przykłady rozwiązań mes - misp.agh.edu.pl · metoda elementów skooczonych przy rozwiązywaniu...
TRANSCRIPT
Metoda elementów skooczonych
Metoda elementów skooczonych jest metodą rozwiązywania zadao brzegowych. MES jest wykorzystywana obecnie praktycznie we wszystkich dziedzinach nauki. Głowna idea MES polega na tym, że dowolną ciągła wartośd (np. temperaturę) można zmienid na model dyskretny, który oparty jest na ograniczonej ilości węzłów, tworzących ograniczona ilośd elementów skooczonych.
Algorytm MES (dla wyznaczania temperatury) można przedstawid następująco:
1) W rozpatrywanym ośrodku bierzemy pod uwagę ograniczona ilośd punktów (węzły siatki elementów skooczonych).
2) Wartośd temperatury definiuje się, jako parametr, który należy wyznaczyd.
3) Strefa wyznaczenia temperatury dzieli się na ograniczoną ilośd pod-stref (elementy skooczone), które maja wspólne węzły i w sumie aproksymują kształt ośrodka.
Metoda elementów skooczonych
4) Temperaturę aproksymuje się na każdym elemencie za pomocą wielomianu, który wyznaczony jest za pomocą węzłowych wartości temperatury. Dla każdego elementu wyznaczany jest wielomian i wyznaczany jest on w taki sposób, aby zachowad warunek ciągłości temperatury na granicach elementów.
5) Węzłowe wartości musza byd tak dobrane aby zapewnid najlepsze w stosunku do rzeczywistego przybliżenia pola temperatury. Dobór taki wykonywany jest za pomocą minimalizacji funkcjonału, który odpowiada równaniu przewodzenia ciepła. Minimalizacja może byd wykonywana zarówno przez minimalizację bezpośrednią, jak i na podstawie warunku koniecznego ekstremum funkcji, w tym wypadku wyznaczenie temperatur węzłowych musi byd powiązane za pomocą układu równao algebraicznych. Liczba równao jest równa liczbie niewiadomych wartości węzłowych temperatur.
Metoda elementów skooczonych
Przy rozwiązywaniu metodą MES zagadnieo, w których nieznany jest rozkład danej funkcji, wykorzystuje się trzy typy elementów, które można sklasyfikowad na podstawie typu i stopnia wielomianu interpolującego:
simpleks, któremu odpowiada wielomian gdzie liczba współczynników jest o jeden większa od liczby współrzędnych przestrzennych, np. dla dwuwymiarowego elementu typu simpleks, zdefiniowanego przez trzy węzły funkcja wygląda następująco:
kompleks – elementy tego typu mają większą liczbę węzłów niż elementy typu simpleks, funkcje interpolujące mają ilośd współczynników równą liczbie węzłów;
multipleks – elementy tego typu różnią się od elementów typu kompleks tym, że brzegi elementów są równoległe do osi współrzędnych, a w przypadku elementów trójwymiarowych ściany elementów są równoległe do płaszczyzn wyznaczonych przez osie układu współrzędnych.
yxt 321
Element jednowymiarowy typu simpleks
Określenie wartośd temperatury w punkcie b, 2 – węzłowego elementu jednowymiarowego typu simpleks:
Funkcja aproksymująca dla tego elementu ma postad:Współczynniki a1 i a2 można wyznaczyd za pomocą warunków w punktach węzłowych:
Warunki te opisuje układ równao:
Element dwuwymiarowy typu simpleks
Określenie wartości temperatury w punkcie b elementu dwuwymiarowego typu simpleks:
Wartości współczynników α1 α2 α3
otrzymamy wychodząc z warunków w
węzłach elementu:
Po rozwiązaniu utrzymujemy:
Określenie wartości temperatury
Dane:
t i = 400ºC, xi = 0m, yi = 0m, tj = 340ºC, xj = 4m, yj = 0,5m,tk = 460ºC, xk = 2m, yk = 5m,xb = 2m, yb = 1,5mtb=?
Obliczenia:
Określenie wartości naprężeniaOkreślenie wartości naprężenia w punkcie b elementu dwuwymiarowego typu simpleks:Dane:σi = 40MPa, xi = 0m, yi = 0m, σj = 34MPa, xj = 4m, yj = 0,5m,σk =46MPa, xk = 2m, yk = 5m,xb = 2m, yb = 1,5mσb = ?
Obliczanie współczynników dla funkcji:
Określenie wartośd odkształcenia
Obliczyd odkształcenia w elemencie skooczonym:
Dane:
Uxi = 10mm, Uyi = -1mm, Xi = 5mm Yi = 3mm
Uxj = 10mm, Uyi = 0mm, Xj = 5mm, Yj = 0 mm
Uxk = 15mm, Uyk = 0,5mm, Xk = 10mm, Yk = 2mm
εx, εy, εxy = ?
Określenie wartośd odkształcenia
Obliczanie współczynników:
Podstawiając, otrzymujemy:
εx = 7,66;εy = 2εxy = 0,05
Określenie wartośd naprężenia
Określid wartośd naprężenia w zadanym punkcie B Dane:σ1 = 40MPa, X1 = 1mm, Y1 = 1mmσ2 = 34MPa, X2 = 3mm, Y2 = 1mmσ3 = 46MPa, X3 = 4mm, Y3 = 4mmσ4 = 32MPa, X4 = 0,5mm, Y4 = 4mmξ = 0,5 η = 0,5σB, XB, YB = ?
Funkcje kształtu w układzie lokalnym:
Określenie wartości naprężenia
Określenie wartości naprężenia w punkcie bDane:σ1 = 40MPa, x1 = 1mm, y1 = 1mm, σ2 = 34MPa, x2 = 3mm, y2 = 1mm,σ3 =46MPa, x3 = 4mm, y3 = 4mm,σ4 =32MPa, x4 = 0,5mm, y4 = 4mmxb = 2,5, yb = 3,25mObl. σB, ξB, ηB
Wyznaczenie ustalonego pola temperatury w pręcie
Do zamocowanego kooca pręta jest doprowadzony strumieo ciepła q, na wolnym koocu pręta zachodzi wymiana ciepła przez konwekcję. Współczynnik konwekcyjnej wymiany jest równy natomiast temperaturze otoczenia t∞Obliczyd wartości temperatur w pręcie dla punktów T1, T2, T3.
Dane:
Podstawowe równanie:
Warunki brzegowe:
Jednostkowy strumieo ciepła q jest dodatni, jeżeli ciepło jest odprowadzone z pręta
Wyznaczenie ustalonego pola temperatury w pręcie
Funkcjonał dla rozpatrywanego przypadku można zapisad w następujący sposób:
Wyznaczenie ustalonego pola temperatury w pręcie
Podstawiając otrzymujemy funkcjonał:
Minimalizacja funkcjonału sprowadza się do obliczenia pochodnych cząstkowych tego funkcjonału względem wartości węzłowych temperatury:
Wyznaczenie ustalonego pola temperatury w pręcie
Obliczenia:
C(1) = 75/3,75=20=C(2)αS = 10-qS = 150αSt∞ = 10*40 = 400
t1 = 70ºCt2 = 62,5ºCt3 = 55ºC
Ważniejsze zalety MES
własności materiału elementów niekoniecznie muszą byd jednakowe co daje możliwośd wykorzystania MES do materiałów wielofazowych, jak również do materiałów, których własności są funkcją temperatury
ośrodek o skomplikowanym kształcie może byd zaproksymowana z dużą dokładnością za pomocą elementów krzywoliniowych
wymiary elementów mogą byd objętościowo rożne,to daje możliwośd powiększania lub zmniejszania wymiarów elementów w pewnych strefach rozpatrywanej objętości
za pomocą MES można uwzględniad nieliniowe warunki brzegowe