PRVA KRAGUJEVACKA GIMNAZIJA

MATURSKI RAD IZ ANALIZE SAALGEBROM

STAJNEROV PROBLEM STABLA

Ucenik: Mentor:Tomislav Todorovic Jasmina Micic

Kragujevac, Jun 2016

1

SADRZAJ

1. Uvod..........................................................................................32. Istorijski izvori...........................................................................33. Definicije....................................................................................44. Formulacija problema................................................................75. Stajnerova topologija.................................................................85.1. Broj potpunih Stajnerovih topologija.....................................96. Stajnerov odnos.........................................................................107. Reprezentacija problema pomocu fizickih modela.....................118. Primena.....................................................................................129. Zakljucak.......................................................................................13Literatura.......................................................................................14

2

1 Uvod

Stajnerov problem stabla je minimizacioni problem iz oblasti teorije grafova.Ima veliku primenu u industriji i resavanju prakticnih problema. Posebno je in-teresantna geometrijska verzija ovog problema u Euklidskoj ravni, koja ga ciniprimenljivim kako u matematici tako i u drugim prirodnim naukama.

Ova verzija problema se odnosi na povezivanje tacaka zadatih svojim koor-dinatama u ravni, tako da zbir udaljenosti medu njima bude sto je moguce manji.Da bi se to postiglo, dodaju se nove tacke, pa se problem sastoji u nalazenjukoordinata ovih tacaka.

U radu je prvo prikazan istorijski razvoj ovog problema kod slavnih matematicarapoput Ferme, Gausa i drugih. Potom se uvode osnovni pojmovi iz oblasti teorijegrafova i definicije metrika l1 i l2 na datom skupu. Zatim je data opsirnija for-mulacija ovog problema na prethodno definisanim metrikama. Takode su opisani ipojmovi poput Stajnerove topologije i Stajnerovog odnosa. U poslednjem poglavljurada su opisane dve interpretacije Stajnerovog problema pomocu fizickih modelai primene u industriji.

2 Istorijski izvori

Tacno vreme formulacije ovog problema se ne moze sa sigurnoscu odrediti.Postoje brojni pokusaji da se ovaj problem opise, pocevsi od 19. veka, ali se onisastoje uglavnom od povrsnog tumacenja ili jednostavnijih slucajeva.

U svom pismu koje Sumaher upucuje Gausu 1836. godine detaljno je opisanproblem koji se naziva Euklidov problem Stajnerovog stabla. Ovo pismo senarednih vek i po smatralo prvim izvorom ovog problema. Medutim, knjiga oistoriji matematike ciji su autori Skriba i Srajber 2010. godine upucuje na josstariji izvor iz 1811. godine Zozefa Dijaza Zergonea. Ova tema je stekla ve-liku popularnost u knjizi “Sta je matematika” Ricarda i Robinsa 1941, ne samomedu matematicarima vec i strucnjacima iz drugih oblasti koji su otkrili njenuvisestruku primenu u mnogim prakticnim problemima. Od tog trenutka problemse pripisuje svajcarskom matematicaru Jakobu Stajneru koji je ostvario zapazenerezultate.

Poreklo Euklidovog problem Stajnerovog stabla se moze dovesti u vezu saFerma Toricelijevim problemom kao najjednostavnijem netrivijalnim slucajemStajnerovog problema za tri tacke. Pjer de Ferma je opisao problem 1643. godineu svom delu “Metod za odredivanje maksimuma i minimuma i tangenti krivihlinija”: Date su tri tacke u ravni, naci cetvrtu takvu da je suma rastojanja od njedo datih triju tacaka najmanja. Problem je verovatno inspirisan pitanjem ReneaDekarta upucenim Fermau da istrazi krive oblika

3

4∑i=1

||pi − x|| = c,

za date tacke p1, . . . , p4 u ravni i konstantu c. Najranije resenje Fermaovogproblema je bila geometrijska konstrukcija italijanskog fizicara i matematicaraToricelija. Resenje se sastoji u konstrukciji jednakostranicnih trouglova nad strani-cama trougla cija su temena tacke p1, p2, p3 i konstrukcije opisanih kruznica okojednakostranicnih trouglova koje ce se seci u jednoj tacki, p4.

Slika 1: Konstrukcija Fermaove tacke

Prva poznata analiza Euklidovog problema Stajnerovog stabla je bila odstrane francuskog matematicara i logicara Zozefa Dijaza Zergonea 1811. godine. Usvom matematickom casopisu Zergone postavlja sledeci problem: Inzenjer zeli daostvari komunikaciju izmedu tri grada koja ne leze na istoj liniji. Komunikacionelinije se sastaju izmedu gradova u jednoj tacki. Potrebno je naci polozaj te tacke.U ovom casopisu se prvi put pominje i pokusaj generalizacije ovog problema: Naciu ravni/ prostoru tacku za koju je suma udaljenosti izmedu nje i datih tacaka isteravni/ prostora najmanja.

3 Definicije

Definicija 3.1 Graf cini skup uredenih parova V (G) i E(G), gde je V konacanneprazan skup, a E proizvoljan podskup skupa V 2. Skup V predstavlja skup cvorova,

4

a E skup grana grafa G. Obelezava se sa

G = (V,E),

E ⊆ V 2.

Slika 2: Graf sa 6 cvorova i 5 grana

Definicija 3.2 Neusmeren graf je graf cije su grane neuredeni parovi cvorova,odnosno nije bitna orijentacija puta izmedu dva cvora.

Definicija 3.3 Stepen cvora je broj grana susednih tom cvoru. Stepen cvora v seoznacava sa deg(v).

Definicija 3.4 Stablo je graf u kome su svaka dva cvora povezana tacno jednomstazom. Odnosno, graf u kome ne postoji ciklus je stablo(aciklican graf).

Definicija 3.5 Minimalno razapinjuce stablo je stablo nekog neusmerenog grafakoje sadrzi sve cvorove tog grafa, a zbir duzina njegovih grana je minimalan. Jedangraf moze imati vise ovakvih stabala, u zavisnosti od svoje konfiguracije.

5

Slika 3: Naglasenom linijom je oznaceno minimalno stablo razapinjanja

Definicija 3.6 Izomorfizam grafova G i H je bijekcija izmedu cvorova G i H

f : V (G)→ V (H),

takva da su bilo koja dva cvora u i v iz G susedni cvorovi u G ako i samo ako suf(u) i f(v) susedni cvorovi u H.

Definicija 3.7 Metrika je funkcija koja definise udaljenost izmedu elemenatanekog skupa. Oznacimo tu funkciju sa d, a skup sa X. Tada d : X × X → R.Za svako x, y i z iz X je ispunjeno

• d(x, y) ≥ 0 (nenegativnost)

• d(x, y) = 0⇔ x = y

• d(x, y) = d(y, x) (simetrija)

• d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) (nejednakost trougla).

Uredeni par (X, d) je metricki prostor.

Definicija 3.8 Metrika lp, dlp , 1 ≤ p ≤ ∞ na skupu Rn se oznacava sa dp(x, y)i definise kao

dp(x, y) = ||x− y||p = (n∑

i=1

|xi − yi|p)1p ,

pri cemu su x = (x1, x2, . . . , xn) i y = (y1, y2, . . . , yn) vektori i d : Rn × Rn → R.Metrika l1 se naziva taxicab metrika, a metrika l2 Euklidska metrika.

6

4 Formulacija problema

Kao sto je prethodno napomenuto, tema ovog rada su geometrijska- euklidskaverzija Stajnerovog problema stabla, na metrikama l1 i l2 u ravni i osnovna,grafovska svojstva ovog problema. Kako metrike definisu rastojanje na razlicitenacine, resenja ovog problema ce direktno zavisiti od zadate metrike.

Metrika l1 definise taxicab ili Manhattan udaljenost na sledeci nacin:

d1(x, y) = ||x− y||1 = |x1 − y1|+ |x2 − y2|,

gde su x = (x1, x2), y = (y1, y2) vektori i d : R2 × R2 → R.Za razliku od metrike l1, metrika l2 odreduje Euklidsku udaljenost:

d2(x, y) = ||x− y||2 =√

(x1 − y1)2 + (x2 − y2)2,

pri cemu su x = (x1, x2), y = (y1, y2) vektori i d : R2 × R2 → R.Problem se sastoji u nalazenju stabla minimalne ukupne tezine(vrednosti koje

se dodeljuju granama, u ovom slucaju je to Euklidsko rastojanje izmedu tacaka),ako su cvorovi zadati svojim koordinatama i moguce je dodavati novi cvorove-tacke. Dakle, potrebno je naci koordinate tacaka koje se dodaju- Stajnerovihtacaka, ako su poznate koordinate tacaka koje se nazivaju terminalima. Stablo saovim osobinama se naziva minimalno Stajnerovo stablo. U sledecem poglavlju cebiti vise reci o svojstvima ovog grafa.

Ako se problem posmatra na metrici l1, grane minimalnog Stajnerovog stablace se u Stajnerovim tackama susretati pod uglom od 90°, a na metrici l2 pod uglomod 120°.

Slika 4: Minimalno Stajnerovo stablo na metrici l1

7

Slika 5: Minimalno Stajnerovo stablo na metrici l2

5 Stajnerova topologija

Pod topologijom se podrazumeva graf-konfiguracija(raspored) terminala iStajnerovih cvorova, gde su veze izmedu cvorova odredene, a koordinate polozajaStajnerovih cvorova nisu. Stajnerova topologija je topologija u kojoj su Stajnerovicvorovi stepena tri, a terminali stepena najvise tri. Za potpunu Stajnerovutopologiju vazi da su Stajnerovi cvorovi stepena tri a terminali stepena jedan.Broj potpunih Stajnerovih topologija predstavlja broj neizomorfnih grafova saprethodno opisanim osobinama njihovih komponenti.

Slika 6: Potpuna Stajnerova topologija za tri terminala

Slika 7: Potpune Stajnerove topologije za cetiri terminala

Zbir svih rastojanja u datoj potpunoj Stajnerovoj topologiji se naziva lokalni

8

minimum. Minimum ovih rastojanja medu svim potpunim Stajnerovim topologi-jama se naziva globalni minimum. Potpuna Stajnerova topologija sa globalnimminimumom je minimalno Stajnerovo stablo.

5.1 Broj potpunih Stajnerovih topologija

Neka je f(n), n ≥ 2, broj potpunih Stajnerovih topologija sa n−2 Stajnerovetacke. Ocigledno je da je f(2) = 1; jedinstvena potpuna Stajnerova topologija jegrana koja povezuje dva terminala. U potpunoj Stajnerovoj topologiji svaki termi-nal je susedan sa Stajnerovom tackom. Neka je F potpuna Stajnerova topologijasa n+1 terminala. Ako se ukloni terminal pn+1 i odgovarajuca susedna Stajnerovatacka, dobija se potpuna Stajnerova topologija sa n terminala. To znaci da sesvaka potpuna Stajnerova topologija sa n + 1 terminala moze dobiti iz potpuneStajnerove topologije sa n terminala dodajuci Stajnerovu tacku s na neku od2n−3 grane i dodajuci granu koja povezuje cvorove s i pn+1. Odavde se metodomindukcije dolazi do diferencne jednacine

f(n+ 1) = (2n− 3)f(n)

cije je resenje

f(n) =(2n− 4)!

2n−2(n− 2)!.

Dokaz tvrdenja indukcijom:

Baza indukcije: n = 2f(2) = (2·2−4)!

22−2(2−2)! = 1

Hipoteza indukcije: f(n) = (2n−4)!2n−2(n−2)!

Korak indukcije: n+ 1(2(n+1)−4)!

2n+1−2(n+1−2)! = (2n+2−4)!2n−1(n−1)! = (2n−2)!

2n−1(n−1)!

Kako je f(n+ 1) = (2n− 3)f(n) i(2n−4)!

2n−2(n−2)! · (2n−3) = (2n−3)!2n−2(n−2)! = (2n−2)!

2n−2(2n−2)(n−2)! =

= (2n−2)!2n−1(n−1)! .

Dakle, iz ekvivalentnosti desnih strana dobijenih jednakosti, po principumatematicke indukcije, sledi tacnost tvrdenja.

�

Neka F (n, k) oznacava broj Stajnerovih topologija nad n cvorova medukojima je k Stajnerovih tacaka, a terminali ne moraju svi biti stepena tri. U

9

prethodnom slucaju potpune Stajnerove topologije su bile n−2 Stajnerove tacke.Funkcija F (n, k) se moze dobiti iz f(k) odabirom k + 2 terminala i formiranjempotpune Stajnerove topologije nad njima, a potom dodavanjem preostalih n−k−2terminala na neke od grana. Prvi terminal se moze postaviti na neku od 2k + 1grane, drugi terminal na neku od 2k+ 2 grane,. . . , a poslednji terminal,n− k− 2,na neku od n+ k − 2 grane. Sledi da je

F (n, k) =

(n

k + 2

)f(k)

(n+ k − 2)!

(2k)!.

F (n) =n−2∑k=0

bn−k−22c∑

n3=0

(n

n3

)F (n− n3, k + n3)(k + n3)

k!,

gde F (n) oznacava broj Stajnerovih topologija nad n tacaka, a n3 broj terminalastepena tri. Vrednosti funkcija f(n) i F (n) za n = 2, 3, . . . , 8 su date u sledecojtabeli.

n 2 3 4 5 6 7 8

f(n) 1 1 3 15 105 945 10395F (n) 1 4 31 360 5625 110880 2643795

Iz tabele se vidi da obe funkcije karakterise eksponencijalni rast sa porastom brojaposmatranih tacaka.

6 Stajnerov odnos

Stajnerov odnos se definise kao maksimalna vrednost kolicnika ukupnog ras-tojanja u minimalnom Stajnerovom stablu i najmanjeg rastojanja u minimalnomstablu razapinjanja:

ρ = maxP⊂R2

lSMT (P )

lMST (P ),

gde je P skup tacaka za koji se problem resava, lSMT (P ) ukupno rastojanje uminimalnom Stajnerovom stablu, lMST ukupno rastojanje u minimalnom raza-pinjucem stablu. Sledece teoreme se navode bez dokaza zbog obimnosti njihovihizvodenja.

Teorema 6.1 Stajnerov odnos za metriku l1 iznosi 23.

Teorema 6.2 Stajnerov odnos za metriku l2 iznosi√32.

10

7 Reprezentacija problema pomocu fizickih

modela

Ekvivalenti ovog problema se mogu naci i u nekim fizickim sistemima, jersvaki fizicki sistem tezi stanju stabilnosti, odnosno minimalne energije.

Jedna varijanta je koriscenje sistema sa povrsinskim naponom, to jest slojemsapunice koji tezi smanjiti svoju energiju smanjenjem povrsine: Uzimaju se dvestaklene pralelne ploce povezane “sipkama” koje su normalne na ove ploce, a kojepredstavljaju cvorove za koje se resava problem. Uranjanjem ove konstrukcijeu sapunicu formirace se slojevi sapunice izmedu “cvorova” koji su normalni naparalelne ravni. Ovi slojevi ce se seci u Stajnerovim tackama(kojih ce biti n-2)upravo zbog povrsinskog napona. Resenje ce biti odredeno projekcijama ravnisapunice na neku od paralelnih ravni stakla. Ovako se mogu odrediti Stajnerovetacke za proizvoljan, konacan broj zadatih cvorova.

Razmotrimo jos jedan fizicki sistem. Dato je n fiksnih tacaka u ravni. Za datibroj tacaka se formira jedna potpuna Stajnerova topologija sa n− 2 Stajnerovetacke u ravni. Neka su rastojanja- grane izmedu tih cvorova predstavljene is-tegljivim nitima istog koeficijenta elasticnosti. Ako dodatnih n − 2 cvorova nisufiksirani, njihovim dovodenjem u polozaje u kojima su u svakoj toj tacki silezatezanja iste, postavljaju se u polozaj Stajnerovih tacaka, koje su resenja.

11

8 Primena

Primena ovog problema u industriji je visestruka. Koristi se u procesima kojizahtevaju minimalne gubitke(energije, novca, i tako dalje) kako bi se ostvarila stoveca dobit. Na primer, primenjuje se u nalazenju najkracih puteva koji povezujugradove, kako bi se izbegli veliki novcani troskovi i ustedelo na vremenu.

Koristi se i u izradi mikrocipova, odnosno povezivanju elektronskih kom-ponenti koji se na njima nalaze. Upotrebljava se zbog toga sto se provodnici kojiih povezuju ne smeju seci(preklapati), a i zbog ustede energije i materijala. Ovoje primer Stajnerovog problema na metrici l1 jer se svi provodnici koji povezujuelektronske komponente nalaze normalno jedni u odnosu na druge.

12

9 Zakljucak

Tema ovog rada je pravi primer kako matematika moze biti itekakozanimljiva i primenljiva u svakodnevnom zivotu. U tome se ogleda njena lepota.Ne samo u bozanskim odnosima izmedu brojeva koje je Pitagora propovedao, veci u tome sto je matematika danas glavna pobuda i orude za tumacenje stvarnosti.Matematiku ne treba tretirati iskljucivo kao nauku, vec i kao jedan drustvenifenomen, od trenutka kada se u praistoriji javila potreba za viskom proizvoda, dodanas, kada je dosegla visoki nivo apstrakcije, po analogiji sa evolucijom svesti.Mnogi imaju razlicita misljenja o matematici. Jedino u cemu bi se svi moglisloziti je njena svevremenost, jer iako i iscrpi sve resurse, ostavice neizbrisiv tragu vremenu. U duhu vremena u kome zivimo, skovana je jedna ironicna definicijamatematike, koja je najslikovitije opisuje: U pocetku brojahu ovce, a onda su sestvari zakomplikovale.

13

Literatura

[1] Ricard Kuran, Herbert Robins, Sta je matematika

[2] Miodrag Petkovic, Zanimljivi svet matematike

[3] Ding Zhu Du, J. M. Smith, Hyam Rubenstein, Advances in Steiner trees

[4] https://en.wikipedia.org/wiki/Steiner tree problem

[5] http://poj.org/problem?id=3595

[6] http://projecteuclid.org/euclid.nihmj/1273779947

[7] http://www.ajol.info/index.php/orion/article/viewFile/34233/6248

[8] http://www.math.ucsd.edu/ ronspubs/14 02 Steiner.pdf

14