proyecto de ofimatica iii
TRANSCRIPT
![Page 1: Proyecto de ofimatica III](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022103105/587d6c1b1a28ab32318b6d5f/html5/thumbnails/1.jpg)
INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR VIDA NUEVA
Asignatura: Ofimática IIITema: Presentación en dispositivas de cálculo
Carrera: Mecánica Automotriz
Código:1617732Nivel: Tercero
Jornada: Nocturno Docente: Elizabeth Pazmiño
Autor: Pastrano Oswaldo2016 – 2017
![Page 2: Proyecto de ofimatica III](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022103105/587d6c1b1a28ab32318b6d5f/html5/thumbnails/2.jpg)
![Page 3: Proyecto de ofimatica III](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022103105/587d6c1b1a28ab32318b6d5f/html5/thumbnails/3.jpg)
Nociones preliminares
1.1 Números reales 1.1.1 Conjunto de números reales y la
recta númerica 1.1.2 Intervalos y su clasificación 1.1.3 Desigualdades y su solución1.2 Funciones 1.2.1 Dominio y rango de una función 1.2.2 Gráficas de funciones 1.2.3 Operaciones con funciones 1.2.4 Composición de funciones
![Page 4: Proyecto de ofimatica III](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022103105/587d6c1b1a28ab32318b6d5f/html5/thumbnails/4.jpg)
1.3 Límite de funciones 1.3.1 Concepto de límite de una función 1.3.2 Límites laterales 1.3.3 Teoremas de límites 1.3.4 Límites infinitos
1.4 Continuidad de funciones 1.4.1 Continuidad de una función, análisis
gráfico 1.4.2 Teoremas de continuidad de funciones 1.4.3 Continuidad de una función en un
punto y en un intervalo
![Page 5: Proyecto de ofimatica III](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022103105/587d6c1b1a28ab32318b6d5f/html5/thumbnails/5.jpg)
Derivada
2.1 Derivada de una función 2.1.1 La derivada como razón de cambio 2.1.2 Interpretación geométrica y física de
la derivada 2.2 Cálculo de derivadas 2.2.1 Regla general de derivación 2.2.2 Estudio y aplicación de las fórmulas
de derivación
![Page 6: Proyecto de ofimatica III](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022103105/587d6c1b1a28ab32318b6d5f/html5/thumbnails/6.jpg)
2.3 Aplicación de la derivada 2.3.1 Concavidad 2.3.2 Métodos para la obtención de
máximos y mínimos 2.3.3 Problemas de aplicación de máximos y
mínimos
2.4 Teoremas de derivación 2.4.1 Regla de la cadena 2.4.2 Teorema de Rolle y del valor medio
![Page 7: Proyecto de ofimatica III](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022103105/587d6c1b1a28ab32318b6d5f/html5/thumbnails/7.jpg)
Integral3.1 La integral indefinida 3.1.1 La integral como operación
inversa de la derivación 3.1.2 Fórmulas básicas de integración
3.2 La integral definida 3.2.1 Sumas de Riemann 3.2.2 Interpretación geométrica de la
integral (área bajo la curva) 3.2.3 Teorema fundamental del cálculo
![Page 8: Proyecto de ofimatica III](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022103105/587d6c1b1a28ab32318b6d5f/html5/thumbnails/8.jpg)
3.3 Métodos de integración 3.3.1 Por sustitución 3.3.2 Por sustitución
trigonométrica 3.3.3 Por racionalización 3.3.4 Por partes
![Page 9: Proyecto de ofimatica III](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022103105/587d6c1b1a28ab32318b6d5f/html5/thumbnails/9.jpg)
Sistema de números reales
Desigualdades
![Page 10: Proyecto de ofimatica III](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022103105/587d6c1b1a28ab32318b6d5f/html5/thumbnails/10.jpg)
El cálculo se basa en el sistema de los números reales y sus propiedades.
Números naturales: 1, 2, 3, 4, ................... (N)
Números enteros: ..-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 ...... (Z)
Números reales Números racionales: 3/4, -5/7, m/n, ........... (Q) Números irracionales: 3, 7, a, , e, .........
Números complejos: a + bi; i= -1
N Z Q R
![Page 11: Proyecto de ofimatica III](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022103105/587d6c1b1a28ab32318b6d5f/html5/thumbnails/11.jpg)
Ley conmutativa: x+y=y+x; xy=yx 2+3 = 3+2; (2)(3)=(3)(2) 5 = 5 ; 6 = 6 Ley asociativa: x+(y+z)=(x+y)+z; (xy)z=x(yz) 2 + (3 + 5) = (2+3)+5;
(2*3)5=2(3*5) 2 + 8 = 5 + 5 6 * 5 =2
*15 10 = 10 30 =
30 Ley distributiva: x(y+z) = xy + xz 2(3 + 5) = 2*3 + 2*5 2 * 8 = 6 + 10 16 = 16 Elementos neutros: x+0= x x(1) = x 2 + 0 = 2 2 * 1 = 2 Inversos: x+(-x)=0 x(x-1)= 1 2 + (-2)=0 2 (2-1)= 2(1/2)= 1
![Page 12: Proyecto de ofimatica III](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022103105/587d6c1b1a28ab32318b6d5f/html5/thumbnails/12.jpg)
Tricotomía: x < y o x = y o x > y
2 < 5 o 2 = 5 O 2 > 5
Transitividad: x<y y y<z => x < z
2 < 5 y 5 < 9 => 2 < 9
![Page 13: Proyecto de ofimatica III](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022103105/587d6c1b1a28ab32318b6d5f/html5/thumbnails/13.jpg)
Aditiva: x<y x+z < y+z 2 < 5 2 + 3 < 5 + 3 5 < 8Multiplicativa: z > 0 => x < y xz < yz
8 > 0 => 2 < 5 2*8 < 5*8 16 < 40 z < 0 => x < y xz > yz -8 < 0 => 2 < 5 2(-8) > 5(-8) -16 > -40
![Page 14: Proyecto de ofimatica III](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022103105/587d6c1b1a28ab32318b6d5f/html5/thumbnails/14.jpg)
1) 4-3(8-12)-6 = 1° se resuelve el paréntesis 4-3(-4)-6 = El resultado (-4) se
multiplica por -3 4+12-6 = Se suman todos los
positivos y los negativos 16-6 = 103) -4[3(-6+13)-2(5-9)]= 1° se resuelve color
verde -4[3(7)-2(-4)]= Se multiplica el
paréntesis con su literal -4[21+8]= Se resuelve color lila -4[29]= -116 Se multiplica
![Page 15: Proyecto de ofimatica III](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022103105/587d6c1b1a28ab32318b6d5f/html5/thumbnails/15.jpg)
5) 5/6 – (1/4+2/3) = Paréntesis ¿? a/b+c/d=(ad+cb)/bd
5/6 – (1)(3)+(2)(4)/(4)(3) = Simplificar 5/6– 3+8/12 = 5/6–11/12 Igualar denominadores
(mcm) 5/6 – 11/12 = (5/6)(2/2) – 11/12 2/2=1, x*1=x 10/12 – 11/12 = – 1/12 Mismo denominador
(12), numeradores se
suman.
![Page 16: Proyecto de ofimatica III](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022103105/587d6c1b1a28ab32318b6d5f/html5/thumbnails/16.jpg)
7) 1/3[1/2(1/4-1/3)+1/6] = 1/3[1/2(1(3)-1(4)/4(3))+1/6]
= 1/3[1/2(3-4/12)+1/6] = 1/3[1/2(-1/12)+1/6] = 1/3[-1/24+1/6] = 1/3[-1/24+(1/6)(4/4)] = 1/3[-1/24+4/24] = 1/3[3/24] = 3/72 = 1/24
9) (5/7+2/9)/(1+1/2) = (5(9)+ 2(7)/7(9))/(2/2+1/2) = (45+14/63)/(3/2) = (59/63)/(3/2) = a/b/c/d= ad /
bc (59)(2)/(63)(3)= 118/189
11) 1 - 2/(2 + 3/4) = 1 - 2/(8/4 + 3/4) = 1 - 2/1/(11/4) = 1 – 2(4)/ 1(11) = 11/11 –
8/11= 3/11
![Page 17: Proyecto de ofimatica III](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022103105/587d6c1b1a28ab32318b6d5f/html5/thumbnails/17.jpg)
13) (√ 2 + √ 3)(√ 2 - √ 3) = (a+b)(a-b)=a2-b2
(√ 2)2 – (√ 3)2 = 2-3 = -115) 3 √ 2 (√ 2 - √ 8) = 3 √ 2 (√ 2 - √(4*2)) = 3 √ 2 (√ 2 - √ 4* √ 2) = 3 √ 2 (√ 2 (1- √ 4)) = 3 √ 2 (√ 2 (1- 2)) = 3 √ 2 (√ 2 (-1)) = 3 √ 2 (- √ 2 ) = -3 √ 2 √ 2 = -3 √(2*2) = -3 √ 4 = -3(2) = -6
![Page 18: Proyecto de ofimatica III](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022103105/587d6c1b1a28ab32318b6d5f/html5/thumbnails/18.jpg)
1) 4-3(8-12)-6 =2) 2(3-2(4-8)) =3) -4[3(-6+13)-2(5-9)]=4) 5[-1(7+12-16)+4]+2 =5) 5/6 – (1/4+2/3) =6) ¾-(7/12 – 2/9) =7) 1/3[1/2(1/4-1/3)+1/6] =
![Page 19: Proyecto de ofimatica III](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022103105/587d6c1b1a28ab32318b6d5f/html5/thumbnails/19.jpg)
8. -1/3[2/5-1/2(1/3-1/5)] =9. (5/7+2/9)/(1+1/2) =10. [1/2-3/4+7/8]/[1/2+3/4-7/8] =11. 1 - 2/2+3/4 =12. 2 + 3/1+5/2 =13. (√2 + √ 3)(√ 2 - √ 3) =14. (√ 2 + √ 3)2 =15. 3 √ 2 (√ 2 - √ 8) =
![Page 20: Proyecto de ofimatica III](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022103105/587d6c1b1a28ab32318b6d5f/html5/thumbnails/20.jpg)
a) (2x-3)(2x+3)= b) (2x-3)2=
c) (-3t2-t+1)2= d) (2t-1)3=
e) (x2-4) / (x-2)= f) (x2-x-6)/ (x-3)=
g) (x3-8) / (2x-4) = h) (2x-2x2) / (x3-2x2+x)=
![Page 21: Proyecto de ofimatica III](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022103105/587d6c1b1a28ab32318b6d5f/html5/thumbnails/21.jpg)
a) (2x-3)(2x+3)= (2x)2-(3)2= 4x2-9
b) (a+b)2 = a2+2ab+b2 (2x-3)2 = (2x)2+2(2x)(-3)+(-3)2
=4x2-12x+9
(a+b+c)2= a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc (3t2-t+1)2 = (3t2)2+(-t)2+(1)2+2(3t2)(-t)+2(3t2)
(1)+2(-t)(1) = 9t4 + t2 + 1 - 6t3 + 6t2 - 2t = 9t4 - 6t3 + 7t2 - 2t + 1
![Page 22: Proyecto de ofimatica III](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022103105/587d6c1b1a28ab32318b6d5f/html5/thumbnails/22.jpg)
d) (a+b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 (2t-1)3= (2t)3 + 3(2t)2(-1) + 3(2t)(-1)2 + (-1)3 = 8t3 - 3(4t2) + 3(2t)(1) -1 = 8t3 - 12t2 + 6t –1
e) (x2-4)/(x-2)= Factorizar el numerador. Buscar dos # que (a)(b) den –4 y (a)+(b) den 0. (x2+0x-4) (x-2)(x+2)/(x-2)= Como (x-2) se encuentra en el
numerador y en el denominador, se cancela. x+2
f) (x2-1x-6)/(x-3)= (a)(b)= -6 Y (a)+(b)= -1 (x+2)(x-3)/(x-3)= (-3)(2)= -6 Y (-
3)+(2)= -1 x+2
![Page 23: Proyecto de ofimatica III](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022103105/587d6c1b1a28ab32318b6d5f/html5/thumbnails/23.jpg)
Una expresión algebraica con cualquiera de estos símbolos (<, >, >, <) es una Desigualdad.
Ejemplo: 5x2-4x+7 < 2x+3 4x-3 > 7x+5
Al resolver una desigualdad se encuentra un conjunto con aquellos números reales que la hacen verdadera. Al conjunto solución se le llama intervalo.
![Page 24: Proyecto de ofimatica III](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022103105/587d6c1b1a28ab32318b6d5f/html5/thumbnails/24.jpg)
Ejemplos de desigualdades
![Page 25: Proyecto de ofimatica III](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022103105/587d6c1b1a28ab32318b6d5f/html5/thumbnails/25.jpg)
Nombre Notación de conjuntos Gráfica Notación de intervalos
Abierto {x: a < x < b} a x b (a,b)Cerrado {x: a < x < b} a x b [a,b]Semiabierto:Por la izquierda {x: a < x < b} a x b (a,b]Por la derecha {x: a < x < b} a x b [a,b)Infinito: {x: x < b} x b (- ,b] {x: x < b} x b (- ,b) {x: x > a} a x [a, ) {x: x > a} a x (a, )
![Page 26: Proyecto de ofimatica III](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022103105/587d6c1b1a28ab32318b6d5f/html5/thumbnails/26.jpg)
Resolver la desigualdad 2x-7 > 4x-2Se siguen los mismos pasos que al resolver una igualdad.2x-7 > 4x-2 Los términos con variable se pasan a un lado y los términos con constante se pasan al otro.2x-4x > -2+7-2x > 5 Se despeja el –2 que está multiplicando con x y pasa a dividir con 5.x < 5/-2 Como el número (-2) es negativo, la desigualdad se cambia.x < -5/2
-5/2
(- , -5/2)
![Page 27: Proyecto de ofimatica III](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022103105/587d6c1b1a28ab32318b6d5f/html5/thumbnails/27.jpg)
-5 < 2x+6 < 4 Debemos dejar a x sola. Despejamos a 6 y 2
-5 -6 < 2x < 4 -6-11 < 2x < -2-11/2 < x < -2/2-11/2 < x < -1
-11/2 -1
[-11/2, -1)
![Page 28: Proyecto de ofimatica III](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022103105/587d6c1b1a28ab32318b6d5f/html5/thumbnails/28.jpg)
x2-x < 6 Se pasa todo a un lado.x2-1x -6 < 0 Se factoriza. (-3)(2)=-6, (-
3)+(2)=-1(x-3)(x+2) < 0 < indica que el resultado es
negativo. (x-3) < 0 (x-3) > 0 x < +3 x > +3 (x+2) > 0 (x+2) < 0 x > -2 x < -2 -2 3 -2 3
(-2,3) No tiene solución, no se cruzan
![Page 29: Proyecto de ofimatica III](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022103105/587d6c1b1a28ab32318b6d5f/html5/thumbnails/29.jpg)
1. 4x-7 < 3x+52. 7x-1 < 10x+43. 2x+16 < x+254. 6x-10 > 5x-165. 10x+1 > 8x+56. 3x+5 > 7x+177. -6<2x+3<-18. -3<4x-9<119. -2<1-5x<310. 4<5-3x<7
1. 2+3x<5x+1<162. 2x-4<6-7x <3x+63. (x+5)/(2x-1)4. (2x-3)/(x+1)5. 1/x < 56. 7/2x < 37. 1/(3x-2)<48. 3/x+5 > 29. (x+2)(2x-1)
(3x+7)>010. (2x+3)(3x-1)(x-
2)<0
![Page 30: Proyecto de ofimatica III](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022103105/587d6c1b1a28ab32318b6d5f/html5/thumbnails/30.jpg)
![Page 31: Proyecto de ofimatica III](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022103105/587d6c1b1a28ab32318b6d5f/html5/thumbnails/31.jpg)
Es la distancia que existe del origen (cero) a cualquier otro punto, ya sea hacia la izquierda o derecha. No existen distancias negativas; se designa mediante |x| y se define como:
Ejemplo:|5| = 5 |-5| = +5 |-25x|=25x |-a|=a |b|=b
|-4x2|= 4x2
Propiedades del valor absoluto
I.|ab|=|a|*|b| III. |a+b|< |a|+|b| |(2)(-3)|=|2|*|-3|=2*3=6 |-3+2|< |-3|+|2|II.|a/b|=|a|/|b| IV. |a-b| > ||a| - |b|| |-4/2|=|-4|/|2|= 4/2 =2 |2-3|> ||2|-|3||
![Page 32: Proyecto de ofimatica III](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022103105/587d6c1b1a28ab32318b6d5f/html5/thumbnails/32.jpg)
Resuelva la desigualdad. |3x-5| > 1 lo que está dentro del valor absoluto, puede ser
positivo o negativo+(3x-5) > 1 -(3x-5) > 1 3x > 1+5 3x-5 < 1/-1 3x > 6 3x < -1+5 x > 6/3 x < 4/3 x > 2
![Page 33: Proyecto de ofimatica III](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022103105/587d6c1b1a28ab32318b6d5f/html5/thumbnails/33.jpg)
1. |x+1| < 42. |x-2| <53. |3x+4| <84. |5x/3 –2| < 65. |3x/5 +1| < 4 6. |2x-7| < 37. |2x-7| > 38. |5x-6| > 19. |4x+2| > 1010. |x/2 +7| > 211. |2+5/x| > 112. |1/x -3| > 6
|x+1| < 4x+1 < 4 x+1 > -
4 x < 4-1 x > -4-1 x < 3 x > -5
3 -5
(- ,3) (-5,+ )
![Page 34: Proyecto de ofimatica III](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022103105/587d6c1b1a28ab32318b6d5f/html5/thumbnails/34.jpg)
|5x/3 –2| < 6 5x/3 –2< 6 5x/3 –2 >-6 5x/3 < 6+2 5x/3 >-6+2 5x/3 < 8 5x/3 > -4 5x < 8*3 5x > -4*3 5x < 24 5x > -12 x < 24/5 x > -12/5
24/5 -12/5
(- ,24/5] [-12/5,+ )
![Page 35: Proyecto de ofimatica III](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022103105/587d6c1b1a28ab32318b6d5f/html5/thumbnails/35.jpg)
|4x+2| > 104x+2 > 10 4x+2 < -10
4x > 10-2 4x < -10-2 4x > 8 4x < -12 x > 8/4 x < -
12/4 x > 2 x < -3
2 -3
(- ,-3] [2,+ )
![Page 36: Proyecto de ofimatica III](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022103105/587d6c1b1a28ab32318b6d5f/html5/thumbnails/36.jpg)
Tarea: Biografía de Cauchy
![Page 37: Proyecto de ofimatica III](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022103105/587d6c1b1a28ab32318b6d5f/html5/thumbnails/37.jpg)
![Page 38: Proyecto de ofimatica III](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022103105/587d6c1b1a28ab32318b6d5f/html5/thumbnails/38.jpg)
Una función (f) es una regla de correspondencia entre dos conjuntos, tal que a cada elemento del primer conjunto le corresponde solo un elemento del segundo conjunto.
A B A B Función Relación
ABCDE
12345
ABCDE
12345
![Page 39: Proyecto de ofimatica III](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022103105/587d6c1b1a28ab32318b6d5f/html5/thumbnails/39.jpg)
Conjunto: agrupación de cosas, elementos u objetos con características en común.
Dominio: conjunto en el cual se encuentra la variable independiente
Rango: Conjunto en el cual se encuentra la variable dependiente.
Variable independiente: tiene valor por si mismaVariable dependiente: para existir depende del
valor de la variable independiente.
Para denotar una función se usa una letra (f, g, F, etc). =>
F(x) se lee f de x ó f en xF(x) designa el valor que f le asigna a x.
![Page 40: Proyecto de ofimatica III](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022103105/587d6c1b1a28ab32318b6d5f/html5/thumbnails/40.jpg)
Si F(x) = x3- 4 =>F(2)= (2)3- 4 = 8-4 = 4F(-1)= (-1)3- 4 = -1-4 =-5F(a)= (a)3- 4 = a3- 4F(a+h)= (a+h)3-4 =
a3+3a2h+3ah2+h3-4
Si F(x) = x2- 2x =>F(4)= (4)2- 2(4) = 16-8 = 8 F(4+h)= (4+h)2- 2(4+h) = 16+8h+h2-(8+h) = 16+8h+h2-8-h = h2+7h+8F(4+h)-F(4) = h2+7h+8 – 8 = h2+7hF(4+h)-F(4)/h = (h2+7h)/h
= h(h+7)/ h
= h+7
![Page 41: Proyecto de ofimatica III](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022103105/587d6c1b1a28ab32318b6d5f/html5/thumbnails/41.jpg)
G(x) = 1/xG(a) = 1/aG(a+h) = 1/(a+h)G(a+h)-G(a) = 1/(a+h) - 1/a[G(a+h)-G(a)]/h = [1/(a+h) - 1/a]/h = [1(a)-(1)(a+h)/(a+h)(a)]/h = [a-a-h/(a+h)(a)]/h = [-h/(a+h)(a)] / h/1 = (-h)(1) / (a+h)(a)(h) = -h / (a2+ah)h = -1 / (a2+ah)
![Page 42: Proyecto de ofimatica III](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022103105/587d6c1b1a28ab32318b6d5f/html5/thumbnails/42.jpg)
Para f(x) = x2-1,
encuentre:
a) f(1) =b) f(k) =c) f(-2) =d) f(-6) =e) f(0) =f) f(1/2) =g) f(2t) =h) f(3x) =i) f(1/x) =
Para F(x) = 3x3+x, encuentre:
a) F(-6) =b) F(1/2) =
c) F(3.2) =d) F(3) =e) F() = f) F(1/x ) =
g) F(x) = h) F(2x) =
Para G(y) = 1/ y-1
encuentre:
a) G(0) =b) G(2y) =c) G(0.999) =d) G(1.01) =e) G(-x) =f) G(a) =g) G(2t) =h) G(-y) =
![Page 43: Proyecto de ofimatica III](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022103105/587d6c1b1a28ab32318b6d5f/html5/thumbnails/43.jpg)
![Page 44: Proyecto de ofimatica III](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022103105/587d6c1b1a28ab32318b6d5f/html5/thumbnails/44.jpg)
I.(f+g)(x) = f(x) + g(x)II.(f-g)(x) = f(x)-g(x)III.(f*g)(x) = f(x)*g(x)IV.(f / g)(x) = f(x) / g(x)V.(fg)(x) = f(g(x))
Función constante: f(x) = k; Función identidad: f(x) = x; Función lineal: f(x) = ax + bFunción cuadrática: f(x) = ax2 + bx + cFunción cúbica: f(x)=ax3+bx2+cx+dFunción polinomial: f(x)=axn+...+ax+aFunción racional: f(x)= (axn+...+a)/(axn+.+a)Función valor absoluto: f(x)=| axn+..+ax+a |Función exponencial: f(x) = exFunción logaritmica: f(x) = log x
Ejemplo: Si f(x) = x2 y g(x) = x+1
(f+g)(x) = f(x) + g(x) = x2 + x+1(f-g)(x) = f(x)-g(x) = x2 – (x+1) = x2 – x - 1 III.(f*g)(x) = f(x)*g(x)= (x2)(x+1) = x3 + x2
IV.(f / g)(x) = f(x) / g(x) = (x2)/(x+1)V.(fg)(x) = f(g(x))= f(x+1) = (x+1)2
Clasificación parcial Clasificación parcial de funcionesde funciones
![Page 45: Proyecto de ofimatica III](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022103105/587d6c1b1a28ab32318b6d5f/html5/thumbnails/45.jpg)
![Page 46: Proyecto de ofimatica III](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022103105/587d6c1b1a28ab32318b6d5f/html5/thumbnails/46.jpg)
Para f(x)= x/x-1 y g(x)= (1+x2), encuentra cada valor si es posible:
a)(f+g)(2)=b)(f*g)(0)c)(g/f)(3)=d)(f g)(0)=e)(g f)(8)=f)(g f)(0)=Para f(x)= x2+x y g(x)=2/x+3,
encuentra cada valor si es posible:a)(f-g)(2)=b)(f/g)(1)c)g2(3)=d)(f g)(1)=e)(g f)(1)=f)(g g)(3)=
Para f(x)= x3+2 y g(x)=2/x-1, encuentra cada valor si es posible:
a)(f/g)(x)b)(f g)(x)=c)(f+g)(x)=d)(g f)(x)=
Si f(x)= (x2-1) y g(x)= 2/x, encuentra las fórmulas
a)(f/g)(x)b)(f g)(x)=c)(f+g)(x)=d)(g f)(x)=e)(f-g)(x)=f)(f*g)(x)=
![Page 47: Proyecto de ofimatica III](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022103105/587d6c1b1a28ab32318b6d5f/html5/thumbnails/47.jpg)
![Page 48: Proyecto de ofimatica III](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022103105/587d6c1b1a28ab32318b6d5f/html5/thumbnails/48.jpg)
Estamos listos para una nueva idea importante, la noción de límite. Es ésta idea la que distingue el cálculo de otras ramas de las matemáticas. De hecho, podríamos definir el cálculo como un estudio de los límites.
NociónNoción intuitiva intuitivaConsidere la función determinada por la fórmula F(x)= (x3-1)/(x-1).Comencemos analizando la gráfica de la función; tabulemos:x -1 -½ 0 1 2 f(-1)= ((-1)3-1)/((-1)-1)=(-1-1)/(-1-1)= -2/-2 = +1y +1 0.75 1 7 f(½) = ((-½)3-1)/((-½)-1)=(-1/8 –8/8)/(-½-2/2)= -9/8/- 3/2=+0.75
f(1)= ((1)3-1)/((1)-1)=(1-1)/(1-1)= 0/0 = IndeterminadoGraficando lo tabulado:
¿Qué pasa de 0 a 2?
![Page 49: Proyecto de ofimatica III](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022103105/587d6c1b1a28ab32318b6d5f/html5/thumbnails/49.jpg)
Tabulemos mas dentro de ese intervalo, sin tocar el uno.
x 0.5 0.7 0.9 0.999 1.001 1.5 1.7
y 1.75 2.19 2.71 2.997 3.003 4.75 5.59
La grafica tiene una rompimiento en el punto (1,3); no existe ahí. Pero, tratando de analizar la gráfica, podemos pensar que cuando x=1, su imagen (y)=3.
Podemos concluir que el límite de f(x)= (x3-1)/(x-1) = 3;
Pero, en ésta forma es erroneo. Necesitamos aplicar el límite, en el punto donde la función no existe.
Lim f(x)= lim (x3-1)/(x-1)x -> 1 x -> 1
=lim (x2+x+1)(x-1)/(x-1) x -> 1
=lim (x2+x+1) = 12+1+1 x -> 1
= 3
Significado intuitivo de límiteDef.: Decir que lim f(x)=L
significa que cuando x está cerca, pero difiere de c, f(x) está cerca de L.
=> Decir que lim f(x)=3, significa que cuando x está cerca de uno, pero no es uno, f(x) está cerca de 3, pero no es 3.
0
1
2
3
4
5
6
7
-2.0
000
-1.0
000
-0.5
000
0.00
00
0.50
00
0.70
00
0.90
00
0.99
90
0.99
99
1.00
00
1.00
10
1.50
00
1.70
00
1.90
00
![Page 50: Proyecto de ofimatica III](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022103105/587d6c1b1a28ab32318b6d5f/html5/thumbnails/50.jpg)
Encuentre:Lim(4x-5)=4(3)-5 = 12-5 = 7 x3Lim(x2-x-6)/(x-3)=[(32-3-6)]/(3-3) x3 =[(9-9)]/(3-3) = 0 / 0 = Como nos dió infinito el resultado, no se debe resolver así. Debemos factorizar el numerador.Lim(x2-x-6)/(x-3)=lim (x+2)(x-3)/(x-3) x3 x3 = lim (x+2) = 3+2 = 5 x3 Cuando x se acerca a 3, f(x) se acerca a 5.Lim (x-1)/((x-1))=(1-1)/((1-1)) x1 = 0/0 = 0/0 = Para resolver esta función, necesitamos conocer las propiedades de la raíz.
Propiedades de la raíz.(a*b) = a * b a/b = a /
b (a+b) a + b a-b a -
b a* a = (a*a) = a2 = a
Lim (x-1)/((x-1))= x1 Lim ((x-1)) ((x-1))/((x-
1))= x1 Lim ((x-1)) = (1-1) =
0 = 0 x1
![Page 51: Proyecto de ofimatica III](https://reader038.vdocuments.net/reader038/viewer/2022103105/587d6c1b1a28ab32318b6d5f/html5/thumbnails/51.jpg)