proyecto de jhonathan leonardo quispe quispr de calculo ii

UNIVERSIDAD PERRUANA UNION

FACULTAD DE INGENIERIA Y ARQUITECTURA

Ingeniería Civil

PROYECTO DE INVESTIGACION

Integrales Múltiples

Autor

Asesor/Orientador

Lic. Sergio Martin Chupa Almanza

Juliaca, Noviembre del 2014

UNIVERSIDAD PERUANA UNION

Contenido1. Planteamiento del problema.........................................................................2

1.1. Antecedentes de la Investigación...........................................................2

1.2. Formulación del Problema.....................................................................2

1.3. Problemas Específicos...........................................................................2

1.4. Justificación del Problema......................................................................3

2. Objetivos de la Investigación........................................................................3

2.1. Objetivo General....................................................................................3

2.2. Objetivo Especifico.................................................................................3

3. Fundamento Teórico de La investigación.....................................................3

3.1. Marco Histórico......................................................................................3

Integración antes del cálculo........................................................................3

Newton y Leibniz..........................................................................................4

Formalización de las integrales....................................................................4

Notación........................................................................................................5

3.2. Marco Teórico........................................................................................6

3.2.1. Integrales Dobles Cartesianas y polares............................................6

.......................................................................................................................14

3.2.2. Integrales Triples en coordenadas esféricas cilíndricas...................15

3.2.3. Integrales usando cambio de variable en integrales múltiples jacobianos.22

3.2.4. Integrales triples: centroide, centro de gravedad y teorema de pappus.30

4. Hipótesis.....................................................................................................38

5. Método de Investigación.............................................................................38

el método utilizado fue el método analítico y no experimental....................38

6. Conclusión..................................................................................................38

7. Referencias Bibliográficas..........................................................................39

Calculo II Página 1


1. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA

1.1.Antecedentes de la Investigación

Según Euler (2007) el Cálculo Integral constituía un método de búsqueda,

dada la relación entre los diferenciales o la relación entre las propias cantidades.

La operación con lo que esto se obtenía se denominaba integración. El concepto

primario de tal Cálculo, por supuesto, era la integral indefinida. El propio Cálculo

tenía el objetivo de elaborar métodos de búsqueda de las funciones primitivas

para funciones de una clase lo más amplia posible.

Esta rama del Cálculo Integral jugó un papel importante en la creación de la

teoría de funciones de variable compleja como una de sus fuentes. Así en el

transcurso del siglo XVIII se formó en el Cálculo Integral un conjunto de métodos,

próximo a su actual contenido y nivel. Este Cálculo, además, dio comienzo a

nuevas ramas del Análisis Matemático, como por ejemplo la teoría de las

funciones especiales. De él se separaron y transformaron en campos

matemáticos independientes: la teoría de ecuaciones diferenciales y el cálculo

variacional. El Cálculo integral sirvió, finalmente, como una de las fuentes de la

teoría de las funciones analíticas.

1.2.Formulación del Problema

¿En qué medida afectara el conocimiento de integrales múltiples en mi carrera profesional de ingeniería civil?

1.3.Problemas Específicos

¿En qué medida afectara el conocimiento de Integrales dobles cartesianas

y polares en mi carrera profesional de ingeniería civil?

¿En qué medida afectara el conocimiento de resolver Integrales triples en

coordenadas esféricas en mi carrera profesional de ingeniería civil?

¿En qué medida afectara el conocimiento Integrales usando cambio de

variables en integrales múltiples jacobianos en mi carrera profesional

de ingeniería civil?

¿En qué medida afectara el conocimiento de Integrales triples: centroide,

centro de gravedad y teorema de pappus en mi carrera profesional de

ingeniería civil?



1.4.Justificación del Problema

Dentro del plan educativo de la asignatura de Calculo II, se tiene por

prioridad el aprendizaje de las Integrales Múltiples. Por ende se desarrolla la

presente investigación a fin de que se entienda y se aprenda con la

resolución de ejercicios.

2. Objetivos de la Investigación

2.1.Objetivo General

Conocer y aprender, analizar y resolver integrales múltiples.

2.2.Objetivo Especifico

Conocer y aprender, analizar y resolver Integrales dobles cartesianas y

polares.

Conocer y aprender, analizar y resolver Integrales triples en coordenadas

esféricas

Conocer y aprender, analizar y resolver Integrales usando cambio de

variables en integrales múltiples jacobianos

Conocer y aprender, analizar y resolver Integrales triples: centroide, centro

de gravedad y teorema de pappus.

3. Fundamento Teórico de La investigación

3.1.Marco Histórico

Integración antes del cálculo

La integración se puede trazar en el pasado hasta el antiguo

Egipto, circa 1800 a. C., con el papiro de Moscú, donde se demuestra que ya se

conocía una fórmula para calcular el volumen de un tronco piramidal. La primera

técnica sistemática documentada capaz de determinar integrales es el método de

exhausción de Eudoxo (circa 370 a. C.), que trataba de encontrar áreas y volúmenes

a base de partirlos en un número infinito de formas para las cuales se conocieran el

área o el volumen. Este método fue desarrollado y usado más adelante



por Arquímedes, que lo empleó para calcular áreas de parábolas y una aproximación

al área del círculo. Métodos similares fueron desarrollados de forma independiente

en China alrededor del siglo II por Liu Hui, que los usó para encontrar el área del

círculo. Más tarde, Zu Chongzhi usó este método para encontrar el volumen de

una esfera. En el Siddhanta Shiromani, un libro de astronomía del siglo XII del

matemático indio Bhaskara II, se encuentran algunas ideas de cálculo integral.

Hasta el siglo XVI no empezaron a aparecer adelantos significativos sobre el

método de exhausción. En esta época, por un lado, con el trabajo de Cavalieri con

su método de los indivisibles y, por otro lado, con los trabajos de Fermat, se empezó

a desarrollar los fundamentos del cálculo moderno. A comienzos del siglo XVII, se

produjeron nuevos adelantos con las aportaciones de Barrow y Torricelli, que

presentaron los primeros indicios de una conexión entre la integración y

la derivación.

Newton y Leibniz

Los principales adelantos en integración vinieron en el siglo XVII con la

formulación del teorema fundamental del cálculo, realizado de manera independiente

por Newton y Leibniz. El teorema demuestra una conexión entre la integración y la

derivación. Esta conexión, combinada con la facilidad, comparativamente hablando,

del cálculo de derivadas, se puede usar para calcular integrales. En particular, el

teorema fundamental del cálculo permite resolver una clase más amplia de

problemas. También cabe destacar todo el marco estructural alrededor de las

matemáticas que desarrollaron también Newton y Leibniz. El llamado cálculo

infinitesimal permitió analizar, de forma precisa, funciones con dominios continuos.

Posteriormente, este marco ha evolucionado hacia el cálculo moderno, cuya

notación para las integrales procede directamente del trabajo de Leibniz.

Formalización de las integrales

Aunque Newton y Leibniz proporcionaron un enfoque sistemático a la

integración, su trabajo carecía de un cierto nivel de rigor. Es memorable el ataque

del obispo Berkeley calificando los infinitesimales como los "fantasmas de las

cantidades que se desvanecen".



El cálculo adquirió una posición más firme con el desarrollo de los límites y,

en la primera mitad del siglo XIX, recibió una fundamentación adecuada por parte

de Cauchy. La integración fue rigurosamente formalizada por primera vez

por Riemann, empleando límites. A pesar de que todas las funciones continuas

fragmentadas y acotadas son integrables en un intervalo acotado, más tarde se

consideraron funciones más generales para las cuales la definición de Riemann no

era aplicable y por tanto no eran integrables en el sentido de Riemann.

Posteriormente Lebesgue dio una definición diferente de la integral1 basada en

la teoría de la medida que generalizaba la definición de Riemann, así toda función

integrable en el sentido de Riemann también lo es en el sentido de Lebesgue,

aunque existen algunas funciones integrables en el sentido de Lebesgue que no lo

son en el sentido de Riemann. Más recientemente se han propuesto otras

definiciones de integral aún más generales, que amplían las definiciones de

Riemann y Lebesgue.

Notación

Isaac Newton usaba una pequeña barra vertical encima de una variable para

indicar integración, o ponía la variable dentro de una caja. La barra vertical se

confundía fácilmente con o , que Newton usaba para indicar la derivación, y

además la notación "caja" era difícil de reproducir por los impresores; por ello, estas

notaciones no fueron ampliamente adoptadas.

La notación moderna de las integrales indefinidas fue presentada por Gottfrie

Leibniz en 1675. Para indicar summa (ſumma; en latín, "suma" o "total"), adaptó el

símbolo integral, "∫", a partir de una letra S alargada. La notación moderna de la

integral definida, con los límites arriba y abajo del signo integral, la usó por primera

vez Joseph Fourier en Mémoires de la Academia Francesa, alrededor de 1819–20,

reimpresa en su libro de 1822. En la notación matemática en árabe moderno, que se

escribe de derecha a izquierda, se usa un signo integral invertido .


http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Signed'Integraci%C3%B3Arabic.png


3.2.Marco Teórico

3.2.1. Integrales Dobles Cartesianas y polares

Si deseamos integrar función definida dentro de una región , generalmente lo

haríamos evaluando la integral doble sobre la región de

integración que definiríamos utilizando los métodos que hemos visto antes en

coordenadas rectangulares. Un problema que puede presentarse seria si se

deseara trabajar con ciertas figuras circulares (p.ej. círculos, paraboloides,

elipsoides, etc.), la definición de su región de integración se vuelve algo

complicada.

Una forma en la que nos facilitamos el trabajo es el trabajar para coordenadas

polares, dado que estas se adecuan de mejor manera a las formas circulares.

Recordemos las ecuaciones que relacionan coordenadas polares con

rectangulares

Entonces, haciendo esta transformación, tendríamos que ahora la región está

definida como

el diferencial de área se definiría como

y la integral quedaría como



EJERCICIOS RESUELTOS DE INTEGRALES DODLES CARTESIANAS Y POLARES

1.- evaluar la integral ∬RxydA

, donde R es la región primer cuadrante comprendida entre los círculos.

x2+ y2=4x2+ y2=25

Dibujamos la región comprendida entre los círculos dados.

Al tratar de evaluar la integral en coordenadas rectangulares esta se tiene que dividir en dos cuyos límites de integración son.

1) 0≤x≤2

√4−x2≤ y≤√25− x2

1) 2≤x≤5

0≤ y≤√25−x2

Los límites de integración en coordenadas polares son:

2≤r≤5 ; 0≤θ≤ π2

Realizando los cambios en la integral se tiene que:

∬RxydA=∫0

π2 ∫2

5(r cosθ )(rsenθ )rdrdθ

∬RxydA=∫0

π2 ∫2

5r3cosθ senθdrd θ

∬RxydA=∫0

π2 cosθ senθ [∫2

5r 3dr ]dθ

∬RxydA=∫0

π2 cosθ senθ [r 4

4 ]2

5

dθ



∬RxydA=∫0

π2 cosθ senθ [54

4−24

4 ] dθ∬R

xydA=6094

∫0

π2 cos θ senθdθ

∬RxydA=609

4 [sen2θ2 ]0

π2

∬RxydA=609

4 [sen2 π22−sen

202 ]

∬RxydA=609

4 [12 −02 ]=609

8

2.-Calcular ∬R

(x2+ y )dA , donde R es el cuadrado [0,1 ]×[0,1 ]

Solución:

por el teorema de fubini .

∬R

(x2+ y )dA=∫0

1

∫0

1

(x2+ y )dxdy

¿∫0

1 [∫0

1

(x2+ y )dx ]dyde acuerdo con el teorema del calculo podemos int egrar con respecto a X

∫0

1

(x2+ y )dx=[x3

3+ yx ]

x=0

1

=13+ y

por lo tan to .

∬R

(x2+ y )dA=∫0

1

[x3

3+ y ]dy

¿13y+

y2

2|01

evaluamos :

[13 (1 )+(1 )2

2−

13

(0 )+(0 )2

2 ]=56

.. .. . .. .. . .. .. . .rpta .



3.-Calcular

∬D

dxdy

(4−x2− y2 )12

, donde D es el recinto por x2+ y2−2 x≤0

Solución:

Si transformamos a coordenadas polares:

x2+ y2=r2

x2+ y2≤2 xr2=2 r cos (θ )x2+ y2≤2 x( x−1 )2+ y 2 ≤1

Donde los límites son:

0≤r≤2 cos (θ )→− π2≤θ≤ π

2;dA=rdrdθ

I=∬D

dA

(4−x2− y2)12

=∫−π

2

π2

∫0

2 cos (θ )rdrθ

√4−r2=−∫

−π2

π2

√4−r2|02cos (θ )dθ

I=−∫−π

2

π2

[√4−4cos2θ−2 ]dθ=∫−π

2

π2

[2−2√1−cos2θ ]dθ

I=∫−π

2

π2

[2−2√1−cos2θ ]dθ=2θ+2cos (θ )|−π

2

π2

I=2(π2 +π2 )+2cos (π2 )−2cos(−π2 )

I=2π+0−0

I=2π Repta… (*)

4.- Evaluar la integral doble ∫∫

R

ex2+ y2

dydx donde R es la región del plano limitada por

el eje de las equis y la curva y=√1− x2.

Dibujamos la región de integración Los límites de integración en coordenadas rectangulares son

−1≤x≤1; 0≤ y≤√1−x2 Y en coordenadas polares son 0≤r≤1 ; 0≤θ≤π



Luego la integral en coordenadas polares es: y=√1− x2

∫∫R

ex2+ y2

dydx=∫0

π

∫0

1er

2

rdrd θ ⇒ ∫∫R

ex2+ y2

dydx =∫0

π [er 2

2 ]0

1

dθ= ∫0

π [e1−e0

2 ]dθ⇒∫∫

R

ex2+ y 2

dydx=[e−12 ]∫0

πdθ=[e−1

2 ] [θ ]0π=[e−1

2 ] π⇒∫∫

R

ex2+ y 2

dydx=π2

(e−1 ) .. . .. .. . .RPTA

5.- ∬D

x3 ydxdysiendoD={( x , y )∈ R2 /0≤x≤12, y+x≤1 , y≥0 }

∬Dx3 ydxdy=∫0

1/2∫0

1−xx3 ydy ]dx

Realizamos primero la integral indefinida respecto de la variable ݕ calculando una

primitiva

∫ x3 ydy=x3∫ ydy=x3 y2

2

Integrando

∬Dx3 ydxdy=∫0

1/2[∫0

1−xx3 ydy ]dx=∫0

1/2x3 y

2

2]01−xdx=∫0

1/2x3 (1−x )2

2dx

12∫0

1/2x3(1−x )2dx=1

2∫0

1/2( x3−2x4+x5 )dx= x4

8− x5

5+ x6

12]01/2

1

24 8− 1

255+ 1

2612=11

2815=11

3840. .. .. . .rpta



7.- ∬(x2

+ y2

)dxdy si D = {( x , y )∈ IR2 /x2+ y2≤1}usando coordenadas cartesianas

SULUCIÓN

Usando coordenadas cartesianas, la región de integración es un circulo centrado en el origen uno por lo tanto.

D={(x , y )∈ IR2 /−1≤x≤1 ,−√1−x2≤ y≤√1−x2}

∬D( x2+ y2 )dxdy=∫−1

1

∫−√1− x2

√1−x2

( x2+ y2)dxdy

=∫−1

1( x2+ y

2

3)|−√1− x2√1−x2

dx

=2∫−1

1( x2√1−x2+2

3√(1−x2 )3 )dx

¿2∫−1

1x2√1−x2dx+2

3∫−1

1 √(1−x2)dx

¿2∫−1

1x2√1−x2dx+

23∫−1

1 √(1−x2)3 dx

Con la ayuda de una tabla de integrales obtenemos que:

∫−1

1x2√1−x2dx=(−x

4√1−x2+1

8( x√1−x2+arcsen)|

−1

1

¿18(ar cos sen(1 )−ar cos en(−1)=

18(π2+π2)=

π8

∫ √(1−x2)2 dx=( x4√(1−x2 )3+3x

8√(1−x2 )+3

8ar cos enx )|

−1

1

¿3 π8

Por lo tanto:

∫∫D( x2+ y2)dxdy=2 π

8+ 2

33 π8

=π2

. . .. .. . .. .. . .. .RPTA.



EJERCICIOS PROPUESTOS DE INTEGRALES DODLES CARTESIANAS Y POLARES

1.- ∫0

2

∫0

x2

y dy dx

Rpta. 165

2.-Calcular cada uno de los siguientes integrales; si R=[0,1 ]×[0,1 ]

1.∬R

(x3+ y2 )dA

3.- Calcular ∬D

xydxdy si D es la región acotada por y=√x , y=√3x−18 , y≥0

usando coordenadas cartesianas.

4.- ∫−1

1

∫0√1− x2

dydx

5.- Calcular ∬D( x2+ y2 )dxdy

si D =¿¿ usando coordenadas cartesianas.

6.- ∫∫Dxydxdy

Si D es la región acotada por y=√x , y=√3x−18 , y≥0 .Usando coordenadas cartesianas.

RESPUESTA:

1852

7.- ∫0

a

∫0

√a2− x2

ydy dx

Rpta. a3

6

Teorema

Si es continua en un rectángulo dado por ,

donde entonces,

Ejemplo 8:



Recordatorio Evaluar:

Donde R es la región del semi-plano superior limitado por los círculos

y .

Ejemplo 9:

Determinar el volumen del sólido acotado por el plano y el

paraboloide

Resolviendo:

Después de Integrar:

Ejemplo 10:

Calcular el volumen de un sólido que está debajo del paraboloide ,

encima del plano y dentro del cilindro solución:



Completando cuadrados:

Ahora procedemos a integrar:

Ejemplo 11:

Utilice coordenadas polares para encontrar la integral de la región dentro del

paraboloide y dentro del cilindro

Para este problema nuestra región la limita el cilindro

La altura la limita la función del paraboloide

Entonces tenemos la integral



Resolvemos la integral y la respuesta es:

3.2.2. Integrales Triples en coordenadas esféricas cilíndricas

En geometría plana, el sistema de coordenadas polares se usa para dar una

descripción cómoda de ciertas curvas y regiones. La figura siguiente hace

posible que recordemos la conexión entre coordenadas polares y cartesianas.

Si el punto P tiene coordenadas cartesianas y coordenadas polares

:

,

En tres dimensiones hay un sistema de coordenadas, llamadas coordenadas

cilíndricas, que es semejante a las coordenadas polares y da descripciones

cómodas de algunas superficies y sólidos que por lo general se presentan.

Como veremos algunas integrales triples son mucho más fáciles de evaluar

en coordenadas cilíndricas.

En el sistema de coordenadas cilíndricas, un punto P en espacio

tridimensional está representado por el triple ordenado , donde r y q son

coordenadas polares de la proyección de P sobre el plano xy y z es la

distancia dirigida desde el plano xy a P.



Tomando en cuenta las consideraciones de continuidad para f(x,y,z) y las

consecuencias posteriores de integrabilidad similares a las hechas para la integral

doble, se tiene que la integral triple sobre el paralelepípedo D de la función f(x,y,z)

se puede expresar como:

∭D

❑

f (x , y , z )dxdydz=∭ f (rcosθ , rsenθ, z )rdzdrdθ

EJERCICIOS PROPUESTO DE INTEGRALES TRIPLES EN COORDENADAS ESFERICA Y CILINDRICA

1.- Calcular. ∫0

2

dx ∫0

√2 x− x2

dy∫0

a

z√ x2+ y2dz , Transformando previamente a las coordenadas

cilíndricas.

solucion :

sea¿ {0≤x≤2¿ {0≤ y≤√2 x−x2 ¿¿¿¿

¿



Pasando a coordenadas:

x=r cosθ , y=rsenθ , z=z

0≤θ<π2, 0≤r≤2 cosθ , 0≤z≤a

Además: J (r ,θ , z=r )

∫0

2

dx ∫0

√2 x− x2

dy∫0

a

z√ x2+ y2dz=∫0

π /2 ( ∫0

2 cosθ

(∫0

a

z r r dz )dr)dθ=∫

0

π /2

( ∫0

2 cosθ

r2 z2

2|0

a

dr )dθ=a2

2 ∫0

π /2

( ∫0

2cos θ

r2)dθ¿ a

2

2∫0

π /2r3

3|02cosθ dθ=4 a2

3∫0

π /2

cos3θdθ

¿ 4a2

3∫0

π /2

(1−sen2θ )cosθdθ

¿ 4a2

3 [1−13 ]

¿8a2

9. .. .. . .. .. . .. .. . rpta .

2.- Calcular la siguiente integral empleando, según convenga, un cambio a

coordenadas cilíndricas o esféricas.

∭D

(x2+ y2)dxdydz, D sólido limitado por las superficies z=2 y x

2+ y2=2 z .

Solución:

La intersección del plano z=2 con el paraboloide x2+ y2=2 z es una curva cuya

proyección en el plano xy es la circunferencia x2+ y2=4 .



Empleando coordenadas cilíndricas x=r cos (θ ) ¿} y=rsen (θ ) ¿}¿¿J (r , θ , z )=r ¿

El sólido D se describe como:

0≤r≤20≤θ≤2 π12r2≤z≤2

∭D

(x2+ y2)dxdydz=

∫0

2π

∫0

2

∫12r2

2

r2rdzdrd θ

→2π∫

0

2

r3 (2−12r2)dr=2π [ r 4

2− r6

12 ]0

2

→16π3 = Repta… (*)

3.- Calcular el volumen del solido limitado por el cilindro X2+Y 2=4 y los planos

Z=0 , Z=4 .

Coordenadas cilíndricas:

X=r cos θY=r sen θZ=ZJ (r ,θ , z )=r

Descripción de D en cilíndricas:

0≤θ≤2 π0≤r≤20≤z≤4

Vol (D )=∫∫D∫dx dy dz=∫

0

2 π

∫0

2

∫0

4

r dz dr dθ=∫0

2 π

dθ∫0

2

r dr ∫0

4

dz =16π . .. .. . .RPTA



4.- calcular

∫∫∫ D zyx

dxdydz222 )2(

donde D es un cilindro 11,122 zyx

Solución:

Pasando a coordenadas cilíndricas:

zz

zrJrseny

rx

),,(

cos

D = 112010/),,( zrzr

ddzzrddzzr

rdr

zyx

dxdydz

D∫ ∫∫ ∫ ∫∫∫∫

2

0

1

1

10

222

0

1

1

1

0 22222)/)2(()

))2(((

)2(

dzz

zzzzz

ddzzz 11

2222

0

1

1

2

0

2 /22

542ln2

1)2(1

2

2))29(()2(1(

∫ ∫∫

∫ 310

12ln)32103(

2

3

310

12ln

2

1

2

2103d

5.- encuentre el volumen del solido acotado por la esfera

2222 azyx usando

coordenadas cilíndricas.

Solución:

220

20

0

raz

ar

V=∭S

rdxdydz=∫∫S∫|J (r ,θ , z )|dzdrd θ=∫∫

S∫rdzdrd θ

V=8∫0

π2 (∫0

a(∫0

√a2−r2

rdz )dr )dθ=8∫0

π2 (∫0

ar √a2−r2dx )dθ



V=−83∫0

π2 (a2−r2 )

32 /0

adθ=8 a3

3( π

2)=4a3π

3

6.- encuentre el volumen del cuerpo limitado por las superficies:

z=x2+ y 2; y ; z=2−x2− y2

Solución:

{z=x2+ y2 ¿}¿{}⇒ x2+ y2=2−x2− y2⇒2( x2+ y2 )=2⇒ x2+ y2=1Calculamos en coordenadas cilíndricas:

V=∫0

1

∫0

π /2

∫r2

2−r3

rdzdθdr=4∫0

1

∫0

π /2(r (2−r2)−r . r2)dθ dr=4∫0

1

∫0

π /2(2 r−2 r3)dθdr

V=4∗π2∫0

1(2r−2 r3 )dr=2π (r2−r 4

2|0

1

=π

7.- calcular la siguiente integral por coordenadas:

∫∫D∫( x2+ y2 )dxdydz

D solido limitado por superficie Z=2 y

x2+ y2=2 z



Las intersecciones del plano z=2 con el paraboloide x2+ y2=2 z

es una curva cuya

proyección en el plano xy es la circunferenciax2+ y2=4

.

Empleando coordenadas cilíndricas:

{x=r cosθ ¿ { y=rsen θ ¿¿¿¿Si el sólido D se describe como:

{0≤r≤2 ¿ {0≤θ≤2π ¿ ¿¿¿∫∫

D∫( x2+ y2 )dxdydz=∫0

2 π∫0

2∫0

2r2rdzdrd θ=2π∫r3 (2∗1

2r 2)=2π [ r4

2− r6

12 ]0

2

=16 π3

8.- Hallar el volumen del solido R, determinado por las ecuaciones x2+ y2≥1 y

0≤z≤9−x2− y2.

Solución



V=4∫1

3

∫0

π2

∫0

9−r2

rdzdθdr=4∫1

3

∫0

π2

r (9−r2)dθ dr

V=4 .π2∫1

3

(9 r−r3 )dr=2π (9 r2

2−r4

4 )1

3

V=2π (812

−814

−92+1

4 )=32π

EJERCICIOS PROPUESTO DE INTEGRALES TRIPLES EN COORDENADAS ESFERICA Y CILINDRICA

1.-Hallar

∭R3

1

[1+ (x2+ y2+z2 )32 ]

32

dxdydz

2.- hallar el área de la región delimitada por las parábolas y2=10 x+25 e y2=−6 x+9

Rpta. 163√15

3.-Calcular la integral

∫−a

a

( ∫−√a2− x2

√a2− x2

( ∫h

a2(x2+ y2 )

hdz

√x2+ y2 )dy)dx pasando a coordenadas

cilíndricas.

5.- Calcular el volumen del sólido limitado por el cilindro x2+ y2=1 y los planos

z=0 , x+ y+z=2 . Con el cambio de coordenadas cilíndricas.



6.-Calcular∭D

z2dVdonde R es la parte común de la esfera

x2+ y2+ z2≤a2 yx2+ y2+z2≤2az7.-Un sólido está limitado por el cilindro x

2+z2=a2 y los planos

y=0 , z=0 , x=0 , y=x

……

…………………RPTA

a3

3

3.2.3. Integrales usando cambio de variable en integrales múltiples jacobianos.

En muchos casos resulta conveniente efectuar una sustitución, o cambio de

variable, en una integral para evaluarla. La idea en el teorema puede refrasearse

como sigue: si f es continua y x=g(u )

tiene una derivada continua y

dx=g '(u )du , entonces:

∫a

b

f ( x )dx=∫c

d

f ( g(u ))g '(u )du

JACOBIANO:

Se dice que una transformación T es uno a uno si cada punto ( x0 , y0 ) en R es la

imagen bajo T del punto único (u0 , v0 ) en S. dicho de otro modo, ningún par de

puntos en S tiene la misma imagen en R. con la restricción de que ( x0 , y0 ) y

0≤θ<2π , las ecuaciones en 5 se definen una transformación uno a uno desde

el plano xy . El determinante T y es la clave para el cambio de variables en una

integral múltiple. El jacobiano de la transformación definida por las ecuaciones en

3 se denota por del medio del símbolo.

∂(x , y )∂(u , v )



De manera similar a la noción de una función uno a uno introducida a la sección

1.5, una transformación uno a uno T tiene una transformación inversa T−1

tal que

T−1( x0 , y0 )=(u0 , v0 )

Esto es, (u0 , v0 ) es la imagen bajo T−1

de ( x0 , y0 ). Vea la figura mostrada. Si es

posible resolver en tres para u y v en

términos de x y y , entonces la

transformación inversa se define

mediante el par de ecuaciones.

u=u( x , y ),

v=v ( x , y ).

El jacobiano de la transformación inversa T−1

es:

∂(u , v )∂(x , y )

=¿|∂ u∂ x

∂u∂ y

¿|¿

¿¿¿

Y se relaciona con el jacobiano 7 de la transformación T por medio de:∂(x , y )∂(u , v )

∂(u , v )∂( x , y )

=1

EJERCICIOS RESUELTO DE INTEGRALES USANDO CAMBIO DE VARIABLE EN INTEGRALES MULTIPLES JACOBIANOS

1.-Sea P el paralelogramo limitado por y=2x y=2 x−2 , y= x e y=x+1 calcular

∬p

xydxdy por medio del intercambio de variables.

x=u−v , y=2u−v Es decir T (u , v )=(u−v , 2u−v )

Solución:

La transformación T tiene determinante distinto de cero y por lo tanto es inyectiva se

ha construido de forma que lleve el rectángulo P limitado por v=0 , v=−2 ,u=0 , u=1 en P el uso de T simplifica la región de integración de P a P* además:

|∂ ( x , y )∂ (u .v )

|=|det [1 −12 −1 ]|=1

Por la fórmula del cambio de variable:



∬P

xydxdy=∬p∗¿ (u−v )( 2u−v )dudv=∫−2

0 ∫01 (2u2

−3vu+v2)dudv

¿ ¿=∫−2

0 [23 u3−3u2v2

+v2u]0

1

dv=∫−2

0 [23 −32v+v2]dv ¿=[23 v−3

4v2+v

3

3 ]−2

0

¿−[23 (−2 )−3−83 ]

¿−[−123

−3]=7

2.-Sea t (u , v )=(x (u , v ) , y (u , v ) ) la aplicación definida por t (u , v )=(4u ,2u+3v ) sea D* el

rectángulo [0,1 ]×[1,2 ] hallar D=T ¿¿ y calcular.

a) ∬Dxydxdy

b) ∬D(x− y )dxdy

Por medio de un cambio de variables que las calcule como integrales sobre D*

Expresar ∫0

1dx∫0

x2

xydycomo una integral sobre el triángulo

D¿={(u , v ) : 0≤u≤1 , 0≤v≤u }y calcular la integral de las dos formas.

Solución

Podemos calcular la integral directamente, aplicando el teorema de Fubini:

∫0

1xdx∫0

x 2

ydy=∫0

1xx4

2dx= x6

12]01= 1

12

Otro método consiste en hacer el cambio de variables T (u , v )=(√u , v )que transforma

el triángulo D¿en la región D , indicando en la figura.

T⃗

x=√uy=v



Como el jacobino de la transformación es

J ( x , yu , v )=|12√u 0

0 1|= 1

2√u, por la formula

de cambio de variable, tenemos:

I=∫0

1du∫0

u√u∗v∗ 1

2√udu=∫0

1 v2

4]0udu=∫0

1 u2

4du= 1

12

3.- como el sólido es simétrico respecto al eje y en el piso es simétrico al eje x y al eje y, podemos hallar la cuarta parte del volumen del siguiente modo:

V4=∫

0

2

∫0

√4−z 2

∫0

5−5 z3

dy dx dz

∫0

2

∫0

√4−z2

(5−5 z3 )dxdz ∫

0

2

(5−5 z3 )(√4−z2 )dz

∫0

2

(5√4−z2−53z √4−z2)dz = 5[2 π2 ]+ 5

94

32

v4=5π−40

9 v=20π−160

9

Dada la integral ∫0

1

∫0

x

∫0

y

f (x , y , z )dzdydx, dibujar la región de integración y escribir la

integral de todas las formas posibles.

Teniendo en cuenta la gráfica adjunta, si D1, D2 y D3 son las proyecciones sobre los tres planos coordenados, las diferentes formas de escribir la integral son las siguientes:

∫∫D

❑

dxdy∫0

y

fdz=∫0

1

dx∫0

x

dy∫0

y

fdz=∫0

1

dy∫y

1

dx∫0

y

fdz

∫∫D

❑

dxdz∫0

y

fdy=∫0

1

dz∫0

x

dx∫0

y

fdy=∫0

1

dx∫y

1

dz∫0

y

fdy



∫∫D

❑

dydz∫0

y

fdx=∫0

1

dy∫0

x

dz∫0

y

fdx=∫0

1

dz∫y

1

dy∫0

y

fdx

4.- Sea P el paralelogramo limitado por y=2x y=2 x−2 , y= x e y=x+1 calcular

∬p

xydxdy por medio del intercambio de variables.

x=u−v , y=2u−v Es decir T (u , v )=(u−v , 2u−v )

Solución:

La transformación T tiene determinante distinto de cero y por lo tanto es inyectiva se ha construido

de forma que lleve el rectángulo P limitado por v=0 , v=−2 ,u=0 , u=1 en P el uso de T simplifica la región de integración de P a P* además:

|∂ ( x , y )∂ (u .v )

|=|det [1 −12 −1 ]|=1

Por la fórmula del cambio de variable:

∬P

xydxdy=∬p∗¿ (u−v )( 2u−v )dudv=∫−2

0 ∫01 (2u2

−3vu+v2)dudv

¿ ¿=∫−2

0 [23 u3−3u2v2

+v2u]0

1

dv=∫−2

0 [23 −32v+v2]dv ¿=[23 v−3

4v2+v

3

3 ]−2

0

¿−[23 (−2 )−3−83 ]

¿−[−123

−3]=7

5.- ). Efectuando un cambio de variable apropiado, calcular la integral doble:

∬R( x+ y )2 sen2 ( x− y )dxdy

, siendo R el cuadrado de vértices (0,1), (1,2), (2,1), (1,0).

Solución:

El recinto R está limitado por las rectas x+ y=1 , x+ y=3 , x− y=−1 , x− y=1 .

Junto con la presencia de los términos x+ y y x− y en el integrando, este sugiere

efectuar el cambio de variables u=x+ y , v=x− y .



El inverso de este cambio está dada por las ecuaciones x=

(u+v )2

, y=(u−v )

2 , cuyo

jacobiano en valor absoluto es |J (u , v )|=1

2 , mientras que el nuevo recinto de

integración viene determinado por las condiciones 1≤u≤3 ,−1≤v≤1 .

Consecuentemente.

∬R( x+ y )2 sen2 ( x− y )dxdy

⇒ 12∫1

3

u2du∫−1

1

sen2 vdv=2612∫−1

1

(1−cos 2v )dv=136 [v−1

2sen 2v ]−1

1

=136

(2−sen 2 )

6.- ∫∫

D∫ xy 2 z2dx dy dz

D solido limitado por la superficie Z=xy y los planos

Y=X , X=1 , Z=0

Calcular el área de la parte superior del paraboloide X=1=Y 2−Z2 cortada por el cilindro

Y 2+Z2=1

Solución

La región de integración es la circunferencia Y2+Z2=1 situada en el plano YZ, ahora de la del

paraboloide se tiene.



X=1-

X=1−Y 2−Z2⇒δxδy

=−2 yδxδy

=−2 y

A ( s)=∫∫ √1+(δxδy )2

+(δxδy )2

dxdy=∫∫D

√1+4 y2+4 z2dydz

Pasando a coordenadas polares se tiene:

A ( s)=∫∫D

√1+4 r2rdr dθ=∫0

2 π √1−4 r 2rdr dθ

¿112∫0

2π (5√5−1 )dθ=5√5−16

πu2. . .. .. . .. .. . .. .RPTA

7.- ∬Dey− xy+x

Donde D es el triángulo limitado por las rectas x+y=2

Solución

u= y−xv= y+xu+v=2 y

y=u+v2

Para determinar el valor de x despejamos

v= y+xv− y=x=

v−u+v2

=x

=2 v−u−v2

=x

v−u2

=x

y=u+v2

t (u , v )=( v−u2;u+v

2 )Utilizamos el método del jacobiano

j(u , v )=¿ [ δxδu δxδv

¿]¿¿

¿¿


v−u2

=x


Integramos nuestra función

∬Dey− xy+x=∬D

eu /v(1/2 )dudv=∫0

2∫−v

v 12eu/v

∫−v

v 12e

uv

1/v= v2eu/ v ]−v

v = v2(e−e−1)

∫0

2 ( v2 (e−e−1 )dv)= v2

4[(e−e−1]0

2=4

4( e−e−1 )=e−e−1

EJERCICIOS PROPUESTO DE INTEGRALES USANDO CAMBIO DE VARIABLE EN INTEGRALES MULTIPLES JACOBIANOS

1.- Sea D el círculo unidad. Expresar ∬D(1+x2+ y2)

32 dxdy

como una integral sobre el

rectángulo [0,1 ]×[0,2π ]y calcularla.

2.- ∬R

❑

k cos2∝(x tag∝− y )2dy dx

DONDE: R {( x , y )b2 x2+a2 y2≤a2b2 }Rpta.

14abπk [a2 sen2α+b2cos2α ]

3.-Sea t (u , v )=(x (u , v ) , y (u , v ) ) la aplicación definida por t (u , v )=(4u ,2u+3v ) sea D* el

rectángulo [0,1 ]×[1,2 ] hallar D=T ¿¿ y calcular.

a) ∬Dxydxdy


4.- 2).Calcular esta integral ∬ ( x+ y )e x2− y 2

dA , haciendo un cambio de variable sobre

la región:

R :¿ {x− y=0¿ {x− y=2¿ {x+ y=0 ¿ ¿¿5.- Hállese el área de la superficie de la esfera X

2+Y 2+Z2=a2 en el octante positivo.

El área A se halla haciendo z = 0 en la ecuación de la esfera, por tanto, A es la región interior al

círculo X2+Y 2+Z2=a2

en el primer cuadrante como se puede ver en la figura.



6.- Determinar ∬R

( x+ y+1)dA donde R es la región limitada por las rectas

y−x=1, y−x=−1 , x+ y=1 , x+ y=2

7.- ∫∫∫Se(x

2+ y 2+ z2)dxdydz RPTA:=

4 π3

(e−1)

3.2.4. Integrales triples: centroide, centro de gravedad y teorema de pappus.

Teorema de Pappus-Guidin

Una superficie de revolución es aquella que se genera al girar una curva con

respecto de un eje, por ejemplo una esfera se puede generar al girar un arco

semicircular. De manera s im i la r tenemos los

cuerpos de revo luc ión que son ob ten idos a l g i ra r un á rea con

respecto de un eje fijo.

Teorema I

El área de una superficie de revolución es igual a la longitud de la curva

generadora por la distancia recorrida por el centro de la curva, al generar la

superficie.

Teorema II

El vo lumen de un cuerpo de revo luc ión es igua l a l á rea

generadora por la d is tanc ia recorrida por el centroide del área al generar

el cuerpo.

MOMENTOS DE INERCIA

El momento de inerc ia es una p rop iedad geomét r i ca de una

super f i c ie o á rea que representa la distancia de un área con respecto a un

eje dado. Se define como la suma delos

p roduc tos de todas las á reas e lementa les mu l t ip l i cadas por

e l cuadrado de las d is tanc ias a un e je . T iene un idades de

long i tud e levada a la cua t ro ( long i tud4) . Es importante para el

análisis de vigas y columnas, porque el diseño del tamaño de estos

elementos está relacionado con el momento de inercia, ya que

el momento de inercia

Define la forma apropiada que debe la sección del elemento estructural



EJERCICIOS PROPUESTO DE INTEGRALES TRIPLES: CENTROIDE, CENTRO DE GRAVEDAD Y TEOREMA DE PAPUS

1.-Una lámina triangular tiene los vértices (0,0), (1,0) y (1,2), y tiene densidad

δ ( x , y )=x2 y . Halle su centro de masa.

Solución

En este caso R es: 0≤x≤1 , 0≤x≤2x

En este caso debemos calcular M=M ( S ), m y y M x :

M=∬Sx2 ydA=∫0

1∫0

2 xx2 xdydx=∫0

1 [ x2 y2

2 ]0

2 x

dx

⇒M=∫0

12 x4 dx=[2 x5

5 ]0

1

=25

Calculamos ahora.

M y=∬Sx2 yxdA=∫0

1∫0

2 xx3 ydydx=∫0

12x5dx=[2 x6

6 ]0

1

⇒M y=13

Por ultimo:

M x=∬Sx2 yydA∫0

1∫0

2 xx2 y2dydx=∫0

1 [x2 y3

3 ]dx=∫0

1 8 x5

3dx

⇒M x=[8 x6

18 ]0

1

=49

Así tenemos que:

( x , y )=(M y

M,M x

M )=( 56,109 )

1.- Hallar la masa del cuerpo limitado por el paraboloide x2+ y2=2az y la esfera

x2+ y2+ z2=3a2 ( z>0 ) si la densidad en cada punto es igual a la suma de los

cuadrados de las coordenadas.



solucion :usando las coordenadas cilindricas :x=r cosθ , y=rsenθ , z=z donde J (r , θ , z )=r{x2+ y2+z2=3 a2 ¿¿¿¿¿

¿

3.- Encuentre el centroide (supongamos δ (x , y , z )=1 ) de un sólido en el primer

octante acotado por los planos x=0 , y=0y los paraboloides z=1− x2− y2 y

z=x2+ y 2. La intersección entre los paraboloides está dada en el plano

z=12 en el

cual se determina el círculo x2+ y2=1

2 , implicando que a proyección en el plano xy

está dada por 0≤r≤ 1

√2 y 0≤θπ

2 . De esta manera que el volumen V lo podemos

escribir en términos de coordenadas cilíndricas así:

V= (r ,θ , z ): 0≤r≤ 1

√2,0≤θ≤π

2,r2≤z≤1−r2

Los momentos están dados por:



M yz=∭vxdxdydz=∫

0

π2

∫0

1

√2∫r2

1−r 2

(r cosθ ) rdzdθ dr=√230

M xz=∭vydxdydz=∫

0

π2

∫0

1√2

∫r2

(1−r2rsen θ ) rdzdθdr=√230

M xy=∭vzdxdydz=∫

0

π2

∫0

1√2

∫r2

1−r2

zrdzdθdr=π32

Observemos que los momentos M yz y M xz son simétricos. Como la densidad es constante

igual a 1 tenemos que la masa total está dada por:

M=int∬vdxdydz=∫

0

π2

∫0

1

√2∫r2

(1−r2) rdzd θdr= π16

Así las coordenadas del centroide están dadas por:

x=MYZ

M=8√2

15 π, y=

M XZ

M=8√2

15 π,M xy

M=1

2

4.-

Determinar el centro de masa de una Figura 16.12 varilla rectilínea, de sección transversal constante, va aumentando linealmente conforme nos distanciamos de uno de sus extremos.

Tomemos el eje x a lo largo de la varilla, la densidad lineal vendrá expresada en la forma.

λ=λ0+k x Donde k es una constante y

λ0 es la densidad en el extremo x=0. Teniendo en

cuenta que dm= λdx , la posición del centro de una masa vendrá dada por:

Xcm=∫0

L

xdm

∫0

L

dm

=∫0

L

λx dx

∫0

L

λ dx

⇒∫0

Lλdx=∫0

L

(λ 0 +k x )dx= λ 0 L+12kL2

∫0

Lλdx=∫0

L

( λ 0 +k x ) x dx=12λ 0 L

2+13kL3



De modo que

X cm=3 λ0 L+2kL2

6 λ0+3kL=( 3 λ0 L+2kL

6 λ0+3kL )L

Si k=0 , (varilla homogénea), será X cm=

L2 ……………RPTA

Si λ0=0 ,

, será X cm=

2 L3 …………RPTA

5.- Determinar el centoide la porción de la esfera x2+ y2+ z2≤a2 ,en el primer octante,

asumiendo densidad constante.

Calcular

M x , y=∭Wδ ( x , y , z )zdV

Usando coordenadas esféricas esta integral queda.

M xy=∫0

∏ ¿2∫0

∏ ¿ 2∫0

a( ρ cos φ) ρ2 senφdpd φdθ=∏ a4

16

Como V=∏ a3

6 , el centroide es ( 38a ,

38a ,

38a)

7.- Se considera el sólido V de densidad constante µ, limitado por la superficie esférica de

radio

R. Calcular los momentos de inercia:

(i) Respecto a su centro.

(ii) Respecto a un plano que pase por su centro.

(iii) Respecto a un diámetro.

RESOLUCIÓN. Situamos el origen de coordenadas en el centro de la esfera.

(i) llamando v* ala parte de v que está en el primer octante,

Io=μ∫∫∫v(x2+ y2+z )dxdydz=8μ∫∫∫v

( x2+ y2+z2)dxdydz

Hacemos cambio de variables a coordenadas esféricas:

Io=8 μ∫0

π

dθ∫ senϑdϑ∫0

r /2p4

Entonces por lo tanto es:Io=1

2( Ix+ Iy+ Iz )



Nuevamente por simetría, los momentos de inercia respecto a todos los diámetros son

iguales. Si L es cualquier diámetro, entonces Ix = Iy = Iz = IL, así que:

Io=32Io=8 rR

15μ=3

2Il. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. RPTA

EJERCICIOS PROPUESTO DE INTEGRALES TRIPLES: CENTROIDE, CENTRO DE GRAVEDAD Y TEOREMA DE PAPUS

1.- Calcular ∬D( x2+ y2 )dxdy

si D =¿¿ usando coordenadas cartesianas.

2.- Calcular∭D

z2dVdonde R es la parte común de la esfera

x2+ y2+ z2≤a2 yx2+ y2+z2≤2az………………….

3.- Determinar ∬R

( x+ y+1)dA donde R es la región limitada por las rectas

y−x=1, y−x=−1 , x+ y=1 , x+ y=2

4.- Hállese el área de la superficie de la esfera X2+Y 2+Z2=a2

en el octante positivo. El área A se halla haciendo z = 0 en la ecuación de la esfera, por tanto, A es la

región interior al círculo X2+Y 2+Z2=a2

en el primer cuadrante como se puede ver en la figura.

5.- Calcule cada uno de los integrales

a.- ∫0

2

∫0

x2

y dy dx

Rpta. 165

b.- ∫0

a

∫0

√a2− x2

ydy dx

Rpta. a3

6

6.- hallar el área de la región delimitada por las parábolas y2=10 x+25 e y2=−6 x+9



Rpta. 163√15

7.- Calcular la integral

∫−a

a

( ∫−√a2− x2

√a2− x2

( ∫h

a2(x2+ y2 )

hdz

√x2+ y2 )dy)dx pasando a coordenadas

cilíndricas.

8.- Calcular cada uno de los siguientes integrales; si R=[0,1 ]×[0,1 ]

∬R

(x3+ y2 )dA

9.-calcular:

∬R

❑

k cos2∝(x tag∝− y )2dy dx

DONDE: R {( x , y )b2 x2+a2 y2≤a2b2 }Rpta.

14abπk [a2 sen2α+b2cos2α ]

10.- Sea t (u , v )=(x (u , v ) , y (u , v ) ) la aplicación definida por t (u , v )=(4u ,2u+3v ) sea D*

el rectángulo [0,1 ]×[1,2 ] hallar D=T ¿¿ y calcular.

a) ∬Dxydxdy


Por medio de un cambio de variables que las calcule como integrales sobre D*

11.- una lámina delgada tiene la forma de la región R y con densidad

d ( x , y )=(x2+ y2)−1

2 . Hallar la masa de la lámina si R es la región que es interior a la

circunferencia.x2+( y−2 )2=4

Y exterior a la circunferencia x2+ y2=4

Rpta. m=4 π3

−4√3

12.- Calcular las coordenadas del centro de gravedad del cuerpo limitado por las

superficies:



x+ y=1z=x2+ y 2

x=0 rpta : (25 .25,730 )

y=0z=0

13.- hallar ∫−1

1

∫0√1− x2

dydx

14.- Hallar

∭R3

1

[1+ (x2+ y2+z2 )32 ]

32

dxdydz

15.- Sea D el círculo unidad. Expresar ∬D(1+x2+ y2)

32 dxdy

como una integral sobre el

rectángulo [0,1 ]×[0,2π ]y calcularla.

16.- Obtener la masa y el centroide de una placa delgada triangular limitada por el eje x y las rectas X=1 y Y=2x la densidad de la placa en el punto (x,y) es δ ( x , y )=6 x+6 y+6

17.- Calcular ∬D

xydxdy si D es la región acotada por y=√x , y=√3x−18 , y≥0

usando coordenadas cartesianas.

18.- Calcular el volumen del sólido limitado por el cilindro x2+ y2=1 y los planos

z=0 , x+ y+z=2 . Con el cambio de coordenadas cilíndricas.

19.-Calcular esta integral ∬ ( x+ y )e x2− y 2

dA , haciendo un cambio de variable sobre la

región:

R :¿ {x− y=0¿ {x− y=2¿ {x+ y=0 ¿ ¿¿Calculo II Página 38


4. Hipótesis

Esta operación nace como consecuencia de responder la siguiente pregunta: si

se conoce la velocidad de una partícula para un tiempo determinado ¿podemos

conocer la ley de movimiento de tal partícula?

La respuesta no es fácil de contestar, esta respuesta nos lleva a crear una nueva

disciplina que en apariencia no tiene nada que ver con la derivada, esta disciplina

es el cálculo integral. De hecho, el cálculo diferencial y el cálculo integral fueron

considerados distintos hasta que surgió un teorema que además de unir estas

disciplinas las exhibe como contrarias, tal teorema es el teorema fundamental del

cálculo.

En unos inicios cuando se hallaba áreas se utilizaba el método tradicional de

figuras geométricas ya conocidas, pero que ocurría si el área a medir era una

función cubica o logarítmica etc. Estos métodos no eran lo suficientemente capaz

para hallar estos ejercicios, de entonces surgió la integral. ¿Las integrales serán

lo suficientemente eficaz para hallar el área de este tipo de áreas?

5. Método de Investigación

el método utilizado fue el método analítico y no experimental.

6. Conclusión

Los integrales múltiples son una de las matemáticas más fáciles que nos ayudan

a resolver problemas como relacionados al volumen de un objeto u otro. En este

proyecto desarrollado nos dimos cuenta que los integrales son diversos pero

para cada caso se tienes una integral y cuan facilidad nos da para resolverlo. Y

los integrales son los únicos que pueden ayudar a la sociedad a resolver los

problemas que se pueden presentar.



7. Referencias Bibliográficas

LAZARO M. 3ra edición( 2009). Análisis Matemático III- Cálculo Vectorial.

Lima. Perú: Editorial Moshera.

ESPINOZA E. 6ta edición (2009). Análisis Matemático III. Lima. Perú: Editorial

Eduardo Espinoza Ramos.

LAZARO M. 2da edición (2002). Análisis Matemático IV- Cálculo Vectorial.

Lima. Perú: Editorial Moshera.

ANTON (2007). Calculo. Lima. Perú: Editorial Antoon.

MITACC M. (2006). Máximos y Mínimos. Lima. Perú: Editorial Mitacc.

IV. a EBSCO (BIBLIOTECA VIRTUAL)

Fuentes D, Gélves O, Chacón J. (2008). Estrategias de cálculo de

intercambiadores de calor por medio de método de integrales (artículo en

línea). Documento en PDF. 139-151pp. Disponibilidad libre en:

http://web.b.ebscohost.com/ehost/detail/detail?sid=96c1e85f-ba2b-

4f65a21b807f58ce5a8d

%40sessionmgr115&vid=0&hid=121&bdata=JnNpdGU9ZWhvc3QtbGl2ZQ

%3d%3d#db=a9h&AN=45126566

Cruz G, Cruz J. (2006). The segmental conic model for forest measurements. (ARTICULO EN LINEA). Documento en PDF. 91- 96pp. Disponibilidad libre. http://web.b.ebscohost.com/ehost/detail/detail?vid=16&sid=9a660d7d-62494abdb925290a945e2524%40sessionmgr111&hid=121&bdata=JnNpdGU9ZWhvc3QtbGl2ZQ%3d%3d#db=a9h&AN=23821054


proyecto de jhonathan leonardo quispe quispr de calculo ii

Documents