proyecciones cartograficas y´ mapas (cartographic

Facultad de Ciencias

PROYECCIONES CARTOGRAFICAS YMAPAS

(Cartographic projections and maps)

Trabajo de Fin de Grado para acceder alGRADO EN MATEMATICAS

Autora : Elena Suarez Pena

Directora : Nuria Corral Perez

Septiembre - 2017

1

Resumen

La cartografıa es la ciencia que se dedica al analisis y la confeccion de mapas que

representan una region cualquiera de la Tierra. En particular este trabajo se centra en la

parte matematica de la cartografıa, esto es, el estudio de las aplicaciones necesarias pa-

ra visualizar las caracterısticas de una region de la esfera terrestre en una representacion

plana.

El objetivo que se persigue en este trabajo es doble: por una parte, tratar de clasificar

estas aplicaciones (denominadas proyecciones cartograficas) segun ciertas caracterısti-

cas propias, ası como estudiar su construccion matematica. Por otro lado, demostrar que

no es posible una representacion exacta, ni siquiera localmente, de una region de la esfe-

ra en el plano y en consecuencia medir cuanto se alejan las caracterısticas proyectadas

de las originales.

Palabras clave: cartografıa, mapas, proyecciones, distorsion.

Abstract

Cartography tries to analyze and create maps which represent any Earth’s region. This

project just focuses on the mathematical sense of cartography, that is, the study of the

functions needed to visualize the characteristics of a sphere’s region into a flat represen-

tation.

The pursued goal is double: first, trying to sort out those functions (called cartographic

projections) according to some of their own characteristics and studying their mathemati-

cal structure. Finally, proving the impossibility of an exact representation, not even locally,

of a sphere’s region on the plane and consequently measuring the differences between

the projected characteristics and the real ones.

Key words: cartography, maps, projections, distortion.

2

Indice general

1. Introduccion 3

2. Superficies en R3 5

2.1. Conceptos generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2. La esfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.2.1. Parametrizacion de la esfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.2.2. Angulos y loxodromas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2.3. Geodesicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3. Tipos de proyecciones 15

3.1. Segun la superficie de proyeccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.1.1. Proyecciones acimutales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.1.2. Proyecciones conicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.1.3. Proyecciones cilındricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.2. Segun las propiedades que conservan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.2.1. Proyecciones conformes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.2.2. Proyecciones isoareales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

4. El problema del mapa perfecto 33

4.1. Distorsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4.1.1. Distorsion de las distancias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4.1.2. Distorsion de las areas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4.1.3. Distorsion de los angulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4.2. La indicatriz de Tissot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3

Capıtulo 1

Introduccion

Existe documentacion sobre como disenar o crear mapas desde el ano 150 D.C.

(epoca de Claudio Ptolomeo), aunque se sabe que se utilizaban desde al menos 3 siglos

antes [18]. De hecho, se podrıa decir que desde el Paleolıtico ya se creaban unos “mapas

primigenios”, intentos mas o menos fallidos de describir el entorno que nos rodeaba en

las paredes de las cuevas.

Decidir cual es el primer mapa de la historia no es una tarea sencilla, ya que la defi-

nicion de mapa es algo difusa. En el libro “El sueno del mapa perfecto”, de Raul Ibanez

[12], se describe un mapa como “representacion de una parte o de la totalidad de la su-

perficie terrestre o de otros planetas, cielo estrellado, cuerpos, etc. sobre una superficie

plana”. Atendiendo a esa definicion se podrıa decir que el primer mapa encontrado es

del cielo estrellado en las paredes de las cuevas de Lascaux (16500 A.C.) [24].

Si hablamos de mapas que representen, de una manera mas o menos certera, la

superficie total de la Tierra, no los encontramos hasta que se difunde por fin el hecho

de que su forma es esferica. Esto es, los mapas mas importantes, los que utilizamos

hasta en la actualidad y la mayorıa de los que describimos en este trabajo, se originaron

entre los siglos XVI y XIX. A lo largo del siglo XX aunque se definen otros totalmente

diferentes, la mayorıa de los esfuerzos de los cartografos fueron dedicados a la mejora

de los clasicos.

Hablar de “mejora” de un mapa tambien se convierte en un tema subjetivo y poco

definido. No se puede decir que exista un mapa de una zona de la Tierra superior a

los demas. Incluso es arriesgado proclamar haber encontrado la mejor representacion

para una aplicacion en concreto del mapa. Ası, la cartografıa es la ciencia que encuentra

diferentes representaciones de la Tierra y estudia sus caracterısticas.

Los cartografos utilizan proyecciones cartograficas: aplicaciones que transforman

una superficie esferica en una plana, mas facil y comoda de manejar. Cualquiera que

sea el sistema de proyeccion elegido, la figura de la superficie terrestre aparecera defor-

mada o distorsionada, como se comentara al final de este trabajo. Esta distorsion puede

CAPITULO 1. INTRODUCCION 4

producir principalmente efectos en las longitudes, los angulos y las areas. La imposibi-

lidad de obtener una representacion donde se preserven las distancias, incluso a nivel

local, es lo que permite que exista una increible variedad de proyecciones y que este

trabajo sea posible.

Hemos organizado este trabajo en 3 capıtulos (ademas de la introduccion). En el pri-

mero, se definen los principales conceptos matematicos a utilizar con el fin de esclarecer

notaciones. El siguiente capıtulo se encargara de comentar varias proyecciones aten-

diendo a sus propiedades o a sus superficies de proyeccion. Por ultimo dedicamos una

seccion a hablar sobre la deformacion en los mapas y las diferentes formas de medirla.

En cuanto a la bibliografıa, hemos anadido tambien fuentes que aunque no se citan

a lo largo del trabajo, se han leıdo y han ayudado a aportar sentido.

5

Capıtulo 2

Superficies en R3

2.1. Conceptos generales

En este capıtulo empezaremos definiendo algunos conceptos basicos necesarios,

ademas de establecer una notacion para el resto del trabajo.

Definicion 2.1 Una superficie topologica es una variedad topologica de dimension 2, es

decir, un espacio topologico Haussdorf en la que cada punto tiene un entorno abierto

homeomorfo a algun abierto del plano euclıdeo.

Sea S ⊂ R3 una superficie, esta sera regular si para cada punto p ∈ S existe un

entorno abierto W de p en R3 y una aplicacion

x : U →W ∩ S

(u, v) 7→ x(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v))

donde U es un abierto de R2 verificando

(i) la aplicacion x es diferenciable

(ii) x : U →W ∩ S es un homeomorfismo

(iii) Para todo punto (u, v) ∈ U , la diferencial dx(u, v) : R2 → R3 es inyectiva.

La aplicacion x verificando las tres condiciones anteriores se denomina parametrizacion

y al par (U,x) se le llama carta de S en p.

Definicion 2.2 Sea S una superficie regular, definimos el plano tangente a S en un punto

p ∈ S como el espacio vectorial formado por todos los vectores tangentes en el punto p

a las curvas de S que pasan por p. Lo denotaremos como TpS.

2.1. Conceptos generales 6

Definicion 2.3 Sea f : M → N una aplicacion entre superficies regulares. Decimos que

f es diferenciable si para cada punto p ∈ M existen cartas (U,x) y (V,y) de M y N

respectivamente, con p ∈ x(U) y f(p) ∈ y(V ), tales que

f = y−1 ◦ f ◦ x : U → V

es diferenciable como aplicacion de R2 en R2. La aplicacion f se llama expresion local

de f en las cartas dadas.

Directamente se comprueba que la condicion de existencia de esas cartas es equi-

valente a:

“Para cualquier par de cartas (U ′,x′) y (V ′,y′) de M y N respectivamente, tales que

p ∈ x′(U ′) y f(p) ∈ y′(V ′),

(y′)−1 ◦ f ◦ x′ : U ′ → V ′

es diferenciable”

Definicion 2.4 Sea f : M → N una aplicacion entre superficies regulares, esta sera un

difeomorfismo si f es diferenciable, biyectiva y con inversa diferenciable. Diremos que M

es difeomorfa a N si existe un difeomorfismo entre ambas superficies.

Definicion 2.5 Un difeomorfismo local es una aplicacion f : M → N tal que para todo

punto p ∈ M existe un entorno abierto U de p y un entorno abierto U ′ de f(p) tal que

f |U : U → U ′ es un difeomorfismo.

Proposicion 2.6 Sea f : M → N un difeomorfismo local entre superficies regulares.

Dado p ∈M , consideramos una carta

x : U ⊂ R2 →M

con p ∈ x(U) y tal que f |x(U) es un difeomorfismo. Entonces, se tiene que

y = f ◦ x : U ⊂ R2 → y(U) = f(x(U)) ⊂ N

es una carta en N con f(p) ∈ y(U). En este caso, se dice que x e y son cartas compa-

tibles o cartas adaptadas.

Demostracion.

Comprobemos que y = f ◦ x es una carta de N con f(p) ∈ y(U):

(i) Por ser f un difeomorfismo local, podemos tomar las cartas (U,x) y (V, y) en M y

N respectivamente, de forma que p ∈ x(U), f(p) ∈ y(V ) y

f = y−1 ◦ f ◦ x : U → V


sea difeomorfismo (y en particular diferenciable). Ası, se tiene que

y = f ◦ x = y ◦ f

donde y es diferenciable (por ser (U, y) una carta). Luego y es diferenciable por

ser composicion de aplicaciones diferenciables.

(ii) Tomando las cartas del anterior punto, tenemos que y = y ◦ f es homeomorfismo

por ser composicion de homeomorfismos (y es homeomorfismo por ser carta, y f

es un difeomorfismo y en particular homeomorfismo).

(iii) Se tiene que

dy(u, v) = df(x(u, v)) ◦ dx(u, v)

donde dx(u, v) es inyectiva (por ser x carta) y df(x(u, v)) es un isomorfismo (con-

secuencia del teorema de la funcion inversa, por ser f un difeomorfismo local). Por

tanto, dy(u, v) es inyectiva.

En general, el escoger cartas compatibles nos facilitara bastante las demotraciones;

notemos que en el caso de ser (U,x), (V,y) cartas compatibles, la expresion local de f

serıa la identidad.

A continuacion definimos la primera y segunda formas fundamentales de una super-

ficie cualquiera:

Definicion 2.7 Consideremos una superficie regular S ⊂ R3 y la restriccion del producto

escalar de R3 al plano tangente, es decir

〈 , 〉p : TpS × TpS → R

(w1, w2) 7→ 〈w1, w2〉p = w1 · w2

La primera forma fundamental es la foma cuadratica (bilineal y definida positiva) asocia-

da a la restriccion anterior,

Ip : TpS → R

w 7→ Ip(w) = 〈w,w〉p = ‖w‖2

Sea x : U ⊂ R2 → x(U) ⊂ S una parametrizacion cualquiera de una superficie regular

S en un punto p ∈ S fijo, se tiene que los vectores x1 = (∂x∂u ,∂y∂u ,

∂z∂u) y x2 = (∂x∂v ,

∂y∂v ,

∂z∂v )

forman una base del espacio vectorial TpS. De esa forma, cualquier vector w ∈ TpS se

puede escribir como w = w1x1 +w2x2, luego la primera forma fundamental tendra como

matriz asociada g, definida como (g11 g12

g21 g22

)donde gij = 〈xi,xj〉p con i, j = 1, 2.


Definicion 2.8 Sea S ⊂ R3 una superficie regular, p ∈ S un punto y x : U ∈ R2 → S una

parametrizacion con p ∈ x(U), el vector normal a la superficie en p esta definido como

n =x1 × x2

‖x1 × x2‖

Observemos que el vector esta bien definido por la independencia de x1 y x2. De

hecho se tiene que {x1,x2, n} es una base de R3.

Definicion 2.9 Sea S ⊂ R3 una superficie regular y x : U → x(U) ⊂ S una parametriza-

cion de S. Las funciones diferenciables

Lij = −xij · n

con i, j = 1, 2, donde

x11 =

(∂2x

∂u2,∂2y

∂u2,∂2z

∂u2

)x12 = x21 =

(∂2x

∂u∂v,∂2y

∂u∂v,∂2z

∂u∂v

)x22 =

(∂2x

∂v2,∂2y

∂v2,∂2z

∂v2

)se denominan coeficientes de la segunda forma fundamental de S respecto a la para-

metrizacion x. La matriz L definida como(L11 L12

L21 L22

)es simetrica pero no necesariamente definida positiva. Definimos la segunda forma fun-

damental de S respecto de la parametrizacion de x en p como la forma cuadratica

IIp : TpS → R

w 7→ IIp(w) =

2∑i,j=1

Lij(p)wiwj

Estas dos formas fundamentales nos permiten calcular la curvatura de Gauss de una

superficie:

Definicion 2.10 (Curvatura de Gauss) Sea S una superficie regular, la curvatura de

Gauss en un punto p ∈ S es

K =detL

detg(2.1)

2.2. La esfera 9

Definicion 2.11 Sea α(s) = x(u(s), v(s)) una curva regular contenida en S parametriza-

da por la longitud de arco con α(s0) = p, tenemos que

El vector tangente unitario es T (s) = α(s)

El vector curvatura es T (s) = α(s)

La curvatura es k(s) = ‖T (s)‖

La curvatura normal es kn(s0) = T (s0) · n(s0)

La curvatura geodesica es kg(s0) = [T (s0), T (s0), n(s0)]

2.2. La esfera

En este trabajo asumiremos siempre la Tierra como esferica. Consideraremos mas

concretamente la esfera unidad, S2, de radio 1 y centrada en el origen.

2.2.1. Parametrizacion de la esfera

Para poder establecer una notacion coherente, sera necesario tambien definir como

vamos a parametrizar nuestra esfera. De manera natural, elegiremos las coordenadas

geograficas, es decir, la parametrizacion estara definida en funcion de la latitud y la

longitud. Expliquemos antes estos conceptos:

Latitud: La Tierra gira alrededor de un eje imaginario que atraviesa su centro. En

sus extremos se encuentran los polos Norte y Sur. El cırculo maximo de la esfera

que deja a igual distancia estos polos de forma constante se denomina ecuador.

Ası, el ecuador divide la Tierra en dos partes iguales denominadas hemisferios

Norte y Sur. La latitud terrestre determina a que altura se encuentra el punto res-

pecto del ecuador, encontrandose el Polo Norte a π2 radianes y el Polo Sur a −π2 . El

conjunto de puntos que se encuentran a igual latitud se denomina paralelo.

Longitud: Cada cırculo maximo perpendicular al ecuador se denomina meridiano.

Todos ellos pasan por los polos Norte y Sur. En particular se escoge uno de esos

meridianos como referencia, el meridiano de Greenwich. Ası, la longitud mide como

de alejado esta nuestro punto del meridiano de Greenwich (Este u Oeste), con lo

cual la longitud puede medir desde −π hasta π radianes.

De esta forma, cualquier punto de la Tierra esta determinado por su longitud y su latitud

de manera unica. Es por esto que escogeremos como parametrizacion de la esfera la

siguiente:

x : (−π, π)× (−π/2, π/2)→ S2 ⊂ R3

(λ, ϕ) 7→ (cosλ cosϕ, senλ cosϕ, senϕ) (2.2)

2.2. La esfera 10

Figura 2.1: Cada punto p en la (esfera exceptuando los no parametrizados) tiene una

longitud y una latitud unicas.

Donde λ se corresponde a la longitud y ϕ a la latitud. Observemos que no puede

existir una carta cuya imagen sea todo S2 ya que la esfera es compacta y un abierto de

R2 no, con lo cual una aplicacion entre ellos no puede ser un homeomorfismo. Es por

ello que hay puntos de la esfera que no quedan dentro del dominio de nuestra parame-

trizacion.

Ası, las derivadas parciales seran:

x1 =∂x

∂λ= (− senλ cosϕ, cosλ cosϕ, 0)

x2 =∂x

∂ϕ= (− cosλ senϕ,− senλ senϕ, cosϕ)

Luego,

g11 = x1 · x1 = cos2 ϕ

g12 = g21 = x1 · x2 = 0

g22 = x2 · x2 = 1

y la matriz de la primera forma fundamental esta dada por

g =

(cos2 ϕ 0

0 1

)(2.3)

A partir de las derivadas parciales podemos obtener tambien el vector normal a la

esfera:

n = n(λ, ϕ) = (cosλ cosϕ, senλ cosϕ, senϕ) (2.4)

2.2. La esfera 11

Calculamos tambien las segundas derivadas parciales para poder obtener la matriz

de la segunda forma fundamental de la esfera:

x11 =∂2x

∂λ2= (− cosλ cosϕ,− senλ cosϕ, 0)

x12 = x21 =∂2x

∂λ∂ϕ= (senλ senϕ,− cosλ senϕ, 0)

x22 =∂2x

∂ϕ2= (− cosλ cosϕ,− senλ cosϕ,− senϕ)

De esta forma, los coeficientes son:

L11 = x11 · n = − cos2 ϕ

L12 = L21 = x12 · n = 0

L22 = x22 · n = −1

Y por tanto la matriz de la segunda forma fundamental esta dada por

L =

(− cos2 ϕ 0

0 −1

). (2.5)

Una vez introducidas las dos formas fundamentales de la esfera, podemos hablar de

su curvatura de Gauss. Debido a su simetrıa, su curvatura es la misma para cualquier

punto p ∈ S2:

K =detL

detg=

cos2 ϕ

cos2 ϕ= 1

2.2.2. Angulos y loxodromas

En primer lugar, explicamos de que manera se pueden medir angulos en una super-

ficie cualquiera.

Definicion 2.12 Consideramos una superficie S. Sean α : I → S y β : I → S dos curvas

parametrizadas regulares, tales que se cortan en un punto p = α(t0) = β(t0) ∈ S, se

tiene que el angulo θ formado por α y β viene determinado por

cos θ =〈α′(t0), β′(to)〉‖α′(t0)‖ · ‖β′(to)‖

(2.6)

donde α′(to) y β′(t0) son los vectores tangentes a α y β en el punto p.

Antiguamente existıa la creencia de que seguir una ruta con angulo constante sobre

los meridianos era equivalente a recorrer un cırculo maximo. Esto cambio cuando Pedro

Nunes indrodujo el concepto de loxodroma en su Tratado sobre la navegacion. Posterior-

mente y gracias a la invencion de los logaritmos, Leibniz pudo establecer las ecuaciones

de una loxodroma [25]. Pero, ¿que es una loxodroma?

2.2. La esfera 12

Definicion 2.13 Una loxodroma (o curva de rumbo) es una curva en la esfera que forma

un angulo constante con todos los meridianos.

La siguiente proposicion determina las condiciones que debe verificar una curva so-

bre la esfera para ser una loxodroma.

Proposicion 2.14 Una curva parametrizada por la longitud de arco α(s) = x(λ(s), ϕ(s))

sobre la esfera es una loxodroma si y solo si su longitud y latitud vienen determinadas

por las ecuaciones

λ′(s) =c1

cosϕ(s)

ϕ′(s) = c2

con c1, c2 ∈ R.

Demostracion.

Consideremos α(s) = x(λ(s), ϕ(s)) una curva cualquiera parametrizada por la lon-

gitud de arco en S2 y sea θ el angulo que forman esta curva y el meridiano m0(s) =

x(λ0, ϕ(s)). Si estas curvas se cortan en el punto p = x(λ0, ϕ0),

cos θ =〈m′0(s0), α′(s0)〉‖m′0(s0)‖|α′(s0)‖

donde s0 es tal que α(s0) = p. Aplicando la regla de la cadena, tenemos que

α′(s) =∂x

∂λλ′(s) +

∂x

∂ϕϕ′(s) = x1λ

′(s) + x2ϕ′(s)

m′0(s) = x2ϕ′(s)

Luego sustituyendo en la primera ecuacion, obtenemos que cos θ = ϕ′(s). Ademas, al

ser α(s) una loxodroma, por definicion se tiene que θ es constante, luego

cos θ = c1 = ϕ′(s)

con c1 ∈ R.

Por otro lado, como nuestra curva esta parametrizada por la longitud de arco, sabe-

mos que

‖α′(s)‖2 = 〈α′(s), α′(s)〉 = 〈x1λ′(s) + x2ϕ

′(s),x1λ′(s) + x2ϕ

′(s)〉 =

= cos2 ϕ(s) · λ′(s)2 + ϕ′(s)2 = 1.

Despejando y utilizando la condicion anterior,

λ′(s)2 =1− ϕ′(s)2

cos2 ϕ(s)=

c2cos2 ϕ(s)

donde c2 = 1− c21 ∈ R.

2.2. La esfera 13

A pesar de que las ortodromicas (o geodesicas) son tecnicamente el camino mas

corto entre dos puntos, las loxodromas se convirtieron para los navegantes en las rutas

mas simples a tomar, ya que cualquier otro camino conllevaba cambiar de direccion a

menudo. Esto hace que mapas como la proyeccion de Mercator, que como veremos mas

adelante tiene la buena propiedad de proyectar las loxodromas en lıneas rectas, fueran

de enorme utilidad para la navegacion.

2.2.3. Geodesicas

De manera intuitiva, podemos entender las geodesicas de una superficie como las

curvas contenidas en la misma tales que minimizan la distancia entre dos puntos cua-

lesquiera.

Definicion 2.15 Sea S una superficie regular, x : U → S una parametrizacion de S y

α(s) = x(u(s), v(s)) una curva regular parametrizada por la longitud de arco. Diremos

que α(s) es una geodesica (u ortodromica) sobre S si, para todo s, se verifica que

kg(s) = [T (S), T (s), n(s)] = 0

es decir, si la curvatura geodesica se anula en todos los puntos de la curva.

A continuacion presentamos un importante teorema sobre las geodesicas.

Teorema 2.16 [14] (Existencia y unicidad de las geodesicas) Sea S una superficie regu-

lar, p ∈ S y v ∈ TpS un vector tangente unitario en p. Entonces se tiene que existe una

unica geodesica α : (−ε, ε)→ S tal que α(0) = p y α(0) = v.

En particular, estamos interesados en las geodesicas de la esfera terrestre. La si-

guiente proposicion nos indica que tipo de curvas son.

Proposicion 2.17 Una curva en la esfera es una geodesica si y solo si es un cırculo

maximo.

Demostracion.

Veamos que un cırculo maximo en particular (el ecuador) es una geodesica (ya que

la demostracion para cualquier otro cırculo maximo es analoga debido a la simetrıa de la

esfera). Este cırculo maximo tiene como ecuaciones

C = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 = 1, z = 0}

Considerando como parametrizacion de la esfera terrestre (2.2), tenemos que la para-

metrizacion de C por la longitud de arco es

α(s) = x(λ(s), ϕ(s)) = (cos(s), sen(s), 0)

2.2. La esfera 14

Calculemos entonces su curvatura geodesica:

T (s) = α(s) = (− sen(s), cos(s), 0)

T (s) = −(cos(s), sen(s), 0)

kg(s) = [T (s), T (s), n(s)] = sen(ϕ(s)) = 0

donde n(s) = n(λ(s), ϕ(s)) = (cosλ(s) cosϕ(s), senλ(s) cosϕ(s), senϕ(s)) y sen(ϕ(s)) se

anula en cualquier punto de C.

En cuanto a la otra implicacion, se sigue del teorema de existencia y unicidad de

las geodesicas: el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo

orden,d2ukds2

+3∑i=1

Γkijduids

dujds

= 0, k = 1, 2 (2.7)

donde Γkij son los sımbolos de Christoffel, equivale a la propiedad de kg = 0. Por el

teorema 2.16, la solucion del sistema existe y es unica.

15

Capıtulo 3

Tipos de proyecciones

3.1. Segun la superficie de proyeccion

Una primera forma de clasificar las proyecciones es dependiendo de la superficie de

proyeccion. Las mas utilizadas son el plano, el cono y el cilindro.

3.1.1. Proyecciones acimutales

Tambien llamadas proyecciones planas, son aquellas cuya superficie de proyeccion

es un plano tangente o secante a la superficie [5]. A partir de ahora, por simplificacion,

consideraremos solo las proyecciones planas polares, es decir, aquellas con el plano

tangente a uno de los polos de la esfera terrestre.

En cuanto a las propiedades comunes a este tipo de proyecciones, sabemos que to-

dos los meridianos se proyectan en rectas que pasan por el punto central o de tangencia.

Los paralelos son cırculos concentricos al punto central que, a diferencia de los meridia-

nos, no siempre son igualmente espaciados; es por esto que una proyeccion acimutal

puede ser determinada por la distribucion de los mismos. Presentan una distorsion pe-

quena cerca del punto de tangencia que se va haciendo mayor segun nos alejamos de

el. Esta caracterıstica impide que sean utilizadas como mapas geograficos; sin embargo,

encontramos ejemplos de su uso en oceanografıa, intereses militares o turismo [13].

Una posible clasificacion de las proyecciones planas es considerando la posicion del

foco de luz a partir del cual se realiza la proyeccion:

3.1.1. Proyecciones acimutales 16

Gnomonica o central: si el foco de luz se encuentra en el centro de la esfera

terrestre. Esta proyeccion se cree de las mas antiguas, siendo Tales de Mileto (624

a.C. - 546 a.C.)[27] la primera persona que se conoce que la utilizo.

Debido a la semejanza con los antiguos relojes de Sol, el plano tangente se suele

denominar horologium u horoscopo; de hecho, el nombre de la proyeccion proviene

del termino gnomon, indicador de las horas en estos relojes [13].

Solamente puede proyectar una parte de uno de los hemisferios y su imagen es

circular. Preserva geodesicas (todas, como veremos en la proposicion 3.2), pero

no distancias, angulos ni areas. La distorsion de estas tres propiedades es muy

pronunciada segun nos alejamos del punto de tangencia [13].

Como se menciona antes, los mapas acimutales son desaconsejados para repre-

sentar la geografıa de zonas grandes de la superficie de la Tierra debido a la dis-

torsion producida. Sin embargo podemos encontrar un ejemplo de su uso en un

mapamundi publicado en 1844 por la SDUK (Sociedad para la Difusion del Cono-

cimiento Util) [12]. En este se representan 6 mapas de los 6 continentes, cada uno

de ellos en una de las caras de un cubo. Este mapa se obtiene modificando lige-

ramente la proyeccion, ya que no proyectamos sobre un plano sino sobre un cubo

circunscrito en la esfera.

Otros ejemplos de uso de estas proyecciones son en mineralogıa, sismologıa y

observacion de meteoritos (ya que en los tres casos es de gran utilidad la con-

servacion de geodesicas). Tambien es mas utilizada que otras proyecciones para

generar mapas poliedricos (como el de SDUK anteriormente mencionado, el mapa

de mariposa de Cahill o el mapa de Dymaxion, entre otros) [12].


Figura 3.1: Mapa de Dymaxion [9]

Estereografica: situando el foco de luz en el polo opuesto al del plano tangente.

Gracias a esta disposicion se consigue que la esfera terrestre sea proyectada en

su totalidad, exceptuando el foco de luz. Se trata de una proyeccion que se cree

conocida por los Antiguos egipcios, aunque su invencion suele ser atribuıda a Hi-

parco de Nicea (190 a.C. -120 a.C.) [23], que fue el primer griego en utilizarla. Se

empleo para la realizacion de mapas celestes en la Antiguedad, y mas adelante

para representar la Tierra en dos hemisferios separados [12] [26].

Figura 3.2: Proyeccion estereografica del hemisferio Norte [17]

En cuanto a sus propiedades, no preserva las areas ni las distancias. Transfor-

ma los meridianos en rectas, los paralelos en circunferencias y las loxodromas en

espirales logarıtmicas. Las direcciones desde el centro de la proyeccion son con-

servadas. La distorsion de las areas y distancias es pequena cerca del punto de

tangencia y va creciendo al alejarnos del mismo [18].

Este tipo de proyecciones eran utilizadas en un principio para la construccion de


mapas celestes y con el paso del tiempo, se empezaron a usar en mapas de la

Tierra. En la actualidad se aplica en el diseno de mapas de zonas de tamano

no muy grande (para evitar grandes distorsiones) y cercanas al punto central; por

ejemplo, para mapas de Rusia, Europa o Suecia se utiliza una proyeccion centra-

da en el polo Norte. La proyeccion estereografica conforma la base del sistema

de coordenadas UPS (Universal Polar Stereographic), que junto al UTM (Universal

Transversal Mercator) crea un sistema de coordenadas o proyecciones para toda

la Tierra. En particular, el caso de la proyeccion estereografica con un punto ecua-

torial como central fue utilizado para el diseno del astrolabio. En cualquiera de los

casos se trata de una herramienta de gran utilidad en la matematica (geometrıas

no euclıdeas, geometrıa diferencial o topologıa), ası como en la fısica, ingenierıa,

cristalografıa y fotografıa (ojo de pez) [12]. La construccion de esta proyeccion se

tratara con detalle en la seccion 3.2.1.

Ortografica: si el foco de luz se encuentra en el “punto del infinito”, es decir, si

los rayos de luz son perpendiculares al plano de proyeccion. Se asemeja a como

verıamos la Tierra desde un punto distante en el espacio [4]. Como las anteriores

proyecciones, se cree conocida por los antiguos egipcios e Hiparco utilizaba su

version ecuatorial (punto de tangencia en algun lugar del ecuador) para calculos

astronomicos. Fue tambien empleada para astronomıa por hindus y arabes. No

se conocen mapas del mundo que utilicen esta proyeccion anteriores al siglo XVI.

Alcanzo cierta popularidad durante la Segunda Guerra Mundial en la creacion de

atlas [18].

En cuanto a sus propiedades, no conserva areas ni angulos, como estudiaremos

en el ultimo capıtulo. Los meridianos son rectas y los paralelos cırculos que se van

aproximando segun nos alejamos del centro, llegando al ecuador que es el paralelo

que delimita el mapa. Ası, las zonas cercanas al polo tienen una representacion

mucho mas fiel a la real que las cercanas al ecuador, que quedan “comprimidas”.

A pesar de que la escala varıa a lo largo de los meridianos, esta se conserva a lo

largo de cada paralelo.


Figura 3.3: Proyeccion ortografica con foco en el polo Sur [6]

Ademas de las anteriores, existen otros tipos de proyecciones acimutales cuya cons-

truccion es puramente algorıtmica: como la proyeccion acimutal equidistante o la pro-

yeccion acimutal isoareal de Lambert. La primera proyeccion mencionada consigue

que las distancias a lo largo de los cırculos maximos que pasan por el punto de tangen-

cia se conserven.

Para explicar de donde viene el nombre acimutal debemos introducir un nuevo con-

cepto:

Definicion 3.1 [12] Sean A,B,C ∈ S2 tres puntos cualesquiera, consideramos las dos

geodesicas que pasan por A,B y A,C respectivamente. Definimos el acimut de B a C

como el angulo formado por estas geodesicas.

Ası, las proyecciones planas se denominan tambien acimutales debido a que el aci-

mut es preservado desde un punto de referencia fijo que sera el centro del mapa [12].

Esto es consecuencia directa de la siguiente proposicion:

Proposicion 3.2 En una proyeccion acimutal, los cırculos maximos que pasan por el

punto de tangencia (en nuestro caso uno de los polos) se transforman en rectas que

pasan por dicho punto de tangencia.

Demostracion.

Sea N el Polo Norte, S el Polo Sur, O el centro de la esfera y

M = {(x, y, z) ∈ S2 : z < 0} el hemisferio sur. Distinguimos por tipo de proyeccion:

Gnomonica:

En este caso particular, la demostracion se amplıa a cualquier cırculo maximo (y

no solo los cırculos maximos que pasan por el centro de la proyeccion).

Dados dos puntos P,Q ∈M , existe un unico cırculo maximo que los contiene. Este

se genera como la interseccion de la esfera y el plano determinado por los puntos

3.1.2. Proyecciones conicas 20

P,Q,O. Por otro lado, tenemos que los haces de luz de nuestra proyeccion que

conectan O,P y O,Q estan en el plano. Se sigue que la imagen por la proyeccion

de este cırculo maximo debe ser una recta, por ser la interseccion de dos planos:

el plano que genera el cırculo maximo y el plano donde proyectamos.

Estereografica:

Consideramos la proyeccion estereografica que utiliza como foco de luz el polo

Norte y como punto de tangencia el polo Sur. Sea cualquier punto P ∈ S2\{N,S},tomamos el plano generado por los puntos N,P,O. Analogo al primer caso, nos

encontramos con que ese plano es el que genera el cırculo maximo que contiene a

N y a P , y el haz de luz que parte de N y pasa por P esta totalmente contenido en

el plano. Por tanto la imagen de ese cırculo maximo es tambien la interseccion de

dos planos y es una recta. Esta recta ademas pasa por el punto de tangencia ya

que cualquier circulo maximo que contenga el polo Norte contiene tambien el polo

Sur.

Ortografica:

Sea P ∈M\{S} y π el plano generado por los puntos N,P,O. La interseccion de π

con la esfera es un cırculo maximo que pasa por S. Ademas, uno de sus vectores

directores es el−−→ON con lo cual π es perpendicular al plano de proyeccion. Ası, el

rayo de luz que pasa por P esta contenido en π y por tanto la proyeccion del cırculo

maximo, al igual que en los casos anteriores es la interseccion de π y el plano de

proyeccion y por tanto es una recta.

3.1.2. Proyecciones conicas

Obtenidas al proyectar la esfera terrestre sobre un cono tangente o secante a la

misma. Menos comunes que las acimutales o cilındricas, su clasificacion es analoga a la

de las proyecciones acimutales. En cuanto a su uso, se aconsejan para regiones no muy

grandes y cuya maxima extension es en la direccion este-oeste [18].

En general, la proyeccion de paralelos y meridianos en estos mapas se asemeja

a la de otros tipos de proyecciones vistas anteriormente: los paralelos se transforman

en cırculos concentricos y los meridianos son rectas que concurren en el centro de la

proyeccion. Este centro coincidira con el vertice del cono. Existen algunas excepciones

que no presentan todas estas caracterısticas, como la proyeccion conica oblıcua o la

policonica [18].

3.1.2. Proyecciones conicas 21

Figura 3.4: Proyeccion policonica: los meridianos no concurren a un mismo punto. [7]

Como propiedad comun, sabemos que los paralelos estandar (es decir, aquellos que

se utilizan como punto de corte entre la esfera y el cono) se mantienen sin distorsion.

Veamos algunos ejemplos de proyecciones conicas:

Proyeccion conica equidistante

Tambien llamada conica simple, tiene como propiedad caracterıstica que los paralelos

se encuentran igualmente espaciados. Originalmente empleada por Claudio Ptolomeo

(100 d.C. - 170 d.C) [21], en particular la que utiliza un solo paralelo estandar (cono

tangente a la esfera terrestre), fue modificada posteriormente por Johannes Ruysch y

Gerardus Mercator (1512-1594) [22]. En cuanto a la de dos paralelos estandar, Joseph

Nicolas De l’Isle fue el primero en utilizarla, para un mapa de Rusia. Anos despues,

varios matematicos (entre ellos Euler) publicaron distintas mejoras de esta proyeccion,

donde siguiendo ciertos criterios para la eleccion de los paralelos estandar pretendıan

minimizar la distorsion del mapa [18].

La deformacion de los angulos y areas aumenta segun nos alejamos de los paralelos

estandar. En estos paralelos la distorsion es nula [18]. En cuanto a su uso, se aconseja

para areas situadas en latitudes medias. Es por esto que fue la proyeccion empleada por

la antigua Union Sovietica para representar todo su territorio [2].

Proyeccion isoareal de Albers

Presentada por Heinrich C. Albers en 1805 para un mapa de Europa. Se trata de una

de las proyecciones mas utilizadas para representar regiones de Estados Unidos. Utiliza

dos paralelos estandar y consigue que la distorsion sea mınima en la region comprendida

entre estos; sin embargo, fuera de esta la distorsion es bastante pronunciada [18].

3.1.3. Proyecciones cilindricas 22

Figura 3.5: Una proyeccion de Albers del mundo con paralelos estandar 20oN y 50oN

[19]

Se trata de una proyeccion que conserva las areas pero no los angulos ni las dis-

tancias. Los paralelos no son igualmente espaciados, juntandose al acercarse a los ex-

tremos norte y sur del mapa y distanciandose al aproximarse a los paralelos estandar.

Habitualmente no hay distorsion a lo largo de los paralelos estandar aunque en algu-

nas versiones sı hay en uno de ellos. Los polos son representados como arcos de cir-

cunferencia (y no un punto situado en el centro de los paralelos, como sucederıa si la

proyeccion fuera tangente en vez de secante) [18].

Se recomienda como eleccion de los paralelos estandar regiones de latitud media

[2]. Existen sin embargo casos extremos, tomando por ejemplo uno de los polos como

paralelo estandar; en ese caso, la proyeccion se convierte en una (limitada) proyeccion

isoareal conica de Lambert. Otro ejemplo serıa tomando el ecuador como uno de los dos

paralelos estandar; con pequenas modificaciones en las formulas se puede conseguir

una proyeccion isoareal cilındrica de Lambert [18].

3.1.3. Proyecciones cilındricas

En este tipo de proyecciones se utiliza un cilindro colocado alrededor de la esfera

terrestre. Normalmente empleadas para representaciones de la Tierra en su totalidad,

tienen como zona de menor distorsion un cırculo maximo (como el ecuador, por ejemplo)

[18]. Dependiendo de los puntos de tangencia del cilindro con la esfera, se distinguen

tres tipos de proyecciones cilındricas [16]:

Regular si el ecuador es el lugar de tangencia. Se trata de la forma mas utilizada.

Transversa si es tangente o secante a un meridiano.

Oblicua si el conjunto de puntos de tangencia no se corresponde a un meridiano

ni un paralelo.

3.2.1. Proyecciones conformes 23

Figura 3.6: De izquierda a derecha: regular, transversa y oblıcua [10]

Sin lugar a dudas, el ejemplo mas conocido de proyeccion cilındrica es la proyeccion

de Mercator.

Proyeccion de Mercator

Durante el siglo XIII en Italia aparecen las cartas portulanas, mapas que sirvieron

de enorme utilidad a los navegantes y que representaban de manera muy precisa las

costas mediterraneas y del Mar Negro. Las cartas portulanas, sin embargo, no tenıan en

cuenta la curvatura de la Tierra. Es por ello que Gerardus Mercator, en 1569, se propuso

construir un mapamundi que representara las lıneas de rumbo (o loxodromas) como

segmentos de rectas. Ası nacio la proyeccion de Mercator [12] [22]. Cabe destacar que su

invencion fue anterior al desarrollo del calculo infinitesimal y de la geometrıa diferencial,

y las herramientas matematicas necesarias para su formalizacion matematica no fueron

conseguidas hasta varios anos despues de la muerte del cartografo [5].

Esta proyeccion es cilındrica regular, donde los meridianos son rectas igualmente

espaciadas y los paralelos son rectas perpendiculares a los meridianos que se van jun-

tando a medida que se aproximan al ecuador. Ademas, como explicabamos antes, las

loxodromas son segmentos contenidos en rectas. En la siguiente seccion calcularemos

sus ecuaciones.

3.2. Segun las propiedades que conservan

Ante la imposibilidad de recrear un mapa de la tierra que conserve todas sus pro-

piedades, se debe tomar la decision de que caracterısticas seran mas necesarias para

el usuario. En esta seccion se tratara de clasificar las distintas proyecciones dependien-

do de las propiedades que conservan, ası como determinar condiciones necesarias y/o

suficientes para determinar si una proyeccion en particular es de un tipo o de otro.


3.2.1. Proyecciones conformes

Definicion 3.3 Una aplicacion f : M → N entre dos superficies es conforme si preserva

los angulos entre pares de curvas intersecadas.

La siguiente proposicion caracteriza las aplicaciones conformes entre superficies.

Proposicion 3.4 Sea f : M → N un difeomorfismo local. Son equivalentes:

(i) la aplicacion f es conforme

(ii) existe una aplicacion diferenciable ρ : M → R tal que no se anula en ningun punto

y ademas, para todo p ∈M y v ∈ TpM , se tiene

Ip(v) = ρ(p)2If(p)(dfp(v))

La funcion ρ se llama escala de f .

(iii) Sea x : U →M una parametrizacion e y = f ◦ x : U → N una carta compatible en

N , se tiene que

gij = ρ2(p)gij

donde gij son los coeficientes de la primera forma fundamental de x y gij los de la

primera forma fundamental de y.

Demostracion.

Sea p ∈M . Fijamos (U,x), una carta en M con p ∈ U e y = f ◦x : U → N una carta

compatible en N .

◦ (ii)⇒ (iii)

Notemos que

g11 = Ip(x1) = ρ2(p)If(p)(dfp(x1)) = ρ2(p)g11

g22 = Ip(x2) = ρ2(p)If(p)(dfp(x2)) = ρ2(p)g22

Ya que al haber tomado cartas compatibles, la expresion local de dfp es la identidad,

es decir que dfp(x1) = y1 y dfp(x2) = y2. De igual manera, sea v = x1 + x2, se

tiene que dfp(v) = y1 + y2 y por lo tanto

Ip(v) = 〈x1 + x2,x1 + x2〉p = g11 + g22 + 2g12

If(p)(dfp(v)) = 〈y1 + y2,y1 + y2〉f(p) = g11 + g22 + 2g12

Despejando, se tiene que g12 = 12(Ip(v) − g11 − g22) = 1

2ρ2(p)(If(p)(dfp(v)) − g11 −

g22) = ρ2(p)g12


◦ (iii)⇒ (ii)

Sea v = v1x1 + v2x2 ∈ TpM , tenemos que dfp(v) = v1y1 + v2y2.

Ip(v) = 〈v, v〉p = v21g11 + 2v1v2g12 + v22g22 = ρ2(p)(v21 g11 + 2v1v2g12 + v22 g22)

If(p)(dfp(v)) = 〈dfp(v), dfp(v)〉f(p) = v21 g11 + 2v1v2g12 + v22 g22

Y trivialmente se obtiene la igualdad buscada.

◦ (ii)⇒ (i)

La condicion

Ip(v) = ρ2(p)If(p)(dfp(v))

es equivalente a que, dados cualesquier v, w ∈ TpM , si tomamos µ(p) := 1ρ(p)

‖dfp(v)‖2 = µ2(p) · ‖v‖2 ⇒ ‖dfp(v)‖ = |µ(p)| · ‖v‖

‖dfp(w)‖2 = µ2(p) · ‖w‖2 ⇒ ‖dfp(w)‖ = |µ(p)| · ‖w‖

‖dfp(v + w)‖2 = ‖dfp(v) + dfp(w)‖2 = |µ2(p)| · ‖v + w‖2

Por otro lado, tenemos que

‖v + w‖2 = ‖v‖2 + ‖w‖2 + 2v · w

‖dfp(v) + dfp(w)‖2 = ‖dfp(v)‖2 + ‖dfp(w)‖2 + 2dfp(v) · dfp(w) =

= µ2(p)‖v‖2 + µ2(p)‖w‖2 + 2dfp(v) · dfp(w)

Despejando, obtenemos que

2v · w = ‖v + w‖2 − ‖v‖2 − ‖w‖2

2dfp(v) · dfp(w) = µ2(p)(‖v + w‖2 − ‖v‖2 − ‖w‖2) =

= µ2(p)2v · w ⇒ dfp(v) · dfp(w) = µ2(p)v · w

Sea θ el angulo formado por los vectores v, w ∈ TpM y θ el formado por dfp(v),

dfp(w),

cos θ =dfp(v) · dfp(w)

‖dfp(v)‖ · ‖dfp(w)‖=

µ2(p)v · w|µ(p)|‖v‖|µ(p)|‖w‖

=v · w‖v‖‖w‖

= cos θ

Luego los angulos se conservan.

◦ (i)⇒ (iii)

Consideramos los distintos casos:

• g12 6= 0 y g12 6= 0:

Sea v = x1 ∈ TpM , buscamos un vector w = w1x1 + w2x2 que sea ortogonal

a v, es decir, debe verificar

〈v, w〉p = 0⇒ w1g11 + w2g12 = 0 (3.1)


y por ser la aplicacion f conforme, debe ser

〈dfp(v), dfp(w)〉p = 0⇒ w1g11 + w2g12 = 0 (3.2)

Si consideramos el sistema formado por (3.1) y (3.2), para que este tenga

solucion no nula, debe cumplirse que∣∣∣∣∣g11 g12

g11 g12

∣∣∣∣∣ = 0

Por ser el determinante anterior 0, las filas deben ser linealmente dependien-

tes, luego en este caso podemos escribir

g11g11

=g12g12

= ρ2(p)

(Notemos que g11 = ‖x1‖2 > 0 y g11 = ‖y1‖2 > 0 y ademas dependen de

p, luego existe una funcion positiva, la cual hemos denominado ρ2(p), que

cumple lo anterior).

Siguiendo el mismo proceso pero tomando v = x2 , obtenemos el siguiente

determinante: ∣∣∣∣∣g12 g22

g12 g22

∣∣∣∣∣ = 0

Como vimos antes, g12g12= ρ2(p), luego podemos concluır que g22 = ρ2(p)g22.

• g12 = g21 = 〈x1,x2〉 = 0

En este caso, tomaremos v = x1 + x2, y buscaremos tambien un w = w1x1 +

w2x2 ortogonal a v. Nuestro nuevo sistema sera ahora

〈v, w〉 = 0⇒ w1g11 + w2g22 = 0

〈dfp(v), dfp(w)〉 = 0⇒ w1g11 + w2g22 = 0

y de manera analoga, obtenemos que

g11g11

=g22g22

= ρ2(p)

Luego gij = ρ2(p)gij para todo i, j = 1, 2, como querıamos demostrar.

Presentamos ahora un par de ejemplos de este tipo de proyeccion y comprobare-

mos, con la proposicion que acabamos de demostrar, que estas tambien preservan los

angulos.


La proyeccion estereografica

Como se menciona en el capıtulo sobre proyecciones acimutales, se trata de una de

las proyecciones mas antiguas y utilizadas. Veamos como se construye:

Sea M = S2\{N} donde N = (0, 0, 1) es el Polo Norte. Consideramos la parametri-

zacion de la recta que pasa por N y un punto p = (x, y, z) ∈M cualquiera:

l ≡ (tx, ty, (1− t) + tz)

Tomando R2 como {z = −1}, tenemos que el punto de corte de nuestra recta l y el plano

es

1− t+ tz = −1⇒ t =2

1− zLuego nuestra proyeccion estereografica sera

f : M → R2

(x, y, z) 7→(

2x

1− z,

2y

1− z

)Utilizando la parametrizacion (2.2) para M , tenemos que

y := f ◦ x(λ, ϕ) =

(2 cosϕ cosλ

1− senϕ,2 cosϕ senλ

1− senϕ

)(3.3)

Calculemos la matriz asociada a la primera forma fundamental de R2 respecto de la carta

(U,y):

y1 =∂y

∂λ=

(−2 cosϕ senλ

1− senϕ,2 cosϕ cosλ

1− senϕ

)y2 =

∂y

∂ϕ=

(2 cosλ

1− senϕ,

2 senλ

1− senϕ

)

g11 = y1 · y1 =4 cos2 ϕ

(1− senϕ)2

g12 = y1 · y2 = 0

g22 = y2 · y2 =4

(1− senϕ)2

Comparando con la primera forma fundamental de la esfera en la carta (U,x), claramente

tenemos que ρ2(p) = 4(1−senϕ)2 (diferenciable, no se anula ya que si ϕ = π

2 , p es el polo

Norte). Por la proposicion anterior podemos concluir que la aplicacion es conforme.

La proyeccion de Mercator

Recordemos que esta proyeccion es cilındrica regular, con la gran utilidad de conser-

var las loxodromas como segmentos de lıneas rectas, ademas de enviar meridianos y

paralelos a lıneas ortogonales [5].


Para construir la aplicacion, φ : S2 → R2, debemos tener en cuenta que esta enviara

los paralelos en ellos mismos, es decir

φ ◦ x : (−π, π)×(−π2,π

2

)→ (−π, π)× R ⊂ R2

(λ, ϕ) 7→ (λ, f(ϕ))

con f alguna funcion que solo depende de ϕ.

Sea α(s) = x(λ(s), ϕ(s))) una loxodroma parametrizada por la longitud de arco,

φ(α(s)) = (λ(s), f(ϕ(s)) parametrizara una recta en el plano, con lo cual

f ′(ϕ(s)) · ϕ′(s)λ′(s)

= k

con k constante (la pendiente de la recta). Utilizando la proposicion 2.14,

f ′(ϕ)c2 = kc1

cosϕ⇒ f ′(ϕ) =

k2cosϕ

donde k2 = kc1c2

. Ahora, para asegurar que la aplicacion sea conforme, utilizamos la

siguiente proposicion:

Proposicion 3.5 Una proyeccion φ : S2 → R2 con φ ◦ x(λ, ϕ) = (λ, f(ϕ)) y verificando

que f ′(ϕ) = k2cosϕ es conforme, si y solo si k2 = ±1.

Demostracion.

Sea y = φ ◦ x una carta compatible y sean gij los coeficientes de la primera forma

fundamental de x y gij los de y. Se comprueba directamente que

y1 =∂y

∂λ= (1, 0)

y2 =∂y

∂ϕ= (0, f ′(ϕ))

3.2.2. Proyecciones isoareales 29

Luego se tiene que

g11 = 1

g21 = g21 = 0

g22 = (f ′(ϕ))2

Por lo tanto, si φ es conforme, utilizando la proposicion 3.4, sabemos que existe una

funcion ρ : S2 → R tal que gij = ρ2gij . Operando con esa igualdad, obtenemos que

g11 = cos2(ϕ) = ρ2g11 = ρ2

g22 = 1 = ρ2(f ′(ϕ))2 = cos2(ϕ)(f ′(ϕ))2

Despejando, obtenemos que f ′(ϕ) = ±1cosϕ (notemos que cosϕ > 0, para todo ϕ ∈

(−π2 ,

π2

)).

Para la otra implicacion, basta notar que en ese caso

g =

(cos2 ϕ 0

0 1

)g =

(1 0

0 1cos2 ϕ

)

Por tanto existe un ρ(s) = cosϕ(s) tal que gij = ρ2(s)gij y la aplicacion es conforme.

Con lo anterior, podemos afirmar que f ′(ϕ(s)) = ±1cosϕ . Integrando, obtenemos que la

proyeccion de Mercator es

φ ◦ x(λ, ϕ) = (λ, ln(tan(ϕ) +1

cosϕ)) (3.4)

3.2.2. Proyecciones isoareales

Definicion 3.6 Dada una aplicacion f : M → N entre dos superficies, diremos que es

isoareal si preserva las areas.

Al igual que en el anterior apartado, es necesario especificar de que forma mediremos

las areas.

Definicion 3.7 Sea R ⊂ S una region acotada y x : U ⊂ R2 → S una parametrizacion

de la superficie regular S, el area de R esta dado por

A(R) =

∫ ∫Q

√det(g)dudv

donde Q = x−1(R) y g es la matriz asociada a la primera forma fundamental de x.

Proposicion 3.8 Sea f : M → N un difeomorfismo, x : U → M una parametrizacion e

y = f ◦ x : U → N una carta compatible en N . La aplicacion f sera isoareal si y solo si

det(g) = g11g22 − g212 = g11g22 − g212 = det(g)


donde gij son los coeficientes de la primera forma fundamental de x y gij los de la

primera forma fundamental de y.

Demostracion.

La aplicacion f sera isoareal si y solo si para cualquier region acotada R ⊂ M se

tiene que

A(R) =

∫ ∫x−1(R)

√det(g)dudv =

∫ ∫y−1(f(R))

√det(g)dudv

lo cual es equivalente a

det(g) = det(g)

ya que al ser x e y cartas compatibles, se tiene que x−1(R) = y−1(f(R)).

A continuacion hablamos de un ejemplo de proyeccion isoareal:

Proyeccion cilındrica isoareal de Lambert

Tambien llamada proyeccion de Arquımedes, ya que se cree que este la conocıa, fue

presentada por Lambert en 1772 junto con otras 6 proyecciones en su trabajo “Notas y

comentarios sobre la composicion de mapas terrestres y celestes” [12]. Se trata de un

ejemplo sencillo de proyeccion isoareal no conforme. En cuanto a la distorsion, esta es

nula en el ecuador y va aumentando segun nos acercamos a los polos, como estudiare-

mos en el capıtulo 4. Los meridianos se transforman en rectas igualmente espaciadas y

los paralelos tambien se transforman en rectas que se juntan segun nos aproximamos a

los polos [18].

Consideramos M = S2\{N,S} donde N y S son los polos Norte y Sur, y el cilindro

C = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 = 1}. Tenemos la siguiente aplicacion

f : M → C

p 7→ l ∩ C

donde l es la semi-recta perpendicular al eje z que partiendo del eje z pasa por p.

Calculemos el punto de corte de l y C:

Sea p ∈ S2 un punto cualquiera, p = (x0, y0, z0), como l pasa por los puntos p y

(0, 0, z0), podemos parametrizar l como l ≡ (λx0, λy0, z0). Los puntos de corte de l y C

seran entonces los que cumplan la ecuacion

λ2x20 + λ2y20 = 1⇒ λ =1√

x20 + y20=

1√1− z20

Luego, para un p = (x, y, z) ∈ S2 cualquiera,

f(p) =

(x√

1− z2,

y√1− z2

, z

)


Figura 3.7: Proyeccion cilındrica isoareal de Lambert [11]

Usando la parametrizacion (2.2) para S2 tenemos una parametrizacion compatible para

C dada por

y = f ◦ x : (−π, π)× (−π2,π

2)→ C

(λ, ϕ) 7→ (cosλ, senλ, senϕ) (3.5)

Comprobemos en primer lugar si esta aplicacion es un difeomorfismo, para poder

aplicar la proposicion 3.8. Para comprobar si f es diferenciable, consideramos las para-

metrizaciones de la esfera y el cilindro

x : (−π, π)× (−π2,π

2)→ S2

(λ, ϕ) 7→ (cosλ cosϕ, senλ senϕ, senϕ)

x2 : U → C

(λ, ϕ) 7→ (λ, senϕ)

donde U = (−π, π)×(−1, 1) ⊂ R2. Luego la aplicacion x−12 ◦f ◦x : (−π, π)×(−π2 ,

π2 )→ U

definida por

x−12 ◦ f ◦ x(λ, ϕ) = (λ, senϕ). (3.6)

es biyectiva; ademas es diferenciable (como aplicacion entre subconjuntos de R2) e in-

vertible.

Aplicando la proposicion 3.8 y la parametrizacion compatible y definida anteriormen-

te, podemos comprobar si f es isoareal:

y1 = (− senλ, cosλ, 0)

y2 = (0, 0, cosϕ).


Si denotamos gij = yi · yj ,

g11 = 1

g12 = 0

g22 = cos2 ϕ.

Por tanto, el determinante de g es cos2ϕ. Al coincidir con el determinante de la primera

forma fundamental de la esfera, podemos asegurar que la proyeccion es isoareal. Note-

mos que ademas no es conforme, ya que no puede existir una funcion ρ : S2 → R tal que

gij = ρ2(p)gij :

g11 = cos2 ϕ = ρ2 · g11 = ρ2 · 1 =⇒ ρ2 = cos2 ϕ

g22 = 1 6= ρ2 · g22 = ρ2 · cos2 ϕ = cos4 ϕ

33

Capıtulo 4

El problema del mapa perfecto

Si observamos los ejemplos de proyecciones estudiadas a lo largo de este trabajo,

veremos que todas ellas presentan algun tipo de “desventaja”; ninguna de ellas preser-

va simultaneamente areas, angulos y distancias. Ası, a la hora de hacer un mapa, el

cartografo debera escoger la proyeccion segun el empleo que se dara del mismo. Por

ejemplo, si se trata de un mapa para rutas marıtimas, lo ideal sera una proyeccion de

Mercator (como vimos en la seccion 3.1.3).

Una posible pregunta que se puede hacer el lector es si existe alguna forma de cla-

sificar los mapas con el fin de encontrar el “mejor”, entendiendo como mejor aquel que

mas se asemeja a la realidad. En esta seccion hablaremos de diferentes formas de medir

la distorsion entre nuestro mapa y la esfera terrestre, ası como que propiedades pueden

ser conservadas mediante proyecciones.

De manera bastante intuitiva, podemos ver que si una proyeccion conservara geodesi-

cas no podrıa ser conforme. Para comprobarlo, supongamos que tenemos dicha pro-

yeccion. Consideramos un triangulo esferico cualquiera formado por arcos de cırculos

maximos. Por ser un triangulo esferico, la suma de sus angulos internos sera mayor de

π radianes. Sin embargo, la proyeccion de este triangulo sera un triangulo euclıdeo cu-

yos angulos internos sumaran exactamente π radianes. Este resultado es consecuencia

directa de la formula de Gauss-Bonnet :

Definicion 4.1 (Entorno coordenado geodesico) [3] Un entorno U ⊂ R3 se llama en-

torno coordenado geodesico si la primera forma fundamental en todos los puntos de U

es de la forma (1 0

0 g22

)


Teorema 4.2 (Formula de Gauss-Bonnet) Sea γ una curva cerrada regular a trozos

contenida en un entorno coordenado geodesico simplemente conexo y que encierra una

region R. Sean αi con i ∈ {1, .., n} los angulos exteriores de la curva. Entonces∫ ∫RKdA+

∫γkgds+

n∑i=1

αi = 2π

donde K es la curvatura de Gauss, dA =√detg es el diferencial del area y kg es la

curvatura geodesica de γ [3].

Como en nuestro caso ambos triangulos estan hechos con segmentos de geodesi-

cas, tenemos que kg = 0, luego la formula se reduce a∫ ∫RKdA+

3∑i=1

αi = 2π (4.1)

Ahora, en el caso del triangulo esferico, K = 1. Sean βi = π − αi con i ∈ {1, 2, 3} sus

angulos internos, tenemos que

3∑i=1

βi = π +

∫ ∫RdA > π

Por lo tanto, si una proyeccion mantiene las geodesicas no puede ser conforme. Los

siguientes resultados nos ayudaran a entender por que una proyeccion no puede ser

simultaneamente conforme e isoareal.

Definicion 4.3 (Isometrıa) Una isometrıa entre dos superficies regulares M y N es una

aplicacion diferenciable φ : M → N que conserva la primera forma fundamental, es decir,

que mantiene el producto escalar: para cada p ∈M y cualesquiera v, w,∈ TpM , se tiene

〈dφp(v), dφp(w)〉 = 〈v, w〉 (4.2)

Dicho de otra forma, φ es una isometrıa si y solo si, es una aplicacion diferenciable cuya

diferencial dφp : TpM → Tφ(p)N es una isometrıa lineal.

Definicion 4.4 (Isometrıa local) Una aplicacion diferenciable φ : M → N entre dos

superficies regularesM yN es una isometrıa local en un punto p ∈M si existen entornos

abiertos W ⊂M de p y W ⊂ N de φ(p) tales que φ|W : W → W es una isometrıa.

Teorema 4.5 (Egregio de Gauss) Sean M y N dos superficies y f : M → N una iso-

metrıa local. Entonces K(f(p)) = K(p) para cualquier p ∈M , donde la curvatura en f(p)

es la de N y la curvatura en p se calcula para la superficie M .

Teorema 4.6 Un difeomorfismo φ : M → N entre superficies regulares es conforme e

isoareal si, y solo si, es una isometrıa.

4.1. Distorsion 35

Demostracion.

Sea φ : M → N una isometrıa. Fijamos (U,x) una carta en M con p ∈ U e y = f ◦x :

U → N una carta compatible en N . Como consecuencia directa de la definicion tenemos

que

gij = gij ,

donde gij y gij son los coeficientes de las primeras formas fundamentales de x e y,

respectivamente. Por tanto φ es isoareal (ver proposicion 3.8) y es conforme (con ρ2(p) =

1 para cualquier p ∈M , ver proposicion 3.4).

Para la otra implicacion, consideramos una aplicacion φ : M → N conforme e isoareal

y las cartas anteriores. Sean

g =

(g11 g12

g21 g22

)g =

(g11 g12

g21 g22

)

las matrices de la primera forma fundamental de x e y respectivamente. Gracias a la

proposicion 3.4, sabemos que existe una funcion ρ : M → R diferenciable que no se

anula y tal que

〈dφp(v), dφp(w)〉 = ρ2(p)〈v, w〉

para cualesquier v, w ∈ TpM . En particular, si p = x(u, v)

g11 = 〈yu,yu〉 = 〈dφp(xu), dφp(xu)〉 = ρ2(p)〈xu,xu〉 = ρ2(p)g11

Y de manera analoga,

g12 = ρ2(p)g12

g22 = ρ2(p)g22

Sean f(p) =√detg y f(φ(p)) =

√detg. Como probamos en la proposicion 3.8, al ser φ

una aplicacion isoareal, se tiene que f(p) = f(φ(p)), y ademas√detg =

√detg =

√ρ2(p)g11ρ2(p)g22 − ρ4(p)g12 = ρ2(p)

√detg

Esto solo puede ser si ρ2(p) = 1. Al ser el punto p ∈ M arbitrario se tiene que ρ2 ≡ 1 y

por tanto φ es una isometrıa.

Gracias a los anteriores teoremas, podemos dar finalmente el siguiente corolario:

Corolario 4.7 Una proyeccion nunca es simultaneamente conforme e isoareal.

Demostracion.

Supongamos que tenemos una proyeccion conforme e isoareal. Por el teorema 4.6

sabemos que debe ser una isometrıa. Si es una isometrıa, por el teorema 4.5 debe

conservar las curvaturas. Aquı llegamos a la contradiccion puesto que las curvaturas de

esfera y plano son diferentes.

4.1. Distorsion 36

4.1. Distorsion

Entendemos como distorsion cualquier deformacion producida al proyectar en nues-

tro mapa. En particular, nos interesan las distorsiones producidas en distancias, areas

y angulos. Para calcular esta distorsion necesitaremos el cociente entre la medida pro-

yectada y la real. Este cociente es comunmente llamado escala y solo puede ser deter-

minada de manera local y en cada punto [4]. El estudio de la variacion de este cociente

segun el punto en la esfera escogido sera lo que denominamos distorsion.

4.1.1. Distorsion de las distancias

Hablemos primero de la distorsion de las distancias. Para ello introducimos el tipo de

distancia que utilizaremos:

Definicion 4.8 Llamaremos distancia geodesica dS2(p1, p2) entre dos puntos p1, p2 ∈ S2

a la longitud del menor arco de cırculo maximo que une p1 y p2. [15]

Definicion 4.9 Sea φ : S2 → R2 una proyeccion y p1, p2 ∈ S2 dos puntos, definiremos la

escala de φ (en cuanto a distancias) respecto a esos puntos como

σ(p1, p2) =dE(φ(p1), φ(p2))

dS2(p1, p2)

donde dE representa la distancia euclıdea [15].

Sin embargo, como dijimos antes, la escala es una propiedad local y que varıa en

cada punto. Extendemos entonces la definicion anterior a la definicion de escala en un

solo punto p0 ∈ S2 de la siguiente manera:

σ(p0) = lımp→p0

dE(φ(p), φ(p0))

dS2(p, p0). (4.3)

Como este lımite puede darse en cualquier direccion, por simplificacion se suelen esco-

ger las direcciones del paralelo y meridiano que pasan por p como factores de escala

significativos. Denotaremos por Mp el factor de escala a lo largo del paralelo y por Mm

el factor de escala a lo largo del meridiano. Estas medidas estan en funcion de la latitud

y la longitud [4].

El siguiente resultado relaciona estos factores de escala con el hecho de que una

proyeccion sea conforme o isoareal:

Proposicion 4.10 [12] [4] Sea φ una proyeccion que lleva paralelos y meridianos a inter-

secarse en angulos rectos. Sean Mp y Mm los factores de escala a lo largo del paralelo

y del meridiano que pasan por q ∈ S2\{N,S}

4.1. Distorsion 37

Si Mp ·Mm = 1 para todo punto q, la proyeccion sera isoareal.

Si Mp = Mm para todo punto q, la proyeccion sera conforme.

La demostracion de esta proposicion se dara mas adelante en el capıtulo. A conti-

nuacion presentamos tres ejemplos especıficos de proyecciones en los que calculamos

sus respectivas escalas:

Proyeccion cilındrica regular

Sea q ∈ S2\{N,S} un punto cualquiera cuya longitud y latitud son, respectivamen-

te, λ0 y ϕ0. Calculemos en primer lugarMp, es decir, la escala a lo largo del paralelo

que pasa por q.

La longitud de este paralelo es 2π cosϕ0. Por tanto, la longitud del arco de circunfe-

rencia del paralelo comprendido entre λ0 y λ0 + t (cuya proyeccion es un segmento

de recta de longitud t) siendo t > 0 es

t

2π2π cosϕ0 = t cosϕ0

Por tanto, tenemos que la escala a lo largo del paralelo es

Mp = lımt→0

t

t cosϕ0=

1

cosϕ0

Esto quiere decir que la distorsion de cualquier proyeccion cilındrica con el ecuador

como paralelo de tangencia es nula a lo largo del ecuador (si ϕ0 = 0 entonces Mp

= 1) y se va agrandando segun nos alejemos del mismo, como comentabamos en

la seccion de proyecciones cilındricas.

Calculemos ahora Mm, la escala del meridiano de longitud λ0.

Al tratarse de una proyeccion cilındrica regular, sabemos que los paralelos se trans-

forman en rectas que solo dependen de la latitud. Por simplificacion, diremos que

la imagen del paralelo de latitud ϕ0 es la recta horizontal de altura y = h(ϕ0). En

la esfera de radio 1, el arco de meridiano comprendido entre las latitudes ϕ0 y

ϕ0 + t tiene longitud t, mientras que su imagen por la proyeccion tendra imagen

h(ϕ0 + t)− h(ϕ0). Por tanto, tenemos que

Mm = lımt→0

h(ϕ0 + t)− h(ϕ0)

t= h′(ϕ0)

4.1. Distorsion 38

Tomamos nuestros calculos para un ejemplo de proyeccion en particular: la proyec-

cion cilındrica isoareal de Lambert. Recordemos que esta proyeccion se construıa

tomando por cada punto q = (x0, y0, z0) ∈ S2\{N,S} la semirrecta l que parte del

punto (0, 0, z0) y pasa por q. El punto de corte de l con nuestro cilindro sera la

imagen por la proyeccion de q.

Tenemos entonces que la escala en los paralelos, siendo igual en todas las pro-

yecciones cilındricas regulares, es Mp = 1cosϕ0

. Para calcular la escala en los meri-

dianos basta tomar la ecuacion (3.6). Vemos que claramente h(ϕ) = senϕ, con lo

cual Mm = h′(ϕ0) = cosϕ0. Notemos que se verifica Mp ·Mm = 1 por tratarse de

una proyeccion que conserva areas y tal que meridianos y paralelos se intersecan

en angulos rectos. En cuanto al estudio de la distorsion, vemos que la deforma-

cion disminuye a lo largo de los meridianos y aumenta en los paralelos segun nos

alejamos del ecuador.

Proyeccion acimutal

Sea φ : S2 → R2 una proyeccion acimutal cuyo punto de tangencia con el plano

de proyeccion es el polo Sur y q ∈ S2 un punto cualquiera con longitud λ0 y latitud

ϕ0. En la siguiente ilustracion, podemos ver que la imagen por φ del paralelo que

pasa por q se convierte en una circunferencia centrada en el polo Sur y cuyo radio

depende de ϕ0.

Al igual que en la anterior proyeccion, tenemos que el arco de circunferencia entre

4.1. Distorsion 39

λ0 y λ0 + t con t > 0 es t cosϕ0, mientras que la longitud entre las proyecciones de

esos puntos es tr(ϕ0), es decir

Mp = lımt→0

tr(ϕ0)

t cosϕ0=r(ϕ0)

cosϕ0

Para calcular la escala del meridiano, Mm, tenemos en cuenta que la imagen de

los meridianos son rectas que pasan por el centro de la proyeccion:

Como vemos en la figura, se tiene que

Mm = lımt→0

r(ϕ0 + t)− r(ϕ0)

t= r′(ϕ0)

Calculemos de nuevo los factores de escala para un ejemplo de proyeccion. Esta

vez consideraremos la proyeccion estereografica. Como calculamos anteriormente, la

expresion (3.3) nos indica que para cualquier punto p = x(λ, ϕ) ∈ S2\{N} su imagen en

el plano viene dada por:

y(λ, ϕ) := f ◦ x(λ, ϕ) =

(2 cosϕ cosλ

1− senϕ,2 cosϕ senλ

1− senϕ

)Por tanto, podemos calcular r(ϕ) como la distancia euclıdea del origen de coordenadas

a la imagen del punto, es decir

r(ϕ) =

√(2 cosϕ cosλ

1− senϕ

)2

+

(2 cosϕ senλ

1− senϕ

)2

=2 cosϕ

1− senϕ

Ası tenemos que

Mp =r(ϕ0)

cosϕ0=

2 cosϕ0

1−senϕ0

cosϕ0=

2

1− senϕ0

Mm = r′(ϕ0) =2− 2 senϕ0

(1− senϕ0)2=

2

1− senϕ0(4.4)

Obteniendo que Mp = Mm por tratarse de una proyeccion conforme.

4.1. Distorsion 40

Con estos valores vemos que la distorsion a lo largo de paralelos y meridianos es

maxima si nos situamos en el Polo Norte, mientras que esta va disminuyendo hasta ser

nula en el Polo Sur (que es nuestro punto de tangencia, tal y como comentamos en el

capıtulo 3).

Otro ejemplo de proyeccion acimutal es la proyeccion gnomonica. Calcularemos las

escalas de manera un poco diferente a las anteriores [12]. Sea φ : S2 → R2 una proyec-

cion gnomonica cuyo punto de tangencia con el plano es el polo Norte. Consideramos

un disco D infinitesimalmente pequeno de radio r y centrado en un punto q ∈ S2, situado

en una latitud ϕ0 concreta. Por tratarse de un disco muy pequeno podemos suponer que

este se encuentra en el plano tangente a la esfera en q. Sea φ(q) = q′ ∈ R2:

Figura 4.1: Construccion previa a la proyeccion del disco D en el plano tangente [12]

Como vemos en la anterior figura, por semejanza de triangulos tenemos que

r′

r=|Oq′|

1.

Ademas, por estar q en una latitud ϕ0,

senϕ0 =1

|Oq′|.

Juntando ambas expresiones, tenemos que la distorsion en cualquier paralelo (notemos

que el punto q ∈ S2 es arbitrario) es

Mp = lımt→0

tsenϕ0

t=

1

senϕ0(4.5)

Por otro lado, tenemos que la distorsion de los meridianos es:

4.1. Distorsion 41

Figura 4.2: Podemos suponer el angulo q′BC como recto, por ser r′ muy pequeno com-

parado con |Oq′| [12]

r′′ =r′

senϕ0=

r

sen2 ϕ0

Mm = lımt→0

tsen2 ϕ0

t=

1

sen2 ϕ0(4.6)

Por tanto, podemos concluir que no es conforme (ya que 1 6= Mp · Mm = 1sen3 ϕ0

) ni

isoareal (ya que Mp 6= Mm). Si observamos la distorsion vemos que esta disminuye

segun nos alejamos del ecuador, tanto en paralelos como en meridianos (siendo mas

rapido en el caso de los meridianos).

4.1.2. Distorsion de las areas

Como vimos en el caso de las distancias, el calculo de la distorsion de las areas

tambien debe ser local. Es por ello que para calcular la distorsion en un punto cualquie-

ra deberemos coger un entorno de este punto suficientemente pequeno. En particular

tomaremos areas computadas de la siguiente manera [4]:

En primer lugar, calcularemos el area de la franja comprendida entre dos paralelos

cualesquiera de latitudes fijas ϕ0 y ϕ1 (considerando ϕ1 > ϕ0).

4.1. Distorsion 42

Para obtener la diferencial del area (dA) y ası poder integrar, tenemos en cuenta que

la ecuacion de nuestra esfera S2 es x2 + y2 + z2 = 1, con lo cual z =√

1− x2 − y2 y por

tanto

∂z

∂x=

−x√1− x2 − y2

∂z

∂y=

−y√1− x2 − y2

∂z

∂z= 1.

Con esto tenemos que

dA =

√∂z

∂x

2

+∂z

∂x

2

+∂z

∂z

2

dxdy =1√

1− x2 − y2dxdy

Cambiando a coordenadas cilındricas e integrando, tenemos que∫ 2π

θ=0

∫ cosϕ1

r=cosϕ0

r√1− r2

drdθ = 2π(senϕ1 − senϕ0)

Por ultimo, consideramos restringir la franja anterior a dos meridianos de longitudes

λ0 y λ1 (siendo λ1 > λ0).

Esto simplemente hace que cambien los lımites de la integral:∫ λ1

θ=λ0

∫ cosϕ1

r=cosϕ0

r√1− r2

drdθ = (λ1 − λ0)(senϕ1 − senϕ0) (4.7)

Pensemos ahora en hacer nuestra region lo mas pequena posible. Para ello, tomare-

mos la region comprendida entre los paralelos ϕ0 y ϕ0 + t y los meridianos λ0 y λ0 + s

con t, s > 0 lo suficientemente pequenos. Sustituyendo en (4.7)

(λ0 + s− λ0)(sen(ϕ0 + t)− sen(ϕ0)) = s(sen(ϕ0 + t)− sen(ϕ0))

y utilizando el desarrollo en serie de Taylor centrado en ϕ0

sen(ϕ0 + t) = senϕ0 + cosϕ0(ϕ0 + t− ϕ0) + ...

4.1. Distorsion 43

tenemos que sen(ϕ0 + t)− senϕ0 ' cosϕ0 · t. Por tanto, el area de la region comprendida

entre los paralelos λ0 y λ0 + s y los meridianos ϕ0 y ϕ0 + t se puede aproximar por

s · t · cosϕ0 (4.8)

Calculemos por ejemplo la distorsion de las areas en la proyeccion de Mercator. Co-

mo sabemos, esta proyeccion envıa cada paralelo ϕ0 a y = h(ϕ0) = ln(tan(ϕ0) + 1cosϕ0

)

(ver (3.4)). Por tanto, h′(ϕ0) = 1cos(ϕ0)

. Para calcular esta distorsion, al igual que en el

caso de las distancias, tomaremos el cociente entre el area original en la esfera y el area

proyectada:

lım(s,t)→(0,0)

s · (h(ϕ0 + t)− h(ϕ0))

s · t cosϕ0= lım

t→0

h(ϕ0 + t)− h(ϕ0)

t· 1

cosϕ0=h′(ϕ0)

cosϕ0=

1

cos2 ϕ0

Otro posible ejemplo es la proyeccion estereografica. Para calcular la distorsion de las

areas deberemos saber antes cual es la imagen de nuestro rectangulo esferico, delimi-

tado por los paralelos ϕ0, ϕ0 + t y los meridianos λ0, λ0 +s. Como sabemos, los paralelos

tendran como imagenes cırculos concentricos definidos por un radio que depende de

la latitud (es decir, r(ϕ0) y r(ϕ0 + t)). Por otro lado, los meridianos se transforman en

rectas que se cortan en el punto de tangencia de la proyeccion. Con todo esto podemos

concluir que la imagen del rectangulo esferico es un segmento de corona circular que

abarca un angulo de λ0 + s − λ0 = s. El area de este segmento sera la diferencia entre

el segmento circular de radio grande y el segmento circular de radio pequeno, es decir

s

2(r(ϕ0 + t)2 − r(ϕ0)

2).

Por tanto, la distorsion de las areas sera:

lım(s,t)→(0,0)

s(r(ϕ0 + t)2 − r(ϕ0)2)

2s · t · cosϕ0= lım

t→0

(r(ϕ0 + t)− r(ϕ0))

t· (r(ϕ0 + t) + r(ϕ0))

2 · cosϕ0=

=r′(ϕ0) · r(ϕ0)

cosϕ0

Tomando los calculos de (4.4), tenemos que

Mm ·Mp =r′(ϕ0) · r(ϕ0)

cosϕ0=

4

(1− senϕ0)2,

Esto nos indica que la distorsion es maxima en el Polo Norte y sera menor cuanto

mas cerca estemos (en cuanto a latitud) del Polo Sur. En el Polo Sur no hay distorsion.

4.1.3. Distorsion de los angulos

Como en los casos anteriores trataremos siempre de hacer los calculos localmente y

con dimensiones suficientemente pequenas. Este tipo de distorsion solo se calculara en

aquellas proyecciones cuyos paralelos y meridianos se intersequen en angulos rectos.

4.2. La indicatriz de Tissot 44

Consideramos un triangulo rectangulo esferico suficientemente pequeno de dimen-

siones a, b, donde a es un segmento de meridiano y b es un segmento de paralelo.

Queremos medir la distorsion del angulo α definido por tan(α) = ab . La proyeccion defor-

mara los lados a, b conforme a las escalasMm yMp respectivamente. Con unos sencillos

calculos trigonometricos, obtenemos que

tan α =Mp · bMm · a

=Mp

Mm· tanα

Por tanto, la distorsion de los angulos se podra estudiar atendiendo al siguiente co-

ciente:tan α

tanα=

Mp

Mm(4.9)

Calculemos este tipo de distorsion en un ejemplo concreto de proyeccion:

Proyeccion de Mercator : por tratarse de una proyeccion cilındrica regular, sabemos

que

Mp =1

cosϕ0

Mm = h′(ϕ0),

donde en nuestro caso, h(ϕ) = ln(tan(ϕ) + 1cosϕ) (ver (3.4)). Por tanto, Mm = 1

cosϕ0y la

distorsion seraMp

Mm= 1

Lo cual es razonable sabiendo que se trata de una proyeccion conforme.

Gracias a estos resultados podemos ademas demostrar facilmente la proposicion

4.10:

Demostracion.

Consideramos un rectangulo esferico suficientemente pequeno de lados a, b. Su

imagen tendra lados Mm · a, Mp · b. Para que la proyeccion sea isoareal debe

conservarse el area del rectangulo, es decir,

a · b = Mm · a ·Mp · b⇔Mm ·Mp = 1

Como hemos visto en esta subseccion, si tomamos la ecuacion (4.9) y la igualamos

a 1, tenemos que

tanα = tan α

La tangente es una funcion inyectiva si la definimos en (−π2 ,π2 ). Por tanto, en este

caso tendrıamos que α = α y la aplicacion es conforme.


4.2. La indicatriz de Tissot

Imaginemos que queremos medir de manera simultanea la distorsion de angulos y

areas (es decir, cuanto se aleja una proyeccion de ser conforme o isoareal). Nicolas A.

Tissot tuvo la idea (presentada en sus publicaciones entre 1878 y 1881 [8]) de represen-

tar graficamente esta distorsion en cada punto q ∈ S2 utilizando las ecuaciones de una

elipse. Esta elipse sera la resultante de proyectar un cırculo infinitesimalmente pequeno

y centrado en q. Para definirla se utilizan dos parametros [8]:

El factor de escala respecto de las areas : en los puntos en los que la proyeccion

sea isoareal sera 1. Ademas el cırculo proyectado sera una elipse con el mismo

area que el cırculo original.

La deformacion maxima angular (ω): dado nuestro punto q ∈ S2, consideramos

todos los pares de geodesicas que pasan por q y forman un angulo recto. La de-

formacion ω sera el maximo de los angulos formados por las proyecciones de esos

pares de rectas. En el caso de puntos cuya proyeccion es conforme, la elipse sera

un cırculo (cuya area puede o no ser igual al area del cırculo proyectado).

Figura 4.3: Proyeccion de Mercator: vemos que todos las elipses son cırculos por tratarse

de una proyeccion conforme. [17]


Figura 4.4: Proyeccion cilındrica isoareal de Lambert: todas las elipses cumplen que

Mp = 1Mm

. Ademas, cuanto mas nos acercamos al ecuador, mas se asemejan las elipses

a cırculos (la distorsion es nula en este paralelo). [17]

47

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proyecciones cartograficas y´ mapas (cartographic

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