prueba de hipotesis

PRUEBA DE HIPOTESIS

PARA PROPORCIONES Ing. William León Velásquez

ESTADISTICA INDUSTRIAL

TEMA 02

CONTENIDO

PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA UNA PROPORCION

PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA DOS PROPORCIONES

ERROR TIPO II

POTENCIA DE LA PRUEBA

PRUEBA PARA UNA PROPORCIÓN

3


4

• Las pruebas de hipótesis con proporciones son necesarias en muchas áreas del conocimiento y en especial en la administración e ingeniería.

• Se considerará el problema de probar la hipótesis de que la proporción de éxito en un experimento binomial sea igual a un cierto valor especifico.


5

• Se probará que la hipótesis nula es:

p = p0

donde • p es el parámetro de la distribución

binomial. • po es el valor poblacional

6

La información que frecuentemente se utilizará para la estimación de una proporción real o verdadera (porcentaje o probabilidad) es una proporción muestral.

Que se calcula de la siguiente manera


donde x es el número de veces que ha ocurrido un evento en n ensayos.

𝑝 =𝑥

𝑛

7

Ejemplo, Si una muestra aleatoria de 600 compras realizadas en

una tienda, 300 se realizan con tarjeta de crédito.


Entonces se puede utilizar esa cifra

como estimación puntual de la

proporción real de compras

realizadas en ese negocio que se

abonaron a tarjetas de crédito.

𝑝 =300

600

8

• De la misma forma muchas compañías podrían estimar las proporciones de muchas transacciones.

• La hipótesis alterna puede ser una de las alternativas usuales: unilateral o bilateral

• Tales como:

000 ..,.., ppopppp


9

• Un valor Zc calculado a partir de la muestra se compara con un valor critico de Z dados en las tablas.

• Zc se obtiene así:

O también se puede utilizar:

n

qp

ppZc

.

npq

npxZc


EJEMPLOS PARA PROBAR UNA PROPORCIÓN

10

Ejemplos: • Un político esta interesado en

conocer si ha habido un aumento en la proporción (porcentaje) de votantes que lo favorecen en las próximas elecciones;

• Un productor de cereales puede

querer conocer si ha ocurrido o no una

baja en la proporción de clientes que

prefieren su marca de cereal;

• Un hospital desea confirmar la

afirmación de un fabricante de

medicamentos quien indica que su

producto cura al 80% de los usuarios.

11

• Estos ejemplos son algunas de las situaciones

donde nos interesa probar alguna afirmación

referente a una proporción.

EJEMPLOS PARA PROBAR UNA PROPORCIÓN

• El procedimiento

para probar una

proporción en

una población

normal es casi

igual al usado

para las medias.

12

MÉTODOS PARA PROBAR UNA PROPORCIÓN

Para probar una

proporción

De la región de rechazo

Por el valor de p

A. MÉTODO DE LA REGIÓN DE RECHAZO (MÉTODO 1)

13

Paso 1

Establecer las hipótesis.

Sea po es la proporción admitida o requerida.

Ho : p = po

H1 : p > po ó

p < po ó

p ≠ po

14

• Paso 2 Con el nivel de significancia (α) se dibuja la región de rechazo en la curva normal estándar (curva z) indicando el valor de Z proveniente de la tabla Z.

•

Z

α ó α/2


15

• Paso 3

• Indicar el valor de Zc en el diagrama de la región de rechazo (Paso 2).

Zc


16

• Paso 4 Calcular el valor zc para la

proporción muestral usando la

fórmula

n

ppp

)1( 00


𝑝 =𝑥

𝑛

𝑧𝑐𝑝 − 𝑝0

𝜎𝑝

17

• Paso 5

• Si el valor Zc cae dentro de la región de rechazo

(sombreada), entonces se rechaza Ho.

Si cae fuera de la región sombreada, entonces no se

rechaza la Ho.

Escriba la conclusión de la prueba en términos de la Ha


18

• Ejemplo :

• Se desea probar si a habido una variación en la proporción de 0.4 de mujeres en las carreras de ingeniería.

• En el ultimo examen de admisión realizado se selecciona una muestra de 200 ingresantes y se obtiene una proporción de mujeres de 0.45.


• Utilice un nivel de

significancia del

0.01

𝑝 = 0.45, n = 200, y

α= 0.01.

19


• Solución:

Paso 1 • H0 : p = 0.4

La proporción de mujeres en las carreras de

ingeniería es de 0.4

• H1 : p ≠ 0.4


ingeniería es diferente de 0.4

20

• Paso 2

• Usando α= .01,

• como es de dos colas α/2= 0.005

Entonces Z= -2.575


21

Paso 2

• Usando α= .01,

• Z= -2.575 y como es de colas el otro Z=

2.575

• Entonces el diagrama de la región de

rechazo es:

.005 .005

-2.575 2.575


22

Paso 3

• Calculando el valor z para la proporción muestral

𝑝 = 0.45, po=0.4

• obtenemos:

• Z=

0346.0200

)4.01(4.0

p

45.10346.0

4.045.0


23

Paso 4

• Dibujando z = 1.45 en el diagrama de la región de rechazo (Paso 2) obtenemos:

.005 .005

-2.575 2.575

1.45


24

Paso 5 • Como el valor z está fuera de la región de rechazo

(sombreada), • Por lo tanto no se rechaza Ho.

• Conclusión: • La proporción de mujeres en las carreras de

ingeniería no es diferente de 0.4.


B. MÉTODO DEL VALOR P (MÉTODO 2)

25

• Sea po es la proporción admitida o requerida.

• Paso 1 Se establece las hipótesis:

H0 : p = p0

H1 : p > p0 ó

p < p0 ó

p ≠ p0

• Paso 2

• Calcular el valor de Zc para la proporción

muestral usando la fórmula:

•

• donde

26

n

ppp

)1( 00


𝑧𝑐𝑝 − 𝑝0

𝜎𝑝

𝑝 =𝑥

𝑛

27

• Paso 3 • Utilizando la hipótesis alternativa dibujar la región bajo

la curva z que representa los valores extremos y con

el valor de Zc. Ir a la tabla y encontrar el valor de p

Zc p o p/2


28

• Paso 4

• El valor p = al área de la cola sombreada (s) en el Paso 3.


29

Paso 5

• Si el valor p< α, entonces se rechaza H0

• Si el valor p >= α, entonces no se rechaza H0.

• Escribir la conclusión de la prueba, en términos de la Ha


30


Ejemplo : • Se desea probar si a habido una variación en la proporción

de 0.4 de mujeres en las carreras de ingeniería.

• Se selecciona una muestra de 200 ingresantes y se obtiene una proporción de mujeres de 0.45.

• Utilice un nivel de significancia del 0.01

𝑝 = 0.45,

n = 200, y

α= 0.01.

31

Paso 1

• Formulación de la hipótesis

H0 : p = 0.4


ingeniería es de 0.4

H1 : p ≠ 0.4


ingeniería no es de 0.4

• Asuma que

• 𝑝 = 0.45,

• n = 200, y

α = 0.01.


32

Paso 2 o Calculo del valor z de 𝑝

o Se obtiene

Z = 45.10346.0

4.045.0

0346.0200

)4.01(4.0

p


33

Paso 3

• El valor P= para una de las áreas.

• Z= 1.45

• =1.4 +0.05 =1.45


34

Paso 3

• La región bajo la curva z que contiene los valores extremos de es 0.0735 en ambos lados de la curva

P/2 P/2

0.0735 0.0735


35

Paso 4

• El valor p de una de las áreas es 0.0735 (p/2)

• Por lo tanto el valor total de los dos extremos para poder comparar con el α es sumando las dos regiones del Paso 3

p= 2(el área a la izquierda de 1.45)

p= 2(0.0735)

p= 0.147


36

Paso 5

• Como alfa es 0.01

• Y sabemos que si el valor p >= α, entonces no se

rechaza H0

• Se tiene que 0.147 >=0.01 por lo tanto no se

rechaza la Ho


Conclusión:

La proporción de mujeres en las

carrera de ingeniería no es

diferente de 0.4.

EJEMPLO 1:

37

• Se afirma que, de todas los trabajadores que se contratan en

una empresa por lo menos el 30 % proviene del cono sur.

• Si una muestra de 600

contrataciones tomada al azar

de los registros de la oficina

de Recursos Humanos revela

que de las personas

contratadas 153 fueron del

cono sur.

• Se desea verificar tal

afirmación con un nivel de

significancia del 1%

38

SOLUCIÓN:

• Para calcular la proporción p lo primero que se ha de hacer es determinar la proporción muestral.

• Luego se planteará una hipótesis unilateral con un nivel de significancia al 1%.

,...30.0,..255.0600

153,..600 ppn

153,..70.0 xq

EJEMPLO 1:

• Se probará la hipótesis nula p = 0.30 contra la

hipótesis alternativa p < 30 con un α=0.01

39

1.- Hipótesis:

30.0:

30.0:

1

0

pH

pH

EJEMPLO 1:

Ho: El porcentaje de trabajadores que proviene del cono sur es del 30%

H1: El porcentaje de trabajadores que proviene del cono sur es menor del 30%

40

2.- Cálculo del valor critico

,33.2Z

con un nivel de significancia del 1 %

para una prueba de una cola se tiene α=0.01.

EJEMPLO 1:

41

• Regla de decisión o Región crítica:

Se rechaza la Hipótesis nula si: •

ZZc

es decir, .

33.2cZ

EJEMPLO 1:

42

3.- Cálculo del estadístico de prueba Aplicando formula se tiene:

•

O también Aplicando:

41.20187.0

045.0

00035.0

045.0

600

7.03.0

300.0255.0

.

cc Z

x

n

qp

ppZ

41.2225,11

27

126

180153

)70.0)(30.0(600

)30.0(600153

npq

npxZ

EJEMPLO 1:

43

4.- Conclusión:

• Como es menor que , se rechaza Ho con un nivel de significancia de 0.01.

Zc Z

33.241.2 cZ

EJEMPLO 1:

Esto se observa en la grafica donde Zc cae fuera del área de no rechazo .001

-2.33

-2.41

• El porcentaje de trabajadores que proviene del cono sur es menor del 30%

• Por lo tanto, la afirmación de que, de todas los trabajadores que se contratan en una empresa por lo menos el 30 % proviene del cono sur, es falsa.

Zc

AREA DE NO

RECHAZO

44

• Se sabe que el 10 % de los fumadores prefieren la marca de cigarrillo Malboro. Después de una campaña publicitaria del cigarrillo Malboro, se entrevistaron a 200 fumadores para determinar la eficiencia de la campaña publicitaria.

• El resultado de la muestra realizada detecto un total de 26 personas que fumaban Malboro.

EJEMPLO 2:

• ¿Pueden considerarse que

esos datos presentan

evidencia suficiente para

indicar que hubo un aumento

en la aceptación del cigarrillo

Malboro. Utilice un nivel de

significancia del 5 %.

45

• SOLUCIÓN:

• Para resolver el problema se plantea una hipótesis alternativa unilateral por la derecha.

• En la grafica se representara un 5 % por la derecha .

• Datos: .

200

,..13.0200

26

......90.0

,..10.0

n

p

q

p

EJEMPLO 2:

46

1.- Hipótesis:

10.0:

10.0:

1

0

pH

pH

EJEMPLO 2:

Ho: El porcentaje de fumadores que prefieren la marca de cigarrillo Malboro es del 10% H1: El porcentaje de fumadores que prefieren la marca de cigarrillo Malboro es mayor del 10%

47

645,1Z

2.-Cálculo del z critico Por tabla se sabe que al 5 % por la derecha es decir un α=0.05

EJEMPLO 2:

48


Se rechaza la Hipótesis nula si

es decir,

ZZc

645,1cZ

EJEMPLO 2:

49

3.-Calculo el Z de los datos

Aplicando formula se tiene:

200

9.01.0

10.013.0

. x

n

qp

ppZc

41.102127.0

03.0

00045.0

03.0 cZ

EJEMPLO 2:

50

4.- Conclusión:

• Como es menor que , es decir,

• no se rechaza la Ho con un nivel de significancia de

0.05.

cZ Z 96.141.1 cZ

EJEMPLO 2:

• Esto se podrá observar en una grafica en donde

caerá dentro del área de no rechazo,

.005

1.96

1.41 cZ

• El porcentaje de fumadores que prefieren la marca de cigarrillo Malboro no es mayor del 10%

• Lo que indica que la campaña publicitaria no fue efectiva

51

• Un fabricante de semiconductores produce controladores

que se emplean en el sistema eléctrico de vehículos.

• El cliente requiere que la proporción de controladores

defectuosos no sea mayor de 0.05, y que el fabricante

demuestre estas características del proceso de

fabricación con este nivel de calidad, con un nivel de

significancia del 5 %.

EJEMPLO 3:

• El fabricante de semiconductores

toma una muestra aleatoria de

200 dispositivos y encuentra

que 4 de ellos son

defectuosos.

• ¿El fabricante puede demostrar

al cliente la calidad exigida?

Obtener sus conclusiones.

52

SOLUCIÓN: • Para resolver el problema hay que plantear una hipótesis

alternativa unilateral de una cola por la izquierda

• Es decir, p< 0.05

• y para ello se busca en la tabla el valor de Zα .

• Datos:

200

,.02.02004

,95.0

,05.0

n

p

q

p

EJEMPLO 3:

53

1.- Hipótesis:

05.0:

05.0:

1

0

pH

pH

EJEMPLO 3:

Ho: La proporción de controladores

defectuosos es igual a 0.05

H1: La proporción de controladores

defectuosos es menor a 0.05

54

645,1Z

2.-Cálculo del Z crítico Por tabla se sabe que al 5 % por la cola izquierda es decir un σ=0.05

EJEMPLO 3:

55


• Se rechaza la Hipótesis nula si

• Es decir,

ZZc

645,1cZ

EJEMPLO 3:

56

3.- Calculo el Z de los datos

Aplicando formula se tiene:

•

200

95.005.0

05.002.0

. x

n

qp

ppZc

95.10154.0

03.0

0002375.0

03.0 cZ

EJEMPLO 3:

57

4.- Conclusión:


• , se rechaza Ho con un nivel de significancia de 0.05. cZ Z 645.195.1 cZ

EJEMPLO 3:

• Esto se podrá observar en una grafica en donde caerá dentro del área de rechazo

•

cZ

.005

-1.645

-1.91

• Por lo tanto La proporción de

controladores defectuosos es

menor a 0.05

• es decir

• El fabricante puede demostrar

al cliente la calidad exigida

58

• Se ha afirmado que por lo menos el 60 % de los

estudiantes de primero y segundo semestre de una

Universidad prefieren estudiar a partir de las dos de la

madrugada.

EJEMPLO 4:

• Si 4 de una muestra de 14 estudiantes de primero y

segundo semestre tomadas al azar, afirman que

estudian a partir de las dos de la madrugada,

• Pruebe con un nivel

de significancia del 5 %

si es cierta la

afirmación.

59

• Nivel de significancia de 0.05

• 𝑝 =4

14= 0.285

• Como 𝑝 < 𝑝

• La hipótesis nula será p=0.60

contra la hipótesis alternativa p

menor que 0.60

EJEMPLO 4:

SOLUCIÓN: Datos:

4,..14,..40.0,..60.0 xnqp

60

1.- Hipótesis:

60.0:

60.0:

1

0

pH

pH

EJEMPLO 4:

Ho: El porcentaje de los estudiantes de primero y

segundo semestre de una Universidad que prefieren

estudiar a partir de las dos de la madrugada es del

60% H1: El porcentaje de los estudiantes

de primero y segundo semestre

de una Universidad que prefieren

estudiar a partir de las dos de la

madrugada es menor del 60%

61

645,1Z

2.-Cálculo del Z crítico Por tabla se sabe que al 5 % por la cola izquierda es decir un α=0.05

EJEMPLO 3:

62

Regla de decisión • Región crítica: • Se rechaza la Hipótesis nula si

• ,es decir, .

• se rechaza la Ho

ZZc

645,1cZ

EJEMPLO 4:

63

3.- Calcular el Z de los datos:

• Aplicando formula se tiene:

)40.0)(60.0(14

)60.0(144

npq

npxZ

40.2833,1

4.4

36.3

40.84

EJEMPLO 4:

.005

-1.645

64

4.-Conclusión:


• Se rechaza Ho y se acepta H1 con un nivel de significancia de 0.05.

cZ Z 645,140.2 cZ

EJEMPLO 4:

Esto se puede observar en una grafica en donde cae fuera del área de no rechazo, por lo tanto, se acepta la Ha

40.2cZ

• Se concluye que la proporción

de estudiantes del primero y

segundo semestre que

prefieren estudiar a partir de

las dos de la madrugada es

menor del 60 %.

cZ

PRUEBA DE HIPOTESIS PARA DOS PROPORCIONES

65

• La proporción de semillas que germinan siendo tratadas o no con un funguicida.

• El porcentaje de hombres y de mujeres que votan a determinado candidato.

COMPARANDO DOS PROPORCIONES

• En ciertos casos se esta interesado en comparar la proporción de “éxito” en dos poblaciones independientes.

66

•Para efectuar esta comparación se requiere

Una muestra aleatoria de tamaño n1 extraída

de la población 1 con parámetro p1

Una muestra aleatoria de tamaño n2 extraída

de la población 2 con parámetro p2


67

• Comparamos las dos proporciones haciendo inferencia sobre p1-p2, la diferencia entre las dos proporciones poblacionales.

•Si las dos proporciones poblacionales son iguales, entonces p1-p2 = 0.

•El mejor estimador de p1-p2 es la diferencia entre las dos proporciones muestrales,


68

𝑝 1 − 𝑝 2 =𝑥1

𝑛1−

𝑥2

𝑛2

DIFERENCIAS ENTRE PROPORCIONES

69

• Muestras Grandes

• Aleatorias

• Independientes

( P1 – P2 )

H0: P1 = P2

H1: P1 P2

Proporción ponderada

0 por Ho

La administración de una gran tienda cree, sobre la base

de una investigación, que el porcentaje de hombres que

visitan sus tiendas más veces al mes (clientes frecuentes)

es mayor que el porcentaje de mujeres que hacen lo

mismo.

EJEMPLO 1

Con los datos

proporcionados probar esta

hipótesis 70

Para probar esta información

se toma una muestras de

clientes y se encuentra que

67 fueron hombres y 48

fueron mujeres

Utilice un nivel de

significación de 0.05

.

EJEMPLO 1

71

La información proporcionada es:

𝑛𝐻 = 67 𝑛𝑀 = 48 𝑝 𝐻 = 0.58 𝑝 𝑀 = 0.42

𝑝 𝐻 − 𝑝 𝑀 = 0.58 − 0.42 = 0.16

Especifica el nivel de

significación de

05.

.

1. Se formula las hipótesis: Las especificaciones requeridas y el procedimiento para probar esta hipótesis es la siguiente: Las hipótesis nula y alternativa son las siguientes:

EJEMPLO 1

la proporción de hombres que reportan 9 o más visitas por mes es la misma que la proporción de mujeres que hacen lo mismo.

la proporción de hombres que reportan 9 o más visitas por mes es mayor a la proporción de mujeres que hacen lo mismo.

Ho: Ph – Pm = 0

H1: Ph – Pm >0

72

2. Especifica el nivel de significación de α = .05 . El valor crítico para la prueba de una sola cola es de

1.64.

EJEMPLO 1

73 73

645,1Z

EJEMPLO 1

74

4. Calculo del estadístico de la prueba:

74

𝑝 𝐻 = proporción muestral de hombres (H) 𝑝 𝑀 = proporción muestral de mujeres (M) nH = tamaño de muestra hombres nM = tamaño de muestra mujeres

𝑃 =𝑛𝐻𝑝 𝐻 + 𝑛𝑀𝑝 𝑀

𝑛𝐻 + 𝑛𝑀

a. Calculamos el P (la proporción ponderada)

Reemplazando se obtiene:

𝑃 =67(0.58)+48(0.42)

67+48=0.59

EJEMPLO 1


b. Se estima el error estándar de la diferencia de las dos proporciones:

𝑃 = proporción ponderada nH = tamaño de muestra hombres nM = tamaño de muestra mujeres Reemplazando se obtiene:

P=0.59

𝑆𝑝ℎ−𝑚 = 𝑃(1 − 𝑃)1

𝑛𝐻+

1

𝑛𝑀

𝑆𝑝ℎ−𝑚 = 0.59(1 − 0.59)1

67+

1

48=

𝑆𝑝ℎ−𝑚 = 0.241

67+

1

48=0.0925=0.1

EJEMPLO 1

76


Z=0.58−0.42 −(0)

0.1=1.6

76

c. Calculamos el Z de la muestra

Reemplazando se obtiene:

𝑝 𝐻 = proporción muestral de hombres (H)= 0.58 𝑝 𝑀 = proporción muestral de mujeres (M)= 0.42 Sph-m=0.1

Diferencias entre proporciones observadas= 𝑝 𝐻 - 𝑝 𝑀

5.- La hipótesis nula no se

rechaza, porque el valor de la

Z calculada (1.60) es menor

que el valor crítico Z. (1.64)

EJEMPLO 1

77

.005

1.64

1.6

cZ

Conclusión: La administración no puede concluir con un nivel de significancia del nivel de 0.05, que la proporción de hombres que visita más veces a la gran tienda es mayor que la proporción de mujeres.

78

EJEMPLO 02 • Se considera cierto cambio en un proceso de fabricación de

partes componentes. Se toman muestras del procedimiento existente y del nuevo para determinar si éste tiene como resultado una mejoría.

• Si se encuentra que 75 de 1500 artículos del procedimiento actual son defectuosos y 80 de 2000 artículos del procedimiento nuevo también lo son.

• Encuentre un intervalo de confianza de 95% para la diferencia real en la fracción de defectuosos entre el proceso actual y el nuevo.

79

EJEMPLO 02

Solución:

• Sean P1 y P2 las proporciones reales de

defectuosos para los procesos actual y nuevo,

respectivamente.

• De aquí,

• 𝑝 1 =75/1500 = 0.05 y

• 𝑝 2 = 80/2000 = 0.04

80

EJEMPLO 02

1.- Formulación de la hipótesis:

Ho: Pa – Pn = 0

H1: Pa – Pn >0

Ho: La proporción de defectuosos del proceso existentes es igual al nuevo proceso

Ho: La proporción de defectuosos del proceso existentes es mayor al nuevo proceso

81

EJEMPLO 02

81

645,1Z

2. Obtención del valor crítico:

• Con el uso de la tabla encontramos que z para un nivel de confianza del 95% (alfa=0.05)

82

EJEMPLO 02 3.- Cálculo de los valores del intervalo

𝑃1 − 𝑃2 = (𝑝1−𝑝2) + 𝑧𝑝1𝑞1

𝑛1+

𝑝2𝑞2

𝑛2=

𝑃1 − 𝑃2 = 0.05 − 0.04 + 1.645(0.05)(0.95)

1500+

(0.04)(0.96)

2000=

p1-p2<0.0217

83

EJEMPLO 02 4.- Conclusión:

Como el intervalo contiene el valor de cero, no se

rechaza la hipótesis nula

Es decir La proporción de defectuosos del proceso existentes no es mayor al nuevo proceso con un nivel de significancia del 5% Por lo tanto

no hay razón para creer que el nuevo

procedimiento producirá una disminución

significativa en la proporción de artículos

defectuosos comparado con el método existente.

FIN [email protected]

prueba de hipotesis

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