UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS ESPE

PROCESOS ESTOCSTICOS Y FILTRAJE LINEALPROYECTO PRIMER PARCIALDIEGO FERNANDO JARAMILLO CALDERN

11

1.

SIMULACIN DE MUESTREO

1.1 MUESTREO CON REEMPLAZO Investigue el espacio de probabilidades del lanzamiento de un dado de cuatro caras, donde cada una de sus caras numeradas de 1 a 4 tiene igual probabilidad de aparecer 1. Simular el lanzamiento del dado descrito n=100 veces mediante el uso de la funcin rand

CDIGO DE FUNCINfunction [prob1,prob2,prob3,prob4]=muescreem(num) disp('MUESTREO CON REEMPLAZO'); lanzar=ceil(4*rand(num,1)); band1=0;band2=0;band3=0;band4=0; prob1=0;prob2=0;prob3=0;prob4=0; for i=1:num if lanzar(i,1)==1 band1=band1+1; end if lanzar(i,1)==2 band2=band2+1; end if lanzar(i,1)==3 band3=band3+1; end if lanzar(i,1)==4 band4=band4+1; end end prob1=band1/num; prob2=band2/num; prob3=band3/num; prob4=band4/num; disp('PROBABILIDAD CALCULADA POR SIMULACION'); sprintf('Probabilidad de cara 1: %f ',prob1) sprintf('Probabilidad de cara 2: %f ',prob2) sprintf('Probabilidad de cara 3: %f ',prob3) sprintf('Probabilidad de cara 4: %f ',prob4) x=[band1,band2,band3,band4]; bar(x,'RED') title('LANZAMIENTOS VS CARAS') xlabel('CARAS DEL DADO') ylabel('NUMERO LANZAMIENTOS')

2.

Determinar la probabilidad que aparezca cada una de las caras del dado.

NUMERO LANZAMIENTOS

CORRIDA DE CDIGO >> p=muescreem(100); MUESTREO CON REEMPLAZO PROBABILIDAD CALCULADA POR SIMULACIN ans = Probabilidad de cara 1: 0.240000 ans = Probabilidad de cara 2: 0.290000 ans = Probabilidad de cara 3: 0.250000 ans = Probabilidad de cara 4: 0.220000

LANZAMIENTOS VS CARAS 30

25

20

15

10

5

0

1

2 3 CARAS DEL DADO

4

3. *

Comparar estas probabilidades con el valor analtico calculado. +

CALCULO VALORES ANALTICOS

(

)

(

)

(

)

(

)

VALORES SIMULADOS ( ERROR ( ) ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( )

Como se puede observar en los valores de cada una de las probabilidades estas difieren en un error ms alto de lo que se considera aconsejable (6%) esto debido a que se realiz un nmero muy bajo de experimentos por lo cual la probabilidad de que ocurra cada evento de cara de dado puede ser mayor en algunas caras y muy bajo en otras. 4. N=500p=muescreem(500); MUESTREO CON REEMPLAZO PROBABILIDAD CALCULADA POR SIMULACION ans = Probabilidad de cara 1: 0.2440000 ans = Probabilidad de cara 2: 0.276000 ans = Probabilidad de cara 3: 0.262000 ans = Probabilidad de cara 4: 0.218000140 120

Repetir los pasos anteriores para n=500, 1000, 50000 y 100000 veces.LANZAMIENTOS VS CARAS

NUMERO LANZAMIENTOS

100

80

60

40

20

0

1

N=1000p=muescreem(1000); MUESTREO CON REEMPLAZO PROBABILIDAD CALCULADA POR SIMULACION ans = Probabilidad de cara 1: 0.251000 ans = Probabilidad de cara 2: 0.253000 ans = Probabilidad de cara 3: 0.248000 ans = Probabilidad de cara 4: 0.248000300

2 3 CARAS DEL DADO

4

LANZAMIENTOS VS CARAS

250

NUMERO LANZAMIENTOS

200

150

100

50

0

1

2 3 CARAS DEL DADO

4

LANZAMIENTOS VS CARAS

N=50000>> p=muescreem(50000); MUESTREO CON REEMPLAZO PROBABILIDAD CALCULADA POR SIMULACION ans = Probabilidad de cara 1: 0.251080 ans = Probabilidad de cara 2: 0.250200 ans = Probabilidad de cara 3: 0.249460 ans = Probabilidad de cara 4: 0.249260NUMERO LANZAMIENTOS

14000

12000

10000

8000

6000

4000

2000

0

1

2 3 CARAS DEL DADO

4

N=100000p=muescreem(100000); MUESTREO CON REEMPLAZO PROBABILIDAD CALCULADA POR SIMULACION ans = Probabilidad de cara 1: 0.249100 ans = Probabilidad de cara 2: 0.250160 ans = Probabilidad de cara 3: 0.251400 ans = Probabilidad de cara 4: 0.249340NUMERO LANZAMIENTOS

3

x 10

4

LANZAMIENTOS VS CARAS

2.5

2

1.5

1

0.5

0

1

2 3 CARAS DEL DADO

4

5.

Que se puede concluir de las actividades anteriores

Como se puede observar en las grficas del punto 4, cuando se realiza 500 experimentos de lanzar el dado la probabilidad de que cada cara se acerque a su valor terico an es muy baja pero esto va cambiando cuando se sube el nmero de experimentos, con esto se puede concluir que para tener una probabilidad muy cercana a un valor analtico se debe realizar un numero alto de experimentos ya que esto nos permitir tener un valor muy real al que se necesita, es decir mientras ms se realice un experimento mayor ser la exactitud de la probabilidad que necesitamos conocer. 1.2 MUESTREO SIN REEMPLAZO Investigue el espacio de probabilidades del problema de seleccionar dos bolas de una urna conteniendo tres bolas rojas y tres bolas verdes. 1. Simular la extraccin de dos bolas de la urna descrita n=100 veces mediante el uso de la funcin randperm

function [prob1,prob2,prob3,prob4]=muessreem(num) disp('MUESTREO SIN REEMPLAZO'); bolsa=[1 1 1 2 2 2]; band1=0;band2=0;band3=0;band4=0; for i=1:num perm=randperm(length(bolsa)); extra=perm(1:2); bolas=bolsa(extra); if bolas(1,1)==1 && bolas(1,2)==2 band1=band1+1;

end if bolas(1,1)==1 && bolas(1,2)==1 band2=band2+1; end if bolas(1,1)==2 && bolas(1,2)==1 band3=band3+1; end if bolas(1,1)==2 && bolas(1,2)==2 band4=band4+1; end end prob1=band1/num; prob2=band2/num; prob3=band3/num; prob4=band4/num; sprintf('Probabilidad de ROJA - VERDE: %f ',prob1) sprintf('Probabilidad de ROJA - ROJA: %f ',prob2) sprintf('Probabilidad de VERDE - ROJA: %f ',prob3) sprintf('Probabilidad de VERDE - VERDE: %f ',prob4) x=[band1,band2,band3,band4]; bar(x,'BLUE') title('NUMERO MUESTRAS VS EXTRACCION') xlabel('EXTRACCION') ylabel('NUMERO MUESTRAS') >> y=muessreem(100); MUESTREO SIN REEMPLAZO ans = Probabilidad de ROJA - VERDE: 0.330000 ans = Probabilidad de ROJA - ROJA: 0.190000 ans = Probabilidad de VERDE - ROJA: 0.300000 ans = Probabilidad de VERDE - VERDE: 0.180000

NUMERO MUESTRAS VS EXTRACCION 35 30

NUMERO MUESTRAS

25 20 15 10 5 0

ROJA VERDE ROJA ROJA

VERDE ROJA VERDE VERDE

1

2 EXTRACCION

3

4

2.

Determinar la probabilidad que aparezca una bola roja seguida de una bola verde

function [prob]=muessreem(num) disp('MUESTREO SIN REEMPLAZO'); bolsa=[1 1 1 2 2 2]; band=0; for i=1:num perm=randperm(length(bolsa)); extra=perm(1:2); bolas=bolsa(extra); if bolas(1,1)==1 && bolas(1,2)==2 band=band+1; end end prob=band/num x=[band,num-band]; bar(x,'BLUE') title('NUMERO MUESTRAS VS EXTRACCION') xlabel('EXTRACCION') ylabel('NUMERO MUESTRAS') y=muessreem(100); MUESTREO SIN REEMPLAZO prob = 0.2700NUMERO MUESTRAS VS EX TRACCION 80 SIN ORDEN 70 60

NUMERO MUESTRAS

50 40 30 20 10 0 1ra ROJA 2da VERDE

1 EX TRACCION

2

3.

Comparar esta probabilidad con el valor analtico calculado

VALOR ANALTICO. / . / . / . /

VALOR SIMULADO

ERROR

Al comparar el valor analtico como el simulado mediante el clculo de su error se puede concluir que este valor supera el error aconsejable, esto es debido a que el nmero de experimentos es muy bajo dando origen a que las permutaciones obtenidas mediante la simulacin sean diferentes a las necesarias para

calcular la probabilidad requerida, esto se hace evidente en el grafico para n=100 experimentos donde se puede constatar que el nmero de casos que no cumplen con la condicin es mayor a los 70 experimentos. 4. n=500y=muessreem(500); MUESTREO SIN REEMPLAZONUMERO MUESTRAS

Repetir los pasos anteriores para n=500; 1000; 50000 y 100000 vecesNUMERO MUESTRAS VS EXTRACCION 350

300

prob = 0.3200

250

200

150

100

50 1ra ROJA 2da VERDE 0

SIN ORDEN

1 EXTRACCION

2

N=1000y=muessreem(1000); MUESTREO SIN REEMPLAZONUMERO MUESTRAS

NUMERO MUESTRAS VS EXTRACCION 700

600

prob = 0.3050

500

400

300

200

100 1ra ROJA 2da VERDE 0

SIN ORDEN

1 EXTRACCION

2

N=50000y=muessreem(50000); MUESTREO SIN REEMPLAZO prob = 0.3009NUMERO MUESTRAS

3.5

x 10

4

NUMERO MUESTRAS VS EXTRACCION

3

2.5

2

1.5

1

0.5 1ra ROJA 2da VERDE 0

SIN ORDEN

1 EXTRACCION

2

N=100000y=muessreem(100000); MUESTREO SIN REEMPLAZO prob = 0.3007NUMERO MUESTRAS

7

x 10

4

NUMERO MUESTRAS VS EXTRACCION

6

5

4

3

2

1 1ra ROJA 2da VERDE 0

SIN ORDEN

1 EXTRACCION

2

5.

Que se puede concluir de las actividades anteriores

En base a los datos obtenidos en forma numrica como grafica se puede observar que para un nmero alto de experimentos la probabilidad obtenida es ms cercana al valor obtenido analticamente mientras que para un numero bajo de experimentos el error de la probabilidad es alto, es decir que si se quiere una mayor exactitud en el valor de la probabilidad se deber realizar un mayor nmero de experimentos as se podr asegurar que el valor obtenido es el ms real posible. 2. PROBLEMAS ADICIONALES

Aplicando la teora estudiada, calcular las soluciones analticas a cada uno de los siguientes problemas. En cada caso verificar las respuestas obtenidas mediante la correspondiente simulacin en Octave o Matlab para un numero bastante grande de experimentos usando la metodologa expuesta en la seccin anterior. Se debe decidir si el problema es equivalente a un muestreo con y sin reemplazo. Una moneda normal es lanzada cuatro veces cual es la probabilidad de obtener dos caras y dos sellos en cualquier orden. (Muestreo con reemplazo)

VALOR ANALTICO

* ( ( ) )

+

CDIGO SIMULACINfunction [prob]=moneda(num) disp('MUESTREO CON REEMPLAZO'); band=0; for k=1:num for i=1:4 lz(i)=ceil(2*rand); end for i=1:2 var(i)=length(find(lz==i)); end

if(var(1)==2 && var(2)==2) band=band+1; end %disp(lz); end prob=band/num; disp('PROBABILIDAD CALCULADA POR SIMULACION'); sprintf('Probabilidad de cara/sello: %f ',prob) x=[band,num-band]; bar(x,'YELLOW') title('NUMERO OCURRENCIAS VS CARA/SELLO') xlabel('CARA/SELLO') ylabel('NUMERO OCURRENCIAS')4

VALOR SIMULADO>> y=moneda(100000); MUESTREO CON REEMPLAZO PROBABILIDAD CALCULADA POR SIMULACION ans = Probabilidad de cara/sello: 0.374110NUMERO OCURRENCIAS

7

x 10

NUMERO OCURRENCIAS VS CARA/SELLO

6

5

4

3

2

Valor analtico = 0,37 Valor simulado=0,3741

1

0

1 CARA/SELLO

2

Un sorteo tiene bolas numeradas desde 1 hasta 10. Cinco bolas son extradas y el ganador debe coincidir con los cinco valores sin importar el orden. Cul es la probabilidad de ganar?

VALOR ANALTICO . / . ( ( ) ) /

(

)

CDIGO SIMULACINfunction [prob1]=sorteo(num) disp('SORTEO BOLSA CON 10 BOLAS'); bolas=[1:10] band1=0; band2=0; for i=1:num perm1=randperm(length(bolas)); extra1=perm1(1:5); perm2=randperm(length(bolas)); extra2=perm2(1:5); for var=1:5

if(length(find(extra1==extra2(var)))==1) band1=band1+1; end end if(band1==5) band2=band2+1; end band1=0; end prob1=band2/num; sprintf('La probabilidad de ganar es de: %.4f',prob1) x=[1-prob1,prob1]; bar(x,'BLUE') title('NUMERO SORTEOS VS PROBABILIDAD DE GANAR') xlabel('PROBABILIDAD 1.PERDER 2.GANAR') ylabel('NUMERO SORTEOS')

VALOR SIMULADO>> y=sorteo(100000); SORTEO BOLSA CON 10 BOLAS bolas = 1 ans = La probabilidad de ganar es de: 0.0039NUMERO SORTEOS VS PROBABILIDAD DE GANAR 1 0.9 0.8 0.7

2

3

4

5

6

7

8

9

10

p(perder)

NUMERO SORTEOS

0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0

p(ganar)

1 PROBABILIDAD 1.PERDER 2.GANAR

2

Valor analtico = 0,0039 Valor simulado = 0,0039

Dos dados de cuatro lados son lanzados al mismo tiempo, repitindose tres veces la experiencia. Cul es la probabilidad de que un doble 4 sea lanzado al menos una de las tres veces posibles?

VALOR ANALTICO6 1/1 15/1 6

4-4 X-X 4-4 X-X 4-4 X-X

13 1/

LANZAMIENTO

1/3

2

16 1/ 15/1 6

1/ 3

3

6 1/1 15/ 16

( ) ( ( ( ) ) ) ( )

CDIGO SIMULACINfunction [prob1]=doscuatros(num) disp('MUESTREO CON REEMPLAZO'); band2=0; for i=1:num band1=0; lanzar=ceil(4*rand(3,2)); for fila=1:3 if(lanzar(fila,1)==4 && lanzar(fila,2)==4) band1=band1+1; end end if(band1>0 && band1> y=doscuatros(100000) MUESTREO CON REEMPLAZO PROBABILIDAD CALCULADA POR SIMULACION ans = Probabilidad de al menos un 4-4: 0.174540 y = 0.1745PROBABILIDAD DOS CUATROS 0.9 0.8 0.7 0.6

PROBABILIDAD

0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0

1 1. p(4-4) 2.p(X-X)

2

Valor analtico = 0,1761 Valor simulado = 0,1745 Un dado de 4 lados es lanzado 6 veces. Cul es la probabilidad de lanzar dos cuatros consecutivos?

VALOR ANALTICO

1 2 3 LANZAMIENTO 4 5 6

4-40,20

4-4

4-40,20

PR OB AB ILI D

AD T

4-4

4-4 4-40,20

OT

AL =

1

4-4 4-40,20

4-4

Fig. Diagrama Probabilidad Para Lanzamiento Consecutivo

0,20

CASO INDEPENDIENTE

4-4

Como se muestra en la figura son posibles diez casos en los que se podra dar un (4-4), la probabilidad de 0,20 es sacada para cada caso independiente si sucede desde un caso consecutivo hasta cinco que sera el mximo de casos en los seis lanzamientos.. CDIGO SIMULACINfunction [prob1]=dcuatxseis(num,times)%times=al menos numero de veces maximo 5 disp('MUESTREO CON REEMPLAZO'); band2=0; for i=1:num band1=0; lanzar=ceil(4*rand(6,2)); if (lanzar(1,1)==4 && lanzar (1,2)==4 && lanzar(2,1)==4 && lanzar(2,2)==4) band1=band1+1; end if (lanzar(2,1)==4 && lanzar (2,2)==4 && lanzar(3,1)==4 && lanzar(3,2)==4) band1=band1+1; end if (lanzar(3,1)==4 && lanzar (3,2)==4 && lanzar(4,1)==4 && lanzar(4,2)==4) band1=band1+1; end if (lanzar(4,1)==4 && lanzar (4,2)==4 && lanzar(5,1)==4 && lanzar(5,2)==4) band1=band1+1; end if (lanzar(5,1)==4 && lanzar (5,2)==4 && lanzar(6,1)==4 && lanzar(6,2)==4) band1=band1+1; end if(band1==times) band2=band2+1; end end prob1=band2*10/num; disp('PROBABILIDAD CALCULADA POR SIMULACION'); sprintf('Probabilidad de al menos un 4-4: %f ',prob1) x=[prob1,1-prob1]; bar(x,'YELLOW') title('PROBABILIDAD DOS CUATROS') xlabel('1. p[4,4;4,4] 2.p[x,x;x,x]') ylabel('PROBABILIDAD')

/

(

)

VALOR SIMULADO>> y=dcuatxseis(100000,1); MUESTREO CON REEMPLAZO PROBABILIDAD CALCULADA POR SIMULACION ans =0.7 PROBABILIDAD DOS CUATROS 0.9 0.8

Probabilidad de al menos un 4-4:

0.1811000.6PROBABILIDAD

0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0

Valor analtico = 0,20 Valor simulado = 0,18

1 1. p[4,4;4,4] 2.p[x,x;x,x]

2

3. PROBABILIDAD CONDICIONAL 3.1 Ejemplo 1: Asistencia a Clases El Director del Departamento preocupado por la pobre asistencia de estudiantes a clases, decide encargar un estudio para investigar las posibles causas. En particular, el Director est interesado en saber el horario de las clases afecta la asistencia y si vara entre hombres y mujeres. Para ello se cuenta la asistencia a dos cursos casi idnticos, uno llevado a cabo a las 9h00 y otro a las 10h00, y se encuentran los siguientes datos: Curso 09h00 Hombres Mujeres Presentes 9 12 Ausentes 15 4

Curso 10h00 Hombres Mujeres

Presentes 27 18

Ausentes 9 6

Ustedes pueden cargar los datos de estas dos matrices desde el archivo proj1.mat y deben ser capaces de responder las preguntas que siguen realizando clculos directamente sobre estas matrices mediante tcnicas de sectorizacin. Usaremos la notacin: M para el evento que un estudiante es hombre, P para el evento que un estudiante est presente, y A para el evento que un estudiante est ausente. 1. Para cada uno de los cursos, use los datos para encontrar las matrices que dan las probabilidades conjuntas: Presentes ( ) ( ) Ausentes ( ) ( )

Hombres Mujeres

2. Para cada uno de los cursos, encuentre dos vectores, uno conteniendo ( ) y ( ), y el otro conteniendo ( ) y ( ). 3. Use las respuestas anteriores para estableces si, en cada uno de los cursos, el gnero del estudiante es un factor que afecta a su asistencia a clases. Para ello debe determinarse si los eventos M y F son independientes de los eventos P y A. 4. Ahora calcule las matrices conteniendo las probabilidades condicionales de un estudiante para asistir a clases dado un gnero: Presentes ( ) ( ) Ausentes ( ) ( )

Hombres Mujeres

VALORES ANALTICOS 1.- MATRIZ DE PROBABILIDAD CONJUNTA CURSO 09H00 ( ( ( ( ) ) ) ) ( ( ) ( ( ) ( ( ) ( ( ) ) ( ) ) ( ( ) ) ( ) ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ( ) ( ) ) )

MATRIZ EN CURSO 09h00 Presentes 0.225 0.3 Ausentes 0.375 0.1

Hombres Mujeres

CURSO 10H00 ( ( ( ( ) ) ) ) ( ( ) ( ( ) ( ( ) ( ( ) ) ( ) ) ( ( ) ) ( ) ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ( ) ( ) ) )

MATRIZ EN CURSO 10H00 Curso 10h00 Hombres Mujeres Presentes 0.45 0.3 Ausentes 0.15 0.1

2.- CALCULO DE LOS VECTORES CURSO 09H00 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( )) ( ( ) ( )) , , -

CURSO 10H00

24 0.4 60 36 P( M ) 0.6 60 15 P( A) 0.25 60 45 P( P) 0.75 60 V (1) ( P( M ), P( F )) (0.6,0.4) P( F ) V (2) ( P( P), P( A)) (0.75,0.25)3.-INDEPENDENCIA CURSO 09H00 ( ( ) ( ( ) ( ( ) ) ( ) ) ( ) ) ( ) >>>> NO ES INDEPENDIENTE >>>> NO ES INDEPENDIENTE >>>> NO ES INDEPENDIENTE

( ( )

) ( ) >>>> NO ES INDEPENDIENTE

CURSO 10H00 ( ( ) ( ( ) ( ( ) ( ( ) ) ( ) ) ( ) ) ( ) ) ( ) >>>> ES INDEPENDIENTE >>>> ES INDEPENDIENTE >>>> ES INDEPENDIENTE >>>> ES INDEPENDIENTE

4.-CALCULO DE LA MATRIZ OBTENIENDO LAS PROBABILIDADES CONDICIONALES DE UN ESTUDIANTE ASISTIR A CLASES DADO SU GENERO Presentes p(P/M) p(P/F) Ausentes p(A/M) p(A/F)

Hombres Mujeres

CURSO 09H00 ( ( ( ( ) ) ) ) ( ( ) ( ( ) ( ( ) ( ( ) ) ) ) )

CURSO 1 0,375 0,750 0,625 0,250

CURSO 10H00 Al ser independientes se cumple que ( ( ( ( ) ) ) ) ( ( ) ( ( ) ( ( ) ( ( ) ) ) ) ) ( ) ( ) ( )

CURSO 2 0,7500 0,7500 CDIGO DE SIMULACIN El presente cdigo se divide en cinco partes un archivo .m file que permite la corrida del programa en s, y cuatro funciones ms que son las encargadas de resolver cada pregunta, se realizaron las dems funciones como archivos .m con el objetivo de reciclar cdigo y no volver el cdigo principal muy extenso a continuacin se detalla el programa principal seguido de cada una de sus funciones. PROGRAMA PRINCIPALfunction []=probset clear all clc c9=[9,15;12,4]; c10=[27 9;18 6]; disp('MATRIZ CURSO 09h00') disp(c9) disp('MATRIZ CURSO 10h00') disp(c10) disp('EJERCICIO PROBABILIDAD CONJUNTA') disp('1. MATRIZ DE PROBABILIDAD CONJUNTA') disp('1.1 CURSO 09H00') MPC9=matprobcon(c9); disp(MPC9) disp('1.2 CURSO 10H00') MPC10=matprobcon(c10); disp(MPC10) disp('2. CALCULO DE VECTORES ') disp('2.1 CURSO 09H00') VC9=vector(c9);

0,2500 0,2500

disp('2.2 CURSO 10H00') VC10=vector(c10); disp('3. DEMOSTRACION INDEPENDENCIA') fprintf('\n'); disp('CURSO 09h00') indepenprob(MPC9,VC9) disp('CURSO 10h00') indepenprob(MPC10,VC10) fprintf('\n'); disp('4. MATRIZ OBTENIENDO PROBABILIDADES CONDICIONALES') disp('CURSO 09h00') matriz(MPC9,VC9) disp('CURSO 10h00') matriz(MPC10,VC10)

PRIMERA FUNCIN MATRIZ PROBABILIDAD CONJUNTAfunction [MPC]=matprobcon(hora) pMP1=hora(1,1)/(hora(2,1)+hora(1,1)); pMA1=hora(1,2)/(hora(1,2)+hora(2,2)); pFP1=hora(2,1)/(hora(2,1)+hora(1,1)); pFA1=hora(2,2)/(hora(1,2)+hora(2,2)); pA1=(hora(2,2)+hora(1,2))/(hora(2,1)+hora(1,1)+hora(2,2)+hora(1,2)); pP1=(hora(2,1)+hora(1,1))/(hora(2,1)+hora(1,1)+hora(2,2)+hora(1,2)); MPC=[(pMP1*pP1),(pMA1*pA1);(pFP1*pP1),(pFA1*pA1)];

SEGUNDA FUNCIN CALCULO VECTORESfunction [vec] = vector(hora) pP=(hora(2,1)+hora(1,1))/(hora(2,1)+hora(1,1)+hora(2,2)+hora(1,2)); pA=(hora(2,2)+hora(1,2))/(hora(2,1)+hora(1,1)+hora(2,2)+hora(1,2)); S(1)=(hora(1,2)+hora(1,1))/(hora(2,1)+hora(1,1)+hora(2,2)+hora(1,2)); S(2)=(hora(2,1)+hora(2,2))/(hora(2,1)+hora(1,1)+hora(2,2)+hora(1,2)); V(1)=pP; V(2)=pA; disp('VECTOR 1') disp(S); disp('VECTOR 2') disp(V); vec=[S,V]; end

TERCERA FUNCIN INDEPENDENCIAfunction [ ] = indepenprob(mat,vec)

if mat(1,1)==vec(1)*vec(3) fprintf('\nM y P son eventos independientes'); else fprintf('\nM y P no son eventos independientes end if mat(1,2)==vec(1)*vec(4) fprintf('\nM y A son eventos independientes'); else fprintf('\nM y A no son eventos independientes end if mat(2,1)==vec(2)*vec(3) fprintf('\nF y P son eventos independientes'); else fprintf('\nF y P no son eventos independientes end if mat(2,2)==vec(2)*vec(4) fprintf('\nF y A son eventos independientes'); else fprintf('\nF y A no son eventos independientes end end

');

');

');

\n\n\n');

CUARTA FUNCIN PROBABILIDADES CONDICIONALESfunction [ ] = matriz(mat,vec) W=[mat(1,1)/vec(1),mat(1,2)/vec(1);mat(2,1)/vec(2),mat(2,2)/vec(2)]; disp(W); end

VALORES SIMULADOSMATRIZ CURSO 09h00 9 15 12 4 MATRIZ CURSO 10h00 27 9 18 6 EJERCICIO PROBABILIDAD CONJUNTA 1. MATRIZ DE PROBABILIDAD CONJUNTA 1.1 CURSO 09H00 0.2250 0.3750 0.3000 0.1000 1.2 CURSO 10H00 0.4500 0.1500 0.3000 0.1000 2. CALCULO DE VECTORES 2.1 CURSO 09H00 VECTOR 1 0.6000 0.4000 VECTOR 2 0.5250 0.4750 2.2 CURSO 10H00 VECTOR 1 0.6000 0.4000 VECTOR 2 0.7500 0.2500 3. DEMOSTRACION INDEPENDENCIA CURSO 09h00 M y P no son eventos independientes M y A no son eventos independientes F y P no son eventos independientes F y A no son eventos independientes CURSO 10h00 M y P son eventos independientes M y A son eventos independientes F y P son eventos independientes F y A son eventos independientes 4. MATRIZ OBTENIENDO PROBABILIDADES CONDICIONALES CURSO 09h00 0.3750 0.6250 0.7500 0.2500 CURSO 10h00 0.7500 0.2500 0.7500 0.2500

Qu conclusiones podra darle al Director del Departamento? Segn la independencia de los eventos tomado del ejercicio 3, se puede confirmar que el horario de las 09h00 tiene influencia en la asistencia a clases, mostrando que la probabilidad de que los estudiantes se ausente de clases es mucho mayor que la del siguiente curso de las 10h00, en contraparte se muestra que los estudiantes del horario de las 10h00 no tienen ningn problema al asistir a esa hora dando una probabilidad muy baja de que se ausenten en comparacin con los estudiantes del primer curso de las 09h00.

3.2 Ejemplo 2: Lanzamiento de Moneda Cargada Suponga que existen 2 monedas. Una de ellas es normal con probabilidad de obtener una cara o un sello igual a 0,5. La segunda moneda est cargada: la probabilidad de obtener una cara de 0,6 y la probabilidad de obtener un sello 0,4. 1. Una de las 2 monedas es seleccionada al azar. La moneda es lanzada y aparece cara. Cul es la probabilidad que la moneda seleccionada se la cargada, dado que resulto cara el lanzamiento? VALOR ANALTICOCARA 1/2 MONEDA NORMAL SELLO 1/2

LANZAMIENTO

1/ 2 2 1/MONEDA CARGADA

CARA 3/5

SELLO 2/5

( ( CDIGO SIMULACIN )

)

( ( )

)

function []=coinunfair(num) disp('LANZAMIENTO DE MONEDA CARGADA') disp('PROBABILIDAD DE QUE LA MONEDA ESTE CARGADA') %moneda 1 = coin1 %moneda 2 = coin2 coin1=0.5; coin2=0.5; pch1=0.5; pct1=0.5; pch2=0.6; pct2=0.4; pnf=0; pcf=0; num1=0; for i=1:num A=ceil(2*rand); B=ceil(2*rand);

if((A==1)&&(B==1)) pnf=coin1*pch1; end if((A==2)&&(B==1)) pcf= coin2*pch2; end end num1=(pnf+pcf); pcf=(pcf./num1); y=[1-pcf,pcf]; bar(y,'B') xlabel('PROBABILIDAD MONEDA CARGADA 1. SELLO ylabel('PROBABILIDAD') disp(pcf);

2. CARA')

VALOR SIMULADO>> coinunfair(1000000) LANZAMIENTO DE MONEDA CARGADA PROBABILIDAD DE QUE LA MONEDA ESTE CARGADA 0.54550.7

0.6

0.5

PROBABILIDAD

0.4

0.3

0.2

0.1

0

1 PROBABILIDAD MONEDA CARGADA 1. SELLO

2 2. CARA

2. La misma moneda es lanzada una segunda vez. Cul es la probabilidad que la moneda salga cara dado que ya sali cara el primer lanzamiento?, Por qu los 2 eventos no son independientes? VALOR ANALTICOCARA 1/2 CARA 1/2 MONEDA NORMAL SELLO 1/2 CARA 3/5 SELLO 1/2

LANZAMIENTO

1/ 2 2 1/MONEDA CARGADA

CARA 3/5 SELLO 2/5

SELLO 2/5

( ( CDIGO SIMULACIN ) (

)

( ( ) ( )

)

)

function []=coinunfair2(num) disp('LANZAMIENTO DE MONEDA CARGADA') disp('PROBABILIDAD DE QUE LA MONEDA ESTE CARGADA') %moneda 1 = coin1 %moneda 2 = coin2 coin1=0.5; coin2=0.5; pch1=0.5; pct1=0.5; pch2=0.6; pct2=0.4; pnf=0; pcf=0; num1=0; for i=1:num PL=ceil(2*rand); if(PL==1) SL=ceil(2*rand); if(SL==1) TL=ceil(2*rand); if(TL==1) pnf=coin1*pch1*pch1; end end end if(PL==2) SL=ceil(2*rand); if (SL==1) TL=ceil(2*rand); if(TL==1) pcf= coin2*pch2*pch2; end end end end num1=(pnf+pcf); pcf=(pcf./num1); y=[1-pcf,pcf]; bar(y,'B') xlabel('PROBABILIDAD MONEDA CARGADA 1. SELLO 2. CARA') ylabel('PROBABILIDAD') disp(num1);

VALOR SIMULADO0.7

>> coinunfair2(1000000) LANZAMIENTO DE MONEDA CARGADA PROBABILIDAD DE QUE LA MONEDA ESTE CARGADA 0.3050PROBABILIDAD

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0

1 PROBABILIDAD MONEDA CARGADA 1. CARA/SELLO

2 2. CARA/CARA

3. Suponga que una de las monedas es lanzada 2n veces. Escriba una funcin para calcular la probabilidad de obtener n caras y n sellos, dado que la moneda es normal y dado que la moneda est cargada (este debe ser un argumento de la funcin). La funcin debe operar para cualquier valor de n. VALOR ANALTICO

MONEDA

Fig. Probabilidad n lanzamientos Pentgono=Cara, Estrella=Sello DEDUZCO PARA N=1 ( ( ) ( ( DEDUZCO PARA N=2 ( ( ) ( DEDUZCO PARA N=N ( ) ) ( ) ( ) ) ) ) ( ) )

(( CDIGO SIMULACIN

)

)

( )

function [] = maincointimes() disp('LANZAMIENTO DE MONEDA 2n VECES') num=input('Ingrese el numero de lanzamientos: '); lanz=num.*2; fprintf('\nMENU DE OPCIONES'); fprintf('\n1. MONEDA NORMAL'); fprintf('\n2. MONEDA CARGADA\n\n'); op=input('INGRESE LA OPCION: '); if(op==1) calcoin(lanz,op) end if(op==2) calcoin(lanz,op) end end function [] = calcoin(num,moneda) head=0; tale=0; for i=1:num if(moneda==1) PL=ceil(rand()*2); if(PL==1) head=head+1; else tale=tale+1; end else PL=rand(); if PL