psi olaru monica

8/15/2019 PSI Olaru Monica

1/12

Universitatea ‘Dunarea de Jos” Galati

Probabilitati si Statistica in Inginerie

TEMA PROIECT

STUDIUL VARIAILELOR ALEATOARE

Student! Pro"esor indru#ator!Olaru Moni$a dr% In&% Vlad Ci'rianGru'a ()((A


2/12

Te#*+ STUDIUL VARIAILELOR ALEATOARE

1. CONSIDERAŢII TEORETICE1.1. Noţiuni generale

Variabila aleatoare este o #*ri#e $are 'oate $*'*ta! ,n ur#a unui e-'eri#ent! ovaloare oare$are ne$unos$ut* uneori% Varia.ila aleatoare se notea/* $u liter* #are A! ! %%%! 0!1! iar valorile sale 'osi.ile se notea/* $u litere #i$i a 2! a(! %%%! an3 %%%! 42! 4(! %%%! 4n% Varia.ilaaleatoare 're/int* dou* $o#'onente+ o $ara$teristi$* e-'ri#at* $antitativ sau $alitativ 5i o

'osi.ilitate de reali/are e-'ri#at* 'rin 'ro.a.ilitate% Varia.ilele aleatoare 'ot "i dis$rete sau$ontinue%

1.2. Variabilele aleatoare iscreteDa$* ,n ur#a unei e-'erien6e varia.ila 0 ia valorile i/olate -2! -(! %%%! -n! a$easta este

discretă 7e-% 8u#*rul 'ieselor de"e$te ,ntr9un e5antion:% 8u#*rul valorior 'osi.ile ;n” alevaria.ilei aleatoare 0 'oate "i "init sau in"init% Pro.a.ilitatea a'ari6iei "ie$*rei valori este+

P7-


3/12

Totalitatea valorilor distin$te 5i 'osi.ile -2! -(! %%%! -n "or#ea/* un siste# $o#'let deeveni#ente in$o#'ati.ile% Pro.a.ilit*6ile de a'ari6ie ale a$estora ,nde'lines$+

∑n

i p2

< 2

7>:

Pro.a.ilitatea eveni#entului 70 ? - :!∀

-∈

7-2! %%%%%! -n: re're/int* funcţia derepartiţie a varia.ilei aleatoare 0+

@7-: < P7 0 ? - :

7:

@un$6ia de re'arti6ie este $ara$teristi$a$ea #ai re're/entativ* a unei varia.ilealeatoare! iar 'entru varia.ila dis$ret*!a$easta se re're/int* su. "or#a uneidia&ra#e dis$ontinue ,n tre'te 7"i&% (:%

Da$* se $unoa5te "un$6ia de 'ro.a.ilitatea unei varia.ile aleatoare dis$rete P7-i:!"un$6ia de re'arti6ie se 'aote e-'ri#a$on"or# rela6iei ur#*toare+

@7-: < P70B-: < P70?- : <

P770


4/12

1.!. Variabile aleatoare continueO varia.il* aleatoare! $are 'oate lua valori ,ntr9un interval 7o in"initate de valori:! nu

'oate "i redat* 'rin ta.loul de re'ati6ie s'e$i"i$ varia.ilei dis$rete%

@un$6ia $e $uanti"i$* 'ro.a.ilitatea $a varia.ila aleatoare 0 s* ia valori ,n intervalul7-B0?- F-:! $u F- "oarte #i$ 7s* ia valoarea a'ro-ia#tiv -:! este "un$6ia densitate dere'arti6ie a 'ro.a.ilit*6ii "7-: sau! 'e s$urt! densitatea de 'ro.a.ilitate 7analo&! "un$6iei de

'ro.a.ilitate $ores'un/*toare varia.ilelor aleatoare dis$rete:%Pro.a.ilitatea $a o varia.il* aleatoare 0 s* ia valori ,n intervalul F- este+

P7-B0?7-F-:: < P770?7-F-::70H-:: < P770?7-F-::70?-:: < P70?7-F-:: P70?-:<


5/12

F 7-:<

∫ ∞−

x

dx x f :7

7:

5i este re're/entat* de aria a5urat* $u'rins* ,ntre $ur.a denitate de 'ro.a.ilitate 5i a-aa.s$iselor 7"i&% >:! iar aria total* deli#itat* de $ur.a "7-: are valoarea 2 7"i&% =%a:%

n "i&% se 're/int* "un$6ia de re'arti6ie @7-: a varia.ilei aleatoare 0! $e ia valori ,nintervalul Q!2! tin/nd asi#'toti$ $*tre valoarea 2%

Pro'riet*6ile "un$6iei de re'arti6ie sunt+

a: @79: < 3

.: @7: <∑+∞∞− dx x f :7

< 23

72:$: @7-2: ? @7-(: 'entru -2?-( 7"un$6ie nedes$res$*toare:%

Apartenenţa unei variabile aleatoare la un interval dat

E-ist* a'li$a6ii ,n $are este ne$esar* deter#inarea 'ro.a.ilit*6ii $a o varia.il*

aleatoare 0 s* ai.* valori $u'rinse ,n intervalul Qa!.:! 0∈

Qa!.:%Se $onsider* eveni#entele+

X < b, X < a, a ≤ X < b

722:,n $are e-ist* rela6iile+

7 X < a)∪

(a ≤ X < b) = (X < b)

(X < a) ∩ (a ≤ X < b) =

φ

72(:

Con"or# rela6iilor 72(: ave#+


6/12

P70 B .: < P70 B a: P7a ≤ X < b:P7a ≤ X < b: < P70 B .: 9 P70 B a: < @7.: @7a:

P7a ≤ X < b: <∫ ∫ ∫ ∞−∞− =− a b

a

b

dx x f dx x f dx x f :7:7:7

72=:Con"o# rela6iei 72=:! 'ro.a.ilitatea $a o

varia.il* aleatoare s* a'ar6in* intervalului Qa! .: este e&al* $u su'ra"a6a a5urat* din "i&% !su'ra"a6* li#itat* de $ur.a "7-:! a-a a.s$iselor 5i dre'tele -


7/12

16 6 36 1 56 3 76 6 96 417 5 37 5 57 4 77 1 97 318 5 38 6 58 6 78 2 98 319 1 39 6 59 5 79 1 99 320 6 40 4 60 1 80 4 100 3

n 9 nu#*rul arun$*rii $u /arul- "a6a /arului

Pe .a/a datelor din ta.elul de #ai sus! se $o#'letea/* ur#*torul ta.el+

"7i:9 nu#*rul arun$*rilor $are au avut $a re/ultat "a6a /arului$u nr% -a7i: 'ro.a.ilitate

2%2% Evaluarea su. "or#* de ta.lou! dia&ra#* $u .are 5i dia&ra#* 'oli&onal* a re'arti6ieivaria.ilei aleatoare 0%0 2 ( = > ' 2 22 ( 2( 2 2

i f(i) a(i)

1 18 0.18

2 11 0.11

3 25 0.25

4 12 0.12

5 15 0.15

6 19 0.19


8/12

X1 X2 X3 X4 X5 X60

5

10

15

20

25

30

18

11

25

12

15

19

Diagrama cu bare

x1 x2 x3 x4 x5 x60

5

10

15

20

25

30

18

11

25

12

15

19

Diagrama poligonala

2%(% Evaluarea 5i re're/entarea "un$6iei de re'arti6ie a varia.ilei aleatoare 0%P72:%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%? -2 ?2P72:P7(:%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%2? -( ?(P72:%P7(:P7=:%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%(? -= ?=P72:P7(:P7=:P7>:%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%=? -> ?>P72:P7(:P7=:P7>:P7:%%%%%%%%%%%%%%%%%>? - ?P72:P7(:P7=:P7>:P7:P7:%%%%%%%%%%? -?


9/12

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Functia e repatitie

Problema 2

Se $onsider*+

E-'eri#entul de #*surare a tensiunii re6elei de ali#entare $u ener&ie ele$tri$*

7((=! /:%

Varia.ila aleatoare $ontinu* 0! $u valori e-'ri#ate de #*ri#ea - W 7(2! (=:V $%a $are se deter#in* ,n ur#a e-'eri#entului%

Se $ere+

(%2 Re're/entarea "un$6iei densitate de 'ro.a.ilitate a varia.ilei aleatoare

0%

(%( Re're/entarea "un$6iei de re'arti6ie a varia.ilei aleatoare 0%

(%= S* se veri"i$e 'ro'riet*6ile "un$6iei densitate de 'ro.a.ilitate 5i "un$6iei

de re'arti6ie a varia.ilei aleatoare 0%(%> S* se evalue/e 'ro.a.ilitatea $a varia.ila aleatoare 0 s* a'ar6in*

intervalului Qa! .:%

Se $ites$ valorile a'aratului de #*sur* la intervale e&ale de ti#' Ft


10/12

212 ( 21( > 21' 221 22&) 212 () 21( >) 21' ) 221 ) 22$ 212 ( 21( > 21' 222 22$ 212 ( 21( > 21' 222 22$2 21! = 21( 21' ) 222 22$

22 21! =2 21) 2 21' )2 222 2 22$2( 21! =( 21) ( 22# )( 222 ( 22(2= 21! == 21) = 22# )= 222 = 22(2> 21& => 21) > 22# )> 222 > 22(2 21& = 21) 22# ) 22! 22(2 21& = 21) 22# ) 22! 22)2) 21& =) 21% ) 22# )) 22! ) 22)2 21& = 21% 22# ) 22! 22)2 21$ = 21% 22# ) 22! 22%( 21$ > 21% 221 22! 2 22'

Nr. clasei * Inter+al e

gru,areValoare

central- " *

/rec+enţa si0,l- /rec+enţa cu0ulat-

Absolut-

*

Relati+-

a * *3n∑

=

j

i

i f 2

2 (2 (2( (22 % % ( (2= (2 (2> 2 %2 %(> (>= (2 (2 (2) 2 %2 %>= >=> (2 ((2 (( (> %(> %) ) ((( ((> ((= 2 %2 % (( (() (( 2( %2( % ) (( (= (( ( %( 2 2

(%2% Re're/entarea "un$6iei densitate de 'ro.a.ilitate a varia.ilei aleatoare 0

211 214 217 220 223 226 229

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

∑=

j

i

ia2


11/12

(%(% Re're/entarea "un$6iei de re'arti6ie a varia.ilei aleatoare 0 studiate

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.50.6

0.7

0.8

0.9

1


12/12

psi olaru monica

Documents