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Proyectividad: Homología

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Area Expresión Gráfica EUITIG

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q Conceptos previos

Antes de acometer la definición de homología en el espacio conviene detenerse en el análisis de dos operaciones fundamentales en Geometría Proyectiva, como son la Proyección y la Sección.

q Proyección

Proyectar equivale a lanzar (trazar) todas las rectas o rayos proyectantes que cumplen cierta condición o ley. La condición más normal exige que todos esos rayos pasen por un punto, al que se conoce como centro de proyección. Cuando el centro de proyección es propio, se denomina proyección central o cónica, mientras que si el centro es impropio, proyección paralela o cilíndrica. Si en este último caso se verifica que los rayos proyectantes son perpendiculares al plano de proyección, hablamos de proyección cilíndrica ortogonal respecto a dicho plano.

Tipos de proyección

q Sección

q Seccionar equivale a cortar, a obtener la intersección entre dos formas incidentes (es decir, las partes que tengan en común)

q Existen tres tipos de secciones básicas a obtener:

q Sección de una recta por otra, con lo que obtenemos un punto q Sección de una recta por un plano, cono lo que obtenemos un punto q Sección de dos planos entre si, obteniendo una recta

Tipos de sección

q De aquí se deducen los casos de sección para formas geométricas más complejas, como radiaciones de rectas y planos.

q Formas perspectivas

Se denominan formas perspectivas a aquellas figuras que están relacionadas entre si mediante una concatenación de operaciones de sección y proyección, es decir, que mediante esa cadena de operaciones partimos de una para obtener la otra. Detallando aún más esta definición, formas perspectivas son las que se relacionan del siguiente modo:


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q Una forma y su proyección q Una forma y su sección q Dos proyecciones de una forma q Dos secciones de una forma

En concreto, centrémonos en el último caso. Si elegimos como forma una radiación de rectas seccionada en el espacio por dos planos, encontraremos dos figuras perspectivas cuya obtención variará en función de que tanto el eje (recta de intersección de los planos secantes) como el vértice de la radiación sean elementos propios o impropios. Los distintos casos de perspectividad que surgen son los siguientes:

Eje Vértice de la radiación Perspectividad

Propio Propio HOMOLOGÍA

Impropio Propio HOMOTECIA

Propio Impropio AFINIDAD

Impropio Impropio TRASLACION

En todas ellas se verifican estas dos condiciones:

q Los puntos homólogos están alineados con el centro de la radiación, bien sea este propio o impropio.

q Las rectas homólogas se cortan en puntos dobles (es decir, puntos donde coinciden el origen con la imagen) que pertenecen al eje.

Perspectividad en dos secciones de una forma


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Este tipo de perspectividad se engloba en una clasificación más amplia que se conoce como homografías, ya que hacen corresponder a cada elemento origen un elemento imagen de su misma categoría geométrica.

q Elementos de la homología espacial

Si cortamos una radiación de centro V (es decir, un conjunto de planos y rectas que pasan por V) por medio de dos planos que se cortan (y que lo hacen en una recta denominada eje de homología), obteniendo dos figuras f y f’, perteneciendo la primera al plano origen y la segunda al plano imagen, hemos construido una homología en el espacio.

Homología en el espacio

La homología espacial queda definida por los siguientes elementos:

q Centro de homología o punto de vista (V): colineal con cualquier par de puntos homólogos

q Rayos de proyección o visuales: Pasan por V y contienen a puntos homólogos q Plano origen o geometral (G) q Plano imagen o de Dibujo o Plano del Cuadro (D)

q Si ambos planos no son perpendiculares, hablamos de una perspectiva de cuadro inclinado.

q Si los planos G y D son perpendiculares, la perspectiva es de cuadro vertical q Plano del horizonte (H), que pasa por V y es paralelo a G q Plano de desvanecimiento (W), que pasa por V y es paralelo a D q Eje de homología (e-e’): Lugar geométrico de los puntos dobles, y recta de

intersección de D con G q Recta límite origen (RL): Lugar geométrico de los homólogos de los puntos del

infinito de la figura imagen, y recta de intersección de G con W q Recta límite imagen (RL’): Lugar geométrico de los homólogos de los puntos del

infinito de la figura origen, y recta de intersección de H con D q Distancia δ : La que existe entre RL y e-e’ o bien entre V y RL’ q Distancia γ : La que existe entre RL’ y e-e’, o bien entre V y RL

q Propiedades de la homología espacial

q Puntos homólogos pertenecen al mismo rayo que pasa por V


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q Rectas homólogas se cortan en el eje de homología q La homología conserva las relaciones de incidencia

q “Estar en...”: Si A pertenece a r, A’ pertenece a r’ q “Pasar por...”

q Las rectas RL, RL’ y e-e’ son todas paralelas q No se conservan las propiedades métricas

q Paralelismo y perpendicularidad q Ángulos q Medidas (distancias) q Ejes, centros y focos de las cónicas

q En particular, si la figura homóloga de una circa es una elipse, el homólogo del centro de la circa NO es el centro de la elipse

q Se conservan las siguientes propiedades o correlaciones q Tangencia

q Si la recta t es tangente a la cónica c en el punto T, t’ es tangente a c’ en T’ q Polaridad

q Si p es la polar de P respecto de la cónica c, p’ es la polar de P’ respecto de c’.

q Paso de la homología espacial a la homología plana

El Teorema de Steiner garantiza que dada una figura origen ABC, su homóloga sobre el plano imagen es invariante métricamente frente una deformación del paralelepípedo articulado formado por los planos origen, imagen, horizonte y desvanecimiento. Esta propiedad nos hace sospechar que la figura imagen será también invariante en las dos posiciones límite, es decir, cuando el plano H y G se solapan.

Teorema de Steiner

El paso de la homología espacial al plano se consigue de dos formas:

q Mediante un giro coherente de los planos W y D empleando como ejes de giro las rectas RL y e-e’, hasta hacer coincidir el plano H con el plano G. Este giro puede efectuarse en ambos sentidos, no habiendo giros privilegiados. Esta operación se denomina abatimiento.

q Mediante la proyección de la homología espacial sobre un plano exterior, el plano del papel. Emplearemos la proyección ortogonal de una homología espacial con el fin de conocer en diédrico la proyección de una sección generada por un plano en una superficie radiada a partir de una de las proyecciones de la base de dicha superficie.


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Paso de la homología espacial a la plana

q Elementos de la homología plana

Son los mismos que para una homología espacial. Tan sólo hacer hincapié en que las distancias δ y γ permanecen constantes en el plano. De ese modo, siempre se verifica que RL y RL’ son ambas interiores o exteriores al conjunto V/e-e’.

Posición de los elementos de la homología plana

q Construcciones fundamentales en una homología plana

q Homólogo de una recta q Los homólogos de los puntos de corte de r con el eje de homología (1’) y con RL

(M’∞) son conocidos.

Homólogo de una recta

q Homólogo de una recta paralela al eje de homología q Se elige un punto arbitrario de la recta por donde se hace pasar otra auxiliar. La

recta homóloga ha de ser paralela a la recta origen.

Homólogo de una recta paralela a e-e’


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q Homólogo de un punto q Elegir una recta arbitraria que pase por el punto considerado, ya que el

homólogo estará en la homóloga de la recta, siendo otro caso de mantenimiento de las relaciones de incidencia.

Homólogo de un punto

q Hallar la recta límite de la figura homóloga (RL’) q Dibujar una recta cualquiera obteniendo su homóloga. El homólogo de G∞ ha

de encontrarse simultáneamente sobre RL’ y sobre r’, lo que determina la posición de RL’.

Obtención de RL’

q Modos de definir una homología

q V/e-e’/A-A’ q Trazamos una recta auxiliar que pase por A, cuya homóloga pasará por A’


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q V/e-e’/r-r’ q Igual que el caso anterior

q V/e-e’/RL’

q Existen dos formas de afrontar el problema q Hacer uso de la relación entre V, e-e’, RL y RL’ q Emplear una recta auxiliar r’

q e-e’/A-A’/RL


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q M de e-e’/A-A’/B-B’

q V/RL/RL’

q Trazamos una recta auxiliar cualquiera y obtenemos su homóloga. La intersección de ambas nos da un punto del eje.

q Casos especiales de la homología plana

q Característica de una homología q Una homología se caracteriza por tener

q V/e-e’/RL/RL’ propios q Una característica ±K

q La característica de una homología es la razón doble (VDAA’)=K, o lo que es lo

mismo, el cociente DAVADAVA

K'.

'.==

δγ

. Esta razón es constante cualquiera que

sea el par de puntos homólogos considerados y es característica de cada homología.

Característica de una homología


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q Casos posibles

q Homología involutiva o armónica q K=±1 q Las dos rectas límite se confunden y son la paralela media entre el eje y el

vértice

q Homología especial q K=±1 q El centro V está sobre el eje de homología. Las dos rectas límite equidistan

del centro y del eje

q Afinidad q V/RL/RL’ impropios q e-e’ propio q Característica ±K

Afinidad en el plano

q Simetría axial q V/RL/RL’ impropios q e-e’ propio q Característica K=-1 q Es una afinidad involutiva y ortogonal

Simetría axial como caso particular de la afinidad en el plano

q Homotecia q e-e’/RL/RL’ impropios q V propio q Característica ±K


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Homotecia en el plano

q Simetría central q e-e’/RL/RL’ impropios q V propio q Característica K=-1 q Es una homotecia involutiva

Simetría central como caso particular de homotecia en el plano

q Traslación q V/e-e’/RL/RL’ impropios q Característica K=1

Traslación en el plano

q Propiedades de la homología y aplicaciones en problemas

Hasta ahora se han visto distintos modos de definir una homología plana. En algunos problemas será necesario que dada una figura origen su homóloga cumpla una serie de condiciones, es decir, resolver el problema inverso de homología.

q Las rectas homólogas de dos rectas r y s que se cortan en el mismo punto de la recta límite origen RL son paralelas entre si y paralelas a la dirección VN


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q Dadas dos rectas r y s que se cortan, sus homólogas formarán un ángulo α al

igual que las direcciones VM y VN, siendo M y N los puntos de corte de las rectas origen con la recta límite RL

q Por lo tanto, en una homología conocido el eje y la recta límite origen, podemos determinar V con la condición de que las rectas homólogas de dos dadas r y s formen un ángulo α , ya que el arco capaz de α sobre el segmento determinado por M y N será el lugar geométrico buscado.

q Dada una homología por su vértice V y su recta límite RL, se puede imponer como

condición que el segmento homólogo de uno dado AB tenga una determinada magnitud d. Para ello es preciso determinar el eje de homología. q En primer lugar, hallamos la dirección del segmento homólogo VN q Sobre un punto del rayo VB tomamos un punto cualquiera P, trazamos una

paralela a VN y llevamos desde B la magnitud d, obteniendo el punto Q q Trasladamos el segmento PQ hasta que corte al rayo VA q Prolongamos A’B’ hasta que se corten con lo que tendremos un punto del eje en

su intersección con AB.


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q Figuras homólogas de una cónica

Antes de abordar el tema de las figuras homólogas de una cónica, es preciso aclarar el concepto de polaridad

q Definición de polaridad

Se denomina polar de un punto P (denominado polo) respecto de una cónica c al lugar geométrico de los puntos del plano armónicamente separados de P por los de intersección de c con las secantes que pasan por P. Es decir, el polo P, los puntos de intersección M y N con la circa de una secante que pase por el polo y el punto Q donde la secante corta a la

polar forman una cuaterna armónica, luego se verifica que 1..

=MQNPNQMP

Definición de polaridad


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La polar es un lugar geométrico que en la circunferencia siempre es perpendicular a la recta que une el centro de la circunferencia con el polo.

El polo P puede ser exterior, interior o pertenecer a c, distinguiéndose los siguientes apartados:

q Si el polo P es exterior, la polar será secante a la circunferencia. En el caso extremo, cuando P es impropio, la polar será la recta perpendicular a la dirección del punto del infinito por el centro de la circa.

q Si el polo P es interior, la polar es exterior a la circa. Si la polar es impropia, el polo se sitúa sobre el centro de la circunferencia

q Si el polo pertenece a la circa, la polar es una tangente a la circa en el polo.

q Obtención de polo y polar en la circunferencia

q Polar dado el polo

q Si el polo es exterior

q Trazar las tangentes desde Q a la circa, y unir los puntos de tangencia

Cálculo de la polar cuando el polo es exterior

q Si el polo es interior q Trazar la recta que por el polo sea perpendicular a la recta que une el centro

con el polo, obteniendo dos puntos de tangencia. Las tangentes a la circa por dichos puntos se cortan en un punto que pertenece a la polar, la cual será perpendicular a la línea que une el polo con el centro de la circa.

q Polo dada la polar

q Si la polar es exterior q Desde dos puntos de la polar cualesquiera se trazan las tangentes a la circa,

obteniendo dos polares cuya intersección determina el polo

Cálculo del polo cuando la polar es exterior


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q Si la polar es interior q La polar secante determina dos puntos de tangencia. Las tangentes por

esos puntos se cortan en el polo

q Definiciones

q Decimos que dos puntos Q y Q1 son conjugados respecto a una circa c cuando uno de ellos está sobre la polar del otro. Asimismo, las correspondientes polares q y q1 se denominan rectas conjugadas (q pasa por Q1 y q1 pasa por Q).

q Luego se deduce que todo punto (polo) de una polar p es conjugado de su polo. Es decir, si dados un polo interior P y una polar exterior p respecto a una circa c escogemos un punto Q de la polar como polo y trazamos la polar q respecto a la circa, esta pasará por P.

q Si arbitrariamente elegimos otro punto Q2 de la polar q y trazamos la polar q2, obviamente también pasará por Q, pero no necesariamente por Q1.

q Se puede elegir un punto Q2 de la polar q tal que la polar q2 pase por Q. La condición que deben cumplir los puntos Q1 y Q2 es que estén en la circunferencia ortogonal a c con centro en la polar q. Esta circa pasa siempre por el pie de la polar de uno cualquiera de los puntos con respecto a c.

q Si las rectas conjugadas pasan por el centro de la cónica, reciben el nombre de diámetros conjugados. Se demuestra que los diámetros conjugados en la circunferencia son siempre rectas perpendiculares entre sí. Además, la dirección de la tangente a la cónica en los extremos de un diámetro conjugado viene dada por el otro diámetro conjugado.

Puntos y rectas conjugados

q Las tres rectas q, q1 y q2 forman el denominado triángulo autopolar, ya que cada una de las rectas que contienen a sus lados son polares de los vértices opuestos


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q Aplicación de la polaridad a la obtención de figuras homólogas de la circa

En una homología que transforma una circunferencia (figura origen) en una cónica (figura imagen), el centro de la figura homóloga no es el homólogo del centro de la circunferencia.

q ¿Quién es el homólogo del centro de la circa?

q Sea C el centro de la circa origen, es decir, el polo de la recta impropia (del infinito) del plano origen.

q En una transformación homológica se mantienen las correlaciones de polaridad, luego entre el homólogo de C y el homólogo de la recta impropia también ha de haber una correlación de polaridad.

q El homólogo de la recta impropia del plano origen es la recta límite imagen RL’, luego si se mantiene la polaridad, el polo F respecto a dicha recta ha de ser el homólogo del centro de la circa.

q Problema: La obtención de dicho punto no nos es útil, ya que en general preferimos obtener el centro de la circa.

Homólogo del centro de la cónica origen

q ¿Qué punto de la circa se va a convertir en el centro de la elipse? ¿Quién es el homólogo del centro de la cónica imagen?

q Sea Q’ el centro de la cónica imagen, polo de la recta impropia (del infinito) del plano imagen, o plano del cuadro

q En una transformación homológica se mantienen las correlaciones de polaridad, luego entre el homólogo de O’ y el homólogo de la recta impropia también ha de haber una correlación de polaridad

q El homólogo de la recta impropia del plano imagen es la recta límite origen RL, luego si se mantiene la polaridad, el polo respecto a dicha recta ha de ser el homólogo del centro de la cónica.

q Es decir, el polo de la RL respecto a la circa es el punto que se va a transformar en el centro de la cónica homóloga.


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Homólogo del centro de la cónica imagen

q CONSECUENCIAS

q Como la correlación de polaridad se conserva, los homólogos de dos rectas conjugadas serán dos diámetros conjugados en la figura homóloga que no tendrán necesariamente que ser ejes (los ejes son un caso concreto de diámetros conjugados). Si queremos obtener ejes, será preciso encontrar un par de rectas conjugadas concretas que pasen por el polo respecto a RL para que sus homólogas sean los ejes de la cónica.

q Tipos de figuras homólogas de una circa

El tipo de figura homóloga a obtener depende de la posición de la RL con respecto a la circa origen, distinguiéndose tres situaciones posibles:

q RL es exterior a la circa origen

q La figura homóloga no tiene puntos impropios, luego es una cónica cerrada denominada elipse

q Existen dos métodos asociados para el trazado de la elipse homóloga: Obteniendo dos diámetros conjugados u obteniendo los ejes de la elipse homóloga.

q Método I: Obteniendo dos diámetros conjugados

q Tomamos un punto cualquiera M sobre la RL y hallamos su polar m. Desde N, punto de intersección de m con RL trazamos las tangentes y hallamos la polar n. Las dos polares m y n se cortan en P, polo de la RL respecto a la circa origen. RL, m y p forman un triángulo autopolar, es decir, m y n son dos rectas conjugadas y sus homólogas serán un par de diámetros conjugados de la elipse. El homólogo de P es el centro de la elipse.

q Las homologas de las tangentes desde M y N a la circa serán tangentes a la elipse (recordar que en una homología las relaciones de tangencia se


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conservan) y los homólogos de los puntos de tangencia puntos de tangencia en la elipse. Observar como las direcciones de las tangentes en los puntos de tangencia de un diámetro conjugado son paralelas al otro diámetro conjugado

Cálculo de la elipse por diámetros conjugados

q Método II: Obteniendo ejes directamente

q Vimos como la condición que han de guardar los puntos M y N de una polar p para que las polares m y n (que pasan por P) sean conjugadas es que M y N han de estar en la circa ortogonal a la circa origen. Esa circunferencia ortogonal tendrá su centro en la polar p y pasará por el pie de la polar desde M o N a la circa.

q Las homólogas de m y n, rectas conjugadas, son diámetros conjugados en la elipse, pero formando un ángulo cualquiera (no son ejes). Si queremos que formen 90º, es preciso que los puntos M y N, además de estar en la circa ortogonal, se vean desde V (centro de homología) con un ángulo de 90º.

q Por lo tanto, la circa ortogonal que en su intersección determina sobre RL la posición de M y N ha de cumplir las siguientes condiciones:

q Tiene el centro sobre RL q Pasa por V (garantizamos que las homólogas son ejes) q Pasa por el pie de la polar de V respecto a la circa, punto Q

q La mediatriz del segmento VQ corta a RL en el centro de la circa ortogonal que define sobre RL dos puntos M y N que junto con P caracterizan un triángulo autopolar. Las rectas homólogas de la m y n son diámetros conjugados perpendiculares, es decir, ejes de la elipse homóloga.


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Cálculo de la elipse obteniendo sus ejes

q RL es secante con respecto a la circa origen

q La figura homóloga tiene dos puntos impropios, luego es una cónica abierta constituida por dos ramas denominada hipérbola

q Las tangentes a la circa en M y N (puntos de corte de la RL en la circa) se cortan en P, y sus homólogas serán tangentes en el infinito, es decir, las asíntotas de la hipérbola. Dichas asíntotas se cortan en P’, homólogo de P.

q Las bisectrices de las asíntotas son los ejes de la hipérbola (real e imaginario). El homólogo del eje real, que pasa por P, corta a la circa en dos puntos A y B cuyos homólogos serán los vértices de la elipse. Se comprueba que el homólogo del eje imaginario no corta a la circa, luego no existe confusión posible a la hora de elegir el ángulo a bisectar.

q Conocidos los ejes, vértices y asíntotas, calculamos la posición de los focos para trazar la hipérbola.

Cálculo de la hipérbola homóloga


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q RL es tangente a la circa origen

q La figura homóloga tiene un punto impropio, luego es una cónica abierta constituida por una rama denominada parábola

q La dirección del eje de la parábola será VN, siendo N el punto de tangencia, por lo que la dirección del eje de la parábola será perpendicular, obteniendo un punto M sobre RL. La tangente desde M a la circa tendrá como homóloga una tangente a la parábola, siendo el homólogo del punto de tangencia el vértice de la parábola.

q Conocido el eje y el vértice, podemos obtener el foco empleando una tangente auxiliar. Para ello no es preciso recordar cómo se traza una tangente a la parábola. Tan sólo es necesario trazar una tangente cualquiera t2 a la circa cuya homóloga t’2 será tangente a la parábola. Esa tangente t’2 cortará a la tangente en el vértice en un punto Q. La perpendicular por Q a la tangente t’2 determina el foco en su intersección con el eje de la parábola.

Cálculo de la parábola homóloga

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