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¿Qué es la supersimetría?
José Figueroa-O’Farrill
School of Mathematics
IMAFF, CSIC, Madrid, 14 febrero 2005
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Un precedente jurídico
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Un precedente jurídico
I can’t define it, but I know it when I see it.
Juez Stewart en Jacobellis versus Ohio
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Orígenes
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Orígenes
• Física de partículas
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Orígenes
• Física de partículas
• Unificación de simetrías de carácter geométrico y simetrías internas
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Orígenes
• Física de partículas
• Unificación de simetrías de carácter geométrico y simetrías internas
• Partículas elementales son representaciones unitarias e irreducibles delgrupo de isometrías del espacio-tiempo de Minkowski
P = SL(2,C) n R4
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• Se construyen por el método de representaciones inducidas de Mackey
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• Se construyen por el método de representaciones inducidas de Mackey
• En un lenguaje más geométrico: secciones L2 de un fibrado homogéneo,que además satisfacen ecuaciones diferenciales
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• Se construyen por el método de representaciones inducidas de Mackey
• En un lenguaje más geométrico: secciones L2 de un fibrado homogéneo,que además satisfacen ecuaciones diferenciales:
? «bosones»
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• Se construyen por el método de representaciones inducidas de Mackey
• En un lenguaje más geométrico: secciones L2 de un fibrado homogéneo,que además satisfacen ecuaciones diferenciales:
? «bosones»: ecuaciones de segundo orden, como la de Klein-Gordon,
4φ = m2φ
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• Se construyen por el método de representaciones inducidas de Mackey
• En un lenguaje más geométrico: secciones L2 de un fibrado homogéneo,que además satisfacen ecuaciones diferenciales:
? «bosones»: ecuaciones de segundo orden, como la de Klein-Gordon,
4φ = m2φ
? «fermiones»
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• Se construyen por el método de representaciones inducidas de Mackey
• En un lenguaje más geométrico: secciones L2 de un fibrado homogéneo,que además satisfacen ecuaciones diferenciales:
? «bosones»: ecuaciones de segundo orden, como la de Klein-Gordon,
4φ = m2φ
? «fermiones»: ecuaciones de primer orden, como la de Dirac,
i∂6 ψ = mψ
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• Cualquier grupo G ⊃ P se podría llamar una super simetría
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• Cualquier grupo G ⊃ P se podría llamar una super simetría: variaspartículas elementales se agrupan en una super representación de G(Wigner)
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• Cualquier grupo G ⊃ P se podría llamar una super simetría: variaspartículas elementales se agrupan en una super representación de G(Wigner)
• Teorema de Coleman y Mandula (1967)
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• Cualquier grupo G ⊃ P se podría llamar una super simetría: variaspartículas elementales se agrupan en una super representación de G(Wigner)
• Teorema de Coleman y Mandula (1967):
G = P ×K
donde K es un grupo de Lie compacto
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• Cualquier grupo G ⊃ P se podría llamar una super simetría: variaspartículas elementales se agrupan en una super representación de G(Wigner)
• Teorema de Coleman y Mandula (1967):
G = P ×K
donde K es un grupo de Lie compacto =⇒ irreducibles de G son ⊗de irreducibles de P y K
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• Cualquier grupo G ⊃ P se podría llamar una super simetría: variaspartículas elementales se agrupan en una super representación de G(Wigner)
• Teorema de Coleman y Mandula (1967):
G = P ×K
donde K es un grupo de Lie compacto =⇒ irreducibles de G son ⊗de irreducibles de P y K: no muy interesante...
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• Cualquier grupo G ⊃ P se podría llamar una super simetría: variaspartículas elementales se agrupan en una super representación de G(Wigner)
• Teorema de Coleman y Mandula (1967):
G = P ×K
donde K es un grupo de Lie compacto =⇒ irreducibles de G son ⊗de irreducibles de P y K: no muy interesante...
• Teorema de Haag, Łopuszański y Sohnius (1975)
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• Cualquier grupo G ⊃ P se podría llamar una super simetría: variaspartículas elementales se agrupan en una super representación de G(Wigner)
• Teorema de Coleman y Mandula (1967):
G = P ×K
donde K es un grupo de Lie compacto =⇒ irreducibles de G son ⊗de irreducibles de P y K: no muy interesante...
• Teorema de Haag, Łopuszański y Sohnius (1975): G es un supergrupode Lie
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• Esto da lugar al estudio de representaciones de superálgebras de Lieen el contexto de teoría cuántica de campos
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• Esto da lugar al estudio de representaciones de superálgebras de Lieen el contexto de teoría cuántica de campos: lo que hoy se denomina«supersimetría»
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• Esto da lugar al estudio de representaciones de superálgebras de Lieen el contexto de teoría cuántica de campos: lo que hoy se denomina«supersimetría»
• Desde entonces se estudian teorías supersimétricas
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• Esto da lugar al estudio de representaciones de superálgebras de Lieen el contexto de teoría cuántica de campos: lo que hoy se denomina«supersimetría»
• Desde entonces se estudian teorías supersimétricas:
? modelo sigma supersimétrico
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• Esto da lugar al estudio de representaciones de superálgebras de Lieen el contexto de teoría cuántica de campos: lo que hoy se denomina«supersimetría»
• Desde entonces se estudian teorías supersimétricas:
? modelo sigma supersimétrico∗ geometría Kähler y sus generalizaciones
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• Esto da lugar al estudio de representaciones de superálgebras de Lieen el contexto de teoría cuántica de campos: lo que hoy se denomina«supersimetría»
• Desde entonces se estudian teorías supersimétricas:
? modelo sigma supersimétrico∗ geometría Kähler y sus generalizaciones∗ teorema del índice
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• Esto da lugar al estudio de representaciones de superálgebras de Lieen el contexto de teoría cuántica de campos: lo que hoy se denomina«supersimetría»
• Desde entonces se estudian teorías supersimétricas:
? modelo sigma supersimétrico∗ geometría Kähler y sus generalizaciones∗ teorema del índice
? teoría Yang–Mills supersimétrica
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• Esto da lugar al estudio de representaciones de superálgebras de Lieen el contexto de teoría cuántica de campos: lo que hoy se denomina«supersimetría»
• Desde entonces se estudian teorías supersimétricas:
? modelo sigma supersimétrico∗ geometría Kähler y sus generalizaciones∗ teorema del índice
? teoría Yang–Mills supersimétrica∗ instantones, monopolos y sus generalizaciones
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• Esto da lugar al estudio de representaciones de superálgebras de Lieen el contexto de teoría cuántica de campos: lo que hoy se denomina«supersimetría»
• Desde entonces se estudian teorías supersimétricas:
? modelo sigma supersimétrico∗ geometría Kähler y sus generalizaciones∗ teorema del índice
? teoría Yang–Mills supersimétrica∗ instantones, monopolos y sus generalizaciones∗ invariantes de Donaldson, Seiberg–Witten,...
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• Esto da lugar al estudio de representaciones de superálgebras de Lieen el contexto de teoría cuántica de campos: lo que hoy se denomina«supersimetría»
• Desde entonces se estudian teorías supersimétricas:
? modelo sigma supersimétrico∗ geometría Kähler y sus generalizaciones∗ teorema del índice
? teoría Yang–Mills supersimétrica∗ instantones, monopolos y sus generalizaciones∗ invariantes de Donaldson, Seiberg–Witten,...
? supergravedad
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• Esto da lugar al estudio de representaciones de superálgebras de Lieen el contexto de teoría cuántica de campos: lo que hoy se denomina«supersimetría»
• Desde entonces se estudian teorías supersimétricas:
? modelo sigma supersimétrico∗ geometría Kähler y sus generalizaciones∗ teorema del índice
? teoría Yang–Mills supersimétrica∗ instantones, monopolos y sus generalizaciones∗ invariantes de Donaldson, Seiberg–Witten,...
? supergravedad∗ superficies mínimas y geometría calibrada
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? supercuerdas
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? supercuerdas∗ incorporación de todo lo anterior (y mucho más)
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? supercuerdas∗ incorporación de todo lo anterior (y mucho más)∗ relaciones inesperadas entre estas teorías
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? supercuerdas∗ incorporación de todo lo anterior (y mucho más)∗ relaciones inesperadas entre estas teorías: dualidades, simetría
especular,...
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? supercuerdas∗ incorporación de todo lo anterior (y mucho más)∗ relaciones inesperadas entre estas teorías: dualidades, simetría
especular,...
• En geometría casi nunca hay tanta simetría (P , G, ...) y muchomenos bosones y fermiones
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? supercuerdas∗ incorporación de todo lo anterior (y mucho más)∗ relaciones inesperadas entre estas teorías: dualidades, simetría
especular,...
• En geometría casi nunca hay tanta simetría (P , G, ...) y muchomenos bosones y fermiones; sin embargo aun sin simetría puede habersupersimetría
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? supercuerdas∗ incorporación de todo lo anterior (y mucho más)∗ relaciones inesperadas entre estas teorías: dualidades, simetría
especular,...
• En geometría casi nunca hay tanta simetría (P , G, ...) y muchomenos bosones y fermiones; sin embargo aun sin simetría puede habersupersimetría
• Mis ejemplos salen de la geometría pero estoy seguro que esto es unfenómeno mucho más extendido
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Una conjetura metamatemática
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Una conjetura metamatemática
• Idea principal:
fermiones ecuaciones de primer orden
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7
Una conjetura metamatemática
• Idea principal:
fermiones ecuaciones de primer ordenysupersimetría
ysupersimetría
bosones ecuaciones de segundo orden
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Una conjetura metamatemática
• Idea principal:
fermiones ecuaciones de primer ordenysupersimetría
ysupersimetría
bosones ecuaciones de segundo orden
• Conjetura
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Una conjetura metamatemática
• Idea principal:
fermiones ecuaciones de primer ordenysupersimetría
ysupersimetría
bosones ecuaciones de segundo orden
• Conjetura: La supersimetría subyace cualquier situación dondeecuaciones de primer order impliquen ecuaciones de segundo orden
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7
Una conjetura metamatemática
• Idea principal:
fermiones ecuaciones de primer ordenysupersimetría
ysupersimetría
bosones ecuaciones de segundo orden
• Conjetura: La supersimetría subyace cualquier situación dondeecuaciones de primer order impliquen ecuaciones de segundo orden,y donde además las soluciones a las ecuaciones de primer orden sean«mínimas»
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8
Varios ejemplos
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8
Varios ejemplos
• Teoría de Hodge
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8
Varios ejemplos
• Teoría de Hodge
• Instantones y sus generalizaciones
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8
Varios ejemplos
• Teoría de Hodge
• Instantones y sus generalizaciones
• Geometría calibrada
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9
Teoría de Hodge
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9
Teoría de Hodge
• (Mn, g): variedad diferenciable riemanniana compacta y orientable
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9
Teoría de Hodge
• (Mn, g): variedad diferenciable riemanniana compacta y orientable
• el complejo de formas diferenciales (de Rham)
C∞(M) d−→ Ω1(M) d−→ Ω2(M) d−→ · · · d−→ Ωn(M)
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9
Teoría de Hodge
• (Mn, g): variedad diferenciable riemanniana compacta y orientable
• el complejo de formas diferenciales (de Rham)
C∞(M) d−→ Ω1(M) d−→ Ω2(M) d−→ · · · d−→ Ωn(M)
? un álgebra graduada ∧ : Ωp(M)× Ωq(M) → Ωp+q(M)
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9
Teoría de Hodge
• (Mn, g): variedad diferenciable riemanniana compacta y orientable
• el complejo de formas diferenciales (de Rham)
C∞(M) d−→ Ω1(M) d−→ Ω2(M) d−→ · · · d−→ Ωn(M)
? un álgebra graduada ∧ : Ωp(M)× Ωq(M) → Ωp+q(M)? una derivación d : Ωp(M) → Ωp+1(M), d2 = 0
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10
• (orientabilidad =⇒ ) un operador de Hodge ? : Ωp(M) → Ωn−p(M)
![Page 56: ¿Qué es la supersimetría?jmf/CV/Seminars/CSIC.pdf · • En un lenguaje más geométrico: secciones L2 de un fibrado homogéneo, que además satisfacen ecuaciones diferenciales:?«bosones»:](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050510/5f9ac5d8fee34241670b6be9/html5/thumbnails/56.jpg)
10
• (orientabilidad =⇒ ) un operador de Hodge ? : Ωp(M) → Ωn−p(M)que permite definir un producto escalar
〈α, β〉 :=∫
M
α ∧ ?β
y un adjunto formal del diferencial d
δ = ?d ?
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10
• (orientabilidad =⇒ ) un operador de Hodge ? : Ωp(M) → Ωn−p(M)que permite definir un producto escalar
〈α, β〉 :=∫
M
α ∧ ?β
y un adjunto formal del diferencial d
δ = ?d ?
• el laplaciano de Hodge 4 = dδ + δd
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10
• (orientabilidad =⇒ ) un operador de Hodge ? : Ωp(M) → Ωn−p(M)que permite definir un producto escalar
〈α, β〉 :=∫
M
α ∧ ?β
y un adjunto formal del diferencial d
δ = ?d ?
• el laplaciano de Hodge 4 = dδ + δd y
〈α,4α〉 = ‖dα‖2 + ‖δα‖2 ≥ 0
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11
• Igualdad
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11
• Igualdad ⇐⇒ 4α = 0
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11
• Igualdad ⇐⇒ 4α = 0 ⇐⇒ dα = δα = 0
![Page 62: ¿Qué es la supersimetría?jmf/CV/Seminars/CSIC.pdf · • En un lenguaje más geométrico: secciones L2 de un fibrado homogéneo, que además satisfacen ecuaciones diferenciales:?«bosones»:](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050510/5f9ac5d8fee34241670b6be9/html5/thumbnails/62.jpg)
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• Igualdad ⇐⇒ 4α = 0 ⇐⇒ dα = δα = 0 ⇐⇒ Dα = 0
![Page 63: ¿Qué es la supersimetría?jmf/CV/Seminars/CSIC.pdf · • En un lenguaje más geométrico: secciones L2 de un fibrado homogéneo, que además satisfacen ecuaciones diferenciales:?«bosones»:](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050510/5f9ac5d8fee34241670b6be9/html5/thumbnails/63.jpg)
11
• Igualdad ⇐⇒ 4α = 0 ⇐⇒ dα = δα = 0 ⇐⇒ Dα = 0 donde
D := d+ δ : Ωpar(M) → Ωimpar(M) y viceversa
![Page 64: ¿Qué es la supersimetría?jmf/CV/Seminars/CSIC.pdf · • En un lenguaje más geométrico: secciones L2 de un fibrado homogéneo, que además satisfacen ecuaciones diferenciales:?«bosones»:](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050510/5f9ac5d8fee34241670b6be9/html5/thumbnails/64.jpg)
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• Igualdad ⇐⇒ 4α = 0 ⇐⇒ dα = δα = 0 ⇐⇒ Dα = 0 donde
D := d+ δ : Ωpar(M) → Ωimpar(M) y viceversa
• Las formas armónicas minimizan la «energía»
E(α) := 〈α,4α〉
![Page 65: ¿Qué es la supersimetría?jmf/CV/Seminars/CSIC.pdf · • En un lenguaje más geométrico: secciones L2 de un fibrado homogéneo, que además satisfacen ecuaciones diferenciales:?«bosones»:](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050510/5f9ac5d8fee34241670b6be9/html5/thumbnails/65.jpg)
11
• Igualdad ⇐⇒ 4α = 0 ⇐⇒ dα = δα = 0 ⇐⇒ Dα = 0 donde
D := d+ δ : Ωpar(M) → Ωimpar(M) y viceversa
• Las formas armónicas minimizan la «energía»
E(α) := 〈α,4α〉
• el teorema de Hodge: Hp ∼= Hp(M,R)
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12
Supersimetría
![Page 67: ¿Qué es la supersimetría?jmf/CV/Seminars/CSIC.pdf · • En un lenguaje más geométrico: secciones L2 de un fibrado homogéneo, que además satisfacen ecuaciones diferenciales:?«bosones»:](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050510/5f9ac5d8fee34241670b6be9/html5/thumbnails/67.jpg)
12
Supersimetría
• La teoría subyacente es el modelo sigma supersimétrico unidimensional
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Supersimetría
• La teoría subyacente es el modelo sigma supersimétrico unidimensional
? ∆ ↔ «hamiltoniano»
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Supersimetría
• La teoría subyacente es el modelo sigma supersimétrico unidimensional
? ∆ ↔ «hamiltoniano»? D ↔ «operador de supersimetría»
![Page 70: ¿Qué es la supersimetría?jmf/CV/Seminars/CSIC.pdf · • En un lenguaje más geométrico: secciones L2 de un fibrado homogéneo, que además satisfacen ecuaciones diferenciales:?«bosones»:](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050510/5f9ac5d8fee34241670b6be9/html5/thumbnails/70.jpg)
12
Supersimetría
• La teoría subyacente es el modelo sigma supersimétrico unidimensional
? ∆ ↔ «hamiltoniano»? D ↔ «operador de supersimetría»? Ω ↔ «espacio de Hilbert»
![Page 71: ¿Qué es la supersimetría?jmf/CV/Seminars/CSIC.pdf · • En un lenguaje más geométrico: secciones L2 de un fibrado homogéneo, que además satisfacen ecuaciones diferenciales:?«bosones»:](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050510/5f9ac5d8fee34241670b6be9/html5/thumbnails/71.jpg)
12
Supersimetría
• La teoría subyacente es el modelo sigma supersimétrico unidimensional
? ∆ ↔ «hamiltoniano»? D ↔ «operador de supersimetría»? Ω ↔ «espacio de Hilbert»? H ⊂ Ω ↔ «vacíos»
![Page 72: ¿Qué es la supersimetría?jmf/CV/Seminars/CSIC.pdf · • En un lenguaje más geométrico: secciones L2 de un fibrado homogéneo, que además satisfacen ecuaciones diferenciales:?«bosones»:](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050510/5f9ac5d8fee34241670b6be9/html5/thumbnails/72.jpg)
12
Supersimetría
• La teoría subyacente es el modelo sigma supersimétrico unidimensional
? ∆ ↔ «hamiltoniano»? D ↔ «operador de supersimetría»? Ω ↔ «espacio de Hilbert»? H ⊂ Ω ↔ «vacíos»
• En toda teoría supersimétrica se puede definir el «índice de Witten»
![Page 73: ¿Qué es la supersimetría?jmf/CV/Seminars/CSIC.pdf · • En un lenguaje más geométrico: secciones L2 de un fibrado homogéneo, que además satisfacen ecuaciones diferenciales:?«bosones»:](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050510/5f9ac5d8fee34241670b6be9/html5/thumbnails/73.jpg)
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Supersimetría
• La teoría subyacente es el modelo sigma supersimétrico unidimensional
? ∆ ↔ «hamiltoniano»? D ↔ «operador de supersimetría»? Ω ↔ «espacio de Hilbert»? H ⊂ Ω ↔ «vacíos»
• En toda teoría supersimétrica se puede definir el «índice de Witten»
Tr(−1)F := #estados bosónicos−#estados fermiónicos
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13
• Se puede demostrar que sólo contribuyen los vacíos
![Page 75: ¿Qué es la supersimetría?jmf/CV/Seminars/CSIC.pdf · • En un lenguaje más geométrico: secciones L2 de un fibrado homogéneo, que además satisfacen ecuaciones diferenciales:?«bosones»:](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050510/5f9ac5d8fee34241670b6be9/html5/thumbnails/75.jpg)
13
• Se puede demostrar que sólo contribuyen los vacíos:
Tr(−1)F = dim Hpar − dim Himpar
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• Se puede demostrar que sólo contribuyen los vacíos:
Tr(−1)F = dim Hpar − dim Himpar
= χ(M)
![Page 77: ¿Qué es la supersimetría?jmf/CV/Seminars/CSIC.pdf · • En un lenguaje más geométrico: secciones L2 de un fibrado homogéneo, que además satisfacen ecuaciones diferenciales:?«bosones»:](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050510/5f9ac5d8fee34241670b6be9/html5/thumbnails/77.jpg)
13
• Se puede demostrar que sólo contribuyen los vacíos:
Tr(−1)F = dim Hpar − dim Himpar
= χ(M)
= indD
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13
• Se puede demostrar que sólo contribuyen los vacíos:
Tr(−1)F = dim Hpar − dim Himpar
= χ(M)
= indD
• Este resultado es paradigmático y sugiere una demostraciónsupersimétrica del teorema del índice de Atiyah–Singer a partir deteorías supersimétricas que generalizan y extienden el modelo sigma(Álvarez-Gaumé, Getzler,...)
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Teoría de Hodge–Lefschetz
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Teoría de Hodge–Lefschetz
• La noción de variedad (hiper)Kähler se puede definirsupersimétricamente
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Teoría de Hodge–Lefschetz
• La noción de variedad (hiper)Kähler se puede definirsupersimétricamente
• Los teoremas básicos de la teoría de Hodge–Lefschetz son consecuenciasdirectas de la supersimetría de un modelo sigma cuatridimensional
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Teoría de Hodge–Lefschetz
• La noción de variedad (hiper)Kähler se puede definirsupersimétricamente
• Los teoremas básicos de la teoría de Hodge–Lefschetz son consecuenciasdirectas de la supersimetría de un modelo sigma cuatridimensional:
? identidades de Hodge
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Teoría de Hodge–Lefschetz
• La noción de variedad (hiper)Kähler se puede definirsupersimétricamente
• Los teoremas básicos de la teoría de Hodge–Lefschetz son consecuenciasdirectas de la supersimetría de un modelo sigma cuatridimensional:
? identidades de Hodge? identidades ∂
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Teoría de Hodge–Lefschetz
• La noción de variedad (hiper)Kähler se puede definirsupersimétricamente
• Los teoremas básicos de la teoría de Hodge–Lefschetz son consecuenciasdirectas de la supersimetría de un modelo sigma cuatridimensional:
? identidades de Hodge? identidades ∂? acción de SL(2,C) en cohomología
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Teoría de Hodge–Lefschetz
• La noción de variedad (hiper)Kähler se puede definirsupersimétricamente
• Los teoremas básicos de la teoría de Hodge–Lefschetz son consecuenciasdirectas de la supersimetría de un modelo sigma cuatridimensional:
? identidades de Hodge? identidades ∂? acción de SL(2,C) en cohomología
• También se extiende a variedades hiperkähler (Verbitsky) a partir de lasupersimetría de un modelo sigma seis-dimensional
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Teoría de Hodge–Lefschetz
• La noción de variedad (hiper)Kähler se puede definirsupersimétricamente
• Los teoremas básicos de la teoría de Hodge–Lefschetz son consecuenciasdirectas de la supersimetría de un modelo sigma cuatridimensional:
? identidades de Hodge? identidades ∂? acción de SL(2,C) en cohomología
• También se extiende a variedades hiperkähler (Verbitsky) a partir de lasupersimetría de un modelo sigma seis-dimensional
[FO–Köhl–Spence, hep-th/9705161]
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Teoría gauge
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15
Teoría gauge
• Una versión no lineal de la teoría de Hodge
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15
Teoría gauge
• Una versión no lineal de la teoría de Hodge:
? P →M un fibrado principal con grupo G, compacto
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15
Teoría gauge
• Una versión no lineal de la teoría de Hodge:
? P →M un fibrado principal con grupo G, compacto? una conexión A en P
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15
Teoría gauge
• Una versión no lineal de la teoría de Hodge:
? P →M un fibrado principal con grupo G, compacto? una conexión A en P? con curvatura FA = dA+ 1
2[A,A]
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15
Teoría gauge
• Una versión no lineal de la teoría de Hodge:
? P →M un fibrado principal con grupo G, compacto? una conexión A en P? con curvatura FA = dA+ 1
2[A,A]? para todo fibrado asociado E,
C∞(E)dA−−→ Ω1(E)
dA−−→ Ω2(E)dA−−→ · · ·
donde dA = d+A
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15
Teoría gauge
• Una versión no lineal de la teoría de Hodge:
? P →M un fibrado principal con grupo G, compacto? una conexión A en P? con curvatura FA = dA+ 1
2[A,A]? para todo fibrado asociado E,
C∞(E)dA−−→ Ω1(E)
dA−−→ Ω2(E)dA−−→ · · ·
donde dA = d+A: no es un complejo d2A = FA
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15
Teoría gauge
• Una versión no lineal de la teoría de Hodge:
? P →M un fibrado principal con grupo G, compacto? una conexión A en P? con curvatura FA = dA+ 1
2[A,A]? para todo fibrado asociado E,
C∞(E)dA−−→ Ω1(E)
dA−−→ Ω2(E)dA−−→ · · ·
donde dA = d+A: no es un complejo d2A = FA
? en particular, FA ∈ Ω2(adP )
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15
Teoría gauge
• Una versión no lineal de la teoría de Hodge:
? P →M un fibrado principal con grupo G, compacto? una conexión A en P? con curvatura FA = dA+ 1
2[A,A]? para todo fibrado asociado E,
C∞(E)dA−−→ Ω1(E)
dA−−→ Ω2(E)dA−−→ · · ·
donde dA = d+A: no es un complejo d2A = FA
? en particular, FA ∈ Ω2(adP ) y dAFA = 0 («identidad deBianchi»)
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16
• la ecuación de Yang–Mills
dA ? FA = 0
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16
• la ecuación de Yang–Mills
dA ? FA = 0
extremiza el funcional
YM[A] = ‖FA‖2
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16
• la ecuación de Yang–Mills
dA ? FA = 0
extremiza el funcional
YM[A] = ‖FA‖2
• En el caso abeliano G = S1, FA ∈ Ω2(M) y dA = d
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16
• la ecuación de Yang–Mills
dA ? FA = 0
extremiza el funcional
YM[A] = ‖FA‖2
• En el caso abeliano G = S1, FA ∈ Ω2(M) y dA = d, así que
dFA = 0 y d ? FA = 0
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17
Instantones
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17
Instantones
• dimM = 4
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17
Instantones
• dimM = 4 =⇒ ? : Ω2(E) → Ω2(E) obedece ?2 = 1
![Page 103: ¿Qué es la supersimetría?jmf/CV/Seminars/CSIC.pdf · • En un lenguaje más geométrico: secciones L2 de un fibrado homogéneo, que además satisfacen ecuaciones diferenciales:?«bosones»:](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050510/5f9ac5d8fee34241670b6be9/html5/thumbnails/103.jpg)
17
Instantones
• dimM = 4 =⇒ ? : Ω2(E) → Ω2(E) obedece ?2 = 1, así que
Ω2(E) = Ω2+(E)⊕ Ω2
−(E)
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17
Instantones
• dimM = 4 =⇒ ? : Ω2(E) → Ω2(E) obedece ?2 = 1, así que
Ω2(E) = Ω2+(E)⊕ Ω2
−(E)
• A es un «instantón» ⇐⇒ FA ∈ Ω2±(adP )
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17
Instantones
• dimM = 4 =⇒ ? : Ω2(E) → Ω2(E) obedece ?2 = 1, así que
Ω2(E) = Ω2+(E)⊕ Ω2
−(E)
• A es un «instantón» ⇐⇒ FA ∈ Ω2±(adP )
• A satisface automáticamente dA ? FA = 0
![Page 106: ¿Qué es la supersimetría?jmf/CV/Seminars/CSIC.pdf · • En un lenguaje más geométrico: secciones L2 de un fibrado homogéneo, que además satisfacen ecuaciones diferenciales:?«bosones»:](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050510/5f9ac5d8fee34241670b6be9/html5/thumbnails/106.jpg)
18
• Además el funcional de Yang–Mills está acotado por debajo
YM[A] ≥ | 〈c2(P ), [M ]〉 |
![Page 107: ¿Qué es la supersimetría?jmf/CV/Seminars/CSIC.pdf · • En un lenguaje más geométrico: secciones L2 de un fibrado homogéneo, que además satisfacen ecuaciones diferenciales:?«bosones»:](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050510/5f9ac5d8fee34241670b6be9/html5/thumbnails/107.jpg)
18
• Además el funcional de Yang–Mills está acotado por debajo
YM[A] ≥ | 〈c2(P ), [M ]〉 |
con igualdad ⇐⇒ A es un instantón
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19
Instantones en dimensión > 4
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19
Instantones en dimensión > 4
• ϕ ∈ Ω4(M) define una aplicación
ϕ : Ω2(E) → Ω2(E)
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19
Instantones en dimensión > 4
• ϕ ∈ Ω4(M) define una aplicación
ϕ : Ω2(E) → Ω2(E)
F 7→ ?(?ϕ ∧ F )
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19
Instantones en dimensión > 4
• ϕ ∈ Ω4(M) define una aplicación
ϕ : Ω2(E) → Ω2(E)
F 7→ ?(?ϕ ∧ F )
• ϕ es simétrica y se puede diagonalizar
Ω2(E) =⊕
λ
Ω2λ(E)
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20
• Si d ? ϕ = 0, esto da lugar a una generalización de la noción deinstantón
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20
• Si d ? ϕ = 0, esto da lugar a una generalización de la noción deinstantón: A es un «instantón»
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20
• Si d ? ϕ = 0, esto da lugar a una generalización de la noción deinstantón: A es un «instantón» ⇐⇒ FA ∈ Ω2
λ(adP ) ∃λ 6= 0
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20
• Si d ? ϕ = 0, esto da lugar a una generalización de la noción deinstantón: A es un «instantón» ⇐⇒ FA ∈ Ω2
λ(adP ) ∃λ 6= 0
• En efecto, si ϕFA = λFA, λ 6= 0
![Page 116: ¿Qué es la supersimetría?jmf/CV/Seminars/CSIC.pdf · • En un lenguaje más geométrico: secciones L2 de un fibrado homogéneo, que además satisfacen ecuaciones diferenciales:?«bosones»:](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050510/5f9ac5d8fee34241670b6be9/html5/thumbnails/116.jpg)
20
• Si d ? ϕ = 0, esto da lugar a una generalización de la noción deinstantón: A es un «instantón» ⇐⇒ FA ∈ Ω2
λ(adP ) ∃λ 6= 0
• En efecto, si ϕFA = λFA, λ 6= 0,
dA ? FA = λ−1dA(?ϕ ∧ FA)
![Page 117: ¿Qué es la supersimetría?jmf/CV/Seminars/CSIC.pdf · • En un lenguaje más geométrico: secciones L2 de un fibrado homogéneo, que además satisfacen ecuaciones diferenciales:?«bosones»:](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050510/5f9ac5d8fee34241670b6be9/html5/thumbnails/117.jpg)
20
• Si d ? ϕ = 0, esto da lugar a una generalización de la noción deinstantón: A es un «instantón» ⇐⇒ FA ∈ Ω2
λ(adP ) ∃λ 6= 0
• En efecto, si ϕFA = λFA, λ 6= 0,
dA ? FA = λ−1dA(?ϕ ∧ FA)
= λ−1 (d ? ϕ ∧ FA ± ?ϕ ∧ dAFA)
![Page 118: ¿Qué es la supersimetría?jmf/CV/Seminars/CSIC.pdf · • En un lenguaje más geométrico: secciones L2 de un fibrado homogéneo, que además satisfacen ecuaciones diferenciales:?«bosones»:](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050510/5f9ac5d8fee34241670b6be9/html5/thumbnails/118.jpg)
20
• Si d ? ϕ = 0, esto da lugar a una generalización de la noción deinstantón: A es un «instantón» ⇐⇒ FA ∈ Ω2
λ(adP ) ∃λ 6= 0
• En efecto, si ϕFA = λFA, λ 6= 0,
dA ? FA = λ−1dA(?ϕ ∧ FA)
= λ−1 (d ? ϕ ∧ FA ± ?ϕ ∧ dAFA)
• El funcional de Yang–Mills está acotado por debajo
YM[A] ≥ | 〈c2(P ) ∪ [?ϕ], [M ]〉 |
![Page 119: ¿Qué es la supersimetría?jmf/CV/Seminars/CSIC.pdf · • En un lenguaje más geométrico: secciones L2 de un fibrado homogéneo, que además satisfacen ecuaciones diferenciales:?«bosones»:](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050510/5f9ac5d8fee34241670b6be9/html5/thumbnails/119.jpg)
20
• Si d ? ϕ = 0, esto da lugar a una generalización de la noción deinstantón: A es un «instantón» ⇐⇒ FA ∈ Ω2
λ(adP ) ∃λ 6= 0
• En efecto, si ϕFA = λFA, λ 6= 0,
dA ? FA = λ−1dA(?ϕ ∧ FA)
= λ−1 (d ? ϕ ∧ FA ± ?ϕ ∧ dAFA)
• El funcional de Yang–Mills está acotado por debajo
YM[A] ≥ | 〈c2(P ) ∪ [?ϕ], [M ]〉 |
con igualdad ⇐⇒ A es un instantón con el menor |λ| posible
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21
Supersimetría
![Page 121: ¿Qué es la supersimetría?jmf/CV/Seminars/CSIC.pdf · • En un lenguaje más geométrico: secciones L2 de un fibrado homogéneo, que además satisfacen ecuaciones diferenciales:?«bosones»:](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050510/5f9ac5d8fee34241670b6be9/html5/thumbnails/121.jpg)
21
Supersimetría
• Existe una única teoría Yang–Mills supersimétrica en el espacio-tiempode Minkowski
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21
Supersimetría
• Existe una única teoría Yang–Mills supersimétrica en el espacio-tiempode Minkowski en 10 dimensiones
![Page 123: ¿Qué es la supersimetría?jmf/CV/Seminars/CSIC.pdf · • En un lenguaje más geométrico: secciones L2 de un fibrado homogéneo, que además satisfacen ecuaciones diferenciales:?«bosones»:](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050510/5f9ac5d8fee34241670b6be9/html5/thumbnails/123.jpg)
21
Supersimetría
• Existe una única teoría Yang–Mills supersimétrica en el espacio-tiempode Minkowski en 10 dimensiones
• La teoría se puede definir en una variedad lorentziana espín (M, g)de dimensión 10
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21
Supersimetría
• Existe una única teoría Yang–Mills supersimétrica en el espacio-tiempode Minkowski en 10 dimensiones
• La teoría se puede definir en una variedad lorentziana espín (M, g)de dimensión 10, pero no es supersimétrica a no ser que M admitaespinores paralelos
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21
Supersimetría
• Existe una única teoría Yang–Mills supersimétrica en el espacio-tiempode Minkowski en 10 dimensiones
• La teoría se puede definir en una variedad lorentziana espín (M, g)de dimensión 10, pero no es supersimétrica a no ser que M admitaespinores paralelos
• Equivalentemente, el grupo de holonomía
Hol(g) ⊆ Spin(7) n R8 ⊂ SO(1, 9)
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22
• Nos concentramos en variedades M = R1,9−d×Kd
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22
• Nos concentramos en variedades M = R1,9−d×Kd, donde K es unavariedad compacta con holonomía en la tabla de Wang
d Hol(g) ⊂ SO(d) Geometría4 Sp(1) hiperkähler6 SU(3) Calabi–Yau7 G2
8 Spin(7)8 SU(4) Calabi–Yau8 Sp(2) hiperkähler8 Sp(1)× Sp(1) hiperkähler
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23
• Curiosamente todas estas geometrías tienen 4-formas paralelas
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23
• Curiosamente todas estas geometrías tienen 4-formas paralelas, que seconstruyen a partir de los espinores paralelos
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23
• Curiosamente todas estas geometrías tienen 4-formas paralelas, que seconstruyen a partir de los espinores paralelos
• Teorema: Dada una conexión gauge A en K, su «pull-back» aR1,9−d ×K es «supersimétrica» ⇐⇒ A es un instantón
[Acharya–FO–O’Loughlin–Spence, hep-th/9707118]
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• Curiosamente todas estas geometrías tienen 4-formas paralelas, que seconstruyen a partir de los espinores paralelos
• Teorema: Dada una conexión gauge A en K, su «pull-back» aR1,9−d ×K es «supersimétrica» ⇐⇒ A es un instantón
[Acharya–FO–O’Loughlin–Spence, hep-th/9707118]
• La supersimetría escoge un valor de λ
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• Curiosamente todas estas geometrías tienen 4-formas paralelas, que seconstruyen a partir de los espinores paralelos
• Teorema: Dada una conexión gauge A en K, su «pull-back» aR1,9−d ×K es «supersimétrica» ⇐⇒ A es un instantón
[Acharya–FO–O’Loughlin–Spence, hep-th/9707118]
• La supersimetría escoge un valor de λ
• En particular, se podría haber descubierto la noción de instantóngeneralizado a partir de supersimetría
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• Esta construcción sugiere un resultado (aun no demostrado) análogo ala correspondencia de Dostoglou–Salamon
![Page 134: ¿Qué es la supersimetría?jmf/CV/Seminars/CSIC.pdf · • En un lenguaje más geométrico: secciones L2 de un fibrado homogéneo, que además satisfacen ecuaciones diferenciales:?«bosones»:](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050510/5f9ac5d8fee34241670b6be9/html5/thumbnails/134.jpg)
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• Esta construcción sugiere un resultado (aun no demostrado) análogo ala correspondencia de Dostoglou–Salamon:
instantones en Σ1 × εΣ2 enel límite adiabático ε→ 0
![Page 135: ¿Qué es la supersimetría?jmf/CV/Seminars/CSIC.pdf · • En un lenguaje más geométrico: secciones L2 de un fibrado homogéneo, que además satisfacen ecuaciones diferenciales:?«bosones»:](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050510/5f9ac5d8fee34241670b6be9/html5/thumbnails/135.jpg)
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• Esta construcción sugiere un resultado (aun no demostrado) análogo ala correspondencia de Dostoglou–Salamon:
instantones en Σ1 × εΣ2 enel límite adiabático ε→ 0
↔
curvas holomorfasΣ1 → MΣ2
en el espacio de móduli defibrados vectoriales planos enΣ2
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Curvas cuaterniónicas
![Page 137: ¿Qué es la supersimetría?jmf/CV/Seminars/CSIC.pdf · • En un lenguaje más geométrico: secciones L2 de un fibrado homogéneo, que además satisfacen ecuaciones diferenciales:?«bosones»:](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050510/5f9ac5d8fee34241670b6be9/html5/thumbnails/137.jpg)
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Curvas cuaterniónicas
• (M, g, I, J,K) una variedad hiperkähler
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Curvas cuaterniónicas
• (M, g, I, J,K) una variedad hiperkähler:
? (M, g) variedad riemanniana de dimensión 4n
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Curvas cuaterniónicas
• (M, g, I, J,K) una variedad hiperkähler:
? (M, g) variedad riemanniana de dimensión 4n? I, J,K endomorfismos ortogonales de TM obedeciendo el álgebra
cuaterniónica
![Page 140: ¿Qué es la supersimetría?jmf/CV/Seminars/CSIC.pdf · • En un lenguaje más geométrico: secciones L2 de un fibrado homogéneo, que además satisfacen ecuaciones diferenciales:?«bosones»:](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050510/5f9ac5d8fee34241670b6be9/html5/thumbnails/140.jpg)
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Curvas cuaterniónicas
• (M, g, I, J,K) una variedad hiperkähler:
? (M, g) variedad riemanniana de dimensión 4n? I, J,K endomorfismos ortogonales de TM obedeciendo el álgebra
cuaterniónica y paralelos con respecto a ∇
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Curvas cuaterniónicas
• (M, g, I, J,K) una variedad hiperkähler:
? (M, g) variedad riemanniana de dimensión 4n? I, J,K endomorfismos ortogonales de TM obedeciendo el álgebra
cuaterniónica y paralelos con respecto a ∇
• (M ′, g′, I ′, J ′,K ′) otra variedad hiperkähler
![Page 142: ¿Qué es la supersimetría?jmf/CV/Seminars/CSIC.pdf · • En un lenguaje más geométrico: secciones L2 de un fibrado homogéneo, que además satisfacen ecuaciones diferenciales:?«bosones»:](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050510/5f9ac5d8fee34241670b6be9/html5/thumbnails/142.jpg)
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Curvas cuaterniónicas
• (M, g, I, J,K) una variedad hiperkähler:
? (M, g) variedad riemanniana de dimensión 4n? I, J,K endomorfismos ortogonales de TM obedeciendo el álgebra
cuaterniónica y paralelos con respecto a ∇
• (M ′, g′, I ′, J ′,K ′) otra variedad hiperkähler: una aplicación φ : M →M ′ es «cuaterniónica»
![Page 143: ¿Qué es la supersimetría?jmf/CV/Seminars/CSIC.pdf · • En un lenguaje más geométrico: secciones L2 de un fibrado homogéneo, que además satisfacen ecuaciones diferenciales:?«bosones»:](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050510/5f9ac5d8fee34241670b6be9/html5/thumbnails/143.jpg)
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Curvas cuaterniónicas
• (M, g, I, J,K) una variedad hiperkähler:
? (M, g) variedad riemanniana de dimensión 4n? I, J,K endomorfismos ortogonales de TM obedeciendo el álgebra
cuaterniónica y paralelos con respecto a ∇
• (M ′, g′, I ′, J ′,K ′) otra variedad hiperkähler: una aplicación φ : M →M ′ es «cuaterniónica» si
I ′ φ∗ I + J ′ φ∗ J +K ′ φ∗ K = −φ∗
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Curvas cuaterniónicas
• (M, g, I, J,K) una variedad hiperkähler:
? (M, g) variedad riemanniana de dimensión 4n? I, J,K endomorfismos ortogonales de TM obedeciendo el álgebra
cuaterniónica y paralelos con respecto a ∇
• (M ′, g′, I ′, J ′,K ′) otra variedad hiperkähler: una aplicación φ : M →M ′ es «cuaterniónica» si
I ′ φ∗ I + J ′ φ∗ J +K ′ φ∗ K = −φ∗
que es una ecuación diferencial elíptica de primer orden
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26
• Si dimM = 4 el funcional
S[φ] :=∫
M
‖dφ‖2g′
para aplicaciones φ : M →M ′
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• Si dimM = 4 el funcional
S[φ] :=∫
M
‖dφ‖2g′
para aplicaciones φ : M →M ′ está acotado por debajo
S[φ] ≥∫
M
(ωI ∧ φ∗ωI′ + ωJ ∧ φ∗ωJ ′ + ωK ∧ φ∗ωK′)
![Page 147: ¿Qué es la supersimetría?jmf/CV/Seminars/CSIC.pdf · • En un lenguaje más geométrico: secciones L2 de un fibrado homogéneo, que además satisfacen ecuaciones diferenciales:?«bosones»:](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050510/5f9ac5d8fee34241670b6be9/html5/thumbnails/147.jpg)
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• Si dimM = 4 el funcional
S[φ] :=∫
M
‖dφ‖2g′
para aplicaciones φ : M →M ′ está acotado por debajo
S[φ] ≥∫
M
(ωI ∧ φ∗ωI′ + ωJ ∧ φ∗ωJ ′ + ωK ∧ φ∗ωK′)
con igualdad ⇐⇒ φ(M) es una curva cuaterniónica
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• Si dimM = 4 el funcional
S[φ] :=∫
M
‖dφ‖2g′
para aplicaciones φ : M →M ′ está acotado por debajo
S[φ] ≥∫
M
(ωI ∧ φ∗ωI′ + ωJ ∧ φ∗ωJ ′ + ωK ∧ φ∗ωK′)
con igualdad ⇐⇒ φ(M) es una curva cuaterniónica, dondeωI(X,Y ) = g(IX, Y ), etc... son las 2-formas asociadas
![Page 149: ¿Qué es la supersimetría?jmf/CV/Seminars/CSIC.pdf · • En un lenguaje más geométrico: secciones L2 de un fibrado homogéneo, que además satisfacen ecuaciones diferenciales:?«bosones»:](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050510/5f9ac5d8fee34241670b6be9/html5/thumbnails/149.jpg)
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• Un argumento supersimétrico partiendo de la teoría Yang–Millssupersimétrica en 10 dimensiones sugiere la siguiente correspondencia
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• Un argumento supersimétrico partiendo de la teoría Yang–Millssupersimétrica en 10 dimensiones sugiere la siguiente correspondencia:
instantones en M1× εM2 enel límite adiabático ε→ 0
![Page 151: ¿Qué es la supersimetría?jmf/CV/Seminars/CSIC.pdf · • En un lenguaje más geométrico: secciones L2 de un fibrado homogéneo, que además satisfacen ecuaciones diferenciales:?«bosones»:](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050510/5f9ac5d8fee34241670b6be9/html5/thumbnails/151.jpg)
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• Un argumento supersimétrico partiendo de la teoría Yang–Millssupersimétrica en 10 dimensiones sugiere la siguiente correspondencia:
instantones en M1× εM2 enel límite adiabático ε→ 0
↔
curvas cuaterniónicasM1 → MM2
en el espacio de móduli deinstantones en M2
[FO–Köhl–Spence, hep-th/9710082]
![Page 152: ¿Qué es la supersimetría?jmf/CV/Seminars/CSIC.pdf · • En un lenguaje más geométrico: secciones L2 de un fibrado homogéneo, que además satisfacen ecuaciones diferenciales:?«bosones»:](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050510/5f9ac5d8fee34241670b6be9/html5/thumbnails/152.jpg)
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• Un argumento supersimétrico partiendo de la teoría Yang–Millssupersimétrica en 10 dimensiones sugiere la siguiente correspondencia:
instantones en M1× εM2 enel límite adiabático ε→ 0
↔
curvas cuaterniónicasM1 → MM2
en el espacio de móduli deinstantones en M2
[FO–Köhl–Spence, hep-th/9710082]
• Ejercicio: ¡Demostrarlo!
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Epílogo
• Existen otras ilustraciones de la conjetura
![Page 154: ¿Qué es la supersimetría?jmf/CV/Seminars/CSIC.pdf · • En un lenguaje más geométrico: secciones L2 de un fibrado homogéneo, que además satisfacen ecuaciones diferenciales:?«bosones»:](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050510/5f9ac5d8fee34241670b6be9/html5/thumbnails/154.jpg)
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Epílogo
• Existen otras ilustraciones de la conjetura:
? monopolos y sus generalizaciones
![Page 155: ¿Qué es la supersimetría?jmf/CV/Seminars/CSIC.pdf · • En un lenguaje más geométrico: secciones L2 de un fibrado homogéneo, que además satisfacen ecuaciones diferenciales:?«bosones»:](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050510/5f9ac5d8fee34241670b6be9/html5/thumbnails/155.jpg)
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Epílogo
• Existen otras ilustraciones de la conjetura:
? monopolos y sus generalizaciones? vórtices y sus generalizaciones
![Page 156: ¿Qué es la supersimetría?jmf/CV/Seminars/CSIC.pdf · • En un lenguaje más geométrico: secciones L2 de un fibrado homogéneo, que además satisfacen ecuaciones diferenciales:?«bosones»:](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050510/5f9ac5d8fee34241670b6be9/html5/thumbnails/156.jpg)
28
Epílogo
• Existen otras ilustraciones de la conjetura:
? monopolos y sus generalizaciones? vórtices y sus generalizaciones? la geometría calibrada de Harvey y Lawson
![Page 157: ¿Qué es la supersimetría?jmf/CV/Seminars/CSIC.pdf · • En un lenguaje más geométrico: secciones L2 de un fibrado homogéneo, que además satisfacen ecuaciones diferenciales:?«bosones»:](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050510/5f9ac5d8fee34241670b6be9/html5/thumbnails/157.jpg)
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Epílogo
• Existen otras ilustraciones de la conjetura:
? monopolos y sus generalizaciones? vórtices y sus generalizaciones? la geometría calibrada de Harvey y Lawson
• Ejercicio
![Page 158: ¿Qué es la supersimetría?jmf/CV/Seminars/CSIC.pdf · • En un lenguaje más geométrico: secciones L2 de un fibrado homogéneo, que además satisfacen ecuaciones diferenciales:?«bosones»:](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050510/5f9ac5d8fee34241670b6be9/html5/thumbnails/158.jpg)
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Epílogo
• Existen otras ilustraciones de la conjetura:
? monopolos y sus generalizaciones? vórtices y sus generalizaciones? la geometría calibrada de Harvey y Lawson
• Ejercicio: ¡Buscar más ejemplos!
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Muchas gracias.