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¿Qué se aprende del lenguaje de las funciones?

JUAN MANUEL GARCÍA DOZAGARAT*

El tema de funciones y el comienzo del cálculo supone para los alumnos adentrarse en unacantidad enorme de métodos nuevos y conceptos de gran complejidad que, por una parte,chocan con algunas de las ideas que ellos han adquirido en su experiencia previa con lasmatemáticas (por ejemplo, el significado de la igualdad), y por otra, suponen una pruebapara los conocimientos que tienen y que ahora deben utilizar en situaciones muy diferen-tes (por ejemplo, el concepto de número).

Las dificultades que tienen estos nuevos contenidos obligan muchas veces a los profeso-res a introducir puntos de vista incompletos o a explicar determinados conceptos conejemplos que recogen sólo algunos aspectos de los mismos.

No es de extrañar que durante su aprendizaje los alumnos pasen por situaciones de confu-sión y sus ideas puedan resultar a veces contradictorias. Como profesores debemos tomarconciencia de todo esto para poder organizar adecuadamente nuestra tarea didáctica.

IntroducciónCuando un profesor organiza su trabajo en la clase tiene en cuenta los contenidos que quie-re enseñar, la forma de hacerlo según los medios que tiene a su disposición, el punto de par-tida de sus alumnos y cómo espera que adquieran los conocimientos; pero hay un aspectoque no debe olvidar, por la trascendencia que tiene a corto y a largo plazo que es, como nosdice Vinner, cómo aprenden en realidad los alumnos como resultado de este trabajo.

No se puede planificar la enseñanza sin tener en cuenta la forma que toman los conoci-mientos en el pensamiento de los alumnos, y no se trata sólo de conocer las respuestas quedan a los ejercicios y exámenes que les hacemos, sino a saber exactamente qué es lo que pasapor su cabeza, de qué manera entienden las cosas, qué razones tienen para dar esas respues-tas, qué lagunas tienen, qué incoherencias.

Porque cada nuevo conocimiento que los alumnos adquieren se construye sobre esasideas y lo nuevo entra a formar parte de ese esquema que no está organizado de forma lógi-ca y que, dependiendo de su proceso de aprendizaje, llegará a estructurarse de forma cohe-rente y lógica o no.

En la Enseñanza Secundaria el tema de funciones incluye desde los primeros pasos en elaprendizaje del lenguaje gráfico, en los primeros cursos de ESO, hasta el concepto de inte-gral definida y el teorema fundamental del cálculo al final de Bachillerato. En este recorri-do se pasa por el concepto de función, el estudio de las funciones elementales, el estudio delos límites, el cálculo de límites, la continuidad y el concepto de derivada y también algu-na de sus aplicaciones.

379X JAEM. Ponencia P42, pp. 379-401

El objetivo de esta ponencia es mostrar algunos ejemplos que he podido recoger de res-puestas de alumnos a distintas preguntas y problemas sobre una parte de los contenidos quese desarrollan normalmente en este nivel de enseñanza: la iniciación al lenguaje gráfico, elconcepto de función y varias cuestiones relacionadas con el concepto de límite.

Parte de esta información la he recogido en mis clases y otra parte procede de las res-puestas a distintos cuestionarios que he pasado yo y otros profesores a los alumnos, en micentro y en otros centros.

La información en las clases se recogió observando y tomando nota de todo aquello quepodía mostrar qué era lo que realmente aprendían los alumnos de los contenidos que esta-ban estudiando, qué comentarios hacían, cómo respondían a las preguntas, qué dudas mani-festaban, qué equivocaciones, etc. La cantidad de datos recibidos era tan grande que resul-taba difícil procesar toda la información. A veces era necesario parar la clase y apuntar enuna hoja las observaciones: lo que decían, las preguntas que se hacían entre ellos, inclusolas caras que ponían, y muchas veces buscaba a los alumnos que habían dicho tal o cual cosa,o que habían mostrado tal duda, para que me explicasen mejor qué era lo que habían que-rido decir. Ha sido una experiencia muy valiosa comprobar que esa información está ahí, ennuestras clases y a nuestra disposición, es un privilegio que tenemos los profesores, sólo esnecesario preparar los medios necesarios para recogerla.

Hay muchos libros y artículos escritos que reflejan las investigaciones y reflexiones quese han hecho sobre este tipo de «errores» y obstáculos que encuentran los alumnos cuandosiguen el proceso de aprendizaje; al final de la ponencia hay una breve bibliografía por sialguien está más interesado. Después de los ejemplos se muestran algunas de las ideas rela-cionadas con cada tema que me han parecido interesantes.

El lenguaje gráficoEl lenguaje gráfico forma parte del lenguaje fuera del aula. En los medios de comunicaciónes habitual ver gráficas sobre la evolución de una enfermedad, sobre tendencias de la infla-ción o de los precios, sobre la evolución de los niveles de una determinada sustancia en laatmósfera, etc. Las funciones en ESO y en Bachillerato utilizan especialmente el lenguajegráfico: la representación gráfica se utiliza para explicar el propio concepto de función, paraintroducir y estudiar propiedades de las funciones y para explicar con imágenes diferentesconceptos como continuidad, límite, derivada, etc.

Por eso, una parte de nuestro tiempo de enseñanza debe dedicarse a que los alumnosaprendan las claves de este lenguaje, yendo más allá de la simple lectura de puntos y dela identificación de máximos o mínimos y aprendiendo a considerar las gráficas de unaforma más global y compleja, tomando conciencia del significado que tienen los distintosaspectos y propiedades que se pueden observar gráficamente: continuidad, crecimiento,concavidad, etc.

Es necesario que aprendan a hacer comparaciones entre distintas gráficas, o entre dis-tintos trozos de una gráfica y a leer e interpretar conceptos como el de tasa de variación ogradiente, para que puedan matizar entre diferentes formas de crecimiento o decrecimien-to, además de reconocer e interpretar los tipos básicos de funciones: lineales, cuadráticas,exponenciales, etc.

380 J. M. GARCÍA DOZAGARAT

Desde el comienzo, los alumnos deben adquirir una serie de destrezas relacionadas conesta nueva técnica, como son entender el significado de la representación, la elección ade-cuada de las variables, la elaboración de tablas o la elección y utilización de escalas en losejes.

En los ejemplos siguientes se verá cómo el estudio de las funciones está estrechamenteligado a la idea de variable que puede tomar diferentes valores de forma arbitraria, sin estarligada (aunque en el entorno del problema aparezcan las «x» y las «y») a la solución de unaecuación con un valor único o dos a lo sumo, que es la manera habitual de considerar lascantidades y las «variables» o «incógnitas» en el álgebra y la aritmética que han estudiado.Es necesario dominar este concepto para poder entender y utilizar el concepto de función.

¿Qué aprenden los alumnos?Al final del curso pasado, en una clase de Taller de Matemáticas de tercero de ESO, hicealgunas actividades del libro El lenguaje de funciones y gráficas (Shell Centre for Mathe-matical Education, 1990). Estos alumnos ya habían estudiado el tema de funciones en laclase de Matemáticas y, siguiendo el texto, habían hecho actividades sobre el lenguaje grá-fico y habían terminado estudiado las funciones lineal y afín.

Uno de los ejercicios fue el siguiente:

381¿QUÉ SE APRENDE DEL LENGUAJE DE LAS FUNCIONES?

Una empresa ofrece el alquiler de un autobús de lujo por 90.000 PTA diarias. El organiza-dor de la excursión decide cobrar el mismo precio a todos los viajeros. ¿Cómo dependerálo que paga cada uno del número de viajeros?I) Explica tu respuesta con detalle.II) Describe tu respuesta mediante un gráfico aproximado poniendo las variables que

hay en cada eje.III) Construye una tabla de valores y dibuja otra gráfica con los valores de la tabla.IV) Escribe una fórmula para la relación.

Varios alumnos respondieron como María (ver figura 1 a continuación). Una interpretación posible es que consideran la gráfica como un dibujo de la tabla,

como una ilustración. Colocan los números ordenados al revés, no mantienen la escala.Cambian la colocación de las variables, y en algunos casos ponen el cero fuera del origen.

Al ver lo que estaban escribiendo pregunté:Profesor: ¿Por qué pones los números grandes en el origen?

Alumno: Porque es por donde hemos empezado a dar valores.

P: ¿Por qué pones el 90.000 junto al 1 en la gráfica?

A: Porque están juntos, son valores que se corresponden.

P: ¿Por qué es una recta? ¿Tiene que ser así?

A: Sí, tiene que dar una recta.

En general, la fórmula la escribían bien, hacían la tabla, lo que no controlaban era elpropio lenguaje gráfico: ¿qué representa una gráfica?, ¿qué expresa?, ¿para qué se hace unagráfica? No entienden que una relación entre dos «cosas» pueda dibujarse con una gráfica,como comentó un profesor a la vista de estas respuestas.

Juan Antonio, alumno callado, con poco interés y malos resultados académicos, presen-taba una situación más atrasada:


Figura 1

Figura 2

Después de hacer la primera gráfica ya no hacía nada más y le pregunté:P: ¿Por qué estas parado?, ¿qué te ocurre?

A: ¿Qué quiere que haga?, ¿cómo puedo saber el número de viajeros?

P: Da algunos valores, por ejemplo, si hay 16 viajeros, ¿cuánto tendría que pagar cada uno? Haz unatabla…

A: (Hizo la tabla y la segunda gráfica).

Éste es una caso extremo, pero, en general, hay una dificultad para pensar en los valo-res que puede tomar una cantidad que tiene que cambiar, pues hasta este momento hanresuelto ecuaciones, han pensado en una solución particular de un problema de álgebra ode aritmética. Hay que cambiar la forma de pensar para imaginarse todos los posiblesvalores que puede tomar una magnitud y admitir no una solución sino todas las solucio-nes posibles del problema.

Estudios e investigacionesBell, Brekke y Swan (1987) indican las siguientes dificultades en la comprensión del len-guaje gráfico de los alumnos (de 2.° y 3.° de ESO):

— Un gráfico es un dibujo de una situación. Más de la mitad de los alumnos estánafectados por este tipo de error.

— Los alumnos tienen dificultades para darse cuenta de que los gráficos también pue-den mostrar la relación entre dos variables porque están acostumbrados a leer grá-ficos de barras, pictogramas y otros tipos de gráficos donde se considera una solavariable calitativa o cuantitativa en un eje y en el otro eje está representada la fre-cuencia o la cantidad de esa variable.

— Es difícil que el alumno comprenda qué tipo de variación está teniendo lugar ypueda relacionarla con un tipo de gráfico. Tienen dificultad en reconocer cuál es larelación entre los puntos que se representan en la gráfica, si la gráfica debe ser unarecta o una línea curva y en este caso de qué tipo es.

— Una manifestación de la dificultad anterior es pensar que los gráficos están forma-dos por segmentos de rectas que unen puntos determinados en lugar de líneas cur-vas que tengan en cuenta cómo se produce la variación de las magnitudes queintervienen.

Además Bell señala otras dos dificultades más: — Dificultad para interpretar tasas de variación (gradientes) y apreciar su interpreta-

ción gráfica, sobre todo si se refiere a dos variables que no estén implicadas en unproceso de desarrollo, distintas de velocidad y tiempo, sino a dos variables cuales-quiera, por ejemplo número de viajeros y precio.

— Reducir el problema y concentrarse sólo en una de las variables y excluir a la o lasotras, o apreciar sólo algunos aspectos e ignorar los otros.

El concepto de funciónEl concepto actual de función, como una correspondencia entre dos conjuntos no vacíosque asigna a cada elemento del primer conjunto un elemento, y uno sólo, del segundo, esla forma habitual de presentar las funciones en nuestras clases. Este concepto caracteriza


a todas las funciones y las únicas condiciones restrictivas son las que enuncia la propiadefinición.

Sin embargo, para introducir y estudiar el concepto y para hacer entender las propieda-des se utilizan ejemplos de funciones dadas por fórmulas y sus representaciones gráficas. Estohace que los alumnos asuman como aspectos del concepto de función características queestán en los ejemplos y que de ninguna manera se podrían deducir de la definición.

¿Qué idea tienen los alumnos de lo que es una función?Para recoger esta información se ha pasado un cuestionario a los alumnos, tomando comoreferencia el de Vinner y Dreyfus (1989) y se han tenido en cuenta las conclusiones de lainvestigación que exponen Tall y Bakar (1992).

Se ha considerado que podía haber dos maneras diferentes de preguntar a los alumnos,una directa, pidiéndoles la respuesta concreta a una pregunta como ésta: «Define o explicaqué es para ti una función», con el objetivo de descubrir el concepto «teórico» de funciónque habían asumido, si es que había alguno, es lo que Tall y Vinner (1981) y Vinner (1991)llaman el «concepto definición».

Pero si en lugar de preguntar por la definición del concepto directamente, se muestra unproblema relacionado con el mismo, para resolverlo, los alumnos probablemente no recu-rrirán a la definición, sino que pondrán en funcionamiento toda la serie de ideas, adecua-das o inadecuadas, que tienen en su mente relacionadas con el concepto, esto es, mostraránparte de lo que Tall y Vinner llaman el esquema conceptual:

El esquema conceptual consiste en toda la estructura cognitiva que hay en el pensamiento y que está aso-ciada con el concepto. Puede no ser globalmente coherente y puede tener aspectos que son muy diferen-tes de los que contiene la definición formal. (Tall y Vinner 1981).

Estas preguntas deben poner en acción lo que los alumnos piensan al respecto, sin estarforzados a dar una definición más o menos coherente.

Se han hecho las preguntas a varios cursos de 3.° de ESO, 4.° de ESO de MatemáticasA y B, 1.° de Bachillerato de CCNN y 2.° de Bachillerato de CCSS.

La definición

La pregunta era, para los alumnos de ESO: «Escribe lo que piensas que es una función» ypara los alumnos de Bachillerato: «¿Qué es una función? Si puedes, escribe la definición».

En ESO casi la mitad de los alumnos no contestó a esta pregunta y la gran mayoría delos que contestan tienen una concepción predominantemente visual diciendo, de formasdiferentes y con matizaciones, que una función es una gráfica, por ejemplo:

— Una línea (si es continua) o un conjunto de líneas (si es discontinua) que relaciona dos magnitudeso variables. (3.° de ESO).

— Mide mediante una gráfica la evolución de unos determinados hechos. Es muy práctica para ver cla-ramente, o más claramente, un montón de datos que expresados de otro modo resultarían más difíci-les de entender. Así se pueden ordenar y medir. (4.° A de ESO).

— La representación del resultado de una ecuación en una recta (es la relación x e y en una recta). (4.°A de ESO).

— Una representación de unos ciertos datos en los que se tiene que componer que la x tenga un solovalor y que la y tenga un solo valor.


Una función puede ser de diversas formas:

F. afín (hay una gráfica).

F. directa, de proporción directa, etc. (hay una gráfica). (4.° B de ESO).

— La representación gráfica de una situación en la que hay dos magnitudes y se representan en dos ejes(eje de ordenadas y eje de abcisas). Su fórmula o la forma de escribir una función es: f(x) = y. (4.° Bde ESO).

Sólo una décima parte de los alumnos de ESO piensan que una función es una relaciónentre dos variables, en algunos casos matizando que tiene una gráfica, por ejemplo:

— La relación entre dos magnitudes o variables numéricas en una gráfica. (3.° de ESO).

— La relación entre dos magnitudes en la que los valores de una dependen de los de la otra, denomina-da variable independiente. (4.° B de ESO).

— Dos tiempos o relaciones que se relacionan para llegar a un punto donde se cruzan o se ve lo que hacedurante el recorrido. (4.° A de ESO).

También es interesante una clase de respuestas en las que la definición de función incor-pora de forma más o menos elaborada la descripción de propiedades de las funciones. La pro-porción de respuestas de este tipo aumenta en los alumnos de Bachillerato. Por ejemplo lade este alumno de 3.° de ESO:


Figura 3

Es significativo que, del total de alumnos encuestados, sólo aproximadamente la quintaparte de los alumnos de 4.° Matemáticas B de ESO hace alusión a la defininición formal yescriben escuetamente una frase como ésta o parecida como respuesta a la pregunta: «[unafunción] es una relación en la que para cada valor de x hay un único valor de y».

Ningún alumno de ESO se refiere en su definición al dominio o al recorrido.En Bachillerato, en cambio, más del 90% de los alumnos encuestados responden a esta

pregunta, pero para la mayoría de los que responden, casi el 60%, una función es una gráfi-ca, a veces una fórmula concreta o abstracta o una igualdad u otra cosa que se pueda repre-sentar gráficamente. Muchas veces incorporan la descripción de propiedades. Algunas res-puestas fueron:

— La representación gráfica de una ecuación mediante una tabla de valores en la que se va dando valo-res a la x y salen puntos que se representan en la gráfica. La ecuación puede ser de muchos tipos, porejemplo una ecuación lineal puede ser y = a x + b. La tabla se hace en función de x y de y. (1.° deBachillerato de CCSS).

— Una representación gráfica. Puede ser de varios tipos, polinómica, cuando viene dada por un poli-nomio, puede ser exponencial… También puede ser continua o discontinua, etc. Viene dada por unafórmula, según sea la fórmula así será el tipo de función. (1.° de Bachillerato de CCNN).

— Representación de los valores que toma x para una ecuación. (1.° de Bachillerato de CCNN).

— Una recta comprendida entre los ejes x e y que se orienta a números positivos infinitos y a númerosnegativos infinitos. (2.° de Bachillerato de CCSS).

— La representación gráfica de una suma de valores en la que quedan representados en unas coordena-das (x, y). El recorrido de la función puede ser positivo o negativo, tener asíntotas, que sea una solarecta. F(x) = ax2+bx+c. (2.° de Bachillerato de CCSS).

— Representación gráfica de una igualdad con una incógnita y que sirva para el análisis de elementoscomo su continuidad, su paridad, si tiene máximos o mínimos, asíntotas, cortes con los ejes y su con-vexidad y concavidad. (2.° de Bachillerato de CCSS).

— Una gráfica con unas componentes x e y, a cada valor de x le corresponde un valor y. (1.° deBachillerato de CCNN).

— Una representación gráfica o el resultado de una expresión matemática que representándolo en unagráfica da siempre para un valor de x hay un valor de y. (2.° de Bachillerato de CCSS).

— Línea que puedes dibujar sin levantar el lápiz del papel, que a cada valor de x le corresponde uno omás valores de y, pero a los valores de y sólo les puede corresponder un valor de x. (2.° de Bachilleratode CCSS).

Esta última definición es interesante porque asocia una cualidad a las funciones que es lacontinuidad de la gráfica. Veremos después que, independientemente de la definición que hayandado, éste es un criterio para decidir si una gráfica puede ser o no representación de una función.Algunos alumnos rechazan como funciones las gráficas que no cumplen este requisito.

Con frecuencia confunden el criterio de unicidad de la imagen; es una idea que han oídopero que algunos no acaban de entender con claridad.

Para aproximadamente la décima parte de los alumnos de Bachillerato encuestados unafunción es una relación, por ejemplo:

— Una relación entre dos variables, una dependiente y otra independiente en la que a cada valor de xle corresponde un único valor de y. (1.º de Bachillerato de CCNN).

— Una relación entre 2 variables, x e y

x → variable independiente y → variable dependiente

Las funciones poseen un dominio (eje x) y un recorrido (eje y).

Cuando se representan en gráficas tienen máximos y mínimos. Se pueden expresar de muchas mane-ras: en gráficas, tablas, fórmulas. (1.° de Bachillerato de CCNN).

Para unos pocos alumnos una función es una fórmula o una ecuación, como se ha vistoantes; algunos alumnos que opinan que una función es una gráfica incluyen también estepunto de vista como complementario, por ejemplo:

— Una especie de fórmula en la cual das unos valores a x y a y, y por ello puede representarse de formagráfica. Es una igualdad. (Se acompaña con un dibujo de unos ejes de coordenadas). (1.° deBachillerato de CCNN).

— f(x) = 2x2+4x –2 (ejemplo)

Es una operación en la que está incluida una variable (x).

Para su desarrollo hay que despejar la x y resolver la ecuación (que puede ser de cualquier grado). Unavez obtenida se dibuja su recta correspondiente en el eje de abscisas. (2.° de Bachillerato de CCSS).


— Es un conjunto de números y letras. La letra predominante es la «x», en la mayor parte de las vecesestá formada por polinomios. (2.° de Bachillerato de CCSS).

Sólo un alumno ha contestado que una función es una aplicación:— Es una aplicación. El conjunto de puntos que tienen imagen, dominio o campo de existencia de la

función. (1.° de Bachillerato de CCSS).

Casi la cuarta parte de los alumnos de Bachillerato en su definición de función incor-poran que para un valor de la variable sólo puede haber un valor de la función, aunque lamayoría lo expresan como una propiedad que deben de tener las gráficas para que sean fun-ciones, por ejemplo:

— Una línea curva o recta que para un valor de x sólo toma uno de y (se incluye el dibujo de una gráfi-ca). (1.° de Bachillerato de CCNN).

— Una sucesión de puntos continuos o no para los que cada valor de la x tiene un único valor de y. (1.°de Bachillerato de CCNN).

— Es toda representación gráfica que cuenta con dos variables, generalmente (x, y) y que tienen que verla una con la otra, ya que x equivale siempre a un valor de y y viceversa. Esta línea tiene un resulta-do gráfico y otro numérico, ya que puedes hallar sus valores y además representar la función. Ademáses una igualdad entre dos incógnitas variables. (2.° de Bachillerato de CCSS).

– Una igualdad en la que el valor de y depende de los valores que se le dé a la incógnita x.

Tiene que haber un único valor de y (imagen) para cada valor que se le dé a x. Ejemplos:


(2.° de Bachillerato de CCSS).

Ideas que aparecen al utilizar su concepto de función

Para obtener esta información en el cuestionario se mostraban una serie de gráficas y tablaso se describían relaciones para que respondiesen si eran o no funciones y explicasen por qué,pero como según las definiciones anteriores la mayoría de los alumnos opina que una fun-ción, con diferentes matizaciones, es una gráfica, sólo se van a comentar las respuestas rela-cionadas con estas preguntas.

y x y x yxx

y x y x n

= + = + =++

= =3 2 33 24 5

22

; ; ; log ;

Figura 4

Un criterio muy extendido entre los alumnos para decidir si una gráfica corresponde ono a una función es valorar si les resulta familiar o si la identifican con algún modelo cono-cido dentro o fuera de la clase de matemáticas. Por este mismo criterio pueden rechazarcomo función una gráfica porque les resulte rara, por ejemplo:

— A. Sí es función, porque es una parábola y una recta. (4.° A de ESO).

— F. Sí es función, porque es una parábola. (1.° de Bachillerato de CCNN).

— C. No es función, porque tiene baches. (4.° A de ESO).

— C. Sí es función, porque puede ser una escala de las montañas. (4.° A de ESO).

— A. No es función, porque es muy rara. (3.° de ESO).

— D. Sí es función, porque he visto alguna de éstas en clase. (3.° de ESO).

— A. No es función, porque no puede haber una parábola con una recta, porque la parábola es de segun-do grado y la recta de primer grado. Entonces no podría salir «mezclada» saldría sólo una parábola. (4.°B de ESO).

— A. No es función, porque las gráficas no acaban en punta. (1.° de Bachillerato de CCNN).

— C. Sí es función, porque es una representación de un límite cuando x tiende a cero por la izquierda(entre paréntesis escrito con símbolos). (2.° de Bachillerato de CCSS).

— E. Sí es función, porque por sus características sería una parábola. (2.° de Bachillerato de CCSS).

En la pregunta 1 E, en cambio, como no han visto funciones con forma de circunferen-cia, o puede ser también que les perturbe el hecho de que el dominio es un intervalo«pequeño» en relación con todo el eje de abscisas, muchos alumnos de ESO y Bachilleratorechazan la gráfica como de una función, o simplemente contestan no a esta pregunta, o nocontestan, por ejemplo:

— E. No es función, porque es una semicircunferencia. (4.° A de ESO).

— E. No es función, porque para cada valor de x no hay un valor de y. Para x = 11 no hay un valor de y.(Ha dibujado una escala en el eje de abcisas y el 11 queda fuera de la semicircunferencia). (4.° B deESO).

El punto de vista de función como gráfica lleva a adoptar criterios estéticos o a vecesdinámicos:

— B. No es función, porque da mucha vuelta. (3.° de ESO).

— C. Sí es función, porque va equilibrada. (3.° de ESO).

— F Sí es función, porque tiene una subida y una bajada. (3.° de ESO).

— B. No es función, porque una función no puede cruzarse con ella misma. (1.° de Bachillerato deCCNN).

— B. No es función, porque es un lazo. (1.° de Bachillerato de CCSS).

— C. No es función, porque parece una cuerda desliada. (1.° de Bachillerato de CCSS).

— C. No es función, porque parece un garabato. (1.° de Bachillerato de CCNN).

— A. No es función, porque tiene cambios bruscos (los picos). (1.° de Bachillerato de CCNN).

— A, B y C. Sí son funciones, porque se «asientan» en el eje x. (2.° de Bachillerato de CCSS).

Bastantes alumnos de 3.° y 4.° A y alguno de 4.° B rechazan que C sea función, o nocontestan, porque la gráfica sobrepasa el eje vertical hacia la izquierda:

— C. No es función, porque el empiece de la línea comienza fuera. (4.° B de ESO).

— C. Sí es función, porque es bastante constante y parece normal, aunque el trazo señalado (ha rodeadocon un círculo la parte de la gráfica que está a la izquierda del eje vertical) no debería estar por fuerade la gráfica. (3.° de ESO).


Otro criterio para decidir si una gráfica es o no gráfica de una función es si la línea es ono continua:

— D. No es función, porque se cortan. (3.° de ESO).

— D. Sí es función, porque se corta y se junta la x en el mismo sitio sin dejar un espacio sin unir. (4.° Ade ESO).

— D. No es función, porque no tienen relación. (4.° A de ESO)

— D. No es función, porque no pueden ser líneas discontinuas. (4.° B de ESO).

— D. No es función, porque no tiene ningún motivo para subir del punto 1 (el final del primer segmen-to) al punto 2 (el comienzo del segundo segmento). (1.° de Bachillerato de CCNN).

— D. Sí es función, porque son varias funciones representadas en un solo eje. (2.° de Bachillerato deCCSS).

En correspondencia con el alto porcentaje de alumnos que incorporan a su definición laidea de que para un valor de la variable sólo puede haber un valor de la función, hay unaproporción equivalente de alumnos que utilizan este mismo patrón para decidir si una grá-fica representa una función. En muchos casos es el mismo alumno el que emplea este crite-rio en las dos respuestas, sobre todo alumnos de 4.° de Matemáticas B y de Bachillerato deCiencias; algunos alumnos utilizan este criterio para la definición de función, pero en otrapregunta se dejan llevar por otro criterio diferente, contestando de forma equivocada encontradicción con su definición.

— D. Sí es función, porque contiene intervalos, es decir, mide una serie de intervalos, pero como las rayasno se montan en un mismo punto de la gráfica no tiene por qué ser imposible. Es totalmente cierta.

Pero: 1F Sí es función, porque son parábolas y yo las he hecho. (4.° A de ESO).

— B. No es función, porque un punto nunca puede tener dos imágenes y hay puntos donde hay dos imá-genes.

Por ese mismo criterio contesta que E sí es función.

Pero: F Sí es función porque puede ser una parábola simétrica [con respecto] al eje de abcisas. (2.° deBachillerato de CCSS).

— B. No es función, porque no puede tener dos valores de y distintos para la x.

Pero: C no es función, porque no sigue una línea coherente y F sí es función, porque es una muycomún. (1.° de Bachillerato de CCNN).

— A. Sí es función, porque a cada valor de x le corresponde un valor de y; B no es función, porque haymás de un valor de y que corresponde con un valor de y; C sí es función, por el mismo criterio.

Pero: 1F sí es función, porque puede ser la unión de dos funciones logarítmicas. (1.° de Bachilleratode CCSS).

Estudios e investigacionesTall y Bakar (1992) dicen que el concepto de función tal como se define actualmente esdifícil para la mayoría de los alumnos, es un concepto demasiado general para que pueda serasumido de forma significativa. Aunque se enseñe a los alumnos conceptos como los dedominio y recorrido, estas ideas no arraigan en su memoria. De hecho, el concepto de fun-ción que adquieren es el producido por los ejemplos y la utilización que se hace de las fun-ciones en el currículo, este uso introduce ideas en su pensamiento que cambian el sentidode la definición formal.

Su hipótesis es que los alumnos desarrollan «ejemplos-prototipo» del concepto de fun-ción y, ante la carencia de hecho de una definición operativa en su pensamiento, intentan


responder a las preguntas buscando resonancias con esos prototipos mentales. Si las encuen-tra, el individuo responde positivamente. Si no, se produce confusión y se busca en el pen-samiento la razón de ese fracaso.

Las resonancias positivas pueden ser erróneas porque evocan propiedades de los proto-tipos que no forman parte de la definición formal. Por ejemplo, que una función debe estardefinida por una fórmula o que la gráfica familiar de un círculo es una función.

Las resonancias negativas igualmente pueden ser incorrectas. Por ejemplo que una grá-fica extraña no puede ser una función porque no encaja con ninguno de los prototipos, oque una función no puede ser constante porque debe depender de una variable y se consi-dera necesario que esa variable aparezca explícitamente en la expresión.

Dan la siguiente lista de prototipos encontrados sobre el concepto de función, despuésde estudiar las respuestas a un cuestionario donde se pedía que identificasen funciones enun serie de gráficas cartesianas, a un grupo de 109 alumnos que acababan de terminar laenseñanza secundaria e iban a comenzar estudios universitarios:

• El concepto de función está asociado con determinadas gráficas que resultan familiares. Poreso pueden aceptar como funciones determinadas gráficas como las parábolas aun-que su eje no sea vertical, o las circunferencias.

• Las gráficas de las funciones deben ser suaves, formadas por líneas rectas o curvas conoci-das. Por esta razón los alumnos pueden tener inclinación a rechazar como ejemplosde funciones las gráficas formadas por líneas irregulares o por mezclas arbitrarias defunciones conocidas, aunque cumplan los requisitos de la definición. Les puedenparecer «demasiado irregulares» o «complicadas», mezclas no «naturales», etc.(«Una gráfica no puede volver sobre sí misma». «Una gráfica no puede pertenecer auna función si tiene un pico»).

• En las clases se trabaja la mayoría de las veces con funciones polinómicas, trigono-métricas, exponenciales, etc., que están definidas mediante una fórmula y su domi-nio es el conjunto de todos los números reales, excepto quizás algunos números en elcaso de las funciones racionales. Por esta razón, los alumnos pueden adquirir la ideade que las funciones deben estar definidas «ampliamente», para todos los números, y quela gráfica de una función no debe parar de golpe, debe «continuarse», ni tampoco dejar«huecos» donde la función no esté definida, como una recta que se extiende en eleje horizontal.(Una función «no debe cortarse de forma artificial». Ésta puede ser la explicacióndel amplio rechazo que se observa a aceptar como gráfica de una función una semi-circunferencia, o rechazar como ejemplo de función una gráfica donde hay interva-los en el eje de abcisas sin imagen).

• Muchos alumnos adquieren la idea de que una función debe venir dada por una (sola)fórmula, una igualdad donde debe aparecer la variable x y la función y, una a cada ladodel signo igual. En las matemáticas de la enseñanza secundaria la noción de funciónestá fuertemente ligada a la utilización de una expresión con dos variables y si lavariable no aparece, entonces la expresión no es una función.(Eso hace que, a veces, la expresión «y = k» sea rechazada como expresión de unafunción o que el criterio para decidir si una gráfica o una tabla, etc. puede represen-tar una función sea buscar una fórmula adecuada en la que aparezcan la x y la y, o


que a veces tengan dificultades en aceptar las funciones definidas a trozos comoejemplos de función).

Tall y Bakar creen que los intentos de enseñar la teoría formal han resultado muchasveces infructuosos. Pero la otra cara de la moneda –enseñar el concepto a través de ejem-plos, como se hace actualmente– conduce a prototipos mentales que dan impresiones erró-neas sobre la idea general de función.

Han encontrado los síntomas, pero no la cura. El concepto de función es extremada-mente complejo, con muchas ramificaciones que ha llevado centurias el poder hacerlasexplícitas. Creen que hay obstáculos conceptuales para que el concepto madure en la mentede los alumnos.

Cuando se introduce el concepto de función, los ejemplos y contraejemplos se convier-ten en prototipos para el concepto que tienen muchas limitaciones por su naturaleza, pro-duciendo conflictos con la definición formal. Experiencias más generales pueden mejorar lasituación, pero se hace frente a un obstáculo formidable:

Los alumnos no puede construir el concepto abstracto de función sin experimentar con ejemplos del con-cepto de función en acción, y al mismo tiempo no pueden estudiar ejemplos del concepto en acción sindesarrollar prototipos que incorporan limitaciones que no se pueden aplicar al concepto abstracto.

Y concluyen: si se quiere hacer progresos, se debe intentar desarrollar formas de trabajoen la clase que consigan que los prototipos desarrollados por los alumnos sean lo más ade-cuados posible al concepto abstracto de función.

El concepto de límiteEn Bachillerato, siguiendo el desarrollo del tema de funciones, nos encontramos con uncapítulo que es el estudio de los límites. Los límites son la puerta de entrada al CálculoInfinitesimal y lo que aprenden tiene una enorme trascendencia en todos los temas rela-cionados con este nuevo campo, porque el concepto de límite y los demás contenidos deeste capítulo que se estudian, van a ocupar en todos ellos una posición central.

La mayoría de los profesores están de acuerdo en que el concepto de límite es espe-cialmente complejo y difícil de enseñar y aprender; y no me refiero sólo a la definiciónformal, (que está construida con una forma de razonamiento «hacia atrás» muy difícil deseguir por nuestros alumnos, acostumbrados a los métodos de la aritmética y del álgebra);sino al resto de los contenidos referidos a este tema: teoremas, propiedades y procedi-mientos de cálculo.

Esto es así en primer lugar porque estos contenidos están impregnados de las dificulta-des y obstáculos ligados al concepto que han requerido el transcurso de siglos para quepudiesen ser superados, pero además, porque hacen surgir de nuevo en los alumnos las difi-cultades y deficiencias que se arrastran de temas estudiados anteriormente: funciones, álge-bra, números, el uso que se hace de las desigualdades, y nos traen nuevas dificultades espe-cíficas de este campo de estudio, como por ejemplo puede ser el significado de la igualdad.

Generalmente los profesores y los textos en este nivel intentan hacer frente a estas difi-cultades con un tratamiento informal desde la introducción, estudiando ejemplos median-te gráficas y tablas para hacer más comprensible la definición y los teoremas y propiedades.Pero, como en el caso de las funciones, los ejemplos y métodos de cálculo que se utilizan


acaban por dominar el aprendizaje y crean en los alumnos una fuerte base intuitiva queimpregna todo su esquema conceptual.

En el estudio de los límites el lenguaje que se utiliza para escribir y hablar del conceptotambién contribuye a crear imágenes conceptuales inadecuadas en los alumnos, pues estácargado de significados ajenos a las matemáticas, que dan un sentido diferente y en des-acuerdo con el que tienen los términos en la definición formal, por ejemplo: las palabras«límite», «infinito», la frase «tiende a» y los términos que se utilizan al hablar del temacomo son «aproximar», etc.

Por otra parte, cuando los alumnos se encuentran con dificultades conceptuales, habi-tualmente desarrollan una estrategia que consiste en concentrarse en las habilidades de cál-culo asociadas: hacer operaciones, resolver una ecuación, calcular límites, hacer derivadas,etc., que son mucho más sencillas de comprender y les permiten tener más éxito en los ejer-cicios y exámenes. Esta actitud se ve también reforzada cuando los profesores prefierenhacer este tipo de preguntas porque son más fáciles de corregir y valorar y porque saben quelos alumnos tienen menos dificultades para contestarlas. El problema es que tales habilida-des de cálculo son sólo una mecánica que les sirve muy poco cuando tienen que respondera problemas que implican conocimiento de los conceptos.

Los alumnos La mayoría de las veces que he tratado este tema en clase he tenido la sensación de ir muydeprisa, de quemar etapas y de pasar con demasiada rapidez, respecto a la velocidad de asimi-lación de los alumnos, de unas ideas a otras, de un método de explicación a un procedimien-to de cálculo, de forma que muchas veces estaban desconcertados y no sabían qué era lo quetenían que hacer, porque no llegaban a entender del todo mis razones y justificaciones.

El curso pasado he tenido una clase de 2.° de Matemáticas de CCSS y un día, conel objetivo de recordar lo que era la función derivada, propuse calcular la derivada dey = 1/(x–2) utilizando la definición que estaba escrita en la pizarra.

Empecé a seguir todos los pasos para calcular (f(x+h)–f(x))/h.Después de algunas operaciones se llegó a:

(f(x+h)–f(x))/h = –h/((x+h–2)(x–2)h)

Llegados a este punto les pedí que calculasen el límite preguntando: ¿cómo se puede cal-cular el límite cuando h → 0?

Se creó cierto desconcierto: algunos sugirieron simplificar, pero hubo bastantes que pro-pusieron hacer una tabla y dar valores a h cada vez más pequeños. (Así les había recordadoel concepto de límite).

Yo quise aclarar las cosas y volví a preguntar:¿No hay otro procedimiento distinto de hacer la tabla? Recordad que para calcular el

límite no interesa el valor h = 0 y se puede simplificar la expresión, ¿no os acordáis de lo quese hacía con las funciones de «discontinuidad evitable»?

……Y me puse a hacer los cálculos en la pizarra, y cuando hice el límite de

–1/((x+h–2)(x–2)) hice la h cero porque esa función de h era continua en h = 0 y terminé:y’ = –1/((x–2)(x–2))

……


La explicación terminó, se hizo el silencio y después de un momento una alumna mepreguntó:

Pero profe, ¿cuándo se hace la tabla y cuándo se hace con las normas esas?

No tengo que explicar que ahora el desconcierto lo tuve yo y salí con la sensación, deno sólo no haber convencido a nadie, sino de haber logrado hacer dudar incluso a los queantes estaban de acuerdo con mi método.

El cálculo de límites de funciones de discontinuidad evitable me ha parecido siempreespecialmente difícil de explicar y, por tanto, de entender, porque creo que hay que teneren cuenta demasiadas cosas, cada una de ellas por separado con una enorme dificultad.

Hay que tener muy claro el concepto de límite, el concepto de función continua, el teo-rema del resto y la descomposición en factores de polinomios y cierta soltura en los proce-dimientos de cálculo algebraico para poder entender completamente todo lo que se hace, yque no se aprenda como una simple rutina de cálculo más, que únicamente sirve para con-testar a una de las preguntas típicas de los exámenes.

Pero si se piensa en el lenguaje que se usa para hablar de todo esto, el tema se vuelve toda-vía más confuso:

¿Qué sugiere la palabra límite?¿Qué sugiere la frase «tiende a»? ¿Qué sugieren las imágenes x → a y f(x) → m?¿Qué aprenden los alumnos sobre lo que es el límite cuando para explicarles un límite

se hace una tabla de valores «acercándose» con la variable a un punto? De hecho, a veces los alumnos interpretan el resultado del cálculo de un límite con una

tabla como un redondeo que se hace de valores que «se van aproximando».Es necesario también pensar en el concepto de número real que tienen los alumnos. Para

muchos alumnos de primero de Bachillerato todavía no existen, en la práctica, más que losnúmeros enteros, y en caso de aceptar los decimales, ¿qué significa para ellos aproximarse aun valor? ¿cuál es su sentido de «estar muy cerca de»?

Por otra parte, ¿cómo entienden el que un número sea muy grande?, ¿y que sea muypequeño?

En el concepto de límite son muy importantes las desigualdades. ¿Cómo entienden el sermayor que?, ¿o el ser menor que?

Pero las dificultades no sólo están en el concepto y en los objetos matemáticos que seutilizan, al adentrarse en el cálculo de límites, la complejidad de los nuevos conceptos y pro-cedimientos que se estudian es una dificultad añadida que hace que el proceso de estudiosea demasiado rápido para que puedan entenderse todas las eatpas y pasos que se van reco-rriendo. Ya se ha comentado antes el caso del cálculo de límites en un punto con disconti-nuidad evitable, pero el simple cálculo de límites de funciones continuas, desde el punto devista del aprendizaje, es complejo y está lleno de ambigüedades, por no decir de contradic-ciones.

En la práctica


lim ( )x

x→

+ =1

2 5 7

porque se sustituye x por 1, pero el valor del límite no tiene en cuenta el valor de x en 1,sin embargo como la función es continua se sustituye por ese valor.

Tiene que estar muy consolidado el concepto de límite para que cuando se estudie ellímite de funciones continuas no se vea contradicción entre el concepto y el procedimien-to de cálculo.

Y por último, desde el punto de vista de los alumnos, ¿para qué sirven los límites, ade-más de para que el profesor les haga preguntas sobre ellos?

Para obtener información de los alumnos sobre alguno de estos interrogantes, este últi-mo curso se ha pasado un cuestionario, a un grupo de 1.° de Bachillerato de CCNN y a otrode 2.° de Bachillerato de CCSS.

Con respecto al concepto de límite, en la primera pregunta se les pedía que justificasenpor qué se utilizaba un procedimiento de cálculo de límites y que explicasen qué quiere decirque una función tiene un límite concreto. No se les pedía una definición, porque en estenivel la mayoría de los alumnos tienen muchas dificultades en formular alguna; además,según Tall y Vinner, el concepto no está determinado exclusivamente por la definición quese conoce de él, sino por todas las ideas que se han ido incorporando durante el aprendiza-je al esquema conceptual correspondiente. La primera pregunta era:


1.a) Comprueba que

Justifica el procedimiento que has utilizado para comprobarlo. b) EXPLICA CON DETALLE qué quiere decir:

c) Dada la función y = f(x), se ha calculado el siguiente límite:

EXPLICA CON DETALLE qué quiere decir eso.

límxxx →

=3

2 93

6––

límxxx →

=3

2 93

6––

lím f xx →

= …5

0 28571428571( ) ,

Al primer apartado han contestado casi todos los alumnos. Más de la mitad de los alumnos de 2.° de CCSS hace una tabla para comprobar que

cuando x «se acerca» a 3 por la izquierda y por la derecha, f(x) «se acerca» a 6 y concluyen:

— Tiende a 6.— La cantidad se aproxima más y más a 6 por lo que deduzco que tiende a 6.

O lo escriben con símbolos, algunos así:

— lim f(x) = → 6 ( por la izquierda).— lim f(x) = → 6 ( por la derecha).

No se pudo averiguar si los alumnos que contestan así lo hacen como una justificacióno porque es el procedimiento de cálculo de límites que conocen.

El resto responde sólo a la primera parte de la pregunta haciendo cálculos, la mayoría conlos cálculos usuales: primero sustituyen y comprueban que sale 0/0 y escriben «indeterminado»,luego descomponen en factores, simplifican, etc., hacen el límite y no dan más explicaciones.

Algunos, quizá por deseo de abreviar, lo expresan mal:

— lim (x2–9)/(x–3) = ((x–3)(x+3))/(x–3) = x+3 → 3+3 = 6. (2.° de Bachillerato de CCSS).

Uno sólo acompaña los cálculos con alguna explicación: — La gráfica de y = (x2–9)/(x–3) es igual que la de y = x+3 pero esta última no está definida en (3, 6).

(1.° de Bachillerato de CCNN).

Algunos (casi la cuarta parte) confunden cálculos y dividen numerador y denominadorentre x y a pesar de todo, a algunos les sale bien y a otros les sale mal, pero, o no sacan con-clusión, o dicen que es indeterminado.

Los alumnos que contestan haciendo cálculos no responden a la petición de justifica-ción, pero sería interesante saber si consideran que los cálculos son la justificación. En esecaso la idea de límite que tendrían esos alumnos podría ser que el límite es el resultado deunas operaciones que se hacen con la expresión algebraica de la función y nada más.

En el apartado b) casi todos los alumnos contestan a la pregunta, la respuesta preferen-te es de este tipo:

— Quiere decir que cuando más se acerque al 3 en la x (algunos añaden por la derecha y por la izquier-da), más próxima está la función a 6 (la función se acerca a 6). (2.° de Bachillerato de CCSS).

Aquí se dan dos formas de expresar lo que debe ocurrir: la x puede acercarse a 3 o tomarel valor 3. Igualmente la y puede acercarse o tomar el valor 6, por ejemplo:

— Quiere decir a qué numero tiende la función cuando a la x le damos el valor 3. (1.° de Bachilleratode CCNN).

— Que cuando la x toma valores próximos a 3 (derecha o izquierda) la y toma valores de valor 6. (1.° deBachillerato de CCNN).

«Aproximarse a» se puede expresar también como «tomar valores en los alrededores de»o como «tender a».

Algunos mezclan la idea de aproximación con el procedimiento de cálculo, por ejemplo:

— Cuando x tiende a 3, se sustituye y sale 3+3 = 6. (2.° de Bachillerato de CCSS).

Algunos expresan que «el límite tiende a 6»:— Para el valor de x = 3 el límite tiende a 6. Es decir, cuando damos valores cercanos a 3 para esta fun-

ción el límite tiende a 6. Cuanto más nos acercamos a 3 la función más se acerca a 6. (2.° deBachillerato de CCSS).

Sólo dos alumnos han incorporando algún matiz a esta «definición» que se podríaentender como que se aproxima un poco a la definición formal:

— Cuanto más me aproxime a 3 por la izquierda o por la derecha en x más me aproximo a 6 en y. Cuantomás me quiero acercar al 6, basta con acercarme más al 3 en la x. (2.° de Bachillerato de CCSS).

— Cuando la función llega a 3 tiene una imagen de 6, aunque no tienen imagen en 3. (1.° de Bachilleratode CCNN).

Al apartado c) casi un 20 % de alumnos no responde. Las respuestas tienen las mismascaracterísticas que las de la pregunta anterior, pero el hecho de que el límite sea un núme-ro decimal con tantas cifras y periódico lleva a situaciones nuevas:


Hay más respuestas que incorporan la idea de que la función se acerca al límite pero nollega:

— Cuando x→5, f(x) toma valores próximos al número 3, pero no llega nunca a 3. (2.° de Bachilleratode CCSS).

— Que cuando la x se acerca a 5, en la y se acerca a 0,28... sin alcanzarlo. (1.° de Bachillerato de CCNN).

— Que cuando la función tiende a 5, la asíntota es 0,28571428571. (1.° de Bachillerato de CCNN).

— El límite se sabe a lo que tiende, pero no tiende a un valor determinado. (2.° de Bachillerato deCCSS).

A algunos alumnos el que el límite sea un decimal ilimitado que no reconocen les llevaa decir que eso no es un límite:

— Esto no es un límite, no hay un valor definido cuando x→5. (1.° de Bachillerato de CCNN)

Una alumna se da cuenta de que el número puede ser periódico, pero para ella, por otrasrazones, tampoco hay límite:

— El límite de la función no tiende a ningún número, ya que es 0,285714 (periódico) constantemente yaunque aumente la cantidad en las tablas siempre se repetirá el periodo. No se puede saber. (2.° deBachillerato de CCSS).

Después estuve preguntando a esta alumna: ¿Cambiarías tu conclusión si te doy másinformación y te digo que ese número es 2/7?, contestó que tampoco se podía saber cuál erael límite.

Insistí y volví a preguntar: ¿que ocurriría si fuese lim f(x) = 20 cuando x→5? y contestó:«Tiene que dar un número al que tienda: 19,999 o 20,01, no puede ser 20; a no ser que seaun polinomio en el que puedas sustituir directamente porque es continua».

Entendí que para ella había dos clases de límites, los de funciones continuas que seobtienen directamente dando valores y otros límites que se obtienen como aproximaciones.

Para definir el concepto es necesario comparar números que pueden ser muy pequeños,o muy grandes mediante desigualdades.

Otra de las preguntas era la siguiente:


2. La cantidad P es más grande que la cantidad Q.a) Escribe un valor para Q que sea muy grande, todo lo grande que puedas.b) Escribe un valor para P.

Un poco más del 25% han dado respuestas correctas dando valores numéricos a P y a Q:— Q = 100·106 P = 100·107. (2.° de Bachillerato de CCSS).

Muy pocos dan un un valor para Q, pero se equivocan con el valor de P.— Q = 1010 1010 < P. (2.° de Bachillerato de CCSS).

Aproximadamente el 50 % utilizan y operan de alguna manera con el infinito paraexplicar la respuesta:

— Q = 10·10∞ P = 10·10∞2. (1.° de Bachillerato de CCNN).

— Q = 9∞ P = 9∞ + 1. (1.° de Bachillerato de CCNN).

— Q = ∞ P = ∞2. (1.° de Bachillerato de CCNN).

— Q = ∞∞ P = ∞∞ + 1. (1.° de Bachillerato de CCNN).

— Q = 9999·10999 P = ∞ . (1.° de Bachillerato de CCNN).


3. La cantidad K es más pequeña que la cantidad H.a) Escribe un valor para H que sea muy pequeño, todo lo pequeño que puedas.b) Escribe un valor para K.

Otra de las preguntas era la siguiente:

La mayoría ha interpretado pequeño como pequeño en valor absoluto, algunos lo inter-pretan como número negativo de valor absoluto grande.

Menos del 20% han dado respuestas correctas dando valores numéricos a K y a H:

— H = 0,0000001 K = 0,00000001. (1.° de Bachillerato de CCNN).

— H = –1000000 K = –1,0000000. (1.° de Bachillerato de CCNN).

Aproximadamente la misma proporción da un valor para H, pero se equivoca en el valorde K.

— H = 0,0001 K = 0,00011. (1.° de Bachillerato de CCNN).

— H = 10–10 10–10 < K. (2.° de Bachillerato de CCSS).

— H = –10000 K = –1000. (1.° de Bachillerato de CCNN).

Más del 55 % utilizan y operan con el infinito de alguna manera para explicar la res-puesta:

— H = 0’0....01 K = –9.9....9. (2.° de Bachillerato de CCSS).

— H = 0’000001 K = –∞. (2.° de Bachillerato de CCSS).

— H = H/∞ K = K+1. (1.° de Bachillerato de CCNN).

— H = 1–∞ K = 0,1–∞. (1.° de Bachillerato de CCNN).

— H = (0, –∞) K = –∞. (2.° de Bachillerato de CCSS).

Parece que el infinito tiene una entidad de infinito actual para muchos alumnos, apare-ce como respuesta a una pregunta en la que se les pedía un valor para Q y para P y hacenoperaciones con él y combinándolo con números finitos.

Igualmente, muchos alumnos consideran que hay cantidades infinitamente pequeñas,más que cualquier número, también las utilizan como respuesta a un valor concreto para Hy para K y operan con ellas y combinándolas con números.

También ocurre que para muchos alumnos es un problema utilizar la notación decimaly aumentar o disminuir el valor de un número a partir de otro que está escrito, parece comosi al escribir un número el mayor o el menor quedase «pegado» al otro y no pudiese sermucho mayor o mucho menor. Seguramente es porque se ha hecho un esfuerzo para escri-bir un número grande o pequeño y es muy difícil escribir otro comparándolo con él.

Y desde luego hay bastante confusión cuando se interpretan y utilizan las desigualdades,sobre todo con números negativos.

Por último también interesaba saber hasta qué punto los alumnos tenían asumido el cál-culo de límites como una herramienta que podía serles útil para resolver algún problema, opara razonar sobre él.

Otra pregunta era la siguiente:

Sólo el 10% no contesta a la pregunta. El 50% da la razón a Zenón con este tipo deargumento:

— Sí ganará, porque al dividir 3,75 entre 2 y los números sucesivos al ser impares nunca te va a dar cero.Un número dividido entre 2 diferente de cero nunca te da cero. Siempre le quedará una distancia porrecorrer. (1.° de Bachillerato de CCNN).

— Sí ganará, es una sucesión de términos decreciente en la que cada número es la mitad del anterior porlo que la suma de todos nunca llegará a ser 60. (1.° de Bachillerato de CCNN).

— Sí ganará, la flecha nunca recorrerá toda la distancia porque siempre quedará la mitad de la etapaanterior (infinitamente). (2.° de Bachillerato de CCSS).

Los demás contestan que no ganará, algunos sin argumentos o con contradicciones.Ninguno hace alusión al cálculo de la suma y al límite:

— No ganará, porque llegará un momento que la cifra sea cero, o se aproxime a cero y 0/2 = 0. (1.° deBachillerato de CCNN).

— Yo creo que perderá, porque aunque le quede cada vez la mitad del espacio, la flecha va recortando cada vezmás espacio, y si el arquero la tira con mucha potencia llegará a la diana. (1.° de Bachillerato de CCNN).

— No ganará porque la flecha no recorre por tramos la distancia hasta llegar a la diana. (1.° deBachillerato de CCNN).

— No ganará, porque la flecha recorrerá al final todo el trayecto auque sean infinitas las mitades de lasmitades. (1.° de Bachillerato de CCNN).

Estudios e investigacionesTall, D. (1992) da la siguiente lista de dificultades ligadas al estudio de los límites:

• Dificultades debidas al lenguaje que se utiliza; frases como «límite», «tiende a», «seaproxima», «tan pequeño como queramos», etc. tienen significados en el lenguajecorriente que pueden entrar en conflicto con el concepto formal.

• Dificultades debidas a que el proceso de obtención de límites no puede ser realizadopor medios simples de aritmética o álgebra y el concepto de infinito y todo lo que lerodea parece que está «rodeado de misterio».


Se cuenta que vivió una vez una vez un filósofo que para confundir a sus amigos lesplanteaba el juego siguiente:

«Te apuesto 1 pieza de oro a que la flecha que va a lanzar ahora este arquero, campeónolímpico de tiro con arco, nunca puede llegar a la diana que está a 60 codos, aunque apun-te perfectamente.

Escucha y piensa en lo que te digo: la flecha para llegar a la diana… Primero tiene que recorrer la mitad de la distancia total: 30 codos.Después tiene que recorrer la mitad de la distancia que le queda: 15 codos.Después tiene que recorrer la mitad de la distancia que le queda: 7,5 codosDespués tiene que recorrer la mitad de la distancia que le queda: 3,75 codosDespués . . .Y así sucesivamente.De esta forma, como siempre tendrá un trozo por recorrer, nunca podrá alcanzar su

objetivo».¿Crees que el filósofo ganará la apuesta?, ¿por qué?

• Dificultades debidas a que el proceso de hacer que una variable se haga «arbitraria-mente pequeña» es a menudo interpretado como que hay una «cantidad arbitraria-mente pequeña» y esto, de forma implícita, sugiere el concepto de infinitesimal,aunque explícitamente no se quiera enseñar.

• De la misma manera, la idea de cantidad que se hace «arbitrariamente grande»sugiere implícitamente la existencia de números infinitos.

• Dificultades con la idea de si el límite puede o no alcanzarse.• Dificultades para pasar de lo finito al infinito.Los alumnos se enfrentan con todas esas dificultades procurando separar las situaciones

problemáticas de la teoría de los métodos para resolver los problemas... Prefieren los méto-dos procedimentales: sustituir valores en funciones continuas, descomponer en factores ysimplificar, usar la regla de L’Hôpital, etc., que no tienen los inconvenientes del conoci-miento de los conceptos. Incluso, aunque en algún momento tengan que aprenderse deter-minados formalismos para satisfacer a sus profesores, de hecho, éstos tienen poco impactoen su esquema conceptual.

Por otra parte, Tall dice que hay evidencias de que los alumnos aplican sus argumentos,no de forma global, sino que usan diferentes ideas sobre un mismo hecho adaptándolas a loque es conveniente para cada caso; esta forma de actuar les permite mantener en compar-timentos separados dos aspectos de la misma situación que podrían entrar en conflicto.

Pero el aprendizaje de los límites tiene otras dificultades que afectan, no sólo a este capí-tulo, sino a todo el aprendizaje del cálculo:

• Los alumnos tienen imágenes restrictivas sobre el concepto de función.• La notación de Leibniz genera significados indeseables porque sugiere los infinitesi-

males.• Los alumnos tienen dificultades en trasladar problemas del mundo real a formula-

ciones desde el punto de vista del cálculo.• Los alumnos tienen dificultades para elegir el modo de representación adecuado

(gráfico, numérico o simbólico) para los diferentes problemas con que se enfrentan.En determinados problemas el tratamiento visual o gráfico puede ser adecuado, peroen otros puede ser preferible tratarlos simbólicamente. Es ventajoso tener suficienteflexibilidad para cambiar de una forma de tratamiento a otra.

• Los alumnos tienen dificultades con las manipulaciones algebraicas y poco conoci-miento de las funciones elementales.

• Los alumnos tienen dificultades para absorber tantas nuevas y complejas ideas en untiempo tan limitado. El límite puede ser al principio un proceso intuitivo de «apro-ximación suficiente», para pasar enseguida a una formulación del tipo «épsilon-delta» (o equivalente) que genera una serie de teoremas que luego pasan a ocupar ellugar principal.

• Los alumnos tienen dificultades con los tratamientos formales del cálculo.• Los alumnos prefieren los métodos procedimentales y de cálculo en lugar de los enfo-

ques de tipo conceptual.Romero i Chesa y Azcárate (1994) hablan de otra dificultad más para el aprendizaje del

concepto de límite en particular y del cálculo en general, es la idea que tienen los alumnossobre el continuo numérico y geométrico.


Para las matemáticas, el conjunto de números reales es completo y ordenado y tiene surepresentación geométrica en la recta real y éste es el punto de vista necesario para contruirlos conceptos del cálculo.

Para estos autores hay indicios claros de que «en nuestros alumnos esta visión de la rectageométrica y del conjunto de números reales como un continuo no es evidente en absoluto».

En la práctica los alumnos identifican el número real y el número decimal escrito y estaasociación, que se refuerza todavía más con el uso de calculadoras para escribir las expre-siones decimales de los números reales, no favorece la intuición del continuo numérico.

Reflexión finalSe ha visto que con frecuencia los alumnos cometen errores cuando aprenden algunos delos contenidos que se estudian en las clases de Enseñanza Secundaria. Por ejemplo, alcomienzo, cuando empiezan a representar funciones gráficamente colocan los valores de lasvariables en los ejes arbitrariamente, sin respetar las escalas, haciendo que la gráfica mues-tre solamente una idea de correspondencia y secuenciación de los valores de las variables,sin expresar nada sobre la forma en que se produce la variación. Tienen dificultades paracomprender que una relación entre dos variables se puede representar con una gráfica y queesta gráfica es algo distinto de un dibujo o de una ilustración.

También se observa que muchos alumnos adquieren una idea de función muy ligada a larepresentación gráfica o a una relación algebraica entre variables, como consecuencia de suexperiencia concreta con determinados tipos de funciones y gráficas. Esto les lleva a utili-zar en la práctica una idea de función no basada en criterios matemáticos sino en el catálo-go de experiencias que han asimilado.

Así mismo, el concepto de límite que adquieren los alumnos está fuertemente influen-ciado por los procedimientos de cálculo que utilizan en los ejercicios y por la idea de apro-ximación sin matizaciones, seguramente como consecuencia de la utilización que se hace detablas de aproximación cuando se introduce el concepto. Parece además que hay un núme-ro significativo de alumnos que utilizan el infinito y lo infinitamente pequeño en sus cál-culos, actuando con ellos como si fuesen números reales.

La pregunta que cabe hacerse desde el planteamiento de esta ponencia es: ¿qué alcancetienen, respecto a la totalidad de los alumnos, todos estos «errores», esta forma de entenderlos contenidos que se les enseña?

Los estudios e investigaciones citados indican que no son simples errores o equivoca-ciones que pueden cometer algunos alumnos, sino que tienen raíces más profundas y que,en realidad, describen la forma en que de hecho se produce el aprendizaje y son práctica-mente imposibles de evitar. Algunos están originados por la propia forma de enseñanza, yson inducidos por los ejemplos y procedimientos que se utilizan para introducir los concep-tos, como el de función o el de límite.

Otros errores tienen su origen en las dificultades y carencias de los alumnos en los cono-cimientos previos, necesarios para progresar en los nuevos, por ejemplo, las deficiencias enlos conocimientos algebraicos o en su concepto de número real.

Otros son verdaderos errores epistemológicos del mismo tipo de los que se han produci-do durante el desarrollo histórico del cálculo, y ha sido necesario el transcurso de siglos para


que pudiesen ser superados, por ejemplo, la noción de infinitamente grande y de infinita-mente pequeño, o el aspecto metafísico que parece que tienen los razonamientos y conclu-siones sobre límites frente a los métodos de la aritmética y del algebra a los que están acos-tumbrados.

Lo que es seguro es que no todos los alumnos aprenden las matemáticas con las mismasideas y con el mismo orden y estructura que se muestra en los libros y que tienen los profe-sores en su pensamiento, y que no se puede practicar una enseñanza que ignore esta cir-cunstancia.

Para terminar, una cita que ante estos hechos propone un punto de vista positivo y nosanima a buscar soluciones a todos estos problemas:

Los conocimientos adquiridos de hecho nos ayudan en primera instancia a comprender mejor el funcio-namiento de nuestros estudiantes, a anticipar sus dificultades, a buscar con paciencia métodos de acciónadaptados en vez de oscilar entre la búsqueda del método milagroso y la resignación fatalista.

Como también lo han mostrado estos trabajos [sobre didáctica del cálculo], esta introducción no puedeconcebirse sino en el largo plazo, durante muchos años, y no puede efectuarse de golpe con conocimien-tos formalizados, «acabados», que se nos han hecho familiares. Ella se realizará necesariamente por mediode aproximaciones provisionales que permitirán avanzar pero que, al mismo tiempo, engendrarán cono-cimientos o representaciones de conocimientos por necesidad erróneos parcialmente. Esto significa quenuestra enseñanza no debe vivir sobre la ficción de un desarrollo continuo y regular del conocimiento,sino sobre la imagen de un desarrollo más caótico donde no se excluyen las regresiones vinculadas con losdesequilibrios. (Artigue, 1995).

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Notas* IES Rey Pastor, Madrid. Sociedad Madrileña de Profesores de Matemáticas «Emma Castelnuovo».


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