punto de fase de extracto2

PUNTO DE FASE DE EXTRACTO (PFE)

1. INTRODUCCION

El punto de fase de extracto, es un cálculo propio del equilibrio liquido-liquido, donde la ecuación

general de este equilibrio es: EC(1) XE E = XR R

Se pueden apreciar dos fase, E = fase extracto, y R = fase de refinado. Se define la fase de extracto como la fase que contiene más componente orgánico, que no significa que sea la fase más pesada; cabe destacar que el coeficiente de distribución K, queda definido según la ecuación de equilibrio y el conocimiento de la fase más ligera. Para El sistema trabajado de (1)n-amil acetato, (2) agua, (3) acido acético del documento define el K así:

EC(2) Ki = iR / iE ,

Y sabiendo que en analogía con el equilibrio liquido-vapor, la Y hace las veces de la composición más ligera, podemos inferir que la fase más ligera es la fase de extracto.

Entonces podemos decir que teóricamente necesitamos que nos especifiquen que fase es más densa. Para definir el K o que nos den la definición de K, como en este caso.

El punto de fase extracto se asemeja al punto de burbuja en el equilibrio liquido-vapor. En el sentido que según la regla de las fases de Gibbs para el punto de burbuja, nos especifican P, Xm para hallar T y Ym, de igual manera en el PFE nos especifican la P, XRm para determinar la T a la

cual se logra el equilibrio L-L y las composiciones XEm.

Se determinaron los coeficientes de actividad por medio del método de NRTL. Y el sistema de ecuaciones 4*4 se resolvió por medio del método del newton Raphson multivariado.

2. PRESENTACION DEL PROBLEMA.

Establecer el equilibrio liquido/liquido calculando el PFE de una mezcla ternaria que se compone de n-amil acetato(1)-agua(2)-acido acético(3).

3. ESTRATEGIA DE SOLUCION

3.1 Primero se cuenta con las variables especificadas.

P = 1.013 bar X1 R = 0.05 X2 R = 0.67 X3 R = 0.2

3.2 El sistema de ecuaciones y variables que se establece es de cuatro por cuatro,

Ecuaciones variables

X1E-K1X1R X1E

F = X2E-K2X2R X1E

X3E-K3X3R X1E

1-∑i Xi E T

La matriz F es la matriz funcion que está compuesta por tres ecuaciones de equilibrio, una para cada componente y la sumatoria de las composiciones de la fase de extracto, cada ecuación igualada a cero como funcion objetivo, así cuando la norma euclidiana de la matriz F, sea menor a 1*10-6 se habrá llegado al resultado. Para empezar a buscar la solución, como es un método iterativo, se necesitan unos estimados de las variables, estos no pueden ser aleatorios ya que cabe la posibilidad de la no convergencia del sistema.

3.3 Se estima las variables.

Se pueden tomar los estimados XEm , y el T inicial del grafico L-L “simplex concentracional ternario” y su respectiva curva binodal que se genera repitiendo el procedimiento del flash isotérmico a diferentes alimentaciónes (Z) generando los puntos de graficacion. En donde esta curva muestra la solubilidad relativa entre los componentes de la mezcla. Sin embargo el documento ya nos da los estimados que son:

X1E =0.23 X2E =0.44 X3E =0.33 T= 330K

3.4 Búsqueda de parámetros de interacción.

Los i E dependen de la T, XiE, y parámetros de interacción molecular, de igual manera i R depende de T, XiR, y parámetros de interacción molecular; sin embargo los coeficientes

de actividad de los componentes de la fase de refinado i R solo van a variar respecto a la temperatura, ya que son constantes los parámetros de interacción y las XR. Cumpliendo

con los primeros parámetros T y XiE estimados para calcular los primeros supuestos gammas, Los parámetros necesarios para el cálculo de los coeficientes de actividad por medio de NRTL, se tabulan a continuación.

Tabla 1. Parámetros binarios para el modelo NRTL; sistema n-amil acetato (1)-agua (2)- acido acético (3).

Fuente: Sheng-Feng Chian y otros.

3.5 Búsqueda de la ecuación multicomponente de NRTL

EC(3)

Fuente: the properties of gases and liquids 5ta Ed. “Bruce E. Poiling”

3.6 Establecer de forma explícita la ecuación (3) de NRTL para cada uno de los componentes.

Sabiendo que Gii = 1; Gjj=1; τii = 0; y τjj = 0 que se comprueba con las EC(4) y EC(5).

Para el n-amil acetato(1):

EC(3.1) LN (γ1) = τ 21G 21 X 2+τ 31G 31 X 3X 1+G 21X 2+G 31 X3 +

X 1X 1+G21 X 2+G 31 X3*-[

X 2 τ21G 21+X 3 τ 31G 31X 1+G 21X 2+G 31 X3 ]+

X2G 12G12 X 1+X 2+G 32X 3*[τ 12- X 1 τ12G12+X 3 τ32G 32G12 X 1+X 2+G 32 X3

]+X3G 13

G13 X 1+G 23 X 2+X 3*[τ 13- X 1 τ13G 13+X 2 τ 23G23G 13 X1+G 23 X 2+X 3 ] Para el agua (2):

Parámetros Binarios (i,j)

aij (K) aji (K) ∞ij=ji

1,2 254,47 2221,5 0,21,3 214,55 -37,943 0,22,3 424,018 -110,57 0,2987

EC(3.2) LN (γ2) = τ 12G 12 X1+τ 32G 32 X3G12 X 1+X 2+G 32 X3 +

X1G 21X 1+G21 X 2+G 31 X3*[

τ 21− X 2 τ 21G 21+X 3 τ 31G31X1+G 21 X 2+G31 X 3 ]+

X 2G12 X 1+X 2+G 32X 3*[-

X 1 τ12G12+X 3 τ32G 32G12 X 1+X 2+G 32 X3 ]+

X3G 23G13 X 1+G 23 X 2+X 3*[τ 23- X 1 τ13G 13+X 2 τ 23G23G 13 X1+G 23 X 2+X 3

]

Para el acid acetic (3) :

EC(3.3) LN (γ3) = τ 13G 13 X 1+τ 23G 23 X2G 13 X1+G 23 X 2+X 3 +

X1G 31X 1+G21 X 2+G 31 X3*[

τ 31− X 2 τ 21G 21+X 3 τ 31G31X1+G 21 X 2+G31 X 3 ]+

X2G 32G12 X 1+X 2+G 32X 3*[τ 32-

X 1 τ12G12+X 3 τ32G 32G12 X 1+X 2+G 32 X3 ]+

X 3G13 X 1+G 23 X 2+X 3*[ - X 1 τ13G 13+X 2 τ 23G23G 13 X1+G 23 X 2+X 3 ]

Los únicos factores que definen si Ln[ i] se calcula para la fase de refinado o de extracto, son las composiciones, así Para el cálculo de Ln[ i R ] se calcula con las XiR y Ln[ i E ] con las XiE.

Del documento:

EC (4) τ ji= (gij−gii)RT

; EC (5) Gji = exp[-∞ji*τji]

Se han de calcular las variables faltantes de la EC(3) que son Gij, Gji, τij , τji. Sabiendo que∆ gijR

=

aij y ∆ gjiR

= aji; donde ∆gij = gij-gjj ; ∆gji = gji-gii.

Siendo;

EC(6) τ ij= a ij(k)T (k )

; EC(7) τ ji= a ji (k )T (k )

Con las ecuaciones propuestas hasta el momento se pueden calcular los respectivos coeficientes de actividad y de distribución, el siguiente paso es empezar a iterar.

3.7 Newton Raphson multivariado.

3.7.1 Definiciones del newton. Matriz funcion Matriz variables estimadas

X1E-K1X1R =0 X1E

F = X2E-K2X2R =0 X = X1E

X3E-K3X3R = 0 X1E

1-∑i Xi E = 0 T

EC(8) ∂ F∂ X

∆X = -F

De la EC(8) se despeja el paso ∆X para acercarse a la solución. Y ∂ F∂ X

es la matriz jacobiana.

Que se define a continuación. Siendo:

(A) F1 = X1E-K1X1R , F2 = X2E-K2X2R , F3 = X3E-K3X3R , F4 = 1-∑i Xi E

X1 = X1E , X2= X2E, X3= X3E , X4= T

∂ F1∂ X 1

∂ F1∂ X 2

∂ F1∂ X 3

∂F 1∂ X 4

(A.1) ∂ F∂ X

= ∂ F2∂ X 1

∂ F2∂ X 2

∂ F2∂ X 3

∂F 2∂ X 4

∂ F3∂ X 1

∂ F3∂ X 2

∂ F3∂ X 3

∂F 3∂ X 4

∂F 4∂ X 1

∂F 4∂ X 2

∂F 4∂ X 3

∂ F 4∂ X 4

Todas estas derivadas parciales se hacen numéricamente, después de armar esta matriz, se le saca la inversa para multiplicar por el negativo de la matriz funcion, y obtener el paso ∆X según la EC (9), que luego sumaria a los X estimados u obtenidos hasta el momento según la EC(10) , la iteración se repetiría hasta que la norma de la matriz funcion sea menor de 1*10E-6 de lo contrario no se considera que se llega a la solución.

EC(9) ∆X = ∂ F∂ X

−1

*-F igual

Donde cumple con la regla matricial de la multiplicación siendo ∂ F∂ X

−1

[=] 4*4 y –F[=] 4*1

EC(10) X k+1 = Xk + λ ∆X

Donde λ=1 o λ= 0.5, este parámetro es requerido para procesos de optimización, para una convergencia más efectiva. Sin embargo aquí tomaremos λ=1.

4. MUESTRA DE CALCULOS.

Mostraremos el procedimiento paso a paso de la primera iteración; teniendo los estimados y

quedando la matriz Xk así,

0.23

Xk = 0.44

0.33

330

Para calcular la matriz funcion se hace necesario calcular los coeficientes de actividad y posteriormente los de distribución para cada uno de los componentes según las EC(3.1), EC(3.2), EC(3.3) y posteriormente EC(2).

4.1 Hacer un cuadro con los parámetros a T=330 K.

parametros binarios

(I,j) aij(k) aji(k) ∞ij=ji Tij Tji Gij Gji1,2 254,47 2221,5 0,2 0,7711212 6,7318181 0,85707980 0,26018466

1 8 6 91,3 214,55 -37,943 0,2 0,6501515

2-

0,11497879

0,878068822

1,023262198

2,3 424,018 -110,57 0,2987 1,28490303

-0,3350606

1

0,681267303

1,105262212

Según las EC(5), EC(6) y EC(7):

τ 12= a12T (k )

= 254.47k330k

= 0.77112121

τ 21= a21T (k )

= 2221.5 k330k

= 6.73181818

τ 13= a13T (k )

= 214.55 k330k

= 0.65015152

τ 31= a31T (k )

= −37.943k330k

= -

0.11497879

τ 23= a23T (k )

= 424.018k330k

= 1.28490303

τ 32= a32T (k )

= −110.57k330 k

= -

0.33506061

G12 = exp[-∞12*τ 12] = exp[ -0.2*0.77112121] = 0,857079806

G21 = exp[-∞21*τ 21] = exp[ -0.2*6.73181818] = 0,260184669

G13 = exp[-∞13*τ 13] = exp[ -0.2*0.65015152] = 0,878068822

G31 = exp[-∞31*τ 31] = exp[ -0.2*−0.1149788] = 1,023262198

G23 = exp[-∞23*τ 23] = exp[ -0,2987*1.284903] = 0,681267303

G32 = exp[-∞32*τ 32] = exp[ -0,2987*

−0.33506061] = 1,105262212

4.2 Cálculo de los coeficientes de actividad y distribución con los estimados.

TABLA 1.

NUMERO componentes

Ln[ i R ] Ln[ i E ] i R i E Ki

1 n-amil acetato

2,442690884 1,000344221 11,50395494

2,719217679

4,230611998

2 agua 0,212189239 0,692586315 1,236381834

1,998878584

0,618537736

3 acido acético 0,077569199 -0,212304552

1,08065701 0,808718363

1,336258776

Según las EC(3.1), EC(3.2), EC(3.3). Por ejemplo para el componente 1.

Para el n-amil acetato(1):

Ln[ 1 E ] = 6.73181818∗0,260184669∗0.44−0.11497879∗1,023262198∗0.33

0.23+0,260184669∗0.44+1,023262198∗0.33 +

0.230.23+0,260184669∗0.44+1,023262198∗0.33 *-[0.44∗6.73181818∗0,260184669+0.33∗−0.11497879∗1,023262198

0.23+0,260184669∗0.44+1,023262198∗0.33 ]+

0.44∗0,8570798060,857079806∗0.23+0.44+1,105262212∗0.33

*

[0.7711212-0.23∗0.77112121∗0,857079806+0.33∗−0.33506061∗1,105262212

0,857079806∗0.23+0.44+1,105262212∗0.33 ]+

0.33∗0,8780688220,878068822∗0.23+0,681267303∗0.44+0.33

*

[0.6501515- 0.23∗0.65015152∗0,878068822+0.44∗1.28490303∗0,6812673030,878068822∗0.23+0,681267303∗0.44+0.33 ] = 1,000344221

Ln[ 1 R ] = 6.73181818∗0,260184669∗0.67−0.11497879∗1,023262198∗0.28

0.05+0,260184669∗0.67+1,023262198∗0.28 +

0.050.23+0,260184669∗0.67+1,023262198∗0.28*-[0.67∗6.73181818∗0,260184669+0.28∗−0.11497879∗1,023262198

0.23+0,260184669∗0.67+1,023262198∗0.28 ]+

0.67∗0,8570798060,857079806∗0.05+0.67+1,105262212∗0.28*

[0.7711212-0.05∗0.77112121∗0,857079806+0.28∗−0.33506061∗1,105262212

0,857079806∗0.05+0.67+1,105262212∗0.28 ]+

0.33∗0,8780688220,878068822∗0.05+0,681267303∗0.67+0.28*

[0.6501515- 0.05∗0.65015152∗0,878068822+0.67∗1.28490303∗0,6812673030,878068822∗0.05+0,681267303∗0.67+0.28 ] = 2,442690884

1 E = exp(1,000344221) = 2,719217679 ; 1 R = exp(2,442690884) = 11,50395494

K1 = 1 R/ 1 R = 11,503954942,719217679 = 4,230611998

Así se hicieron con los demás componentes, tanto para refinados como para extracto. Generando la tabla 1.

4.3 Calculo de la matriz objetivo y su norma inicial.

Las Fi Del conjunto de ecuación (A), y las XiE de los estimados del punto 3.3. y las Ki de la tabla 1.

F1 = X1E-K1X1R = 0.23-(4.230611998*0.05) = 0,0184694

F2 = X2E-K2X2R = 0.44-( 0,618537736*0.67) = 0,025579717

F3 = X3E-K3X3R = 0.33-( 1,336258776*0.28) = -0,044152457

F4 = 1-∑i Xi E = 1- X1E – X2E- X3E = 1-0.23-0.44-0.33 = 0

Quedando la matriz funcion,

0,0184694

F = 0,025579717

-0,044152457

0

Determinándole la norma euclidiana que es la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados,

Norma = √ (0,01846942 )+(0,0255797172 )+(−0,0441524572 )+(02)= 0,05426675

Este es el criterio de decisión en el cual; 0,05426675 < 1E-6, lo que conlleva a repetir todo el procedimiento, que se explicara a continuación.

4.4 Armar la matriz del Jacobiano.

Como todas estas son derivadas parciales, mientras se deriva con respecto a una variable, todas las demás permanecen constantes.

∂ F1∂ X 1

∂ F1∂ X 2

∂ F1∂ X 3

∂F 1∂ X 4

De (A.1) ∂ F∂ X

= ∂ F2∂ X 1

∂ F2∂ X 2

∂ F2∂ X 3

∂F 2∂ X 4

∂ F3∂ X 1

∂ F3∂ X 2

∂ F3∂ X 3

∂F 3∂ X 4

∂F 4∂ X 1

∂F 4∂ X 2

∂F 4∂ X 3

∂ F 4∂ X 4

La derivación numérica, se hace empleando las diferencias centrales así:

F’(X) = dFdX

≈F (X+∆ X®) – F (X−∆ X®)2∗∆ X®

Siendo ∆X® = 1E-4 para la composición y ∆X® = 0.1 para la temperatura.

∂ F1∂ X 1

=∂[X 1E−K 1 X1 R]

∂ X 1 E ≈

[(X1 E – K 1 X 1R)⎥ X1E+∆ X® ]−[(X1 E – K 1 X 1R)⎥X 1E−∆ X®]2∗∆ X®

Así la variación de las composiciones de extracto son las siguientes y se utilizan en la

determinación de todas las K a XiE+∆X® y XiE-∆X®, y cuando sea necesario según la variable aparezca en la ecuación a derivar, como este caso en la funcion 1 derivada respecto a X1E.

i XiE+∆X® XiE-∆X®1 0,2301 0,22992 0,4401 0,43993 0,3301 0,3299

K1⎥ X1E+∆X® =1R⎥ X 1E+∆ X®1E⎥ X 1E+∆ X® ; K1⎥ X1E-∆X® =

1R⎥ X 1E−∆ X®1E⎥ X 1E−∆ X®

De ese modo se copiaría la formula de Ln [ 1 E ] y Ln [ 1 R] calculada en el punto 4.2 y se le

sumaria 1E-4 a las composición X1E, para evaluarla a X1E+∆X®y se le restaría 1E-4 , para

evaluarla a X1E-∆X®. Dando como resultado:

X1E+∆X®ln( 1 R) ln( 1 E) 1 R 1 E K12,4426908

81,0000858

911,5039549

42,7185153

14,2317050

4 X1E-∆X®

ln( 1 R) ln( 1 E) 1 R 1 E K12,4426908

81,0006026

611,5039549

42,7199205

14,2295188

Quedando;

∂ F1∂ X 1

≈ ¿¿ = 0,453441103

∂ F1∂ X 2

=∂[X 1E−K 1 X1 R]

∂ X 2 E ≈

[(X1 E – K 1 X 1R)⎥ X2E+∆ X® ]−[(X1 E – K 1 X 1R)⎥ X2E−∆ X®]2∗∆ X®


1R⎥ X 2E−∆ X®1E⎥ X 2E−∆ X®


sumaria 1E-4 a las composición X2E, para evaluarla a X2E+∆X®y se le restaría 1E-4 , para


X2E+∆X®

ln( 1 R) ln( 1 E) 1 R 1 E K1 1,0005179

911,5039549

42,7196902

34,2298769

2 X2E-∆X®

ln( 1 R) ln( 1 E) 1 R 1 E K1 1,0001704

511,5039549

42,7187451

94,2313472

3

Quedando;

∂ F1∂ X 2

≈ ¿¿ = 0,367577854

∂ F1∂ X 3

=∂[X 1E−K 1 X1 R]

∂ X 3 E ≈

[(X1 E – K 1 X 1R)⎥ X3E+∆ X® ]−[(X1 E – K 1 X 1R)⎥X 3E−∆ X®]2∗∆ X®


1R⎥ X 3E−∆ X®1E⎥ X 3E−∆ X®


sumaria 1E-4 a las composición X3E, para evaluarla a X3E+∆X®y se le restaría 1E-4, para


X3E+∆X®

ln( 1 R) ln( 1 E) 1 R 1 E K1 1,0002926

111,5039549

42,7190773

54,2308303

3 X3E+∆X®

ln( 1 R) ln( 1 E) 1 R 1 E K1 1,0003958

311,5039549

42,7193580

24,2303936

6

Quedando;

∂ F1∂ X 3

≈ ¿¿ = -0,10916881

∂F 1∂ X 4

=∂[X 1E−K 1 X1 R]

∂T ≈

[(X1 E – K 1 X 1R)⎥T +∆T ]−[(X 1 E – K 1 X1 R)⎥T−∆T ]2∗∆T

Aquí como la variable X4 = T, se hace necesario calcular de nuevo los parámetros de interacción a T+∆T y T-∆T , para determinar las respectivas K.

K1⎥ T+∆T =1R⎥T+∆T1E⎥T+∆T ; K1⎥ T-∆T =

1R⎥T−∆T1E⎥T−∆T

Según las ecuaciones EC(5), EC(6), EC(7). A T+ ∆T =300.1k y a T- ∆T =299.9 k

parámetros binarios

"T+∆T"

(I,j) aij aji ∞ij=ji Tij Tji Gij Gji1,2 254,47 2221,5 0,2 0,7708876

16,7297788

50,8571198

50,2602908

11,3 214,55 -37,943 0,2 0,6499545

6-0,114944 0,8781034

11,0232550

72,3 424,018 -110,57 0,2987 1,2845137

8-0,3349591 0,6813465

21,1052287

parametros binarios

“T-∆T"

(I,j) aij aji ∞ij=ji Tij Tji Gij Gji1,2 254,47 2221,5 0,2 0,7713549

66,7338587

50,8570397

40,2600785

11,3 214,55 -37,943 0,2 0,6503485

9-

0,11501360,8780342

11,0232693

32,3 424,018 -110,57 0,2987 1,2852925

1-

0,33516220,6811880

51,1052957

4

Calculando los coeficientes de actividad con estos nuevos parámetros.

“T+∆T" NUMERO componentes Ln[ i R ] Ln[ i E ] i R i E Ki

1 n-amil acetato 2,442567463 1,00032368 11,5025352 2,71916181 4,230176792 agua 0,212139145 0,69252243 1,2363199 1,99875088 0,618546273 acido acetico 0,077558329 -0,2123164 1,08064526 0,80870881 1,33626004

“T-∆T" NUMERO componentes Ln[ i R ] Ln[ i E ] i R i E Ki

1 n-amil acetato 2,442814104 1,0003647 11,5053725 2,71927337 4,231046672 agua 0,212239347 0,69265017 1,23644379 1,99900622 0,618529243 acido acetico 0,077580082 -0,2122927 1,08066877 0,80872795 1,33625747

∂F 1∂ X 4 =

[(0.23– 4,23017679∗0.05)]−[(0.23 – 4,23104667∗0.05)]2∗0.1

= 0,000217468

Logrando la primera fila de la matriz; la segunda y tercera fila se hacen de forma similar, mientras la cuarta fila sus derivadas que son analíticas se escribirán en seguida.

∂F 4∂ X 1

=∂[1−X 1 E−X2 E−X 3 E]

∂ X 1E =

-1

∂F 4∂ X 2

=∂[1−X 1 E−X2 E−X 3 E]

∂ X 2E =

-1

∂F 4∂ X 3

=∂[1−X 1 E−X2 E−X 3 E]

∂ X 3 E =

-1

∂ F 4∂ X 4

=∂[1−X 1 E−X2 E−X 3 E]

∂T =

0

La primera matriz jacobiana encontrada es la siguiente:

0,453441103 0,367577854 -0,109168810,00021746

8∂F/∂X = 0,720140359 0,707416376 -0,11180449 -5,706E-05

-0,193096332 -0,1009408281,26917006

8 -3,5933E-06-1 -1 -1 0

4.5 Resolver las ecuaciones EC(9) y EC(10).

Obteniendo la inversa de la matriz jacobiana:

∂ F∂ X

−1

=¿

Recordando la ecuación:

EC(9) ∆X = ∂ F∂ X

−1

* -F

Y utilizándola,

Operando.

-9,905022663 -36,17112282 -25,0741202 -26,6979091

10,55265464 38,5804381226,0101887

727,5458658

8-0,647631972 -2,409315304 -0,93606858 -1,84795673

7089,421319 8999,6627927847,95565

9 8180,24397

0,001102879∆X= -0,033364128

0,032261249-14,63965608

De la EC(10) X k+1 = Xk + λ ∆X . Hallamos los nuevos X= [XiE , T]t. siendo λ=1 tendríamos:

X k+1 =

Aquí finaliza la primera iteración, luego hay que calcular de nuevo el error con la matriz funcion, para juzgar el resultado según el criterio de decisión mencionado anteriormente.

4.6 Se determina nuevamente la matriz funcion.

Lo que conduce a calcular de nuevo los coeficientes de actividad y distribución con la nueva temperatura y con las nuevas composiciones de extracto.

De igual manera que en el punto 4.4, Según las ecuaciones EC(5), EC(6), EC(7). A T = 315,3603439K

Tij Tji Gij Gji0,8069182 7,0443226

10,8509655

40,2444206

60,6803328

5-

0,12031630,8727845

31,0243551

21,3445507

9-

0,35061480,6692368 1,1104092

5De la EC(3.1), EC(3.2) y EC(3.3) se calculan Ln[ i R ] y Ln[ i E ], con estos nuevos parámetros y con

las composiciones de extracto nuevas. (Las composiciones de refinado son constantes).

Obteniendo;

TABLA 2. NUMERO

componentes Ln[ i R ] Ln[ i E ] i R i E Ki

1 n-amil acetato

2,4584225 0,9278953 11,686362 2,5291805 4,62061208

2 agua 0,2196734 0,7177772 1,2456698 2,0498718 0,607681843 acido acético 0,0793214 -0,180153 1,0825522 0,8351428 1,29624801

Repitiendo el procedimiento del punto 4.3. Las Fi Del conjunto de ecuación (A), y las XiE calculados en la primera iteración. y las Ki de la TABLA2.

=0,2311028790,4066358720,362261249315,3603439

F1 = X1E-K1X1R = 0,231102879-(4,62061208*0.05) = 7,22755E-05

F2 = X2E-K2X2R = 0,406635872-(0,60768184*0.67) = -0,00051096

F3 = X3E-K3X3R = 0,362261249-(1,29624801*0.28) = -0,00068819

F4 = 1-∑i Xi E = 1- X1E – X2E- X3E = 1-0,231102879-0,406635872-0,362261249= 0

Quedando la matriz funcion,

7,22755E-05

FK+1 = -0,00051096

-0,00068819

0

Determinándole la norma euclidiana que es la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados,

Norma = √ (7,22755E-052 )+(−0,000510962 )+(−0,000688192)+(02)= 0,000860183

Criterio de decisión:Como 0,000860183 > 1E-6, lo que conlleva a repetir todo el procedimiento. Después de repetir el procedimiento aproximadamente 5 veces, se llega al criterio de convergencia acordado.

Teniendo como resultado:

X k+5 =

Norma = √ (−9,87266E-142 )+(−2,7498E-122 )+ (−2,7498E-12 )+(02)= 4,4103E-12

5. PRESENTACIÓN DE RESULTADOS.

TABLA 3.

Numero de iteración

X1E X2E X3E T(K) NORMA

0 0,23 0,44 0,33 330 0,05426675

1 0,23110288

0,40663587

0,36226125

315,360344

0,00086018

FK+1 =

-9,87266E-14

-2,7498E-12

3,44663E-12

0

0,20410420,435080470,36081533323,530054

2 0,21078748

0,42705806

0,36215446

323,627669

0,00110765

3 0,20448861

0,43458953

0,36092186

323,57226 0,00010285

4 0,20410549

0,43507879

0,36081572

323,530315

3,9313E-07

5 0,2041042 0,43508047

0,36081533

323,530054

4,4103E-12

6. ANALISIS DE RESULTADOS.

El aumento del error en la segunda iteración, revela que es posible que esto pase, para eso existen métodos de optimización, para hacer más efectivo el procedimiento iterativo, sin embargo esta situación se supero en la tercera iteración revelando que íbamos por buen camino, es decir no había ningún error involucrado en los cálculos, para obtener una rápida convergencia con tan solo 5 iteraciones.

El ejercicio se desarrollo en Excel, en donde se utiliza una hoja para cada iteración, de esta manera se puede copiar toda la hoja de una iteración y pegar en una nueva, para luego cambiar los estimados iníciales, calculándose los nuevos valores. Esta forma de hacer el ejercicio crea la ventaja de ver que valores hay en cada iteración. Comparando con otros grupos de trabajo, se noto que programar con MACROS del Excel arroja un pequeño error en el resultado final, sin embargo su utilización se hace útil, llegando más rápido a la respuesta, pero sin dejar rastro del procedimiento.

7. CONCLUSIONES.

Se logra el equilibrio entre la fase de refinado y la fase de extracto, a T, P y composiciones constantes. Que son las siguientes.

P = 1.013 bar X1 R = 0.05 X2 R = 0.67 X3 R = 0.2

T = 323.530054 k X1 E = 0.2041042 X2 E = 0.43508047 X3 E = 0.36081533

Lo que revela que teóricamente, por ejemplo el componente 1, que la cantidad de componente 1 pasa a la misma velocidad desde la fase de extracto hacia la de refinado como la de refinado hacia la de extracto.

Se ve que el sistema es mono variante, si cambia una de las variables, el resultado del equilibrio es diferente. De hecho esto es natural de todo equilibrio.

En la industria, se trabajan con torres de destilación, las cuales pueden tener 700 ecuaciones de equilibrio, lo que implica que el cálculo de la matriz jacobiana, se vuelve mucho más tediosa, luego se reconoce la importancia de la programación en la profesión. Sin embargo se aprendió a trabajar el método del Newton Raphson, en este caso para un sistema 4*4; que es un buen aliado para la resolución de muchos problemas posteriores, particularmente en las materias de masa I y masa II. Y un buen punto de partida para aprender a programarlo.

8. BIBLIOGRAFIA

DOCUMENTO Y MATERIAL DE CLASE, Tesis Cap. 2 Temáticas del equilibrio liquido-liquido. APUNTES TOMADOS EN CLASE, Cesar Sánchez

punto de fase de extracto2

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