UNIVERSIDAD ESTATAL PENÍNSULA

DE SANTA ELENA

SISTEMA NACIONAL DE NIVELACIÓN Y ADMISIÓN

PROYECTO DE AULA DE MATEMATICAS

“MANUAL Y VIDEO TUTORIAL SOBRE MATRICES Y DETERMINANTES”

AUTORES: Carvajal Panchana Jenny Carolina.

Pichiná Lozano Harrison Jordan. Mackliff Jaya Domenica Ivanova.

Viche Aguilar Jorge Andrés.

CARRERA: INGENIERÍA EN PETRÓLEO

PET 20

DOCENTE: Ing. Carlos Malavé Carrera.

SANTA ELENA Agosto 2015

ÍNDICE GENERAL

INTRODUCCIÓN ............................................................................................ 4

OBJETIVOS ................................................................................................... 4

1. MATRIZ .................................................................................................... 6

1.1Tipos de matrices. ...................................................................................... 7

1.1.1Matriz fila ................................................................................................ 7

1.1.2Matriz columna ....................................................................................... 7

1.1.3 Matriz rectangular.................................................................................. 7

1.1.4Matriz cuadrada ..................................................................................... 8

1.1.5 Matriz traspuesta ................................................................................... 8

1.1.6 Matriz simétrica. .................................................................................... 8

1.1.7 Matriz anti simétrica. ............................................................................. 9

1.1.8Matriz Identidad. ..................................................................................... 9

1.1.9Matriz nula. ...................................................................................... 10

1.1.10Matriz Triangular superior .................................................................. 10

1.1.11Matriz Triangular inferior ................................................................... 10

1.1.12Matriz Escalar ................................................................................... 11

1.1.13 Matriz inversa. ............................................................................ 11

1.2 Operaciones con matrices ....................................................................................... 13

1.2.1 Suma de matrices y resta de matrices .............................................. 13

1.2.2Producto de matrices ........................................................................... 14

1.2.3División de matrices ............................................................................. 15

2. DETERMINANTES. ............................................................................... 16

2.1 Tipos de determinantes...................................................................... 16

2.1.1 Determinantes de matriz de orden 2x2 ............................................... 16

2.1.2 Determinantes de matriz de orden 3x3 ............................................... 17

2.2Propiedades de las determinantes. .......................................................... 18

3. EJERCICIOS PROPUESTOS DE MATRICES Y DETERMINANTES ... 20

3.1 Producto de matrices. ........................................................................ 20

3.2 Sistema de ecuaciones. ......................................................................... 21

3.3 Ejercicio de matriz identidad. ........................................................... 22

3.4 Matrices con incógnitas. .................................................................. 23

CONCLUSIÓN. ............................................................................................. 25

ANEXOS. ...................................................................................................... 26

BIBLIOGRAFÍA. ........................................................................................... 26

4

INTRODUCCIÓN

Las matrices y los determinantes son herramientas del álgebra que facilitan el ordenamiento de cada uno de los datos, así como su manejo. Los conceptos de matriz que se conocen y todos los relacionados hasta la actualidad fueron desarrollados aproximadamente en el siglo XIX por los siguientes matemáticos como los ingleses J.J. Sylvester y Arthur Cayley y el irlandés William Hamilton. Las matrices se encuentran principalmente en aquellos ámbitos en los que se trabaja con datos que son regularmente ordenados y aparecen en situaciones propias de las Ciencias Sociales, Económicas y Biológicas muy útiles hasta la actualidad.

La matriz es un conjunto rectangular de elementos que se representan encerrándolos dentro de un paréntesis. Las determinantes es una función exclusiva de las matrices cuadradas y son demasiado útiles para estudiar más a profundidad las matrices, un determinante es principalmente un número real asociado mediante la función determinante. Las matrices tiene una amplia gama de utilidades, entre las que destacan está la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, la propiedad de estas de despejar incógnitas mediante razonamiento necesario para cada estudiante y profesional que desee aprender o mejorar sus conocimientos sobre aquello, las matrices tienen una aplicación de matemáticas elementales las ha hecho meritorias de su ampliado uso en diferentes áreas, como economía, arquitectura, ingeniería, construcción, etc.

OBJETIVOS

Identificar una matriz y su utilización en las matemáticas.

Conocer propiedades de las determinantes, para su respectivo desarrollo.

Conocer las principales operaciones con matrices.

Resolver ejercicios de matrices y determinantes dentro de un mismo ejercicio, mediante los tipos de matrices y propiedades de las determinantes

5

ESQUEMA DE CONTENIDOS.

Ejercicios Resueltos

Matrices y determinantes

Matrices Definicion

Tipos de matrices

Operaciones con matrices

Determinantes Definicion

Tipos de determinantes

Propiedades de las

determinantes

6

1. MATRIZ

¿Qué es una matriz? Siempre que colocamos un elemento en filas y columnas realizamos el uso de una estructura matricial.

Por ejemplo, cualquier espectáculo en el que las entradas estén numeradas hace uso de este tipo de estructuras. Lo que se hace es dividir la Platea en lo que se tiene de filas y columnas. Si en nuestra entrada pone Fila 23, asiento 12 nos está indicando está en la fila 23 y columna 12.

Cualquier de las tablas de las que utilizamos en los editores de texto no deja de ser una matriz, ya que se puede observar que se encuentra principalmente organizada por filas y columnas.

Ejemplo

Por ejemplo, la tabla

2 1 5 8

3 2 2 0

2 1 6 4

Tiene 3 filas y 4 columnas. El número que ocupa la fila 2 y columna 4 es el cero.

Para que una tabla sea una matriz representativa de algún objeto matemático basta con que en cada celda pongamos algún valor numérico, le quitemos la cuadrícula y la encerremos entre dos grandes paréntesis

𝐴 = 2 1 52 2 01 2 6

Y de esta manera podemos decir que tenemos una matriz de las que se utilizan habitualmente en matemática

7

Elemento de una matriz Cada uno de los números de que consta la matriz se denomina elemento. Un elemento se distingue de otro por la posición en la que se encuentra, es decir, la fila y la columna a la que principalmente pertenece.

Dimensión de una matriz El número de filas y columnas de una matriz se denomina dimensión de una matriz. Así, una matriz de dimensión𝑚 × 𝑛es una matriz que tiene m filas y n columnas.

De este modo, una matriz puede ser de dimensión: 2 × 4 (2 filas y 4

columnas), 3 × 2 (3 filas y 2 columnas), 2 × 5 (2 filas y 5 columnas) y así respectivamente... Sí la matriz tiene el mismo número de filas que de columnas, se dice que es de orden: 2, 3, 4,...

Matrices iguales Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y los elementos que ocupan el mismo lugar en ambas, son iguales.

1.1 Tipos de matrices.

1.1.1 Matriz fila Una matriz fila está constituida por una sola fila.

𝐴 = 4 5 −1 1.1.2 Matriz columna

La matriz columna tiene una sola columna

A = −7 1 6

1.1.3 Matriz rectangular

La matriz rectangular tiene distinto número de filas que de columnas, siendo

su dimensión 𝑚𝑥𝑛.

8

𝐴 = 1 3 45 6 3

1.1.4 Matriz cuadrada La matriz cuadrada tiene el mismo número de filas que de columnas. La diagonal principal: aparece una diagonal principal en tipo de matrices que son cuadradas es decir que tienen un mismo número de filas y columnas, empezando por el elemento fila 1 columna 1 y terminando por el elemento fila 3 columna 3.

𝐴 = 𝟏 2 65 𝟒 84 6 𝟕

1.1.5 Matriz traspuesta

Dada una matriz A, se llama matriz traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas.

A = 𝟐 3 0𝟏 2 0𝟑 4 6

At = 𝟐 𝟏 𝟑3 2 50 0 6

1.1.6 Matriz simétrica.

Son todas aquellas que cumplen 𝑎𝑖𝑗 = 𝑎𝑗𝑖 se usan únicamente en matrices

cuadradas. i: filas j: columnas

𝑎𝑖𝑗 = 𝑎𝑗𝑖

Matriz diagonal o principal.

9

𝑎12 = 𝑎21 𝑎−1 = 𝑎−1

𝐴 = 1 −1 3

−1 2 43 4 7

1.1.7 Matriz anti simétrica.

La matriz diagonal principal tiene que ser cero para que se cumpla la condición de:

𝑎𝑖𝑗 = 𝑎−𝑗𝑖

i: filas j: columnas

𝑎𝑖𝑗 = 𝑎−𝑗𝑖

𝑎12 = 𝑎−21 𝑎1 = 𝑎−1

𝐴 = 0 1 −1

−1 0 21 −2 0

1.1.8 Matriz Identidad.

Diagonal Principal.

Columna.

Fila.

Matriz Diagonal o Principal

Fila.

Columna.

10

Es aquella cuya diagonal principal es igual a 1, también es denominada matriz inútil porque al multiplicar por ella no se hace nada es decir multiplicar los números por 1.

𝐴 = 1 00 1

1.1.9 Matriz nula.

En una matriz nula todos los elementos son ceros.

𝐴 = 0 00 0

1.1.10 Matriz Triangular superior

En una matriz triangular superior los elementos situados por debajo de la diagonal principal son ceros.

𝐴 = 1 7 −20 −3 40 0 2

1.1.11 Matriz Triangular inferior

En una matriz triangular inferior los elementos situados por encima de la diagonal principal son ceros

Matriz diagonal o principal.

Matriz Diagonal o Principal Matriz Triangular Superior

Matriz Triangular Inferior

11

𝐴 = 2 0 01 2 03 5 6

1.1.12 Matriz Escalar Una matriz escalar es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales.

𝐴 = 2 0 00 2 00 0 2

1.1.13 Matriz inversa.

El producto de una matriz por su inversa es igual a la matriz identidad.

A. A−1 = A−1. A = I

Se puede calcular la matriz inversa por dos métodos: 1º Cálculo por determinantes

𝑨−𝟏 =𝟏

|𝑨|. (𝑨∗)𝒕

A−1 Matriz inversa.

|A| Determinante de la matriz.

A∗ Matriz Adjunta

Matriz Diagonal o principal

Matriz diagonal y escalar.

12

(𝐴∗)𝑡 Matriz traspuesta de la adjunta

Ejemplo

𝐴 = 2 0 13 0 05 1 1

1. Calculamos el determinante de la matriz, en el caso que el

determinante sea nulo la matriz no tendrá inversa.

𝐴 = 2 0 13 0 05 1 1

= 3

2. Hallamos la matriz adjunta, que es aquella en la que cada elemento se sustituye por su adjunto.

𝐴 =

−

0 01 1

− 3 05 1

+ 3 05 1

0 11 1

+ 2 15 1

− 2 05 1

0 10 0

− 2 13 0

+ 2 03 0

= 0 −3 31 −3 −20 3 0

3. Calculamos la traspuesta de la matriz adjunta.

(𝐴∗)𝑡 = 0 1 0

−3 −3 33 −2 0

4. La matriz inversa es igual al inverso del valor de su determinante por la matriz traspuesta de la adjunta.

13

A−1 =1

3

0 1 0−3 −3 33 −2 0

=

01

30

−1 −1 1

1 −2

30

1.2Operaciones con matrices

1.2.1 Suma de matrices y resta de matrices

Para poder sumar o restar matrices, éstas deben tener el mismo número de

filas y de columnas. Es decir, si una matriz es de orden 3 × 2 y otra de3 × 3, no se pueden sumar ni restar. Esto es así ya que, tanto para la suma como para la resta, se suman o se restan los términos que ocupan el mismo lugar en las matrices.

Suma:

Sean las matrices 𝐴 = 3 1 20 5 −37 0 4

y 𝐵 = −1 2 42 5 80 1 −2

Entonces:

𝐴 + 𝐵 = 3 1 20 5 −37 0 4

+ −1 2 42 5 80 1 −2

= 2 3 62 10 57 1 2

Resta:

14

Sean las matrices 𝐴 = 3 1 20 5 −37 0 4

y 𝐵 = −1 2 42 5 80 1 −2

Entonces:

𝐴 − 𝐵 = 3 1 20 5 −37 0 4

− −1 2 42 5 80 1 −2

= 4 −1 −2

−2 0 −117 −1 6

Suma y Resta Para sumar o restar más de dos matrices se procede igual. No necesariamente para poder sumar o restar matrices, éstas tienen que ser cuadradas.

𝐴 = −1 2 42 7 6

𝐵 = 3 2 00 −3 −1

𝐶 = 5 −1 31 1 2

𝐴 − 𝐵 + 𝐶 = −1 2 42 7 6

− 3 2 00 −3 −1

+ 5 −1 31 1 2

= 1 −1 73 11 9

1.2.2 Producto de matrices Para poder multiplicar dos matrices, la primera debe tener el mismo número de columnas que filas la segunda. La matriz resultante del producto quedará con el mismo número de filas de la primera y con el mismo número de columnas de la segunda.

Es decir, si tenemos una matriz 2 ∙ 3 y la multiplicamos por otra de orden 3 ∙ 5 , la matriz resultante será de orden 2 ∙ 5 .

2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 5 = 2 ∙ 5 Se puede observar que el producto de matrices + s no cumple la propiedad conmutativa, ya que en el ejemplo anterior, si multiplicamos la segunda por la primera, no podríamos efectuar la operación. 3 ∙ 5 𝑝𝑜𝑟 2 ∙ 3 , puesto que la primera matriz no tiene el mismo número de columnas que filas la segunda.

𝑟 𝑠𝑡 𝑢

𝑎1 𝑎2 𝑎3

𝑏1 𝑏2 𝑏3 =

𝑟𝑎1 + 𝑠𝑎1

𝑡𝑎1 + 𝑢𝑎1

𝑟𝑎2 + 𝑠𝑎2

𝑡𝑎2 + 𝑢𝑎2

𝑟𝑎3 + 𝑠𝑎3

𝑡𝑎3 + 𝑢𝑎3

15

1.2.3 División de matrices

La división de matrices se define como el producto del numerador multiplicado por la matriz inversa del denominador. Es decir, sean las matrices A y B tal que A/B = AB-1: Si una matriz está dividida entre un escalar, todos los términos de la matriz quedarán divididos por ese escalar.

Sea la matriz A = 8 163 −6

, y k = 2 un escalar. En este caso:

A

k =

8 163 −6

2=

8

2

16

23

2

−6

2

= 4 83

2−3

16

2. DETERMINANTES.

El término determinantes siempre va a estar asociada a las matrices, especialmente a las matrices cuadradas, se asocia la determinante a un número.

2.1Tipos de determinantes.

2.1.1 Determinantes de matriz de orden 𝟐𝐱𝟐

Una matriz cuadrada de dos filas y dos columnas cuya dimensión es 2x2 los elementos que van a constituir una matriz van a estar ubicados por el número de filas y numero de columnas.

𝐴 = 𝑎11 𝑎12

𝑎21 𝑎22

𝑎11Fila 1 Columna 1 𝑎12Fila 1 Columna 2 𝑎21Fila 2 Columna 1

𝑎22Fila 2 Columna 2 La definición se va a dar como:

DET A = |A| La determinante de A va a ser un cálculo numérico es decir va a estar asociado a un número ese cálculo numérico sale de la siguiente manera

(𝑎11 ∙ 𝑎22 − 𝑎21 ⋅ 𝑎12) Ejemplo:

𝐴 = 4 26 5

17

DET A = 4 ⋅ 5 − 6 ∙ 2 = 20 − 12 = 8

2.1.2 Determinantes de matriz de orden 𝟑𝐱𝟑

Matrices cuadradas de 3 filas y 3 columnas. Los elementos a son de la primera columna. Los elementos b son de la segunda columna. Los elementos c son de la segunda columna.

𝐴 =

𝑎1 𝑏1 𝑐1

𝑎2 𝑏2 𝑐2

𝑎3 𝑏3 𝑐3

Esta matriz se va ampliar agregándoles las dos primeras filas. A partir de esa disposición se calcula con el método de la diagonal principal y secundaria.

𝐴 =

𝑎1 𝑏1 𝑐1

𝑎2 𝑏2 𝑐2

𝑎3 𝑏3 𝑐3

𝑎1 𝑏1 𝑐1

𝑎2 𝑏2 𝑐2

Diagonales principales:

(𝑎1 ∙ 𝑏2 ∙ 𝑐3 + 𝑎2 ∙ 𝑏3 ∙ 𝑐1 + 𝑎3 ∙ 𝑏2 ∙ 𝑐1)

18

𝐴 =

𝑎1 𝑏1 𝑐1

𝑎2 𝑏2 𝑐2

𝑎3 𝑏3 𝑐3

𝑎1 𝑏1 𝑐1

𝑎2 𝑏2 𝑐2

Diagonales secundarias:

(𝑎3 ∙ 𝑏2 ∙ 𝑐1 + 𝑎1 ∙ 𝑏3 ∙ 𝑐2 + 𝑎2 ∙ 𝑏1 ∙ 𝑐3)

El cálculo de determinante de matriz A de orden 3x 3 será igual a la suma de las diagonales principales, menos la suma de los productos de las diagonales secundarias.

DET A = A = D. P − D. S

2.1 Propiedades de las determinantes.

|A| = 0 Si: Posee dos filas (o columnas) iguales.

|A| = 2 3 23 2 32 3 2

= 0

Todos los elementos de una fila (o una columna) son nulos.

|A| = 2 3 23 2 30 0 0

= 0

Los elementos de una fila (o una columna) son combinación lineal

de las otras.

19

|A| = 2 3 21 2 43 5 6

= 0

F3 = F1 + F2

Un determinante triangular es igual al producto de los elementos de la diagonal principal.

|A| = 2 0 01 2 03 5 6

= 2 ∙ 2 ∙ 6 = 24

Si en un determinante se cambian entre sí dos filas (o dos columnas), su valor sólo cambia de signo.

𝐹1

3 𝐹2

2 1 21 2 03 5 6

= − 1 2 02 2 23 5 6

Si a los elementos de una fila (o una columna) se le suman los elementos de otra multiplicados previamente por un número real, el valor del determinante no varía.

Es decir, si una fila (o una columna) la transformamos en una combinación lineal de las demás, el valor del determinante no varía.

2 1 21 2 03 5 6

= 16 𝐶3 = 2𝐶1 + 𝐶2 + 𝐶3 2 1 71 2 43 5 17

= 16

Si se multiplica un determinante por un número real, queda multiplicado por dicho número cualquier fila (o cualquier columna), pero sólo una.

2 ∙ 2 1 21 2 03 5 6

= 2 ∙ 2 1 21 ∙ 2 2 03 ∙ 2 5 6

= 4 1 22 2 06 5 6

20

Si todos los elementos de una fila (o columna) están formados por dos sumandos, dicho determinante se descompone en la suma de dos determinantes en los que las demás filas (o columnas) permanecen invariantes.

2 1 2

𝑎 + 𝑏 𝑎 + 𝑐 𝑎 + 𝑑3 5 6

2 1 2𝑎 𝑎 𝑎3 5 6

2 1 2𝑏 𝑐 𝑑3 5 6

|A ∙ B| = |A| ∙ |B| El determinante de un producto es igual al producto de los determinantes.

3. Ejercicios propuestos de matrices y determinantes

3.1Producto de matrices.

A = m ∗ n m = fila n = columna B = n ∗ q n = fila q = columna

A ∗ B = m ∗ q

𝐴 = 3 ∗ 3 𝐵 = 3 ∗ 4 𝐶 = 3 ∗ 4

A B C

1 2 3

−1 5 02 1 2

∙ 1 2 −1 0 −1 23 2 4

536 =

10 6 15 −1 −7 118 7 8

291025

𝐶 = 10 6 15 −1 −7 118 7 8

291025

21

3.2Sistema de ecuaciones.

2𝐴+𝐵 = 1 2 2

−2 1 0

𝐴 − 3𝐵 = −1 −3 −2−1 0 −1

𝟑 2𝐴+𝐵 = 1 2 2

−2 1 0

𝐴 − 3𝐵 = −1 −3 −2−1 0 −1

6𝐴 + 3𝐵 = 3 6 6

−6 3 0

+

𝐴 − 3𝐵 = −1 −3 −2−1 0 −1

7𝐴 = −1 3 4−7 3 −1

𝑴𝑨𝑻𝑹𝑰𝒁 𝑨 =

−1

7

3

7

4

7

−13

7

−1

7

2𝐴+𝐵 = 1 2 2

−2 1 0

2 𝐴 − 3𝐵 = −1 −3 −2−1 0 −1

2𝐴 + 𝐵 = 1 2 2

−2 1 0

+

−2𝐴 + 6𝐵 = 8 6 42 0 2

7𝐵 =

9 8 60 1 2

Métodos para resolver un Sistema de Ecuación Matricial: -Sustitución -Igualación

-Reducción.

-

22

𝑴𝑨𝑻𝑹𝑰𝒁 𝑩 =

9

7

8

7

6

7

01

7

2

7

3.3 Ejercicio de matriz identidad.

A = 0 1 11 0 11 1 0

; A𝟐 − A − 2I

A2 = 0 1 11 0 11 1 0

+ 0 1 11 0 11 1 0

= 2 1 11 2 11 1 2

Se pueden sumar y restar matrices del mismo número de filas y de columnas, por esa razón la matriz identidad será del mismo número de filas y de columnas que la matriz dada al principio (Matriz A).

I = 1 0 00 1 00 0 1

− 2I = −2 0 00 −2 00 0 −2

Tenemos la matriz A elevada al cuadrado menos la matriz A.

A𝟐 − A = 0 1 11 0 11 1 0

− 2 1 11 2 11 1 2

= 2 0 00 2 00 0 2

23

𝐌𝐀𝐓𝐑𝐈𝐙 𝐍𝐔𝐋𝐀

Resultado del ejercicio.

A𝟐 − A − 2I = 2 0 00 2 00 0 2

− −2 0 00 −2 00 0 −2

= 0 0 00 0 00 0 0

A𝟐 − A − 2I = 0 0 00 0 00 0 0

3.4 Matrices con incógnitas.

A = 1 13 4

B = 2 11 1

C = 1 21 3

Ax + Bx = C Factor común. A + B x = C Multiplicamos por la inversa la adicción entre la matriz A y B. A + B −1 ∙ A + B Tenemos que la inversa de aquellas matrices es igual a una matriz identidad y si multiplicamos la matriz identidad, en este caso por x tendremos como resultado la x. Aquella inversa se colocara en ambos mientras de la igualdad tanto a la derecha como a la izquierda. A + B −1 ∙ A + B

I ∙ x = A + B −1 ∙ C

x = A + B −1 ∙ C

24

Para hallar la matriz inversa de A + B −1 usaremos lo siguiente:

A−1 =Adj(A)T

A

Determinante: A

A + B = 3 24 5

= 5 − 8 = 7

Determinamos: Adj(A)T

Adjz∗ = + −− +

5 −4

−2 3

Matriz Inversa:

𝑧−1 =

5 −2−4 3

7

z−1 =

5

7

−2

7−4

7

3

7

z−1 ∙ z ∙ x = z−1 ∙ c

I ∙ x = z−1 ∙ c

25

A =

5

7

−2

7−4

7

3

7

∙ 1 21 3

=

3

7

4

7−1

7

1

7

Matriz Resultante

𝑋 =

3

7

4

7−1

7

1

7

CONCLUSIÓN.

Luego de haber elaborado el presente proyecto de aula podemos sacar las conclusiones más importantes como:

- Una matriz es un arreglo rectangular de números colocados entre paréntesis, la determinante es un arreglo rectangular igual a la matriz, en donde se deben colocar líneas dobles.

- La teoría de matrices fue introducida en 1858, tiene hoy aplicaciones en campos diversos como el control de inventarios en las fábricas; teoría cuántica, en física; análisis de costo de transporte entre otros campos que existen y es necesario que se sepan, de esta manera tendremos más importancia y sobre todo conocimiento acerca de en qué campos se pueden usar las matrices y determinantes.

- Entre las principales clases de matrices están: Fila, columna, rectangular, nula, cuadrada, diagonal, escalar, simétrica, etc.

- Entre las propiedades de las determinantes todas son muy importantes para poder resolver ejercicios de todo tipo de determinantes.

26

- Mediantes el uso de matrices también es necesario saber que se

pueden resolver, sistema de ecuaciones lineales, además se puede resaltar la importancia que tiene en la resolución de problemas de la vida cotidiana con lo que se llega a dar una solución exacta y mejores resultados en un determinado proceso.

ANEXOS.

Video. https://www.youtube.com/watch?v=8Z6uyrD7Qx4&feature=youtu.be Manual https://www.slideshare.net/secret/UM3pHhadJgpiE

BIBLIOGRAFÍA.

MatematicasXV. (2009). Recuperado el 28 de Julio del 2015 de http://sureyma.blogspot.com/2009/10/33-clasificacion-de-la-matrices.html

Parra, S. (2007). WSL WeblogsSL . Obtenido de Weblogs SL: http://www.xatakaciencia.com/matematicas/definicion-y-algunos-tipos-de-matrices

Vitutor, SLU. (2010). Vitutor. Obtenido de Vitutor: http://www.vitutor.com/algebra/matrices/las_matrices.html

ESPOL Instituto de Ciencias Matematicas - ICM. (2006). Fundamentos De Matemáticas Para Bachillerato - ESPOL. Guayas - Ecuador: Poligrafica C.A.