pruebas de hipotesis administración
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séptima sección
Pruebas de hipótesis
MsC Edgar Madrid Cuello
Departamento de Matemática, UNISUCREEstadística II
Octubre 2015
MsC Edgar Madrid Cuello Departamento de Matemática, UNISUCRE Estadística IIPruebas de hipótesis
séptima sección
Pruebas de hipótesis
De�nición
Un test estadístico es un procedimiento para, a partir de una
muestra aleatoria y signi�cativa, extraer conclusiones que permitan
aceptar o rechazar una hipótesis previamente emitida sobre el valor
de un parámetro desconocido de una población.
El propósito del análisis estadístico es reducir el nivel
de incertidumbre en el proceso de toma de
decisiones. Los gerentes pueden tomar mejores
decisiones sólo si tienen su�ciente información a su
disposición. La prueba de hipótesis es una
herramienta analítica muy efectiva para obtener
esta valiosa información, bajo una gran variedad de
circunstancias.
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séptima sección
Pruebas de hipótesis
De�nición
Un test estadístico es un procedimiento para, a partir de una
muestra aleatoria y signi�cativa, extraer conclusiones que permitan
aceptar o rechazar una hipótesis previamente emitida sobre el valor
de un parámetro desconocido de una población.
El propósito del análisis estadístico es reducir el nivel
de incertidumbre en el proceso de toma de
decisiones. Los gerentes pueden tomar mejores
decisiones sólo si tienen su�ciente información a su
disposición. La prueba de hipótesis es una
herramienta analítica muy efectiva para obtener
esta valiosa información, bajo una gran variedad de
circunstancias.
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De�nición (HIPÓTESIS )
A�rmación relativa a un parámetro de la población sujeta a
veri�cación.
Existen muchos ejemplos comunes en los negocios:
Ejemplo
Un empacador de arroz debe determinar si el peso promedio de sus
bolsas es de 450gr (µ = 450gr)
Ejemplo
Un embotellador de bebidas suaves debe determinar si el peso
promedio del contenido de sus botellas es 16 onzas (µ = 16 onzas).
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Pruebas de hipótesis
De�nición (Hipótesis nula y alternativa)
La estructura de la prueba de hipótesis se formulará usando el
término hipótesis nula, el cual se re�ere a cualquier hipótesis que
deseamos probar y se denota con H0. El rechazo de H0 conduce a
la aceptación de una hipótesis alternativa, que se denota con HA.
La hipótesis alternativa HA, por lo general, representa la pregunta
que debe responderse, la teoría que debe probarse y, por ello, su
especi�cación es muy importante.
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Ejemplo
Un fabricante de cierta marca de cereal de arroz a�rma que el
contenido promedio de grasa saturada no excede de 1.5 gramos.
Establezca las hipótesis nula y alternativa a utilizar para probar esta
a�rmación y determinar dónde se localiza la región crítica.
H0 : µ = 1.5vs
HA : µ > 1.5
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Ejemplo
Un fabricante de cierta marca de cereal de arroz a�rma que el
contenido promedio de grasa saturada no excede de 1.5 gramos.
Establezca las hipótesis nula y alternativa a utilizar para probar esta
a�rmación y determinar dónde se localiza la región crítica.
H0 : µ = 1.5vs
HA : µ > 1.5
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Pruebas de hipótesis
Ejemplo
Un agente de bienes raíces a�rma que 60% de todas las viviendas
privadas que se construyen actualmente son casas con tres
dormitorios. Para probar esta a�rmación, se inspecciona una
muestra grande de viviendas nuevas. La proporción de tales casas
con tres dormitorios se registra y se utiliza como estadístico de
prueba. Establezca las hipótesis nula y alternativa a utilizarse en
esta prueba y determine la posición de la región crítica.
H0 : p = 0.6vs
HA : p 6= 0.6
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Pruebas de hipótesis
Ejemplo
Un agente de bienes raíces a�rma que 60% de todas las viviendas
privadas que se construyen actualmente son casas con tres
dormitorios. Para probar esta a�rmación, se inspecciona una
muestra grande de viviendas nuevas. La proporción de tales casas
con tres dormitorios se registra y se utiliza como estadístico de
prueba. Establezca las hipótesis nula y alternativa a utilizarse en
esta prueba y determine la posición de la región crítica.
H0 : p = 0.6vs
HA : p 6= 0.6
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Valores críticos de Z y zonas de rechazo
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Valores críticos de Z y zonas de rechazo
Estos valores de Z de ±1.96 son valores críticos que determinan laszonas de rechazo. Para hallarlos, divida por 2 el 95%. En la tablaZ, el área de 0.95/2 = 0.4750 indica un valor Z de 1.96. El 5%restante está distribuido entre las dos colas, con 2.5% en cada zonade rechazo. Este 5% es el nivel de signi�cancia, o el valor alfa de laprueba.
De�nición (Regla de decisión)
No se rechaza la hipótesis nula, con un nivel de con�anza, si los
valores Z están entre ±1.96. Se rechaza si el valor Z es menor que
-1.96 o mayor que 1.96.
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Valores críticos de Z y zonas de rechazo
De�nición (Error tipo I )
Rechazar una hipótesis verdadera. La probabilidad de cometer un
error tipo I es igual al nivel de signi�cancia, o valor α en el que se
prueba la hipótesis.
Situación realH0 ver-dadera
HA ver-dadera
NUESTRADECISIÓN
Falta de evidenciasigni�cativa a favorde HA
Correcto Error tipo II
Evidencia signi�ca-tiva a favor de deHA
Error tipo I Correcto
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Ejemplo
Suponga que un alergólogo desea probar la hipótesis de que al
menos 30% del público es alérgico a algunos productos de queso.
Explique cómo el alergólogo podría cometer
un error tipo I
un error tipo II
Concluir que menos del 30% de el publico son alérgicos
a algunos productos de queso cuando, es cierto que,
30% o más son alérgicos.
Concluir que al menos 30% de el publico son alérgicos
a algunos productos de queso cuando, es cierto que,
menos 30% son alérgicos.
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Ejemplo
Suponga que un alergólogo desea probar la hipótesis de que al
menos 30% del público es alérgico a algunos productos de queso.
Explique cómo el alergólogo podría cometer
un error tipo I
un error tipo II
Concluir que menos del 30% de el publico son alérgicos
a algunos productos de queso cuando, es cierto que,
30% o más son alérgicos.
Concluir que al menos 30% de el publico son alérgicos
a algunos productos de queso cuando, es cierto que,
menos 30% son alérgicos.
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Prueba de dos colas para µ
Hay cuatro pasos involucrados en una prueba:
Paso 1 Plantear las hipótesis.
Paso 2 Con base en los resultados de la muestra, calcular el valor delestadístico de prueba Z o t.
Paso 3 Determinar la regla de decisión con base en los valores críticosde Z o t.
Paso 4 Interpretación y conclusiones.
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Prueba de dos colas para µ
De�nición
El valor Z utilizado para probar la hipótesis cuando σ es conocido
Z = X̄−µHσ√n
De�nición
El valor Z utilizado para probar la hipótesis cuando σ es
desconocido y n grande
Z = X̄−µHs√n
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Prueba de dos colas para µ
Ejemplo
Un fabricante de equipo deportivo desarrolló un nuevo sedal para
pesca sintético que a�rma que tiene una resistencia media a la
rotura de 8 kilogramos con una desviación estándar de 0.5
kilogramos. Pruebe la hipótesis de que µ = 8 kilogramos contra la
alternativa de que µ 6= 8 kilogramos, si se prueba una muestra
aleatoria de 50 sedales y se encuentra que tiene una resistencia
media a la rotura de 7.8 kilogramos. Utilice un nivel de
signi�cancia de 0.01.a
aProbabilidad y Estadística, Walpole, Ejemplo 10.4
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Prueba de dos colas para µ
Ejemplo (Planteamiento de hipótesis)
H0 : µ = 8vs
HA : µ 6= 8
Ejemplo (Estadístico de prueba Z)
Z = 7.8−80.5/√50
= −2.83
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Prueba de dos colas para µ
Ejemplo (Planteamiento de hipótesis)
H0 : µ = 8vs
HA : µ 6= 8
Ejemplo (Estadístico de prueba Z)
Z = 7.8−80.5/√50
= −2.83
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Prueba de dos colas para µ
Ejemplo (Contraste)
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Prueba de dos colas para µ
Ejemplo (Interpretación y conclusiones)
Hay evidencia estadística para rechazar H0 y concluir que la
resistencia promedio a la rotura no es igual a 8 sino que, de hecho,
es menor que 8 kilogramos.
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Prueba de dos colas para µ
De�nición (p-valora )
aTomado de Notas LLinas, 2011
El P-valor (o valor P) es el mínimo nivel de signi�cancia en el cual
la hipótesis nula H0 sería rechazada cuando se utiliza un
procedimiento de prueba especi�cado con un conjunto dado de
información. Una vez que el P-valor haya sido calculado, la
conclusión en cualquier nivel de signi�cancia a particular resulta de
comparar el P-valor con a. Así, entonces:
1 Si P-valor < α, entonces, rechace H0 al nivel α.
2 Si P-valor > α, entonces, no rechace H0 al nivel α.
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Prueba de dos colas para µ
Ejemplo (P-valor)
Para el ejemplo anterior el p-valor es
2× p(Z < −2, 83) = 2× (0.0023274) = 0.0046548
Como este valor hallado es menor que α = 0.01, se rechaza H0 a
un nivel de signi�cancia del 0.01.
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Otras de�niciones
De�nición
Un valor P es el nivel (de signi�cancia) más bajo donde es
signi�cativo el valor observado del estadístico de prueba a.
aProbabilidad y estadística para ingeniería y ciencias, R E. Walpole, Pearson
2007
De�nición
Valor p Es el nivel más bajo de signi�cancia (valor α) al cual sepuede rechazar la hipótesis nula. Es el área en la cola que está más
allá del valor del estadístico para la muestra a.
aEstadística aplicada a los negocios y a la economía, Tercera edición,
ALLEN L. WEBSTER, por McGRAW-HILL 2000.
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σ desconocido
De�nición
Cuando la varianza es desconocida, al igual que en casos anteriores
trabajaremos con la distribución t-Student, en vez de la distribución
normal.
t = X̄−µHs√n
con n− 1 grados de libertad
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Prueba de una cola
De�nición
Si la hipótesis alternativa da lugar a una región crítica "a un solo
lado del valor del parámetro", diremos que el test es unilateral o de
una sola cola
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Ejemplo
El Instituto Eléctrico Edison publica cifras del número anual de
kilowatts-hora que gastan varios aparatos electrodomésticos. Se
a�rma que una aspiradora gasta un promedio de 46 kilowatts-hora
al año. Si una muestra aleatoria de 12 hogares que se incluye en un
estudio planeado indica que las aspiradoras gastan un promedio de
42 kilowatts-hora al año con una desviación estándar de 11.9kilowatts-hora, ¾en un nivel de signi�cancia de 0.05 (α) estosugiere que las aspiradoras gastan, en promedio, menos de 46kilowatts-hora anualmente? Suponga que la población de
kilowatts-hora es normala.
aProbabilidad y estadística para ingeniería y ciencias, R E. Walpole, Pearson
2007
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Ejemplo
Planteamiento de Hipótesis
H0 : µ = 46vs
HA : µ < 46
Observaciones:
Prueba de una sola cola (izquierda)
Varianza desconocida y n pequeño
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Ejemplo
Planteamiento de Hipótesis
H0 : µ = 46vs
HA : µ < 46
Observaciones:
Prueba de una sola cola (izquierda)
Varianza desconocida y n pequeño
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Ejemplo
Cálculo de el estadístico t
t = 42−4611.9√12
=−1.164
Cuyo p-valor −→pt(-1.16,11)= 0.1353036 > 0.05=α
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Ejemplo
Cálculo de el estadístico t
t = 42−4611.9√12
=−1.164
Cuyo p-valor −→pt(-1.16,11)= 0.1353036 > 0.05=α
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Ejercicio
El departamento de policía de Santa Clara, California, ha
descubierto que los agentes de tránsito deberían hacer un promedio
de 27 comparendos por mes. Si un agente hace más de esa
cantidad, es probable que sea demasiado entusiasta en el ejercicio
de sus funciones. Para evaluar a sus agentes, el jefe anotó el
número de comparendos realizados por los 15 agentes. Los
resultados aparecen en la siguiente tabla.
28 34 30
31 29 33
22 32 38
26 25 31
25 24 31
Con un nivel de signi�cancia del 5%, ¾parece que los agentes están
desempeñándose satisfactoriamente?
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Debido a la in�ación en las notas, en la cual los profesores hanvenido dando notas muy altas, el decano insiste que cada profesorrepruebe al 30% de sus estudiantes. En una muestra reciente de315 estudiantes, el Profesor Madrid reprobó a 112 estudiantes. ¾Elprofesor está cumpliendo con los requisitos que exige el decano?Sea α = 0.05. Calcule el valor p.
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Ejercicio
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