫𝑼𝑪𝑨𝑻𝑰𝑽𝑨 𝑺𝑨𝑵𝑻𝑨 𝑰𝑵É𝑺 𝑽𝑰𝑳𝑳𝑨𝑽𝑰𝑪𝑬𝑵𝑪𝑰𝑶 𝑴𝑬𝑻𝑨
𝑨𝑪𝑻𝑰𝑽𝑰𝑫𝑨𝑫 𝑵𝒐. 𝟒 𝑪𝑶𝑴𝑷𝑹𝑶𝑩𝑨𝑵𝑫𝑶 𝑳𝑨 𝑪𝑶𝑵𝑮𝑹𝑼𝑬𝑵𝑪𝑰𝑨 𝑪𝑶𝑵
𝑳𝑨 𝑨𝒀𝑼𝑫𝑨 𝑫𝑬 𝑮𝑬𝑶𝑮𝑬𝑩𝑹𝑨
Á𝑹𝑬𝑨 𝑫𝑬
𝑴𝑨𝑻𝑬𝑴Á𝑻𝑰𝑪𝑨
𝑮𝑹𝑨𝑫𝑶: 𝑶𝑪𝑻𝑨𝑽𝑶
𝑫𝒐𝒄𝒆𝒏𝒕𝒆: 𝑨𝒍𝒊𝒓𝒊𝒐 𝑺𝒂𝒏𝒂𝒃𝒓𝒊𝒂 𝑴𝒆𝒋í𝒂
𝑶𝒃𝒋𝒆𝒕𝒊𝒗𝒐: 𝑅𝑒𝑐𝑜𝑛𝑜𝑐𝑒𝑟 𝑒𝑙 𝑐𝑜𝑛𝑐𝑒𝑝𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑔𝑟𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑣é𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑢𝑠𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎𝑠 𝑑𝑒 á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜𝑠 𝑦 𝑙𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑢𝑠𝑎𝑛𝑑𝑜
𝑒𝑙 𝑠𝑜𝑓𝑡𝑤𝑎𝑟𝑒 𝑙𝑖𝑏𝑟𝑒 𝑔𝑒𝑜𝑔𝑒𝑏𝑟𝑎.
𝑵𝒐𝒎𝒃𝒓𝒆𝒔 𝒚 𝑨𝒑𝒆𝒍𝒍𝒊𝒅𝒐𝒔 𝒄𝒐𝒎𝒑𝒍𝒆𝒕𝒐𝒔:
𝑴𝒂𝒕𝒆𝒓𝒊𝒂𝒍𝒆𝒔: 𝐺𝑢í𝑎 de 𝑡𝑟𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜 𝑦 𝑠𝑜𝑓𝑡𝑤𝑎𝑟𝑒 𝑔𝑒𝑜𝑔𝑒𝑏𝑟𝑎
82
b) Mide los lados y los ángulos de los cuadriláteros
𝐴𝐵 = ∠ 𝐴 =
𝐵𝐶 = ∠ 𝐵 =
𝐶𝐷 = ∠ 𝐶 =
𝐴𝐷 = ∠ 𝐷 =
𝐸𝐹 = ∠ 𝐸 =
𝐹𝐺 = ∠ 𝐹 =
𝐺𝐻 = ∠ 𝐺 =
𝐸𝐻 = ∠ 𝐻 =
c) Mide los lados y los ángulos de los cuadriláteros.
𝐴𝐵 = ∠ 𝐴 =
𝐵𝐶 = ∠ 𝐵 =
𝐶𝐷 = ∠ 𝐶 =
𝐴𝐷 = ∠ 𝐷 =
𝐸𝐹 = ∠ 𝐸 =
𝐹𝐺 = ∠ 𝐹 =
𝐺𝐻 = ∠ 𝐺 =
𝐸𝐻 = ∠ 𝐻 =
d) Mide los lados y los ángulos de los cuadriláteros.
𝐴𝐵 = ∠ 𝐴 =
𝐵𝐶 = ∠ 𝐵 =
𝐶𝐷 = ∠ 𝐶 =
𝐴𝐷 = ∠ 𝐷 =
𝐸𝐹 = ∠ 𝐸 =
𝐹𝐺 = ∠ 𝐹 =
𝐺𝐻 = ∠ 𝐺 =
𝐸𝐻 = ∠ 𝐻 =
83
e) Mide los lados y los ángulos de los cuadriláteros
𝐴𝐵 = ∠ 𝐴 =
𝐵𝐶 = ∠ 𝐵 =
𝐶𝐷 = ∠ 𝐶 =
𝐷𝐸 = ∠ 𝐷 =
𝐴𝐸 = ∠ 𝐸 =
𝐹𝐺 = ∠ 𝐹 =
𝐺𝐻 = ∠ 𝐺 =
𝐻𝐼 = ∠ 𝐻 =
𝐼𝐽 = ∠ 𝐼 =
𝐹𝐽 = ∠ 𝐽 =
f) Mida los lados y los ángulos de los cuadriláteros
𝐴𝐵 = ∠ 𝐴 =
𝐵𝐶 = ∠ 𝐵 =
𝐶𝐷 = ∠ 𝐶 =
𝐴𝐷 = ∠ 𝐷 =
𝐸𝐹 = ∠ 𝐸 =
𝐹𝐺 = ∠ 𝐹 =
𝐺𝐻 = ∠ 𝐺 =
𝐸𝐻 = ∠ 𝐻 =
84
g) Mida los lados y los ángulos de los triángulos
𝐴𝐵 =
∠ 𝐴 =
𝐵𝐶 =
∠ 𝐵 =
𝐴𝐶 =
∠ 𝐶 =
𝐷𝐸 =
∠ 𝐷 =
𝐸𝐹 =
∠ 𝐸 =
𝐷𝐹 = ∠ 𝐹 =
h) Mida los lados y los ángulos de los triángulos.
𝐴𝐵 =
∠ 𝐴 =
𝐵𝐶 =
∠ 𝐵 =
𝐴𝐶 =
∠ 𝐶 =
𝐷𝐸 =
∠ 𝐷 =
𝐸𝐹 =
∠ 𝐸 =
𝐷𝐹 = ∠ 𝐹 =
85
𝑫𝒆𝒔𝒂𝒓𝒓𝒐𝒍𝒍𝒐 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒂𝒄𝒕𝒊𝒗𝒊𝒅𝒂𝒅: 1. Observe las figuras a continuación y escriba tantas congruencias como puedan determinarse
entre esas figuras.
2. Observe las figuras a continuación y escriba tantas congruencias como puedan determinarse entre esas figuras.
𝑰𝑵𝑺𝑻𝑰𝑻𝑼𝑪𝑰Ó𝑵 𝑬𝑫𝑼𝑪𝑨𝑻𝑰𝑽𝑨 𝑺𝑨𝑵𝑻𝑨 𝑰𝑵É𝑺 𝑽𝑰𝑳𝑳𝑨𝑽𝑰𝑪𝑬𝑵𝑪𝑰𝑶 𝑴𝑬𝑻𝑨
𝑨𝑪𝑻𝑰𝑽𝑰𝑫𝑨𝑫 𝑵𝒐. 𝟓 𝑪𝑶𝑵𝑮𝑹𝑼𝑬𝑵𝑪𝑰𝑨
Á𝑹𝑬𝑨 𝑫𝑬 𝑴𝑨𝑻𝑬𝑴Á𝑻𝑰𝑪𝑨
𝑮𝑹𝑨𝑫𝑶: 𝑶𝑪𝑻𝑨𝑽𝑶
𝑫𝒐𝒄𝒆𝒏𝒕𝒆: 𝑨𝒍𝒊𝒓𝒊𝒐 𝑺𝒂𝒏𝒂𝒃𝒓𝒊𝒂 𝑴𝒆𝒋í𝒂
𝑶𝒃𝒋𝒆𝒕𝒊𝒗𝒐: 𝐴𝑓𝑖𝑎𝑛𝑧𝑎𝑟 𝑒𝑙 𝑐𝑜𝑛𝑐𝑒𝑝𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑔𝑟𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑓𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎𝑠 𝑔𝑒𝑜𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎𝑠
𝑵𝒐𝒎𝒃𝒓𝒆𝒔 𝒚 𝑨𝒑𝒆𝒍𝒍𝒊𝒅𝒐𝒔 𝒄𝒐𝒎𝒑𝒍𝒆𝒕𝒐𝒔:
𝑴𝒂𝒕𝒆𝒓𝒊𝒂𝒍𝒆𝒔: 𝐺𝑢í𝑎 𝑑𝑒 𝑡𝑟𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜, 𝑙á𝑝𝑖𝑧, 𝑏𝑜𝑟𝑟𝑎𝑑𝑜𝑟, 𝑡𝑎𝑗𝑎𝑙á𝑝𝑖𝑧, 𝑟𝑒𝑔𝑙𝑎 𝑦 𝑡𝑟𝑎𝑠𝑝𝑜𝑟𝑡𝑎𝑑𝑜𝑟
𝑷𝒓𝒆𝒑𝒂𝒓𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒂𝒄𝒕𝒊𝒗𝒊𝒅𝒂𝒅: 𝐿𝑒𝑎 𝑐𝑢𝑖𝑑𝑎𝑑𝑜𝑠𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑖𝑛𝑠𝑡𝑟𝑢𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑦 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑒𝑙𝑣𝑎 𝑙𝑜𝑠 𝑒𝑗𝑒𝑟𝑐𝑖𝑐𝑖𝑜𝑠 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑡𝑒𝑎𝑑𝑜𝑠
86
3. Observe las figuras a continuación y escriba tantas congruencias como puedan determinarse entre esas figuras, deberá encontrar seis congruencias.
4. 𝑅𝑒𝑠𝑢𝑒𝑙𝑣𝑎 𝑙𝑎𝑠 𝑠𝑖𝑔𝑢𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑝𝑟𝑒𝑔𝑢𝑛𝑡𝑎𝑠 a) ¿ 𝐸𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝑓𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑔𝑟𝑢𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑖𝑔𝑜 𝑚𝑖𝑠𝑚𝑎? 𝐸𝑥𝑝𝑙𝑖𝑞𝑢𝑒______________________
__________________________________________________________________________________________________________________________________
b) 𝑆𝑖 𝑑𝑜𝑠 𝑓𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎𝑠 𝑠𝑜𝑛 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑢𝑛𝑎 𝑑𝑒 𝑒𝑙𝑙𝑎𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑔𝑟𝑢𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛 𝑢𝑛𝑎 𝑡𝑒𝑟𝑐𝑒𝑟𝑎. ¿ 𝑆𝑒𝑟á𝑛 𝑐𝑜𝑛𝑔𝑟𝑢𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑠𝑖 ? 𝐸𝑥𝑝𝑙𝑖𝑞𝑢𝑒. ___________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________
c) ¿ 𝑆𝑜𝑛 𝑐𝑜𝑛𝑔𝑟𝑢𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑙𝑜𝑠 𝑙𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑢𝑛 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜? 𝐸𝑥𝑝𝑙𝑖𝑞𝑢𝑒_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________
87
d) ¿ 𝑆𝑜𝑛 𝑐𝑜𝑛𝑔𝑟𝑢𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑙𝑜𝑠 𝑙𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑢𝑛 𝑟𝑒𝑐𝑡á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜? 𝐸𝑥𝑝𝑙𝑖𝑞𝑢𝑒______________________________________________________________________________________________________________________________________________________
e) ¿ 𝑆𝑜𝑛 𝑐𝑜𝑛𝑔𝑟𝑢𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑑𝑜𝑠 𝑐𝑎𝑟𝑎𝑠 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑢𝑛 𝑐𝑢𝑏𝑜? 𝐸𝑥𝑝𝑙𝑖𝑞𝑢𝑒___________________________________________________________________________________________________________________________________________________
f) ¿ 𝑆𝑜𝑛 𝑐𝑜𝑛𝑔𝑟𝑢𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑑𝑜𝑠 𝑐𝑎𝑟𝑎𝑠 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑢𝑛 𝑐𝑢𝑏𝑜? 𝐸𝑥𝑝𝑙𝑖𝑞𝑢𝑒_______________
__________________________________________________________________________________________________________________________________
g) ¿ 𝑆𝑜𝑛 𝑐𝑜𝑛𝑔𝑟𝑢𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑑𝑜𝑠 𝑐𝑎𝑟𝑎𝑠 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑢𝑛 𝑏𝑙𝑜𝑞𝑢𝑒 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟, 𝑡𝑎𝑙 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑢𝑛 𝑙𝑎𝑑𝑟𝑖𝑙𝑙𝑜?
𝐸𝑥𝑝𝑙𝑖𝑞𝑢𝑒_________________________________________________________
_________________________________________________________________
h) 𝑆𝑜𝑛 𝑐𝑜𝑛𝑔𝑟𝑢𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑑𝑜𝑠 𝑐𝑎𝑟𝑎𝑠 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑢𝑛 𝑙𝑎𝑑𝑟𝑖𝑙𝑙𝑜? 𝐸𝑥𝑝𝑙𝑖𝑞𝑢𝑒______________________________________________________________________________ _________________________________________________________________
5. 𝑆𝑖 Δ𝐴𝐵𝐶 ≅ Δ𝐷𝐸𝐹, 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑡𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑠𝑖𝑔𝑢𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠:
𝐿𝑎 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑠𝑝𝑜𝑛𝑑𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 _____________ ↔ _________________ 𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑔𝑟𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎.
∠ 𝐴 = __________
__________ = ∠ 𝐷
∠ 𝐶 = __________
__________ = 𝐸𝐹
𝐵𝐶 = __________
__________ = 𝐷𝐹
88
6. Complete las siguientes igualdades:
∠ 𝐴 = __________
__________ = ∠ 𝐷
∠ 𝐶 = __________
__________ = 𝐸𝐹
𝐵𝐶 = __________
__________ = 𝐷𝐹
7. Complete las siguientes igualdades:
∠ 𝐴 = __________
__________ = ∠ 𝐷
∠ 𝐶 = __________
__________ = 𝐸𝐹
𝐵𝐶 = __________
__________ = 𝐷𝐹
8. Para cada una de las congruencias indicadas a continuación hacer una lista de los seis pares de
partes correspondientes congruentes.
a) Δ𝑅𝐹𝑄 ≅ Δ𝐴𝐵𝑋 b) Δ𝐹𝐻𝑊 ≅ Δ𝑀𝑅𝐾 c) Δ𝐴𝑍𝑊 ≅ Δ𝐵𝑊𝑍
Δ𝑅𝐹𝑄 ≅ Δ𝐴𝐵𝑋
Δ𝐹𝐻𝑊 ≅ Δ𝑀𝑅𝐾
Δ𝐴𝑍𝑊 ≅ Δ𝐵𝑊𝑍
89
7. Bibliografía
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