25장 읽고 있자 ……

25. 전기용량 (Capacitance)

• 축전기 (Capacitor)와 전기용량 (Capacitance)

q = CV C = q/V

• 전기용량 계산하기 : 평행판 축전기, 원통형 축전기

• 축전기의 직렬연결과 병렬연결

• 축전기의 전기 퍼텐셜에너지와 에너지 밀도

d

A

- - - - -

+ + + +a

b L

C1 C2

a

b

C 3C

a b≡

지난 시간에 …Electric potential energy (U)

m]N[J ⋅=•−=•−=−= ∫∫ ∞∞

rr

q sdEqsdFWU rrrr

Electric potential (V) : 단위전하당 U

J/C] [V(volt) =•−=−=≡ ∫∞

rsdE

qW

qUV rr

∑∑==

==N

n n

N

nn r

qVV1o1 4

1πε

∫=r

dqVoπε4

1

점 전하

연속 전하

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

+∂∂

+∂∂

−=∇−≡−= zzVy

yVx

xVV

sddVE ˆˆˆ

rr

rV E

축전기 (capacitor)

• A capacitor is a device whose purpose is to store electrical energy which can then be released in a controlled manner during a short period of time.

• A capacitor consists of 2 spatially separated conductorswhich can be charged to +q and -q respectively.

축전기의 전기용량 (capacitance)

CVqVqC =⇔≡

C : 전기용량 (축전기의 모양과 재료에 따라 정해짐)

전기용량의 단위 : 1 farad (F) = 1 coulomb/volt (C/V)

•실제로 쓰이는 단위:▸micro-farad (μF) = 10-6 F▸nano-farad (nF) = 10-9 F▸pico-farad (pF) = 10-12 F

축전기 대전시키기+q(t) -q(t)

확인문제 1. 전기용량은 증가? 감소? 그대로?

(a) q 가 2배 될 때

(b) V 가 3배 될 때

그대로 !

25-3. 전기용량 계산하기

(1) 극판에 전하 q 가 있다고 가정

(2) Gauss 법칙 E 계산

(3) E -> V 계산

(4) C = q/V

평행판 축전기

EddsEEdssdEVdf

i===•−= ∫∫∫

+

− 0

rr

dA

VqC oε

== 극판 사이의 유전상수와극판의 모양 (면적과 간격)에만 의존

Practical Application: Microphone (“condenser”)

Sound waves incidentpressure oscillationsoscillating plate separation doscillating capacitance ( )oscillating charge on plateoscillating current in wire ( )oscillating electrical signal

1~Cd

dQIdt

=

d

Moveable plate Fixed plate

Current sensor

Battery

Question• In each case below, a charge of +Q is placed on a solid

spherical conductor and a charge of -Q is placed on a concentric conducting spherical shell. – Let V1 be the potential difference between the spheres with (a1, b). – Let V2 be the potential difference between the spheres with (a2, b). – What is the relationship between V1 and V2? (Hint – think about

parallel plate capacitors.)

• What we have here are two spherical capacitors.• Intuition: for parallel plate capacitors: V = (Q/C) = (Qd)/(Aε0).

Therefore you might expect that V1 > V2 since (b-a1) > (b-a2).• In fact this is the case as we can show directly from the definition of V!

(a) V1 < V2 (b) V1 = V2 (c) V1 > V2

a2

b

+Q-Q

a1

b

+Q-Q

원통형 축전기

)/ln(2

abL

VqC oπε== 극판 사이의 유전상수

극판의 모양에만 의존

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=== ∫∫

+

− ab

Lqdr

rLqEdsV

o

b

ao

ln2

12 πεπε

구형 축전기

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−==

abab

VqC oπε4 극판 사이의 유전상수

극판의 모양에만 의존

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=== ∫∫

+

− baqdr

rqEdsV

o

b

ao

114

14 2 πεπε

고립된 도체 구의 전기용량

)( 4 4 RaRCab

abVqC o

bo ==⎯⎯ →⎯⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−== ∞→ πεπε

25-4. 축전기의 연결

병렬연결총 전하량 : ∑

=

=n

jjqq

1

동일전압 : jVV =

VCCVVCqq eq

n

jjj

n

jj

n

jj =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=== ∑∑∑

=== 111∑

=

=n

jjeq CC

1

직렬연결총 전압 : ∑

=

=n

jjVV

1

동일 전하량 : jqq =

eq

n

j j

n

j j

jn

jj C

qC

qCq

VV =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=== ∑∑∑

=== 111

1 ∑=

=n

j jeq CC 1

11

Which of these configurations has the lowest overall capacitance?

Three configurations are constructed using identical capacitors

a) Configuration A b) Configuration B c) Configuration C

CC

CC C

Configuration AConfiguration B Configuration C

질문

Two identical parallel plate capacitors are shown in an end-view in A) of the figure. Each has a capacitance of C.

If the two are joined together as shown in B), forming a single capacitor, what will be the final capacitance?

a) C/2 b) C c) 2C

질문

Examples:Combinations of Capacitors

C1 C2

C3C

a

b

a b≡

C3 is in series with the parallel combination on C1 and C2. i.e.,

213

111CCCC +

+= ⇒321

213 )(CCC

CCCC++

+=

A circuit consists of three unequal capacitors C1, C2, and C3 which areconnected to a battery of emf Ε. The capacitors obtain charges Q1 Q2, Q3, and have voltages across their plates V1, V2, and V3. Ceq is the equivalent capacitance of the circuit.

Check all of the following that apply:

a) Q1= Q2 b) Q2= Q3 c) V2= V3 d) E = V1

e) V1 < V2 f) Ceq > C1

질문

• What is the equivalent capacitance, Ceq, of the combination shown?

(a) Ceq = (3/2)C (b) Ceq = (2/3)C (c) Ceq = 3C

o

o

C CCCeq

CCC ≡ C C1

CCC111

1

+=21CC = CCCCeq 2

32

=+=

질문

25-5. 전기장에 저장된 퍼텐셜에너지

축전기에 전하 q‘ 가 채워져 있어 두 전극의 전위차가 V‘ 일 때,전하 dq‘ 를 더 채우는데 드는 에너지

'''' dqCqdqVdW ==

따라서, 빈 축전기에 전하를 q 까지 채우는데 드는 에너지 저장된 퍼텐셜에너지

2

0

2

21

2'' CV

Cqdq

CqW

q=== ∫ 2

2

21

2CV

CqU ==

축전기의 퍼텐셜에너지

에너지 밀도 : 단위 부피당 퍼텐셜 에너지

22

211

21

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛==

dV

AdCV

AdUu oε

dAC 0ε=

202

1 Eu ε=

VdE =

25-6. 유전체를 넣은 축전기1837년 Michel Faraday 실험 : 평판 축전기의 전극 사이에 끼워 넣는 물질에 따라 전기용량이 달라짐.

κ : 유전상수 (dielectric constant)

00 κεε →

CVq =

증가

CqV =

감소

00

κεσ

εσ

=→= EE 전기장 감소κ0 EE =→

C

κC증가

유전율 변화

25-7. 유전체 : 원자의 관점

극성 유전체

비극성 유전체

영구전기 쌍극자

모멘트

유도전기 쌍극자

모멘트 E’

'0 EEErrv

+= 즉, 진공 중 보다Electric field

감소

25-8. 유전체와 Gauss 법칙

AEAdEq 000 εε =⋅= ∫rr

AqE0

0 ε=

EAAdEqq 00' εε =⋅=− ∫rr

AqqE

0

'ε−

=

AqEE0

0

κεκ== κ

qqq =− '전기장 감소

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

κ11' qq q 감소

유전체에서의 Gauss 법칙 qAdE =⋅∫rr

κε 0

0ε 0κε

일반화된 Gauss 법칙

: 전기변위 (electric displacement)

qAdE =⋅∫rr

κε 0

EDrr

0κε=

qAdD =⋅∫rr

전하는 도체표면의 자유전하만 고려하면 된다.

κ 가 상수가 아닌 (즉, 위치에 따라 다른) 일반적인 경우도 성립한다.

25. Summary

전기용량 (capacitance)VqC ≡

d

A

- - - - -+ + + +

Parallel Plates

dAC ∝

a

b L

r

+Q

-Q

Cylindrical

)/ln( abLC ∝

a

b

+Q-Q

Spherical

ababC−

∝

qAdE =⋅∫rr

κε 0Gauss 법칙