¿qué es la ecuación lineal de onda y porqué...
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¿Qué es la ecuación lineal de onda y porqué es
importante?
¿Cuáles son las ecuaciones de Maxwell?
¿Cómo se relacionan el campo eléctrico y el campo
magnético de acuerdo a las ecuaciones de Maxwell?
¿Porqué podemos decir que la luz es una onda
electromagnética (OEM)?
¿Cómo son las funciones de onda para una OEM?
¿Qué información se puede sacar a partir de la
función de onda de una OEM?
¿Cuál es la potencia transportada por una OEM?
Las funciones de onda y(x,t)=Acos(kx-ωt) son soluciones de la ecuación lineal de onda:
La ecuación de onda describe cómo se propaga (o viaja) una onda plana en cualquier sistema físico. La variable y puede tener diferentes asignaciones dependiendo del tipo de onda que se trate:
Ondas en una cuerda: y=desplazamiento transversal del medio. Ondas de sonido: y=desplazamiento longitudinal del medio. Ondas electromagnéticas: y=campo eléctrico o magnético.
Esta ecuación de onda es el fundamento clásico de la ecuación de Schrödinger, base de la mecánica cuántica, que describe los fenómenos a nivel atómico y/o molecular (dualidad onda-partícula de los electrones).
2
2
22
2 1
t
y
vx
y
Ley de Gauss eléctrica: Ley de Gauss magnética: Ley de Faraday: Ley de Ampère-Maxwell:
Las consecuencias más importantes de las ecuaciones de Maxwell son:
Un campo magnético (eléctrico) variable en el tiempo genera un campo eléctrico (magnético). Existen ondas electromagnéticas que son solución de la ecuación lineal de onda (obtenida a partir de las ecuaciones de Maxwell).
0
qAdE
0 AdB
Las ecuaciones de Maxwell describen el comportamiento de los campos eléctricos y magnéticos.
dt
d BsdE
dt
d EIsdB
000
El campo eléctrico E y el campo magnético B siempre son perpendiculares a la dirección de propagación y entre sí. Tomemos las direcciones: x propagación de la onda y oscilación del campo eléctrico z oscilación del campo magnético Serway, Jewett, “Physics for scientists and engineers”, 6th
Edition, Thomson Brooks/Cole, USA, 2004, pg. 1069
¿Podremos derivar la ecuación de onda a partir de las ecuaciones de Maxwell? Un aspecto importante a considerar es que en el vacío prácticamente no hay fuentes de carga eléctrica (q), ni corrientes eléctricas (I), por lo que las ecuaciones se reducen a: Las ecuaciones que relacionan a E y a B son fundamentales en determinar la ecuación de onda.
dt
d BsdE
dt
d EsdB
00
0 AdE
0 AdB
Podemos relacionar los campos E y B a través de las ecuaciones de Maxwell:
Tomando la primera integral de acuerdo a la figura: Por otro lado: Entonces: De manera análoga, tomando la segunda integral se tiene que:
y
dt
d BsdE
dt
d EsdB
00
Serway, Jewett, “Physics for scientists and engineers”, 6th Edition, Thomson Brooks/Cole, USA, 2004, pg. 1073
dxx
EtxEtdxxEsdE
,,
dxBABB
t
Bdxdx
x
E
t
B
x
E
dxx
BtdxxBtxBsdB
,,
dxEAEE
t
E
x
B
00
Para obtener la ecuación lineal de onda, se toman como base:
Derivando el campo E con respecto a x se tiene: Y sustituyendo ahora la segunda ecuación:
La velocidad de la luz en el vacío es: ¡¡¡Recuperamos la ecuación lineal de onda!!! De manera análoga, si derivamos el campo B con respecto a x y hacemos el mismo procedimiento se obtiene:
t
B
x
E
t
E
x
B
00
x
B
tt
B
xx
E
x
2
2
00002
2
t
E
t
E
tx
E
00
1
c
2
2
22
2 1
t
E
cx
E
2
2
22
2 1
t
B
cx
B
Como se vio anteriormente, tanto E como B son soluciones de la ecuación lineal de onda. Lo único que se tomó en cuenta sobre ellos es que son perpendiculares entre sí y con la dirección de propagación. Esto es consecuencia directa de la ortogonalidad de las ecuaciones de Maxwell. Por simplicidad, imaginemos una onda electromagnética plana: Las funciones de onda correspondientes son:
http://ocw.mit.edu/ans7870/8/8.02T/f04/visualizations/light/07-EBlight/EB_Light.mpg
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/20/Plane_wave_wavefronts_3D.svg/1000px-Plane_wave_wavefronts_3D.svg.png
txEE kcosmax txBB kcosmax
Primero se verificará que E es solución de la ecuación lineal de onda:
Análogamente, el campo B también es solución de la ecuación lineal de onda Son ondas electromagnéticas. Por otro lado, se tiene que:
Pero como: Por lo tanto, la magnitud de E y la magnitud de B están relacionadas en todo instante de tiempo como: De esta manera, con sólo conocer el campo E como función del tiempo, se puede determinar el campo B en todo instante.
txEx
E
kk sinmax
t
B
x
E
2
2
22
2 1
t
E
cx
E
txE
x
E
kk2 cosmax2
2
txEt
E
k2 cosmax2
2
txBt
B
ksinmax
maxmax BE k cB
E
k
max
max
BcE
Por ahora sólo se estudió el caso de ondas planas propagándose en una dirección paralela al eje x. No hay que olvidar que se pueden propagar en cualquier dirección del espacio: En este caso, se debe considerar que el número de onda se reemplaza por el vector de onda:
El campo eléctrico E, también es una cantidad vectorial:
El estado de polarización corresponde a la dirección de E :
Por lo tanto, a partir de la función de onda de E se puede conocer mucha información de la onda electromagnética:
Longitud de onda, frecuencia y velocidad (en un medio). Estado de polarización. Índice de refracción del medio. Energía transportada por la onda.
trEE
kcosmax
EEE ˆmaxmax
kzjyixzyxr ˆˆˆ,,
kkkk 2 ˆˆ
La potencia por unidad de área transportada por una onda EM se puede calcular a partir del vector de Poynting:
La magnitud del vector de Poynting es: El vector de Poynting representa la potencia instantánea que atraviesa una superficie. La magnitud de mayor interés es la INTENSIDAD (o irradiancia) de una onda EM que es el PROMEDIO del vector de Poynting en un ciclo: La densidad de energía instantánea asociada al campo eléctrico es: Y la densidad de energía asociada al campo B : Por lo tanto, la densidad de energía total es: El promedio de la densidad energía en un ciclo, se puede relacionar con la intensidad:
c
EBES
0
2
max
0
maxmax
2
021 EuE
BES
0
1
2
0
2
max 1
2 rc
ESI prom
EB uBu 2
21
0
2
0Euu EB
promprom cuIEu 2
max021
http://www.andor.com/Portals/0/IntLight_Small.jpg
En resumen, las propiedades de las ondas EM son: E y B determinados a partir de la 3ª y 4ª ecuaciones de Maxwell presentan comportamiento ondulatorio y son solución a la ecuación de onda ondas EM. Las ondas EM viajan en el vacío a una velocidad constante: Las ondas EM son transversales: E y B son perpendiculares entre sí y con la dirección de propagación. Las magnitudes de E y B se relacionan en el vacío como: Las ondas EM obedecen el principio de superposición. Las ondas EM transportan energía. La potencia por unidad de área que atraviesa una superficie instantáneamente está dada por el vector de Poynting: La intensidad de la onda EM está determinada por el promedio del vector de Poynting en uno o varios ciclos.
00
1
c
BcE
BES
0
1
1. Una onda electromagnética se especifica por la siguiente función:
Calcule: a) La dirección en la que el campo oscila. b) El valor escalar de la amplitud del campo eléctrico. c) La dirección de propagación de la onda. d) El número de onda y la longitud de onda. e) La frecuencia y la frecuencia angular. f) La velocidad de propagación y el índice de refracción. g) La magnitud del vector de Poynting. h) La intensidad de la onda.
tyxjiEmV 157
310
3
10
14 1042.910)3(cosˆˆ10
2. Considere una onda electromagnética plana, linealmente polarizada que viaja en dirección (2,-1,1) en el espacio libre. Dadas su frecuencia de 15 Mhz y su amplitud Emax= 0.08 V/m, encuentre: a) El periodo y la longitud de onda. b) Las funciones de onda E(t) y B(t). (Sugerencia, use los
productos punto y cruz.) c) La irradiancia de la onda.