الثالثة الوحدة الثنائية المناظر

األبعادTwo Dimensional

وحدةمحتويات الالصفحةالموضوع

57المقدمة57تمهيد

57الوحدة أهداف58األبعاد: ثنائي الكائن .تمثيل1

األبعاد الثنائية شكالاأل تمثيل 1.1 Representation of Two Dimensional Geometry

58

والمنحنيات الخطوط تمثيل 2.1 Lines and Curves Representation

60

Optimum Line Drawing61 للخط األمثل الرسم 3.1Polygons67 المضلعات تمثيل 4.1Scan Conversion68 المسح تحويل 5.1المتجانس اإلحداثيات نظام 6.1

homogenous coordinate system72

األبعاد الثنائية التحويالت 7.1 Two Dimensional Transformation

73

85الخالصة85التالية الدراسية الوحدة عن مسبقة لمحة

86التدريبات إجابات89المصطلحات مسرد

90المراجع

مقدمةال تمهيد

عزيAAزي بعنAAوان هي والAAتي الثالثة الوحAAدة في بك الAAدارس! مرحبAAا شAAكل تحديد كيفية إلى فيها نتطAAرق وسAAوف األبعAAاد الثنائية المنAAاظر

وسAAوف والمنحنيAAات، الخطAAوط وتمثيل وحجمه األبعAAاد ثنAAائي الكAAائن ونظام المسح، وتحويل المضلعات، وتمثيل للخط، األمثل الرسم نشرح

المتجانس، اإلحداثيات األبعاد. ثنائية التحويالت سنتناول وأخيرا

56

الوحدة أهداف

57

ينبغي الوحدة هذه دراستك بعد ،الدارس عزيزي تكون أن أن: على قادرا

والخطوط الثنائية األشكال تمثل والمنحنيات.

للخط. األمثل الرسم تشرحالمضلعات. تصفوالتحويالت المسح تحويل عملية تعرف

. األبعاد الثنائية

األبعاد ثنائي الكائن تمثيل .1 الثنائية شكالاأل تمثيل1.1

األبعاد Representation of Two Dimensional Geometry

الثنائي الكائن وحجم شكل يحدد بالحاسوب التخطيط في بنظام مرتبطة األبعاد ثنائية عددية واصفات باستخدام األبعاد

ديكارت إحداثيات نظام يكون ما عادة معين، إحداثياتCartesian coordinate، التحويالت من عدد استخدام يمكن

الكائن. أو الشكل ودوران حجم وإعادة إلزاحة الهندسيةالنقطة: إحداثيات

.النقطة هي األبعاد ثنائي نموذج أي في األساسي العنصر ،النقاط من بعدد يمثل والسطح النهاية بنقطتي يمثل مثال فالخط

التي ،y وx إحداثيات من بمجموعة يحدد األبعاد ثنائي تمثيل أيو triangle مثلث تمثيل يوضح3.1 النموذج. الشكل عناصر تعتبر

.vertices سهورؤ إحداثيات باستخدام

xy إحداثيات نظام باستخدام المثلث : تمثيل3.1 الشكل

المصفوفة: باستخدام التمثيل مصفوفة استخدام ( أيضا3.1 )الشكل في المثلث تمثيل يمكن

كاآلتي:2×3 ترتيبها

58

,)A)3,1التاليAAة: الAAرؤؤس إحAAداثيات لديه مثلث معطىB)1,3(, C)3,3(المثلث . لف )90 مقدارها بزاوية )دور

oور علىAAذي المحAAبر يمر الAAالنقطة ع P)2,2(دد ثمAAح .C وB وA من لكل الجديدة اإلحداثيات

position موقع متجه مثلي xy من زوج أي إن حيثvectorمعين. إحداثيات نظام إلى نسبة

المصفوفات: استخدام فائدةالشكل تحديد في مفيد المصفوفات استخدام إن

بالحاسوب. التخطيط في معه والتعاملعمليات باستخدام تحقيقها يتم التحويالت بعض إن

بجمع تتم األخرى التحويالت وبعض المصفوفاتالمتجهات.

نظام باستخدام اإلحداثيات نظام توحيد ذلك يتطلب homogenous المتجانس اإلحداثيات

coordinateالسابقة. الوحدة في نوقش الذي

(1) تدريب

والمنحنيات الخطوط تمثيل2.1 Lines and Curves Representation

هي والمنحنيات الخطوط لرسم االبتدائية الخطوة أن الخطوط لتمثيل طرق ثالثة . توجداله مناسب تمثيل اختيار

وهي: استخدامها يمكن المنحنياتو)Explicit: y=f)x الصريح المعادالت باستخدام . التمثيلأ

بالمعادلة الخط يمثل وهنا

بالمعادلة الدائرة وتمثل

)البارامترية( الوسيطة المعادالت باستخدام . التمثيلبparametric equation : x=)ft(, y=f)t(

بالمعادلة الخط يمثل وهنا59

التالية بالمعادالت الدائرة وتمثل

Implicit: f)x,y(=0 الضمنية بالمعادالت . التمثيلجالتالية بالمعادالت الخط يمثل حيث

الخط على(x,y) تكونF)x,y( =0 كان أذاF)x,y( >0تكون (x,y)الخط أعلىF)x,y( <0تكون (x,y)الخط أسفل

باستخدام الدائرة ونمثل

االدائرة على(x,y) تكونF)x,y( =0 كان أذاF)x,y( 0تكون (x,y)الدائرة خارجF)x,y(<0تكون (x,y)الدائرة داخل

Optimum Line للخط األمثل الرسم 3.1Drawing يتطلبraster grid الخطوط مسح شبكة على الخط رسم

الخطوط بمسح العملية هذه وتسمى ،والمعالجة التقديرات بعضrasterization المسح تحويل أو scan-conversion .

60

للخط األمثل الرسم خصائص عنصر إلى(x1,y1) الصورة عنصر من المرسوم الخط إن الشكل )انظر التالية الخصائص له تكون إن البد(x2,y2) الصورة

3.1:)مستقيم straightالنهائية النقاط عبر يمرسلس smoothالنهائية النقاط ترتيب على يعتمد المنتظم سطوع لديهاالنحدار على معتمد غير سطوع

الخط : تخطيط3.2 الشكلالمستقيم: الخط رسم خوارزميات

استخدمت أدناه المثال في الخط لرسم مباشرة خوارزمية

المستقيمDrawLine(x1,y1,x2,y2)int x1,y1,x2,y2;{  float y;  int x;

  for (x=x1; x<=x2; x++) {    y = y1 +  (x-x1)*(y2-y1)/(x2-x1)    SetPixel(x, Round(y) );  }}

استخدام أدناه المثال يوضح الخط لرسم أفضل خوارزمية

المستقيمDrawLine(x1,y1,x2,y2)

61

int x1,y1,x2,y2;{

  float m,y;  int dx,dy,x;  dx = x2 – x1;  dy = y2 – y1;  m = dy/dx;  y = y1 + 0.5;  for (x=x1; x<=x2; x++) {    SetPixel(x, Floor(y) );    y = y + m;  }

}الوسيطة النقطة خوارزمية midpoint algorithm :

midpoint الوسيطة النقطة خوارزمية استخدام يمكنalgorithmالمستقيم. الخط لرسم

الخوارزميات من أفضل الوسيطة النقطة خوارزمية إن الصحيحة. لكل األعداد حسابات تستخدم والتي أعاله المذكورة

موضح هو كماNE أوE التالي الصورة عنصر يكون صورة عنصر.3.2 بالشكل

الوسيطة النقطة : خوارزمية3.2 الشكل مباشرال غير التعريف هذا الوسيطة النقطة خوارزمية وتستخدم

. F(x,y)=0 ،للخطالصورة: عنصر تحديد

كاآلتي يتمEN أوE التالي الصورة عنصر تحديد إن(:3.3 الشكل )انظر

حدد

E اختر الوسيطة، النقطة أسفل الخط يكونd < 0 كان أذا62

d > 0اختر الوسيطة، النقطة أعلى الخط يكون NEF)x,y(<0الوسيطة النقطة على الخط يكون

E اختيار تم إن

NE اختيار تم إن

أوE لتحديدx طول على خطوات في العملية هذه تكررNE

خوارزمية في التالي الصورة عنصر : تحديد3.3 الشكلالوسيطة النقطة

للخط: االبتدائية القيمة المعادلة باستخدامdstart للخط االبتدائية القيمة تحدد

(3.4 الشكل )انظر التالية

االبتدائية القيمة : تحديد3.4 الشكل

63

الصحيحة: األعداد خوارزمية عرف فقط، صحيحة أعداد خوارزمية الستخدام

مثال:خط تنتج أدناه الخوارزمية مستقيم ا x2 من اقلx1 فيه يكون ا

: 1 عن يقل أو يساوى واالنحدارdrawline(x1, y1, x2, y2, colour)int x1, y1, x2, y2, colour;{  int dx, dy, d, incE, incNE, x, y;  dx = x2 - x1;  dy = y2 - y1;  d = 2*dy - dx;  incE = 2*dy;  incNE = 2*(dy - dx);  y = y1;  for (x=x1; x<=x2; x++) {    setpixel(x, y, colour);    if (d>0) {      d = d + incNE;      y = y + 1;    } else {      d = d + incE;    }  }}

ذاتي تقويم أسئلة

64

؟األبعاد ثنائي نموذج أي في األساسي العنصر هو ما.1والمنحنيات؟ الخطوط لتمثيل االبتدائية الخطوة ما.2للخط. األمثل الرسم خصائص عدد.3 أعAAAAدادال خوارزمية السAAAAتخدام نحتAAAAاج مAAAAاذا إلى.4

الخط؟ لرسم صحيحةال هAAات مصAAفوفة؟ باستخدام مثلث تمثيل يمكن كيف.5

مثاال

65

Polygons المضلعات تمثيل 4.1(3.6 الشكل )انظر مثل المضلعات من مختلفة أنواع يوجد

البسيط المحدب .simple convex البسيط المقعر Simple concave.الذاتي( )التقاطع بسيط غيرnon-simple )self-

intersection(.

المضلعات : أنواع3.5 الشكلالمثلث تمثيل :triangle

انه حيثtriangle المثلث مع التعامل عمليا السهولة منبسيط. ومحدب السطح مستوى دائما يكون

المراجع قائمة طريقة list of referencesالمضلع لتمثيل: الطرق أكثر المضلع، لتمثيل الطرق من العديد استخدام يمكن

التيlist of references المراجع قائمة هي واستخداما شيوعا. vertex سوالرؤ قائمة ترتب

التخزين سعة من يقلل الطريقة هذه استخدام إن كثير وتوضيح ربط يمكننا الحاجة. كما عن الزائدة الحساباتو

normals المتعمدات مثل رأس كل مع األخرى المعلومات من .texture coordinatesالنسيج إحداثيات وcolors األلوانو

3.6 الشكل

66

المراجع قائمة : طريقة3.6 الشكلScan Conversion المسح تحويل 5.1

عناصر كل تظليل هي المسح لتحويل األساسية المهمة في التعبئة لون يعتمدو ،مقفول مضلع داخل الموجودة الصورة

ورؤية texture ونسيج lighting إضاءة على األحيان غلبأvisibilityفي تجاهلها سيتم العوامل هذه ،مسحه حول الذي المضلع

القادمة. الوحدات في لها وسنتعرض الحالي الوقتالمسح: تحويل خوارزمية

هو كما مرتبة،edges حواف ولديه مغلق المضلع إن لنفترض النحو على تكون المسح تحويل خوارزمية إنف. 3.7 بالشكل موضحالتالي:

خط ادخل حافة. كل مع امع التقاطعات فرزأ x.تكافؤ احسب parityالدخل لتحديد التقاطعات

والخرج.الصورة. عناصر ئعب

67

المضلع مسح : تحويل3.7 الشكلالمضلع: مسح تحويل لخوارزمية الخاصة الحاالت

وهى: الخوارزمية لهذه خاصة حاالت توجدها.ؤاستثنا يمكن األفقية الحافاتالمسح. خط على الواقعة للرؤؤس بالنسبةعالمة غير yi-yi+1الشكل مرتين : تحسب( a3.7.)الشكل واحد مسح بخط الحافة قصر تغير ال( b3.7.)

المضلع مسح لخوارزمية الخاصة : الحاالت3.6 الشكلالخطوط: بين المنطقي الترابط

من باالستفادة منها التخلص يمكن التقاطع اختبارات من كثيروهى: الممسوحة الخطوط بين المنطقي الترابط

الممسوح الخط تقاطع التي الحافات كل yالخط أيضا تقاطع y+1.

قيمة تغير xالمسح خط من بها التنبؤ يمكن yإلى y+1.البيانات: هياكل

خوارزمية بواسطة استخدامها يمكن التالية البيانات هياكلعالية: كفاءة ذات مسح تحويل

68

الحافة: ) جدول1(3.8 الشكل )انظر بالتالي هذا البيانات هيكل ويحدد

االنحراف حافات اعتبر .traverse edgeاألفقية. الحافات ياستثناألعلى. الرأس قصر قصوى، حافة يكن لم إنالمقابل المسح خط ربط قائمة إلى الحافة أضف

وفرز: األدنى، للرأس في يأخذ مسح خط العليا: أخرy قيمة.1

االعتبار. للحافة.x إحداثيات : بدايةا الدنيx قيمة.23.1/m.قيمة لزيادة x، التقصير. قبل تحسب

الحافة : جداول3.7 الشكل:Active Edge List (AEL) النشطة الحافة ) قائمة2

في النشطة للحواف ربط قائمة النشطة الحافة قائمة تمثلالتالية: المعلومات لديها نشطة حافة . أيy الحالي المسح خطقيمة y :االعتبار. في يأخذ مسح خط خرآ العلياقيمة xإحداثيات : بدايةا الدني x.للحافة 1/mقيمة لزيادة x، التقصير. قبل تحسب

. xباستخدام النشطة الحواف فرز ويتمالمسح: تحويل خوارزمية مكونات

التالي: من تتكون المسح تحويل خوارزمية إنمسح. خط لكلقائمة في المحدد الحافة جدول في الحافات أضف

النشطة. ةفالحافارغة؛ غير النشطة الحافة قائمة كانت إذا

oباستخدام القائمة صنف x.oالحافات. زوج بين الصورة عناصر ئعبoمعها. التعامل هىتنا التي الحافات امسحoقيمة حدث xحافة لكل.

69

ذاتي تقويم أسئلة

المتجانس اإلحداثيات نظام 6.1homogenous coordinate system

عمليات كل في المصفوفات استخدام من نتمكن حتى المتجانس اإلحداثيات نظام نستخدم الهندسية التحويالت

homogenous coordinate system. طريقة يعطى المتجانس اإلحداثيات نظام استخدام إن

الهندسية. التحويالت لوصف موحدة نقطة اعتبر المتجانس، اإلحداثيات نظام مفهوم ولتوضيح

ألبعادا الثالثي النظام في تقع التي)P1)x1,y1 األبعاد الثنائي النظام.5.3 الشكل في موضح هو كما

70

اذكرها. أنواع للمضلعات.1المثلث؟ مع التعامل السهل من كان لماذا.2 تحويل عملية في التعبئة لAAAAAAون يعتمد مAAAAAAاذا على.3

المسح؟ لتمثيل المراجع قائمة طريقة اسAAAAتخدام فائAAAAدة ما.4

المضلع؟ الخطAAAAAوط بين المنطقي الترابط من باالسAAAAAتفادة.5

التخلص يمكن التقAAAاطع اختبAAAارات أي الممسAAAوحة؟منها

النشطة؟ الحواف فرز يتم كيف.6

P1)x1,y1,1(P2)2x1,2y1,2( P3)3x1,3y1,3(

Ph)hx1,hy1,h(

الفضاء في األبعاد الثالثي . التمثيل3.8 الشكل المتجانس

المتجانس الفضاء homogenous space: تقاطع نقطة إلىP1 النقطة يصل الذي اإلشعاع في النقاط

النحو علىh العامل باستخدام عنه التعبير يمكن اإلحداثيات محاورالتالي:

P)x,y,z( = P)hx, hy,h(

محاور تقاطع نقطة عدا ما األبعاد ثنائية نقطة أي فضاء في اإلشعاع في النقاط بأحد تمثيلها يمكن(h=0) اإلحداثيات

homogenous المتجانس الفضاء يسمى) األبعاد ثالثيspace .)

نقطة أي المتجانس، أإلحداثيات نظام في عامة بصورة) إحداثيات أربع باستخدام زائدة بهيئة تمثيلها يمكن ديكارتية

hx,hy,hz,h) .العادية: اإلحداثيات

السطح اإلشعاع يعبر عندما النقطة تناظر العادية اإلحداثياتz=1في النقاط المتجانس اإلحداثيات نظام استخدام . وعند

n تكون عندما ،nx3 مرتبتها بمصفوفة تمثل األبعاد الثنائي المجالالتالية: بالمصفوفة يوصف المثلث الكائن. فمثال في الرؤؤس عدد

Two األبعاد الثنائية التحويالت 7.1Dimensional Transformation

الجديدة اإلحداثيات حساب الهندسية التحويالت تشتمل إلى اإلحداثيات محاور تقاطع نقطة من الكائن تشكل التي للنقاطالتحويل. موقعالحجم ضبط scaling:

بالتمديد سواء الكائن بتغير الحجم إعادة تحويل يسمح للنقطة للحجم إعادة تحويل عن يعبر رياضيا ،االنكماش أو

P)x,y(النقطة إلى P')x',y'( التالية: بالعالقةx' = x . Sx 3.6ay' = y . Sy 3.6b

71

التوالي. علىy وx اتجاه في الحجم تغير ثوابتsy وsx حيثكاآلتي: المصفوفة نسق على المعادلة هذه كتابة يمكن

،مربع على الحجم تحويل لتأثير أمثلة يوضح3.9 الشكل وx اتجاه في متخلفة الحجم إعادة عوامل كونت عندما أنه يالحظوy الكائن. وشكل حجم في تغير يحدث

الحجم ضبط : تحويل3.9 الشكل محاور تقاطع نقطة حول الحجم ضبط التحويل هذا يسمى.Sx=Sy كان إذا uniform منتظم التحويل ويسمىاإلحداثيات,

اإلزاحة تحويل Translation: أن دون العارض على الكائن موقع تغير اإلزاحة تطبيق

.3.10 بالشكل موضح هو كما شكله أو حجمه تغير

اإلزاحة : تحويل3.10 الشكلباستخدام رياضيا التحويل هذا عن يعبر

x' = x . Tx 3.8ay' = y . Ty 3.8b

كاآلتي: المصفوفة نسق على المعادلة هذه كتابة يمكن

72

Sx=2Sy=1

Sx=1Sy=2

الدوران تحويل Rotation : مقدارها بزاوية الكائن لف يتم الدوران تحويل بتطبيق

θالنقطة دورات يوضح3.9 المحاور. الشكل تقاطع نقطة حول P)x,y(النقطة إلى بالزاوية P')x',y'( . اتجاه عكس في الدوران كان إن عليه المتعارف من

يكون الساعة اتجاه في كان وإنا اموجب الدوران يكون الساعة. اسالب

عالقات باستخدام)'P')x',y النقطة موقع حساب يمكن التالية:trigonometric المثلثات حساب

:أيضا. و3.9 الشكل في موضحةφ وr العوامل إن حيث

على: تتحصل 3.11 في 3.10 المعادلة عوض

كاآلتي: المصفوفة نسق على المعادلة هذه كتابة يمكن

73

θ

P'(x',y')

φ

P(x,y)

+

r

لمشاهدته، التحوالت من لAكثير الشكل يحتاج قد العادة من الموضحة التحويالت من التحويل تركيب يتم الحاالت هذه مثل وفى التالية. األمثلة في سيوضح كما أعاله

)1مثال( P4(1,3) وP3(2,3) وP2(2,1) وP1(1,1) النقاط من المكون المستطيل)لف( دور.S(3,2) النقطة حول الساعة اتجاه عكس في درجة30

74

الحل:التالية: المتتالية التحويالت على الحل يشتمل

اإلحداثيات محاور تقاطع نقطة إلىS النقطة إزاحة.1

التحويل مصفوفة

الساعة عقارب عكس درجة بثالثين الدوران.1التحويل مصفوفة

الدوران بعد المستطيل موقع يوضح أدناه الشكل

75

(-2,1) (-1,1)

(-2,-1) (-1,-1)

S

(-2.23,-0.13)

(-1.37,0.37)

(-1.23,-1.87)

(-0.37,-1.37)

S

(1,3) (2,3)

(1,1) (2,1)

S(3,2)

ألولا لموقعها ىخرأ مرةS أزاحة.2التحويل مصفوفة

المستطيل األخير الموقع يوضح أدناه الشكل

)2مثال( طريقة استخدام يمكن النقاط، من كبير بعدد توصف التي للنماذج بضرب وذلك التحويل على للحصول كفاءة أكثر حساب

. النقطة مصفوفة نستخدم ثم أوال المصفوفاتكاآلتي: يحل أعاله المثال

نستخدم '[P] النقاط إليجاد

76

(1.63,2.37)

(0.77,187)

(1.77,0.13)

(2.63,0.63)

S(3,2)

االنعكاس Reflection: ويستخدمالمرآة, في الصورة باعتبار االنعكاس فهم يمكن

رسم يمكن حيث ،المتشابهة العناصر إلنشاء االنعكاس تحويل يتم قد أالمشهد إلتمام االنعكاس تحويل يستخدم ثم الشكل نصف

خط. أو نقطة على االنعكاس المحاور تقاطع نقطة أوy أوx محور بالنسبة االنعكاس مصفوفة

التالي: النحو على كتابتها يمكن

مثلث لعكس مختلفة حاالت توضح أدناه األمثلةمحور على xقيمة : x قيمة تتغيرو تتغير ال y

×

محور على yقيمة : y قيمة تتغيرو تتغير ال xy

77

من كل قيمة تتغير: المحاور تقاطع نقطة على xو y

القص تحويل :Shearing خطية دالة بإضافة األحداث قيمة القص تحويل يغير

الهيئة على تكون للقص العامة المصفوفة. إليه األخر لألحداثالتالية:

مثال:الحاالت. لبعض المربع قص يوضح

على فقط اتجاه-× يؤثر قص x إحداثيات

78

x

y

O

اتجاه- قصyعلى فقط يؤثر y إحداثيات

79

(1,y,x) ([(HS+x xy.,)1,y] xx

y y

(1,y,x) x

yy

x [ ,xHS+y( y1,)x.]

ذاتي تقويم أسئلة

(2) تدريب

80

في المتجAAAانس اإلحAAAداثي نظAAAام نسAAAتخدم لمAAAاذا.1الهندسية؟ التحويالت

في تمثيلها يمكن ال التي األبعاد ثنائية النقطة هي ما.2المتجانس؟ الفضاء

الحجم؟ وضبط اإلزاحة تحويل بين الفرق ما.3اذكرها. فائدة االنعكاس لتحويل.4

يعطى الذي التحويل تتعرض التي الدائرة نأ وضح.1بالمصفوفة

بعد الشكل هو ما ،التحويل بعد دائرة تبقى ال التحويل.

مرتين إلى ألولىا لةأالمس في المعطى المثلث كبر. 2 موقعها. أحسب فيC النقطة بقاء مع حجمه

التحويل. بعد الثالثة النقاط إحداثيات.y=x الخط على لالنعكاس مصفوفة شتق. أ3 مصفوفاتال نسق على التحويالت من متوالية اكتب. 4

الشكل في الموضح المربع لوضع تحتاجها التي تصغير مع21 الشكل في الموضح الوضع في3.11 النقطة عند التحويل بعد المربع مركز ،للنصف حجمه

(2-,2).

3.11 الشكل

81

45o

(0,0) (2,0)

(2,2)(0,2)

خالصةال واصفات نستخدم األبعاد ثنائية األشكال لتمثيل الدارس، عزيزي

وإعادته ودورانه الكائن أو الشكل حجم إلزاحة و األبعاد ثنائية عدديةعدد نستخدم األساسي العنصر النقطة وتمثل ،الهندسية التحوالت من ا

األبعاد. ثنائي نموذج أي في وتدعم األبعاد، ثنائي التمثيل في المصفوفة استخدام يمكن

عدد المصفوفة في معه التعامل وكيفية الشكل كتحديد الميزات من ا يمكنو لفضأ تمثيال الخطوط تمثيل يمكن كما ،بالحاسوب التخطيط بطرق فيتم المضلعات تمثيل أما ،لتمثيلها المعادالت من عدد استخدام ،الرؤوس قائمة ترتيب يتم حيث المراجع قائمة طريقة أشهرها مختلفة الموجودة الصورة عناصر كل لتظليل المسح تحويل استخدام ويمكنمقفول. مضلع داخل

موحدة طريقة ييعط المتجانس اإلحداثيات نظام استخدام إن بهيئة تمثيلها يمكن ديكارتية نقطة فأي ؛الهندسية التحويالت لوصف ثنائية التحويالت . تشمل(hx,hy,hz,h) إحداثيات أربع باستخدام زائدة نقطة من الكائن تشكل التي للنقاط الجديدة اإلحداثيات حساب األبعاد التحويل طريقة حسب ،التحويل موقع إلى اإلحداثيات محاور تقاطع

... غيرها أو اإلزاحة أو الحجم ضبط من المتبعة

التالية الوحدة عن ةمسبق لمحة الثنائي القص عمليات تتعلم سوف التالية الرابعة الوحدة في

التي سذرالند كوهين- خوارزميةو الخط قصو ،النقطة قصو األبعاد، األبعاد. الثنائية المناظر مشاهدة من تمكنك

82

التدريبات إجابات)1تدريب(

.y=xشتق مصفوفة لالنعكاس على الخط أ

83

84

85

المصطلحات مسرد الخطAAوط مسح شAAبكة على الخط رسم هو: للخط األمثل الرسم

raster grid. المسAAتخدمة الطAAرق هيالمس��تقيم: الخط رسم خوارزمي��ات

المستقيم. الخط لرسم أي فيه تمثل أن يمكن األبعاد ثالثي فضاء هو:المتجانس الفضاء

محاور تقاطع نقطة عدا ما اإلشعاع على نقطة بأي األبعاد ثنائية نقطة.(h=0) اإلحداثيات

86

المراجع

1. Sam Buss. 3D Computer Graphics: A mathematical approach with OpenGL, Cambridge University Press, 2003.

2. E. Angel, Interactive Computer Graphics – A top down approach with OpenGL, , 2nd edition, Addison Wesley, 2000

3. Donald Hearn and M. Pauline Baker Computer Graphics (C Version),, Prentice Hall, 1997.

4. J. D. Foley et al, Computer Graphics: Principles and practice., 2nd edition, Addison Wesley, 1996

5. James D. Foley, Andries van Dam, Steven K. Feiner, John F. Hughes, Computer Graphics, Principles and Practice, Second Edition,Addison- Wesley, 1990.

Vera B. Anamd, Computer Graphics and Geometric Modeling for Engineers, John Willey, 1983

87