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Instituto de Física de São Carlos - USP
Quantização doCampoEletromagnéticoGustavo Habermann
November 2020
1 Motivação
2 Quantização do Campo de Radiação
3 Resultados
4 Efeito Casimir
Sumário
2/31 Gustavo Habermann Quantização do Campo Eletromagnético
• O conceito do fóton, introduzido por Einstein em1905, possibilitou a solução do efeito fotoelétrico.• A equação de Schrödinger publicada cerca de 20anos depois possibilitou grande desenvolvimentoda mecânica quântica.• Não incorpora o fóton.
Motivação
3/31 Gustavo Habermann Quantização do Campo Eletromagnético
Somente em 1927 Dirac quantizou o campo de radiaçãoeletromagnética utilizando uma abordagem que seapoia numa análise de Fourier do vetor potencial A.Vamos conhecer esse processo.
Motivação
4/31 Gustavo Habermann Quantização do Campo Eletromagnético
As equações de Maxwell nos permitem escrever oscampos em função dos potenciais:
∇ · E = d
n0
∇ × E = −mBmC
∇ · B = 0
∇ × B = `0J + `0n0 mEmC
−→{E = −∇q − 1
2mAmC
B = ∇ ×A(1)
Eletrodinâmica Clássica
5/31 Gustavo Habermann Quantização do Campo Eletromagnético
Além disso, os campos E e B são invariantes portransformação de Gauge
q→ q′ = q + 1
2
m 5
mC
A→ A′ = A − ∇ 5(2)
De modo que podemos escrever a equação de ondapara o vetor potencial com ∇ · A = 0:
∇2A − 1
22m2A
m2C= 0 (3)
Eletrodinâmica Clássica
6/31 Gustavo Habermann Quantização do Campo Eletromagnético
Vamos considerar uma cavidade cúbica de lado !muito grande no vácuo. Consideremos o vetorpotencial A no interior da cavidade impondo condiçõesde contorno periódicas nas fronteiras da forma:
A(0, H, I, C) = A(!, H, I, C),A(G, 0, I, C) = A(G, !, I, C)...
(4)
Decomposição Espectral
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Desse modo, o vetor potencial pode ser expandido emtermos dos coeficientes de Fourier correspondentesaos modos normais de uma onda:
A(r, C) =∑k
(2k(C)ak(r) + 2∗k(C)ak
∗(r))
(5)
Note que o índice da soma é referente ao momento kde cada modo normal.
Decomposição Espectral
8/31 Gustavo Habermann Quantização do Campo Eletromagnético
Substituindo cada componente da equação (5) naequação de onda (3) temos:
∇2ak(r) +l2k
22ak(r) = 0
ak(r, U) = nU48k·r√+
(6)
m22k(C)mC2
+ l2k2k(C) = 0
2k,U (C) = 2k(0, U)4−8lkC
(7)
Note que a equação (7) nada mais é que a equaçãocaracterística do oscilador harmônico.
Decomposição Espectral
9/31 Gustavo Habermann Quantização do Campo Eletromagnético
Tomando as soluções de (6) e (7) temos o potencialvetor:
A(r, C) =2∑
U=1
∞∑k=0
nU√+
[2k,U (C)48k·r + 2∗k,U (C)4
−8k·r]
(8)
Onde nU é o versor de polarização da ondaeletromagnética.
Decomposição Espectral
10/31 Gustavo Habermann Quantização do Campo Eletromagnético
Agora podemos introduzir um par de variáveiscanônicas (%,&) para expressar o hamiltoniano docampo de radiação em conjunto com as equação (2).
� =
∫(�2 + �2)33G = 2
(lk
2
)22k,U2
∗k,U (9)
Variáveis Canônicas
11/31 Gustavo Habermann Quantização do Campo Eletromagnético
Vamos introduzir as seguintes variáveis:
&k,U =1
2(2k,U + 2∗k,U) (10)
%k,U = −8lk
2(2k,U − 2∗k,U) (11)
Que nos da o novo hamiltoniano:
� =
2∑U=1
∞∑k=0
1
2(%2
k,U + l2k&
2k,U) (12)
O novo hamiltoniano equivale a uma coleção deosciladores harmônicos independentes!
Variáveis Canônicas
12/31 Gustavo Habermann Quantização do Campo Eletromagnético
Agora que estamos lidando com osciladoresharmônicos prestes a serem quantizados éconveniente relembrar algumas propriedades dooscilador harmônico quântico.Em Mecânica Quântica posição e momento são dadospelos operadores:{
G = G
?G =ℏ8
mmG
−→ � =1
2
(?2
<+ <l2G2
)(13)
O Oscilador Harmônico Quântico
13/31 Gustavo Habermann Quantização do Campo Eletromagnético
A relação entre os operadores G e ?G é dada pelocomutador:
[G, ?G] = 8ℏ (14)
Podemos pensar nessa relação como análoga aosparenteses de Poisson da Mecânica Clássica.
O Oscilador Harmônico Quântico
14/31 Gustavo Habermann Quantização do Campo Eletromagnético
No caso do oscilador, podemos introduzir osoperadores de abaixamento e levantamento, dadospor:
0 =1√2ℏl(l@ + 8 ?)
0† =1√2ℏl(l@ − 8 ?)
(15)
Que nos permite escrever o hamiltoniano como:
� = ℏl
(0†0 + 1
2
)= ℏl
(# + 1
2
)(16)
O Oscilador Harmônico Quântico
15/31 Gustavo Habermann Quantização do Campo Eletromagnético
De maneira muito resumida, o papel dos operadores 0e 0† é, respectivamente, reduzir ou elevar o estado dooscilador e, por consequência, sua energia:
0 |=〉 =√= |= − 1〉
0† |=〉 =√= + 1 |= + 1〉
(17)
Esses operadores terão papel análogo na quantizaçãodo campo de radiação.
O Oscilador Harmônico Quântico
16/31 Gustavo Habermann Quantização do Campo Eletromagnético
Para quantizar o campo de radiação vamos transformaro par de variáveis canônicas (%,&) em operadores evamos impor os comutadores (análogos ao osciladorquântico):
[&k,U, %k′,U′] = 8ℏXkk′XUU′
[&k,U, &k′,U′] = 0
[%k,U, %k′,U′] = 0
(18)
Campo de Radiação Quantizado
17/31 Gustavo Habermann Quantização do Campo Eletromagnético
Em seguida, introduzimos os operadores 0 e 0† demaneira análoga a equação (15):
0 =1
√2ℏlk
(lk&k,U + 8%k,U) (19)
0† =1
√2ℏlk
(lk&k,U − 8%k,U) (20)
Para torna-los adimensionais faremos a troca:
2k,U → 2
√ℏ
2lk0k,U (21)
Campo de Radiação Quantizado
18/31 Gustavo Habermann Quantização do Campo Eletromagnético
Em termos dos novos operadores, temos o potencialvetor:
A(r, C) = 1√+
2∑U=1
∞∑k=0
2
√ℏ
2lk[0k,U nU48k·r + 0†k,U nU4
−8k·r] (22)
E o hamiltoniano (com E e B calculados com (1)):
� =
2∑U=1
∞∑k=0
ℏlk(0†k,U0k,U + 0k,U0†k,U) =
2∑U=1
∞∑k=0
ℏlk
(0†k,U0k,U +
1
2
)(23)
� =
2∑U=1
∞∑k=0
ℏlk
(# + 1
2
)(24)
Campo de Radiação Quantizado
19/31 Gustavo Habermann Quantização do Campo Eletromagnético
Com esses novos operadores definidos o campo deradiação está quantizado. Sendo assim, vamosrapidamente ver como os auto-estados de #representam o vácuo na presença de fótons.
Campo de Radiação Quantizado
20/31 Gustavo Habermann Quantização do Campo Eletromagnético
O vácuo com a presença de fótons pode serrepresentado pelo ket |=k1,U1 , =k2,U1 , ...〉, onde =k1,U1 é onúmero de fótons caracterizados por momento k1 epolarização U1 e assim por diante.Note que o papel dos operadores 0, 0† e # é análogo aooscilador harmônico:
Campo de Radiação Quantizado
21/31 Gustavo Habermann Quantização do Campo Eletromagnético
0: Operador de aniquilação, reduz o número de fótonsdo estado em que é aplicado:
0 |=k,U〉 =√=k,U |=k,U − 1〉 (25)
0†: Operador de criação, aumenta em um o número defótons do estado em que é aplicado:
0† |=k,U〉 =√=k,U + 1 |=k,U + 1〉 (26)
# : Extrai o número de ocupação =k,U do estado em queé aplicado:
# |=k,U〉 = =k,U |=k,U〉 (27)
Campo de Radiação Quantizado
22/31 Gustavo Habermann Quantização do Campo Eletromagnético
Com o campo quantizado, vamos rapidamente veralguns resultados na ausência de fótons:Valor esperado do campo elétrico:
〈E〉 = 〈0|E|0〉 = 8
√ℏl
2+n0(〈0|0 |0〉 4−8lC − 〈0|0† |0〉 48lC ) = 0 (28)
Como esperado, o valor de 〈E〉 é nulo no vácuo e naausência de fótons.
Resultados
23/31 Gustavo Habermann Quantização do Campo Eletromagnético
Incerteza associada ao campo elétrico:
(ΔE)2 = 〈E2〉 −���〈E〉2 = 〈0|E · E|0〉 =∞∑k
ℏlk
2+n0→∞ (29)
Este resultado ilustra que, mesmo quando os númerosde ocupação são fixos, não podemos saber o valor docampo elétrico com precisão arbitrária. Isto da origemàs flutuações quânticas do campo eletromagnético.
Resultados
24/31 Gustavo Habermann Quantização do Campo Eletromagnético
Se calcularmos a energia do vácuo temos:
〈0|� |0〉 =2∑
U=1
∞∑k=0
ℏlk 〈0|# +1
2|0〉 = 1
2
∞∑k=0
ℏlk →∞ (30)
Até mesmo o vácuo sem nenhuma presença de fótonspossui energia (que esta associada às flutuaçõesquânticas dos campos).Vamos ver agora as consequências desses resultadosfazendo uma breve análise do efeito Casimir
Resultados
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Hendrik Casimir, em 1948, previu que se aproximarmosduas placas metálicas neutras e paralelas até que adistância entre elas seja de mícrons deve surgir umaforça que tende a unir as placas.A força que parece surgir do nada pode ser explicadacomo consequência das flutuações quânticas docampo eletromagnético entre as placas e no espaçoexterior, interpretadas como processos espontâneos decriação e aniquilação de partículas virtuais que trocammomento com as placas.
Efeito Casimir
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Figure: Efeito Casimir
Efeito Casimir
27/31 Gustavo Habermann Quantização do Campo Eletromagnético
No espaço entre as placas as flutuações do campoeletromagnético estão restritas aos modos normaiscujo comprimento de onda seja _= = 23
=, onde 3 é a
distância entre as placas e = corresponde ao modonormal.
Efeito Casimir
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Figure: Efeito Casimir
Efeito Casimir
29/31 Gustavo Habermann Quantização do Campo Eletromagnético
Em todo o resto do espaça esta restrição não existe, deforma que temos muito mais processos permitidos emcomparação com o espaço entre as placas. O resultadoé uma pressão que tende a unir as placas.O cálculo da força envolve uma técnica chamadarenormalização e fornece o seguinte resultado porunidade de área:
5 = − ℏ2c2
24004(31)
Efeito Casimir
30/31 Gustavo Habermann Quantização do Campo Eletromagnético
Barton, W (2017). Scalar Wave Equations and theCasimir Effect in (1+1)D.
COURTEILLE, PW (n.d.). Electrodynamics-Electricity,Magnetism and Radiation. 2020.
Griffiths, David J (2005). Introduction toelectrodynamics.
Jackson, John David (1999). Classical electrodynamics.Mandl, Franz and Graham Shaw (2010). Quantum fieldtheory. John Wiley & Sons.
Sakurai, Jun John and Eugene D Commins (1995).Modern quantummechanics, revised edition.
Beamer template:https://pt.overleaf.com/latex/templates/umea-university-unofficial-beamer-theme/ptvmzxqzjhcn
Referências
31/31 Gustavo Habermann Quantização do Campo Eletromagnético