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PROPULSIÓN HIDRODINÁMICA

(Lanzamiento de botella)

Práctica de Ingeniería Fluidodinámica

Joaquín Fernández Francos

[email protected]

Propulsión hidrodinámica (Lanzamiento de botella) Conceptos básicos de la Ingeniería Fluidodinámica Máster en Recursos Renovables e Ingeniería Energética

Joaquín Fernández Francos. Tf: 924289600 ext 6776. Fax: 924289601. E-mail: [email protected] Fernando Zayas Hinojosa. Tf: 924289600 ext 9610. Fax: 924289601. E-mail: [email protected] Dpto. IMEM (Ingeniería Mecánica, Energética y de los Materiales) . Universidad de Extremadura

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INDICE 1.- INTRODUCCIÓN 2.- CONTENIDO DE LA PRÁCTICA Definición Requisitos y disponibilidades Informe 3.- DATOS Botella Aerodinámica de la botella Rampa Presión del aire 4.- IDEAS SOBRE TAPONES 5.- CÁLCULOS Consideraciones Arrastre aerodinámico Salida del agua Salida del aire Vuelo Algunos datos orientativos



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1.- INTRODUCCIÓN La propulsión a chorro está basada en la conservación de la cantidad de movimiento del conjunto proyectil-chorro de propulsión. Si desde un proyectil sale hacia atrás un chorro de fluido con una cierta velocidad, el proyectil adquiere la misma cantidad de movimiento en sentido contrario. Cuanto mayor sea el caudal másico y la velocidad del chorro, y me-nor la masa del proyectil, mayor será la velocidad que alcanza. En los cohetes, el chorro de fluido se consigue por medio de una combustión, pero para obtener una propulsión elemental no es necesaria la combustión. Se puede utili-zar, por ejemplo, aire comprimido. Un caso conocido: si se suelta un globo hinchado, el aire impulsado hacia atrás por la presión interior empuja el globo hacia delante. Se va a utilizar una botella de plástico en posición inver-tida, parte llena con agua y el resto con aire a presión. Al soltar el tapón, el aire a presión empuja al agua, hacién-dola salir con una velocidad elevada. Como la densidad del agua es mucho mayor que la del aire, la cantidad de movimiento que se consigççue es alta. Al acabar de salir el agua, el escape del aire proporciona un incremento de la cantidad de movimiento. Cuando ha terminado la fase de propulsión, la botella, vacía y con muy poco peso, tiene una velocidad elevada que permite lanzarla a gran distancia. 2.- CONTENIDO DE LA PRÁCTICA Definición La práctica consiste en realizar los cálculos necesarios, preparar una botella y lanzarla de manera que alcance (ella sola) un blanco situado a una distancia horizontal de 45 m. Se primará tanto la exactitud en la distancia alcanzada como en los cálculos. La máxima pre-sión de aire que puede marcar el manómetro es de 3 kg/cm2. Los datos a introducir son los resultados obtenidos en los cálculos (se comprobará por medio del informe entrega-do). Requisitos y disponibilidades

- Grupos preferibles de 2 alumnos.

- Cada grupo presentará un informe de los cálculos y realizará un lanzamiento con una botella preparada por los componentes del grupo.

- Para realizar los cálculos se podrá utilizar cualquier sistema y programa informático que los participantes puedan conseguir.

Informe

- En la primera página del informe deberán constar los nombres de los miembros del equipo y los resultados de los cálculos: volumen de agua, presión inicial del aire y ángulo de lanzamiento.



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- Se deberán incluir todos los datos: peso de la botella vacía, etc., y los cálculos de forma detallada (manera de realizarlos, hipótesis, simplificaciones...). No hace falta copiar la deducción de las fórmulas que se dan en estos apuntes y sí hace falta justi-ficar las simplificaciones.

3.- DATOS Botella

- La botella tiene que ser de plástico. Para utilizar el tapón que se proporciona, debe tener una boca con diámetro interior de alrededor de 21 mm y un reborde o collarín a unos 20 mm del borde de la boca. Son válidas las utilizadas para refrescos pero no las de agua mineral, ya que la presión máxima que soportan es insuficiente.

- Como mínimo, la botella deberá estar pro-vista de un morro (nariz) de corcho o es-puma en la parte delantera con el fin de evitar desgracias personales en caso de mala puntería (alguien habrá cerca de la zona de impacto para medir la distancia).

Aerodinámica de la botella Para favorecer la estabilidad y la aerodinámica durante el vuelo son útiles los siguientes medios:

- Morro redondeado.

- Centro de gravedad adelantado. Se puede lastrar ligeramente la botella en la zona del morro, pero siempre primando la seguridad.

- Aletas estabilizadoras rectas en la parte posterior. Hay que tener cuidado de que no interfieran con el tapón ni con la rampa.

- Aletas estabilizadoras curvas que impriman velocidad de giro a la botella. La estabili-dad se consigue en este caso por efecto giroscópico. También se consigue una des-viación de la trayectoria por efecto de la aceleración de Coriolis, pero es menos im-portante.



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Rampa La rampa puede ser una mesa que se puede colocar con cualquier ángulo de inclinación entre 0º y 90º. Una plomada permite ajustar este ángulo con una precisión de 1º. Sobre la mesa se dispone una guía en forma de U con las dimensiones abajo indicadas. La altu-ra aproximada del punto de salida de la rampa es de 1.5 m y la longitud de la guía es de alrededor de 1.4 m. Se recomienda que la mesa tenga la longitud suficiente para que la propulsión termine antes de salir de ella ya que, en caso contrario, parte del vuelo se realizaría con un peso superior, afectando seriamente a la trayectoria (negativamente, claro). Presión del aire Se dispondrá de un sistema para introducir el aire a presión a través del tapón, con un manómetro para medir la presión, con una escala entre 0 y 6 kg/cm2. Si un equipo construye el tapón, deberá utilizar su propio sistema de llenado y medida de la presión. No se recomienda utilizar más de 3 kg/cm2 debido a los problemas de estan-queidad y de apertura. La organización no se responsabiliza de lo que pueda pasar a par-tir de 7 kg/cm2. Volumen de agua Cada equipo deberá presentar la botella con la cantidad de agua que vaya a utilizar ya medida. Se aconseja llevar un repuesto para el caso de que haga falta repetir el lanza-miento.



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4.- IDEAS SOBRE TAPONES La parte más complicada de la realización práctica es el tapón, que ha de mantener un cierre eficaz con las presiones utilizadas y, a la vez, una apertura instan-tánea sin trabas. A través del tapón se puede realizar el llenado del aire a presión, lo que representa una dificultad añadida. Para simplificar el tapón y el sis-tema de apertura, se puede separar el sistema de llenado de aire, siendo una posibilidad colocar una válvula de bicicleta en la parte anterior de la botella. Conviene proteger la válvula, sin olvidar el morro acolchado. Tipos de cierres

- Se dispondrá de un tapón con todas estas características pero los que lo deseen pueden construir uno por su cuenta. (La única ventaja de construirse uno es poder comprobar la validez de los cálculos, de forma experimental, antes del día D).

- Con una jeringuilla se puede construir un sistema bastante eficaz.

- Con un taco de madera que tenga un taladro del diámetro de la jeringuilla se puede quitar el perno de disparo sin sujetar directamente la botella. Para los cálculos hay



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que tener en cuenta que el diámetro de salida ya no es el de la botella sino el de la jeringuilla.

- Otro sistema consiste en un tapón de goma o corcho con una horquilla de sujeción en el collarín.

Advertencia: con estos dos tapones, una presión muy alta puede bloquear el sistema de disparo. 5.- CÁLCULOS Consideraciones En este apartado no se muestran las soluciones, sólo el planteamiento de las ecuaciones. Después de unas cuantas hipótesis bastante aceptables, se llega a tres bloques de siste-mas de ecuaciones diferenciales cuya solución no es única. A pesar de ello, el lanzamiento puede salir mal por muchos otros detalles: manómetro mal calibrado, aletas desviadas, que no salga toda el agua por utilizar una botella muy rechoncha o lanzar con un ángulo demasiado pequeño. Lo que hay que hacer, con res-pecto a esto último es pensar todo lo que puede salir mal y buscar soluciones y procedi-mientos para corregirlo o minimizarlo. Sobre las ecuaciones todo es válido para obtener una solución. Si no se maneja un orde-nador, e incluso así, habrá que utilizar hipótesis y métodos de cálculo simplificados. La



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gracia está en elegir los que facilitan la solución sin comprometer el cálculo. Como regla general, cuanto más se desarrolle una ecuación y se profundice en el sentido físico antes de “cortar”, más exacta va a ser la solución. En todo este proceso es importante tener una idea de cuales son los órdenes de magni-tud de los distintos términos de las ecuaciones. No es lo mismo, por ejemplo, considerar constante en el tiempo un término que varía entre 35 y 38 (unidades del SI) cuando los demás términos están alrededor de 250 (esta sería una hipótesis muy justificable), que intentar tomar el valor medio de una variable que oscila entre 420 y 0 cuando sólo hay otro término en la ecuación y además en la relación aparece una raíz cuadrada. Otra noción interesante es que se van a tener más incógnitas que ecuaciones. Hay un montón de soluciones posibles y habrá algunos de los valores que tendremos que fijar fiándonos en nuestro instinto. Por ejemplo, para el vuelo, para cada ángulo de la rampa podemos hallar una velocidad de salida que llegue a 60m, por lo que tendremos que fijar el ángulo y hallar la velocidad de salida (presión del aire y volumen de agua iniciales); o bien hallar la velocidad de salida a partir de las ecuaciones de propulsión y calcular el án-gulo (aquí se empieza a vislumbrar la responsabilidad de tomar decisiones). En los cálculos hay que considerar tres fases distintas: propulsión por salida del agua, propulsión por salida del aire y el vuelo. Nomenclatura ρw: densidad del agua ρo: densidad del aire m: caudal másico de aire ûw: energía interna del agua ûa: energía interna del aire m: masa total mw: masa de agua ma: masa del aire mb: masa de la botella Patm: presión atmosférica Po: presión del aire en la botella (a): subíndice para la presión absoluta ii: subíndice del instante de comienzo de salida del aire s: subíndice de condiciones a la salida S: superficie de la sección de salida Vb: velocidad de la botella (en sistema absoluto) Vc: velocidad relativa de salida del agua respecto a la superficie de control ∀: volumen ∀o: volumen de aire ∀b: volumen de la botella Simplificaciones

- Velocidad de salida uniforme en toda la sección.



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- Velocidad del agua dentro de la botella igual a la velocidad de la botella. Dada la di-ferencia de sección entre el interior y la botella, es bastante válida.

- Temperatura inicial del aire atmosférica: llenado isotermo.

- Proceso de expansión del aire casi estacionario y adiabático (es demasiado rápido para considerarlo isotermo).

- Variación de cota en la rampa despreciable frente a los otros términos (alrededor de 0.5 m).

- Presión de salida atmosférica.

- Proceso de expansión y escape del aire casi estacionario e isentrópico.

Arrastre aerodinámico Antes de pasar a las ecuaciones de la propulsión y el vuelo, se va a ver la fuerza de arrastre aerodinámico. Todo cuerpo que se mueve por un fluido experimenta una fuerza de arrastre, en sentido contrario al movimiento, que se puede expresar como:

D2

D CAV21

F ⋅⋅⋅ρ=

donde ρ: densidad del fluido (aire) V: velocidad del cuerpo A: área frontal CD: coeficiente de arrastre El coeficiente de arrastre es un valor experimental que depende fundamentalmente de la forma del cuerpo, y también del nº de Reynolds, aunque no se va a tener en cuenta. Para las botellas típicas, con un morro redondeado, varía entre 0.1 y 0.3 se-gún la forma de salida sea más o menos estilizada.



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Salida del agua Para plantear las ecuaciones de propulsión se van a utilizar las relaciones de volúmenes de control. El volumen de control elegido incluye la botella y se desplaza con ella. El sistema de refe-rencia tiene el eje x en la dirección de la rampa y es no inercial, es decir, se mueve con la misma velocidad variable del volumen de control. La ecuación de continuidad

( )∫∫ ⋅⋅ρ+∀⋅ρ=sc

rvc

SdVddtd

0

dice que

SVdtdm

cw ⋅⋅ρ=

La ecuación de cantidad de movimiento es:

( )∫∫∑ ⋅⋅ρ⋅+∀⋅ρ⋅=sc

rvc

SdVVdVdtd

F

Hay que resolverla para la dirección “x” (en la dirección “y” no hay más que equilibrio es-tático de fuerzas). - Las fuerzas exteriores son: FE = componente “x” del peso + fuerza de rozamiento sobre la plataforma + fuerza de arrastre

( ) ( ) DE FcosgmsengmF −α⋅⋅⋅μ−α⋅⋅−=

- Como coeficiente de rozamiento se toma 0.2 (se puede hacer algún ensayo en seco).

- La masa varía con el tiempo, al ir saliendo el agua:

∫ ⋅⋅⋅ρ−=t

0cwinicial dtSVmm

- La fuerza de arrastre varía con la velocidad de la botella al cuadrado. En este caso se desprecia por ser un valor muy pequeño frente a los otros.

- Al ser un sistema de referencia no inercial hay que añadir las fuerzas de inercia:

dtdV

mF bi −=

- El término de la integral volumétrica se anula porque las velocidades son nulas res-pecto al sistema de referencia.

0dVdtd

vc

=∀⋅ρ⋅∫

- En el término de la integral superficial de control sólo hay una salida:



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( ) SVSdVV 2cw

scr ⋅⋅ρ−=⋅⋅ρ⋅∫

siendo la velocidad de salida del chorro con respecto al Sistema de Referencia (SR) es Vc y con sentido negativo.

En conjunto queda la ecuación:

( ) ( ) SVdt

dVcosgsengm 2

cwb ⋅⋅ρ=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+α⋅⋅μ+α⋅⋅

En esta expresión se observa que hay una relación entre la velocidad de la botella Vb, la velocidad relativa de salida del agua Vc y el ángulo de la plataforma. Se integra la expresión anterior entre el instante cero y el instante tF en el que ha salido toda el agua. Este tiempo tF, que es desconocido, se obtiene de la expresión:

∫ ⋅⋅⋅ρ==−Ft

0cwfinal,winicial,w dtSV)0(mm

El problema de la expresión anterior es que no se conoce Vc. Para hallar ésta, hay que utilizar la ecuación de la energía:

( ) ( )∫∫ ⋅⋅ρ⋅ρ++∀⋅ρ⋅=−sc

rvc

SdV/pededtd

dtdW

dtdQ

Se ha incluido la potencia producida por las fuerzas de presión en la integral superficial. El término de la energía es:

zg2V

ue2

⋅++=

Al ser adiabático:

0dtdQ

=

Al moverse el Sistema de Referencia (SR) con la bo-tella, las fuerzas exteriores y de inercia no realizan trabajo pues la velocidad es nula:

0dtdW

=−

En la integral volumétrica, la parte correspondiente al agua queda:

SVudedtd

cwwVC

ww ⋅⋅ρ⋅−=∀⋅ρ⋅∫

pues la velocidad y la variación de cota son despreciables y la energía interna es constan-te. La parte correspondiente al aire es:

dtud

mdedtd a

aVC

aa∫ =∀⋅ρ⋅

que, después de darle muchas vueltas, resulta ser:

SVPdtud

m c)a(,oa

a ⋅⋅−=



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pues la velocidad y la cota son despreciables y la masa permanece constante. La integral en la superficie de control de la salida es:

SVP

2V

u cww

)a(,atm2c

w ⋅⋅ρ⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

ρ++

En esta expresión hay que tener en cuenta la presión atmosférica pues en la energía in-terna del aire se han utilizado presiones absolutas. Juntando todo resulta:

2V

P02c

wo ρ+−=

con lo que ya se tiene una relación entre la velocidad de salida del agua y la presión del aire. El único inconveniente es que la presión del aire también varía con el tiempo. La ecuación se resolverá por aproximación, eligiendo una velocidad relativa de salida del agua media entre la existente al inicio (presión inicial del aire en la botella) y la existente al final (presión del aire en la botella cuando ya ha salido toda el agua) En el proceso de expansión del aire, la presión inicial es un dato (o resultado, según se mire), por lo que la densidad inicial, suponiendo el llenado isotermo, es:

ambinic,o

)a(,inic,o TRP

⋅=ρ

¡Ojo con los cambios de presiones absolutas a relativas! En el vaciado, adiabático, se cumple:

γγ ρ=

ρ o

)a(,o

inic,o

)a(,inic,o PP

y, además, la masa del aire permanece constante: ooinic,oinic,o ρ⋅∀=ρ⋅∀

La variación del volumen del aire da la salida del agua:

∫ ⋅⋅+∀=∀t

0cinic,oo dtSV

A partir de aquí se obtiene la presión del aire en función del tiempo y de otras variables “conocidas”. Ahora sólo hay que juntarlo todo y resolverlo para tener la velocidad de la botella al final de la salida del agua en función de la presión inicial del aire y del volumen inicial de agua. Salida del aire Aunque pueda parecer que el efecto del aire que queda en la botella es poco importante, no es así. Únicamente con aire, a una presión relativa de 1 bar, se puede enviar la botella a más de 6 m. Hay que tener en cuenta que en una tobera convergente, a partir de una presión de 0.9 bar la salida es sónica, con velocidades del aire de 300 ó 400 m/s, pu-diendo conseguir que sea supersónica si la tobera es convergente divergente.



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Para obtener la propulsión de la fase de salida del aire hay que aplicar las mismas ecuaciones de con-servación que en la salida del agua. La ecuación de cantidad de movimiento queda:

SVdt

dVmF 2

csb

E ⋅⋅ρ−=−

con la única diferencia de que la densidad ahora es la del aire. Para hallar la velocidad de salida del aire habría que desarrollar también la ecuación de la energía. Por simplificar, y dado que esta velocidad va a ser muy superior a la de la botella, es adecua-do utilizar la ecuación de flujo compresible isentrópico a través de una tobera. El caudal másico es:

cs VSm ⋅ρ⋅= y se obtiene de la ecuación:

o)a,(o2

2/)1(

)a,(o

)a,(s/2

)a,(o

)a,(s

PSm

21

P

P

P

P

ρ⋅⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛γ−γ

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛γ+γγ

donde la presión de salida es la atmosférica. La presión de salida y la del aire dentro de la botella se relacionan con las condiciones de presión y densidad en el instante de comienzo de salida del aire (que se pueden calcular como el final de la fase anterior), por las expresiones:

γγγ ρ=

ρ=

ρ s

)a(,s

o

)a(,o

ii,o

)a(,ii,o PPP

pues se están considerando adiabáticos ambos procesos. Según esto, ρs será constante (Ps,(a) es la atmosférica) pero no será igual a la densidad a temperatura ambiente. De hecho, las temperaturas serán más bajas debido al enfriamiento de la expansión. Po,(a) y ρo, valores del aire que permanece dentro de la botella, son variables con el tiem-po. Aparte de la relación adiabática, la ecuación que se necesita es la que relaciona la masa existente en un instante dado con la masa inicial y el caudal másico saliente:

∫ ⋅−ρ⋅∀=ρ⋅∀t

0ii,obob dtm

Con esto está todo el planteamiento de las ecuaciones. Las condiciones de contorno son la velocidad final de la etapa anterior en el instante inicial y que el tiempo final viene de-finido porque la presión interior es igual a la atmosférica (¡ojo!, no sale toda la masa de aire). Se ha conseguido la velocidad de la botella al final de la propulsión en función de la pre-sión inicial del aire y del volumen inicial de agua. Vuelo Se puede asumir que la propulsión se produce sólo en la rampa (al menos con la rampa disponible) y que al final de ella, la velocidad es la del final de la propulsión. Ahora hay que calcular la trayectoria del vuelo.



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Las fuerzas que actúan son la del peso, en la dirección vertical, y la del arrastre, en sen-tido contrario a la velocidad. Tomando el sistema de referencia con el eje `x´ horizontal y el `y´ vertical, la segunda ley de Newton

∑ ⋅= amF

se desarrolla en las siguientes componentes:

x2y

2xD

x VVVCA21

dtdV

m ⋅+⋅⋅ρ−=

gmVVVCA21

dt

dVm y

2y

2xD

y ⋅−⋅+⋅⋅ρ−=

Se ha dividido FD por el módulo de la veloci-dad y multiplicado por cada componente pa-ra obtener el valor y el signo adecuado. Las condiciones iniciales son x = 0; y = y0; Vx = Vx0; Vy = Vy0. Las condiciones finales: x = 40m; y = 0. Ya se ha comentado que estas condiciones no dan una solución única. Cada valor del án-gulo de salida

0x

0y

V

Vatg=α

tiene un valor del módulo de la velocidad inicial 20y

20x VV +

y cada velocidad tiene dos valores del ángulo, aunque no todas las velocidades sirven. Otro dato interesante, a la vista de las ecuaciones anteriores es que, en principio, el án-gulo de 45º no va a ser el de máximo alcance (a diferencia del tiro parabólico).

Algunos datos orientativos

- Para un tiro parabólico de alcance 40 m con ángulo de 45º, la velocidad inicial es al-rededor de 20 m/s.



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- Con una presión del aire de 4 bar, la velocidad relativa del chorro de agua está cerca de 28 m/s.

- El tiempo que tarda en salir 1 l de agua con una presión inicial de 4 bar en una bote-lla de 2 l es de un orden de magnitud de 0.1 s y la botella recorre alrededor de 1 m. Para el aire, el orden de magnitud es de 0.01 s.

- La aceleración media necesaria es aproximadamente 200 m/s2. Las fuerzas exterio-res tienen un orden de magnitud 10 veces inferior.

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