PROYECCIN DE UN PLANOSe construye una esfera centrada en algn punto "O" de la traza de afloramiento de un plano geolgico inclinado. El plano y su prolongacin cortarn la esfera segn un crculo mximo o crculo mayor.Representacin de un plano inclinado (segn Phillips 1971):

Representacin de un plano inclinado con su polo:

Esta proyeccin esfrica hay que representar en 2D. Como losmapasmundi.Para esto se proyectan todos los puntos de la parte inferior (hemisferio Sur) del crculo mximo al plano horizontal (ecuatorial o crculo primitivo) mediante su unin con el punto cenital P. El resultado es una ciclogrfica.Proyeccinestereogrficade un plano inclinado (Phillips 1971):

Ejemplo grfico de la proyeccin estereogrfica:

Cuantificacin del ngulo de inclinacin de un plano:

Tipos de representaciones estereogrficas:Existen diversas formas de representacin de los elementos planos y lineales en la proyeccin estereogrfica. Todos ellos se llevan a cabo mediante elempleode la falsilla de Wulff que se obtiene a partir de la proyeccin de los meridianos y paralelos de la esfera. Diagrama de crculos mximos odiagramabeta:nicamente se utiliza para la representacin de elementos planos. Se obtiene por proyeccin sobre el plano ecuatorial, del crculo mximo de la superficie plana considerada. Este crculo mximo representa la interseccin del plano con la esfera. En la figura 5.a. semuestrael diagrama de crculos mximos correspondiente al estudio de un macizo rocoso.Figura(Ver de izquierda a derecha)a. b. Diagrama de crculos mximos (beta).c. Diagrama de polos (pi).

Diagrama de polos o diagrama piCuando las medidas a representar en el diagrama son muy numerosas, la representacin mediante crculos mximos puede dificultarla lecturade los resultados en la falsilla, por lo que se suele recurrir a losdiagramasde polos o diagramas pi.En este tipo de diagramas se representan nicamente los polos de los planos o rectas, es decir la interseccin de la recta con la esfera en el caso de elementos lineales o la interseccin de la normal al plano con la esfera si se trata de elementos planos.En la figura b. se muestra la representacin pi de losdatoscorrespondientes al mismo macizo rocoso de la figura a. La concentracin de polos superior izquierda (S0) corresponde con la estratificacin de orientacin aproximada N30E 35 SE. Las otras dos concentraciones observadas (J1 y J2) de orientaciones N60E 49NW y N160E 20SW corresponden a sendosjuegosde diaclasas.Diagrama dedensidadde polosLa proyeccin estereogrfica de un determinado elemento de lanaturaleza, nunca es tan exacta como la de lneas y planos tericos, ya que presentan irregularidades puntuales, falta de ajuste con lageometraideal, en muchos casos, y posibles errores de precisin. Esto hace que se produzcan dispersiones que, dependiendo de su magnitud, pueden o no facilitar lainterpretacinde un polo o un crculo mximo. De ser as y producirse una gran dispersin de datos, ser preciso recurrir a unanlisisestadstico de una muestra grande de datos con el fin de determinar ladirecciny buzamiento predominantes (figura).Este anlisis estadstico no se puede realizar mediante la proyeccin estereogrfica ya que se producir una gran concentracin de puntos en la parte central del diagrama (figura b). Para realizar este anlisis se recurre a la proyeccin equireal, empleando la falsilla de Schmidt, que nos permite el recuento directo de los polos, calcular suvalorestadstico por unidad de superficie y determinar las direcciones y buzamiento predominantes (figura a).Figura: Diagrama de densidad de polos: (ver de izquierda a derecha)a. En proyeccin equiareal.b. En proyeccin estereogrfica (equiangular).

Falsillas estereogrficasSon como un transportador de ngulos en 2D que sirven para representar las orientaciones de los planos y lneas de las respectivas proyecciones ciclogrficas.Hay diferentes tipos de falsillas:A. B. Falsillas equiareal (Schmidt):geologa estructural.Conserva las reas pero no los ngulos.C. Falsillas equiangular (Wulf):cristalografa.Conserva los ngulos pero no las reas.

Proyeccin de un plano con su polo

Ejemplo: 120 / 40

Proyeccin de una lnea

Ejemplo: 138 30

DEBILITAMIENTO ESTRUCTURALMENTE CONTROLADOPara que un bloque de roca pueda caerse del techo o de una excavacin, se necesita que quede separado del macizo circundante cuando menos en tres discontinuidades estructurales que se intersecten.El debilitamiento estructuralmente controlado se puede analizar mediante la tcnica de la proyeccin estereogrfica que se describi anteriormente, Un ejemplo sencillo de la aplicacin de estemtodose ilustra en eldibujodel margen inferior que muestra una cua de roca que cae del techo de una excavacin en roca fisurada. Una lnea vertical que atraviesa el vrtice de la cua tiene que caer dentro de la base de la misma para que el debilitamiento pueda producirse sin friccin cuando menos sobre uno de los planos de fisuras.

Condiciones necesarias para que se pueda producir una cada del techo.En la representacin estereogrfica, la lnea vertical que pasa por el vrtice de la cua se representa por el punto central de laredy las condiciones que se estipulan en elprrafoanterior quedarn cubiertas si los grandes crculos que representan los planos de las juntas forman un dibujo cerrado querodeeel centro de la red.Esta verificacincinemticasencilla es muy til para prever las cadas potenciales del techo durante los estudios preliminares de losinformesde lageologaestructural que se recabaron para proyectar la excavacin subterrnea. Este mtodo estereogrfico tambin se puede emplear para una apreciacin mucho ms detallada de la forma y delvolumende cuas potencialmente inestables. Como lo muestra la figura 01.En esta figura 01 se representan tres planos por sus grandes crculos, marcadosA,ByC. Las lneas de los rumbos de estos planos estn marcados cona,byc, y los trazos de los planos verticales por el centro de la red y las intersecciones de los grandes crculos estn marcadosab,acybc. Supongamos que un tnel cuadrado con un clarosvaya en una direccin de 290 a 110 como se muestra en la parte inferior de la figura 01. Las direcciones del rumbo de las lneas corresponden a las trazas de los planosA,ByCsobre el techo horizontal del tnel. Esas lneas del rumbo se pueden combinar para que la figura triangular de tamao mximo se acomode en el techo del tnel, como lo muestra la figura 01.

Figura 01.Construccincomplementaria en combinacin con una proyeccin estereogrfica para determinar la forma y el volumen de una cua que se presenta estructuralmente en el techo de un tnel.En la vista de planta, el vrtice de la cua se determina al localizarse el punto de interseccin de las lneasab,acybcproyectadas desde las esquinas de la base de la cua triangular como se muestra. La alturahdel vrtice de la cua sobre el techo horizontal del tnel se localiza al hacerse una seccin que pase por el vrtice y normal con respecto al eje del tnel. Esta seccin, marcado XX en la figura 01, intersecta las trazasaycen los puntos indicados y estos puntos delimitan la base del tringulo como se seala en el perfil XX. Los echados aparentes de los planosCyAestn indicados por los ngulosy, los que se miden sobre la proyeccin estereogrfica a lo largo de la lnea XX pasando por el centro de la red.El volumen de la cua se obtiene por1/3h Xel rea de la base de la cua, lo cual se determina en la planta de la figura 01.Si tres fisuras se intersectan para formar una cua en el techo de una excavacin subterrnea pero la lnea vertical que pasa por el vrtice de la misma no cae dentro de la base de la cua, el debilitamiento slo puede ocurrir con friccin sobre uno de los planos de fisura o sobre una de las lneas de interseccin. Esta condicin se representa estereogrficamente si la figura de intersecciones formada por los tres grandes circulas cae a un lado del centro de la red como se ilustra en el dibujo del margen inferior.

Condiciones necesarias para un debilitamiento con friccin de las cuas del techoUna condicin adicional que tendr que ser tomada en cuenta para que la cua se pueda deslizar, es que el plano o lnea de interseccin sobre la cual se deslice tenga una inclinacin mayor que al del ngulo de friccin. Esta condicin se cumplir si cuando menos una parte de la figura de interseccin cae dentro de un circulo que se logra al descontar de la circunferencia exterior de la red la cantidad de divisiones de grado que corresponden al ngulo de friccin.

Condiciones estables de la cuaLa construccin de la verdadera vista en planta de la cua obedece a los mismosprincipiosque se siguieron en la figura 01 y la construccin para el caso que nos ocupa se ilustra en la figura 02. En este ejemplo, el largo del rumbo de la trazacdel planoC, se define por la dimensinL.Al determinarse la alturahde la cua, el perfil XX tiene que tomarse en ngulos rectos con respecto a la lneaabque pasa por el centro de la red y la interseccin de los grandes crculos que representan los planosAyB. El nguloes el echado verdadero de la lnea de interseccin de esos dos planos.Cuando la figura de interseccin cae completamente fuera del crculo de friccin, como se muestra en el dibujo del margen, el peso gravitacional de la cua no es suficiente para vencer laresistenciade la friccin del plano o de los planos sobre los cuales debera deslizarse. En esas condiciones la cua se resistir a deslizar.

Figura 02. Construccin de una verdadera vista en planta y determinacin de la altura de una cua donde se produce un debilitamiento como resultado de un deslizamiento a lo largo de la lnea de interseccin de los planos A y B.En las paredes de una excavacin en roca fisurada, el debilitamiento de las cuas puede presentarse en una forma muy parecida a la del techo, excepto que las cadas libres no son posibles y que todos los debilitamientos en las paredes implican deslizamientos sobre un plano o sobre la lnea de interseccin de dos planos. A continuacin presentamos dosmtodospara analizar el debilitamiento en las paredes.El anlisis del debilitamiento en las paredes: mtodo 1Consideremos un tnel cuadrado que va en una direccin de 250 a 70 a travs de un macizo en que se presentan tres series de fisuras. Estas fisuras se representan, en la proyeccin estereogrfica que se muestra en el dibujo por los grandes crculos marcadosA,ByC.

Los trazos de los grandes crculos en este dibujo se obtuvieron por la proyeccin sobre un planohorizontalpasando por el centro de la esfera de referencia. Para saber cul es la forma de la cua en la pared del tnel, ser necesario determinar la forma de la figura de interseccin proyectada sobre un planovertical.Esta figura de interseccin se obtiene por larotacinde las interseccionesab,bcyacde los grandes crculos en 90 alrededor del eje del tnel. Se logra estereogrficamente esta rotacin de la manera siguiente: Se trazan los puntosab,bcyacsobre una hoja limpia de papel de dibujo. Sobre el croquis se indican el centro, el norte y el eje del tnel. Se coloca el croquis sobre la red meridiana por medio de una aguja central de manera que eleje del tnelcoincida con el eje norte-sur de la red. Se gira cada una de las tres intersecciones sobre un plano vertical al descontar 90 sobre loscrculos pequeospasando por los puntosab,bcyac.

Hay que sealar que la rotacin de todos los puntos tiene que hacerse en la misma direccin y tambin que el circulo pequeo que pasa poracse sale de la circunferencia de la red enxy vuelve a entrar en un punto diametralmente opuesto,x'. Esteprocedimientopermite a todos los puntos de interseccin encontrarse en el mismo hemisferio y que la proyeccin sobre el plano vertical tenga sentido.Mrquense las intersecciones giradasab,bcyacy encuntrense los grandes crculos que pasan por pares de puntos de interseccin. Las lneas del rumbo de esos grandes crculos representan las trazas de los planos de fisuras sobre las paredes verticales del tnel.Se muestra la construccin completa en la parte superior de la figura 03, lo que da la proyeccin estereogrfica de los planos y sus intersecciones de unplano verticalparalelo a las paredes del tnel.La construccin de la vista verdadera de la cua en la pared sigue el mismo procedimiento que el que se us para el techo (figuras 01 y 02). Las trazasa,bycde las fisuras en la pared son paralelas a las lneas de los rumbos de los grandes crculos en la proyeccin estereogrfica vertical. Las lneas de interseccinab,bcyacque se ven en la pared vertical son tambin paralelas a las lneas que parten del centro de la proyeccin vertical a los puntosabbcyac.Es importante sealar que las vistas en las partes inferiores de las figuras 03 y 04 representan las trazas de las fisuras que se ven en la parednortevista desde elinteriordel tnel o en la pared sur vista desde elexteriordel tnel, mirando hacia 340. Esto es comprobable si se comparan los rumbos,yde las trazas de los planosA,ByCen la pared vertical, que se logran con las proyecciones estereogrficas, con las trazas correspondientes en las vistas de la pared del tnel. Unaimagen de espejode la vista dada en las partes inferiores de las figuras 03 y 04 representa las trazas de las fisuras en la paredsurvistas desde elinterioro en la parednortevistas desde elexteriordel tnel, mirando hacia la direccin de 160.Es muy importante que se comprendan bien esas vistas, ya que un error podra dar como resultado una apreciacin incorrecta de estabilidad as como la aplicacin de medidas correctivas indebidas.

Vista de los trazas de las fisuras en la pared norte, mirndolo desde el interior del tnel a en la pared sur mirndola desde el exterior del tnel en una direccin de 340.

Figura 03. Construccin de la vista verdadera de una cua en la pared de un tnel mediante el Mtodo 1.La alturahde la cua que se muestra en la figura 03 se determina con un seccionamiento XX que pasa por la punta de la cua, y localizando los echados aparenteskyde los planosAyBque se ven en la proyeccin vertical. Esta construccin es idntica a la que se emple en la figura 01para determinar la altura de la cua en el techo del tnel.El anlisis del debilitamiento de las paredes: mtodo 2En este mtodo, las trazasa,bycde las fisuras en la pared del tnel se localizan con los echadosaparentesyde los planosA,ByCen un plano vertical paralelo al eje del tnel. En la figura 04 se ilustra cmo se localizan estos echados aparentes.Los trazosab,bcyacen la pared se establecen al encontrarse los echadosabt,bctyactde las proyecciones de estas lneas de interseccin sobre la pared vertical. El nguloabtlo da:

Dondeabes el ngulo entre el eje del tnel y laproyecci6n de la lnea de interseccinabsobre el plano horizontal yabes el echado verdadero de la lnea de interseccinab.Los ngulosbct y abtse localizan de la misma manera.La alturahde la cua se determina al valorizar los ngulosbctyactque representan los echados de las lneas de interseccin que se ven en un plano vertical en ngulos rectos con el eje del tnel. El ngulobctse obtiene por:

Los dems ngulos se determinan de la misma manera:

Figura 04. Construccin de una vista verdadera de una cua en la pared de un tnel segn el mtodo 2Autor:Edison J. Rosas QuispeUNIVERSIDAD NACIONAL DESAN CRISTBAL DE HUAMANGAESCUELA DE FORMACIN PROFESIONAL DE INGENIERA DE MINAS

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