provas ciência da computação - utfpr

PROVAS Ciência da Computação

2a Prova: 13/02/2014 (Quinta) Reavaliação: 20/02/2014 (Quinta)

Ajuste de Curvas

Objetivo

Ajustar curvas pelo método dos mínimos quadrados

Em geral, experimentos geram uma gama de dados que devem ser analisados para a criação de um modelo.

Obter uma função matemática que represente (ou que ajuste) os dados permite fazer simulações do processo de forma confiável, reduzindo assim repetições de experimentos que podem ter um custo alto.

1 - INTRODUÇÃO

Em geral, usa-se aproximação de funções nas seguintes situações:

• Quando se desejar extrapolar ou fazer previsões em regiões fora do intervalo considerado; • Quando os dados tabelados são resultados de experimentos, onde erros na obtenção destes resultados podem influenciar a sua qualidade; • Quando deseja-se substituir um função conhecida f(x) por outra função g(x) que facilite cálculos como derivadas e integrais.

1 - INTRODUÇÃO

O objetivo é obter uma função que seja uma “boa aproximação” e que permita extrapolações com alguma margem de segurança.

A escolha das funções pode ser feita

observando o gráfico dos pontos tabelados, baseando-se em fundamentos teóricos dos experimentos que forneceu a tabela ou através de uma função já conhecida.

1 - INTRODUÇÃO

1 - INTRODUÇÃO O s m é t o d o s u t i l i z a d o s b u s c a m u m a aproximação do que seria o valor exato. Dessa forma é inerente aos métodos trabalhar com a aproximação, levando-se em consideração os erros e os desvios. O Método dos Mínimos Quadrados é um método bastante utilizado para ajustar uma determinada quantidade de pontos e aproximar funções.

MÉTODO DOS MÍNIMOS

QUADRADOS

•  Método dos Mínimos Quadrados consiste em escolher os αi (i = 1, 2, ..., n) de tal forma que:

Se aproxime ao máximo de f(x).

Onde: fornece os pontos exatos;

os pontos estimados.

2. MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS

(1)

2. MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS

O Método dos Mínimos Quadrados consiste em escolher os αi (i = 1, 2, ..., n) de tal forma que a soma dos quadrados dos desvios seja mínima.

(2) E = f xk( )−ϕ xk( )"# $%2

k=1

m

∑

2.1 Caso discreto

Dado um conjunto de pontos (xi; f(xi)), i = 0; 1; 2; ...; m (f dada por TABELA DE VALORES)

O problema de ajuste de curvas consiste em encontrar funções gi(x) tais que o desvio em cada ponto i, definido por (2) seja mínimo, ou seja:

se aproxime ao máximo de f(x).

Neste caso o ajuste é linear.

ATENÇÃO!!!! Linear em relação aos αi e não às gi(x).

2.1 Caso discreto

COMO ESCOLHER g(x)???? A escolha da função g(x) depende do gráfico dos pontos, chamado de diagrama de dispersão, através do qual pode-se visualizar o tipo de curva que melhor se ajusta aos dados.

2.1 Caso discreto

2.1 Caso discreto

Tabela 1

Considerando os dados da Tabela 1, e através do gráfico gerado pela Tabela 1, pode-se definir que tipo de curva melhor se ajusta aos dados.

y

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

0 2 4 6 8 10 12

x

Figura 1. Diagrama de Dispersão para os dados da Tabela 1

2.1 Caso discreto

2.1.1 Caso discreto (Ajuste Linear)

Como pode ser observado na Figura 1, uma possível aproximação seria através de uma função linear do tipo: g(x)=a1xi+a0.

Assim o objetivo é determinar o valor de α0 e α1, que minimize:

(3) E = yi − α1xi +α0( )"# $%2

i=1

m

∑


Para que E seja mínimo é necessário que:

(4)

(5)

∂E∂α0

= 0

∂E∂α1

= 0


As equações (4) e (5) simplificam-se nas equações normais:

(6)

(7)


A solução para o sistema de equações é:

(8)

(9)


Considerando a Tabela 1, e os dados necessários para as equações (8) e (9) a seguinte Tabela pode ser calculada:

Tabela 2


Considerando os dados da Tabela 2, os parâmetros α1 e α0 podem ser calculados como:

Assim a reta de ajuste linear é determinada por:

(10)

α0 = −0,360 α1 =1,538

y =1,538x − 0,360


Na Figura 2, pode-se observar o ajuste através da reta (10)

Figura 2. Ajuste linear

2.1.2 Caso discreto (Ajuste Polinomial)

O processo usado para o ajuste linear pode ser estendido para ajuste polinomial.

Assim, uma função polinomial de grau n é dada por:

(11)

O objetivo é minimizar o erro:

(12)


Como no caso linear, para que E seja minimizado é

necessário que para cada

j=0,1,...,n. Isto fornece as n+1 equações normais nas n+1

incógnitas αj:


(13)


Exemplo: Ajustar os dados da Tabela 3 com um polinômio de grau dois utilizando o método dos mínimos quadrados.

Tabela 3

i xi yi xi2 xi

3 xi4 xiyi xi

2yi 1 0 1 0 0 0 0 0 2 0,25 1,284 0,0625 0,1563 0,0039 0,321 0,0803 3 0,5 1,6487 0,25 0,125 0,0625 0,8244 0,4122 4 0,75 2,117 0,5625 0,4219 0,3164 1,5878 1,1908 5 1 2,7183 1 1 1 2,7183 2,7183 Σ 2,5 8,768 1,875 1,5625 1,3828 5,4514 4,4015


Para este problema, n=2, m=5 e as três equações normais são:

(14)

Resolvendo o sistema (14), obtêm-se:

α0 =1,0051 α1 = 0,8647 α2 = 0,8432

2.1 Caso discreto (Ajuste Polinomial)

Figura 3. Ajuste polinomial

y =1,0051+ 0,8647x + 0,8432x2

E = yi −P xi( )"# $%2

i=1

5

∑ = 2, 74×10−4

O erro total

é o mínimo que pode ser obtido usando um

polinômio com grau máximo 2

Outro problema é a aproximação de funções. Para o caso discreto temos um conjunto de dados. Para o caso contínuo temos funções.

2.2 Caso Contínuo

2.2 Caso Contínuo

Dada uma função f(x), contínua em [a,b] e escolhidas funções g1(x), g2(x), ..., gn(x), todas contínuas em [a,b], determinar constantes α1, α2,..., αn, tal que: se aproxime ao máximo de f(x) em [a,b].

ϕ x( ) =α1g1 x( )+α2g2 x( )++αngn x( )

O objetivo é determinar um polinômio de grau máximo n (ϕ (x) = Pn(x)):

que minimize o erro total:

(16)

(15)

2.2 Caso Contínuo

O problema é encontrar os coeficientes αj que minimizem E.

Uma condição necessária para que os números αj minimizem E é que:

para cada j=0, 1, . . .,n

2.2 Caso Contínuo

As derivadas ficam na seguinte forma:

(18)

Como:

(17)

2.2 Caso Contínuo

que devem ser resolvidas para se determinar as (n+1) incógnitas αj, para cada j = 0,1,...,n.

Para encontrar Pn(x), temos (n + 1) equações normais:

(19)

2.2 Caso Contínuo

Exemplo

Encontrar o polinômio de aproximação por mínimos quadrados de segundo grau para a função abaixo no intervalo [0,1]. f x( ) = sen π x( )

2.2 Caso Contínuo

Resolvendo o sistema obtêm-se o seguinte polinômio:

Calculando as integrais obtêm-se:

P2 x( ) = −4,1225x2 + 4,1225x − 0,0505

α0 +12α1 +

13α2 =

2π

12α0 +

13α1 +

14α2 =

1π

13α0 +

14α1 +

15α2 =

π 2 − 4π 3

2.2 Caso Contínuo

Resolvendo o sistema obtém-se o seguinte polinômio:

Figura 4. Aproximação de f(x) pelo polinômio P2(x).

P2 x( ) = −4,1225x2 + 4,1225x − 0,0505

2.2 Caso Contínuo

2.3 Caso não-linear Existem casos, onde o diagrama de dispersão de uma função indica que os dados devem ser ajustado por uma função não linear. Para estes casos um processo de linearização deve ser empregado, para que seja possível aplicar o Método dos Mínimos Quadrados. Neste caso podemos proceder da seguinte forma:

n  Ocasionalmente, é apropriado supor que os dados estejam relacionados exponencialmente.

n  Exemplo: φ(x) = aebx, para a e b constantes. A dificuldade de aplicação do método dos mínimos quadrados neste caso consiste na tentativa de minimizar E.

2.3 Caso não-linear

Caso I: Função Exponencial

Aplicando logaritmo em ambos os lados, obtêm-se:

Realizando as seguintes substituições:

Obtêm-se:

2.3 Caso não-linear ϕ x( ) = y = aebx

Caso II: Função Logarítmica

Expandindo:


Obtêm-se:


Caso III: Função Potencial

Aplicando logaritmo em ambos os lados:


Obtêm-se:


Caso IV: Função Hiperbólica


Obtêm-se:



As equações (4) e (5) simplificam-se nas equações normais:

(6)

(7)


A solução para o sistema de equações é:

(8)

(9)

n  Após aplicar o método dos mínimos quadrados , é prec i so fazer as substituições necessárias para encontrar os parâmetros a e b da função de aproximação original.

n  Observe que os parâmetros assim obtidos não são ótimos dentro do critério dos quadrados mínimos, porque estamos a justando o prob lema l inearizado e não o problema original.

Exemplo 1: Encontrar uma função exponencial que se ajusta aos valores da tabela abaixo:


y = ae−bx

y = ae−bx

Y = ln y

α0 = ln a( )α1 = −b

2.3 Caso não-linear Como o ajuste será realizado por uma função exponencial é necessário calcular:

A tabela para os cálculos fica da seguinte forma:

i x y Y = ln(y) xi2 xiYi

1 -1 36,547 3,599 1 -3,599

2 -0,7 17,264 2,849 0,49 -1,994

3 -0,4 8,155 2,099 0,16 -0,839

4 -0,1 3,852 1,349 0,01 -0,135

5 0,2 1,820 0,599 0,04 0,120

6 0,5 0,860 -0,151 0,25 -0,075

7 0,8 0,406 -0,901 0,64 -0,721

8 1 0,246 -1,402 1 -1,402

Σ 0,3 69,15 8,041 3,59 -8,645


α0 =1,099 α1 = −2,5α0 = ln a( ) α1 = −b

a = eα0 = e1,099

a = 3,001 b = 2,5

n  Os parâmetros α0 eα1 que ajustam a função ϕ(x) à função Y no sentido dos quadrados mínimos.

n  Não se pode afirmar que os parâmetros a e b (obtidos através de α0 eα1) são os que ajustam ϕ(x) à função y dentro dos critérios dos quadrados mínimos.

TESTE DE ALINHAMENTO

n  Uma vez escolhida uma função não linear em a, b, … para ajustar uma função. Uma forma de verificar se a escolha foi razoável é aplicar o Teste de Alinhamento.

TESTE DE ALINHAMENTO

n  a) Fazer a “linearização” da função não linear escolhida;

n  b) Fazer o diagrama de dispersão dos novos dados;

n  c) Se os pontos do diagrama estiverem alinhados, isto significará que a função não linear escolhida foi uma “boa escolha”.

Exemplo 1

i x y Y = ln(y) 1 -1 36,547 3,599

2 -0,7 17,264 2,849

3 -0,4 8,155 2,099

4 -0,1 3,852 1,349

5 0,2 1,820 0,599

6 0,5 0,860 -0,151

7 0,8 0,406 -0,901

8 1 0,246 -1,402

Σ 0,3 69,15 8,041

Teste de Alinhamento (Exemplo 1)

Diagrama de Dispersão dos novos dados (Y=lny).

provas ciência da computação - utfpr

Documents