quantenmechanik i - btu

QUANTENMECHANIK I

Dr. Ulrich Wulf

Sommersemester 2004

Inhaltsverzeichnis

Literaturverzeichnis 7

I Physikalischer Zugang 9

1 Einleitung 11

2 Wellen mit Teilcheneigenschaften 132.1 Planck sches Strahlungsgesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.2 Der Comptoneffekt, Charakterisierung der Teilcheneigenschaften des Photons . . . . 20

3 Teilchen mit Welleneigenschaften 253.1 Young sches Doppelspaltexperiment (1801) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.2 Materiewellen und Welleneigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4 Die Schrodinger-Gleichung 394.1 Heuristische Konstruktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394.2 Wichtige mathematische Eigenschaften der Schrodinger-Gleichung . . . . . . . . . . 414.3 Ubergang zur zeitunabhangigen Schrodinger-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4.3.1 Beispiel fur diskretes Spektrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.3.2 Allgemeines Prinzip zur Erzeugung der Wellengleichung . . . . . . . . . . . 44

4.4 Wahrscheinlichkeitsstrom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454.5 Eindimensionale Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4.5.1 Eindimensionaler unendlich hoher Potenzialkasten . . . . . . . . . . . . . . 474.5.2 Potenzialbarriere - Tunneleffekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514.5.3 Rechteckiger endlich hoher Potenzialkasten . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

II Mathematische Formulierung im Hilbertraum 61

5 Der Raum der Wellenfunktion eines Teilchens 635.1 Linearer Raum V (Vektorraum) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 635.2 Hilbertraum H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 645.3 Zuordnung der physikalischen Zustande zum Hilbertraum . . . . . . . . . . . . . . . 65

5.3.1 Vollstandige Funktionssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 655.3.2 Entwicklung von Zustanden in Basisfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . 68

3

4 INHALTSVERZEICHNIS

6 Operatoren im Hilbertraum 756.1 Darstellung eines linearen Operators durch Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . 756.2 Adjungierter Operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 766.3 Hermitescher (selbstadjungierter) Operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

7 Allgemeine Postulate der Quantenmechanik 797.1 Allgemeine Eigenschaften hermitischer Operatoren und der Meßprozess . . . . . . . 817.2 Messung verschiedener Observabler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

8 Zeitentwicklung des Systems 87

III Anwendungen 89

9 Das zentralsymmetrische Potenzial 919.1 Der Drehimpulsoperator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 919.2 Schrodinger-Gleichung im zentralsymmetrischen Potenzial . . . . . . . . . . . . . . 969.3 Das Wasserstoffatom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

10 Der Spin 115

11 Der harmonische Oszillator 121

12 Bohr-Sommerfeld-Quantisierung fur den harmonischen Oszillator 129

13 Zeitunabhangige Storungstheorie 13313.1 Storungstheorie ohne Entartung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13313.2 Storungstheorie mit Entartung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

14 Zeitabhangige Storungstheorie und Wechselwirkungsbild 141

INHALTSVERZEICHNIS 5

Vorlesungsplan

I. Physikalischer Zugang zur Quantenmechanik (vom Experiment zur Naturbeschreibung) :

1. Versagen der klassischen Physik: Welle-Teilchen Dualismus

2. Quantenmechanische Beschreibung: Wellenfunktionen mit Wahrscheinlichkeitsdeutung

3. Schrodinger Gleichung, Postulate der Quantenmechanik

II. Mathematische Formulierung (Ordnung muss sein):

1. Hilbertraum

2. Vektoren im Hilbertraum und QM Zustande

3. Operatoren im Hilbertraum und QM Observable

4. Dynamik der Quantenssysteme

III. Anwendungen (der Erfolg der Quantenmechanik heiligt die Mittel):

1. Der harmonische Oszillator

2. Das Wasserstoffproblem

3. Der Spin

4. Vielteilchensysteme

5. Storungstheorie

6. ....

6 INHALTSVERZEICHNIS

Literaturverzeichnis

[1] W. Greiner: Theoretische Physik. Band 4: Quantenmechanik 2. Auflage, Verlag HarriDeutsch, Thun und Frankfurt am Main, 1979, ISBN 3–87144–474–X.

[2] J. J. Sakurai: Modern Quantum Mechanics. Rev. edition, Addison-Wesley Publishing Com-pany, New York, 1994, ISBN 0–201–53929–2.

[3] R. Eisberg, R. Resnick: Quantum Physics of Atoms, Molecules, Solids, Nuclei, and Particu-les. 2nd edition, J. Wiley and Sons, New York,1985, ISBN 0–471–87373–X.

[4] T. Fließbach: Quantenmechanik. Lehrbuch zur Theoretischen Physik III. 2. Auflage, Spek-trum Akademischer Verlag, Heidelberg 1995, ISBN 3–86025–714–5.

[5] A. S. Dawydow: Quantenmechanik 7. Auflage, VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften,Berlin 1987, ISBN 3–326–00095–2.

7

8 LITERATURVERZEICHNIS

Teil I

Physikalischer Zugang

9

Kapitel 1

Einleitung

Warum Quantenmechanik?

Grundlegende Konzepte der klassischen Physik

i. Teilchen:

Lokalisierte Einheiten mit definierter Energie und Impuls Zu jedem Zeitpunkt beschrieben durch Orts- und Geschwindigkeitskoordinaten Dynamik durch Newton’sche Bewegungsgleichungen festgelegt

q ∂H∂p

und p ∂H∂q

Hp q T V Hamiltonfunktion bei gegebenen Anfangsbedingungen (Anfangsposition und -geschwindigkeit) sind Position und

Impuls des Teilchens zu jedem Zeitpunkt festgelegt.

ii. Wellen: raumlich ausgedehnte Storung An jedem Raum-Zeitpunkt beschrieben durch Wellenfunktion Ψr t und deren zeitliche Ande-

rung (Beispiel: Elektromagnetisches FeldEr t , Wellenfunktion mit drei Komponenten) Zeitliche Entwicklung durch Wellengleichung

∆Ψ 1c2

∂2

∂t2 Ψ bei gegebenen Anfangsbedingungen Ψr 0 und Ψ

r 0 ist Ψ

r t zu jedem Zeitpunkt festge-

legt.

11

12 KAPITEL 1. EINLEITUNG

Versagen der klassischen Physik

Die klassische Physik versagt in mikroskopischen Dimensionen.

“Klassisches” Beispiel: das Atom Elektrodynamik: Beschleunigte Ladungen strahlen, klassische Elektronenbahnen sind instabil keine klassische Erklarung der z. B. im Wasserstoffatom gemessenen Linienspektren

Frage: Was ware eine Welt ohne Atome ????????

Die Basiskonzepte sind falsch !!!!! Wellen haben Teilchencharakter ( Photon) Hohlraumstrahlung, Photoeffekt, Compton Effekt.... Teilchen haben Wellencharakter ( Materiewellen) Beugungsexperimente von Davisson undGermer, Doppelspaltexperimente . . . Welle-Teilchen Dualismus

Grundlegendes Konzept der Quantenmechanik Ein quantenmechanisches Objekt wird durch eine Wellenfunktion beschrieben Welleneigen-schaft die Wellenfunktion beschreibt die Wahrscheinlichkeit das Teilchen als Ganzes zu messen Teilcheneigenschaft, kein Determinismus Dynamik der Wellenfunktion durch Schrodingergleichung beschrieben

Kapitel 2

Wellen mit Teilcheneigenschaften

2.1 Planck sches Strahlungsgesetz

Messung der spektralen Endergiedichte uω T eines schwarzen Hohlraumstrahlers.

Öffnung

Abbildung 2.1: Hohlraumstrahler

schwarz: samtliche durch die Offnung einfallende Strahlung wird vor Wiederaustrittviele Male an Wanden absorbiert und wieder emittiert Strahlungsfeld undWande sind im Gleichgewicht.Absorption = Emission Energiedichte U

T ist im Hohlraum von der Form unabhangig.

UT ∞

0

uω t dω aT 4 (2.1)

a 7 56 10 16Jm 3K 4

Stefan-Boltzmann-Gesetz spektrale Verteilung ist universell

Wien sches Verschiebungsgesetz: Maximum uT ω , verschiebt sich bei wachsendem T zu hoheren

Frequenzen.

13

14 KAPITEL 2. WELLEN MIT TEILCHENEIGENSCHAFTEN

Gesetz

ω [Hz]

Wiensches

Rayleigh−Jeans

Abbildung 2.2: Energiedichte der Hohlraumstrahlung

Kleine Frequenzen klassisch verstandlich Rayleigh-Jeans (Abbildung 2.1 rote Linie).

uω T ω2

π2c3 kT (2.2)

Problem: divergiert fur ω ∞

Ansatz fur hohe Frequenzen von Wien (Abbildung 2.1 grune Linie)

uω T ∝ ω3exp

bω T (2.3)

Korrekte Beschreibung im gesamten Bereich durch Planck sches Gesetz:

uω T ω3

π2c3 exp ω kT 1 (2.4)

Geburt der Planck schen Konstante

h 6 6256 10 34Nms 4 1356 10 15eV s

(Planck sches Wirkungsquantum) h2π sehr klein auf der Skala der im “Alltag” verwendeten Großen im “Alltag” nicht sichtbar ω “typische Energie”

2.1. PLANCK SCHES STRAHLUNGSGESETZ 15

klassischer Grenzfall: ω kT (thermische Energie)

Planck sches Gesetz wird dann wegen

exp ω kT 1 ω

kT u

ω T ω2

π2c3 kT

identisch mit Rayleigh-Jeans. Im klassischen Limes verschwindet .Was bedeutet diese typische Energie?

Planck sche Grundidee

Jeder mit der Frequenz ω schwingende Resonator (Oszillator) kann nur diskrete Energien En aufneh-men mit:

En n ω nhν n N0 (2.5)

Dieses gilt sowohl fur die Resonatoren der Wand (Gitterschwingungen) als auch fur die Moden desStrahlungsfeldes. n ist die diskrete Anregungsstufe des Oszillators. Fur die Wahrscheinlichkeit, einenmit ω schwingenden Resonator in der Anregungsstufe n zu finden, gilt die Boltzmann-Statistik:

pn exp En

kT ∞∑

n 0exp

EnkT exp

n ωkT

Z (2.6)

Fur die mittlere Energie (Energieerwartungswert) dieser Methode ergibt sich

E ∞

∑n 0

En pn ∑n En exp En ! "

n ωkT

∑n exp

n ωkT ∂

∂β ∑n exp βEn

∑n exp βEn # ∂

∂βln∑

nexp

βEn ∂∂β

ln∑n

exp β ω $ n d

dβln % 1

1 exp β ω '& d

dβln 1 exp

β ω () ωexp

β ω * 1+ , n - ω

Spater wichtig in Statistischer Physik: , n -. 1

exp ω

kT 1 Bose-Einstein-Statistik (2.7)


Klassischer Grenzfall: ω kT : Quantisierungsenergie thermische Energie expβ ω ./ 1 ωkT E kT klassischer Gleichgewichtsverteilungssatz fur Oszillator f kT

2 f 2: Anzahl der Freiheitsgerade; kinetische + potentielle Energie

Hergeleitet fur einen einzelnen Oszillator:

E ωexp

β ω 1

(2.8)

Gemessenes Planck sches Strahlungsgesetz:

uω T ω2

π2c3 "! D

ωexp

β ω * 1

(2.9)

Woher kommt der Faktor D?

Antwort: D ist die Anzahl der elektromagnetischen (EM) Moden pro Frequenzintervall ω ω dω und pro Volumen.

(Energiedichte) 10223 4 EM Moden (Schwinger)pro Energieintervallpro Volumenˆ Zustandsdichte

5!667 03 mittlere Energiein der Mode mitω

578 u

ω T 9 D

ω E ω ω2

π2c3 ωexp

ωkT 1 (2.10)

mit Dω : ω2

π2c3 (2.11)

Anschauliche Interpretation der Experimentellen Ergebnissekleine Frequenzen ω kT

;!;!;;!;!;;!;!;;!;!;;!;!;;!;!;;!;!;;!;!;;!;!;;!;!;;!;!;;!;!;;!;!;;!;!;;!;!;;!;!;;!;!;;!;!;;!;!;;!;!;;!;!;;!;!;;!;!;;!;!;;!;!;;!;!;;!;!;;!;!;;!;!;;!;!;;!;!;;!;!;;!;!;;!;!;<!<!<<!<!<<!<!<<!<!<<!<!<<!<!<<!<!<<!<!<<!<!<<!<!<<!<!<<!<!<<!<!<<!<!<<!<!<<!<!<<!<!<<!<!<<!<!<<!<!<<!<!<<!<!<<!<!<<!<!<<!<!<<!<!<<!<!<<!<!<<!<!<<!<!<<!<!<<!<!<<!<!<<!<!<

ωh

kT

Diskretisierung der zugelassenen Energien nichtwichtig klassisches Ergebnis fur E

ω

Eω kT uω T ω2

π2c3 kT = Rayleigh-Jeans u wachst mit ω2 durch den Zustandsdichtefaktor

große Frequenzen ω = kT


hω

Boltzmann-Faktornur Grundzustand mit n 0 E0 0 besetztBesetzung hoherer Zustande n > 0 En > 0 ver-schwindet exponentiell mit En

kT Eω T fallt exponentiell uω T fallt exponentiell

Ubergangsbereich ω / kT

Maximum ist Kompromiss zwischen

Dω 0 fur kleinere Frequenzen

Eω 0 fur hohere Frequenzen

Abschatzung:

kB 1 38 10 23JK 1 ω 1 05 10 34Js

kBT / ω 8 1 38 10 23JT K ) 1 05 10 34Jω Hz 8 ω Hz )/ 1011T K 8 ω 1014Hz )/ T 1000K quantenmechanisch korrekt:

En n 1 2 ω (2.12)

12 ω Nullpunktschwingung

Ubung: Berechne Eω unter Berucksichtigung der Nullpunktenergie. Warum andern sich die we-

sentlichen Schlußfolgerungen nicht?

Schwingungsmoden des Hohlraumresonators

L

Hohlraumresonator = Wurfel mit Kantenlange LVernachlassigung des Lochs

Im Inneren des Hohlraumes: “freie” Maxwell Gleichungρ

j 0 div

E 0 div

B 0

rotE B rot

B ε0µ0

E

Ubungen: fur jede Komponente ψ vonE und

B gilt die Schwingungsgleichung:?

ψr t @% ∆ 1

c2

∂2

∂t2 & ψr t (2.13)


mit

c2 1ε0µ0

Freie Verschiebbarkeit der Ladungen auf dem Rand Randbedingungen auf dem Rand (Wand)

ψr t verschwindet A Transversalkomponente

E :

tEr t 0

NormalkomponenteB :

nBr t 0

Ansatz fur das Elektrische FeldE

Ex c1 cos nxπx

L sin

nyπyL sin

nzπzL exp

iωt Ey c2 sin

nxπxL cos

nyπyL sin

nzπzL exp

iωt Ez c3 sin

nxπxL sin

nyπyL cos

nzπzL exp

iωt mit

nx ny nz 1 2 BB ∞ k π

L

nx ny nz ω2 c2

k2

Zeige, dass sowohl?

ψr t 0 als auch

tEr t

r R erfullt sind!

Zeige aus divE 0 folgt:

c1nxπL c2

nyπL c3

nπL 0 (2.14)

∂β∂t 1

crot E nur zwei Parameter z. B. c1 und c2 sind unabhangig.

Zeige: Aus

rotE C 1

c∂B∂t iω

cB

folgt:

B3 icω D c2nxπ

L c1nyπ

L E cos nxπx

L cos

nyπyL sin

nzπzL exp

iωt B2 BBB1 BB

Ist Losung der Schwingungsgleichung + RB

Jedem Gitterpunktu nx ny nz entsprechen 2 unabhangige Modenc1 1 c2 0c1 0 c2 1

nx

ny

n z


Frequenz der Moden

ω c F k2 cπL G n G cπ

L H n2x n2

y n2z (2.15) Anzahl der Moden mit festem ω

Anzahl der Gitterpunkten in einer Kugelschale mit dem Radius n G n G ωL

πc

dn Lπc

dω

Abbildung 2.3: Gitterpunkte in einer Kugelschale

dN 2 (Volumen der Kugelschale) (Dichte der Punkte) 2 4πn2dn

8 1 I π

L2ω2

π2c2

Lπc

dω8 nur Segment mit nxnynz J 0 D

ω 9 ω2

π2c3 V L3 (2.16)


2.2 Der Comptoneffekt, Charakterisierung der Teilcheneigenschaftendes Photons

Um das Planck sche Strahlungsgesetz abzuleiten, haben wir postuliert, dass die Energie eines Oszil-lators der Frequenz ω quantisiert ist. Es sind nur diskrete Energien

En n ω (2.17)

erlaubt. Im Falle des Hohlraumresonators ist ein solcher Oszillator eine Schwingungsmode des elek-tromagnetischen Feldes. Gleichung 2.17 haben wir “adhoc” anschaulich als Besetzung dieser Modemit einer diskreten Anzahl von n Photonen mit der Energie

E ω hν hcλ

(2.18)

interpretiert.

Die Teilcheneigenschaften eines Photons werden weiterhin sehr eindrucksvoll im Comptoneffekt de-monstriert. (Streuung von Licht an Elektronen)

Aufbau

KLKLKKLKLKKLKLKKLKLKMLMLMMLMLMMLMLMMLMLMDetektor

Kristall

Blei

definiertλ gestreuter Strahl

Einfallender Strahl

genau

NLNLNNLNLNNLNLNNLNLNOLOLOOLOLOOLOLOOLOLOPLPLPPLPLPPLPLPPLPLPPLPLPPLPLPPLPLPPLPLPPLPLPPLPLPPLPLPPLPLPPLPLPPLPLPPLPLPPLPLPPLPLPPLPLPPLPLPPLPLPPLPLPPLPLPPLPLPPLPLPQLQLQQLQLQQLQLQQLQLQQLQLQQLQLQQLQLQQLQLQQLQLQQLQLQQLQLQQLQLQQLQLQQLQLQQLQLQQLQLQQLQLQQLQLQQLQLQQLQLQQLQLQQLQLQQLQLQQLQLQRSTLTLTTLTLTTLTLTTLTLTULULUULULUULULUULULUVLVWLW

Streuer

Röntgenstrahlung

Graphit

Abbildung 2.4: Aufbau des Comptoneffektes

2.2. DER COMPTONEFFEKT, CHARAKTERISIERUNG DER TEILCHENEIGENSCHAFTENDES PHOTONS21

Ergebnis

Abbildung 2.5: Ergebnis des Comptoneffektes

unverschobener Peak: λ0

verschobener Peak:

λ1 λ0 ∆λ

∆λ hm0c

1 cosθ $YX 0

λc hm0c

2 43 10 12m 0 0243A

Compton Wellenlange Nobelpreis 1927


Erklarung

Abbildung 2.6: Erklarung des Comptoneffektes

1. Beschreibung der Wechselwirkung zwischen Streuer und Photon:Im Teilchenbild: Nicht zentraler Stoß zwischen einfallendem Photon und Streuer als Teilchen.

Energieerhaltung + Impulserhaltung gelten. Unverschobener Peak:Bei der Streuung bleibt das Atom als Ganzes erhalten große Masse des Streuers kleiner Energieubertrag elektrischer Stoß Verschobener Peak:Streuer ist schwach gebundenes, fast freies Elektron, Atomrumpf an Stoß nicht beteiligt kleine Masse des Streuers relativ großer Energieubertrag inelastischer Stoß

2. Teilcheneigenschaften des Photons:

Das Photon ist ein masseloses Teilchen, das sich mit Lichtgeschwindigkeit bewegt.Die Masselosigkeit folgt bei v c aus der Relativitatstheorie.

E m0c2H 1 v2

c2

(2.19)

Fur m0 > 0 folgt bei v c E ∞

Einsteins Energie-Impuls Beziehung:

E2 c2 p2 m0c2 2 c2 p2

2.2. DER COMPTONEFFEKT, CHARAKTERISIERUNG DER TEILCHENEIGENSCHAFTENDES PHOTONS23 ω 2 hv 2 p Ec

hvc h

λ

Verknupfung der Teilcheneigenschaft p mit der Wellenlange λ Elastischer Stoß: Photon verliert Energie Impuls wird kleiner Quantitative Erfassung des Stoßes: p: Impuls ElektronK: Kinetische Energie Elektron

x

y

Elektron

λ

λ’

K, p

Photon

E0 p0

E1 p1

θ

Photon

Abbildung 2.7: Quantitative Erfassung des Stoßes

3. Impulserhaltung

x-Komponente p0 p1 cosθ ) pcos

ϕ

y-Komponente p1 sinθ : psinϕ

p0 p1 cosθ B 2 p2 cos2 ϕ

p1 sin2 θ p2 sin2 ϕ9 p20 p2

1 2p0 p1 cosθ : p2 (2.20)

4. Energieerhaltung

E0 m0c2 E1 K m0c2 "Z nichtrelativistische Behandlung

(2.21)

m0c2 - Ruheenergie des Elektrons

E0 E1 K

cp0 p1 K (2.22)


Fur das Elektron gilt:

E2 c2 p2 m0c2 2 K m0c2 2

K2 2m0c2 c2 p2

K2

c2 2Km0 p2 (2.23)

Ubungen:Wir setzen fur die Gleichung 2.20 fur p2 und die Gleichung 2.22 fur K und erhalten:

1p1 1

p0 1

m0c 1 cos

θ $ (2.24)

Durch multiplizieren mit h und λ1 hp1 λ1 λ0 λc

1 cosθ $

λc hm0x

2 43 10 12m j 0 0243A (2.25)

Betrachte Kurve fur 90 [ in Experimenten!

Welle-Teilchen-Dualismus:In Abhangigkeit von der experimentellen Situation kann sich das quantenmechanische Partikel“Photon” wie ein Teilchen oder wie eine Welle verhalten.

Im Comptoneffekt: Teilchenartig: Stoß mit dem Streuer

m 0 p hλ

E hv hcλ Wellenartig: anschließende Bragg-Streuung am Kritstall zur Messung der Wellenlange der

Rontgenstrahlung.

In Wirklichkeit liegt immer das Quantenpartikel vor, die sich manchmal wie ein Teilchen undmanchmal wie eine Welle verhalt.

Kapitel 3

Teilchen mit Welleneigenschaften

3.1 Young sches Doppelspaltexperiment (1801)

Zum Nachweis der Wellennatur des Lichtes

(Newton: Licht ist Teilchenstrahlung!)

Abbildung 3.1: Der Young sche Spaltversuch

Erklarung in Fraunhofer Naherung:

Jeder der Spalte ist eine Quelle von Kugelwellen. Fur jede der Komponenten ψ desE und

B Feldes

25

26 KAPITEL 3. TEILCHEN MIT WELLENEIGENSCHAFTEN

konnen wir schreiben:

ψr t c % exp

ikr1

r1 exp

ikr2

r2 & (3.1)

mitω ck

Wichtig: Dadurch, dass beide Spalte von hinten von derselben Wellenfront angeleuchtet werden, strah-len sie mit synchroner Phasenlage.

Die Intensitat (z. B. Schwarzung der Photoplatte) ist dann

I Gψ G 2 G c G 2 A 1

r21

1

r22

2r1r2

cos k r1 r2 $B\] (3.2)

Hieraus folgt die fur die Wellen typische Interferenz (siehe Ubung).

I ^____` ____abcb 2 c r1 d r2 e 2

r22r2

1/ 4

bcb 2

r2 fur cos ff g 1 konstruktive Interferenzbcb 2 c r1 r2 e 2

r22r2

1/ fur cos ff C 1 destruktive Interferenz

Wie in der Ubung gezeigt werden wird, bekommen wir die angegebene Abschatzung im Fernbereich,d. h. d L.

Fur die Periodizitat des Streifenmusters dx konnen wir im Fernbereich schreiben:

dx Ld

λ mit k 2πλ

(3.3)

Das laßt sich ausschließlich begrunden durch:

Interferenzmaxima:s d sin

θ . d

xmax

L mλ m 0 1 2 BB (3.4)

Interferenzminima:

s d sinθ I d

xmin

L m 1

2 λ m 0 1 2 BB (3.5)

Periodizitatsintervall:

dx xmaxm 1 xmax

m 0 . λ

Ld

(3.6)

Im Teilchenbild wurde man ein ganzlich anderes Ergebnis erwarten.Zwei Maxima; Ort der Maxima nicht durch λ , sondern allein durch die Geometrie (Ort der Quelle,der Spalt des Schirms) gegeben.O. Carnal und J. Mlynek, Phys. Rev. Lett. 66, 2689 (1991)

Strahl von angeregten Helium-Atomen; Geschwindigkeit durch Temperatur in Reservoir geregelt. An-geregte He besser nachweisbar.

Vorher Elektron und Neutron, Ende 90-er Jahre C60 Molekule.

3.2. MATERIEWELLEN UND WELLENEIGENSCHAFTEN 27

θθ

L

d

r1

r

r2

x

s

θ

ν

s = Gangunterschied s = d sin

Abbildung 3.2: Periodizitat des Streifenmusters

a.) Temperatur T 295K λdB 0 56A

b.) Temperatur T 83K λdB 1 03A

3.2 Materiewellen und Welleneigenschaften

1924 de Broglie: Licht ist nicht das einzige “Teilchen (Korpuskel)” mit Wellen-Teilchen-Dualismus.Auch andere Partikel wie Elektronen, Neutronen, Protonen,... unterliegen dem Dualismus.

Die Wellen- und die Teilcheneigenschaften sind wie beim Photon verknupft.p k bzw. G !p G h

λE ω (3.7)

Aus diesen Annahmen folge unterschiedliche Dispersion fur ein Photon und ein massebehaftetes Teil-chen

ωλ bzw. ω

k mit G k G 2π

λ k (3.8)

Photonen:

E c G p G ω chλ

ω2πcλ ck (3.9)


θ

Abbildung 3.3:

Abbildung 3.4: Doppelspaltversuch mit Atomen

nichtrelativistisches freies Teilchen mit Masse m.

E p2

2m ω 12m

hλ 2 ω

2m

2πλ 2

2mk (3.10)

Betrachten wir die Beschreibung eines freien Teilchens mit gegebenem Impuls durch Wellenfunktion

ψx t . ψ0 exp

ikr exp

iωk t (3.11)

Es unterscheiden sich nur die Dispersionen ωk .

Der Vergleich mit dem Experiment

Maxwell sche Geschwindigkeitsverteilung


Abbildung 3.5:

fur die Teilchen im Ofen

fv 4π

m2πkBT 3 h 2v2 exp

mν2

2kBT Wahrscheinlichkeit, dass der Betrag der Geschwindigkeit eines herausgegriffenen Teilchen zwischenω und ω dω liegt.

vmax

f (v)

v

Abschatzung:

vmax i 2Tm

steigt mit hoherer Temperatur


pmax j 2kTm

λdB hpmax

hj 2kTm 1H 2 kT mh2

(3.12)

m mHe / 4mp 4 1 67 10 27kg

kT 295K 1 3 10 23JK 1300K 5 10 21J

h 6 65 10 34Js

2mkT

h 2

5 10 21J4 1 67 10 27kg6 652 10 68J2s2 7 101 21 27 d 68

401

m2

74

1020

m2 1A2

λdB 0 8A

gemessen: λdB 0 56A bei T 295K


Materiewelle wird durch Wellenfunktionen beschrieben

Freies TeilchenV 0 V k Potenzial mit gegebenem Impuls

p und fester Energie E p2

2m mit p G p GWellenfunktion durch monocharomatische ebene Welle

ψr t ψ0 exp

ikr iω

k t = ohne Welle (3.13)

de Broglie p k (3.14)

E ω p2

2m k2

2m(3.15)

Analogie zum elektromagnetischen Feld im VakuumE

E0 expikr iω

k t = ebene Welle fur jede Komponente (3.16)

ausdiv E 0 folgt die Bedingung

kE0 0

Die ebene Welle ist unendlich ausgedehnt.

Zu festem Zeitpunkt

ϕ= ϕ π+ 20

ϕ = kr − tω

y

x

k

ϕ

Wellenfronten

= ϕ0

ϕ= ϕ π0 +4

Abbildung 3.6: Skizze

Ubungen Wellenfronten: Ebenen mit konstanter Phase, ∞-ausgedehnt (z. B. ϕ k r Z iωt 2π)

32 KAPITEL 3. TEILCHEN MIT WELLENEIGENSCHAFTEN Abstand Wellenfront mit ϕ ϕ0 und ϕ ϕ0 2π ist 2πλ Wellenfront wandert in Richtung von

k mit der Phasengeschwindigkeit

vphas ωk (3.17) ∞-Ausdehnung Idealisierung nicht real

Wahrscheinlichkeitsinterpretation der Wellenfunktion

Elektromagnetisches Feld Wellenbild:

PointingvectorS ε0xE2 Energiestromdichte Energie

Flache Zeit Teilchenbild:

S , N - ω, N -9 Zahl der ProtonenFlache Zeit ω Energie des Photons , N - ∝ E2 : Die Anzahl der am Spalt zur Zeit registrierten Photonen ist proportional zum

elektrischen Feld.

Ubertragung auf Materialwellen: Gψ r t G 2d3r (3.18)

ist die Wahrscheinlichkeit, das Teilchen zur Zeit t im Volumenelement d 3r dxdydz zu finden.ψr t d3r 1 (3.19) Sinnvoll nur fur ein Ensemble von Teilchen.

Wellenpakete

Eine monochromatische ebene Welle kann kein Teilchen darstellen, dass sich in einem bestimmtenRaumbereich befindet (Lokalisierung). Beschreibung durch eine Uberlagerung von monochromatischen ebenen Wellen Wellenpaket.

ψx t . 1j 2π

∞ ∞

dk expikx ωt B ψ k (3.20)

Hier nun eine Dimension betrachtet, der dreidimensionale Fall ist strukturgleich. ψk : Anzahl und

Phase der am Paket beteiligten m, ebene Wellen im k-Intervall k k dk.


Typisches Beispiel: Gauß sches Wellenpaket

ψk ml 2σ2

0

π n 14

exp σ2

0k k0 2 cexp

σ2

0k k0 2 (3.21)

1G0

k0

ψ (k)


c ml 2σ20

π n 14 Normierungskonstante (3.22) ∞

dkj 2π G ψ k G 2 1 (3.23) k0: mittlerer Wellenvektor, Ak um k0 lokalisiert. 1

σ0: Maß fur die Breite der Gauß schen Verteilung

Entwicklung der Dispersion

ωk : ω

k0 ) dω

dk G k0 "Z vg

k k0 ) 1

2d2ωdk2 G k0

k k0 2 oBB (3.24) ω0 vg

k k0 p β

k k0 2 (3.25) vg: Gruppengeschwindigkeit β: Dispersionsparameter

ψx t q cj 2π

∞ ∞

dk exp σ2 k k0 2


expikx exp rs i ω0 vg

k k0 p β

k j k0 2 t t

Ubungen Gauß sches Integral cj 2

exp i k0x ωt $F σ2 iβt exp l

x vgt 24σ2 iβt un (3.26) WahrscheinlichkeitsverteilungGψ x t G 2 G c G 2

2 F σ4 β2t2 exp l σ2 x vgt 2

2σ4 β2t2 vn (3.27) G c G 2

2 F G4 β2t2 exp wx x vgt 2

σ21 β2

σ4 t2 zy (3.28)

v tg

β2

G2G2 + t2

ψ (x, 0)|2

ψ 2(x, t)|

σ0

t = 0

zeitliche

Entwicklung

ψ

Abbildung 3.8: Evolution eines quantenmechanischen Wellenpaketes

σ0: anfangliche Breite Das Maximum des Wellenpaketes bewegt sich mit der Gruppengeschwindigkeit. Das Wellenpaket verbreitert sich (zerfließen). Der Bereich mit einer nennenswerten Wahr-scheinlichkeit, ein Teilchen zu finden, wird mit der Zeit immer großer (diffusive Bewegung,z. B. ...)typische Verbreiterungszeit Typische Zeit zum Auseinanderlaufen

τ σ2

β(3.29)

β 12

d2ωdk2 (3.30)


Photonen:

ω k β 0 keine Verbreiterung τ ∞

Massebehaftetes Teilchen:

ω 2m

k2 ∂2ω∂k4

m(3.31) β

2m τ σ2

β 2mσ2 (3.32)

Je schwerer das Objekt und je großer die anfangliche Ausdehnung, je geringer das Auseinanderlaufen. Makroskopisches Objekt: m 1g σ0 1 cm τ 1027 secgroß gegenuber Weltalter Mikroskopisches Objekt: Elektronen, σ0 10 13 cm τ 10 26 sec.

Orts-Impuls Unscharferelation

Gegeben Px : Wahrscheinlichkeitsdichte Variable x (Ereignis)

Wir wahlen als Ereignisbereich x ∞ ∞ Fur Wahrscheinlichkeitsdichte gilt die Normierungsbedingung

∞ ∞

dxPx . 1

Betrachte Gauß sche Wahrscheinlichkeitsdichte

Px . 1

Nexp

αx x0 2

0x

x∆ =α2

1

Normierungsfaktor durch Normierungsbedingung gegeben


1 1N

exp α

x x0 2 1

N

∞ ∞

dxexp αx2 "Z j π

a

N i πα

(3.33)

a: Erwartungswert oder Mittelwert von x

x , x -: ∞ ∞

dxPx x

∞ ∞

dx1N

exp α

u Z "x x0 2 x ∞ ∞

dxx01N

exp α

x x0 2 ) ∞ ∞

du 11N

exp αu2 u "Z 0 x0

∞ ∞

exp α

x x0 2

N x0 (3.34)

∆x: Schwankungsquadrat, “Breite” der Verteilung∆x 2 , x x 2 -. dxP

x x x0 2 1

N

∞ ∞

dx exp α

x x0 2 x x0 2 "Z

Gradstein, Ryzlik 3 461 12α j π

α

(3.35)

απ

12α i π

α 1

2α ∆x 1j 2α

(3.36)

Anwendung auf das Gauß sche Paket

1. Im Impulsraum

ψk 9 cexp

σ2 k k0 B Pk G ψ k G 2 G c G 2 exp

2σ2 k k0 2 αk 2σ2 von Zeit unabhangig

∆k 1j 2αk 1

2σ ∆p ∆k

2σ(3.37)

2. Im Ortsraum


Px t Gψ x t G 2

αexp

x vgt 22σ2

1 t2

τ τ mσ2

ψ 2(x, t)|

ψ (x, 0)|2

v tgx0 =

x(t) = 0∆ x (t)∆

αx 1

2σ21 t2

τ ∆x 1j 2αx

1i 1

σ2 c 1 d t2

τ2 e σ i 1 t2

τ2 (3.38)

Produkt aus Orts- und Impulsunscharfe

∆x∆p σ i 1 t2

τ2 2σ 2i 1 t2

τ2 (3.39)

∆x ∆p X 2

Heisenberg sche Unscharferelation (3.40)

Am Anfang maximale Scharfe; Auseinanderfließen Erhohung der Unscharfe.

Kapitel 4

Die Schrodinger-Gleichung

4.1 Heuristische Konstruktion

1. Maxwell-Gleichungen:

“Bewegungsgleichung” fur das elektromagnetische Feld. Bewegungsgleichung beschreibt diezeitliche Entwicklung.

2. Schrodinger-Gleichung:

Bewegungsgleichung fur die Materiewellen (in nichtrealistischer Naherung) 1926 aufgestellt.

Eine Herleitung ist nicht moglich, nur Plausibilitat durch Experimente (Newton-Gleichung).

Ansatz, der durch seinen Erfolg gerechtfertigt werden muss. Plausibilitatsbetrachtung

Ausgangspunkt: monochromatische Ebene

Welle, ψ0 1ψr t exp

i kr ωt B (4.1)

de Broglie

E ωp k

Fur die ebene Welle konnen wir schreibenpψr t : kψ

r t . k exp

i kr ωt B i ∇exp

ikr (4.2) Zuordnung

39

40 KAPITEL 4. DIE SCHRODINGER-GLEICHUNGp | i ∇

Der Observable (Messgroße)p wird ein Operator i ∇ zugeordnet, der auf die Wellenfunktion ψ

r t

wirkt.

Weiterhin konnen wir schreiben

Eψr t : ωψ

r t ωexp

i kr ωt B i ∂

∂texp

i kr ωt B (4.3)

E | i ∂

∂t

Schrodinger-Gleichung fur freies Teilchen erfullt die Dispersionsrelation fur freies TeilchenE

p2

2m(4.4)

wird ubersetzt in

i ∂∂t

ψr t .~ 2

2m∆ψr t (4.5)

hier ist p2 i ∇ 2 2 ∇ 2 C 2∆

∆ ∂2

∂x2 ∂2

∂y2 ∂2

∂z2 Laplace Operator (4.6)

∆ ∇ ∇ ml ∂

∂x ∂∂y ∂∂z n l ∂

∂x ∂∂y ∂∂z n (4.7)

Ubersetzung: E undp werden zu Operatoren, die auf die Wellenfunktion wirken.

In Anwesenheit eines Potenzials

E p2

2m V

r t (4.8)

Vr t wird als multiplikativer Skalar angesehen. Wird ersetzt zu

i ∂∂t

ψr t .@%~ 2

2m∆ V

r t & ψ

r t (4.9)

Zeitabhangige Schrodinger-Gleichung

mathematisch: partielle Differentialgleichung

4.2. WICHTIGE MATHEMATISCHE EIGENSCHAFTEN DER SCHRODINGER-GLEICHUNG41

4.2 Wichtige mathematische Eigenschaften der Schrodinger-Gleichung Erster Ordnung in Zeit ψr t ist durch die Anfangsverteilung ψ

r 0 bestimmt. (kein Determinismus wegen der

statischen Interpretation von ψr t ). Die Schrodinger-Gleichung ist linear. Superposition von Einzellosungen ist wieder eine Losung Die Schrodinger-Gleichung ist homogen.

Resultierende Wellenfunktionen sind zu allen Zeiten normierbar. Die Schrodinger-Gleichung ist komplex.

komplexe Losungen

4.3 Ubergang zur zeitunabhangigen Schrodinger-Gleichung

Sehr haufig ist das Potenzial Vr t nicht von der Zeit abhangig.

Vr t V

r (4.10)

(Zentral wichtigster Fall!)

In der klassischen Mechanik gilt dann vorausgesetzt die Erhaltung der Gesamtenergie

E T V p2

2m V

r H

!p r const (4.11)

HZp r ist die Hamilton-Funktion

Quantenmechanisch i ∂∂t

ψr t 9 p2

2m V

r $ ψ

r t Hψ

r t

H p2

2m V

r Hamilton-Operator (4.12)

Operator linke Seite: nur von der Zeit abhangig.

Operator rechte Seite: nur vom Ort abhangig.

42 KAPITEL 4. DIE SCHRODINGER-GLEICHUNG Produktansatz

ψr t q ψ

r φ t

ψr i ∂

∂tφt . φ

t p2

2m V

r ψ

r (4.13)

Setze voraus: ψr t > 0 und dividiere durch

i ∂t ∂

∂tφt . 1

ψr Hψ (4.14)

linke Seite nur von der Zeit, rechte Seite nur vom Ort gleich einer von Ort und Zeit unabhangigenKonstante E

linke Seite:

i ∂t

φt : Eφ

t φ

t : exp

iE t (4.15)

rechte Seite:

Hψr .@ p2

2m V

r $ ψ

r Eψ

r (4.16)

zeitunabhangige Schrodinger-Gleichung hat die Form eines Eigenwertproblems

Hψr Eψ

r (4.17)

besserHψ

r E Eψ

r E (4.18)

denn die Eigenfunktion ψr E des Operators H

Eigenwert E abhangig spater H ist hermitesch E sind reell Moglichkeiten

1. E Teil eines Kontinuums

2. E En diskrete Eigenwerte

- allgemeiner Fall- beides vorhanden !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

E − Kontinuum

En diskrete Werte

4.3. UBERGANG ZUR ZEITUNABHANGIGEN SCHRODINGER-GLEICHUNG 43 Zu jedem Eigenwert E gibt es eine Losung der zeitabhangigen Schrodinger-Gleichung ψEr t

der Form

ψEr t ψ

r E exp

iE t (4.19)

– Die zeitliche Evolution des Zustandes besteht in einer einfachen Multiplikation des Pha-senfaktors exp

i E t – zeitunabhangig GψE

r t G 2 Gψ r E G 2 (4.20) Auf Grund der Linearitat der Schrodinger-Gleichung gilt, dass die Uberlagerung

ψr t : ∑

nanψEn

r t ) dEa

E ψE

r t ∑

nψx En exp

iEn t p dEa

E ψ r E exp

iE t (4.21)

eine Losung der zeitabhangigen Schrodinger-Gleichung ist. Die Dynamik des Systems bestehtin den unterschiedlichen Phasenfaktoren exp

i E t . Es gilt dann z. B. Gψ r t G 2 > Gψ r G 2.

4.3.1 Beispiel fur diskretes Spektrum

Beispiel: unendlich hoher rechteckiger Potenzialkopf

V =

00 V =

00

x−a a


Klassisch:

E T Vx . const J 1

2 p2x p2

y p2z ) V

x (4.22)

Wegen der Translationsinvarianz in y und z Richtung sind py und pz erhalten.

ε E 12m

p2

y p2z p2

x

2m V

x (4.23)

ε: Gesamtenergie der Bewegung in x Richtung

44 KAPITEL 4. DIE SCHRODINGER-GLEICHUNG x Bewegung des Teilchens ist vollstandig im Bereich a x a eingeschrankt.

Quantenmechanisch:

Losung der zeitunabhangigen Schrodinger-Gleichung

Hψr E Eψ

r E A 2

2ml ∂2

∂x2 ∂2

∂y2 ∂2

∂z2 n Vx \ ψ

r E Eψ

r E (4.24)

Das Potenzial ist von y und x unabhangig. ebene Welle in dieser Richtung erhalten

ψr E ψ

x exp

ikyy ikz (4.25)

Eingesetzt in die zeitunabhangige Schrodinger-GleichungA 2

2ml ∂2

∂x2 ky2 k2z n V

x \ ψ

x exp

ikyy ikzz Eψ

x exp

ikyy ikzz (4.26)

4.3.2 Allgemeines Prinzip zur Erzeugung der Wellengleichung

1. Nimm Jordansche Regeln p p i ∇

E E i ∂∂t

2. Nimm die klassische Energie-Impulsbeziehung

E p2

2m V

r t nichtrelativistische Teilchen

3. Ersetze in der Energie-Impulsbeziehung die Skalare durch Operatoren und wende die Operato-ren auf die Wellenfunktionen an i ∂

∂t 2

2m∆ V

r t $ ψ r t

Andere Beispiele:

Photonen n0 0E G p G c oder E2 p2c2 (4.27) ∆ 1

c2

∂2

∂t2 ψ r t . 0 Wellengleichung fur die Komponenten vonE und

B (4.28)

relativistische massebehaftete Teilchen

4.4. WAHRSCHEINLICHKEITSSTROM 45

E2 m20c4 p2c2 (4.29) l ∆ 1

c2

∂2

∂t2 n ψ m0c2 2 ψ (4.30)

Klein-Gordon-Gleichung fur spinlose Teilchen (z. B. Mesonen)

Andere Moglichkeit: Diverse Gleichungen zur relativistischen Beschreibung von Spin 12 -Teilchen

(Elektronen) = Dirac-Gleichung.

4.4 Wahrscheinlichkeitsstrom

Wahrscheinlichkeitsinterpretation von ψ ψ wird durch folgende Uberlegung erklart:

die Schrodinger-Gleichung lautet

i ∂ψ∂t % 2

2m∆ V

r & ψ

r t (4.31)

Multiplikation von links mit ψ i ψ r t ∂ψ r t

∂t ψ % 2

2m∆ V

r & ψ

r t (4.32)

Die Komplex-Konjugierte der Schrodinger-Gleichung ist i ∂ψ ∂t

% 2

2m∆ V

r & ψ r t (4.33)

von links mit ψr t multipliziert, i ψ

r t ∂ψ

∂t ψ % 2

2m∆ V

r & ψ r t (4.34)

Gleichung 4.32 - Gleichung 4.34

i % ψ r t ∂∂t

ψr t ) ψ

r t ∂

∂tψ r t & (4.35) 2

2mψ ∆ψ

r t ψ∆ψ r t $ (4.36) 2

2m

∇ ψ ∇ψ ψ

∇ψ (4.37) ∂

∂tψ r t ψ r t $ ∇

2im

∇ ψ ∇ψ ψ ∇ψ (4.38)

Es existiert eine Kontiunitatsgleichung.8 ∂∂t

ρr t 9

∇j

ρr t 9 ψ r t ψ r t (4.39)

46 KAPITEL 4. DIE SCHRODINGER-GLEICHUNG

Wahrscheinlichkeitsdichte = “Dichte” gemessene Teilchendichte,

j 2im

ψ ∇ψ ψ ∇ψ (4.40)

interpretierbar wegen der Kontiunitatsgleichung. = Wahrscheinlichkeitsstromdichte

N d3rρr t Normintegral (4.41)

In Ubungen∂N∂t d3r

∂∂t

ρr t 0 N > N

t (4.42)

Bedingung:

ψB

r 0 0 ψ Br 0 0

“Naturliche” Bedingung fur eine “zugelassene” Wellenfunktion mit

N d3rρr t ∞ (4.43) Fur zugelassene Wellenfunktionen ist das Normintegral eine Konstante und ψ

r t wird so gewahlt,

dass1 d3rρ

r t (4.44)

Zugelassene Wellenfunktionen im 1d Fall bisher behandelt

1. diskretes Spektrum in ∞-hohen Rechteckst... ψ G x G J a 0

2. diskretes Spektrum ε 0 endlich hohe Potenzialtopf ψ ∝ exp κ G x G

3. Wellenpakete, z. B. Gauß sches Wellenpaket aus Kontinuumswellenfunktionen

Nichtzugelassene Zustande

1. Streuzustande = Eigenfunktionen fur ε J 0 endlich hoher Potenzialtopf, Potenzialbarriere je-doch Gψ x ∞ t G ∞ k ∞ Sonderrolle (uneigentliche Basisfunktion des Hilbertraumes).

2. Fur G x G ∞ exponentielle divergierende Losungen der Schrodinger-Gleichung in endlich ho-hem Potenzialtopf fur ε 0. In jedem Fall ausgeschlossen diskretes Spektrum.

4.5. EINDIMENSIONALE BEISPIELE 47

4.5 Eindimensionale Beispiele

4.5.1 Eindimensionaler unendlich hoher Potenzialkasten

V =

00 V =

00

x

Abbildung 4.2: Eindimensionaler Potenzialkasten

zeitunabhangige Schrodinger-GleichungA 2

2m∆ V

x E \ ψ

r E 0 (4.45)

Ansatz:ψr E ψ

x exp

ikyy kizz (4.46) Effektiv 1d-Problem A ~ 2

2md2

dx2 Vx ε \ ψ

x q 0

ε E 2

2m

k2

y k2z (4.47)

Losungen

1. Außenraum G x G J 0 ψx I 0

2. Innenraum G x G 0 Losung der Dgl. % 2

2md2

dx2 ε & ψx q 0 ψ 2mε 2 ψ 0 (4.48)

Vergleiche mit Dgl. fur den klassischen harmonischen Oszillator (formal) mit der Federkonstante D.

x Dm

x 0 xt Asin

ωt δ ω i D

m(4.49) Ansatz fur ψ

ψ Asinkx δ k i 2mε 2 (4.50)

Zusatzlich: Berucksichtigung der Randbedingungen

ψa I ψ

a . 0 (4.51)


Eigenfunktion

n = 2

a− a

n = 1 n = 3

Abbildung 4.3: Eigenfunktion

ψn An sin n π2a

x a $ An sin nπ

2ax nπ

2

k kn nπ2a nπ

L2a L : Breite

δ δn nπ2

ε 2k2

2mε En 2

2mk2

n 2

2m

πL 2n2 (4.52)


Vollstandig diskretes Spektra

Losungen der zeitabhangigenSchrodinger-Gleichung

E3 n = 3

E2 n = 2

E1 n = 1

ψEn

r t ψ

x En exp

i En t “stationare Zustande”, denn

ρ Gψ x En G 2 GAn G 2 sin2 nπL

x a $

Quantisierung der stationaren Zustande

Berechnung der Normierungskonstanten

1 dxρx GAn G 2 a a

dx sin2 nπ2a

x a $ "Z

12 L

An H 2L

ψx En i 2

Lsin πn

L

x a

En 2m D π

L E 2n2

Eigenfunktion und Eigenwerte

Quantenmechanische Nullpunktsenergie

E1 2

2m D πL E 2 Grundzustandsenergie (4.53)

Betrachte dreidimensionales ∞ Kastenpotenzial

V ^____` ____a ∞ fur

^` aG x G J aG y G J aG z G J a

0 sonst


Ubungen:

ψx E . ψ

r Enx ny nz

vollstandig reell wahlbar

Enx ny nz 2

2m D πa E 2

n2x n2

y n2z (4.54)

nx ny nz 1 2 3 BBVollstandig diskretes Energiespektrum

= im Einschlusspotenzial gebundene Zustande

= extrem vereinfachtes Modell fur diskretes Termschema im H-Atom wird eingehender diskutiert.


4.5.2 Potenzialbarriere - Tunneleffekt

Rastertunnelmikroskop

Nobelpreis 1986

Konstanthaltung des Tunnelstromes durch Nachfuehrung der Spitze:

Abbildung 4.4: Rastertunnelmikroskop 1


Atomare Aufloeesung: Einzelnes Dotieratom auf Halbleiteroberflaeche

Potentiallandschaft fuer den Tunnelvorgang:

Abbildung 4.5: Atomare Auflosung und Potenziallandschaft

Idealisierung der Potenziallandschaft: rechteckige Potenzialbarierre der Hohe V0.

Reduktion auf 1d-Problem

ψr E ψ

x exp

ikyy ikzz

E ε 2

2m

k2

y k2z A 2

2md2

dx2 Vx ε \ ψ

x : 0 (4.55)

ε: Energie der Bewegung in x Richtung


t e ikx

r −e ikx

eikx

einlaufendA

x−a a

V0

z

Abbildung 4.6: Skizze Idealisierung der Potenziallandschaft

Fur x a Vx I 0 freies TeilchenA 2

2m∂2

∂x2 ε \ ψx a 0 (4.56)

Differentialgleichung 2. Ordnung 2-Losungen

ψx q Aexp

ikx ) Bexp

ikx ε 2

2mk2 k j 2mε (4.57)

Interpretation der Losung der zeitabhangigen Schrodinger-Gleichung

ψx a t = ψ

x exp

i E t Aexpikx iωt "Z + Bexp

ikx iωt "Z k J 0 einlaufende Welle, k 0 auslaufende Welle,Punkte gleicher Phase Punkte gleicher Phasebewegen sich in positive bewegen sich in negativex-Richtung x-Richtung“nach rechts laufender “nach links laufenderZustand” Zustand”

Fur x J a A 2

2md2

dx2 ε \ ψx J a ε : 0 ψx J a 9 C exp

ikx g 0exp

ikx (4.58)

Wir konnen Losungen der zeitunabhangigen Schrodinger-Gleichung der Form

A 1 C t

B r D 0


finden. (von links einlaufender) Streuzustand.

Stuckelung der Wellenfunktion

Setze voraus ε V0 klassisch ist keine Bewegung von der linken Seite

uber die Barriere hinweg auf die rechte Seite erlaubt.

Quantenmechanisch G ε G > 0 Tunneleffekt, es gibt eine auf der rechten Seite aus-laufende Welle Messung des Stromes durch dieTunnelspitze.

Wellenfunktion zwischen a und aA 2

2md2

dx2 V0 ε \ ψ G x G a ε 0 (4.59)

Entscheidender Unterschied zwischen den vorher genannten Fakten

V0 ε J 0 weil V0 J ε (4.60)

Daher keine oszillierende Wellenfunktion, wie expikx , sondern eine exponentiell wachsende oder

fallende Wellenfunktion.

ψ G x G a ε : a exp

κx g b exp

κx (4.61)

κ F 2mV0 ε (4.62)

eikx

eikxt

et ikx−

Abbildung 4.7: Schematische Darstellung

Insgesamt: x a

ψx ε I exp

ikx g r exp

ikx (4.63) a x aψx ε . a exp

κx ) b exp

κx (4.64)

x X aψx ε . t exp

ikx (4.65)

Bestimmung der vier unbekannten Koeffizienten rk a k b k t k , durch je zwei Kontinuitatsglei-

chungen bei a und bei a.

Kontinuitat der Wellenfunktion bei x a


1.exp

ika g r expika a exp

κa p b expκa (4.66)

Kontinuitat der Ableitung der Wellenfunktion bei x a

ψ x a ε : ik expikx * r exp

ikx ( (4.67)

ψ G x G a ε : κ aexpκx * bexp

κx $ (4.68)

sodass, fur x C a

2.ik exp

ika r expika (g κ aexp

κa bexp κa ( (4.69)

Ubungen: Leite die beiden entsprechenden Gleichungen bei x a ab und zeige, dass

T 1

1 sin 2 c kL e4 E

V0c 1 E

V0e + G t k G 2 (4.70) Fur jedes ε J 0 ε R gibt es zwei Losungen (links einfallende und rechts einfallende) ε Kontinuum Wellenenfunktionen sind nicht normierbar

dx Gψ x E G ∞ (4.71) Wellenfunktionen sind komplex, konnen nicht reell gewahlt werden

4.5.3 Rechteckiger endlich hoher Potenzialkasten

− V0

−a a

(a) (b)

2. Fall

ε

ε

1. Fall

(c)

Abbildung 4.8: Skizze rechteckiger hoher Potenzialkasten

Fur ε J 0 kontinuierliches Spektrum


1. linkseinfallender Streuzustand ψL

(a) x a

ψL x ε . expikx ) rL exp

ikx k j 2mε (4.72)

(b) a x a

ψL x ε I aL expikx g aLbL exp

ikx κ F 2mε V0 (4.73)+ k

V0

(c)ψL x ε tL exp

ikx (4.74)

2. rechtseinfallender Streuzustand ψR

(a) x J a

ψR x ε . exp ikx g rR exp

ikx k j 2mε (4.75)

(b) a x aψR x ε . aR exp

iκx ) bR expiκx (4.76)

(c) x a

ψR x ε q tR exp ikx (4.77) A 2

2md2

dx2 Vx ε \ ψ

x ε (4.78)

ist lineare Dgl. 2-ter Ordnung, zwei linear unabhangige Losungen.

ψL x ε ψR x ε ψ AψL x ε p BψR x ε (4.79)

3. Was passiert fur ε 0 ?

(a) x a

ψx ε I Aexp

κx g Bexp

κx κ F 2m G ε G F 2m G ε G (4.80) ikV0 0

(b) a x a

ψx ε . aexp

iκx g bexp

iκx κ F 2mV0 ε (4.81)

(c) x J aψx ε . C exp

κx ) Bexp

κx (4.82)


Wichtig: Die Wellenfunktion darf fur x ∞ nicht divergieren nicht alle Losungen der Dgl. 2. Ordnung sind als Wellenfunktion akzeptabel Bedingung B 0 und C 0Setze A 1 = Normierungskoeffizient (Linearitat) 1. x aψx ε . exp

κx

2. a x aψx ε . aexp

iκx g bexp

iκx 3. x J 0

ψx ε . Bexp

κx Durch Stuckelung erhalt man vier Gleichungen mit drei Unbekannten.


Ubung: Losung nur bei bestimmten Energien.

ε < 0 diskretes Spektrum

reel wählbar

V 2−fach entartet, Streufunktionen

x

− V0

Abbildung 4.9:

Beispiel: Comptoneffekt, Ubergang von diskretem Zustand in das Kontinuum

Abbildung 4.10:


Allgemeines 1d-Potenzial endlicher Reichweite

quasigebundeneZustände

Kontinuum

< Diskretes Spektrumε

V (|x| > d) = 0

Abbildung 4.11:

quasigebundener Zustand = zerfallende Zustande

z. B. α-Zustand Schrodinger-Gleichung kann viele physikalische Probleme beschreiben, nicht klaren.

Verallgemeinbar auf allgemeines 3d-Potenzial mit endlicher Reichweite.

Teil II

Mathematische Formulierung imHilbertraum

61

Kapitel 5

Der Raum der Wellenfunktion einesTeilchens

5.1 Linearer Raum V (Vektorraum)

Gegeben - Menge von Elementen (“Vektoren”) - ψφχ BBMenge von Skalaren a b c BB

- Regeln fur (a) Vektoraddition ψ φ(b) skalare Multiplikation aψ

(a) Vektoraddition: Eingenschaften einer Abelschen Gruppe ψ V φ V ψ φ V Kommutativitatψ φ φ ψ Assoziativiat

ψ φ ) X ψ φ χ Nullelement0 ψ ψ 0 Inverselementψ ψ 0

(b) Multiplikation ψ V φ V aψ bφ V Distributitataψ φ aψ aφ Assoziativitatabψ I abψ Einselement1 ψ ψ

63

64 KAPITEL 5. DER RAUM DER WELLENFUNKTION EINES TEILCHENS

5.2 Hilbertraum H

Gegeben - Menge von Vektoren - ψ φ χMenge von Skalaren

(a) H ist ein linearer Vektorraum

(b) H hat ein definiertes Skalarproduktψ φ das eine komplexe Zahl ist. Hermitizitat

ψ φ . φ ψ Linearitat ψ aφ1 bφ2 a

ψ φ1 ) b

ψ φ2 Positivitat der Norm

ψ ψ +¢¡ ψ ¡ 2 X 0

Anmerkungen -ψ φ . 0 Vektoren ψ und φ sind orthogonal.

H ist separabel

In jeder beliebigen Folge existiert eine konvergente Teilfolge. Es gibt eine Cauchy-Folge ψn, sodassfur jedes ψ H und ε J 0 ein ψn gilt mit ¡ ψ ψn

¡ ε (5.1)

(Jedes Element von H kann als Grenzwert einer Cauchy-Folge von Elementen aus H dargestellt wer-den £ Entwicklung von ψ in einer Basis.)

Cauchy-Folge ψn

limk l ¤ ∞

¡ ψk ψl¡ 0 (5.2)

H ist vollstandig

Jede Cauchy-Folge von Elementen ψn H konvergiert zu einem Element in H . D. h., es gilt

limn m ¤ ∞

¡ ψn ψm¡ 0 (5.3)

dann gibt es einen eindeutigen Grenzwert ψ H mit

limn ¤ ∞

¡ ψ ψn¡ 0 (5.4)

5.3. ZUORDNUNG DER PHYSIKALISCHEN ZUSTANDE ZUM HILBERTRAUM 65

5.3 Zuordnung der physikalischen Zustande zum Hilbertraum

Der Raum der quadratintegrablen Funktionen ist ein Hilbertraum.

3d H r ψ : IR3 C G d3r G ψ r G 2 ∞ t (5.5)

1d H r ψ : IR C G dx G ψ x G 2 dx ∞ t (5.6)

Auf der anderen Seite gilt fur einen quantenmechanische Zustand¡ ψx ¡ ¥% d3x G ψ x G2 & 1

2 1 (5.7)

und nicht nur ¡ ψ ¡ ∞. Im Allgemeinen gilt¡ ψ1¡ 1 ¡ ψ2

¡ 1 ¡ αψ1 βψ2¡ > 1 (5.8)

Fragestellung: Physikalische Zustande bilden also keinen Hilbertraum?

Losung: Physikalische Zustande erzeugen eine Aquivalenzklasse ψ mit

ψ Cr φ G φ / ψ t¦ (5.9)

wobei die Aquivalenzrelation / bedeutet

φ / ψ | φ λψ mit λ C λ > 0 (5.10)

Die Elemente von ψ sind physikalisch aquivalent. Alle Aquivalenzklassen ψ bilden den Hilbertraum H der quadratintegrierbaren Funktionen.

5.3.1 Vollstandige Funktionssysteme

Geeignete Mengen von Vektoren bilden die Basis des Hilbert-Raumes. Sei r un H t ein Orthogonal-system:

un um δn m. Dieses System ist eine Basis,§

ψ H gilt ψ ∑n

cnun (5.11)

mit geeigneten Koeffizienten cn un G ψ ∑

n ¨ cn ¨ δn © n ¨ Z "un un ¨ cn (5.12)

Betrachte den Hilbertraum der quadratintegrablen Funktionen in einer Dimension

un unx

ψ ψx

un ψ ∞ ∞

dxu n x ψ x


dann erhalten wir

ψx q ∑

ncnun

x . ∑

n

∞ ∞

dyu n y ψ y B unx (5.13) ∞ ∞

dy ∑n

u n y unx "Z

δ c x y e ψy (5.14) ∑

nu n y un

x 9 δ

x y (5.15)

“Zerlegung der 1”

und ψx q ∞ ∞

dyδx y ψ y (5.16)

δx y wird in der Umgangssprache als Dirac sche Delta-Funktion bezeichnet. Korrektur: verallge-

meinerte Funktion, Veranschaulichung durch Folge von einfachen Funktionen.

z. B. Lorenz-Kurven

δx x0 1

πlimε ¤ 0

εx x0 2 ε2 lim

ε ¤ 0Fεx x0 (5.17)

ε2

ε3

ε4

ε1

= lim0

F (x − x 0 )ε ε

ε1 ε2

ε3

ε4> > >

Fε (x)

x


∞ ∞

Fεx dx ∞ ∞

dxε

x2 ε2 1 ∞ ∞

dxδx (5.18)

Fε 1ε

(5.19) limε ¤ 0

Fεx : ^` a 1

ε ∞ x 0

∞ sonst(5.20)

keine “normale” Funktion

In drei Dimensionen lautet die Zerlegung der 1

∑n

unr1 u n r2 δ

r1 r2 (5.21)

mitψr1 d3r2δ

r1 r2 ψ r2 (5.22)

Betrachte Fouriertrafo in 1d. Wir konnen fur jede quadratintegrable Funktion schreiben

ψx q

dkj 2πψk exp

ikx (5.23)+

dkj 2πψ uk

x (5.24)

ψk ist auch quadratintegrierbar und sieht aus, wie eine Entwicklung nach einer Basis uk

x .

ukx ist jedoch nicht quadratintegrierbar uneigentliche Basis des Hilbertraumes.


5.3.2 Entwicklung von Zustanden in Basisfunktionen

Wiederholung Physikalischer Zustand ˆ Vektor im Hilbertraum H normiertGfGψ GfG ψ ψ . 1 3. Axiom fur Hilbertraum, Separabilitat von H

“Es existiert eine Candy-Folge ψn Hn 1 2 BBf , so dass fur jedes ψ H und ε J 0 wenig-

stens ein ψn der Folge existiert fur das GfGψ ψn GfG ε“

Man sagt: Die Folge ψnliegt dicht im H

Umformulierung fur Physiker

Skript Analysis V, Vorlesung: Prof. F. Sauvigny, Kapitel XIV “Lineare Operatoren im Hilbertraum”,S. 118, Satz 5

“Sei H ein separabler Hilbertraum, dann gibt es ein vollstandiges Orthonormalsystem r un t n 1 2 H ”

Orthonormalsystem: un um δn m (5.25)

Vollstandigkeit:

ψ ∞

∑n 1

Cnun§

ψ H (5.26)

mitCn un ψ (5.27)

im Sinne des Verschwindens der Norm

limN ¤ ∞ GfGψ N

∑n 1

Cnun GfG 0 (5.28)

Beweis:

Konstruktion der un aus den ψn durch Schmidt sches Orthonormalisierungsverfahren.

Wichtiger Spezialeffekt

M H ist linearer Teilraum des Hilbertraumes H , falls fur beliebiges f g M und α β C

α f βg M Dimension des Teilraums n = Anzahl der linear unabhangigen Element

n ∞ Teilraum wird auch als unitarer Raum bezeichnet.


Unitarer Raum

Ein unitarer Raum M besitzt eine orthonormale Basis r ϕi BB ϕn t¦ n dimH mit der Eigenschaft

f n

∑l 1

ϕk f ϕk

§f M (5.29)

Beispiel:

Wellenfunktionen im ∞-hohen Potenzialkasten

ª«ª«ª«ª«ªª«ª«ª«ª«ªª«ª«ª«ª«ªª«ª«ª«ª«ªª«ª«ª«ª«ªª«ª«ª«ª«ªª«ª«ª«ª«ªª«ª«ª«ª«ªª«ª«ª«ª«ª¬«¬«¬«¬¬«¬«¬«¬¬«¬«¬«¬¬«¬«¬«¬¬«¬«¬«¬¬«¬«¬«¬¬«¬«¬«¬¬«¬«¬«¬¬«¬«¬«¬

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− a ax

v

Abbildung 5.1:

M r ψ : R C Gψ G x G J a . 0 tC r ψ : R C G dx Gψ x G 2 ∞ t H

M ist ein unendlich dimenionaler Teilraum von H , denn Fourierreihe fur ψ M

ψx : ∞

∑n 1

an i 2L

sin knx a $ (5.30)

kn nπ2a

(5.31) ∞

∑n 1

anunx (5.32)

unx : i 2

Lsin kn

x a $ (5.33)

bilden vollstandiges Orthonormalsystem.

Orthonormalitat un um 9 ∞ ∞

unx um

x dx (5.34)

70 KAPITEL 5. DER RAUM DER WELLENFUNKTION EINES TEILCHENS 2L

a asin kn

x a $ sin km

x a $ (5.35) δm n (5.36)

Berechnung der Entwicklungskoeffizienten

an un ψ . i 2L

a a

dxsinknx ψ x (5.37)

Ortsdarstellung Vektor im Hilbertraum Vektor im RB

ψx Gψ -

rZustandsvektor

unx G n -

e j

Basisvektoren

u n x , n G e j

dualer Vektor dxu m x unx δm n , m G n - δm n

e j ei j δi jOrthonormalitat

ψx I ∑n anun

x Gψ - ∑n

, n Gψ - G n - x ∑m 1

¯en r en

Entwicklung

δx x ∑n un

x un

x 1 ∑n G n - , n G 1 ∑n

en ° en

03 1 0 00 1 00 1

57dyadisches Produkt

Basiswechsel

Gegeben sind zwei unterschiedliche vollstandige Orthonormalsysteme r G n -±t und r G m -±t mit

1 N

∑n 1 G n - , n G N

∑m 1 G m - , m - (5.38)

Der Einfachheit halber Annahme eines N-dimensionalen Teilraumes ( ˆ Standardannahme fur nume-rische Rechnungen, denn der Computer kann nicht mit unendlich vielen Basiselementen rechnen).G ψ - N

∑n 1 G n - , n G ψ -. N

∑n 1

an G n - (5.39)


In der n-Darstellung ist der Zustandsvektor G ψ - ein N-komponentiger Spaltenvektor

a 023 a1...

aN

5!67 Der zu G ψ - duale (oder auch adjungierte) Vektor wird gebildet durch, ψ G N

∑n

, ψ G n - , n G N

∑n

, n G ψ - , n G (5.40) N

∑n

a n , n G (5.41) N-komponentige Zeilenvektor a ² a 1 a 2 BBB a N .Wir finden dann

1 , ψ G ψ -9 N

∑n

, ψ G n - , n G ψ - (5.42) N

∑n G an G 2 (5.43)

In der m-Darstellung ist G ψ - ein Spaltenvektor

b 023 b1...

bN

5!67 03 , m 1 G ψ -, m M G ψ -57

ψ ∑m G m - , m G ψ - "!

bm

∑mn G n - , n G m - bm Z ", m G ψ - "Z

an

(5.44) an Unmbm (5.45)

U N ³ N Matrix mit Unm , n G m - (5.46)

023 a1...

aN

5!67 023 U11 U1i U1N...

......

UN1 UNi UNN

5!67 023 b1...

bN

5!67 Die i-te Spalte beinhaltet den i-ten Basisvektor des Orthogonalsystems r G m -±t in der Basis G n - .U ist eine unitare Matrix.D. h.

U d U 1 8 U d U 1 U 1 inverse Matrix (5.47)

wobei,U d mn U nm (5.48)


Andere Basissysteme

Der Operator

Hop L

2m∆ V

r (5.49)

definiert uber seine Eigenwertgleichung

HopUnx . Enun

x (5.50)

das vollstandige Orthonormalsystem r unx ±t . Von zentraler Bedeutung sind fur die Quantenmechanik

auch der Impulsoperator in Ortdarstellung pop C i ∇ (5.51)

und der Ortsoperatorrop r (5.52)

Auch diese Operatoren erzeugen ein vollstandiges Orthonormalsystem

1. Impulsoperator pop exp

ikr j 2π

i ∇exp

ikr j 2π pexp

ikr j 2π

(5.53)

Fur ebene Wellen gilt das Fourierintegral fur alle normierbaren Wellenfunktionen

ψr 1j 2π

d3kψ

k exp

ikr ´ (5.54)

Die Eigenfunktionen des Impulsoperators bilden ein kontinuierliches (uberabzahlbares) undnicht normierbares Funktionssystem. Normierung auf δ-Funktionl 1

2π n 32

d3r exp ik r exp

ikr δ

k k (5.55)

dann folgt nach linksseitiger Multiplikation von (5.54) mit exp c iµk µr e¶2π3 und Integration d3r die

Berechnung der Entwicklungskoeffizienten:l 1j 2π n 3 d3r exp

ik r ψ r 9 l 1

2π n 3 "! d3r u"Zu d3k ψ k exp

ikr exp

ik r "Z

δ c k k e ¨ (5.56) d3k ψ k δ k k ψ

k (5.57)

Vollstandigkeitsrelation


Setze (5.57) in (5.54) ein

ψr : l 1

2π n 3 d3r d3k exp

ikr exp

ikr · ψ r f (5.58) δ

r r ¸: l 1

2π n 3 d3k exp

ikr r ·B (5.59)

2. Ortoperator

Die Eigenvektoren G r - des Ortsoperators lassen sich im Ortsraum nur formal durch Funktionaledarstellen

δr r0 δ

x x0 δ y y0 δ z z0 (5.60)

r0 x0 y0 z0 sind die kontinuierlichen Eigenwerte des Vektoroperatorsropδ

r r0 rδ

r r0 r0δ

r r0 (5.61)

Zeigen durch Anwendung von Testfunktionend3r f

r rδ

r r0 r0 f

r0 r0

d3r f

r (5.62)

Ortdarstellung des abstrakten Vektors G ψ - ˆ Projektion auf G r - .ψr , r G ψ - (5.63)

Ortdarstellung des Impulsvektors G p -, r G p - 1j 2πexp

ikr p k (5.64)

Ortdarstellung des Energievektors G n - , r G n - unr (5.65)

Die Ausdrucke , r G p - und , r G n - sind die Skalarprodukte der Eigenvektoren von je zwei unter-schiedlichen Basissystemen., r G p - ˆ unitare Matrix zum Ubergang der

p-Darstellung in

r-

Darstellung.

ψr . 1j 2π

d3r exp

irk ψ k (5.66)

Kapitel 6

Operatoren im Hilbertraum

Ein Operator O im Hilbertraum ordnet einen Ket-Vektor G ψ - einem Ket-Vektor G ψ - zu

1 ¹ G ψ - 1 ¹ O1 ¹ G ψ - (6.1)

und ein Bra-Vektor , ϕ G ein Bra-Vektor , ϕ G , ϕ G , ϕ G O6.1 Darstellung eines linearen Operators durch Matrizen

Ein linearer Operator hat die Eigenschaften

O a G ψ1 -) b G ψ2 -$g aO G ψ1 -) bO G ψ2 - (6.2)

und , ψ1 G a , ψ2 G b O a , ψ1 G O b , ψ2 G O (6.3)

Die in der Quantenmechanik vorkommenden Operatoren sind in der Regel linear. Wir setzen einVONS r , ϕn G t voraus und setzen die vollstandige 1 in Gleichung (6.1) in den markierten Stellen ein.Wir erhalten auf Grund der Linearitat von O

∑n G ϕn - , ϕn G ϕ "Z

bn

- ∑nn ¨ , ϕn G O G ϕn ¨ "!

Onn ¨ - , ϕn ¨ G ϕ "! an ¨ - (6.4)

Fur die Entwicklungskoeffizienten ergibt sich eine zu 6.1 aquivalente Matrizengleichungb O

a

wobei die Vektorena und

b gegeben sind durch

a an , ϕn G ϕ -B b bn , ϕn G ϕ -B (6.5)

und die Matrix

O Onn ¨ , n G O G n ·-B 0223 O11 O12 O13 BBO21 O22 O23 BBO31 O32 O33 BBBB BB BB BB (6.6)

75

76 KAPITEL 6. OPERATOREN IM HILBERTRAUM

Die Operatoren lassen sich also durch unendlich-dimensionale Matrizen darstellen. DarstellungsfreieReprasentation des Operators

O ∑nn ¨ G ϕn - , ϕn G O G ϕn ¨ - , ϕn ¨ G (6.7)

Analog G ψ - ∑n

, ϕn G ϕ - , ϕn G (6.8)

Anmerkung zur darstellungsfreien Representation des Operators

darstellungsfrei:

Die Basisvektoren G ϕn - sind als abstrakte Hilbertraumelemente ausgedruckt und nicht als N-Tupel ineiner konkreten Basis.

Analogie zu einer linearen Abbildung A im reellen R3 mit

y Ax x und y R3 Koordinatenfreie Darstellung von x

x 3

∑i 1

xiei ei : orthonormierte Einheitsvektoren (6.9)x 03 x1

x2

x3

57 Darstellung des Vektors x im System der ei (6.10)

Operator im Hilbertraum H Abbildung im reelen R3

Koordinatenfreie Darstellung O ∑nn ¨ Onn ¨ G ϕn - , ϕn ¨ G A 3

∑i j

Ai jei ° e j "Z

Dyadisches ProduktBasis r , ϕn G t r e1 e2 e3 tDarstellung Onn ¨ : unendlich-dimensionale

MatrixAi j 3 x 3 Matrix

6.2 Adjungierter Operator

Betrachte zunachst den Bra-VektorG ψ - ∑n

an G ψn - Darstellungº a u"Zu

Spalten

an , ψn G ψ -B (6.11)

Das Ket , ψ G ist der zu G ψ - adjungierte Vektor, , ψ G G ψ - dG ψ - d , ψ G ∑n

a n , ψn GDarstellungº a T u"Zu

Zeilenvektor

a dn (6.12)

6.3. HERMITESCHER (SELBSTADJUNGIERTER) OPERATOR 77

T : transponiert

Es gilt dann, ψ G ψ - ∑n G an G 2Darstellungº

a T a ∑n G an G 2 a 1 BB a N 023 a1

...aN

5!67 ∑n G an G 2 (6.13)

Anschauliche Definition des zu O adjungierten Operators O d uber seine Darstellung

Oº O 0223 O11 O12 O13 BB

O21 O22 O23 BBO31 O32 O33 BBBB BB BB BB (6.14)

O d º O T 0223 O 11 O 12 O 13 BBO 21 O 22 O 23 BBO 31 O 32 O 33 BBBB BB BB BB (6.15)

Von der allgemeinen Matrizenrechnung abgeleitete Regeln (Ubung)O d d O

O1O2 d O d2 O d1O G ψ -B d , ψ G O d

Wendet man Regel 3 auf O d G ϕ -$ d an, erhalt man, ϕ G O G ψ -. , O d ϕ G ψ - § G ϕ - G ψ -» H (6.16) Definition von O d ohne Darstellung wichtig!

6.3 Hermitescher (selbstadjungierter) Operator

Definition: Ein Operator ist genau dann hermitesch, wenn gilt

O O d selbstadjungiert (6.17)

oder aquivalent , ϕ G O G ψ - , Oϕ G ψ - (6.18)

Diese Operatoren sind von zentraler Wichtigkeit fur die Formulierung der Quantenmechanik.

78 KAPITEL 6. OPERATOREN IM HILBERTRAUM

Kapitel 7

Allgemeine Postulate derQuantenmechanik

P1: Zustand eines SystemsDer Zustand eines Systems ist zu jedem Zeitpunkt durch einen Zustandsvektor G ψ t B- im Hil-bertraum spezifiziert. G ψ t B- enthalt alle zuganglichen Informationen uber das System.

P2: Zu jeder physikalischen Messgroße A (Observable) gehort ein Hermitescher Operator.

Konstruktion: Klassisch ist jeder Observablen eine Funktion Fr p zugeordnet.

Fr p ^__` __a µp2

2m Vr 9 E

Zp r Energie

p Impulsr Ortl r ³ p Drehimpuls

Quantenmechanisch wird in dieser Funktion durch Einsetzen des Quantenmechanik-Operators einOperator.

Klassisch Quantenmechanik

Impulsp

p

Ortr ˆr

Energie µp2

2m Vr µp2

2m V ˆr

Drehimpulsrxp ˆr ³ p

Uberkomponenten definiert

Wie ist die Funktion eines Operators a definiert?

79

80 KAPITEL 7. ALLGEMEINE POSTULATE DER QUANTENMECHANIK

Fa . ∑

n

1n!w ∂t

∂a n 2 ¼¼¼¼¼ a 0

an F a ∑n

1n!w ∂F

∂a n 2 ¼¼¼¼¼ a 0

an (7.1)

Hermizitat des Ortsoperators in einem Ortsoperator x xϕ G ψdx

xnϕ

x B ψ x dx ϕ x xnψ

x B dx

ϕ xnψdx (7.2)

7.1. ALLGEMEINE EIGENSCHAFTEN HERMITISCHER OPERATOREN UND DER MESSPROZESS81

7.1 Allgemeine Eigenschaften hermitischer Operatoren und der Meß-prozess

Ein hermitischer Operator A hat reelle Eigenwerte an. Die Eigenvektoren G ψn - konnen so gewahltwerden, dass sie ein vollstandiges Orthonormalsystem bilden (Ubungen).G ψ - ∑

nWn G ψn - ;Wn , ψn G ψ - (7.3)

Mit den Elementen G ψn - kann der Operator dargestellt werden als

A ∑mn

, ψm G A G ψn - G ψm - , ψn G (7.4) ∑mn

an, ψm G ψn - G ψm - , ψn G (7.5) ∑

nan G ψn - , ψn G + ∑

nanPn (7.6)

Pn G ψn - , ψn G Projektionsoperator auf , ψn G (7.7)

Allgemeine Definition eines Projektoperators P

P d P

P2 P

Postulat 3: Messung und Eigenwerte eines Operators

Das einzig mogliche Ergebnis einer Messung der Observablen A am Zustandsvektor G ψ t B- sind diereellen Eigenwerte an von A. Wenn das Resultat einer Messung von A der Wert an ist, dann ist derZustand des Systems unmittelbar nach der Messung gegeben durch die Projektion von G ψ t B- auf denEigenvektor G ψn - . G ψ - nach G ψn - , ψn G ψ t B- Wn

t G ψn - (7.8)

Postulat 4: Statistisches Resultat von Messungen

Wenn eine Observable A eines Systems im Zustand G ψ - gemessen wird, ist die Wahrscheinlichkeit,einen der nichtentarteten Eigenwerte an des entsprechenden Operators A zu erhalten, gegeben durch

Pnan G , ψn G ψ - G 2 G Wn G 2 (7.9)

Bei einer m-fachen Entartung des Eigenwertes an wird die Wahrscheinlichkeit gegeben durch

Pnan m

∑j 1 G , ψ j

n G ψ - G 2 m

∑j 1 G W j

n G 2 (7.10)

Messung einer Observablen an einer Gesamtheit von Einzelsystemen. Einzelsysteme ohne gegensei-tige Wechselwirkung, vor Messung Zustand G ψ - Erwartungswert A der Observablen A im ZustandG ψ -

A ∑n

anPnan ∑

n G , ψn G ψ - G 2 (7.11) ∑n

an, ψ G ψn - , ψn G ψ - , ψ G A G ψ - (7.12)


Postulat 4 fur kontinuierliche Spektren

A G a - a G a - a R Eigenwert zu G a - (7.13)

Die Wahrscheinlichkeitsdichte bei einer Messung von A hat einen Wert zwischen a und a da. Wirfinden, wenn der Ausgangszustand G ψ - ist.

dPa

da G ψ a G 2 G , a G ψ - G 2 (7.14)

a da a

dPa

da da a G ψ a G 2 (7.15)

da a , ψ G a - , a G ψ -. , ψ G A G ψ - (7.16)

mit A da a G a - , a G (7.17)

Beispiel 1:

Ortsoperator in 1d A x a x

dPx

dx G ψ x G 2 G , x G ψ - G 2 (7.18)

x dx x G ψ x G 2 (7.19)

Impulsoperator in 1d A p a p

p d pp G p - , p G (7.20)

dPp

d p G ψ p G 2 G , p G ψ - G 2 (7.21)

ψp : , p G ψ - dx , p G x - "Z c 1½

2πexp c ipx h( ee·¾ , x G ψ - "!

ψ c x e (7.22)

1j 2π

dxexp

ikx ψ x (7.23) Fouriertransformierte von ψx mit k p

p , ψ G p G ψ -. d p G ψ p G 2 p (7.24)

Beispiel: Gauß sches Wellenpaket

ψx t q 1j 2π

∞ ∞

dk expikx ωt B ψ k (7.25)

mit ψk l 2σ2

0

π n 14

exp σ2

0k k0 2 (7.26)

ψp t q 1j 2π

dx exp

ikx ψ x t k p (7.27)

7.1. ALLGEMEINE EIGENSCHAFTEN HERMITISCHER OPERATOREN UND DER MESSPROZESS83 1j 2π

dx exp

ikx 1j 2π

∞ ∞

dk expik x ω ψ k · (7.28) exp

iωt ∞ ∞

dk ψ k 12π

∞ ∞

dx expik k x "!

δ c k k ¨ e (7.29)

exp iωt ψ k (7.30) dP

p

d p G ψ p t G 2 G ψ k G 2 (7.31) l 2σ2

0

π n 12

exp l 2σ20 2

p p0 2 n (7.32)

p0= h k 0

dP (p)dp

p

Von Zeit abhangig!!

p d p pdPp

d p p0 (7.33)

Unscharfe

Diese Standardabweichung bei einer Messung der Observablen A am Zustand ψ mit , ψ G A G ψ - A

∆A + , ψ G A A 2 G ψ -$ 12 (7.34) , ψ G A2 2AA A2 G ψ -$ 1

2 (7.35) , ψ G A2 A2 G ψ -$ 12 (7.36)

mit , ψ G 2AA G ψ - 2A , ψ G A G ψ - (7.37) 2A2 Betrachte

A2 A2 G ψ -. 0 (7.38)

wenn G ψ - ein Eigenzustand von A ist, A G ψ - a G ψ - , dann ist A , ψ G A G ψ - a und damit

A2 A2 G ψ - 0 ∆ψ 0 (7.39) Schlussfolgerung geht in beide Richtungen:

Eine Messung ohne Unscharfe ∆A 0 geht nur dann, wenn das System in einem Eigenzustand d G a -des Operators A ist. Dann wird mit Sicherheit der Eigenwert a von G a - gemessen.


7.2 Messung verschiedener Observabler

Betrachte zwei Observablen A und B, dann gilt folgende Unscharferelation∆A 2 ∆B 2 X 1

4 G , ψ G A B G ψ - G 2 (7.40)

wobei A B der Kommutator der Operatoren A und B ist, der definiert ist durch A B ) AB BA (7.41)

Beweis

a A A hermitesch

b B B hermitesch A B a b ∆A 2 , ψ G a2 G ψ -∆B 2 , ψ G b2 G ψ -

Aus der Schwarz schen Ungleichung folgt dann,∆A 2 ∆B 2 G , a2 - G , b2 - G G , aψ G aψ - G , bψ G bψ - G (7.42)¡ aψ ¡ 2 ¡ bψ ¡ 2 X G , aψ G bψ - G 2 (7.43)

Benutze

ab 12

ab ba "Z

γ

12 a b "Z

ε

(7.44)ab ba d b d a d a d b d ba ab ε (7.45)

Ubungen:

γ: hermitescher Operatorε: antihermitescher Operator

ε , ψ G ε G ψ - , εψ G ψ - , ψ G εψ - ε (7.46)

Erwartungswerte rein imaginarG , aψ G bψ - G 2 G , ψ G ab G ψ - G 2 (7.47) 14 G , ψ G γ G ψ "Z

reell

-) , ψ G ε G ψ - "Z imaginar

G 2 (7.48)

J 14 G , ψ G γ G ψ - "Z ¿

0G 2 1

4 G , ψ G ε G ψ - G 2 (7.49) ∆A 2 ∆B 2 X 1

4 G , ψ G A B G ψ - G 2 (7.50)

7.2. MESSUNG VERSCHIEDENER OBSERVABLER 85

1. Vertragliche Observable A B g 0

Zwei Operatoren A und B sind dann und nur dann miteinander vertauschbar (vertraglich), wennsie ein vollstandiges Orthogonalsystem gemeinsamer Eigenvektoren haben. Nimm Eigenbasisvon

A r G an -±t ∑n G an - , an G 1 , an G a n - δnn

A ∑n

an G an - , an G (7.51)

AB ∑nn ¨ an G an - , an G B G an ¨ - , an ¨ G (7.52)

BA ∑nn ¨ G an - , an G B G an ¨ - , an an ¨ . 0 (7.53)

AB BA 0 , an G B G an ¨ - an an ¨ 0 (7.54)

Keine Entartung:

an > an ¨ , an G B G an ¨ - 0 (7.55)§n À n ¨ §

n À n ¨ B G an ¨ - λ G an ¨ - (7.56)

d. h., die Eigenvektoren von A sind auch Eigenfunktionen von B unscharfefreie gleichzeiti-ge Messung von A und B: Systemzustand ist einer der gemeinsamen Eigenvektoren von A und B.

Bei Entartung:

Die Observablen A B C BB M bilden einen vollstandigen Satz von kommulierenden Observa-blen, wenn es genau ein System von Eigenzustanden gibt.

Def: Ein reiner Zustand wird durch die Messung eines vollstandigen Satzes von kommutieren-den Observablen prapariertG ψ - G ψ ai bi ci BB mi B- + G ai bi ci BB mi - (7.57)

Die Zahlen ai bi ci BB mi sind die Quantenzahlen, die den Zustand G ψ - eindeutig festlegen. Istdas System in diesem Zustand, konnen alle Observablen ohne Unscharfe gemessen werden.

2. Nichtvertragliche Observable

Aus prinzipiellen Grunden nicht gleichzeitig scharf messbar.

Wichtiges Beispiel: Ort und Impuls


In Ortsdarstellung, 1d

p i ddx x x (7.58)

p x 9 i ddx x x i d

dx(7.59) i % x d

dx d

dxx & i (7.60)

Betrachte die Wirkung des Operators auf eine Funktion% x ddx d

dxx & ψ

x : x

ddx

ψx d

dxxψx (7.61) x

ddx

ψx ψ

x x

ddx

ψx (7.62) ψ

x (7.63) i % x d

dx d

dxx & ψ

x : i ψ

x (7.64)

x p ) i Vertauschungsrelation

Betrachte

∆A ∆B X 12 G , ψ G A B G ψ - G (7.65)

A p B x x p ) i (7.66)

∆x ∆p 2

Heisenberg sche Unscharferelation

Kapitel 8

Zeitentwicklung des Systems

Postulat 5:

Die Zeitentwicklung des Zustandsvektors G ψ t B- wird durch die zeitabhangige Schrodinger-Gleichungbestimmt

i ∂ G ψ t B-∂t

H G ψ t B- (8.1)

Schrodinger-Gleichung ist erster Ordnung in Zeit G ψ t B- folgt, wenn G ψ t 0 G - G ψ0 - vorgege-ben ist.

Ansatz: G ψ t B-: Ut t0 G ψ t0 B- (8.2)

Ut t0 Zeitentwicklungsoperator i ∂

∂tUt t0 G ψ t0 B-9 HU

t t0 G ψ0 - (8.3) i ∂

∂tUt t0 9 HU

t t0 (8.4)

Wichtiger Spezialfall∂H∂t 0 z. B. bei V V

r nicht V V

r t (8.5) U

t t0 exp

i Ht t0 B (8.6)

Beweis:

Ut t0 9 ∞

∑n 0

1n! i t t0 $ nHn (8.7)

∂∂t

Ut t0 9 ∑

n 1

1n!

i nnt t0 n 1Hn (8.8) i H ∑

n 1 u"Z'm n 1

1n 1 ! i t t0 $ n 1Hn 1 (8.9)

i H Ut t0 (8.10)

87

88 KAPITEL 8. ZEITENTWICKLUNG DES SYSTEMS i ∂∂t

Ut t0 9 H U

t t0 (8.11)

U d exp i H

t t0 B (8.12) U d U exp

i Ht t0 B exp

i Ht t0 B 1 (8.13)

U ist unitar

Teil III

Anwendungen

89

Kapitel 9

Das zentralsymmetrische Potenzial

dreidimensional, Hamiltonoperator rotationsinvariant

9.1 Der Drehimpulsoperator

Konstruktion nach Postulat 2

klassisch * quantenmechanischl r ³ p ˆL ˆr ³ p03 Lx

Ly

Lz

57 03 y pz zpy

z px x pz

x py y px

57Li ist hermitisch, L di Li

L dx y pz z py d p dz y d p dy z d pzy pyz (9.1) y pz z py Lx (9.2) reelle Eigenwerte ˆ mogliche Messwerte

Kommutatorbeziehungen (Ubungen) Lx Ly g LxLy LyLx i Lz Ly Lz ) LyLz LzLy i Lx Lz Lx ) LzLx LxLz i Ly Li und L j mit i > j, nicht vertragliche Variablen konnen nicht gleichzeitig scharf gemessen werden.

Definiere den Operator fur das Quadrat des Drehimpulses.

ˆL2 ˆL2

x ˆL2

y ˆL2

z (9.3)

91

92 KAPITEL 9. DAS ZENTRALSYMMETRISCHE POTENZIAL

es gilt (Ubungen) ˆL2 Lx g ˆL2 Ly ˆL2 Lz ) 0 (9.4)

(d. h., ˆL2ist vertraglich mit Li) Es konnen gleichzeitig das Betragsquadrat und eine Komponente scharf gemessen werden. z. B.

L2 und Lz.

L2 und Lz

z

Lz

L

Abbildung 9.1:

Die Komponenten Ly und Lz sind unbestimmt.

Ortsdarstellung des Drehimpulsoperators

ˆL ˆr ³ p C i r ³ ∇ (9.5)

03 Lx

Ly

Lz

57 i 023 y ∂∂z

z ∂∂y

z ∂∂x

x ∂∂z

x ∂∂y

y ∂∂x

5!67 (9.6)

Ubungen in Kugelkoordinaten (x r sinϑ cosϕ y r sin ϑ sinϑ z r cosϑ)

i 023 sinϕ ∂∂ϑ cot

ϑ cos

ϑ ∂

∂ϕ cosϕ ∂

∂ϑ cotϑ sin

ϕ ∂

∂ϕ ∂∂ϕ

5!67 Áil eϕ

∂∂ϑ 1

sinϑeϑ

∂∂ϕ n (9.7)

L

2 L2x L2

y L2z (9.8) 2 A 1

sinϑ ∂

∂ϑ% sin

ϑ ∂

∂ϑ & 1

sin2 ϑ∂2

∂ϕ2 \ (9.9)

9.1. DER DREHIMPULSOPERATOR 93

ϕ

x

y

z

r

υ

Abbildung 9.2: Skizze zum besseren Verstandnis

Eigenfunktionen der Operatoren L2 und Lz

Die Operatoren L2 und Lz sind vertraglich. Sie haben ein vollstandiges orthonormales System vongemeinsamen Eigenvektoren.

Eigenvektoren von L2

Eigenwertgleichung in Ortdarstellung

L2 φϑ ϕ q 2 A 1

sinϑ ∂

∂ϑ% sin

ϑ ∂

∂ϑ & 1

sin2 ϑ ∂∂ϕ2 \ φ

ϑ ϕ (9.10) L2φ

ϑ ϕ (9.11)

Losung: Kugelfunktionen Yl mφϑ ϕ . Yl m ϑ ϕ

l m ! 2l 1 4πl m Pl m cos

ϑ $ exp

imϕ (9.12)

Hier sind Pl m die Legendre schen Polynome

Pl m x . 1 m2l l!

1 x2 m h 2 dl d m

dxl d m

x2 1 l (9.13)

mit der Bedingungl X m XÂ l

Die Eigenwerte sindL2 2l

l 1 l 0 1 2 3 BBZ (9.14)

d. h.,LzYl n ϑ ϕ I 2l

l 1 Yl m ϑ ϕ (9.15)

Eigenwert 2 ll 1 ist von m unabhangig. 2l 1-fache Entartung dieses Eigenwertes fur

l X m X l.

Beispiel l 3L2 2 l l 1 12 2 (9.16)


Die Eigenvektoren Yl m mitl 3 m 3 l 3 m C 2 l 3 m 1 pBB l 3 m 3 haben

dasselbe Drehimpulsquadrat.

L2 ist ein hermitescher Operator. Eigenfunktionen konnen so gewahlt werden, dass sie ein vollstandiges Basissystem bilden. d Ω '"Zu

Raumwinkel

Y l ¨ m ¨ Ω YlmΩ

1 1

d cosϑ 2π

0

d ϕY l ¨ m ¨ ϑ ϕ Ylmϑ ϕ . δll ¨ δm ¨ m ¨

Orthonormierung∞

∑l 0

m l

∑m l

Y lm ϑ ϕ Ylmϑ ϕ . δ cos

ϑ cos

ϑ $ δ ϕ ϕ (9.17)

Vollstandigkeit

Einfuhrung von abstrakten Vektoren G l m - . Ylmϑ ϕ ist “Ortsdarstellung” von G l m -

Yl m ϑ ϕ , ϑ ϕ G l m - (9.18)

Ortr ˆ Raumwinkel Ω G r - G ϑ ϕ - . , l m G l m -9

dΩYl ¨ m ¨ Ω YlmΩ δl l ¨ δmn ¨ (9.19)

∑l 0

m

∑m l G lm - , lm G 1 Vollstandigkeit (9.20)

Die Ylmϑ ϕ sind so gewahlt, dass sie auch Eigenfunktionen zu Lz sind

LzYlm i ∂∂ϕ

l m ! 2l 1

4πl m ! Pl m cos

ϑ B exp

imϕ (9.21) i im Ylm m Ylm (9.22)

Mogliche Messwerte von Lz sind m .

Anmerkung: Durch die Bildung spezieller Linearkombinationen φ l∑

m lam Ylm hatten wir die Eigenvekto-

ren ϕ auch als simultane Eigenvektoren von Lz und ˆL2wahlen konnen.

9.1. DER DREHIMPULSOPERATOR 95 Die bezuglich L2 entarteten Eigenvektoren G l Ã l - G l l 1 B-pBB G ll - sind bezuglich Lz nichtentartet. Ein Zustand mit den unscharfefrei gemessenen Messwerten

L2 2 ll 1

undlz mh

ist eindeutig bestimmt reiner Zustand. L2 und Lz bilden bezuglich der Funktionen φϑ ϕ einen vollstandigen Satz kommutierender

Observablen. Durch die Angabe der Quantenzahlen m und l ist der quantenmechanische Drehimpulszustandeindeutig bestimmt.

Veranschaulichung

L [h]y

− L [h]z

L [h]x

1

2

4

3

Beispiel l = 3

Die quantenmechanisch erlaub-ten Impulse liegen im Impuls-raum auf diskreten Kugelscha-len mit dem Radius

L ll 1

bezuglich einer (z. B. durch ein schwaches Magnetfeld definierten Achse) kann lz nur bestimmteWerte einnehmen, die durch

cosϑ mF l

l 1 m l BB l (9.23)

gegeben sind.

Die Orthogonalkomponenten Ly und Lx sind unscharf, was einer Prazession um die z-Achse entspricht.


9.2 Schrodinger-Gleichung im zentralsymmetrischen Potenzial

Fur das zentralsymmetrische Potenzial gilt Vr Y V

r . Die zeitunabhangige Schrodinger-Gleichung

lautet dann

Hψr @%~ 2

2m∆ V

r & ψ

r E ψ

r (9.24)

In der Ubung wurde gezeigt, dass wir in Kugelkoordinaten schreiben konnen

∆ 1r2 % ∂

∂rl r2 ∂

∂r n 1 2ˆL2 & (9.25)

mitˆL2 C 2 % ∂2Ylm

ϑ ϕ

∂ϑ2 cosϑ ∂Ylm

ϑ ϕ

∂ϑ 1

sin2 ϑ ∂2

∂ϕ2 & (9.26)

Da ˆL2nur von ϑ und ϕ abhangig ist, gilt∆ ˆL2 g 0 und V r ˆL2 ) 0 (9.27)

Wenn V Vr ϑ ϕ

Vr ϑ ϕ L2 0 weil, z. B. ϕ ∂

∂ϕ Ä> 0, dann folgtH ˆL2 g 0 (9.28)

ˆL2ist in einem zentralsymmetrischen Potenzial eine Erhaltungsgroße.

Weiterhin gilt fur jede Impulskomponente Li, ˆL2 Li g 0 und Li ist nur von ϑ ϕ abhangig, ∆ Li ) 0 V r Li ) 0 (9.29) H Li 0 (9.30)

Jede einzelne Drehimpulskomponente bleibt erhalten.

Die Operatoren H ˆL2 Lz sind ein vollstandiges System kommutierender Observabler und haben ge-nau ein gemeinsames vollstandiges Orthogonalsystem.

Ein reiner Zustand ist ein gemeinsamer Eigenvektor, der durch die Eigenwerte der Operatoren H ˆLund einem Li z. B. (Lz) eindeutig bestimmt ist.Ansatz fur den Eigenzustand

ψr : R

r Ylm

ϑ ϕ (9.31) ^` a ~ 2

2m ÅÆ 1r2

∂∂rl r2 ∂

∂r n 1 2

ˆL2

r2 ÇÈ Vr ÊÉÌËÍ R

r Ylm

ϑ ϕ (9.32) E R

r Ylm

ϑ ϕ (9.33)

9.2. SCHRODINGER-GLEICHUNG IM ZENTRALSYMMETRISCHEN POTENZIAL 97

8 ÅÎÎÆ 2

2m 1r2 ∂

∂rl r2 ∂

∂r n 2

2m l l 1

r2 "Z VDreh

Vr E ÇÐÏÏÈ R

r Ylm

ϑ ϕ (9.34)

V le f f V

r ) 2

2m l l 1

r2 (9.35) % 2

2m1r2

ddr

l r2 ddr n V l

e f f

r E & Rl

r 0 (9.36)

Ubungen

Ansatz

Rlr χl

r

r% 2

2md2

dr2 V le f fr E & χl

r 0 (9.37)

Regularitatsbedingungχlr 0 0 und V

Br . ∞ 0 Fur E J 0

Fur jedes E gibt es genau eine Losung.

E 0Diskrete Eigenwerte En Rlr

durch Angabe von E J 0 oder En 0 eindeutig bestimmt. ψr . Rl

r Ylm

ϑ ϕ

durch die Angabe von E l und m vollstandig bestimmt.

Beispiel: rechteckiger Potenzialtopf

−V0

E2

E1

r

a

V0 >0

V

Kurzreichweitiges Potenzial es gibtein R0, sodass V

r J R0 0 ist.

Ansatz fur r J aE J 0

χr J a : B exp

ikx g C exp

ikx (9.38)

E 2

2mk2 (9.39)


Fur r a

χ Ñ 2m 2

Ve f f E χ 0 (9.40)

χr 0 9 0 (9.41)

Die Losung ist bis auf die Normierungskonstante A eindeutig

χr a Aχ0

r

Im Potenzialtopf

χ0r sin

k Ò x k ÒÓ F 2m

E V0 (9.42)

Stuckelungsbedingungen fur Wellenfunktionen und deren Ableitung bei r a

Fur jede Energie gibt es eindeutig festgelegte Koeffizienten A und B eindeutige Losung.

Fur E 0

χr J a : B exp

κx ) C expκx (9.43) E 2

2mκ2 (9.44)

Normierbarkeit von χ Alle mathematisch moglichen Losungen mit C > 0 mussen verworfen wer-den. C 0. Nur bei diskreten Energien En gibt es genau eine Losung.

9.3 Das Wasserstoffatom

mp = me Vereinfachung des Zweikorperproblems. Das Elektron bewegt sich im Coulombpotenzial

des ortsfesten Protons beirp 0

r re rp re µ me1 d me

M me m. A 2

2m∆ e2G r G E \ ψ

r 0 (9.45)

Ansatzψr Re

r Yln

ϑ ϕ r χe

r Yln

ϑ ϕ (9.46)

fuhrt auf die Gleichung ÅÎÎÎÆ 2

2m d2

dr2 e2G r G Ô 2

2m l l 1

r2 "! Ve f f

E ÇÐÏÏÏÈ χlr 0 (9.47)

Kepler Problem

Ve f f L2

2mr2 γmM

r(9.48)

Schwierigkeit:langreichweitiges Potenzial, d. h. es gibt kein R0 fur das gilt, V

r J R0 ² 0 Losung der Radial-

gleichung schwieriger als bei kurzreichweitig.

9.3. DAS WASSERSTOFFATOM 99

E = Eminl

ool =

e²r−

2m r²= V

Drehh² l(l +l)

steilerAnstieg

Veff schneller Abfall

klassisch r

elliptische Bahn E > E lmin

kontinuierliche Energie

klassische kreisförmige Bahn

schematisch


Losung der Radialgleichung

Allgemeine Forderungen fur V

limr ¤ ∞

Ve f fr 0 lim

r ¤ 0Ve f f

r 0 (9.49)

Das Verhaltem am Ursprung wird durch den Drehimpulsterm bestimmt

χ ll 1 r2 χ 0 (9.50)

lineare Dgl. 2. Ordnung ergeben zwei linear abhangige Losungen χi i 1 2χi crκi κ1 l 1 κ2 C l

χ2 cr l scheidet wegen limr ¤ 0 r l ∞ aus. χr crl d 1 Losung fur V , eindeutig bestimmt

Losung uberall eindeutig.

Asymptotisches Verhaltenr ∞ Ve f f 0% 2

2md2

dr2 E & χr 0 (9.51)


Gebundene Zustande: E 0

χr B exp

κr ) C exp

κr κ j 2mE J 0 (9.52)

B 0 χr ∞ C exp

κr (9.53)

Konstruktion der Losung im gesamten Bereich durch Sommerfeld sche Polynommethode.

Ansatzχr exp

κr rl d 1 Pr (9.54)

mit dem PolynomansatzPr ∑

k

αkrk (9.55)

Das Einfuhren einer dimensionslosen Variablen fuhrt zu

ρ raB

aB 2

me2 0 53A Bohr scher Radius (9.56)

Betrachte mp = me rp 0r

re rp re

µ me

1 memp

me m

Schrodinger Gleichung ^___` ___a 2

2m∆ e2

r "Z V c r e zentralsymmetrisch

EÉ ___Ë___Í ψ

r 0 (9.57)

Ansatz

ψr χe

r

rYlmϑ ϕ (9.58)

Radialgleichung

ÅÎÎÎÎÎÎÎÆ ~2

2m d2

dr2 e2

rÔ 2

2m l l 1

r2 "Z VDreh "Z

Ve f f

ÇÐÏÏÏÏÏÏÏÈ E χer 0 (9.59)


V

r

eff

V

proportional 1r²

proportional − 1r

Abbildung 9.4:

Quanten-Kepler-Problem

Vgrav γmMr

| V e2

r(9.60)

Ve f f gravr 9 L2

2mr2 γmM

r(9.61)

L2: klassisches Drehimpulsquadrat kontinuierlich

l l 1 2: quantenmechanisches Drehimpulsquadrat, diskret l 0 1 2 BBB Planetenbahnen: 2 sehrklein, aber l extrem groß

∆l2

l 1 l 2 2 l l 1 2 2l 1 2 ∆

l2

l2 2l 1 2

l l 1 2 2l 0

Quantelung irrelevant.


Fur E 0 gebundene Zustande

Klassisches Kepler-Problem

a.) periodische planare Kreisbahnenr ρ ρ0

ϕ0

ρy

ρx

ϕ

Abbildung 9.5: Kreisbahn

b.) periodische planare Ellipsenρt ϕ t

l erhalten. Fur Kreise ϕ lµρ0 ω

ρy

ρmin

maxρ

ρx

Abbildung 9.6: Ellipsen

9.3. DAS WASSERSTOFFATOM 103 ϕ lµρt (9.62)

Bewegung in ρ Koordinaten, bestimmt durch Energieerhaltung

E µ2

ρ2 e2

2µρ V

ρ µ

2ρ2 Ve f f

ρ (9.63) 1d-Bewegung im Potenzial Ve f f ˆ Radialgleichung in der Quantenmechanik.

nicht betrachtet E J 0

klassisch: Hyperbelbahn - nicht periodisch frei, Quantenmechanik = Streuzustand.

V

0 > E > E min

Emin

ρ0ρmin ρmax

Ellipse

Kreisbahn

ρ

Abbildung 9.7:

Umkehrpunkte ρ 0E Ve f f

ρmin Ve f f

ρmax (9.64)

Quantenmechanik: die Radialgleichung fuhrt fur E 0 zur Quantisierung der Bewegung in r Richtung.% 2

2md2

dr2 e2

r 2

2mll 1 r2 E & χl

r (9.65)

ist Eigenwertproblem.

Losungsansatz nach Sommerfeld scher Polynommethode

χlr : exp

κr rl d 1 Pr (9.66)

Pr : ∑

k

αkrk κ i 2mE (9.67)


Korrektes Verhalten von χl fur r 0 und r ∞. Durch Einfuhren dimensionsloser Variabler erhaltenwir

ρ raB

aB 2

me2 0 53A Bohr scher Radius (9.68)

η i EER

ER 2

2maB 13 6eV (9.69) % d2

dρ2 2ρ ll 1 ρ2 η2 & χl

ρ 0 (9.70)

Einsetzen vonχρ exp

ηρ ρl d 1 Pρ (9.71)

fuhrt auf die Dgl. fur das Polynom

P ρ ) 2 l l 1ρ

η n P ρ p 2ρ 1 η

l 1 $ ¶

ρ 0 (9.72)

Einsetzen von

Pρ k0

∑k 0

ακρk (9.73)

fuhrt aufk0

∑k 0

ρk 1 r αk d 1k 1 k 2

l 1 $Ñ 2αk

1 ηk l 1 $¯t¦ (9.74)

Fur alle ρ αk d 1 2ηl k 1 1

k 1 k 2l 2 ak (9.75)

Frage: Kann k0 unendlich sein?

Fur k ∞ak d 1

αk 2η

k(9.76)

Betrachte die Reihe fur exp 2ηρ

exp2ηρ 9 ∑

k

2ηρ k

k! ∑k

βkρk βk 2η kk!

(9.77)

βk d 1

βk 2η

k 1/ 2η

k (9.78)

Fur große ρ (große k wichtig in der Potenzreihe)

Pρ ∝ exp

2ηρ χ

ρ exp

ηρ ρl d 1 Pρ / exp

ηρ ´ (9.79)

divergent, d. h. nicht normierbar. Abbrechen bei k0 erfordert

0 ηl k0 1 1 η 1

l k0 1 (9.80)


Hauptquantenzahl

Definiere die ganze Zahl n (Hauptquantenzahl)

n l k0 1 (9.81) En ER

n2 n 1 2 3 (9.82) Quantisierung der zugelassenen Energien χlr x* χnl

r und Rl

r Rnl

r

k0 ist die Radialquantenzahl: Anzahl der Knoten von Rnlr .

Bahndrehimpulquantenzahl l:

Wegen k0 X 0 und l X 0 muss gelten:

0 l n l 0 1 BBB n 1

En ist unabhangig von l n-fache zufallige Entartung des Eigenwertes En.

Bezeichnung in der Chemie l 0 s-Orbitalel 1 p-Orbitalel 2 d-Orbitalel 3 f-Orbitale

Magnetische Quantenzahl m: l BBB 0 BBB± l 2l 1 fache Entartung von n Gesamtentartung des Energieniveaus n

gm 2 u"ZuSpin

n 1

∑l 0

2l 1 2n2 (9.83)

Zur Form der Orbitale

n 1 l 0 "Z nur s-Orbital

m 0

l 0 kein Drehimpulspotenzial R0 Õ> 0

n 2 l 0 s-Orbital m 0

zufallige Entartung Öl 1 p-Orbital m 1

m 0m 1

ÉÌËÍ gleiche Radialfunktion


Abbildung 9.8:

Die normierten Radialfunktionen Rnlr (links) und die normierten radialen Wahrscheinlichkeitsdich-

ten Wnlr (rechts) fur das Wasserstoffatom.


Abbildung 9.9:


n 3 l 0 s-Orbital

l 1 p-Orbital m 1m 0m 1

l 2 d-Orbital m 2m 1m 0m 1m 2

n0 = 0

χ 22

χ00

χ 11 r

l = 0

l = 1

l = 2

Abbildung 9.10:


Das Wasserstoffatom - Wiederholung der Vorlesung

mp ∞ µ me m

e

mp

mProton

Elektron

r

Schrodinger-Gleichung A 2

2m∆ l2

r E \ ψ

r 0 (9.84)

Losung

ψr ψnlm

r χnl

rYlmϑ ϕ +, r G nlm - (9.85)G nlm - abstrakter Zustandsvektor charakterisiert durch die Quantenzahlen n l m.

E En ER

n2 2

2ma2B

1n2 # 13 6eV

1n2 (9.86)

aB 2

me2 0 53 A (9.87)

χnlr bestimmt durch Radialgleichung% 2

2m d2

dr2 e2

r 2

2m l l 1

r2 En & χnlr . 0 (9.88)

Ylnϑ ϕ mit l m l sind Kugelfunktionen.

m X 0

Ylm 1 n 2l 14π

l m !l m ! Pm

l cos

ϑ $ exp

imϕ (9.89)

Pml zugeordnetes Legendre Polynom.

m 0Ylmϑ ϕ 1 m Y m

l

ϑ ϕ $ (9.90)

Beispiele:

l 0 m 0 Y 1j 4π

l 1 m ^___` ___a 1 : Y11 H 38π sin

ν exp

iϕ

0 : Y10 H 34π cos

ν 1 : Y1 1 H 3

8π sinν exp

iϕ


Polardiagramme:

Betrachte G Θmlϑ G 2 2π G Ylm

ϑ ϕ G 2 (9.91)

= Winkelabhangigkeit der Dichteverteilung (nur von ϑ abhangig).

l 0m 0

G θ00ϑ G 2 1

2(9.92)

| | ( ) |²θ υ00

x, y

z

12

υ

Abbildung 9.11:

l 1 m 1 G θ × 11

ϑ G 2∝ sin2 ϑ (9.93)

l 1 m 0 G θ01ϑ G 2∝ cos2 ϑ (9.94)

Aquivalente:

Wahl der drei Orthonormierten Eigenzustande fur l 1, in Chemie haufig benutzt.

φ11ϑ ϕ 9 1j 2

Y11ϑ ϕ ) Y1 1

ϑ varphi $ (9.95) «i 3

4πsinϑ sin

ϕ (9.96)

φ21ϑ ϕ 9 Y10

ϑ ϕ Øi 3

4πcosϑ (9.97)


z

x, y

Abbildung 9.12:

x, y

z

Abbildung 9.13:

φ31ϑ ϕ 9 1j 2

Y11ϑ ϕ Y1 1

ϑ ϕ $ (9.98) «i 3

4πsinϑ cos

ϕ (9.99)

In abstrakten Hilbertraum-Vektoren G φ11 -9 1j 2

G 11 -B G 1 1 -$G φ01 -9 G 10 -G φ 1

1 -9 1j 2 G 11 -´ G 1 1 -$

Die Zustande G φi1 - sind orthonormal

112 KAPITEL 9. DAS ZENTRALSYMMETRISCHE POTENZIAL Eigenvektoren von L2 , aber nicht von L2z reiner Zustand, weil wohldefinierte Linearkombination von reinen Zustanden.G ϕi

1 - ∑m

aim G 1m - und damit ist G φi

1 - genau definierter Hilbertraum-Vektor 0 reiner Zustand.

Im Gegensatz zum Zustandsgemisch:

System wird durch ein Ensemble r G ψi -±t von reinen Zustanden r G ψi -±t beschrieben. Fur jeden dieserZustande ist nur die Wahrscheinlichkeit Pi R d seines Auftretens bekannt mit ∑

iPi 1. Der system-

beschreibende Hilbert-Vektor ist nicht bekannt.Betrachte

ϑ π2

sinϑ 1

G φ11ϕ G 2∝ sin2 ϕ (9.100)

y

xϕ

= "px − Orbital"

Abbildung 9.14:

G φ31ϕ G 2∝ cos2 ϕ (9.101)

G φ21 G 2 “pz Orbital (9.102)

Bsp.: Der reine Zustand (hier in Ortsdarstellung)

φϑ ϕ . 3

∑i 1

ai φi1ϑ ϕ (9.103)

ist normalerweise nicht bekannt. Insbesondere die Phase mit der sich die φ i1 uberlagern, ist schwer

ermittelbar. Aber: die Rotationssymmetrie ist gegeben. Daraus folgt

P1 Wahrscheinlichkeit von φ11 P2 P3 1

3

Das Zustandsgemisch ist bekannt, es beinhaltet weniger Information insbesondere uber Phasenlagen.


y

x

= "py − Orbital"

Abbildung 9.15:

Einfaches Atommodell fur wasserstoffahnliche Atome

Betrachte ein Atom mit der Ordnungszahl Z Kernladung Z und Z Elektronen

Z +

Z = 5

−

− −

−−

Abbildung 9.16:

Naherung: Die Elektronen sehen ein effektives zentralsymmetrisches Potenzial, dass dem 1r Potenzial

nahe kommt. Energieniveaus bilden die Termschalen Schalenmodell.

n 1 E E1 K-Schale l 0 m 0 g1 2

n 2 E2 L-Schalel 0 m 0l 1 m 1 0 1 \ g2 8

n 3 E3 M-Schalel 0 m 0l 1 m 1 0 1l 2 m 2 Ã 1 0 1 2 É ËÍ g3 18


Pauli-Prinzip:

Fermionen (Teilchen mit halbzahligem Spin). Jeder Zustand darf nur mit einem Elektron besetzt wer-den.

3s 3p 3dn = 3

n = 2 2s 2p

n = 3 1s

l = 0 l = 1

l = 0

L − Schale 2 Elektronen

Abbildung 9.17:

Das Pauli-Prinzip wird als neues unabhangiges Prinzip fur Vielfermionensysteme eingefuhrt.

Kapitel 10

Der Spin

Aufspaltung der Eigenzustande von L2 im Magnetfeld

Aus der Elektrodynamik folgt, dass jedem BahndrehimpulsL ein magnetisches Moment

M zugeordnet

ist. M q

2m

L (10.1)

wobei q die Ladung und m die Masse des Teilchens sind. Die Energie eines magnetischen Momentsin einem außeren Magnetfeld ist

HB B M # q2m

BL (10.2)

Wir wahlenB B0

ez und gehen zur Quantenmechanik uber, indem wir die Observable durch den

Operator ersetzen

HB q2m

B0LzB0 keine Systemobservable (10.3)

BetrachteH H0 HB (10.4)

H0 = Hamiltonoperator bei B 0, zentralsymmetrisch

H0 G n l m -. E0nl G n l m - (10.5)

HB: bricht Rotationssymmetrie. Es gilt jedoch H H0 g H L2 g H0 L2 ) 0 (10.6) G n l m - bleiben die Eigenfunktionen von H.

H G n l m -: H0 G n l m -) HB G n lm - (10.7) E0nl G n l m - qB0

2mLz G n l m - (10.8) E0

nl G n l m - q2m

B0 m G n l m - (10.9) Enlm G n l m - (10.10)

Enlm E0nl e

2mB0 m (10.11)

Aufspaltung ∆E µBB0

115

116 KAPITEL 10. DER SPIN

p

s

m = − 1

m = 0

m = 1

s−Niveau unverändert wegenm = 0

µB e 2m

Bohrsches Magneton (10.12)

Zeeman-Effekt: Niveauaufspaltung linear mit Magnetfeld gemessen.

Komplikation:

Der Bahndrehimpuls ist nicht die einzige Quelle des magnetischen Moments. Es existiert ein innererDrehimpuls

S (Spin, Drall), der klassisch nicht verstandlich ist. Dieser fuhrt zu einem zusatzlichen

magnetischen Moment MS 2µB

S (10.13)

Stern-Gerlach-Versuch

Abbildung 10.1: Der Stern-Gerlach-Versuch

Auch mit neutralem H l 0.

H muB + Vm (10.14)

Fz ∂Vm

∂z µz

∂B∂z

(10.15)

Experiment Es gibt zwei diskrete Werte fur µz. Annahme zur Erklarung: Es existiert ein innererDrehimpuls der ein magnetisches Moment erzeugt.

117µS gS

q2m

j (10.16)

gS : g-Faktor ˆ Abweichung von klassisch erwartetem Wert.

Zwei Werte furµS z S 1

2

Sz 12 mS (10.17)

S2 2 12l 1

2 1 n G S G i 3

4(10.18)

12

m = −

ms = 12

34|S| = h

Experimentell: gS 2 !!! klassisch vollig unverstandlich

Mathematische Formulierung des Spins Es gibt einen Spin-OperatorS mit den Vertauschungsrelationen des Drehimpulses Si S j Ù i ∑k

εi jk Sk (10.19)

Bsp. Sx Sy Ù i Sz (10.20)

und Si S2 g 0 (10.21) Sz hat zwei Eigenwerte 2Sz G k- 2 G k- (10.22)

Darstellung mit 2 x 2 Matrizen


Sz Sz 2l 1 0

0 1 nG k- l 01 n Zweikomponentenvektor ˆ SpinorG Ú- l 01 n

Aus den Kommutatorrelationen folgen dann die Darstellungsmatrizen

Sx 2l 0 1

1 0 nSy

2l 0 i

i 0 n sodass wir schreiben konnen

Si 2

σi (10.23)

σx l 0 11 0 n l 0 i

1 0 nσz l 1 0

0 1 n Pauli-Matrizen Dem Teilchen wird ein innerer Freiheitsgrad zugeordnet Der Zustandsraum H ist der Pro-duktraum aus den bisher behandelten raumlichen Zustandsraum HRaum und dem Spin-ZustandsraumHSpin.

H HRaum ° HSpin (10.24)

Die Basis dieses Raumes muss daher um den Spin-Freiheitsgrad erweitert werden.G r - G r mS - mS G 1 GIn der Ortsdarstellung hat die Wellenfunktion daher zwei Komponenten, r ( G ψ -: ψ d r (10.25), r Ã G ψ -: ψ r (10.26)

und kann daher als Spinor l ψ d r

ψ r n

119

dargestellt werden.G ψ d r G 2: Wahrscheinlichkeit das Spin am Ortr nach obenG ψ r G 2: dto. nach unten

d3r G ψ d r G 2 G ψ r G 2 (10.27)

Kapitel 11

Der harmonische Oszillator

Betrachte den Hamiltonoperator

H p2

2m mω2

2x2 (11.1)

der in einem eindimensionalen parabolischen Potenzial resultiert. Zur Bestimmung der Eigenvek-toren und -werte konnte man wie beim Wasserstoffatom die zeitabhangige Schrodinger-Gleichungin Ortsdarstellung aufstellen und mit der Sommerfeld schen Polynommethode losen. Eine andereLosungsmoglichkeit des Eigenwertproblems ist die algebraische Methode, die auf der Einfuhrungvon Leiteroperatoren beruht.

a i mω2 l x ip

mω n Vernichtungsoperator (11.2)

a d i mω2 l x ip

mω n Erzeugungsoperator (11.3)

Offensichtlich sind weder a noch a d hermitesch, aber es gilta d a d d a

Wir erhalten weiterhin a a d Ù mω2 % x ip

mω x ip

mω & (11.4) i2 x Ã p Ñ i

2 p x (11.5) i x p u"Zui g 1 (11.6)

Weiterhin definieren wir den hermiteschen Besetzungszahloperator

N a d a (11.7) mω2 l x ip

mω n l x ipmω n (11.8)

121

122 KAPITEL 11. DER HARMONISCHE OSZILLATOR mω2 l x2 p2

m2ω2 n mω2 i

mω x p px "Z Û

x p ÜÌ i (11.9)

1 ω% p2

2m mω2

2x2 & 1

2(11.10) H ω

12

(11.11) H ω l N 12 n (11.12) H N ) 0 H und N haben ein vollstandiges gemeinsames Orthonormalsystem G n - .

N G n - n G n -n sind die Eigenwerte von N. Weiterhin ist

H G n -: l n 12 nÓ ω G n -. En G n - (11.13) En l n 12 nÓ ω (11.14)

Zur Feststellung der Bedeutung der Operatoren bilden wir (wir lassen die “Hute” uber den Vektorenweg) N a a d a a g a d aa a d aa a d a a # aN a d a d aa d a d a d a a d a a d ) a d Wir finden daher

N a G n -9 aN G n - a N G n - (11.15) an G n - a G n - n 1 a G n - (11.16)

Hier wieder der Hut uber den Operatoren!

N a G n -: n 1 a G n - (11.17)

a G n -: C G n 1 - (11.18)

Das Adjungierte der Gleichung, a n G , n G a d C , n 1 G (11.19) , n G a d a '"Zun bC b 2 G n -: G C G 2 , n 1 G n 1 - (11.20)

Wahle C reell C j n a G n -: j n G n 1 - Absteigeoperator = Vernichtungsoperator (11.21)

123

und analoga d G n - j n 1 G n 1 - Aufsteigeoperator = Erzeugungsoperator (11.22)

Betrachte die Folge von Zustanden die durch wiederholte Anwendung von a auf den Zustand G n -resultieren.

a G n -: j n G n 1 - (11.23)

a2 G n -: F nn 1 G n 2 - (11.24)

a3 G n -: F nn 1 n 2 G n 3 - (11.25)

ai G n -: F nn 1 pBB n i 1 G n i - (11.26)

Es gibt zwei unterschiedliche Falle:

(a) n N0 Serie bricht ab, wenn n 1 i 0 i n 1

an d 1 G n - 0 der Zustand G 1 - kann nicht konstruiert werden.

(b) n N Serie bricht nicht ab. Zustande mit negativem Eigenwert n

N G n -. n G n - n 0

konnen konstruiert werden. Dieses fuhrt aber auf einen Wiederspruch, denn, n G n G n - , n G N G n - , n G a d a G n - , an G an - X 0

Skalarprodukt positiv definiert. n N0

En n 1 2 ω

n 0 Zustand mit kleinster Energie ω2 Grundzustand.

Konstruktion der Grundzustandswellenfunktion:

Nimm

a G 0 - 0

in Ortsdarstellung % mω

ddx x & ψ0

x : 0 (11.27) % x2

0ddx x & ψ0

x : 0 mit x0 i

mω(11.28) ψ0

x : 1

π1 4 j x0exp w 1

2l x

x0 n 2 y , x G 0 - (11.29)

124 KAPITEL 11. DER HARMONISCHE OSZILLATOR

Wir berechnen , x G 1 - nach a d G n -. j n 1 G n 1 - in Ortsdarstellung

ψ1x I 1j 2x0

l x x20

ddx n ψ0

x . , x G 1 - (11.30)

Allgemeine Formel

ψnx I , x G n -: 1j n!

, x G a d n G 0 - (11.31) 1j n!l 1j 2x0 n n l x x2

0ddx n n

ψ0x (11.32) 1F j π2nn!

1

xn d 1 h 20

l x x20

ddx n n

exp l x2

2x20 n (11.33) 1F j π2nn!x0

exp l. x2

2x20 n Hn l x

x0 n (11.34)

Hny : Hermitesches Polynom

H0y . 1 H1

y 2y

H2y 4y2 2 H3

y 8y3 12y

H4y 16y4 48y2 12 H5

y 32y5 160y3 120y

ψnx ^______` ______a

symmetrisch fur "Z gerade Funktion

n gerade

asymmetrisch fur "Z ungerade Funktion

n ungerade

V G x G ∞ ∞ kein Kontinuum, nur gebundene Zustande vollstandig diskretes Spektrum En n 1 2 ω. Eigenfunktion ψn konnen reell gewahlt werden.

Realistisches Potenzial Klassische Aufenthaltswahrscheinlichkeit

xt mit Periodendauer T

ωklx dx dt

T 2 2ω2π

dt ωπ

dxdx dt

quantenmechanische Aufenthaltswahrscheinlichkeit

ωqux dx G ψn

x G 2 dx

125

Abbildung 11.1:

Oszillierendes Wellenpaket

Bisher haben wir stationare Losungen der Schrodinger-Gleichung betrachtet. Diese entsprechen einerzeitlich konstanten Verteilung der Aufenthaltswahrscheinlichkeit

ωnx . G ψn

x G 2 (11.35)

Klassisch wird die Bewegung eines Massenpunktes im harmonischen Potenzial durch eine Oszillation

xt x0 cos

ωt δ (11.36)

beschrieben, wobei x0 die frei wahlbare Amplitude ist und δ die frei wahlbare Anfangsphase. Dieseklassisch bekannte Bewegung entspricht einer sich periodisch verandernden Aufenthaltswahrschein-lichkeit. Wie kann eine solche Bewegung quantenmechanisch beschrieben werden?

Antwort: Die klassische Oszillation xt eines Massenpunktes entspricht in der Quantenmechanik dem

Zeitverhalten des Ortserwartungswertes , ϕ t G x G ϕ t B- eines Wellenpaketes G ϕ t B- .Wir schreiben G ϕ t B-: U

t 0 G ϕ t 0 B- (11.37)

Ut 0 q ∑

n 0

exp l iEn t nCG ϕn - , ϕn G (11.38)


freies Kontinuum

parabolische Näherung

V (x)

Grundzustand

gebundene angeregte Zustände

parabolische Näherung bricht zusammen

Abbildung 11.2:

Zeitentwicklungsoperator G ϕ t B-: ∑n 0

exp in 1 2 ω t G ϕn - , ϕn G ϕ t 0 "!

Cnc 0 e - (11.39) ∑

n 0

Cn0 exp

in 1 2 ω t G n - (11.40)

Cn0 : Entwicklungskoeffizienten, die durch die Anfangsbedingungen ϕ

x t 0 festgelegt sind.

Das Adjungierte , ϕ t G ∑n 0

C n 0 exp in 1 2 ω t Z (11.41)

Wir finden damit, ϕ t G x G ϕ t B-: ∑n mC n 0 Cm

0 , n G x G m - exp

im n ω t (11.42) i

2mω

∞

∑n 1

j n C n 10 Cn

0 exp

iωt C n 0 Cn 10 exp

iωt (11.43) i

2mωRe w ∞

∑n 1

j nC n 10 Cn

0 exp

iωt y (11.44)+ x0 cosωt δ (11.45)

Der Erwartungswert im harmonischen Oszillator vollzieht genau dieselben Oszillationen wie der klas-sische Oszillator. Die genaue Ubereinstimmung ist eine Eigenheit des Oszillators.

Allgemein: Ehrenfest-Theorem.

127

Abbildung 11.3:

Kapitel 12

Bohr-Sommerfeld-Quantisierung fur denharmonischen Oszillator

Postulat: Fur geschlossene klassische Bahnen gilt fur ein Teilchen in einer Dimension die Bedingung

im Phasenraum

quantenmechanischerlaubt TrajektorieÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝLÝ

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p

x

klassische Trajektorien(x (t), p (t))

Fn

Fn á pdq n α h n 1 2 BB (12.1)

α: nicht a-prion bestimmbare Konstante

Fn: Flache von der n-ten “quantenmechanisch erlaubten” Phasenraumtrajektorie eingeschlossen. (Pha-senraumvolumen)

129

130KAPITEL 12. BOHR-SOMMERFELD-QUANTISIERUNGFUR DEN HARMONISCHEN OSZILLATOR

Fur harmonischen Oszillator

H p2

2m mω2

2x2 E ω k

m(12.2)

k: Federkonstante

131

Phasenraumbahnen sind Ellipsen

x max = 2 Em ω²

pmax = 2 m E

p

x

Abbildung 12.1:

á pdx πpmax xmax n α h (12.3) En

ω

n α (12.4) En n 1

2 ω α 1

2(12.5)

pmax j 2mE j 2 j mω j n 1 (12.6) j 2∆p (12.7) i 2Emω2 j 2 i

mω "! x0

j n 1 (12.8)

Paritat der Wellenfunktion , x G n -Fuhre den Paritatsoperator ein

P fx f

x P2 fx f

x P2 1 (12.9)

Eigenwertgleichung

Pϕx : λϕ

x (12.10) P2 ϕ

x : λ2 ϕ

x ϕ

x (12.11) λ 1 zwei Eigenwerte (12.12)

132KAPITEL 12. BOHR-SOMMERFELD-QUANTISIERUNGFUR DEN HARMONISCHEN OSZILLATOR

mit Eigenfunktionen

λ A 1 : ϕx . ϕ

x ϕ d x 1 : ϕx . ϕ

x ϕ x Paritatsoperator ist hermitesch

∞ ∞

dxϕ x Pψx q ∞ ∞

ϕ x ψ x dx (12.13) dx dx ∞ ∞

dxϕ x ψ x q ∞ ∞

dxPϕx B ψ x (12.14) P d P

Aus P2 1 PP d P ist unitar.

Wir finden fur den harmonischen Oszillator

H 2

2md2

dx mω2

2x2 (12.15)

PH H PH HP H P 0 (12.16) H und P haben ein vollstandiges gemeinsames Orthonormalsystem. Da H keine Entartung auf-weist, ist dieses eindeutig durch G n - gegeben.

Allgemein fur 1d-Problem mit Vx Y V

x P H z 0 Eigenfunktionen konnen mit definierterParitat gewahlt werden.

Kapitel 13

Zeitunabhangige Storungstheorie

Betrachte die zeitunabhangige Schrodinger-Gleichung

H G ψ - H0 V G ψ - E G ψ - (13.1)

Aufteilung im “ungestortes Problem”, das als gelost vorausgesetzt wird

H0 G n -. εn G n - (13.2)

und eine Storung V . Beispiel: H0 Hamiltonoperator fur H-Atom, V Storung durch ein extern angeleg-tes Feld Veranderung der Energieniveaus (Stark-Effekt).

13.1 Storungstheorie ohne Entartung

Keine Entartung der G n - .Betrachte Eigenwertgleichung

H0 λV G ψ λ B-. Eλ G ψ λ B- (13.3)

reeller Parameter λ, fur

λ 1 zu losendes Problemλ 0 gelostes Problem

Ansatz: Entwicklung der Losung in Potenzen von λ

Enλ 9 εn ∑

ν 1

λν Ec ν en (13.4)G ψn

λ B-9 G n -) ∞

∑ν 1

λν G ψνn - (13.5)

gesuchte Losung fur λ 1,

En En1 : εn E

c 1 en E

c 2 en oBB (13.6)G ψn -: G ψn

1 B-. G n -B G ψ c 1 en -B G ψ c 2 en -pâBBB (13.7)

133

134 KAPITEL 13. ZEITUNABHANGIGE STORUNGSTHEORIE

Idee: wenn V hinreichend schwach ist, bringen schon die linearen Korrekturterme Ec 1 en und G ψ c 1 en -

eine gute Naherung.

Setze unseren Ansatz in die Schrodinger-Gleichung mit dem Parameter λ ein!H0 λV w G n -) ∞

∑ν 1

λv G ψvn - y w εn ∞

∑v 1

λv Ec nu en y w G n -) ∞

∑nu 1

λν G ψνn - y (13.8)

Sortiere nach Potenzen von λ!

λ0: H0 G n -. εn G n -λ1: V G n -p H0 G ψ c 1 en - εn G ψ c 1 en -) E

c 1 en G n -

λ2: H0 G ψ c 2 en -) V G ψ c 1 en - εn G ψ c 2 en -) Ec 2 en G n -) E

c 1 en G ψ1

n -Hierarchie von Gleichungen

Storungstheorie 0. Ordnung Gleichung mit λ0

1. Ordnung Gleichung mit λ1

2. Ordnung Gleichung mit λ2

1. Ordnung Ec 1 en V G n - H0 εn G ψ1

n - (13.9)

Entwickle G ψ c 1 en - in das Basissystem der G n -G ψ c 1 en - ∞

∑m 1

ac 1 en m G m - (13.10)

Daraus folgt:

Ec 1 en G n -) ∑

m 1

εn εm a c 1 en m G m - V G n - (13.11)

Projektion auf , k G εn εk a c 1 en k E

c 1 en δn k , k G V G n - (13.12)

Setze n k Ec 1 en , n G V G n - (13.13)

Setze n > k ac 1 en k , k G V G n -

εn εk

k > n (13.14)

1. Ordnung

En+ εn E

c 1 en εn , n G V G n - (13.15)G ψn - + G n -B G ψ c 1 en - G n -) ∑

k À n

, k G V G n -εn εk G k - (13.16)

13.1. STORUNGSTHEORIE OHNE ENTARTUNG 135

Betrachte 2. Ordnung

H0 G n - εn G ψ c 2 en V G ψ1n - E

c 2 en G n -p E

c 1 en G ψ c 1 en - (13.17)

Projektion auf G n - durch Multiplikation der linken Seite , n G . , n G V G ψc 1 en '"Zu

∑k ãä n å k æ V æ n çεn è εk æ k ç - E

c 2 en E

c 1 en, n G ψ c 1 en "Z

a é 1 ênn 0

- (13.18)

8 ∑k À n

, n G V G k - , k G V G n -εn εk

Ec 2 en (13.19)8 E

c 2 en ∑

k À n

G , n G V G k - G 2εn εk

(13.20)

Storung des Energiewertes in zweiter Ordnung

Beispiel: Quadratischer Stark-Effekt

Betrachte H-Atom im Grundzustand, r G 100 -. 1H πa3B

exp l rab n (13.21)

Storung durch konstantes elektrisches Feld

E 0 0 Ez Vr e

Er eEz z (13.22)

1. Ordnung

E1100 , 100 G V G 100 - eEz

1

πa3B

d3 r z exp l 2r

aB n 0 Zweite Ordnung

z r cosϑ ∝ rY10

ϑ ϕ (13.23) , nlm G z G 100 - ∝

d3 rRn l r Y l m ϑ ϕ rY10ϑ ϕ exp

r aB αδm 0 δl 1 dr d3 Rn l r exp

r aB (13.24) Ec 2 en ∑

n l m À 1 00

G , n l m G V G 100 - G 2εn l ε10

∑n 2 u"Zu

n nr d l d 1

G , n 1 0 G V G 100 - G 2εn1 ε1

(13.25)

94

a3B E2

z quadratischer Stark-Effekt (13.26)


Klassische Erklarung

e−

E+

e−

+

ohne Feld

P

Dipol−moment

| P | = E α

α : Polarisierbarkeit

Abbildung 13.1:

Energie des Dipols im elektrischen Feld

V P E αE2z (13.27)

13.2. STORUNGSTHEORIE MIT ENTARTUNG 137

13.2 Storungstheorie mit Entartung

Fur den nichtentarteten Fall gilt in erster Ordnung

En εn , n G V G n - (13.28)G ψn - G n -) ∑m À n

, m G V G n -εn εm G m - (13.29)

Tritt eine Entartung auf, z. B. εM εn divergiert der m M-Term in der Reihe fur G ψn - , wenn, M G V G n -> 0.

Grundidee zur Behebung des Problems:

Die entarteten Eigenvektoren des ungestorten Problems werden so gewahlt, dass das Matrixelementverschwindet.

Durchfuhrung:

Annahme: Eigenwert εn sei N-fach entartet

H0 G n -: εn G n - (13.30)

H0 G nα -: εn G nα - α 1 2 BBB N (13.31)

α: Zusatzlicher Index bei Entartung.

Betrachte nun den modifizierten Ansatz fur die erste Ordnung

G ψ λ B-: ∑α 1

Cα G nα - "Z vorher b n ë λ ∑

m À n

ac 1 en m G m - (13.32)

Eλ ε λEc 1 e (13.33)

Einsetzen in Schrodinger-Gleichung

H0 λV G ψ λ B-. Eλ G ψ λ B- (13.34)

bringt in Nullter Ordnung

H0

N

∑α 1

Cα G nα - εn

N

∑α 1

Cα G nα - (13.35)

Cα: unter der Bedingung der Normierbarkeit frei wahlbar.

Erste Ordnung


H0 ∑m À nα

ac 1 en m G m -) V

N

∑nα 1

Cα G nα - (13.36) εn ∑m À nα

ac 1 en m G m -p E

c 1 e ∑nα 1

Cα G nα - (13.37)

Wir projizieren auf einen Eigenvektor G nβ - aus der Menge der entarteten Eigenvektoren G nα - , nβ Gnα - δα β. N

∑α 1

Cα, nβ G V G nα -I E

c 1 e Cβ (13.38) Korrektur des Zustandes in Nullter Ordnung Korrektur der Energie in Erster Ordnung als Ersatz von Ec 1 e , n G V G n - ohne Entartung. Gleichung 13.38 ist eine Eigenwertgleichung.

Definiere:

1. Darstellungsmatrix V V αβ , nβ G V G nα - (13.39)

des Storoperators im Raum der entarteten Eigenvektoren.

2. EigenvektorC

C β Cβ (13.40)

Dann ist Gleichung 13.38 aquivalent zum Matrix-Eigenwertproblem

VC E

c 1 e C (13.41)

Weil V hermitesch ist, ist auch V hermitesch. N EigenvektorenCγ γ 1 BBB N N reelle Eigenwerte E

c 1 eγ n Eigenkets G nγ G nγ - N

∑α 1

Cγα G nα - γ 1 BBB N (13.42)

= spezielle Eigenvektoren des ungestorten Problems.

13.2. STORUNGSTHEORIE MIT ENTARTUNG 139

Basis des ungestorten Problems G n1 - G n2 -pBB G nN -r G m - G m > n ¸tFur die r G m - G m > n t folgt aus der Gleichung 13.36 derselbe Ausdruck wie ohne Entartung 1.Ordnung. G ψ - G ψnγ - G nγ -p ∑

m À n

, m G V G nγ -εn εm G m - (13.43)

Enγ εn , nγ G V G nγ - εn Ec 1 eγ (13.44)

Linearer Stark-Effekt:

Betrachte das 2. Niveau im H-Atom vierfache Entartung N 4, r G n 1 -: ϕ1 ψ200 1 r2aB

2a32B

exp l r2aB n Y00

2s (13.45), r G n 2 -: ϕ2 ψ210 1

6a32B

r2aB

exp l r2aB n Y10

2p m 0 (13.46), r G n 3 4 -q ϕ3 h 4 ψ21 × 1 1

6a32B

r2aB

exp l r2aB n Y1 × 1 (13.47)

Storoperator

V erE ezEz C eEzr i 4π

3Y10 (13.48)

Stormatrixelement

Vαβ d3r ϕ α V ϕβ (13.49)

Nach langerer Rechnung

V12 V21 3eEzaB V0 alle anderen Vαβ 0 (13.50)

V Ù0223 0 V0 0 0V0 0 0 00 0 0 00 0 0 0

5!667 Wir bekommen die Eigenvektoren und Eigenwerte

C1 1j 2

0223 1100

5!667 Ec 1 e1 V0

140 KAPITEL 13. ZEITUNABHANGIGE STORUNGSTHEORIEC2 1j 2

0223 1 100

5!667 Ec 1 e2 # V0

C3 0223 0

010

5!667 Ec 1 e3 0

C4 0223 0

001

5!667 Ec 1 e4 0

= E = E4(1) (1)

3

εn + Eγ(1)

εn

Ez

linearer Stark−Effekt

Die Ladungsverteilungen zu G ψn1 - und G ψn2 - haben ein Dipolmoment.

Kapitel 14

Zeitabhangige Storungstheorie undWechselwirkungsbild

Betrachte jetzt eine zeitabhangige Storung

H H0 Vt (14.1)

Das ungestorte Problem sei zeitunabhangig und gelost;

H0 G - εn G n - (14.2)

Fur das volle Problem gibt es keine zeitunabhangige Schrodinger-Gleichung. Daher mussen wir diezeitabhangige Schrodinger-Gleichung losen.

i ∂∂t G ψ t B-. H0 λV

t $ G ψ t B- (14.3)

wobei wir wieder einen reelen Kopplungsparameter λ eingefuhrt haben. Wir entwickeln G ψ t B- in dasVONS der G n - . G ψ t B- ∞

∑k 1

ckt exp D i

εk t E G k - (14.4)

Fur λ 0 gilt ckt ck const. Das Einsetzen des Ansatzes bringt

∑k 1

% i d ckt

dt εkck

t & exp D i

εk t E G k - (14.5) ∞

∑k 1

ckt exp D i

εk t E εk λVt G k - (14.6)

Projektion auf , m G ergibt

i dcmt

dt λ

∞

∑k 1

ck expiωmk , m G V t G k - ωmk epsilonm εk (14.7)

Ansatz fur die Losung

cmt . c

c 0 emt p λc

c 1 emt ) λ2 c

c 2 emt )oBB (14.8)

141

142KAPITEL 14. ZEITABHANGIGE STORUNGSTHEORIE UND WECHSELWIRKUNGSBILD

Anfangsbedingung

cc 0 em0 . βm n und c

c 1 em c

c 2 em ìBB' 0 (14.9) System ist zur Zeit t 0 im Eigenzustand G n -G ψ 0 B-. G n - (14.10)

Das Wechselwirkungsbild

Wir gehen vom Hamiltonoperator

H H0 Vt (14.11)

aus, wobei H0 nicht von der Zeit abhangt. Der Zeitentwicklungsoperator des ungestorten Systems ist

Ut . exp

iH0t ´ (14.12)

Die Wellenfunktionen im Wechselwirkungsbild sindG ψWt B- U d0 t G ψS

t B-. U d0 t U t G ψH - (14.13)G ψS

t B- : Zustand in Schrodinger-BildG ψSt 0 B- G ψH - : Zustand in Heisenberg-Bild

Trafo-Operator AS in Schrodinger-Bild

AW U d0 ASU0 (14.14)

AS : Operator in Schrodinger-Bild , ψSt G AS G ψS

t B-: , ψW G U0 ASU d0 G ψW - (14.15) , ψW G AW G ψW - (14.16)

Zeitabhangigkeit der Zustande

G ψwt B-: exp

i H0 t G ψS

t B-. exp l i H0t n exp l 1 Ht nG ψS

0 (14.17) exp l i H0 t n exp l i H0

t n G ψw G 0 B- (14.18) UW

t G ψW

0 B- (14.19)

UW : Zeitentwicklungsoperator in Ww-Bild, Randbedingung U0 í 1 Wichtig fur Vielteilchen-

Storungstheorie!

143

ddt G ψW

t B-9 i H0 exp

i H0 exp

i Ht B G ψW

0 B- exp

i H0t l i n H exp

i Ht B G ψW

0 (14.20) i exp

i H0t H0 H "Z V

exp

i H0t exp

i H0t exp i H0t G ψW

0 (14.21) i VW G ψW

t B- (14.22)

Entwickle VW und ψW in die Eigenzustande von H0

H0 G k - εk G k - (14.23)

Vorher geschriebenG ψSt B-: ∑

k

akt G k - + ∑

k

ckt exp l i εkt n G k - ak exp

i t ck (14.24) G ψWt B-: exp l i H0t n ∑

k

akt G k - (14.25) ∑

k

ak exp l i εkt n G k - ∑k

ckt G k - (14.26)

ck: Entwicklungskoeffizienten des Zustandes im Wechselwirkungsbild in der Darstellung G k - .Einsetzen in die Bewegungsgleichung

ddt G ψW

t B-: i VW G ψW

t B- (14.27) ∑

k

ddt

ckt G k -: i VW ∑

k

ckt G k - (14.28)

Projektion auf , m Gi d

dtcmt 9 ∑

k

, m G VW G k - ckt (14.29), m G VW G k -9 , m G exp l i H0t n V exp l i H0t nG k - (14.30) exp

iωmkt , m G V G k - ωmk εm εk (14.31) i d

dtcmt 9 ∑

k

ckt exp

iωmkt , m G V t G k - V λ (14.32)

Storungstheoretischer Ansatz erster Ordnung in λ (schwache Storung)


Vt 9 λV

t (14.33)

cnt c

c 0 emt p λc

c 1 emt pâBB (14.34)

Einsetzen 0-te Ordnung

i ddt

cc 0 emt 0 c

c 0 emt . c0

m zeitunabhangig (14.35)

Wahle cc 0 emn δmn System soll zum Zeitpunkt t 0 im Zunstand G n - sein.

1. Ordnung

i ddt

cc 1 emt 9 ∑

k

c0k

t exp

iωmkt , m G V t G k - (14.36)8 i d

dtcc 1 em exp

iωmnt , m G V t G n - (14.37)

Mit der Losung

cc 1 emt C i t

0

dt expiωmnt , m G V t G n - (14.38)

Dann bekommen wir im Schrodinger-Bild

G ψSt B-9 ∑

k

ckt exp l i εkt n G k - (14.39) exp l i εnt nCG n -) ∞

∑m 1

cc 1 em exp l i εmnt nG m - (14.40)

Die Wahrscheinlichkeit in G ψSt B- den Zustand G m - zu finden

pn G δmn cc 1 em G 2 (14.41)

ˆ Wahrscheinlichkeit des Uberganges n m Gultigkeitsbedingung fur Storungstheorie 1. OrdnungG c c 1 ent G 1 m > n (14.42)

Bsp.: Periodische Storung

Vt V0 exp

iωt g V t

0 exp iωt (14.43)

(wegen Hermizitat normalerweise nicht wichtig)

Etwa: elektromagnetische Strahlung trifft auf geladenes Teilchen.

145

i cc 1 emt : , m G V0 G n - t

0

dt expiωmn ω "Z

Ω î t f (14.44)

, m G V t0 G n - t

0

dt expiωmn ω "!

Ω è t (14.45)

Fur relativ lange Zeiten t J ωmin

mnist immer nur einer der beiden Beitrage wichtig und zwar nur, wenn^______________` ______________a

Ω / 0ωmn ω εm J εn Absorbtion von Energie von Storung Term mit , m G V t

0 G n - wichtig

Ω d / 0ωmn ω εm εn Eingabe von Energie “Emission” an Stromung Term mit , m G V0 G n - wichtig

(14.46)

Gilt H Ht Energie keine Erhaltungsgroße.

Wenn Ω / 0 Term mit Ω d oszilliert schnell verschwindet im zeitlichen Mittel.

Betrachte

t0

dt expiΩt 1

iΩ exp

iΩt * 1 (14.47) exp

iΩt 2 iΩ

expiΩ 2t * exp

iΩ 2t (14.48) 2expiΩt 2

Ωsin l Ω

2t n (14.49) G t

0

dt expiΩt G 2 4sin2 Ωt 2

Ω2

t ∞ t 2πδΩ (14.50) Fur lange Zeiten wird nur bei Ω / 0 eine Ubergangswahrscheinlichkeit festgestellt.

G c c 1 emt G 2 G , m G V× G n - G 2 4sin2 D Ω ï

2 EΩ × (14.51)

Vd V0

V V t0


t

2π Ω

Ω

Ubergangsrate

ωn ¤ m cc 1 emt G 2

t G , m G V× G n - G 2 2 (14.52) 4sin2 Ωt 2

Ω2t(14.53)

t d ∞ 2π G , m G V× G n - G 2 δεm εn ω (14.54)

Fur ω 0 Fermis Goldene Regel

Anwendung: Strahlung von Atomen

Vorgegeben Elektomagnetische Welle, durch Vektorpotenzial beschriebenAr t A0

ε cos

kr ωt (14.55)

ω ck undεk 0

ˆ stehender Welle, z. B. im Resonator

ε: Polarisationsfilter

A0: Amplitude

H p2

2me Ze2

r "! Elektronen im ungestorten Atom

emec

Ap "Z

Kopplungsterm

H0 Vt (14.56)

A2: Terme weggelassen

147Vt e

mec

Ap V0 exp

iωt ) V d0 expiωt (14.57)

wegen

cosx : 1

2

exp

ix g exp

ix Ã (14.58)

V0 A0ε2mc

εp exp

ikx eA0

2mec

cp (14.59)

Langwellennaherung k 2πλ 1

V d0 A0ε2mc

εp exp

ikx eA0

2mec

εp (14.60) Wab πe2 G A0 G 2

2m2ec2 2 G , b G ε p G a - G 2 δ εb εa "Z

Absorption

ω δ

εb εa "Z Emission

ω $ (14.61)

/ A20: induzierte Emission, induziert Absortiv, auch spontane Emission. Quantisieren EM-Feld

quantenmechanik i - btu

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