Quantum Computing

Hartmut KlauckUniversität FrankfurtWS 05/0610.11.

A) Quantenschaltkreise und klassische Berechnungen

Quantenschaltkreise

n Qubits initialisiert mit der Eingabe s Arbeitsqubits Unitäre Operationen auf zwei Qubits

U1,…,Um; zusammen mit Wahl der zwei Qubits

Operation Ui wird als Tensorprodukt mit der Identität auf den n+s-2 restlichen Qubits angewendet

Zu messendes Ausgabequbit sei fix

Quantenschaltkreise

Uniforme Familien wie gehabt [hier gibt es fü uns an dieser Stelle noch ein Problem mit der Beschreibung „beliebiger“ unitärer Transformationen, siehe einige Folien weiter]

Klasse BQP: durch uniforme Familien von Quantenschaltkreisen polynomieller Grösse berechenbare Funktionen, bei Fehlerwahrscheinlichkeit < 1/3

EQP: kein Fehler erlaubt Selbe Klassen durch (Quanten) Turingmaschinen

definierbar (siehe Gruskas Buch)

Klassische Simulation

Jeder Quantenschaltkreis mit m Gattern und n+s Qubits kann durch einen klassischen deterministischen Schaltkreis der Grössem¢2O(n+s) simuliert werden

Also sind höchstens exponentielle Speedups möglich

Idee: speichere den Zustandsvektor explizit, wobei die Amplituden bis zu einer bestimten Genauigkeit gerundet werden

Simuliere Gatter als Matrixmultiplikation

Verhältnis des Klassen

P µ BPP µ BQP µ PSPACE

P µ EQP µ BQP

Alle Inklusionen ausser der ersten und letzten brauchen einen Beweis

Insbesondere enthält BQP keine nichtberechenbaren Funktionen

Man glaubt, dass P=BPP Das Faktorisierungsproblem liegt in BQP, kein BPP

Algorithmus ist bekannt Es ist unwahrscheinlich, dass BQP=PSPACE, man glaubt

nicht, dass NP=BQP, also sind NP -vollständige Problem ws. nicht zu knacken

P vs. BQP

Simulation klassischer Schaltkreis

Probleme: Quanten Schaltkreise sind reversibel

(bis auf Messung am Schluss) Fan-Out nicht implementierbar

(mehrfaches Lesen von Zwischenergebnissen, No Cloning)

Lösung: Zeigen, dass jeder klassische Schaltkreis durch einen klassischen reversiblen Schaltkreis simulierbar ist

Simulation

Toffolli Gatter:bildet a,b,c auf a,b, (aÆb)©c ab

Gatter ist reversibel [gegeben a,b,d berechne c=(aÆb)©d ]

Gatter kann universelle Basis ausdrücken [AND darstellen durch c=0, NOT durch c=1, b=1]

Problem des Fan-outs:um a zu kopieren setze b=1, c=0Verwende binären Baum um beliebig viele Kopien zu erstellen

Klassische reversible Schaltkreise sind implizit schon Quantenschaltkreise

BPP vs. BQP

Probabilistische Schaltkreise werden genauso simuliert

Zufallseingaben: k-fach zu lesendes Zufallsbit: Berechne 1/21/2 ( |0ki+|1ki ), messe und

verwende k Qubits wie Zufallsinputs

Also BPP µ BQP

Verhältnis des Klassen

P µ BPP µ BQP µ PSPACE

P µ EQP µ BQP

Vor der weiteren Inklusion jedoch Gibt es eine untere Schranke für die Grösse von

Quantenschaltkreisen für fast alle Funktionen?

Abzählargument versagt, da wir bisher unendlich viele Arten von Gattern erlaubt haben, alle unitären Transformationen auf 1 oder zwei Qubits

Auch aus praktischen Gründen wollen wir eine endliche Menge von Gatterfunktionen

Definition uniformer Schaltkreisfamilien benötigt ebenfalls eine endliche Menge von Gatterfunktionen

Resultate zu möglichen Basen Basen (d.h. Mengen von Gatterfunktionen):

CNOT und jedes unitäre Gatter auf 1 Qubit CNOT, Hadamard, einige (konstant viele)

Rotationsgatter Toffoli Gatter und Hadamard

Für all diese gilt, dass ein Schaltkreis mit beliebigen 2 Qubit Gattern durch einen mit Gattern aus der jeweiligen Basis mit geringem Overhead approximiert werden kann

Beweis später

Schlussfolgerung

Die meisten Booleschen Funktionen brauchen Quantenschaltkreise exponentieller Grösse

Denn: Abzählargument wie bei den klassischen Schaltkreisen möglich, wenn nur eine endliche Menge von Gatterfunktionen erlaubt ist

BQP vs. PSPACE

BQP: Klasse von Funktionen f:{0,1}*!{0,1}, die durch uniforme Quantenschaltkreise mit Fehler 1/3 berechenbar sind (Gatterfunktionen aus endlicher Menge)

PSPACE: Klasse von Funktionen f:{0,1}*!{0,1}, die durch deterministische Turingmaschinen mit polynomiellem Speicherplatz berechenbar sind

Hier: BQP µ PSPACE BQP PSPACE nicht bekannt, würde

P PSPACE implizieren (schwierig)

Simulation in PSPACE

Gegeben ist uniforme Quantenschaltkreisfamilie (d.h. „Bauanleitung“) für Schaltkreise für alle Eingabelängen n2N mit polynomieller Grösse für eine Funktion f

Gesucht ist polynomiell platzbeschränkter Algorithmus für f

Auf Eingabe x2{0,1}n simuliere Schaltkreis und berechne für Ausgaben a Prob(a)= |ha|U|x0i|2

Simulation in PSPACE

Idee 1: Stelle Zustand als Vektor da, beschränkte Präzision der Einträge, Matrixmultiplikation

Problem: Zustand ist Vektor mit dim exp(n) Beobachtung: a|U|x0i=ha|UT U1|x0i

= z(1),…,z(T-1) h a | UT | z(T-1)i hz(T-1) |UT-1| z(T-2)i hz(2) |U2 | z(1)i hz(1) |U1 | x0iz(j)2{0,1}n+s

hz(i) |Ut | z(j)i ist ein Eintrag in Ut [Zeile z(i), Spalte z(j) ]

Simulation in PSPACE

Es ist also eine Summe mit 2(n+s)(T-1) Termen zu evaluieren. Jeder Term ist Produkt von T Matrixeinträgen, aus den T Matrizen Ui

Wert jedes Terms mit Präzision 1/(10 ¢ 2(n+s)(T-1)) ausreichend für Fehler 1/10

Term Produkt von T Zahlen, Präzision 1/(20 ¢ T ¢ 2(n+s)(T-1)) ausreichend

Also: Runde Matrixeinträge, Darstellungg komplexer Zahlen als Paar reeller Zahlen, O((+s)T) Bits pro Zahl

Simulation in PSPACE

Simulationsalgorithmus: Laufe durch alle z(1),...,z(T-1) Berechne h a | UT | z(T-1)i

hz(T-1) |UT-1| z(T-2)i hz(1) |U1 | x0i

Addiere zu bisher berechnetem Wert Für jeden Matrixeintrag hz(T-1) |UT-1| z(T-2)i benutze

Turingmaschine aus der Uniformitätsbedingung, d.h. in polynomieller Zeit berechenbar

Platz insgesamt: O(T(n+s)) für z(j) und für zu speichernden Wert der Teilsumme, poly(n) zur Berechnung der Matrixeinträge

Zeit insgesamt: exp(T(n+s))

B) Approximative Berechnungen Was ist der Einfluss von Fehlern während

der Berechnung?

Beschränkte Präzision

Angenommen ein Schaltkreis berechnet |Ti=UT UT-1 U1 |xi |0…0i

Ui unitäre Transformationen

Angenommen statt UT wird VT angewendet Wegen unpräziser Implementierung Wegen Simulation mit beschränkt

genauer Arithmetik Ergebnis VT|T-1i=|Ti+|ETi, wobei

|ETi=(VT-UT) |T-1i (nicht normiert)

Beschränkte Präzision

Ergebnis VT|T-1i=|Ti+|ETi, wobei |ETi=(VT-UT) |T-1i (nicht normiert)

Wenn Vi statt Ui für alle i:

|1i=V1|0i=|1i+|E1i

|2i=V2|1i=|2i+|E2i+V2|E1i

|Ti=VT|T-1i=|Ti +|ETi +VT|ET-1i + + VTV2 |E1i

Daher ist k |Ti |Ti k · i=1…T k |Eii k i=1…T k (Vi-Ui) |i-1i k

Approximation von Transformationen Sei U ein beliebiger unitärer Operator auf

n Qubits Gegeben sei ein Operator U‘ Wir sind an der Approximationsqualität

interessiert Spektralnorm kUk=maxx: kxk =1 k U x k Approximationsfehler: k U – U‘ k

Approximationsfehler gesamt i=1…T k (Vi-Ui) |i-1i k · i=1…T k (Vi-Ui) k Wenn also der Approximationsfehler pro

Transformation /T ist, dann ist der Abstand zwischen korrektem und erreichtem Zustand

k |Ti |Ti k · , wie gross ist der Fehler der Berechnung?

Messung Standardbasis (n+s Qubits) Messergebnis a mit Wahrscheinlichkeit

P(a)=|h a|Ti|2 bzw. Q(a)=|h a|Ti|2

Approximationsfehler gesamt Messergebnis a mit Wahrscheinlichkeit

P(a)=|h a|Ti|2 bzw. Q(a)=|h a|Ti|2

Approximationsfehler fürjede Berechnung höchstens

a|P(a)-Q(a)|· 2 k |Ti |Ti k · 2