P1

1)

2

22 3

2 2 3 3 3 4

1

2 2 1 2 2 1 2 21 1 2

2! 3!

1 1 2 3 4 2 3 4

x x

xx x x

x x x x x x x x x x

2)

a)

. . 0

. 0.......... 3.53

s v

V ndS V dv

V

b)

. . 0

0

s c

r ndS r dr

r

3)

2 2

22 2

cos

12

1 cos2

12

12

1 1 1 11 cos cos 12 2 4 2

11 12

x

y sen

z

x

y sen

z

nh sen sen

h

2 2

22 2

1 cos2

12

12

1 1 1 12 cos cos 12 2 4 2

12 12

x

y sen

z

h sen sen

h

2 2

cos

0

3 cos

x sen

y

z

h sen

4)

2 22

2 2

2 22

2 2

2 22

2 2

2 22

2 2

2

, ,

0

0......... ( .. , ,

0.........( ... )

u u ux y t

u X Y T X x Y y T t

XYT XYT XYTx y t

YT X XT Y XY Tdividindo por u X Y T

x y t

X Y Tarrumando X

X x Y y T t

2 22

2 2

2 2

2 2 2

22

2 2

22

2

22

2 2

2 22

22

2

2 22

2 2 2

0

0

0

0

X Y TX x Y y T t

X Y TX

x Y y T t

Y TY y T t

XX

x

Y TY

y T t

TT t

YY

y

TT t

TT

t

5)

5)

2

2

1 1'' '

1( )

1( )

1( )

y y y xx x

y x x

P xx

Q xx

Na equação (5.22)

ln

2 2 22( ) ln

2( ) ln

2( ) ln

dxxxy x e e xdx dx dx x

x x x x

y x xx

y x x x

Agora usando (5.13)

2 2 2 2

2

( ) 1( ) '2( ) '1( ) 2( ) 1 ln ln

ln .1( ) ln

ln lnln2 2 2 4

.2( )

2

W x y x y x y x y x x x x x x

x x x dxv x x x

x

x x x dx x x xx xx

x x dx xv xx

Esssas foram a equação (5.35)

Obs:Tivemos uma integral por partes de xlnx(tem que considerar a troca de sinal de v1)

Agora usamos o resultado da equação (5.24)

2 2 2 3ln( ) ln2 4 2 4

x x x x xu x x x x