pruebas y talleres
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Física GeneralTRANSCRIPT
-
Prueba 11.- Calcular
C
2z 2 + 6iz2 + 2z 2zi 4i dz donde C es el crculo | z |= 5
2z 2 + 6iz2 + 2z 2zi 4i =
2z 2 + 6i(z + 2)(z 2i) =
2 + 3i
z 2i 3i
z + 2
Basta con tomar C1 :| z + 2 |= 1 y C2 :| z 2i |= 1
C
2z 2 + 6iz2 + 2z 2zi 4i dz = 3i(
C1
dz
z + 2+
C2
dz
z + 2) + (2 + 3i)(
C1
dz
z 2i +C2
dz
z 2i )
- la funcion1
z + 2es analitica en C2 por lo tanto
C2
dz
z + 2= 0 (T.C)
- la funcion1
z 2i es analitica en C1 por lo tantoC1
dz
z 2i = 0 (T.C)
- la funcion1
z + 2no es analitica en C1 pero es en un solo punto n=1
C1
dz
z + 2= 2pii (C.T.C)
- la funcion1
z 2i no es analitica en C2 pero es en un solo punto n=1C1
dz
z 2i = 2pii (C.T.C)
C
2z 2 + 6iz2 + 2z 2zi 4i dz = 3i(2pii) (2 + 3i)2pii = 4pii
2.- Desarrollar f(z) = e
z
z 2 en una serie de Laurent alrededor de z=2, indicar el tipo de singularidad y laregion de convergencia.
seau = z 2 f(u) = eu+ 2
u = e e2
u
f(u) = e
{1 +
2
u+
(2/u)2
2!+
(2/u)3
3!+
(2/u)4
4!+ ...
= e
{1 +
2
u+
(4/u2)
2+
(8/u3)
6+
(26/u4)
24+ ...
= e
{1 +
2
u+
2
u2+
4
3u3+
2
3u4+ ...
-
f(z) = e{
1 +2
z 2 +2
(z 2)2 +4
3(z 2)3 +2
3(z 2)4 + ...
lmz2
e
z
z 2 = 1 es una singularidad evitable, converge para todo z 6= 2
3.- Desarrollar f(z) =z
(z 1)(2 z) en una serie de Laurent valida para
a) 1 2c) 0 1, como para | z |< 2, es decir para 1 2* | z |> 1 se tiene como el inciso a)
1
z 1 =1
z+
1
z2+
1
z3+
1
z4+
1
z5+ ...
* | z |> 2
2
2 z = 2
z(1 2/z) = 2
z
{1 (2
z) + (2
z)2 (2
z)3 + (2
z)4 ...
= 2z 4z2 8z3 16z4 32z5 ...
As la expancion de laurent valida para | z |> 1, como para | z |> 2, es decir para | z |> 2, es por sustraccion:
3
z+
5
z2+
9
z3+
17
z4+
33
z5+ ...
c) 0
-
Taller1.- Graficar y obtener la serie de Fourier de senos y cosenos de la funcion f(x) = x2 + 1
a) serie de senos
f(x)=n=1 bn sin(
npix
L) =
L2 1 si x = Lx2 1 si L < x < 0
0 si x = 0x2 + 1 si 0 < x < LL2 + 1 si x = L
bn =2
L
L0
(x2 + 1) sin(npix
L) dx
bn =2
L
( L0
(x2) sin(npix
L) dx+
L0
sin(npix
L) dx
)
bn =2L2
(npi)3((1)n(2 3(pin)2) + 2(pin)2 2)
x2 + 1 =
n=1
2L2
(npi)3((1)n(2 3(pin)2) + 2(pin)2 2) sin(npix
L)
-
b) serie de cosenos
f(x)=a0 +n=1 an cos(
npix
L) =
L2 + 1 si x = Lx2 + 1 si L < x < L
1 si x = 0L2 + 1 si x = L
a0 =1
L
L0
(x2 + 1)
a0 =1
3(L2 + 3)
an =2
L
L0
(x2 + 1) cos(npix
L) dx
an =2
L
( L0
(x2) cos(npix
L) dx+
L0
cos(npix
L) dx
)
an = 4
(L
pin
)2(1)n
x2 + 1 =1
3(L2 + 3) +
n=1
4
(L
pin
)2(1)n cos(npix
L)
-
Prueba 21) Dada la matriz A, Usar el proceso Grand-Smith para ortonormalizar A.
(2 1 41 0 13 2 3
)
det(A) =
2 1 41 0 13 2 3 = 0 + (8) + (3) (0) (4) (3) = 10
U1 =V 1
||V 1|| =
(213
)
22 + 12 + 32=
214114314
K=1
W2 = V 2 < U1.V 2 > U2
W2 = (1, 0,2) < ( 214,
114,
314
).(1, 0,2) > ( 214,
114,
314
)
W2 = (1, 0,2) + (4
14
7)(
214,
114,
314
) + (8
7,
4
7,
12
7) = (
1
7,
4
7,2
7)
U2 =W1
||W2|| =
174727
17
2+ 4
7
2+ (2
7)2
=
121421221
K=2
W3 = V 3 [< U1.V 3 > U1+ < U2.V 3 > U2]
W3 = (4, 1,3) [< ( 214,
114,
314
).(4, 1,3) > ( 214,
114,
314
)+
< (121,
421,221
)(4, 1,3) > ( 121,
421,221
)]
W3 = (4, 1,3) [0 + 2
21
3(
121,
421,221
)
W3 = (4, 1,3) (23,
8
3,43
) = (10
3,5
3,5
3)
U3 =W3
||W3|| =
103 53 53
56
3
=
636666
B =
214
121
63
114
421
66
314
221
66
-
2)Dado el conjunto F, demostrar que F es ortogonal en el intervalo 0 x L, y hallar un conjuntoortonormal (Desarrollar las integrales)
F = {cos(pixL
), cos(3pix
L), cos(
5pix
L); .....}
1)||f1(x)|| = L
0
| cos(pixL
)|2dx = L
0
cos2(pix
L)dx =
L0
(1
2+
cos( 2pixL
)
2)dx
=
(x
2+
L
4pisen(
2pix
L)|L0 =
(L
2+
L
4pisen(2pi))
=
L
2
2)||f2(x)|| = L
0
| cos(3pixL
)|2dx = L
0
cos2(3pix
L)dx =
L0
(1
2+
cos( 6pixL
)
2)dx
=
(x
2+
L
12pisen(
6pix
L)|L0 =
(L
2+
L
12pisen(6pi))
=
L
2
2)||f3(x)|| = L
0
| cos(5pixL
)|2dx = L
0
cos2(5pix
L)dx =
L0
(1
2+
cos( 10pixL
)
2)dx
=
(x
2+
L
20pisen(
10pix
L)|L0 =
(L
2+
L
20pisen(10pi))
=
L
2
Demostracion que F es ortogonal:
(cos(pix
L), cos(
3pix
L)) =
L0
(cos(pix
L))(cos(
3pix
L))dx
=
L0
1
2(cos(
4pix
L) + cos(
2pixL
))dx =1
2[L
4pisen(
4pix
L) +
L
2pi sen(2pixL
)]L0
= 0
(cos(pix
L), cos(
5pix
L)) =
L0
(cos(pix
L))(cos(
5pix
L))dx
=
L0
1
2(cos(
6pix
L) + cos(
4pixL
))dx =1
2[L
6pisen(
6pix
L) +
L
4pi sen(4pixL
)]L0
= 0
(cos(3pix
L), cos(
5pix
L)) =
L0
(cos(3pix
L))(cos(
5pix
L))dx
=
L0
1
2(cos(
8pix
L) + cos(
2pixL
))dx =1
2[L
8pisen(
8pix
L) +
L
2pi sen(2pixL
)]L0
= 0
Por lo tanto, F es ortogonaly su conjunto ortonormal esta dado por:
F = [cos(pix
L)
L2
,cos( 3pix
L)
L2
,cos( 5pix
L)
L2
]