puntos jos de mapeos no expansivos en sumas directas de espacios de banach

Puntos fijos de mapeos no expansivos en sumasdirectas de espacios de Banach

José Luis Hernández Barradas

2013

Contents

Prólogo (incompleto) v

1 Preliminares 11.1 Teorema de contracción de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Funciones no expansivas y la propiedad del punto fijo . . . . . . 41.3 Estructura normal y teorema de Kirk . . . . . . . . . . . . . . . . 71.4 Estructura normal débil y propiedad GGLD . . . . . . . . . . . . 11

iii

iv CONTENTS

Prólogo (incompleto)

En este trabajo, nos enfocaremos en la teoría del punto fijo para mapeos noexpansivos. Esta rama de la teoría del punto fijo tuvo sus orígenes en 1965 conlos teoremas de existencia de F. Browder, D. Göhde y W. A. Kirk. Siendo elmás general de ellos el teorema de Kirk, el cual establece que todo espacio deBanach con estructura normal débil tiene la propiedad débil del punto fijo. Másadelante, en el capítulo 2, veremos qué es lo que esto quiere decir y daremosuna demostración a dicho teorema.En el capítulo 1 daremos una breve introducción a la teoría del punto fijo, lo

que es, sus aplicaciones y una breve historia de su desarrollo se podrán encontraren esta sección. Además se presentarán algunos de los teoremas y resultados másimportantes en el área, así como varias nociones que servirán como preliminarespara el capítulo 3.En el capítulo 2 daremos todas aquellas preliminares que no se hallan dado

en el capítulo 1,

v

vi PRÓLOGO (INCOMPLETO)

Chapter 1

Preliminares

A lo largo de este capítulo nos adentraremos a lo que es la teoría del punto fijoen espacios de Banach. Definiremos lo que estudia y mostraremos algunas desus aplicaciones, así como algunos de los teoremas más importantes.

Comenzaremos por fijar la notación. Sea X un conjunto y T : X → Xuna función, llamaremos FixT al conjunto de los puntos fijos de T , es decir alos puntos de X tales que T (x) = x. Si en lugar de una, tenemos toda unafamilia de funciones z definidas de X en X, y para cada f ∈ z, F ixf 6= ∅,diremos queX tiene la propiedad del punto fijo respecto a la familia de funcionesz. Al término "propiedad del punto fijo" lo abreviaremos como PPF. Cuandoestemos trabajando con una familia específica de funciones z, por ejemplo lasno expansivas, simplemente diremos que X tiene la PPF, omitiendo las palabras"respecto a la familia de funciones z”. Seguiremos la notación usual BX parareferirnos a la bola cerrada unitaria en X y B(x, r), V (x, r) denotarán a la bolacerrada y abierta, respectivamente, con centro en x y de radio r. Dado X unespacio vectorial y K ⊂ X, denotaremos por conv(A) a la intersección de todoslos conjuntos convexos en X que contienen a A.

Es bien sabido que varios de los problemas teóricos y prácticos que surgen envarias áreas del conocimiento, pueden ser modelados matemáticamente. Dichomodelo en muchas ocasiones nos lleva a un conjunto de ecuaciones o de sistemasde ecuaciones. Entonces surge la interrogante de cómo resolver estas ecuacioneso sistemas de ecuaciones.

Supongamos que es de nuestro interés el encontrar las soluciones para f(x) =0, donde f : X → X es una función definida en un espacio vectorial X. En-tonces, podemos replantear el problema de encontrar los ceros de la función fa encontrar los puntos fijos de la función g, definifa como g(x) = f(x) + x. Aprimera vista, este replanteamiento del problema no parece facilitar la resolu-ción del mismo. Sin embargo, como se podrá ver en las próximas secciones, este

1

2 CHAPTER 1. PRELIMINARES

sencillo replanteamiento nos abre la puerta a toda una nueva teoría, la teoría delpunto fijo, la cual puede ser de gran utilidad para la resolución del problema.

1.1 Teorema de contracción de Banach

El teorema de contracción de Banach tiene sus orígenes en los trabajos de Eulery Cauchy sobre la existencia y unicidad de una solución a la ecuación diferencial

dy

dx= f(x, y),

y(x0) = y0,

el cual apareció de forma explícita por primera vez en la tesis de Stefan Banachen 1922. Este teorema es uno de los más importantes y conocidos en la teoríadel punto fijo. A continuación se presenta la noción de contracción de la cualharemos uso para enunciar el teorema de contracción de Banach.

Definición 1 Dado (M,d) un espacio métrico y T : M → M , diremos que Tes Lipschitz si existe k ≥ 0 tal que

d(Tx, Ty) ≤ kd(x, y), x, y ∈M.

Al menor K para el cual lo anterior se cumple, le llamaremos la constantede Lipschitz de T y la denotaremos por k(T). A las funciones con constante deLipschitz menor a 1 les llamaremos contracciones.

Lema 2 Sean (M,d) un espacio métrico y T, S : M → M funciones de Lip-schitz. Entonces

k(T S) ≤ k(T )k(S).

Prueba.

d((T S)x, (T S)y) = d(T (Sx), T (Sy))

≤ k(T )d(Sx, Sy)

≤ k(T )k(S)d(x, y),

por lo cual k(T S) ≤ k(T )k(S).

Observación 3 Dados (M,d) un espacio métrico y T : M → M de Lipschitz,del lema (2) se tiene que k(Tn) ≤ (k(T ))n, donde Tn representa la n-ésimaiterada de T.

Teorema 4 (de contracción de Banach) Sea (M,d) un espacio métricocompleto y T : M → M una contracción. Entonces existe un único punto fijoz ∈M de T y además limn→∞ Tnx = z para todo x ∈M.

1.1. TEOREMA DE CONTRACCIÓN DE BANACH 3

Prueba. En esta prueba denotaremos a la constante de Lipschitz de T por ken lugar de k(T). Sea x0 ∈ M . Definamos la sucesión xn como xn = Tnx0,n ≥ 0. Entonces dados n, p ∈ N tenemos que:

d(xn, xn+p) = d(Tnx0, Tn+px0) = d(Tnx0, T

n(T px0)) ≤ k(Tn)d(x0, Tpx0)

≤ kn[d(x0, Tx0) + d(Tx0, T2x0) + ...+ d(T p−1x0, T

px0)]

≤ kn(1 + k + ...+ kp−1)d(x0, Tx0)

≤ kn(

1− kp1− k

)d(x0, Tx0).

Como k < 1, al hacer n tender a infinito, d(xn, xn+p) tiende a 0. Entonces xnes de Cauchy y como M es completo se sigue que xn es convergente, digamosa x. Por lo cual

x = limn→∞

xn = limn→∞

Tnx0 = limn→∞

Tn+1x0 = T ( limn→∞

Tnx0) = Tx.

Además, si x = Tx y y = Ty se tiene que d(x, y) = d(Tx, Ty) ≤ kd(x, y) por loque d(x, y) = 0 y en concecuencia x = y. Por lo tanto x es punto fijo de T y esúnico.

A continuación, como una aplicación del teorema de contracción de Banachse da solución al problema de valor inicial de Cauchy.

Ejemplo 5 Sea f(t, x) una función real definida para t ∈ [0, T ] y x ∈ R. Elproblema de valor inicial de Cauchy es el encontrar una función diferenciable xsobre [0, T ] que satisfaga

x(t) = f(t, x(t)), t ∈ [0, T ],

x(0) = C. (1.1)

El resultado clásico establece que si f es de Lipschitz respecto a x, es decir, siexiste L > 0 tal que para toda x, y ∈ R,

|f(t, x)− f(t, y)| ≤ L |x− y| , t ∈ [0, T ], (1.2)

entonces la solución a (1.1) existe y es única. A continuación probaremos estousando el teorema de contracción de Banach. Supongamos que x(t) cumple lashipótesis del problema de Cauchy (1.1) y que f cumple (1.2).Integrando amboslados de la primera ecuación de (1.1) y usando que x(0) = C, obtenemos que

x(t) = C +∫ t0f(s, x(s))ds. (1.3)

Recíprocamente, si x(t) satisface (**) y f satisface (*), por el teorema funda-mental del cálculo la función x(t) es solución al problema de Cauchy (1.1).En consecuencia el problema (1.1) es equivalente a resolver la ecuación (**)cuando f satisface (*).Luego, definiremos a F : C[0, T ]→ C[0, T ] como Fx(t) =

C +∫ t0f(s, x(s))ds, donde C[0, T ] es el espacio de las funciones continuas con


dominio [0, T ] con la norma del supremo ||F || = sup0≤t≤1|f(t)|. Es conocidoque C[0, T ] es un espacio de Banach y por lo tanto un espacio métrico completo.Ahora, notemos que una función x cumple con las condiciones de (1.1) si y solosi ∫ t

0f(s, x(s))ds = x(t)− x(0) = x(t)− C, t ∈ [0, T ].

y esto si y solo six(t) =

∫ t0f(s, x(s))ds+ C.

Por lo tanto se ha transformado en encontrar un punto fijo de la función F,veamos que para todo x, y ∈ C[0, T ] se tiene que

|Fx(t)− Fy(t)| =∣∣∣∫ t0 f(s, x(s))ds−

∫ t0f(s, y(s))ds

∣∣∣≤

∫ t0|f(s, x(s))− f(s, y(s))| ds

≤∫ t0L |x(s)− y(s)| ds

= Lt ‖x− y‖ . (1.4)

Entonces tenemos que |Fx(t)− Fy(t)| ≤ LT ‖x− y‖ para toda t ∈ [0, T ]. Luego‖Fx− Fy‖ ≤ LT ‖x− y‖ . Se sigue que K(F ) cumple que F (F ) ≤ LT. SiLT < 1 entonces por el principio de contracción de Banach se demuestra laexistencia y unicidad de la solución a (1.1). Si LT ≥ 1, entonces al tomarh > 0 tal que Lh < 1 y siguiendo el proceso anterior sustituyendo a T por hllegaremos a una solución local para (1.1), llamémosle x0 ∈ C[0, h]. Ahora deforma análoga resolvemos (1.1) para los intervalos [nh, (n + 1)h] hasta cubrirtodo el intervalo [0, T ]. Con esto encontraremos las soluciones locales xi ∈C[ih, (i+ 1)h]. Finalmente x ∈ C[0, T ] definida como x(t) = xi(t), t ∈ [ih, (i+1)h] será la solución buscada a (1.1)

1.2 Funciones no expansivas y la propiedad delpunto fijo

En la sección pasada presentamos el teorema de contracción de Banach, el cualda condiciones para asegurar, en un espacio métrico dado, la PPF respecto alas contracciones. Surge entonces de forma natural, el cuestionarse si habráresultados que nos aseguren la PPF respecto a familias de funciones más am-plias. Como veremos más adelante, la respuesta es afirmativa para las llamadasfunciones no expansivas que definimos a continuación.

Definición 6 Dado (M,d) un espacio métrico, diremos que T : M → M , esno expansiva si su constante de Lipschitz es menor o igual a 1.

Observación 7 De la definición es claro que toda contracción es un mapeo noexpansivo.

Ejemplo 8 Sea f : R → R la función dada por f(x) = x + 2. Esta función esno expansiva y no tiene puntos fijos.

1.2. FUNCIONES NO EXPANSIVAS Y LA PROPIEDADDEL PUNTO FIJO5

Ejemplo 9 Sean D = [−2,−1] ∪ [1, 2] y f : D → D dada por f(x) = −x.Esta función es no expansiva y no tiene puntos fijos.

Ejemplo 10 Sea f : (0, 1] → (0, 1] dada por f(x) = x/2. Esta función es noexpansiva y no tiene puntos fijos.

Como muestran los 3 ejemplos anteriores, para asegurar la existencia depuntos fijos en funciones no expansivas es necesario que el dominio sea acotado,convexo y cerrado. Es importante observar que dichas condiciones son nece-sarias, mas no suficientes para asegurar que todo mapeo no expansivo tenga unpunto fijo. A continuación se presenta un ejemplo de un mapeo T : Bc0 → Bc0no expansivo y sin puntos fijos, donde Bc0 es subconjunto cerrado, acotado yconvexo de un espacio de Banach.

Ejemplo 11 En c0 el espacio de sucesiones convergentes a 0 definimos T :Bc0 → Bc0 como

T (x1, x2, ...) = (1, x1, x2, ...).

Donde Bc0 es la bola unitaria en c0. Sabemos que la bola unitaria es no vacía,convexa, cerrada y acotada. Además T es no expansiva ya que

||T (x1, x2, ...)− T (y1, y2, ...)|| = ||(1, x1, x2, ...)− (1, y1, y2, ...)||= ||(0, x1 − y1, x2 − y2, ...)||= sup0, |x1 − y1|, |x2 − y2|, ...= sup|x1 − y1|, |x2 − y2|, ...= ||(x1 − y1, x2 − y2, ...)||= ||(x1, x2, ...)− (y1, y2, ...)||.

Sin embargo T (x) = x implica que (1, x1, x2, ...) = (x1, x2, ...) lo cual a su vezimplica que xi = 1 para todo i ∈ N. Sin embargo (1, 1, ...) /∈ c0. Por lo tanto Tno tiene puntos fijos.

De los ejemplos anteriores surge el planteamiento del siguiente problema.

Problema de punto fijo en espacios de Banach: dados un espacio deBanach X y K ⊂ X no vacío, cerrado, acotado y convexo ¿Qué condicionessobre K o sobre X se deben imponer para asegurar que K tenga la PPF?A partir de este momento cada vez que se mencione la PPF nos estaremosrefiriendo a la PPF respecto a la familia de funciones no expansivas.

Definición 12 Un espacio de Banach X, se dice con la PPF (resp. WPPF)si para cada K ⊂ X no vacío, cerrado, acotado y convexo (resp. no vacío,débilmente compacto y convexo) se tiene que K tiene la PPF.

A continuación, presentaremos una propiedad de los mapeos no expan-sivos, la cual posteriormente nos llevará a enunciar un corolario del teoremade Schauder, que dará respuesta a la pregunta anterior.


Teorema 13 Sean X un espacio de Banach y K ⊂ X no vació, cerrado, aco-tado y convexo. Entonces dado T : K → K no expansivo, se cumple que

inf||x− Tx|| : x ∈ K = 0.

Prueba. Sean z ∈ K y ε ∈ (0, 1). Definimos el mapeo Tε : K → K porTε(x) = εz + (1 − ε)Tx. Este mapeo está bien definido gracias a la convexidadde K. Ahora dados x, y ∈ K,

||Tεx− Tεy|| = ||εz + (1− ε)Tx− εz + (1− ε)Ty||= (1− ε)||Tx− Ty|| ≤ (1− ε)||x− y||.

Así, Tε es una contracción y existe xε tal que Tεxε = xε. Entonces

||xε− Tx

ε|| = ||Tεxε − Txε || = ||εz + (1− ε)Txε − Txε ||

= ||εz − εTxε|| = ε||z − Txε|| ≤ εdiamK. (1.5)

Luego, como K es acotado, su diámetro es finito y haciendo tender ε a 0 en (1.5)obtenemos que limε→0 ||xε −Txε || = 0. Por lo tanto inf||x−Tx|| : x ∈ K = 0.

Observación 14 Del teorema anterior se sigue que Fix(T ) 6= ∅ si y solo si lafunción ϕ : K → R dada por ϕ(x) = ||x− Tx|| alcanza su mínimo en K.

A continuación se presentan sin demostración el teorema de Schauder [ref-erencia ***] y posteriormente un corolario que da respuesta a (1.2).

Teorema 15 (Schauder) Toda función continua sobre un subconjunto convexoy compacto de un espacio de Banach posee al menos un punto fijo.

Teorema 16 Sean X un espacio de Banach y K ⊂ X un subconjunto no vació,convexo y compacto. Entonces K tiene la propiedad del punto fijo.

Prueba. Se sigue del teorema (13), nota (14) y del hecho de que al ser ϕcontinua y definida en un compacto alcanza su mínimo.

Con esto, tenemos que la convexidad y compacidad sobre un subconjuntoK 6= φ de un espacio de Banach, son condiciones que nos asegura la PPF.Sin embargo la compacidad en un espacio de Banach en general es una condi-ción demasiado fuerte. Debido a esto en las siguientes secciones se darán otrascondiciones que no involucran la compacidad, como lo es la llamada estructuranormal.

1.3. ESTRUCTURA NORMAL Y TEOREMA DE KIRK 7

1.3 Estructura normal y teorema de Kirk

En esta sección, definiremos el concepto de estructura normal de un espacio deBanach, el cual nos servirá para, posteriormente enunciar otro de los grandesteoremas en la teoría del punto fijo, el teorema de Kirk.Antes de poder definir la estructura normal en un espacio de Banach, ten-

dremos que entender el concepto de radio de chebishev expuesto a continuación.

Sean X un espacio normado y D,H ⊂ X, u ∈ X. Entonces definimos

ru(D) = sup||u− x|| : x ∈ D,rH(D) = infru(D) : u ∈ H,CH(D) = u ∈ H : ru(D) = rH(D)

y

diam(D) = sup‖u− v‖ : u, v ∈ D= supru(D) : u ∈ H.

A ru(D) se le conoce como el radio de D respecto a u y a rH(D) y CH(D)se les conoce como el radio y el centro de chebyshev de D respecto a H respec-tivamente.

Nótese el significado "geométrico" de las definiciones anteriores. El númeroru(D) representa el radio mínimo que puede tener una bola centrada en u tal quecontien a D. El número rH(D) representa el radio mínimo que puede tener unabola que contiene a D con centro en algún punto de H y CH(D) es el conjuntode puntos en H tales que una bola de radio rH(D) basta. A partir de estemomento para simplificar la notación denotaremos a rD(D) simplemente porr(D). Notemos que para cada u ∈ D se cumplen las siguientes desigualdades.

r(D) ≤ ru(D) ≤ diamD.

Definición 17 Dados D ⊂ X y u ∈ D. Diremos que u es un punto diametralde D, si ru(D) = diamD. Si además u es diametral para todo u en D (i.e.r(D) = diamD) diremos que D es un conjunto diametral.

Ejemplo 18 La bola unitaria BRnen Rn es un conjunto no diametral ya quecomo sabemos 1

2 = r(BRn) < diamBRn = 1.

Ejemplo 19 La esfera unitaria S1 es cláramente un conjunto diametral.

El ejemplo anterior señala un conjunto no vacío, cerrado y acotado, mas noconvexo, que es diametral. El siguinte ejemplo señala un conjunto no vacío,cerrado, acotado y también convexo que es diametral.


Ejemplo 20 Sea M ⊂ C[0, 1], donde C[0, 1] es el espacio de funciones contin-uas de [0, 1] a R. Definimos M como:

M = f = f(t) : 0 = f(0) ≤ f(t) ≤ f(1) = 1 ∀t ∈ (0, 1).

Claramente M es acotado, veamos ahora que es cerrado. Sea f ∈ C[0, 1] unpunto de acumulación de M, es decir, para todo ε > 0 existe g ∈ M tal queg 6= f y

‖f − g‖ = sup|f(x)− g(x)| : x ∈ [0, 1] < ε.

Sea δ tal que |δ| > 0. Notemos que si f(0) = δ, entonces para toda h ∈ Mse tendría que ‖f − h‖ ≥ |f(0)− h(0)| ≥ δ con lo cual f no sería punto deacumulación deM. En consecuencia f(0) = 0. Ahora, si f(1) = 1+|δ| , entoncespara toda h ∈ M se tendría que ‖f − h‖ ≥ |f(1)− h(1)| ≥ δ con lo cual f nosería punto de acumulación de M. En consecuencia f(1) = 1. Finalmente, sif(t) = 1 + |δ| ó f(t) = − |δ| para alguna t ∈ (0, 1), entonces para toda h ∈ Mse tendría que ‖f − h‖ ≥ |f(t)− h(t)| ≥ δ con lo cual f no sería punto deacumulación de M. En consecuencia 0 ≤ f(t) ≤ 1 para toda t ∈ (0, 1). Por lotanto, f ∈ M y entonces M es cerrado. Además, dadas f, g ∈ M y λ ∈ [0, 1],se tiene que

(λf + (1− λ)g)(t) = λf(t) + (1− λ)g(t)

≤ λf(1) + (1− λ)g(1)

≤ λ(1) + (1− λ)(1) ≤ 1 ∀t ∈ (0, 1),

(λf + (1− λ)g)(t) = λf(t) + (1− λ)g(t)

≥ λf(0) + (1− λ)g(0)

≥ λ(0) + (1− λ)(0) ≥ 0 ∀t ∈ (0, 1),

(λf + (1− λ)g)(0) = λf(0) + (1− λ)g(0) = 0

y(λf + (1− λ)g)(1) = λf(1) + (1− λ)g(1) = 1.

Entonces λf +(1−λ)g está en M y luego M es convexo. Probaremos ahora queM es diametral. Existen f, g ∈ M tales que f(t) = 0 y g(t) = 1 para algún t ∈(0, 1), con lo que ‖f − g‖ = 1. Por lo tanto diamM = 1. Finalmente probaremosque r(M) = 1. Procediendo por contradicción, supongamos que r(M) < 1. Así,existen f ∈M y ε > 0 tales que rf (M) = 1− ε < 1. Como f es continua, por elteorema del valor intermedio existe t ∈ (0, 1) tal que f(t) = ε

2 . Sea g la funcióndefinida en [0, 1] como g(t) = 1. Así g ∈M y

||f − g|| ≥ 1− ε

2⇒ rf (M) ≥ 1− ε

2,

lo cual es una contradicción. Entonces M es un conjunto no vacío, convexo,acotado, cerrado y diametral.

1.3. ESTRUCTURA NORMAL Y TEOREMA DE KIRK 9

A continuación introduciremos el concepto de estructura normal, el cualjuega un papel fundamental en el teorema de Kirk.

Definición 21 En un espacio de Banach X, un conjunto convexo D ⊂ X tieneestructura normal si cada subconjunto acotado y convexo S ⊂ D con diamS > 0contiene un punto no diametral, es decir si r(S) < diamS.

Los ejemplos 18 y 20 son conjuntos con y sin estructura normal, respectiva-mente.En seguida se presenta la noción de conjunto T-invariante minimal y se

muestran algunos resultados relacionados con dicha noción que serán usados enla prueba del teorema de Kirk.

Definición 22 Sean K un conjunto y T : K → K. Diremos que D ⊂ Kes un conjunto T-invariante si T (D) ⊂ D. Si además de ser T-invariante,D ⊂ K es no vacío, convexo, cerrado y no contiene subconjuntos propios novacíos, convexos y cerrados que sean T-invariantes, entonces diremos que D esun conjunto T-invariante minimal.

Teorema 23 Sea X un espacio de Banach y K ⊂ X no vacío, débilmentecompacto y convexo. Entonces para cualquier mapeo T : K → K existe D ⊂ Ktal que D es T-invariante minimal.

Prueba. Consideremos la familia Ω de todas los subconjuntos de K débilmentecompactos, convexos y no vacíos que son T-invariantes. Sea ≤ el orden en Ωdado por la inclusión, es decir, dados K1,K2 ∈ Ω, K1 ≤ K2 cuando K2 ⊂ K1.Luego como K es débilmente compacto toda cadena (subconjunto totalmenteordenado) en Ω tiene intersección no vacía (Por la caracterización de compacidadmediante la propiedad de la intersección finita). Por lo tanto existe una cotasuperior relativa a ≤ . Entonces usando el lema de Zorn aseguramos la existenciade D ∈ Ω maximal relativo a ≤, y por la definición de ≤ esto es equivalente aque D sea T-invariante minimal.

Lema 24 Si K es un conjunto T-invariante minimal, entonces

K = convT (K).

Prueba. El conjunto convT (K) es cerrado y convexo, a continuación probamosque es T-invariante. Como K es T-invariante minimal, se tiene que convT (K) ⊂K. Entonces T (convT (K)) ⊂ T (K) ⊂ convT (K), por lo que convT (K) es T-invariante. Además K 6= φ, por lo que convT (K) 6= φ y por la minimalidad deK se sigue que K = convT (K).

Lema 25 En un espacio de Banach X, si D ⊂ X es acotado, convexo y cerrado,entonces C(D) es convexo y cerrado. Además, si D es w-compacto, entoncesC(D) 6= φ.


Prueba. Por la definción del centro de D, tenemos que

C(D) =⋂n∈N

Cn(D),

donde

Cn(D) = u ∈ D : ru(D) ≤ r(D) +1

n

= u ∈ D : ‖u− x‖ ≤ r(D) +1

n, x ∈ D

=⋂x∈D

B(x, r(D) +1

n)⋂D.

Entonces C(D) es una interesección de conjuntos cerrados y convexos, por lotanto C(D) es cerrado y convexo. Ahora, proseguiremos a probar que C(D) 6= φsi D es w-compacto. Como D es w-compacto, toda familia de w-cerrados con lapropiedad de la intersección finita tiene intersección no vacía. En particular lafamilia Cn(D), por lo tanto C(D) =

⋂n∈N

Cn(D) 6= φ como queríamos probar.

Finalmente estamos listos para poder enunciar y demostrar el teorema deKirk el cual es la parte central de esta sección.

Teorema 26 (Kirk) Dados X un espacio de Banach y K ⊂ X, si K es novacío, convexo, débilmente compacto y con estructura normal, entonces K tienela propiedad del punto fijo.

Prueba. Sean T : K → K un mapeo no expansivo y D ⊂ K T-invarianteminimal, el cual existe por el teorema (23), por el lema (24) sabemos que

D = convT (D).

Como D es w-compacto, por el lema (25) se tiene que C(D) es no vacío. Seau ∈ C(D), es decir ru(D) = r(D). Para cada v ∈ D, ||Tu − Tv|| ≤ ||u − v|| ≤r(D), se sigue entonces que

T (D) ⊂ B(Tu, r(D))⇒ D = convT (D) ⊂ B(Tu, r(D),

por lo tanto rTu(D) ≤ r(D) y en consecuencia rTu(D) = r(D) y Tu ∈ C(D),por lo cual C(D) es T-invariante. Además, como C(D) es un conjunto no vacío,cerrado y convexo (lema 25), en vista de la T-invarianza minimal de D, tenemosque C(D) = D, lo cual implica que D es diametral. Por otra parte, como Ktiene estructura normal, si D consta de más de un punto entonces D no esdiametral, lo cual es una contradicción. Por lo tanto D consta de un solo puntox, y al ser D un conjunto T-invariente, se sigue que x ∈ Fix(T ).

Corolario 27 Es conocido que dado X un espacio de Banach reflexivo, todosubconjunto de X acotado, convexo y cerrado, es débilmente compacto. Por

1.4. ESTRUCTURA NORMAL DÉBIL Y PROPIEDAD GGLD 11

lo tanto, por el teorema anterior se tiene que dado X un espacio de Banachreflexivo y K ⊂ X no vacío, convexo, cerrado, acotado y con estructura normal,entonces K tiene la PPF.

1.4 Estructura normal débil y propiedad GGLD

Empezaremos la sección dando la definición de la estructura normal débil.

Definición 28 En un espacio de Banach X, un conjunto convexo D ⊂ X tieneestructura normal débil si cada subconjunto débilmente compacto (w-compacto)y convexo S ⊂ D con diamS > 0 contiene un punto no diametral, es decir sir(S) < diamS.

En la sección pasada demostramos el teorema de Kirk, el cual nos asegura,que en un espacio de Banach X, la estructura normal débil implica la WPPF .Debido a esto y a que este trabajo se centra más en laWPPF que en la PPF, noses de gran interés el poder saber qué propiedades implican la estructura normaldébil. En esta sección presentaremos los conceptos de coeficiente de estrucuranormal (N(X)), coeficiente de convergencia débil de sucesiones (WCS(X)) y lapropiedad generalizada de Gossez-Lami Dozo (GGLD). Daremos unas defini-ciones alternativas de estructura normal y estructura normal débil, veremos queson equivalentes a las ya dadas y haciendo uso de ellas analizaremos la relaciónde N(X), WCS(X) y GGLD con la estructua normal débil. Finalmente, alfinalizar la sección estaremos listos para entrar de lleno a la parte central deeste trabajo.A continuación definiremos lo que es el coeficiente de estructura normal.

Sin embargo haremos una aclaración antes. En distintos textos se manejan 2definiciones para dicho concepto, las cuales como veremos, no son equivalentes.La definición siguiente, será con la cual trabajaremos a lo largo de este trabajo.

Definición 29 En un espacio de Banach X, definimos el coeficiente de estruc-tura normal como

N(X) = inf

diamK

r(K): K ⊂ X acotado, convexo y diámetro positivo

Notemos que N(X) ≥ 1 siempre, y que 1

N(X) es el mínimos número tal quer(K) ≤ N(X)diamK para todo K ⊂ X acotado, convexo y diámetro positivo.De lo anterior es claro que N(X) > 1 si y solo si X tiene estructura normaluniforme.

La anterior será nuestra definición de coeficiente de estructura normal, sinembargo a continuación como dato curioso presentamos la otra definición quese puede encontrar en algunos textos.


Definición 30 En un espacio de Banach X, definimos el coeficiente de estruc-tura normal como

N(X) = sup

r(K)

diamK: K ⊂ X acotado, convexo y diámetro positivo

Veamos la relación que guardan estas 2 definiciones. Sea A un conjunto

en R+ cuyos elementos son ajj∈I distintos de cero. Denotaremos como 1A

al conjunto cuyos elementos son los recíprocos de los elementos de A. Paratodo a ∈ A tenemos que a ≥ inf A, entonces para todo a ∈ A, 1a ≤

1inf A . De

lo anterior se sigue que sup 1A ≤

1inf A . Ahora veamos que para todo

1a ∈

1A

tenemos que 1a ≤ sup 1

A , entonces para todo1a ∈

1A , a ≥

1sup 1

A

. De lo anterior

se sigue que inf A ≥ 1sup 1

A

. De las 2 desigualdades resultantes concluimos que

( inf A)(sup 1A ) = 1, es decir, que inf A = 1

sup 1A

. Se concluye entonces que las

definiciones de coeficiente de estructura normal son cada una, el recíproco de laotra.Antes de poder definir el WCS(X) y la propiedad GGLD será necesario

definir el concepto de diámetro y radio asintóticos así como el de espacio deSchur.

Definición 31 Sean X un espacio de Banach y (xn) una sucesión acotada enX. Entonces se definen el diámetro y radio asintótico de (xn) como

diama(xn) = limn→∞

supk,m≥n

||xk − xm||

yra(xn) = inflim sup

n→∞||xn − x|| : x ∈ conv(xn).

Las definiciones anteriores se pueden ver como generalizaciones de los con-ceptos de diámetro de un conjunto y radio de Chevishev. Esto, notando quediama(xn) = diam(xna), donde xna representa el conjunto de los puntosde acumulación de la sucesión xn. Además ra(xn) = rconv(xn)(xna) es decir,el radio de Chevishev de xna respecto a conv(xn).

Definición 32 Diremos que un espacio de Banach X tiene la propiedad deSchur si cada sucesión débilmente convergente, converge en norma. Es decir,que ambas topologías comparten las mismas sucesiones convergentes.

Ejemplo 33 Sea (en) la sucesión de vectores unitarios en l1. Es decir, (ek)i =0 si i 6= k1 si i = k

.Entonces (en)

w→ 0 pero (en)‖·‖9 0. Por lo tanto l1 no tiene la

propiedad de Schur.

Ejemplo 34 Los espacios lp con p 6= 1 tienen la propiedad de Schur (demostrar).


Definición 35 En un espacio de Banach X sin la propiedad de Schur, se defineel coeficiente de convergencia débil de sucesiones como

WCS(X) = inf

diama(xn)

ra(xn): (xn)

w→ 0 y (xn)‖·‖9 0

.

Un espacio de Banach con WCS(X) > 1 se dice que tiene estrucura normaluniforme débil, o simplemente que es un espacio de Bynum.

A continuación se definen la propiedad GGLD y la propiedad asintótica P

Definición 36 Se dice que un espacio de Banach X tiene la propiedad gener-alizada de Gossez-Lami Dozo si para toda sucesión (xn) convergente débilmentea 0 tal que limn→∞ ‖xn‖ = 1, se cumple que

lim supn→∞

lim supm→∞

‖xn − xm‖ > 1.

Definición 37 Se dice que un espacio de Banach tiene la propiedad asintótica Psi para toda sucesión (xn) convergente débilmente a 0 tal que limn→∞ ‖xn‖ = 1,se cumple que

diama(xn) > 1.

Habiendo presentado los 3 conceptos principales de la sección, proseguiremosa dar unas definiciones equivalente de estructura normal y estructura normaldébil, las cuales nos ayudarán a demostrar que en un espacio de Banach X setiene que

N(X) > 1⇒WCS(X) > 1⇒ GGLD ⇒ w-estructura normal.

Definición 38 Dado X un espacio de Banach, una sucesión acotada xn sedice diametral si no es eventualmente constante y

limn→∞

‖xn+1 − conv(x1, x2, ..., xn)‖) = diam(xn∞n=1).

Lema 39 Un espacio de Banach X tiene estructura normal si y solo si nocontiene sucesiones diametrales.

Lema 40 Un espacio de Banach X tiene estructura normal débil si y solo sino contiene sucesiones diametrales w-nulas.

A continuación definimos lo que es una sucesión asintóticamente diame-tral, daremos algunos lemas haciendo uso de este nueve concepto y con ellosdemostraremos que GGLD ⇒ estructura normal débil.

Definición 41 Dado X un espacio de Banach, una sucesión xn se dice as-intóticamente diametral si no es eventualmente constante, limn→∞ ‖xn‖ existey

limn→∞

‖xn‖ = diama(xn).


Lema 42 Sea (xn) una sucesión en un espacio de Banach X tal que (xn)w→ 0,

entonceslim sup

n→∞‖xn‖ ≤ diama(xn)

Prueba. Definamos

An = sup ‖xk − xm‖ : k,m ≥ nBn = sup‖x− xj‖ : j ≥ n, y ∈ conv(xi)∞i=nBn = sup‖x− xj‖ : j ≥ n, y ∈ conv(xi)∞i=n

Es claro que An ≤ Bn y de la definición del diámetro asintótico limn→∞An =diama(xn). Por otro lado para j ≥ n y y ∈ conv(xi)∞i=n tenemos que x =r∑i=n

λixi, con λi ≥ 0 para cada i yr∑i=n

λi = 1. Entonces

‖x− xj‖ =

∥∥∥∥ r∑i=n

λixi − xj∥∥∥∥ =

∥∥∥∥ r∑i=n

λixi −r∑i=n

λixj

∥∥∥∥=

∥∥∥∥ r∑i=n

λi(xi − xj)∥∥∥∥ ≤ r∑

i=n

λi ‖xi − xj‖ ≤r∑i=n

λiAn = An

De lo anterior, se sigue que Bn ≤ An. Por lo tanto Bn = An. Además, para cadaε > 0, existen x ∈ conv(xi)∞i=n y xj con j ≥ n tales que ‖x− xj‖ > Bn − ε

2 .Sea z ∈ conv(xi)∞i=n tal que ‖z − x‖ < ε

2 . Entonces

‖xj − z‖+ ‖z − x‖ ≥ ‖x− xj‖

⇒ ‖xj − z‖ ≥ ‖x− xj‖ − ‖z − x‖ > Bn −ε

2− ε

2= Bn − ε

Por lo tanto Bn ≥ Bn− ε para cada ε > 0. Además es claro que Bn ≤ Bn por loque se concluye que Bn = Bn.Finalmente dado que (xn)

w→ 0, 0 ∈ conv(xi)∞i=npara toda n, tenemos que para j ≥ n

‖xj‖ ≤ Bn = Bn = An

Se concluye así que lim supn→∞ ‖xn‖ ≤ diama(xn)

Lema 43 Dada (xn) una sucesión acotada en un espacio de Banach X, se tieneque

lim supn→∞

lim supm→∞

‖xn − xm‖ ≤ diama(xn).

Prueba. Definamos

δn = lim supm→∞

‖xn − xm‖

An = sup‖xk − xm‖ : m, k ≥ n.


Notemos que δn ≤ An para toda n. Luego

lim supn→∞

lim supm→∞

‖xn − xm‖ = lim supn→∞

δn ≤ lim supn→∞

An

= limn→∞

An = diama(xn).

Proposition 44 (Dominguez-Benavidez) Sea X un espacio de Banach sin lapropiedad de Schur, entonces X tiene la propiedad GGLD si y solo si

lim supn→∞

‖xn − x‖ < diama(xn)

para toda sucesión (xn) débil convergente a x que no converge en norma.

Prueba. Sea X un espacio de Banach sin la propiedad de Schur y con lapropiedad GGLD. Como X no tiene la propiedad de Schur, existe una suce-sión (xn) tal que (xn)

w→ x y (xn) no converge en norma. Entonces se de-fine a = lim supn→∞ ‖xn − x‖ y se elije (xnk) una subsucesión de (xn) tal quea = limk→∞ ‖xnk − x‖. Sea (zk) la sucesión en X definida por zi =

xni−xa para

cada i. Luego (zk)w→ 0 y limk→∞ ‖zk‖ = 1 y por GGLD tenemos que

lim supk→∞

lim supm→∞

‖zk − zm‖ = lim supk→∞

lim supm→∞

∥∥∥∥xnk − xa− xnm − x

a

∥∥∥∥= lim sup

k→∞lim sup

m→∞

∥∥∥∥xnk − xnma

∥∥∥∥ > 1

⇒ lim supk→∞

lim supm→∞

‖xnk − xnm‖ > a

Luego por el lema 43

limk→∞

‖xnk − x‖ = a < lim supk→∞

lim supm→∞

‖xnk − xnm‖

≤ diama(xnk) ≤ diama(xn).

** A continuación se prueba la implicación contraria. Sea (xn) una sucesión enun espacio de Banach X sin la propiedad de Schur. Si (xn) → 0 y ‖xn‖ → 1.Entonces usando un método diagonal se obtiene una subsucesión (xnk) tal que

limm,k→∞k 6=m

‖xnk − xnm‖ existe.

Luego

1 = limk→∞

‖xnk‖ < diama(xnk) = limm,k→∞k 6=m

‖xnk − xnm‖

= lim supk→∞

lim supm→∞

‖xnk − xnm‖ ≤ lim supn→∞

lim supm→∞

‖xn − xm‖ ,


lo que prueba que X tiene la propiedad GGLD.

Corolario 45 Sea X un espacio de Banach sin la propiedad de Schur, entoncesX tiene la propiedad GGLD si y solo si

lim supn→∞

‖yn‖ < diama(yn)

para toda sucesión (yn) débil convergente a cero que no converge en norma.

Prueba. La implicación es un caso particular de (??). A continuación seprueba el regreso. Sea (xn) una sucesión débil convergente a x y no normaconvergente, entonces la sucesión (xn − x) será débil convergente a cero y nonorma convergente, por lo cual

lim supn→∞

‖(xn − x)‖ < diama(xn − x) = diama(xn).

Entonces por la proposición (44) se sigue que X tiene la propiedad GGLD.

Teorema 46 Sea X un espacio de Banach sin la propiedad de Schur. Si Xtiene la propiedad GGLD, entonces X tiene estructura normal débil.

Prueba. Sean X un espacio de Banach sin la propiedad de Schur y con lapropiedad GGLD y (yn) una sucesión w−nula en X. Si (yn) fuese norma con-vergente, entonces

limn→∞

‖yn+1 − conv(y1, y2, ..., yn)‖) = 0.

Además diam(yn∞n=1) = 0 ssi (yn) es la sucesión constante cero. Por lo tantosi (yn) es norma convergente, no puede ser diametral. Ahora, supongamos que(yn) no converge en norma. Por el corolario (45) tenemos que

lim supn→∞

‖yn‖ < diama(yn).

Luego, como (yn)w→ 0, tenemos que 0 ∈ conv(yn)∞n=m para toda m, por lo cual,

para toda n se tiene que

lim ‖yn+1 − conv(y1, y2, ..., yn)‖) ≤ ‖yn‖ ,

por lo que

limn→∞

‖yn+1 − conv(y1, y2, ..., yn)‖) ≤ lim supn→∞

‖yn‖ .

Además, comodiama(yn) ≤ diam(yn)

se tiene que

limn→∞

‖yn+1 − conv(y1, y2, ..., yn)‖) < diam(yn),


por lo tanto, si (yn) no es norma convegente, no es diametral. Se concluye queX no puede tener sucesiones diametrales, por lo que, por el lema (40) X tieneestructuna normal débil.

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Definición 47 Decimos que una norma || · || en R2 es monótona si

||(x1, y1)|| ≤ ||(x2, y2)|| si 0 ≤ x1 ≤ x2, 0 ≤ y1 ≤ y2

Decimos que una norma || · || en R2 es estríctamente monótona si:

||(x1, y1)|| < ||(x2, y2)|| si 0 ≤ x1 ≤ x2, 0 ≤ y1 < y2 o si 0 ≤ x1 < x2, 0 ≤ y1 < y2

Ahora partiendo del caso anterior en R2, daremos una generalización paranorma monótona y estríctamente monótona en .

Definición 48 Dados 2 espacios de Banach (X, || · ||1) y (Y, || · ||2) definimosla Z-suma directa de ellos ( X

⊕z Y ) con la norma siguiente:

||(x, y)||z = ||(||x||1, ||y||2)||z donde (x, y) ∈ X × Y

entonces || · ||z será una norma monótona en X × Y si:

||(x1, y1)||z ≤ ||(x2, y2)||z si 0 ≤ ||x1||1 ≤ ||x2||1, 0 ≤ ||y1||2 ≤ ||y2||2

Y || · ||z será una norma estríctamente monótona en X × Y si:

||(x1, y1)||z < ||(x2, y2)||z

Esto si 0 ≤ ||x1||1 ≤ ||x2||1, 0 ≤ ||y1||2 < ||y2||2 o si 0 ≤ ||x1||1 < ||x2||1, 0 ≤||y1||2 ≤ ||y2||2.

puntos jos de mapeos no expansivos en sumas directas de espacios de banach

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puntos de x

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punto jo respecto

dado x unespacio vectorial

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propiedad dbil

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