przekształcenia funkcji falowych fizyka materii ...szczytko/fms-ii/5_fms_bloch.pdf ·...

2013‐06‐02

1

Fizyka Materii Skondensowanej

Wydział Fizyki [email protected]

Potencjał periodyczny

Projekt: POKL 04.01.01‐00‐100/10‐00 "Chemia, fizyka i biologia na potrzeby społeczeństwa XXI wieku: nowe makrokierunki studiów I, II i III stopnia"

Przekształcenia funkcji falowych

2013‐06‐02 2

Podsumowanie:1. Dla danego układu przestrzennego atomów umiemy znaleźć elementy grupy symetrii

punktowych2. Potrafimy rozłożyć reprezentację grupy symetrii na reprezentacje nieprzywiedlne (wektor

charakterów reprezentacji przywiedlnej jest kombinacją charakterów reprezentacji nieprzywiedlnych)

3. Wymiar reprezentacji nieprzywiedlnych decyduje … no o czym właściwie decyduje?


2013‐06‐02 3

Transformacja funkcji wywołana przez transformację zmiennych, od których te funkcje zależą, jest zdefiniowana jako:

≝


2013‐06‐02 4


≝

≝

2013‐06‐02

2


2013‐06‐02 5


≝Przykład: elektron opisany funkcją: , , 3 ⋅ ‐ znajdź postać funkcji falowej po obrocie o 45° wokół .

→cos 45° sin 45° 0sin 45° cos 45° 0

0 0 1

2/2 2/2 02/2 2/2 00 0 1

12

⋅ 3


2013‐06‐02 6

Równanie Schrödingera opisujące dany układ jest niezmiennicze względem operacji symetrii danego układu (bo dostajemy funkcje falowe o tej samej energii, czyli zdegenerowane).Wymiar reprezentacji nieprzywiedlnej wyznacza liczbę różnych stanów o tej samej energii, a więc określa degenerację układu (jednak układ może być zdegenerowany bardziej, na skutek tzw. degeneracji przypadkowej).

Jeśli cząsteczka znajdzie się pod wpływem zaburzenia ograniczającego jej symetrię(np. utworzy wiązanie z inną cząsteczką albo zostanie wbudowana w kryształ), liczbadozwolonych symetrii zmniejsza się i opisuje je inna, uboższa grupa. Funkcje falowecząsteczki, związane uprzednio z jednym poziomem energetycznym, transformują sięoczywiście nadal tak samo, ale odpowiadająca im reprezentacja może okazać się przywiedlnaw nowej grupie symetrii układu. Oznacza to rozszczepienie zdegenerowanego poziomu.

Paweł Kowalczyk „Fizyka cząsteczek”


2013‐06‐02 7


Przykład: kwadratowa studnia potencjału

Elementy symetrii:Tożsamość (1) Odbicia względem przekątnych (2) ,Odbicia względem środków boków (2) ,Obroty o 90o (4) , , ,Obroty o 180o (1) ,Inwersja (1) Obroty inwersyjne o 90o (3) , , ,Obroty inwersyjne o 180o (1) ,Odbicie względem płaszczyzny


2013‐06‐02 8



1 00 1

1 00 1

0 11 0

0 11 0

1 00 1

1 00 1

0 11 0

0 11 0

Grupa – rząd grupy 8, 5 klas ( , 2 , , 2 , , 2 , ), jedna dwuwymiarowa.

⇒ 2 1 1 1 1 8

2013‐06‐02

3


2013‐06‐02 9



, ,

1 1 1 1 1 , ,1 1 1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 12 0 2 0 0 , , , , ,

Grupa

1⋅ 0 ⇒ 1 ∗ 1 2 ∗ 1 2 2 0⋅ 0 ⇒ 1 ∗ 1 2 ∗ 1 2 2 0

– dwuwymiarowa ‐ 2 ∗ 1 4 ∗ 2 ∗ 4 4 0


2013‐06‐02 10



, ,

1 1 1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 12 0 2 0 0

W ∞ studni potencjału znajduje się cząstka o masie :

2 2

,

2 cossin

2 ,

Najwyższa degeneracja stanów dla to 2 i faktycznie:

nieparzysteparzyste


2013‐06‐02 11



, ,

1 1 1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 12 0 2 0 0

Najwyższa degeneracja stanów dla to 2 i faktycznie:Ale są także degeneracje przypadkowe: albo

.

,

2 cossin

2 2

nieparzysteparzyste


2013‐06‐02 12



, ,

1 1 1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 12 0 2 0 0

,

2 cossin

2

nieparzysteparzyste

(jeden) (jeden)(dwa stany)

2013‐06‐02

4


2013‐06‐02 13



, ,

1 1 1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 12 0 2 0 0


2013‐06‐02 14



, ,

1 1 1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 12 0 2 0 0

0 11 0

1 00 11 00 1

,2cos

3cos

1

,2cos

1cos

3

0 11 01 00 10 11 0

, ,

1 1 1 1 11 1 1 1 1

Reprezentacja przywiedlna! Stany JEDNOKROTNIE zdegenerowane (degeneracja 2. przypadkowa!)


2013‐06‐02 15



, ,

1 1 1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 12 0 2 0 0

0 11 0

,2cos

3cos

1

,2cos

1cos

3

, ,

1 1 1 1 11 1 1 1 1

Reprezentacja przywiedlna! Stany JEDNOKROTNIE zdegenerowane (degeneracja 2. przypadkowa!)

Możemy poszukać stanów złożonych liniowo z i i spełniających warunki transformacji i :

1212


2013‐06‐02 16



Co oznacza przypadkowa degeneracja i ? Przykład: potencjał „gwoździa” , ‐ ta sama symetria .

1212

det ′ ′′ ′ 0

Potencjał zachowuje symetrię, ale znosi degenerację i .

2013‐06‐02

5


2013‐06‐02 17

Dyskusja: obniżenie symetrii na stanów i :


, ,

1 1 1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 1

∥

1 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 1


2013‐06‐02 18

Przykład: Transformacje obrotów.Rozważmy hamiltonian opisujący atom wodoru. Funkcje falowe

,Dla obrotu o kąt funkcji :

, ,Jak widać się zachowuje, zmieniają się harmoniki sferyczne. Baza obrotu:

…

… …

Liczymy charaktery:

11

⋯sin 1 1

2sin 2


2013‐06‐02 19


,Dla obrotu o kąt funkcji :

, ,Jak widać się zachowuje, zmieniają się harmoniki sferyczne. Liczymy charaktery:

11

⋯sin 1

2sin 2

Z inwersją (harmoniki mają określoną parzystość) , , 1 ,

1 2 1(na diagonali jest 2 1 minus jedynek). Obroty inwersyjne:

1Odbicia (względem ) , → , 1 ,

Symetrie w materii skondensowanej

2013‐06‐02 20

Teoria grup pozwala:

przewidzieć zerowanie się elementów macierzowych operatorów z funkcjami falowymi różnych stanów (a więc znaleźć np. reguły wyboru przejść optycznych)

przewidzieć schemat rozszczepień stanów zdegenerowanych pod wpływem zaburzenia obniżającego symetrię hamiltonianu

2013‐06‐02

6

Iloczyn prosty reprezentacji

2013‐06‐02 21

Jeśli funkcja transformuje się zgodnie z pewną reprezentacją, w ogólności przywiedlną, to całka będzie różna od zera tylko wtedy, gdy ta reprezentacja po rozłożeniu na reprezentacje nieprzywiedlne zawiera reprezentację jednostkową ‐ wtedy funkcja nigdy nie przechodzi na .


Ta obserwacja jest BARDZO pomocna przy obliczaniu całek z iloczynu funkcji o określonych właściwościach transformacyjnych. Teoria reprezentacji pozwala BEZ RACHUNKÓW przewidzieć znikanie całki!

Całka z po całej rozważanej przestrzeni z iloczynu pewnej ilości funkcji określonych w tej przestrzeni może mieć wartość różną od zera wtedy i tylko wtedy gdy iloczyn reprezentacji, według których transformują się rozważane funkcje zawiera reprezentację jednostkową .


2013‐06‐02 22

1 1 11 1 12 1 0

Grupa

W jaki sposób liczmy przejścia elektryczne dipolowe?

| |1

Prawdopodobieństwo przejścia jest proporcjonalne do czasu działania zaburzenia, więc prawdopodobieństwo przejścia na jednostkę czasu dane jest przez:

2

Przykład:Czy możliwe jest przejście elektryczne dipolowe o polaryzacji w kierunku osi (rys.) między poziomami transformującymi się zgodnie z reprezentacją grupy ?


2013‐06‐02 23

1 1 11 1 12 1 0

Grupa

W jaki sposób transformuje się w grupie ?


′∗ ⇒ ⊗ ⊗

W jaki sposób liczmy przejścia elektryczne dipolowe? Trzeba policzyć


2013‐06‐02 24


1 1 11 1 12 1 0

Grupa

′∗ ⇒ ⊗ ⊗

W jaki sposób liczmy przejścia elektryczne dipolowe? Trzeba policzyć

transformuje się jak

4,1,0 ⇒ ⊕ ⊕ ⇒ przejście jest możliwe!

2013‐06‐02

7


2013‐06‐02 25


,Na ile składowych rozszczepi się linia przejścia 3 → 4 w atomie umieszczonym w otoczeniu o symetrii (rozważyć same obroty)?

http://www.webqc.org/symmetrypointgroup‐oh.html

3

4


2013‐06‐02 26



1 1 1 1 11 1 1 1 12 1 0 0 23 0 1 0 13 0 1 1 1

sin 12

sin 2

sin 1223

sin 1223

2 →sin 3 1

223

sin 1223

1

3 →sin 4 1

223

sin 1223

1


2013‐06‐02 27



1 1 1 1 11 1 1 1 12 1 0 0 23 0 1 0 13 0 1 1 1

sin 12

sin 2

sin 12

sin 12

2 →sin 3 1

2sin 12

1

3 →sin 4 1

2sin 12

1


2013‐06‐02 28



1 1 1 1 11 1 1 1 12 1 0 0 23 0 1 1 13 0 1 1 1

sin 12

sin 2

sin 12 2

sin 12 2

2 →sin 3 1

2 2sin 12

1

3 →sin 4 1

2 2sin 12

1

Γ 3 ⊕Γ 4 ⊕ ⊕

Pytanie: Jakie jest rozszczepienie poziomów 3 i 3 w polu oktaedrycznym?

2013‐06‐02

8


2013‐06‐02 29



1 1 1 1 11 1 1 1 12 1 0 0 23 0 1 1 13 0 1 1 1

Γ 3 ⊕Γ 4 ⊕ ⊕

Musimy policzyć

∗

Wskazówka: wektor transformuje się zgodnie Z reprezentacją .


2013‐06‐02 30



1 1 1 1 11 1 1 1 12 1 0 0 23 0 1 0 13 0 1 1 1

Γ 3 ⊕Γ 4 ⊕ ⊕

Musimy policzyć

∗

Wskazówka: wektor transformuje się zgodnie Z reprezentacją

Γ 3 3 Γ , Γ , Γ , Γ , Γ , Γ

1 Γ D Γ

124

2 ⋅ 3 ⋅ 3 ∗ 1 ⋅ 1 1 ⋅ 1 ⋅ 1 ∗ 8 ∗ 1 ⋯


2013‐06‐02 31


Rozważmy funkcje i transformujące się zgodnie z reprezentacjami Γ i Γ . Charaktery reprezentacji Γ Γ Γ są iloczynem charakterów składowych reprezentacji.

Poziomy energetyczne odpowiadające stanom o tej samej symetrii nie mogą się przeciąć (często mówi się obrazowo o „odpychaniu” takich poziomów ‐ rys.1.17). Uwaga ta nie stosuje się do stanów o różnych symetriach.

Materia skondensowana ‐ kryształy

2013‐06‐02 32

2013‐06‐02

9

Klasyczny model przewodnictwa prąduPrzewodnictwo elektryczne plazmy:

Model Drudego. Opis przewodnictwa metali zaproponowanyprzez Drudego ok. 1900 r. zaraz po odkryciu elektronu.

eEvmdtdvm D

Paul Karl Ludwig Drude1863‐1906

Po wyłączeniu pola v wraca do prędkości termicznej (wykładniczo, stąd )

Dvenj

Gęstość prądu:

ttvS

Sne

tenV

StQ

Sj D

)(11

tvD

S

Emev

dtdv

D

0Dla przypadku stacjonarnego:me Ruchliwość:

termvvvD Prędkość unoszenia

2013‐06‐02 33



termvvvD Prędkość unoszenia

Gęstość prądu:

ttvS

Sne

tenV

StQ

Sj D

)(11

tvD

S

EEnevenj D

vl

mne

mnene

22

W jaki sposób policzyć średnią prędkość elektronów?

2013‐06‐02 34




2013‐06‐02 35

Arnold Johannes Wilhelm Sommerfeld

(1868 –1951)

Drude: gaz doskonały, rozkład Boltzmana

3…300 … 1,2 ⋅ 10

12

32

3

Sommerfeld: zdegenerowany gaz Fermiego (rozkład Fermiego‐Diraca):

21,6 ⋅ 10 40




2013‐06‐02 36


(1868 –1951)


3…300 … 1,2 ⋅ 10

12

32

3


21,6 ⋅ 10 40

2013‐06‐02

10




2013‐06‐02 37


(1868 –1951)


3…300 … 1,2 ⋅ 10

12

32

3


21,6 ⋅ 10 40

Klasyczny model przewodnictwa prądu

2013‐06‐02 38

Prawo Wiedemanna‐Franza: stosunek przewodnictwa cieplnego i przewodnictwa elektrycznego w dowolnym metalu jest wprost proporcjonalny do temperatury ( – stała Lorentza)

32 1,11 ⋅ 10

Ω

3 2,44 ⋅ 10

Ω

Ch. Kittel

Lepszy wynik!

Opis teoretyczny materii skondensowanejPrzybliżenie Borna Oppenheimera

Max Born(1882‐1970)

Jacob R. Oppenheimer(1904‐1967)

2013‐06‐02 39

Opis teoretyczny materii skondensowanejPrzybliżenie Borna OppenheimeraPełny nierelatywistyczny hamiltonian układu jąder i elektronów:

, Ψ , Ψ ,

,2

2

14

,

14

1

4

,

Współrzędne podukładu elektronowego i podukładu jądrowego (jonowego) są przemieszane, separacja zmiennych elektronowych i jądrowych jest niemożliwa

Trzeba zastosować przybliżenie adiabatyczne Borna‐Oppenheimera

2013‐06‐02 40

2013‐06‐02

11

Opis teoretyczny materii skondensowanejPrzybliżenie Borna OppenheimeraNajpierw szukamy rozwiązanie hamiltonianu dla danej konfiguracji atomów (gdy jądra się nie poruszają). Jest to tzw. hamiltonian elektronowy.

, Ψ , Ψ ,

dla każdego chwilowego położenia jonów elektrony znajdują się w stanach kwantowych Ψ , odpowiadających potencjałowi aktualnej konfiguracji jonów

, Ψ , , Ψ , Ψ ,

Wieloelektronowe funkcje falowe Ψ , zależą od położeń wszystkich elektronów i są sparametryzowane chwilowymi położeniami wszystkich jąder (jonów) . Wskaźnik reprezentuje zbiór liczb kwantowych wieloelektronowego stanu kwantowego. Energiezależą od parametrów .

Dalej budujemy nasze szukane funkcje z tak otrzymanych funkcji elektronowych zawierających oddziaływania elektron‐jądro, elektron‐elektron i energię kinetyczną Te.

2013‐06‐02 41

Opis teoretyczny materii skondensowanejPrzybliżenie Borna OppenheimeraNajpierw szukamy rozwiązanie hamiltonianu dla danej konfiguracji atomów (gdy jądra się nie poruszają). Jest to tzw. hamiltonian elektronowy.

, Ψ , Ψ ,

dla każdego chwilowego położenia jonów elektrony znajdują się w stanach kwantowych Ψ , odpowiadających potencjałowi aktualnej konfiguracji jonów

, Ψ , , Ψ , Ψ ,

‐ traktujemy jako ustalony parametrk – zbiór liczb kwantowych charakteryzujących dany stan elektronowy

– energie elektronowe różnych stanów k jako funkcje położeń jąderTN = 0

2013‐06‐02 42


, Ψ , , Ψ , Ψ ,

Rozwiązania dla pełnego hamiltonianu układu elektronów i jąder (jonów) poszukujemy teraz w postaci kombinacji liniowej Ψ , odpowiadających różnym możliwym funkcjom elektronowym:

Ψ , Ψ ,

Operatory pędu dla jonów będą działały także na Ψ , :

, Ψ , Ψ ,

Ψ ,2

22 Ψ , ∆ Ψ ,

2013‐06‐02 43

, Ψ , Ψ ,


, Ψ , , Ψ , Ψ ,

Rozwiązania dla pełnego hamiltonianu układu elektronów i jąder (jonów) poszukujemy teraz w postaci kombinacji liniowej Ψ , odpowiadających różnym możliwym funkcjom elektronowym:

Ψ , Ψ ,

Operatory pędu dla jonów będą działały także na Ψ , :

, Ψ , Ψ ,

Ψ ,2

22 Ψ , ∆ Ψ ,

2013‐06‐02 44

, Ψ , Ψ ,

2013‐06‐02

12


, Ψ , Ψ ,

Ψ ,2

⋯

2013‐06‐02 45

, Ψ , Ψ ,

Równanie Schrödingera dla ruchu jąder!

ma sens funkcji falowej opisującej ruch jąder (jonów) w potencjale wzajemnego ich oddziaływania oraz adiabatycznego wkładu elektronów w energię ruchu jąder/jonów (energię sieci)


, Ψ , Ψ ,

Ψ ,2

⋯

2013‐06‐02 46

, Ψ , Ψ ,

Równanie Schrödingera dla ruchu jąder!

Równowagowy układ położeń jąder/jonów (równowagowa wartość stałej sieci) odpowiada minimum efektywnego potencjału dla ruchu jąder:

Energia potencjalna sieci zawieraja człony co najmniej kwadratowe we względnych przesunięciach jonów . Ograniczenie się do członów kwadratowych daje nam obraz drgań sieci jako zbioru sprzężonych oscylatorów harmonicznych. Dołożenie wyższych członów rozwinięcia daje efekty anharmoniczne (np. rozszerzalność termiczną, oddziaływanie fonon‐fonon)

Opis teoretyczny materii skondensowanejMetoda LCAO

2013‐06‐02 47

Rozwiązanie równania elektronowego wymaga metord numerycznych

, Ψ , , Ψ , Ψ ,

Jedna z metod: LCAO‐MO z przybliżeniem Hartree‐Focka – metoda samouzgodniona(rozwiązania iteracyjne), ‐elektronowa funkcja falowa w postaci pojedynczego wyznacznika Slatera, automatycznie zapewniającego antysymetryczność funkcji falowej ze względu na przestawienie dwóch dowolnych elektronów:

Ψ , , , … , , , …1!

, ,, ,

… ,… ,

… …, ,

…… ,

Każdy z jednoelektronowych spinorbitali , musi być inny – dwa spinorbitale mogą np. mieć tę samą część orbitalną, ale wtedy muszą się różnić spinem

, 01 lub 1

0

Opis teoretyczny materii skondensowanejMetoda CI (Configuration Interaction – odziaływania konfiguracji)

2013‐06‐02 48

W metodzie „oddziaływania konfiguracji” poszukuje się rozwiązania zagadnienia wieloelektronowego w postaci kombinacji liniowej różnych możliwych wyznaczników Slatera(jeszcze trudniejsza rachunkowo)

Dla dużej liczby elektronów metody te są niewykonalne!

Sposób na efektywne zmniejszenie układów – np. metoda super‐cell: relatywnie nieduży układ periodycznie powtarzany, co imituje układ duży i np. pozbywamy się w ten sposób wpływu „brzegów” (zerwane wiązania etc.) – rachunki defektów w kryształach, struktur pasmowych kryształów mieszanych etc.

2013‐06‐02

13

Opis teoretyczny materii skondensowanejMetoda DFT

2013‐06‐02 49


2013‐06‐02 50


2013‐06‐02 51

Opis teoretyczny materii skondensowanejPrzybliżenie Hartree (jednoelektronowe)

2013‐06‐02 52

Ψ , , , … ⋅ ⋅ ⋅ … ⋅Zakładamy, że na każdy elektron działa średni potencjał pochodzący od jonów i pozostałych elektronów:

2Ψ , , , … Ψ , , , …

Czyli

2Jeśli każdy potencjał jest taki sam ⋯ dostajemy jednoelektronowe równanie Schrödingera:

2Tym razem oznacza zbiór liczb kwantowych numerujących jednocząstkowe stany kwantowe

o energiach . Stany jednocząstkowe podlegają zasadzie Pauliego. Trzeba pamiętać, że jeśli np. zmienimy istotnie liczbę elektronów w danym paśmie, to możemy spodziewać się modyfikacji potencjału i zmiany widma jednocząstkowego! (np. renormalizacja przerwy energetycznej)

2013‐06‐02

14

2013‐06‐02 53

Twierdzenie BlochaPrzybliżenia:Rdzenie nieruchome, ustawione w sieć przestrzenną.Przybliżenie jednoelektronowe (przybliżenie Hartree’ego)

„Jednoelektronowe” równanie Schrödingera

Potencjał efektywny, periodyczny z okresem sieci, jednakowy dla wszystkich elektronów.

Metoda pola samouzgodnionego ‐ sprowadzamy zagadnienie wieloelektronowe do rozważania jednego elektronu znajdującego się w potencjale pochodzącym od jonów w węzłach i pozostałych elektronów.

lub przybliżenie Hartree‐Focka (wyznacznik Slatera).

Ψ , , , … ⋅ ⋅ ⋅ … ⋅

2

Potencjał periodyczny Twierdzenie BlochaJeśli potencjał jest periodyczny

gdzie tzw. f. Blocha:

to rozwiązania równania SchrödingeraWektory sieci Bravais

mają postać:

2013‐06‐02 54

Potencjał periodyczny

2 , , ,

, ,

, , ,

Potencjał periodyczny Twierdzenie BlochaDowód:Operator tranlsacji

)()( RrfrfTR

RT

)()()( rVRrVrVTR

Potencjał periodyczny z okresem sieci

Taki hamiltonian z potencjałem periodycznym:

)()()()()()()( rTrHRrrHRrRrHrHT RR

)'()()( '' RRrrTTrTT RRRR

operatory translacji są przemienne

)()()()( )( rerRCrT RifR

Funkcje własne operatora translacji:

Gdzie:

0)0()'()()'(

fRfRfRRf

czyli RkRf

)(Pewien wektor

1|)(| 2RC

Potencjał periodyczny Twierdzenie BlochaDowód:Operator tranlsacji RT

knrki

knRrki

knRkirki

knRknR ueeeeTuT

,,)(

,,, )()(

Oznaczmy naszą funkcję gdzie n odróżnia różne funkcje o tym samym k. Zdefiniujmy:

Stany własne elektronu w potencjale periodycznym opisują dwie liczby kwantowe n i k, gdzie:

Zatem:

funkcja periodyczna

)()()()()( )( rererRCrT RkiRifR

)(, rkn

rkiknkn erru

)()( ,,

rkiknkn erur

)()( ,,

k – wektor falowyn – opisuje pasma energetyczne (za chwilę!)

2013‐06‐02

15

Potencjał periodyczny Twierdzenie BlochaFunkcją Blocha nazywamy rozwiązanie w postaci:

funkcja periodyczna, tzw. czynnik Blocha

Vm

H 2

2

rkikn er

)(,

rkiknkn erur

)()( ,,

VmkE

2

22

w ogólności funkcja nieperiodyczna

Przykład: Ruch elektronu w stałym potencjale

podstawiamy

Rozwiązaniem jest

Operator pędu

Dla stałego potencjału rozwiązania równania Schrödingera są funkcjami

własnymi operatora pędu. Pęd jest dobrze określony, wartość własna

operatora pędu (sens fizyczny wektora falowego ).kp

ˆ k

)()(ˆ rkrp

dostajemy ip

Potencjał periodyczny Twierdzenie BlochaPrzykład:Ruch elektronu w potencjale periodycznym.

rkiknkn erur

)()( ,,

G

rGiGeVRrVrV

)()(

Łatwo można pokazać (np. Kittel, Ibach), że:

rGi

Gkn eGkCru

)()(,

Rozwiązaniem jest oczywiście:321 glgkghG

Tym razem )()()(ˆ, rkeukiirp rkikn

dostajemy ip

Zaraz do tego wrócimy!

Potencjał periodyczny Twierdzenie BlochaPrzykład:Ruch elektronu w potencjale periodycznym.

Jeśli nasz kryształ ma skończone rozmiary zbiór wektorów k jest skończony (choć olbrzymi!), np. możemy przyjąć periodyczne warunki brzegowe i wtedy:

rkiknkn erur

)()( ,,

G

rGiGeVRrVrV

)()(

321 glgkghG

i

i

iii L

nLL

k 2,...,4,2,0

LxLy

Lz

Łatwo można pokazać (np. Kittel, Ibach), że:

rGi

Gkn eGkCru

)()(,

Rozwiązaniem jest oczywiście:

Potencjał periodyczny Twierdzenie BlochaFunkcje Blocha, których wektory falowe różnią się o wektor sieci odwrotnej, są jednakowe!

)()( ,, rr knGkn

321 glgkghG

rGkirGi

G

rGkiGknGkn eeGGkCerur

)('

'

)(,, )'()()(

Dowód:

)()''()'( ,)()''(

''

)()'(

'

reeGkCeeGGkC knrkirGi

G

rkirGGi

G

A co z ich energiami?

)(),()()(2 ,,

0

2

rGknErrVmp

GknGkn

)(),()()(2 ,,

0

2

rknErrVmp

knkn

2013‐06‐02

16

Potencjał periodyczny Twierdzenie BlochaFunkcje Blocha, których wektory falowe różnią się o wektor sieci odwrotnej, są jednakowe!

)()( ,, rr knGkn

321 glgkghG

rGkirGi

G

rGkiGknGkn eeGGkCerur

)('

'

)(,, )'()()(

Dowód:

)()''()'( ,)()''(

''

)()'(

'

reeGkCeeGGkC knrkirGi

G

rkirGGi

G

A co z ich energiami?

)(),()()(2 ,,

0

2

rGknErrVmp

GknGkn

)(),()()(2 ,,

0

2

rknErrVmp

knkn

),(),( GknEknE

Wartości własne energii są periodyczną funkcją liczby

kwantowej k (wektorów falowych funkcji Blocha).

Potencjał periodyczny Twierdzenie Blocha

321 glgkghG

Model prawie swobodnych elektronów – dla fali płaskiej w pustej przestrzeni energia od wektora falowego wyraża się wzorem:

),(),( GknEknE

Wartości własne energii są periodyczną funkcją liczby kwantowej k.

ii a

g 2

mkknE

2),1(

22

ia2

ia4

ia6

ia8

ia2

ia4

ia6

ia8


321 glgkghG


),(),( GknEknE


ii a

g 2

mkknE

2),1(

22

ia2

ia4

ia6

ia8

ia2

ia4

ia6

ia8

mGkGkE

2)()(

22


321 glgkghG


),(),( GknEknE


ii a

g 2

mkknE

2),1(

22

ia2

ia4

ia6

ia8

ia2

ia4

ia6

ia8

mGkGkE

2)()(

22

2013‐06‐02

17


321 glgkghG


),(),( GknEknE


ii a

g 2

mkknE

2),1(

22

ia2

ia4

ia6

ia8

ia2

ia4

ia6

ia8

ia

ia

mGkGkE

2)()(

22


321 glgkghG


),(),( GknEknE


ii a

g 2

mkknE

2),1(

22

ia2

ia4

ia6

ia8

ia2

ia4

ia6

ia8

ia

ia

mGkGkE

2)()(

22


321 glgkghG


),(),( GknEknE


ii a

g 2

mkknE

2),1(

22

ia

ia

mGkGkE

2)()(

22

Jest tzw. zredukowana strefa Brillouina.Na granicy strefy +/‐ G/2=/a wartości energii są zdegenerowane. W pustej przestrzeni?

Potencjał periodyczny Strefa Brillouina

321 glgkghG

),(),( GknEknE


http://oen.dydaktyka.agh.edu.pl/dydaktyka/fizyka/c_teoria_pasmowa/2.php

Strefa Brillouina dla sieci kubicznej powierzchniowo centrowanej (fcc). Ograniczające strefę ściany kwadratowe i sześciokątne pochodzą, odpowiednio, od punktów sieci odwrotnej typu (2,0,0) i (1,1,1).

Strefa Brillouina w przestrzeni 1‐wymiarowej

Strefa Brillouina w przestrzeni 2‐wymiarowej, sieć ukośnokątna.

2013‐06‐02

18

Potencjał periodyczny Strefa Brillouina

321 glgkghG

),(),( GknEknE


http://oen.dydaktyka.agh.edu.pl/dydaktyka/fizyka/c_teoria_pasmowa/2.php

Strefa Brillouina dla sieci kubicznej powierzchniowo centrowanej (fcc). Ograniczające strefę ściany kwadratowe i sześciokątne pochodzą, odpowiednio, od punktów sieci odwrotnej typu (2,0,0) i (1,1,1).

Strefa Brillouina w przestrzeni 1‐wymiarowej

Strefa Brillouina w przestrzeni 2‐wymiarowej, sieć ukośnokątna.


),(),( GknEknE

mkknE

2),1(

22

mGkGkE

2)()(

22

xa

xa

Struktura pasmowa dla gazu elektronów swobodnych w sieci regularnej prostej (stała sieci a), wierzchołki parabol mają wskaźniki

321 glgkghG

ii a

g 2

[hkl]=000,

100,100, 200, 200,

kx

– –


),(),( GknEknE

mkknE

2),1(

22

mGkGkE

2)()(

22

xa

xa

321 glgkghG

ii a

g 2

[hkl]=000,

100,100, 200, 200,010,010,001,001,

kx

– –– –



),(),( GknEknE

mkknE

2),1(

22

mGkGkE

2)()(

22

xa

xa

321 glgkghG

ii a

g 2

[hkl]=000,

100,100, 200, 200,010,010,001,001,

110,101,110,101,101,110,101,110 kx

– –– –

– –– –– – – –

W pustej przestrzeni?


2013‐06‐02

19


x

aVxV 2cos)( 0

xa

xa

kx

Co z tą pustą przestrzenią?Przyjmijmy, że w węzłach sieci znajduje się „mały potencjał”

„mały potencjał”

Jak wygląda wpływ słabego potencjału na energie na granicy strefy Brillouina?

hkl = 000, 100,100, 200, 200,– –

(rozważymy przypadek jednowymiarowy)

x

aix

ai

G

rGiG eeVeVRrVrV

220

2)()(

xa kx


xa kx

nowa współrzędna

ax

Opis stanów elektronowych na granicy strefy Brillouinawymaga superpozycji co najmniej dwóch fal płaskich. Dla znikającego (ale niezerowego) potencjału falami tymi są:

xGi

k ex 2,1 ~)( xGixGGi

k eex 22,2 ~)(

xa

eexGixGi cos~~ 22

xa

eexGixGi sin~~ 22

xa 2* cos

xa 2* sin

gęstość prawdopodobieństwa


Rozwiązanie odpowiada dwóm falom o tej samej długości:


xa kx

nowa współrzędna

ax

Opis stanów elektronowych na granicy strefy Brillouinawymaga superpozycji co najmniej dwóch fal płaskich. Dla znikającego (ale niezerowego) potencjału falami tymi są:

xGi

k ex 2,1 ~)( xGixGGi

k eex 22,2 ~)(

xa

eexGixGi cos~~ 22

xa

eexGixGi sin~~ 22

xa 2* cos

xa 2* sin





xa kx

nowa współrzędna

ax

Pojawia się przerwa energetyczna na granicy strefy Brillouina

xa 2* cos

xa 2* sin


Patrz H.Ibach, H. Luth Fizyka Ciała Stałego.

2

22

0

22

0

2

2

0

22

0

2

42222

222221

VGm

Gm

Gm

Gm

E

2013‐06‐02

20


xa kx

nowa współrzędna

ax


xa 2* cos

xa 2* sin

ia2

ia4

ia6

ia8

ia2

ia

ia


xa kx

nowa współrzędna

ax


xa 2* cos

xa 2* sin

ia2

ia4

ia6

ia8

ia2

ia

ia


xa kx

nowa współrzędna

ax


xa 2* cos

xa 2* sin

ia2

ia4

ia6

ia8

ia2

ia

ia

pasmo

pasmopasmo


T. Stacewicz & A. Witowski

•Ponieważ funkcja Blocha przesunięta o wektor sieci odwrotnej nie zmienia się to wygodnie jest przedstawiać wyniki tylko w I‐szej strefie Brillouina. Trzeba wówczas numerować pasma energetyczne.•Stan elektronu w ciele stałym zadany jest przez wektor falowy z I‐szej strefy, numer pasma oraz rzut spinu.

2013‐06‐02

21

2013‐06‐02 81

przekształcenia funkcji falowych fizyka materii ...szczytko/fms-ii/5_fms_bloch.pdf ·...

Documents