qing nie and greg baker- application of adaptive quadrature to axi-symmetric vortex sheet motion

8/3/2019 Qing Nie and Greg Baker- Application of Adaptive Quadrature to Axi-symmetric Vortex Sheet Motion

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A p p l i c a t i o n o f A d a p t i v e Q u a d r a t u r e t o

A x i - s y m m e t r i c V o r t e x S h e e t M o t i o n

Q i n g N i e

I n s t i t u t e f o r M a t h e m a t i c s a n d I t s A p p l i c a t i o n s

5 1 4 V i n c e n t H a l l

2 0 6 C h u r c h S t r e e t S . E .

M i n n e a p o l i s , M N 5 5 4 5 5 - 0 4 3 6

n i e @ i m a . u m n . e d u

G r e g B a k e r

D e p a r t m e n t o f M a t h e m a t i c s

O h i o S t a t e U n i v e r s i t y

C o l u m b u s , O h i o 4 3 2 1 0 - 1 1 7 4

b a k e r @ m a t h . o h i o - s t a t e . e d u

M a y 9 , 1 9 9 7

S u b j e c t C l a s s i c a t i o n : 6 5 R 2 0 , 7 6 B 9 9

K e y w o r d s : A x i s y m m e t r i c V o r t e x S h e e t s , A d a p t i v e I n t e g r a t i o n .

1


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R u n n i n g H e a d : A d a p t i v e Q u a d r a t u r e f o r V o r t e x S h e e t s

S e n d p r o o f s t o :

P r o f . G r e g B a k e r

D e p a r t m e n t o f M a t h e m a t i c s

O h i o S t a t e U n i v e r s i t y

2 3 1 W . 1 8 t h A v e

C o l u m b u s , O H 4 3 2 1 0

2


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A b s t r a c t

S t u d i e s o f t h e f o r m a t i o n o f n e s t r u c t u r e s o n f r e e - s u r f a c e s i n l i q u i d s , s u c h a s

c u r v a t u r e s i n g u l a r i t i e s o r i n t e r f a c e p i n c h i n g , d e m a n d t h a t t h e m o t i o n o f t h e i n t e r f a c e

m u s t b e c o m p u t e d v e r y a c c u r a t e l y . B o u n d a r y i n t e g r a l t e c h n i q u e s a r e a p o p u l a r

c h o i c e i n s u c h s t u d i e s b e c a u s e t h e y r e d u c e t h e d i m e n s i o n o f t h e p r o b l e m b y o n e . O n

t h e o t h e r h a n d , t h e b o u n d a r y i n t e g r a l s a r e s i n g u l a r , a n d t h e i r a c c u r a t e e v a l u a t i o n

c a n p r o v e q u i t e c h a l l e n g i n g . I n t w o d i m e n s i o n a l m o t i o n , t h e i n t e r f a c e i s a j u s t

a c u r v e . W h e n t h i s c u r v e i s c l o s e d o r p e r i o d i c , t h e s i n g u l a r i t y i n t h e i n t e g r a n d

m a y b e r e m o v e d a n d t h e t r a p e z i o d a l r u l e m a y b e a p p l i e d w i t h s p e c t r a l a c c u r a c y .

U n f o r t u n a t e l y , t h e n a t u r e o f t h e s i n g u l a r i t y i n t h e i n t e g r a n d f o r t h r e e d i m e n i o n a l

m o t i o n i s m u c h m o r e d i c u l t t o t r e a t . I n t h i s p a p e r , w e p r e s e n t a n a c c u r a t e a d a p t i v e

q u a d r a t u r e t o c o m p u t e t h e m o t i o n o f a v o r t e x s h e e t i n a x i - s y m m e t r i c o w . T h e

t e c h n i q u e i s b a s e d o n a v e c t o r - p o t e n t i a l f o r m u l a t i o n w h i c h o e r s s o m e c o m p u t a t i o n a l

a d v a n t a g e s o v e r o t h e r m e t h o d s b a s e d o n t h e B i o t - S a v a r t I n t e g r a l . D i r e c t n u m e r i c a l

c o m p u t a t i o n s s h o w t h a t o u r t e c h n i q u e i s m u c h m o r e a c c u r a t e a n d e c i e n t t h a n

e x i s t i n g t e c h n i q u e s .

3


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1 I n t r o d u c t i o n

B o u n d a r y i n t e g r a l t e c h n i q u e s p r o v i d e a p o p u l a r a p p r o a c h t o s t u d y i n g f r e e - s u r f a c e

m o t i o n i n l i q u i d s , c o v e r i n g a w i d e r a n g e o f p h e n o m e n a . S o m e e x a m p l e s a r e t h e

p r o p a g a t i o n o f w a v e s i n i n v i s c i d l i q u i d s [ 1 ] a n d t h e m o t i o n o f d r o p s i n v e r y v i s c o u s

l i q u i d s [ 2 ] . O n e o f t h e m a j o r f e a t u r e s o f b o u n d a r y i n t e g r a l t e c h n i q u e i s t h a t t h e y

p r o v i d e a n e v o l u t i o n e q u a t i o n f o r t h e m o t i o n o f t h e i n t e r f a c e e x p l i c i t l y . S i n c e t h e r e

i s n o n e e d t o d e t e r m i n e t h e o w e l d a w a y f r o m t h e i n t e r f a c e , t h e d i m e n s i o n o f

t h e p r o b l e m i s r e d u c e d b y o n e . O n t h e o t h e r h a n d , t h e b o u n d a r y i n t e g r a l s a r e

p r i n c i p a l - v a l u e i n t e g r a l s a n d t h e i r a c c u r a t e e v a l u a t i o n c a n b e v e r y c h a l l e n g i n g . T h i s

i s p a r t i c u l a r l y t r u e i n s t u d i e s o f t h e f o r m a t i o n o f n e s t r u c t u r e s o n t h e i n t e r f a c e ,

s u c h a s c u r v a t u r e s i n g u l a r i t i e s o r i n t e r f a c e p i n c h i n g .

I n t w o d i m e n s i o n a l m o t i o n t h e r e h a v e b e e n s e v e r a l s u c c e s s f u l s t u d i e s o f i n t e r f a c i a l

m o t i o n . I n p a r t i c u l a r , s p e c t r a l l y a c c u r a t e m e t h o d s a r e a v a i l a b l e w h e n t h e i n t e r f a c e

i s c l o s e d ( a s i n r i s i n g b u b b l e s [ 3 ] ) o r i s p e r i o d i c i n o p e n g e o m e t r y ( a s i n w a t e r w a v e s

[ 1 ] o r R a y l e i g h - T a y l o r i n s t a b i l i t y [ 4 ] ) . F i r s t , t h e p o l e s i n g u l a r i t y i n t h e p r i n c i p a l -

v a l u e i n t e g r a l m a y b e r e m o v e d b y t h e s u b t r a c t i o n o f a s i m p l e i n t e g r a l , a n d t h e n

t h e t r a p e z i o d a l r u l e m a y b e a p p l i e d w i t h s p e c t r a l a c c u r a c y t o t h e r e s u l t i n g p e r i o d i c

i n t e g r a l [ 5 ] , [ 6 ] . T h e h i g h o r d e r o f a c c u r a c y p r o v e s v e r y d e s i r a b l e i n s t u d i e s o f n e

f e a t u r e s , s u c h a s t h e f o r m a t i o n o f a c u r v a t u r e s i n g u l a r i t y i n v o r t e x s h e e t m o t i o n [ 7 ]

o r d u r i n g t h e R a y l e i g h - T a y l o r i n s t a b i l i t y [ 8 ] .

T h e s i t u a t i o n i s v e r y d i e r e n t f o r t h e c o m p u t a t i o n o f a x i - s y m m e t r i c o w s . T h e

p r i n c i p a l - v a l u e i n t e g r a l s i n v o l v e c o m p l e t e e l l i p t i c i n t e g r a l s w h i c h c o n t a i n l o g a r i t h -

m i c s i n g u l a r i t i e s . T h e s i n g u l a r i t y i n t h e i n t e g r a n d c a n b e w e a k e n e d , b u t c a n n o t b e

r e m o v e d c o m p l e t e l y a s i n t h e t w o d i m e n s i o n a l c a s e . F u r t h e r , t h e i n t e g r a n d s h o w s

s t r o n g v a r i a t i o n s , e s p e c i a l l y n e a r t h e p o l e s [ 9 ] , w h i c h m a k e s t h e d e s i g n o f a n a c c u -

r a t e q u a d r a t u r e d i c u l t . F o r e x a m p l e , a v o r t e x r i n g m e t h o d [ 1 0 ] w i t h a c o r r e c t i o n

t e r m t o t r e a t t h e p r i n c i p a l - v a l u e a l s o n d s d i c u l t i e s a t t h e p o l e : t h e o r d e r o f t h e

m e t h o d i s r e d u c e d t o O ( h ) n e a r t h e p o l e s w h e r e h i s t h e s p a c i n g b e t w e e n t h e r i n g s .

A n i m p r o v e m e n t t o t h i s m e t h o d h a s b e e n f o u n d r e c e n t l y [ 1 1 ] b y a n i n g e n i o u s a n a -

4


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l y t i c a p p r o x i m a t i o n t o t h e i n t e g r a n d n e a r t h e p o l e s . T h e i m p r o v e d m e t h o d i s s t i l l

o n l y O ( h

3

l o g h ) . A d i e r e n t a p p r o a c h [ 9 ] , [ 1 2 ] i s t o i n s e t m o r e q u a d r a t u r e p o i n t s

t h r o u g h i n t e r p o l a t i o n w h e n p e r f o r m i n g t h e i n t e g r a t i o n f o r p o i n t s n e a r t h e p o l e s , b u t

n u m e r i c a l i n s t a b i l i t i e s a p p e a r i n t h e v o r t e x s h e e t n e a r t h e p o l e s a f t e r a s h o r t t i m e .

T h i s b e h a v i o r i l l u s t r a t e s a u s e f u l p r i n c i p l e i n d e s i g n i n g m e t h o d s f o r v o r t e x s h e e t

m o t i o n : N o t o n l y m u s t t h e n u m e r i c a l e r r o r s f r o m t h e b o u n d a r y i n t e g r a l s b e s m a l l ,

t h e y s h o u l d a l s o b e r e l a t i v e l y s m o o t h t o a v o i d t h e o n s e t o f i n s t a b i l i t i e s .

T h e r e h a v e b e e n a t t e m p t s [ 1 3 ] , [ 1 4 ] t o s t u d y t h e f o r m a t i o n o f c u r v a t u r e s i n g u l a r -

i t i e s i n a x i - s y m m e t r i c v o r t e x s h e e t s . T h e n u m e r i c a l c a l c u l a t i o n s w e r e b a s e d o n t h e

v o r t e x r i n g m e t h o d [ 1 0 ] , a n d w h i l e e v i d e n c e f o r t h e e x i s t e n c e o f t h e s i n g u l a r i t y w a s

f o u n d , n o t e n o u g h r e s o l u t i o n w a s p o s s i b l e t o i d e n t i f y t h e n a t u r e o f t h e s i n g u l a r i t y .

I n o u r e x p e r i e n c e , i t i s n e c e s s a r y t o c o m p u t e t h e b o u n d a r y i n t e g r a l t o a n a c c u r a c y o f

a b o u t 1 0

2 0

o r b e t t e r t o d e t e r m i n e t h e p r e c i s e f o r m o f t h e s i n g u l a r i t y . T h i s r e q u i r e -

m e n t i s p r o b a b l y t o o s e v e r e e v e n f o r m e t h o d s o f m o d e r a t e o r d e r . I n t h i s p a p e r , w e

p r e s e n t e c i e n t a n d a c c u r a t e i n t e g r a t i o n f o r a x i - s y m m e t r i c v o r t e x s h e e t c o m p u t a -

t i o n s b a s e d o n h i g h o r d e r a d a p t i v e G a u s s - K r o n r o d o r C l e n s h a w - C u r t i s q u a d r a t u r e s .

W e u s e a d i p o l e r e p r e s e n t a t i o n f o r a v o r t e x s h e e t , r a t h e r t h a n t h e c o n v e n t i o n a l

v o r t i c i t y d i s t r i b u t i o n o n t h e s h e e t , b e c a u s e i t i s e a s i e r t o w e a k e n t h e s i n g u l a r i t y

i n t h e p r i n c i p a l - v a l u e i n t e g r a l s b y t h e s u b t r a c t i o n o f a s u i t a b l e a n a l y t i c e x p r e s s i o n .

T h e n w e a p p l y a d a p t i v e n u m e r i c a l i n t e g r a t i o n m e t h o d s t o t h e i n t e g r a l s o f t h e d i p o l e

d i s t r i b u t i o n t h r o u g h t w o d i e r e n t a p p r o a c h e s . I n t h e r s t a p p r o a c h , w e u s e G a u s s -

K r o n r o d q u a d r a t u r e d i r e c t l y o n t h e i n t e g r a l s i n t h e s t a n d a r d a d a p t i v e w a y . I n t h e

s e c o n d a p p r o a c h , w e r s t a p p r o x i m a t e t h e t w o c o m p l e t e e l l i p t i c i n t e g r a l s i n t h e

i n t e g r a n d s b y t h e s u m o f t w o p a r t s , a r e g u l a r p a r t a n d a l o g a r i t h m i c p a r t ; t h e n w e

a p p l y G a u s s - K r o n r o d q u a d r a t u r e a d a p t i v e l y t o t h e r e g u l a r p a r t a n d t h e m o d i e d

C l e n s h a w - C u r t i s q u a d r a t u r e a d a p t i v e l y t o t h e l o g a r i t h m i c p a r t .

W e t e s t t h e s e m e t h o d s a n d c o m p a r e t h e m t o t h e v o r t e x r i n g m e t h o d [ 1 0 ] o n

a s t a n d a r d t e s t c a s e , t h e o w a r o u n d a s p h e r i c a l v o r t e x s h e e t h e l d x e d i n t i m e .

B y c o m p a r i n g t h e c a l c u l a t i o n s o f t h e v e l o c i t y o n t h e s h e e t , w e n d t h a t e v e n t h e

n o n - a d p a t i v e G a u s s - K r o n r o d o u t p e r f o r m s t h e v o r t e x r i n g m e t h o d . T h e a d a p t i v e

5


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G a u s s - K r o n r o d a n d C l e n s h a w - C u r t i s q u a d r a t u r e s a r e c o m p a r a b l e a n d m u c h b e t t e r

t h a n t h e n o n - a d a p t i v e m e t h o d s . T h e a d a p t i v e C l e n s h a w - C u r t i s m e t h o d i s t h e m o s t

e c i e n t b y f a r .

T h e o r g a n i z a t i o n o f t h e p a p e r i s a s f o l l o w s . I n S e c t i o n 2 , w e d e r i v e t h e e q u a t i o n s

o f m o t i o n f o r a f u l l t h r e e d i m e n s i o n a l v o r t e x s h e e t a n d i t s a x i - s y m m e t r i c v e r s i o n . W e

g i v e b o t h f o r m u l a t i o n s , t h e o n e b a s e d o n t h e B i o t - S a v a r t l a w , a n d t h e o t h e r b a s e d

o n t h e d i p o l e d i s t r i b u t i o n . W e d e s c r i b e t h e n u m e r i c a l t e c h n i q u e s i n S e c t i o n 3 , a n d

d i s c u s s a n d c o m p a r e t h e p e r f o r m a n c e o f t h e d i e r e n t m e t h o d s i n S e c t i o n 4 . F i n a l l y ,

w e p r e s e n t t h e r e s u l t s o f t h e c a l c u l a t i o n o f t h e m o t i o n o f a n a x i - s y m m e t r i c s h e e t

u s i n g t h e a d a p t i v e C l e n s h a w - C u r t i s q u a d r a t u r e . W e n d n o e v i d e n c e o f n u m e r i c a l

i n s t a b i l i t i e s .

2 F o r m u l a t i o n s

I n t h i s s e c t i o n , w e g i v e t h e b o u n d a r y i n t e g r a l e q u a t i o n s f o r a t h r e e d i m e n s i o n a l

v o r t e x s h e e t , t h e n w e o b t a i n t h e s p e c i a l f o r m f o r a n a x i - s y m m e t r i c s h e e t . W e f o l l o w

t h e s a m e n o t a t i o n a s i n [ 1 5 ] , b u t w e d e r i v e t h e e q u a t i o n s f r o m a d i e r e n t p o i n t o f

v i e w b a s e d o n r e p r e s e n t i n g t h e v o r t e x s h e e t b y a d i p o l e d i s t r i b u t i o n .

L e t S d e n o t e a c l o s e d v o r t e x s h e e t , w h i c h d i v i d e s t h e u i d r e g i o n i n t o t w o p a r t s :

a n o u t s i d e r e g i o n D

+

a n d a n i n s i d e r e g i o n D

. T h e v e l o c i t y a n d p r e s s u r e e l d s a r e

( u

; p

) , r e s p e c t i v e l y . T h e E u l e r e q u a t i o n s o f m o t i o n a r e :

@ u

@ t

+ u

r u

+ r p

= 0 i n D

; ( 1 )

r u

= 0 i n D

; ( 2 )

r u

= 0 i n D

= S : ( 3 )

K i n e m a t i c a n d d y n a m i c c o n s i d e r a t i o n s r e q u i r e t h e f o l l o w i n g c o n d i t i o n s o n t h e v o r t e x

s h e e t :

n u

+

= n u

a n d p

+

= p

o n S ; ( 4 )

w h e r e n i s t h e n o r m a l t o S p o i n t i n g i n t o D

+

. I t i s t h e j u m p i n t a n g e n t i a l c o m p o n e n t s

o f t h e v e l o c i t y t h a t c h a r a c t e r i z e s t h e v o r t e x s h e e t .

6


7/33

W e i n t r o d u c e t w o s u r f a c e c o o r d i n a t e s a n d a n d e x p r e s s t h e l o c a t i o n o f t h e

i n t e r f a c e a s X ( ; ; t ) . T h e s e c o o r d i n a t e s w i l l b e d e n e d b y t h e r e q u i r e m e n t t h a t

t h e m o t i o n o f t h e s h e e t i s \ L a g r a n g i a n . " B y t h a t w e m e a n a \ p a r t i c l e " o n S l a b e l l e d

b y a n d m o v e s w i t h t h e v e l o c i t y

@ X

@ t

= u

1

2

( u

+

+ u

) o n S : ( 5 )

N o t e t h a t t h e n o r m a l c o m p o n e n t o f t h e v e l o c i t y o f t h e s h e e t m a t c h e s t h a t o f t h e

t w o l i q u i d s a s r e q u i r e d b y ( 4 ) .

D u e t o ( 2 , 3 ) , t h e r e e x i s t p o t e n t i a l f u n c t i o n s

s u c h t h a t

u

= r

i n D

= S : ( 6 )

W e i n t r o d u c e a d i p o l e d i s t r i b u t i o n ( ; ; t ) o n t h e s h e e t . I t g e n e r a t e s a p o t e n t i a l

f u n c t i o n

w ( x ) =

1

4

Z

S

( x

0

) n ( x

0

) r

x

0

1

j x x

0

j

d x

0

i n D

( 7 )

w i t h t h e f o l l o w i n g p r o p e r t i e s .

w ( x ) =

+

x i n D

+

x i n D

( 8 )

a n d =

+

o n S . T h e p o t e n t i a l

+

v a n i s h e s a t i n n i t y , w h i c h m e a n s t h e r e i s

n o f a r e l d o w . I f a f a r e l d o w i s p r e s e n t , i t m u s t b e a d d e d s e p a r a t e l y . I n o u r

s t u d y , w e a s s u m e t h e r e i s n o f a r e l d o w .

D e n e

=

1

2

(

+

+

) o n S : ( 9 )

T h e n f r o m p o t e n t i a l t h e o r y , w e h a v e

( x ) =

1

4

P

Z

S

( x

0

) n ( x

0

) r

x

0

1

j x x

0

j

d x

0

o n S : ( 1 0 )

A s a c o n s e q u e n c e , t h e m o t i o n o f t h e s h e e t i s g i v e n b y

X

t

( ; ; t ) = r : ( 1 1 )

T h e e v o l u t i o n e q u a t i o n f o r i s o b t a i n e d a s f o l l o w s . F i r s t w e d e t e r m i n e t h e r a t e o f

c h a n g e o f t h e p o t e n t i a l a l o n g t h e t r a j e c t o r y o f a s u r f a c e p a r t i c l e m o v i n g a c c o r d i n g t o

7


8/33

( 5 ) . B y d i e r e n t i a t i n g

( ; ; t ) =

( X ( ; ; t ) ; t ) w i t h r e s p e c t t o t i m e , k e e p i n g

t h e s u r f a c e c o o r d i n a t e s a n d x e d , w e o b t a i n

@

@ t

=

@

@ t

x

+ u r

: ( 1 2 )

T h e r a t e o f c h a n g e o f t h e p o t e n t i a l a t a x e d p o i n t i n s p a c e c a n b e o b t a i n e d b y

i n t e g r a t i n g ( 1 ) :

@

@ t

x

=

1

2

u u p + c ( 1 3 )

w h e r e c i s a c o n s t a n t . U p o n s u b s t i t u t i n g t h e r e s u l t i n t o ( 1 2 ) , w e o b t a i n

@

@ t

=

u

1

2

u

u

p

+ c

: ( 1 4 )

B y s u b t r a c t i n g t h e r a t e o f c h a n g e o f t h e p o t e n t i a l o n e i t h e r s i d e o f t h e s h e e t , w e n d

@

@ t

=

u

1

2

u

+

u

+

u

1

2

u

u

+ c

+

c

: ( 1 5 )

T h e v a l u e o f t h e d e n i t i o n o f t h e v e l o c i t y f o r t h e v o r t e x s h e e t ( 5 ) n o w b e c o m e s c l e a r

s i n c e ( 1 5 ) s i m p l i e s t o

= j

t = 0

+ ( c

+

c

) t o n S : ( 1 6 )

S i n c e a d i p o l e t h a t i s c o n s t a n t o n S i n d u c e s o n l y c o n s t a n t p o t e n t i a l s i n s i d e a n d

o u t s i d e , t h e c o n t r i b u t i o n ( c

+

c

) t h a s n o d y n a m i c a l s i g n i c a n c e , a n d w e m a y

a s s u m e c

+

= c

= 0 w i t h o u t l o s s o f g e n e r a l i t y . I n o t h e r w o r d s , w e m a y c o n s i d e r

= ( ; ) o n S t o b e i n d e p e n d e n t o f t i m e , a n d g i v e n b y t h e i n i t i a l c o n d i t i o n s .

N e x t , w e d e s c r i b e h o w u i s c a l c u l a t e d . W e a s s u m e t h a t o u r c o o r d i n a t e s y s t e m

h a s t h e p r o p e r t y t h a t X

, X

a n d n f o r m a r i g h t - h a n d s y s t e m w i t h

n =

X

X

j X

X

j

: ( 1 7 )

T h e G r e e k s u b s c r i p t s r e f e r t o d i e r e n t i a t i o n w i t h r e s p e c t t o t h e s u r f a c e c o o r d i n a t e s .

W e t a k e t h e g r a d i e n t o f w a s g i v e n b y ( 7 ) a n d \ i n t e g r a t e b y p a r t s " o v e r t h e v o r t e x

s h e e t . T h e n w e t a k e t h e a v e r a g e o f t h e l i m i t i n g v a l u e s o n e i t h e r s i d e o f t h e s h e e t t o

o b t a i n

u =

1

4

P

Z

S

0

X

0

0

X

0

X X

0

j X X

0

j

3

d

0

d

0

: ( 1 8 )

8


9/33

W e h a v e i n t r o d u c e d t h e n o t a t i o n

0

= (

0

;

0

) , e t c . , f o r c o n v e n i e n c e . T h i s e q u a t i o n

i s t h e s a m e a s t h a t o b t a i n e d f r o m t h e B i o t - S a v a r t l a w [ 1 5 ] .

W e o b t a i n a d i e r e n t e x p r e s s i o n f o r u b y d i e r e n t i a t i n g ( s e e ( 1 1 ) ) . I n p a r t i c -

u l a r ,

u =

@

@ n

n +

n X

j X

X

j

+

X

n

j X

X

j

: ( 1 9 )

T h e s i m p l e s t w a y t o d e t e r m i n e @ = @ n i s t h r o u g h t h e a s s o c i a t e d v e c t o r p o t e n t i a l A

w h i c h h a s t h e f o l l o w i n g i n t e g r a l r e p r e s e n t a t i o n ,

A ( x ) =

1

4

P

Z

S

( x

0

) n ( x

0

) r

x

0

1

j x x

0

j

d x

0

o n S : ( 2 0 )

S p e c i c a l l y ,

@

@ n

= n ( r A )

= [ ( A X

)

( A X

)

]

1

j X

X

j

: ( 2 1 )

N o t i c e t h a t o n c e a n d A h a v e b e e n c o m p u t e d t h r o u g h ( 1 0 ) a n d ( 2 0 ) , w e d i e r e n t i a t e

t h e m w i t h r e s p e c t t o t h e s u r f a c e c o o r d i n a t e s o n l y t o o b t a i n t h e v e l o c i t y c o m p o n e n t s

i n ( 1 9 ) . T h i s t h e n p r o v i d e s a n a l t e r n a t e a p p r o a c h t o c o m p u t i n g t h e m o t i o n o f t h e

v o r t e x s h e e t .

T h e a d v a n t a g e o f u s i n g t h e s u r f a c e i n t e g r a l s ( 1 0 ) a n d ( 1 9 ) i s t h a t t h e f o l l o w i n g

i d e n t i t i e s :

1

4

P

Z

n ( x

0

) r

x

0

1

j x x

0

j

d x

0

=

1

2

; ( 2 2 )

1

4

P

Z

n ( x

0

) r

x

0

1

j x x

0

j

d x

0

= 0 ( 2 3 )

m a y b e u s e d t o r e d u c e t h e s i n g u l a r i t i e s i n t h e i r i n t e g r a n d s [ 9 ] . F o r e x a m p l e , A c a n

b e r e w r i t t e n a s

A ( x ) =

1

4

P

Z

( ( x

0

) ( x ) ) n ( x

0

) r

x

0

1

j x x

0

j

d x

0

o n S : ( 2 4 )

W e w i l l s h o w s p e c i c a l l y i n t h e c a s e o f a x i - s y m m e t r i c o w h o w t h e s i n g u l a r i t i e s i n

t h e i n t e g r a n d s h a v e b e e n r e d u c e d .

9


10/33

F o r a n a x i - s y m m e t r i c v o r t e x s h e e t , w e m a y r e p r e s e n t t h e s h e e t l o c a t i o n a s

X = r ( ; t ) e

r

+ z ( ; t ) e

z

( 2 5 )

u s i n g t h e c y l i n d r i c a l c o o r d i n a t e s ( r ; z ) . T h e m o t i o n o f t h e s h e e t i s a s s u m e d i n d e p e n -

d e n t o f t h e a z i m u t h a l a n g l e = . A s n o t e d b e f o r e [ 1 5 ] f o r m o t i o n w i t h o u t s w i r l ,

t h e B i o t - S a v a r t i n t e g r a l ( 1 8 ) b e c o m e s

r

t

=

1

4 r

P

Z

0

( z

0

z ) B

0

( ;

0

) [ F ( k ) + B

1

( ;

0

) E ( k ) ] d

0

; ( 2 6 )

z

t

=

1

4

P

Z

0

B

0

( ;

0

) [ F ( k ) + B

2

( ;

0

) E ( k ) ] d

0

; ( 2 7 )

w h e r e F ( k ) a n d E ( k ) a r e t h e c o m p l e t e e l l i p t i c i n t e g r a l s

F ( k ) =

Z

2

0

1 k

2

c o s

2

( )

1

2

d ; E ( k ) =

Z

2

0

1 k

2

c o s

2

( )

1

2

d ( 2 8 )

o f t h e r s t a n d s e c o n d k i n d r e s p e c t i v e l y , w i t h

k

2

=

4 r r

0

( z z

0

)

2

+ ( r + r

0

)

2

: ( 2 9 )

T h e o t h e r q u a n t i t i e s a r e

B

0

( ;

0

) =

2

( ( z z

0

)

2

+ ( r + r

0

)

2

)

1 = 2

; ( 3 0 )

B

1

( ;

0

) =

( z

0

z )

2

+ r

0

2

+ r

2

( z z

0

)

2

+ ( r r

0

)

2

; ( 3 1 )

B

2

( ;

0

) =

r

0

2

r

2

( z

0

z )

2

( z z

0

)

2

+ ( r r

0

)

2

: ( 3 2 )

N o w o u r n o t a t i o n r e e c t s t h e d e p e n d e n c y o n o n l y o n e s u r f a c e c o o r d i n a t e , r

0

= r (

0

) ,

e t c .

I n t h e a l t e r n a t e f o r m u l a t i o n , ( 1 9 ) b e c o m e s

r

t

=

r

r

z

1

s

2

; ( 3 3 )

z

t

=

z

+

r

r

1

s

2

; ( 3 4 )

1 0


11/33

w h e r e s

2

= r

2

+ z

2

a n d = r A e

i s a p s e u d o - s t r e a m f u n c t i o n . N o t e t h a t A h a s

o n l y o n e n o n - v a n i s h i n g c o m p o n e n t . B y u s i n g ( 2 2 , 2 3 ) , w e m a y e x p r e s s t h e p o t e n t i a l

f u n c t i o n ( 1 0 ) a s

=

1

4

P

Z

(

0

) B

0

( ;

0

) [ z

0

F ( k ) + C

1

( ;

0

) E ( k ) ] d

0

+

1

2

; ( 3 5 )

a n d t h e p s e u d o - s t r e a m f u n c t i o n ( o b t a i n e d f r o m ( 2 0 ) ) a s

=

1

4

P

Z

(

0

) B

0

( ;

0

) f [ r

0

r

0

z

0

( z z

0

) ] F ( k ) + C

2

( ;

0

) E ( k ) g d

0

; ( 3 6 )

w h e r e

C

1

=

( z z

0

) [ z

0

( z z

0

) 2 r

0

r

0

] + ( r

2

r

0

2

) z

0

( z z

0

)

2

+ ( r r

0

)

2

( 3 7 )

C

2

=

( z z

0

)

[ z

0

( z z

0

) r

0

r

0

] ( z z

0

) + z

0

( r

2

+ r

0

2

)

+ ( r

2

r

0

2

) r

0

r

0

( z z

0

)

2

+ ( r r

0

)

2

: ( 3 8 )

I n o r d e r t o d e s i g n g o o d n u m e r i c a l m e t h o d s f o r t h e i n t e g r a l s , w e m u s t u n d e r s t a n d

t h e n a t u r e o f t h e s i n g u l a r i t i e s i n t h e i n t e g r a n d s . F i r s t , w e c o n s i d e r t h e a s y m p t o t i c

b e h a v i o r o f t h e i n t e g r a n d s i n ( 2 6 , 2 7 ) w h e n t h e i n t e g r a t i o n v a r i a b l e

0

i s c l o s e t o

t h e e l d p o i n t a t . F o r r r ( ) 6= 0 , t h e l e a d i n g o r d e r t e r m s o f t h e i n t e g r a n d s a r e

2 r

z

s

2

(

0

)

a n d

2

r

s

2

(

0

)

( 3 9 )

r e s p e c t i v e l y . C l e a r l y , t h e i n t e g r a n d s h a v e p o l e s i n g u l a r i t i e s 1 = (

0

) e x c e p t r i g h t

o n t h e a x i s .

I n t h e o t h e r f o r m u l a t i o n , t h e i n t e g r a n d s i n ( 3 5 , 3 6 ) e x h i b i t t h e f o l l o w i n g a s y m p -

t o t i c b e h a v i o r

z

r

(

0

) l n j

0

j a n d 2

r ( 4 0 )

r e s p e c t i v e l y . T h e r e f o r e , t h e s e i n t e g r a n d s a r e c o n t i n u o u s e v e n t h o u g h t h e y h a v e

d i s c o n t i n u o u s d e r i v a t i v e s . T h i s i n f o r m a t i o n w i l l p r o v e v e r y v a l u a b l e i n t h e d e s i g n o f

e e c t i v e n u m e r i c a l m e t h o d s .

3 N u m e r i c a l M e t h o d s

W e d e s c r i b e t h e n u m e r i c a l m e t h o d s t o e v a l u a t e t h e v e l o c i t y o f t h e v o r t e x s h e e t i n

t h r e e p a r t s : e v a l u a t i o n o f t h e c o m p l e t e e l l i p t i c i n t e g r a l s o f t h e r s t a n d s e c o n d k i n d ;

1 1


12/33

a d a p t i v e n u m e r i c a l q u a d r a t u r e s ; a n d t h e i r s p e c i c a p p l i c a t i o n t o t h e v o r t e x s h e e t .

3 . 1 E v a l u a t i o n o f t h e e l l i p t i c i n t e g r a l s

I n ( [ 1 6 ] , p 2 9 7 ) , t h e r e a r e r e c u r s i v e f o r m u l a e f o r t h e e v a l u a t i o n o f b o t h F ( k ) a n d

E ( k ) .

F =

2

( 1 + G

1

) ( 1 + G

2

) ( 1 + G

3

) : : : ; E = F

1

k

2

2

H

; ( 4 1 )

w h e r e

H = 1 +

G

1

2

1 +

G

2

2

1 +

G

3

2

( : : : ) : : :

: : :

; ( 4 2 )

a n d G

i

i s g i v e n b y t h e r e c u r s i o n ,

G

0

= k ; G

i

=

1

q

1 G

2

i 1

1 +

q

1 G

2

i 1

: ( 4 3 )

T h i s m e t h o d i s v e r y r o b u s t c o m p u t a t i o n a l l y . H o w e v e r , t h e n u m b e r o f i t e r a t i o n s f o r

a g i v e n t o l e r a n c e d e p e n d s o n k . I n g e n e r a l , m o r e i t e r a t i o n s a r e n e e d e d w h e n k i s

c l o s e t o 1 .

T h e o t h e r w i d e l y - u s e d t e c h n i q u e f o r t h e c o m p u t a t i o n o f E a n d F i s a p o l y n o m i a l

a p p r o x i m a t i o n . F r o m ( [ 1 6 ] , p 2 9 7 ) a n d ( [ 1 7 ] , p 1 7 0 ) , w e k n o w

F = l n ( 4 ) +

m

X

j = 1

a

j

j

+

0

@

1

2

+

m

X

j = 1

b

j

j

1

A

l n

1

+ e r r o r

1

( k ) ; ( 4 4 )

a n d

E = 1 +

m

X

j = 1

c

j

j

+

0

@

m

X

j = 1

d

j

j

1

A

l n

1

+ e r r o r

2

( k ) ; ( 4 5 )

w h e r e = 1 k

2

. T h e p o l y n o m i a l c o e c i e n t s a r e o b t a i n e d v i a l e a s t - s q u a r e t s .

T h e s i z e s o f t h e t w o e r r o r t e r m s d e p e n d o n m . F o r e x a m p l e , t o g u a r a n t e e e r r o r s o f

l e s s t h a n 1 0

8

w e n e e d m = 4 ( [ 1 7 ] , p 1 7 0 ) ( [ 1 8 ] , p 5 9 1 ) , a v e r y c o m m o n c h o i c e . T o

g u a r a n t e e e r r o r s o f l e s s t h a n 1 0

2 1

, w e n e e d m = 1 5 , w h i c h i s s t i l l n o t e x c e s s i v e .

1 2


13/33

3 . 2 A d a p t i v e Q u a d r a t u r e s

G a u s s i a n q u a d r a t u r e i s o n e o f t h e m o s t p o p u l a r m e t h o d s f o r n u m e r i c a l i n t e g r a t i o n

b e c a u s e o f i t s h i g h a c c u r a c y . H o w e v e r , t h e s t a n d a r d G a u s s i a n q u a d r a t u r e l a c k s t h e

n a t u r e o f p r o g r e s s i v e n e s s , i . e . a G a u s s i a n r u l e c a n n o t b e g e n e r a t e d b y a d d i n g n e w

p o i n t s t o a n o t h e r G a u s s i a n r u l e , a n d i t h a s t o b e r e c o n s t r u c t e d . T h i s i s n o t s u i t a b l e

f o r a d a p t i v e s t r a t e g y .

I n [ 1 9 ] , K r o n r o d s h o w s t h a t a n n - p o i n t G a u s s i a n r u l e m a y b e a u g m e n t e d b y a

f u r t h e r s e t o f n + 1 a b s c i s s a e t o y i e l d a r u l e w h i c h i n t e g r a t e s e x a c t l y a p o l y n o m i a l

o f d e g r e e 3 n + 1 f o r n e v e n a n d 3 n + 2 f o r n o d d . I n t h e e x t e n d e d r u l e , t h e r e a r e

e x t r a n + 1 w e i g h t s a n d a b s c i s s a e . W h i l e t h e o r i g i n a l G a u s s i a n a b s c i s s a e r e m a i n

u n c h a n g e d , t h e i r w e i g h t s m u s t b e r e s e t . P a t t e r s o n [ 2 0 ] e x t e n d s t h i s t e c h n i q u e b y

c o n s i d e r i n g t h e a r g u m e n t a t i o n o f a n n - p o i n t f o r m u l a b y p p o i n t s . T h e r e a r e t a b l e s

c o n t a i n i n g t h e s t a n d a r d a b s c i s s a e a n d w e i g h t s i n [ 1 9 ] .

I n t h i s s t u d y , w e u s e a 7 - 1 5 p o i n t G a u s s - K r o n r o d q u a d r a t u r e . W e b i s e c t t h e

i n t e g r a t i o n i n t e r v a l s a n d e s t i m a t e t h e e r r o r o f t h e n u m e r i c a l i n t e g r a t i o n o v e r e a c h

i n t e r v a l b y m e a s u r i n g t h e d i e r e n c e b e t w e e n t h e 7 - p o i n t G a u s s q u a d r a t u r e a n d 1 5 -

p o i n t K r o n r o d r u l e . A g l o b a l l y a d a p t i v e s t r a t e g y i s t o b i s e c t t h e i n t e r v a l w i t h t h e

l a r g e s t e r r o r e s t i m a t e u n t i l t h e e r r o r i s l e s s t h a n a p r e s c r i b e d t o l e r a n c e . W e u s e d

t h e f r e e l y a v a i l a b l e s o f t w a r e p a c k a g e Q u a d p a c k [ 2 1 ] w h i c h i m p l e m e n t s t h i s s t r a t e g y .

C l e n s h a w - C u r t i s Q u a d r a t u r e [ 2 2 ] i s b a s e d o n t h e e x p a n s i o n o f t h e i n t e g r a n d

a s a s e r i e s o f C h e b y s h e v p o l y n o m i a l s . T h e m e t h o d i s n a t u r a l l y a d a p t i v e s i n c e i t

a d j u s t s t h e n u m b e r o f t e r m s t o r e a c h a s p e c i e d l e v e l o f a c c u r a c y . F o r i n t e g r a n d s

w i t h w e i g h t f u n c t i o n s w h i c h c a u s e a s l o w r a t e o f c o n v e r g e n c e , P i e s s e n s a n d B r a n d e r

[ 2 3 ] d e v e l o p e d a m o d i e d C l e n s h a w - C u r t i s q u a d r a t u r e t h r o u g h t h e c o m p u t a t i o n o f

m o d i e d C h e b y s h e v m o m e n t s . I n t h i s s t u d y , w e a r e i n t e r e s t e d i n t h e c o m p u t a t i o n

o f t h e i n t e g r a l w i t h t h e f o l l o w i n g w e i g h t [ 2 1 ] ,

Z

1

0

f (

0

) l n (

0

) d

0

( 4 6 )

T h i s w e i g h t f u n c t i o n i s o n e o f t h e c h o i c e s a v a i l a b l e i n Q u a d p a c k w h i c h c o n t a i n s t h e

s o f t w a r e n e c e s s a r y t o p e r f o r m t h e m o d i e d C l e n s h a w - C u r t i s q u a d r a t u r e .

1 3


14/33

3 . 3 A p p l i c a t i o n t o t h e D i p o l e D i s t r i b u t i o n

A c o n v e n i e n t c h o i c e f o r t h e s u r f a c e c o o r d i n a t e i s t o u s e t h e a n g l e s u b t e n d e d a t t h e

c e n t e r o f t h e e n c l o s e d r e g i o n b y t h e a x i s o f s y m m e t r y a n d t h e v e c t o r t o a e l d p o i n t

o n t h e i n i t i a l l o c a t i o n o f t h e s u r f a c e . F o r t h e s t u d i e s r e p o r t e d i n t h i s p a p e r , t h e

i n i t i a l s u r f a c e i s a s p h e r e a n d i s t h e p o l a r a n g l e m e a s u r e d f r o m t h e b o t t o m p o l e .

T h u s = 0 w i l l m a r k t h e b o t t o m p o l e , w h i l e = w i l l m a r k i t s t o p .

W e a p p r o x i m a t e t h e c l o s e d s u r f a c e b y a s e t o f p o i n t s a l o n g t h e c o n t o u r i n t h e ( r ; z )

m e r i d i o n a l p l a n e ( r

i

; z

i

) ( r (

i

) ; z (

i

) ) f o r i = 1 ; : : : ; N , w h e r e

i

= i = ( N 1 ) .

T h e e q u a t i o n s ( 3 3 , 3 4 ) a r e t h e n e n f o r c e d a t t h e s e p o i n t s . T h i s r s t r e q u i r e s t h e

c o m p u t a t i o n o f

i

a n d

i

. A l t h o u g h t h e i n t e g r a n d s i n ( 3 5 , 3 6 ) a r e c o n t i n u o u s

w h e n =

0

, t h e i r d e r i v a t i v e s a r e n o t . S o w e s p l i t t h e i n t e g r a l s i n t o t w o p a r t s : o n e

i n t e g r a t e d f r o m 0 t o

i

, a n d t h e o t h e r o n e f r o m

i

t o . T h e n w e a p p l y t h e a d a p t i v e

G a u s s - K r o n r o d q u a d r a t u r e t o e a c h o f t h e t w o i n t e g r a l s . B e c a u s e G a u s s - K r o n r o d

q u a d r a t u r e i s a o p e n q u a d r a t u r e , w e d o n o t n e e d t o e v a l u a t e t h e i n t e g r a n d s a t t h e

i n t e g r a t i o n l i m i t s . I n p a r t i c u l a r , w e d o n o t n e e d t o w o r r y a b o u t t h e i n d e t e r m i n a t e

f o r m o f t h e i n t e g r a n d w h e n =

0

.

T o e v a l u a t e t h e i n t e g r a n d s , w e a l s o n e e d v a l u e s f o r t h e e l l i p t i c i n t e g r a l s a n d

d e r i v a t i v e s o f r a n d z . T h e e l l i p t i c i n t e g r a l s a r e d e t e r m i n e d t h r o u g h t h e r e c u r s i o n

( 4 1 - 4 3 ) . D e p e n d i n g o n t h e a c c u r a c y w e r e q u i r e f o r t h e i n t e g r a t i o n , w e s e t a t o l e r a n c e

f o r t h e r e c u r s i o n f o r t h e e l l i p t i c i n t e g r a l s . T o d e t e r m i n e t h e d e r i v a t i v e s o f r a n d z w e

e x p a n d t h e m i n a d i s c r e t e f o u r i e r c o s i n e s e r i e s a n d d i e r e n t i a t e t h e s e r i e s . T h i s c a n

b e d o n e i n O ( N ) o p e r a t i o n s t h r o u g h t h e F a s t F o u r i e r T r a n s f o r m . S i m i l a r l y w e c a n

d e t e r m i n e t h e d e r i v a t i v e s o f a n d w h i c h t h e n g i v e u s t h e v e l o c i t i e s o f t h e p o i n t s

o n t h e s h e e t . T o o b t a i n v a l u e s o f q u a n t i t i e s a t p o i n t s o t h e r t h a n t h e c o l l o c a t i o n

p o i n t s , w e u s e q u i n t i c s p l i n e s . B e c a u s e o f t h e s y m m e t r i e s i n a c l o s e d , a x i - s y m m e t r i c

s u r f a c e , t h e e n d p o i n t c o n d i t i o n s f o r t h e s p l i n e s a r e e a s i l y s p e c i e d . W e c a l l t h i s

p r o c e d u r e M e t h o d 1 .

I n M e t h o d I I , w e r e p l a c e t h e e l l i p t i c i n t e g r a l o f t h e r s t a n d s e c o n d k i n d b y t h e

1 4


15/33

a p p r o x i m a t i o n s ( 4 4 , 4 5 ) . T h e t w o i n t e g r a l s ( 3 5 , 3 6 ) t h e n t a k e t h e f o r m ,

Z

0

f ( ;

0

) d

0

+

Z

0

g

1

( ;

0

) l n (

0

) d

0

+

Z

g

2

( ;

0

) l n (

0

) d

0

( 4 7 )

w h e r e f , g

1

, a n d g

2

a r e s m o o t h f u n c t i o n s o f a n d

0

. W e u s e t h e G a u s s - K r o n r o d

q u a d r a t u r e o n t h e r s t i n t e g r a l i n ( 4 7 ) , a n d t h e M o d i e d C l e n s h a w - C u r t i s q u a d r a t u e

o n t h e s e c o n d a n d t h i r d i n t e g r a l s i n ( 4 7 ) r e s p e c t i v e l y . A s i n m e t h o d I , d e r i v a t i v e s a r e

o b t a i n e d t h r o u g h t h e u s e o f a F o u r i e r c o s i n e s e r i e s , a n d i n t e r p o l a t i o n i s c o n d u c t e d

w i t h q u i n t i c s p l i n e s .

O n c e t h e v e l o c i t y c o m p o n e n t s h a v e b e e n d e t e r m i n e d b y M e t h o d I o r I I , w e a d -

v a n c e t h e l o c a t i o n o f t h e v o r t e x s h e e t b y a p p l y i n g a f o u r t h - o r d e r A d a m s - M o u l t o n

p r e d i c t o r - c o r r e c t o r o n ( 3 3 , 3 4 ) . S t a r t i n g v a l u e s f o r t h e p r e d i c t o r - c o r r e c t o r a r e c o m -

p u t e d b y a s t a n d a r d f o u r t h - o r d e r R u n g e - K u t t a m e t h o d .

4 N u m e r i c a l T e s t s o f M e t h o d s

O u r r s t s e r i e s o f t e s t s a r e p e r f o r m e d w i t h o u t u s i n g a d a t i v e q u a d r a t u r e . T h i s p r o -

v i d e s u s w i t h d a t a b y w h i c h w e c a n c o m p a r e t h e e e c t i v e n e s s o f a d a p t i v e q u a d r a -

t u r e . W e e x p l o r e t h r e e n o n - a d a p t i v e s t r a t e g i e s t o c o m p u t e t h e v e l o c i t y ( r

t

; z

t

) o f

a v o r t e x s h e e t . I n M e t h o d A , w e a p p l y t h e s i x - p o i n t G a u s s i a n q u a d r a t u r e i n e a c h

s u b - i n t e r v a l (

i

;

i + 1

) o f t h e B i o t - S a v a r t i n t e g r a l s ( 2 6 , 2 7 ) . I n M e t h o d B , w e f o l l o w

p r e v i o u s w o r k [ 1 0 ] b y s u m m i n g t h e i n t e g r a n d s o f t h e B i o t - S a v a r t i n t e g r a l s a t a l l c o l -

l o c a t i o n p o i n t s e x c e p t t h e e l d p o i n t , t h e n a d d i n g t h e a x i - s y m m e t r i c V a n d e r V o o r e n

c o r r e c t i o n s t o t h e s u m . I n M e t h o d C , w e a p p l y t h e s i x - p o i n t G a u s s i a n q u a d r a t u r e

i n e a c h s u b - i n t e r v a l (

i

;

i + 1

) o f t h e i n t e g r a l s ( 3 5 , 3 6 ) . I n a l l t h r e e c a s e s , w e u s e t h e

F o u r i e r s e r i e s t o d e t e r m i n e d e r i v a t i v e s , a n d i n t e r p o l a t i o n i s p e r f o r m e d t h r o u g h t h e

u s e o f q u i n t i c s p l i n e s . T h e t w o e l l i p t i c i n t e g r a l s a r e c o m p u t e d t h r o u g h t h e r e c u r s i v e

f o r m u l a e ( 4 1 , 4 2 , 4 3 ) .

W e u s e t h e i n s t a n t a n e o u s v e l o c i t y e l d o f a u n i f o r m o w p a s t a s p h e r e a s a

t e s t c a l c u l a t i o n . T h e p a r a m e t r i z a t i o n o f t h e s u r f a c e o f t h e s p h e r e a n d t h e d i p o l e

d i s t r i b u t i o n i s

r ( ) = s i n ( ) z ( ) = c o s ( ) ( ) = c o s ( ) ( 4 8 )

1 5


16/33

w h e r e 2 [ 0 ; ] . T h e v e l o c i t i e s o f t h e v o r t e x s h e e t a r e

r

t

=

s i n ( 2 )

4

z

t

=

5

1 2

+

1

4

c o s ( 2 )

( 4 9 )

W e m e a s u r e t h e e r r o r a s t h e m a x i m u m d i e r e n c e b e t w e e n t h e e x a c t v e l o c i t y

( 4 9 ) a n d t h e n u m e r i c a l l y c a l c u l a t e d o n e . I n F i g u r e 1 , w e p l o t t h e e r r o r s f o r t h e

t h r e e d i e r e n t m e t h o d s w h e n N = 6 5 . M e t h o d C , b a s e d o n t h e u s e o f t h e v e c t o r

p o t e n t i a l , g i v e s t h e b e s t a c c u r a c y , b u t a l l t h r e e m e t h o d s l o s e a c c u r a c y w h e n i s

n e a r t h e t w o p o l e s . T h e c a u s e o f t h e d i c u l t y i s t h e p a r t i c u l a r b e h a v i o r o f t h e

i n t e g r a n d f o r a e l d p o i n t n e a r t h e a x i s o f s y m m e t r y [ 1 ] , [ 1 1 ] . T h e e r r o r p r o l e h a s

a b o u n d a r y l a y e r i n s i d e o f w h i c h t h e e r r o r o n l y d e c r e a s e s l i n e a r l y w i t h t h e s p a c i n g

b e t w e e n t h e c o l l o c a t i o n p o i n t s [ 1 4 ] . W e c o n r m t h i s b e h a v i o r i n F i g u r e 2 , w h i c h

s h o w s t h e v a r i a t i o n o f t h e m a x i m u m e r r o r w i t h t h e n u m b e r o f c o l l o c a t i o n p o i n t s .

T h e d e c r e a s e i s o n l y l i n e a r . B y l i n e a r e x t r a p o l a t i o n , t h e e r r o r w i l l b e a b o u t 1 0

7

a n d 1 0

1 0

w i t h N = 2

2 0

f o r M e t h o d B a n d M e t h o d C , r e s p e c t i v e l y . T h e c o s t i s

p r o h i b i t i v e t o a c h i e v e t h e l e v e l s o f a c c u r a c y r q u i r e d t o s t u d y s i n g u l a r i t y f o r m a t i o n

o n v o r t e x s h e e t s .

W e t u r n n o w t o t h e s t u d y o f t h e t w o a d a p t i v e m e t h o d s . F o r a l l t h e r e s u l t s

r e p o r t e d h e r e ( i n c l u d i n g t h e n e x t s e c t i o n ) , w e m a k e s u r e t h a t t h e e r r o r s i n t h e

c o m p u t a t i o n o f t h e e l l i p t i c i n t e g r a l s a r e l e s s t h a n

E

= 1 0

1 4

. F o r t h e a d a p t i v e

G a u s s - K r o n r o d q u a d r a t u r e ( M e t h o d A ) , w e u s e t h e r e c u r s i v e f o r m u l a e ( 4 1 , 4 2 , 4 3 )

u n t i l t h e d i e r e n c e i n t h e i t e r a t e s a r e l e s s t h a n

E

. F o r t h e a d a p t i v e C l e n s h a w - C u r t i s

q u a d r a t u r e ( M e t h o d B ) , w e n d t h a t m = 8 e n s u r e s t h e p o l y n o m i a l a p p r o x i m a t i o n s

t o t h e e l l i p t i c f u n c t i o n s a r e a c c u r a t e t o a t l e a s t

E

. A l s o , w e s e t a t o l e r a n c e r e q u i r e -

m e n t

I

f o r t h e c a l c u l a t i o n o f t h e v a r i o u s i n t e g r a l s . T h i s t o l e r a n c e i s s i m p l y p a s s e d

t h r o u g h a s u b r o u t i n e c a l l t o t h e s o f t w a r e p a c k a g e Q u a d p a c k . F i g u r e 3 p r e s e n t s t h e

e r r o r s o f t h e t w o a d a p t i v e m e t h o d s a s a f u n c t i o n o f w h e n N = 6 5 a n d

I

= 1 0

1 2

.

I n c o n t r a s t t o t h e n o n - a d a p t i v e m e t h o d s , t h e e r r o r s a r e n e a r l y u n i f o r m f o r a l l .

T h e e r r o r s a r e v e r y c l o s e t o t h e s p e c i e d t o l e r a n c e f o r t h e c a l c u l a t i o n o f t h e i n t e -

g r a l s . D o n ' t f o r g e t t h a t a n d m u s t b e d i e r e n t i a t e d n u m e r i c a l l y t o d e t e r m i n e

t h e v e l o c i t i e s o n t h e v o r t e x s h e e t , a n d t h e r e w i l l b e s o m e e r r o r i n c u r r e d a s a r e s u l t .

1 6


17/33

I n o r d e r t o c o m p a r e t h e c o s t b e t w e e n t h e s e t w o m e t h o d s , w e c o u n t t h e n u m b e r

o f i n t e g r a n d e v a l u a t i o n s f o r e a c h m e t h o d , w h i c h i s t h e d o m i n a n t c o s t i n c o m p u t i n g

t h e i n t e g r a l s . I n F i g u r e 4 , w e p l o t t h e a v e r a g e n u m b e r o f i n t e g r a n d e v a l u a t i o n s p e r

c o l l o c a t i o n p o i n t a s a f u n c t i o n o f t h e e r r o r . W e s h o w t h e r e s u l t s f o r b o t h N = 6 5 a n d

N = 1 2 9 . T h e r e a r e s e v e r a l p o i n t s t h a t t h e t h e s e r e s u l t s i l l u s t r a t e . F i r s t , c o n s i s t e n t

w i t h t h e r e s u l t s o f t h e p r e v i o u s t e s t , i t r e q u i r e s m a n y q u a d r a t u r e p o i n t s t o o b t a i n

e v e n m o d e r a t e a c c u r a c y . B y u s i n g a n a d a p t i v e q u a d r a t u r e w e i n s e r t t h e q u a d r a -

t u r e p o i n t s t h r o u g h i n t e r p o l a t i o n j u s t w h e r e t h e y a r e n e e d e d . W i t h o u t a d a p t i o n ,

w e w o u l d h a v e t o i n t r o d u c e m a n y m o r e c o l l o c a t i o n p o i n t s , d r i v i n g u p t h e c o s t o f

n u m e r i c a l i n t e g r a t i o n e x o r b i t a n t l y . N o t e f u r t h e r m o r e t h a t t h e n u m b e r o f i n t e g r a n d

e v a l u a t i o n s i s r e l a t i v e l y i n s e n s i t i v e t o t h e n u m b e r o f c o l l o c a t i o n p o i n t s . T h i s m e a n s

t h a t t h e e r r o r s i n u s i n g N = 6 5 a n d N = 1 2 9 p o i n t s t o r e p r e s e n t t h e i n t e r f a c e a r e

m u c h s m a l l e r t h a n t h e e r r o r s c a u s e d b y t h e n u m e r i c a l i n t e g r a t i o n . I n o t h e r w o r d s ,

t h e r e i s n o n e e d t o h a v e m o r e c o l l o c a t i o n p o i n t s . F i n a l l y , w e n o t e t h a t M e t h o d

I I i s m o r e e c e n t t h a n M e t h o d I , a n d b o t h m e t h o d s a r e m u c h m o r e e c i e n t t h a n

M e t h o d C .

5 E v o l u t i o n o f V o r t e x S h e e t

W e f o l l o w p r e v i o u s w o r k [ 1 3 ] , [ 1 4 ] i n u s i n g ( 4 8 ) a s t h e i n i t i a l c o n d i t i o n . T h i s i n i t i a l

c o n d i t i o n c o r r e s p o n d s t o a u n i f o r m p o t e n t i a l o w p a s t a s o l i d s p h e r e w h i c h i s i n -

s t a n t a n e o u s l y d i s s o l v e d a t t = 0 . T h e v o r t e x s h e e t a t t h e b o u n d a r y o f t h e s p h e r e i s

t h e n a l l o w e d t o e v o l v e f r e e l y .

S i n c e v o r t e x s h e e t m o t i o n i s i l l - p o s e d , i t i s n e c e s s a r y t o c o n t r o l t h e g r o w t h o f

r o u n d - o e r r o r s t o a v o i d r a p i d c o n t a m i n a t i o n o f t h e p r o l e l o n g b e f o r e s i n g u l a r i t y

f o r m a t i o n . I n s t u d i e s o f t w o - d i m e n s i o n a l m o t i o n o f v o r t e x s h e e t s , a F o u r i e r l t e r

i s f r e q u e n t l y u s e d [ 2 4 ] : t h e r e l i a b i l i t y o f t h e l t e r h a s b e e n c h e c k e d w i t h a r b i t r a r y

p r e c i s i o n c a l c u l a t i o n s [ 2 5 ] . A t e a c h t i m e s t e p , w e c a l c u l a t e t h e F o u r i e r s p e c t r u m o f

t h e l o c a t i o n o f t h e v o r t e x s h e e t a n d s e t a l l a m p l i t u d e s b e l o w a l t e r l e v e l

F

t o z e r o .

I n F i g u r e 5 , t h e p r o l e s o f t h e a x i - s y m m e t r i c v o r t e x s h e e t a r e s h o w n a t d i e r e n t

t i m e s . T h e r e s u l t s a r e o b t a i n e d b y M e t h o d I I u s i n g

F

=

I

= 1 0

1 2

, N = 2 5 7 , a n d

1 7


18/33

t h e t i m e s t e p 4 t = 0 : 0 0 1 . W e e s t a b l i s h t h e a c c u r a c y i n o u r r e s u l t s b y a r e s o l u t i o n

s t u d y . F i r s t , w e c o n s i d e r t h e i n u e n c e o f t h e n u m b e r o f c o l l o c a t i o n p o i n t s N w h i c h

r e p r e s e n t t h e i n t e r f a c e . W e t r e a t N = 2 5 7 a s \ e x a c t " , a n d u s e t h e m a x i m a l d i e r e n c e

b e t w e e n t h i s \ e x a c t " s o l u t i o n a n d o t h e r s m a l l e r N a s a n e s t i m a t e o f t h e e r r o r . W e

p l o t t h e e r r o r f o r N = 9 ; 1 7 ; 3 3 ; 6 5 ; 1 2 9 i n F i g u r e 6 . H e r e , t h e t i m e s t e p i s 4 t = 0 : 0 0 1 .

T h e r e a r e t h r e e m a j o r s o u r c e s o f e r r o r d u e t o t h e s p a t i a l d i s c r e t i z a t i o n : t h e r e i s a n

O ( N

6

) e r r o r c a u s e d b y t h e u s e o f q u i n t i c s p l i n e s f o r i n t e r p o l a t i o n ; t h e r e i s a n

O ( e x p ( c N ) ) e r r o r i n d e t e r m i n i n g t h e d e r i v a t i v e s o f a n d b y t h e i r F o u r i e r s e r i e s

( c i s s o m e c o n s t a n t ) ; a n d t h e r e i s a n e r r o r p r o d u c e d b y t h e e v a l u a t i o n o f t h e i n t e g r a l s .

I n g e n e r a l , i f t h e e r r o r s i n e v a l u a t i n g t h e i n t e g r a l s a r e s m a l l e n o u g h c o m p a r e d w i t h

t h e o t h e r t w o e r r o r s , t h e d o m i n a n t e r r o r s h o u l d b e O ( N

6

) . S p e c i c a l l y , t h e e r r o r

s h o u l d d e c r e a s e b y a f a c t o r o f 6 4 w h e n e v e r N i s d o u b l e d . T h i s i s e v i d e n t i n F i g u r e

6 . T h e e r r o r s u n i f o r m l y d e c r e a s e b y a f a c o r c l o s e t o 6 4 a s t h e n u m b e r o f c o l l o c a t i o n

p o i n t s i s i n c r e a s e d f r o m N = 9 t o N = 6 5 . F o r N = 6 5 a n d N = 1 2 9 , t h e e r r o r s

a r e i n i t i a l l y l i m i t e d b y t h e c h o i c e s

I

=

F

= 1 0

1 2

, b u t a s t h e e r r o r s b e c o m e l a r g e r

t h a n 1 0

1 2

, t h e a c c u r a c y f o r N = 1 2 9 i s b e t t e r t h a n f o r N = 6 5 .

N e x t w e c o n s i d e r t h e e r r o r s c a u s e d b y t h e t e m p o r a l d i s c r e t i z a t i o n . S i m i l a r t o

t h e s p a t i a l r e s o l u t i o n s t u d y , w e t a k e t h e r e s u l t s f o r 4 t = 0 : 0 0 0 2 5 a s \ e x a c t " , a n d

u s e t h e d i e r e n c e w i t h t h e r e s u l t s f o r l a r g e r 4 t a s e s t i m a t e s o f t h e e r r o r s . H e r e ,

w e p i c k N = 1 2 9 . S i n c e t h e A d a m s - M o u l t o n P r e d i c t o r - C o r r e c t o r m e t h o d h a s a n

e r r o r o f O ( ( 4 t )

4

) , w e s h o u l d o b t a i n a n i m p r o v e m e n t i n a c c u r a c y o f a f a c t o r o f 1 6

w h e n e v e r 4 t i s h a l v e d . I n F i g u r e 7 , t h e e r r o r s a r e p l o t t e d a s f u n c t i o n s o f t i m e f o r

4 t = 0 : 0 4 ; 0 : 0 0 2 ; 0 : 0 0 1 ; 0 : 0 0 5 ; 0 : 0 0 2 5 ; 0 : 0 0 1 ; 0 : 0 0 0 5 .

E x c e p t a t v e r y e a r l y t i m e s , t h e e r r o r s u n i f o r m l y d e c r e a s e w i t h a f a c t o r a b o u t

1 6 a s 4 t d e c r e a s e s t o 0 : 0 0 2 5 . F o r s m a l l e r v a l u e s o f 4 t , t h e e r r o r s b e c o m e s m a l l e r

t h a n t h e e e c t s o f t h e s p e c t r a l l t e r (

F

= 1 0

1 2

) , a n d n o f u r t h e r i m p r o v e m e n t i s

p o s s i b l e w i t h o u t c h a n g i n g t h e v a r i o u s t o l e r a n c e r e q u i r e m e n t s a n d t h e l t e r l e v e l .

C o n s e q u e n t l y , 4 t = 0 : 0 0 1 g i v e s t h e b e s t a c c u r a c y f o r o u r c h o i c e o f n u m e r i c a l p a -

r a m e t e r s . M o s t i m p o r t a n t i s t h e f a c t t h a t n o s m o o t h i n g o t h e r t h a n t h e s p e c t r a l

l t e r t o c o n t r o l r o u n d - o e r r o r s i s n e e d e d f o r n u m e r i c a l s t a b i l i t y . H i g h l y a c c u r a t e

1 8


19/33

e v a l u a t i o n s o f t h e i n t e g r a l s g i v e n u m e r i c a l l y s t a b l e m e t h o d s , a n o b s e r v a t i o n n o t e d

i n t w o d i m e n s i o n a l m o t i o n [ 2 6 ] , [ 2 7 ] .

W e t u r n n o w t o c o m p a r i s o n o f t h e p e r f o r m a n c e o f M e t h o d I a n d M e t h o d I I .

F r o m t h e r e s o l u t i o n s t u d y , w e n d t h a t N = 1 2 9 a n d 4 t = 0 : 0 0 1 g i v e s l e v e l s o f

a c c u r a c y c l o s e t o

I

= 1 0

1 2

. S o w e c h o o s e t h i s N a n d 4 t f o r t h e c o m p a r i s o n

o f M e t h o d I a n d M e t h o d I I . W e c o m p u t e s o l u t i o n s f o r b o t h m e t h o d s w i t h t h r e e

d i e r e n t c h o i c e s o f

I

= 1 0

8

; 1 0

1 0

; 1 0

1 2

(

I

=

F

) . I n F i g u r e 8 , w e s h o w t h e

m a x i m a l d i e r e n c e s o f t h e s o l u t i o n s b e t w e e n t h e s e t w o m e t h o d s . A s s e e n i n t h e

p l o t , t h e d i e r e n c e s a r e c o m p a r a b l e w i t h t h e s i z e o f

I

a t e a r l y t i m e s , a n d i n c r e a s e

s l i g h t l y a s t i m e a d v a n c e s . T h e g e n e r a l t e n d e n c y o f t h e c u r v e s i s s i m i l a r t o t h o s e

s h o w n i n t h e r e s o l u t i o n s t u d y f o r M e t h o d I I . W e c o n c l u d e t h a t t h e t w o m e t h o d s a r e

c o m p a r a b l e i n t e r m s o f a c h i e v i n g a c c u r a c y . H o w e v e r , M e t h o d I I i s s u p e r i o r i n t e r m s

o f e c i e n c y . T h i s i s e v i d e n t i n T a b l e 1 , w h e r e t h e c o m p u t i n g t i m e f o r b o t h m e t h o d s

i s l i s t e d f o r d i e r e n t

I

. R o u g h l y s p e a k i n g , M e t h o d I I i s a b o u t f o u r t i m e s f a s t e r

t h a n M e t h o d I . E v e n s o , b o t h m e t h o d s a r e v e r y e e c t i v e c o n s i d e r i n g t h e a c c u r a c y

t h e y a c h i e v e .

W e c o n c l u d e t h i s s e c t i o n b y p r o v i d i n g s o m e e v i d e n c e o f t h e f o r m a t i o n o f a c u r -

v a t u r e s i n g u l a r i t y i n t h e v o r t e x s h e e t . I n F i g u r e 9 , w e s h o w r

a s a f u n c t i o n o f

a t t i m e s c l o s e t o w h e n t h e m a g n i t u d e o f t h e c u r v a t u r e g r o w s r a p i d l y . T h i s b e h a v i o r

i s q u i t e t y p i c a l o f t h a t s e e n i n s i n g u l a r i t y f o r m a t i o n i n t w o d i m e n s i o n a l m o t i o n o f

v o r t e x s h e e t s [ 7 ] . T h i s s i n g u l a r b e h a v i o r e x p l a i n s w h y t h e s o l u t i o n s g r a d u a l l y l o s e

t h e i r a c c u r a c y a s t i m e a p p r o a c h e s t h e \ s i n g u l a r i t y t i m e " . A d e t a i l e d s t u d y o f t h i s

s i n g u l a r b e h a v i o r w i l l b e p r e s e n t e d i n [ 2 8 ] .

6 C o n c l u s i o n s

M a n y q u a d r a t u r e p o i n t s a r e n e e d e d t o o b t a i n a c c u r a t e b o u n d a r y i n t e g r a l s f o r t h e

a x i - s y m m e t r i c m o t i o n o f a v o r t e x s h e e t . I f a x e d q u a d r a t u r e r u l e i s u s e d , t h i s a l s o

r e q u i r e s m a n y c o l l o c a t i o n p o i n t s , d r i v i n g t h e c o s t t o p r o h i b i t i v e l e v e l s . B y u s i n g

a d a p t i v e q u a d r a t u r e s , t h e n u m b e r o f q u a d r a t u r e p o i n t s c a n b e m a d e i n d e p e n d e n t

o f t h e n u m b e r o f c o l l o c a t i o n p o i n t s , l e a d i n g t o v e r y e c i e n t t e c h n i q u e s f o r t h e n u -

1 9


20/33

I

1 0

8

1 0

1 0

1 0

1 2

M e t h o d I 7 3 m i n s 1 1 5 m i n s 1 6 0 m i n s

M e t h o d I I 1 9 m i n s 2 6 m i n s 3 5 m i n s

T a b l e 1 : R u n n i n g T i m e o n S G I I n d i g o 2 I m p a c t 1 0 0 0 0

m e r i c a l s t u d y o f v o r t e x s h e e t m o t i o n . W e a n t i c i p a t e s i m i l a r r e s u l t s f o r b o u n d a r y

i n t e g r a l m e t h o d s t o t r a c k f r e e s u r f a c e m o t i o n i n a x i - s y m m e t r i c g e o m e t r y .

A c k n o w l e d g m e n t s

W e w o u l d l i k e t o t h a n k P r o f e s s o r D . W . M o o r e f o r m a n y v a l u a b l e d i s c u s s i o n s a n d

p r o v i d i n g u s w i t h h i s c o d e f o r M e t h o d B . W e a l s o b e n e i t e d f r o m s e v e r a l c o n v e r s a -

t i o n s w i t h M o n i k a N i t s c h e . S o m e o f t h e c o m p u t a t i o n s w e r e p e r f o r m e d a t t h e O h i o

S u p e r c o m p u t e r C e n t e r w h o s e g r a n t o f c o m p u t i n g r e s o u r c e s i s g r a t e f u l l y a c k n o w l -

e d g e d .

2 0


21/33

R e f e r e n c e s

[ 1 ] G . R . B a k e r , D . I . M e i r o n a n d S . A . O r s z a g . G e n e r a l i z e d v o r t e x m e t h o d s f o r

f r e e - s u r f a c e o w p r o b l e m s . J . F l u i d M e c h . , 1 2 3 : 4 7 7 { 5 0 1 , 1 9 8 2 .

[ 2 ] C . P o z r i k i d i s . B o u n d a r y i n t e g r a l a n d s i n g u l a r i t y m e t h o d s f o r l i n e a r i z e d v i s c o u s

o w . C a m b r i d g e U n i v e r s i t y P r e s s , 1 9 9 2 .

[ 3 ] G . R . B a k e r a n d D . W . M o o r e . T h e r i s e a n d d i s t o r t i o n o f a t w o - d i m e n s i o n a l g a s

b u b b l e i n a n i n v i s c i d l i q u i d . P h y s . F l u i d s , A 1 : 1 4 5 1 , 1 9 8 9 .

[ 4 ] G . R . B a k e r , D . I . M e i r o n , a n d S . A . O r s z a g . V o r t e x s i m u l a t i o n s o f t h e r a y l e i g h -

t a y l o r i n s t a b i l i t y . P h y s . F l u i d s , 2 3 : 1 4 8 5 { 1 4 9 0 , 1 9 8 0 .

[ 5 ] G . R . B a k e r . G e n e r a l i z e d v o r t e x m e t h o d s f o r f r e e - s u r f a c e o w s . I n R . E . M e y e r ,

e d i t o r , W a v e s o n F l u i d I n t e r f a c e s . A c a d e m i c P r e s s , 1 9 8 3 .

[ 6 ] A . S i d i a n d M . I s r a e l i . Q u a d r a t u r e m e t h o d s f o r s i n g u l a r a n d w e a k l y f r e d h o l m

i n t e g r a l e q u a t i o n s . J . S c i . C o m p u t . , 3 : 2 0 1 { 2 3 1 , 1 9 8 8 .

[ 7 ] M . J . S h e l l e y . A s t u d y o f s i n g u l a r i t y f o r m a t i o n i n v o r t e x s h e e t m o t i o n : a s p e c -

t r a l l y a c c u r a t e m e t h o d . J . F l u i d M e c h . , 1 9 9 2 .

[ 8 ] G . R . B a k e r , R . E . C a i s c h a n d M . S i e g e l . S i n g u l a r i t y f o r m a t i o n d u r i n g

R a y l e i t h - T a y l o r i n s t a b i l i t y . J . F l u i d M e c h . , 1 9 9 3 .

[ 9 ] G . R . B a k e r , D . I . M e i r o n a n d S . A . O r s z a g . B o u n d a r y i n t e g r a l m e t h o d s f o r a x -

i s y m m e t r i c a n d t h r e e - d i m e n s i o n a l R a y l e i g h - T a y l o r i n s t a b i l i t y p r o b l e m s . P h y s -

i c a l D , 1 2 : 1 9 { 3 1 , 1 9 8 4 .

[ 1 0 ] B . B e r n a d i n i s a n d D . W . M o o r e . A r i n g - v o r t e x r e p r e s e n t a t i o n o f a n a x i -

s y m m e t r i c v o r t e x s h e e t . I n S t u d i e s o f V o r t e x D o m i n a t e d F l o w s , p a g e s 3 3 { 4 3 .

S p r i n g e r - V e r l a g , 1 9 8 7 .

[ 1 1 ] M . N i t s c h e . A x i - s y m m e t r i c v o r t e x s h e e t m o t i o n : a c c u r a t e e v a l u a t i o n o f t h e

p r i n c i p a l v a l u e i n t e g r a l . P r e p r i n t , 1 9 9 7 .

[ 1 2 ] T . S . L u n d g r e n a n d N . N . M a n s o u r . O s c i l l a t i o n s o f d r o p s i n z e r o g r a v i t y w i t h

w e a k v i s c o u s e e c t s . J . F l u i d M e c h . , 1 9 8 8 .

2 1


22/33

[ 1 3 ] D . A . P u g h . D e v e l o p m e n t o f v o r t e x s h e e t s i n B o u s s i n e s q o w s - f o r m a t i o n o f

s i n g u l a r i t i e s . P h D t h e s i s , I m p e r i a l C o l l e g e o f S c i e n c e a n d T e c h n o l o g y , 1 9 8 9 .

[ 1 4 ] M . N i t s c h e . E v o l u t i o n o f a c y l i n d r i c a l a n d s p h e r i c a l v o r t e x s h e e t . I n P r o c e e d i n g

o f s e c o n d i n t e r n a t i o n a l w o r k s h o p o n v o r t e x o w s a n d r e l a t e d n u m e r i c a l m e t h o d s ,

1 9 9 5 .

[ 1 5 ] R . E . C a i s c h a n d X i a o - F a n L i . L a g r a n g i a n t h e o r y f o r 3 D v o r t e x s h e e t s w i t h

a x i a l o r h e l i c a l s y m m e t r y . T r a n s p o r t T h e o r y a n d S t a t i s t i c a l P h y s i c s , 2 1 : 5 5 9 { 5 7 8 ,

1 9 9 2 .

[ 1 6 ] P a u l F . B y r d a n d M o r r i s D . F r i e d m a n . H a n d b o o k o f E l l i p t i c I n t e g r a l s f o r E n -

g i n e e r s a n d P h y s i c i s t s . S p r i n g e r - V e r l a g , 1 9 5 3 .

[ 1 7 ] J r . C e c i l H a s t i n g s . A p p r o x i m a t i o n s f o r D i g i t a l C o m p u t e r s . P r i n c e t o n U n i v e r s i t y

P r e s s , 1 9 5 5 .

[ 1 8 ] M i l t o n A b r a m o w i t z a n d I r e n e A . S t e g u n . H a n d b o o k o f M a t h e m a t i c a l F u n c t i o n s .

D o v e r , 1 9 7 0 .

[ 1 9 ] A . S . K r o n r o d . N o d e s a n d W e i g h t s o f Q u a d r a t u r e F o r m u l a s . C o n s u l t a n t s B u -

r e a u , N e w Y o r k , 1 9 6 5 .

[ 2 0 ] T . N . P a t t e r s o n . T h e o p t i m u m a d d i t i o n o f p o i n t s t o q u a d r a t u r e f o r m u l a e . M a t h .

C o m p . , 2 2 : 8 4 7 { 8 5 6 , 1 9 6 8 .

[ 2 1 ] R . P i e s s e n s , E . d e D o n c k e r - K a p e n g a , C . W . U b e r h u b e r , D . K . K a h a n e r . Q u a d -

p a c k . S p r i n g e r - V e r l a g , 1 9 8 3 .

[ 2 2 ] C . C l e n s h a w a n d A . R . C u r t i s . A m e t h o d f o r n u m e r i c a l i n t e g r a t i o n o n a n

a u t o m a t i c c o m p u t e r . N u m e r . M a t h , 1 2 : 1 9 7 { 2 0 5 , 1 9 6 0 .

[ 2 3 ] R . P i e s s e n s a n d M . B r a n d e r s . T h e e v a l u a t i o n a n d a p p l i c a t i o n o f s o m e m o d i e d

m o m e n t s . B I T , 1 3 : 4 4 3 { 4 5 0 , 1 9 7 3 .

[ 2 4 ] R . K r a s n y . A s t u d y o f s i n g u l a r i t y f o r m a t i o n i n a v o r t e x s h e e t b y t h e p o i n t

v o r t e x a p p r o x i m a t i o n . J . F l u i d M e c h . , 1 6 7 : 6 5 { 9 3 , 1 9 8 6 .

2 2


23/33

[ 2 5 ] J . E l y a n d G . R . B a k e r . H i g h p r e c i s i o n c a l c u l a t i o n s o f v o r t e x s h e e t m o t i o n . J .

C o m p . P h y s . , 1 1 1 : 2 7 5 { 2 8 2 , 1 9 9 4 .

[ 2 6 ] A . J . R o b e r t s . A s t a b l e a n d a c c u r a t e n u m e r i c a l m e t h o d t o c a l c u l a t e t h e m o t i o n

o f a s h a r p i n t e r f a c e b e t w e e n u i d s . I M A J . o f A p p l . M a t h . , 3 1 : 1 3 { 2 8 , 1 9 8 3 .

[ 2 7 ] A . N a c h b i n a n d G . R . B a k e r . S t a b l e m e t h o d s f o r v o r t e x s h e e t m o t i o n i n t h e

p r e s e n c e o f s u r f a c e t e n s i o n . t o a p p e a r i n S I A M J . S c i . C o m p . , 1 9 9 7 .

[ 2 8 ] G . R . B a k e r a n d Q . N i e . S i n g u l a r i t y f o r m a t i o n i n a n a x i - s y m m e t r i c v o r t e x

s h e e t . I n P r e p a r a t i o n , 1 9 9 6 .

2 3


24/33

L i s t o f F i g u r e C a p t i o n s

1 . E r r o r s a s f u n c t i o n s o f f o r t h r e e n o n - a d a p t i v e m e t h o d s . D o t t e d c u r v e : M e t h o d

A ; d a s h c u r v e : M e t h o d B ; s o l i d c u r v e : M e t h o d C .

2 . L o g - l o g p l o t o f t h e m a x i m u m e r r o r o f e a c h m e t h o d a s a f u n c t i o n o f N . \ x " :

M e t h o d A ; \ o " : M e t h o d B ; \ * " : M e t h o d C .

3 . E r r o r s a s f u n c t i o n s o f f o r t h e t w o a d a p t i v e m e t h o d s . S o l i d c u r v e : M e t h o d

I ; d a s h c u r v e : M e t h o d I I .

4 . L o g - l o g p l o t o f t h e a v e r a g e n u m b e r o f i n t e g r a n d s e v a l u a t i o n p e r c o l l o c a t i o n

p o i n t a s f u n c t i o n s o f t h e e r r o r s . \ x " : M e t h o d I w i t h N = 6 5 ; \ * " : M e t h o d I

w i t h N = 1 2 9 ; \ o " : M e t h o d I I w i t h N = 6 5 ; \ + " : M e t h o d I I w i t h N = 1 2 9 .

5 . P r o l e s o f t h e v o r t e x s h e e t a t d i e r e n t t i m e s .

6 . T h e m a x i m a l d i e r e n c e s b e t w e e n t h e s o l u t i o n f o r N = 2 5 7 a n d s m a l l e r N a s

f u n c t i o n s o f t i m e .

7 . T h e m a x i m a l d i e r e n c e s b e t w e e n t h e s o l u t i o n f o r 4 t = 0 : 0 0 0 2 5 a n d f o r l a r g e r

4 t a s f u n c t i o n s o f t i m e .

8 . T h e m a x i m a l d i e r e n c e b e t w e e n t h e s o l u t i o n s c o m p u t e d b y M e t h o d I a n d

M e t h o d I I w i t h d i e r e n t c h o i c e s o f

I

: a ) d o t t e d c u r v e :

a

= 1 0

8

; b ) d a s h

c u r v e :

a

= 1 0

1 0

; c ) s o l i d c u r v e :

a

= 1 0

1 2

.

9 . r

v s a t t = 1 + i 0 : 0 2 ( i = 1 ; 4 ) a n d t = 1 : 0 9 5 .

2 4


25/33

F i g u r e 1 :

2 5


26/33

F i g u r e 2 :

2 6


27/33

F i g u r e 3 :

2 7


28/33

F i g u r e 4 :

2 8


29/33

F i g u r e 5 :

2 9


30/33

F i g u r e 6 :

3 0


31/33

F i g u r e 7 :

3 1


32/33

F i g u r e 8 :

3 2


33/33

F i g u r e 9 :

qing nie and greg baker- application of adaptive quadrature to axi-symmetric vortex sheet motion

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