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Einleitung / MotivationFehlerabschätzung für QMC-Integration

Quasi-Zufallsgeneratoren

Quasi Monte-Carlo Methoden

Marcel Horstmann

26.06.2008

Marcel Horstmann Quasi Monte-Carlo Methoden



Einleitung / MotivationBeispiel: Bestimmung von π

mit der Monte-Carlo Methodemit der Quasi Monte-Carlo Methode

Fehlerabschätzung für QMC-IntegrationMaß für Gleichmäßigkeit von PunktfolgenFehlerschranke: Koksma-Hlawka

Quasi-Zufallsgeneratorenintuitiver Ansatz: GitterVan der Corput SequenzHaltonSobol



Quasi-ZufallsgeneratorenBeispiel: Bestimmung von π

Bestimmung von π mit Monte-Carlo

Ermittlung von π über dasVerhältnis von Kreisfläche Ak zuQuadratfläche AQ

◮ AQ = r2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.20.40.60.8 1






◮ AQ = r2

◮ Viertelkreis: Ak = 14πr2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.20.40.60.8 1






◮ AQ = r2


◮ π = 4 · AkAQ

= 4 · AnzahlTrefferAnzahlWuerfe

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.20.40.60.8 1






◮ AQ = r2


◮ π = 4 · AkAQ


◮ nebenstehendes Beispiel:8 Würfe, 7 Treffer

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.20.40.60.8 1






◮ AQ = r2


◮ π = 4 · AkAQ


◮ nebenstehendes Beispiel:8 Würfe, 7 Treffer

◮ π = 4 · 78 = 3, 5 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.20.40.60.8 1




0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

N = 2 π = 0




0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

N = 4 π = 2




0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

N = 8 π = 2




0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

N = 16 π = 2.75




0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

N = 32 π = 3




0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

N = 64 π = 2.75




0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

N = 128 π = 3.062




0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

N = 256 π = 3.031




0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

N = 512 π = 3.055




0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

N = 1024 π = 3.086




0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

N = 2048 π = 3.158




0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

N = 4096 π = 3.126




0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

N = 8192 π = 3.121




0.0001

0.001

0.01

0.1

1

1 10 100 1000100001000001e+061e+071e+08

rela

tive

Gen

auig

keit

Anzahl Punkte N

MC1√n




Monte-Carlo Methoden

∫

f d V ≈ 1N

N−1∑

i=0

f(xi) ± V

√

Var(f)N





∫

f d V ≈ 1N

N−1∑

i=0

f(xi) ± V

√

Var(f)N

◮1√N

- Konvergenz bedeutet:

eine Größenordnung mehr Genauigkeit-> zwei Größenordnungen mehr Rechenaufwand!





∫

f d V ≈ 1N

N−1∑

i=0

f(xi) ± V

√

Var(f)N

◮1√N



◮ Das dieser Wurzelterm so vertraut ist bedeutet aber nicht,das es nicht auch besser geht!





∫

f d V ≈ 1N

N−1∑

i=0

f(xi) ± V

√

Var(f)N

◮1√N




◮ Eine bessere Konvergenz lässt sich durch gleichmäßigerePunktwahl erreichen





∫

f d V ≈ 1N

N−1∑

i=0

f(xi) ± V

√

Var(f)N

◮1√N




◮ Eine bessere Konvergenz lässt sich durch gleichmäßigerePunktwahl erreichen

◮ Quasi Monte-Carlo Methoden!




0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

N = 2 π = 4




0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

N = 4 π = 4




0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

N = 8 π = 3.5




0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

N = 16 π = 3.25




0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

N = 32 π = 3.125




0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

N = 64 π = 3.125




0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

N = 128 π = 3.188




0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

N = 256 π = 3.188




0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

N = 512 π = 3.164




0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

N = 1024 π = 3.16




0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

N = 2048 π = 3.146




0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

N = 4096 π = 3.146




0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

N = 8192 π = 3.144




0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

N = 8192 π = 3.121


1e-06

1e-05

0.0001

0.001

0.01

0.1

1

1 10 100 1000 100001000001e+061e+07

rela

tive

Gen

auig

keit

Anzahl Punkte N

MC1√N

QMCN−0.73



Maß für Gleichmäßigkeit von PunktfolgenFehlerschranke: Koksma-Hlawka

Wie groß ist der Fehler bei QMC-Integration?

∫

[0,1)df(x)dx ≈ 1

n

n∑

i=1

f(xi) (1)






∫

[0,1)df(x)dx ≈ 1

n

n∑

i=1

f(xi) (1)

◮ Fehler hängt offensichtlich von Anzahl der Punkte undderen „Gleichmäßigkeit“ ab






∫

[0,1)df(x)dx ≈ 1

n

n∑

i=1

f(xi) (1)


◮ Um konkretere Aussagen machen zu können benötigenwir zunächst ein Maß für diese „Gleichmäßigkeit“






∫

[0,1)df(x)dx ≈ 1

n

n∑

i=1

f(xi) (1)


◮ Um konkretere Aussagen machen zu können benötigenwir zunächst ein Maß für diese „Gleichmäßigkeit“

◮ Die Diskrepanz!





Definition der Diskrepanz

Diskrepanz D: Abweichung der Punkte x1 · · · xn von idealerGleichförmigkeit auf dem Intervall B: [0, 1)d







D(x1, · · · , xn; B) = supA∈B

∣

∣

∣

∣

∣

#{xi ∈ A }n

− V(A)

∣

∣

∣

∣

∣

(2)







D(x1, · · · , xn; B) = supA∈B

∣

∣

∣

∣

∣

#{xi ∈ A }n

− V(A)

∣

∣

∣

∣

∣

(2)

Dabei stellt A eine Teilmenge von B der Form:

Πdj=1[uj , vj), 0 ≤ uj < vj ≤ 1

dar.





Beispiel: LCG und Sobol

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

N = 2048 π = 3.141

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

N = 2048 π = 3.146





Diskrepanz eindimensionaler Folgen

◮ Für alle geeigneten Folgen xi muss die Diskrepanz D fürn→∞ verschwinden!







◮ Für endliche n:







◮ Für endliche n:◮ in einer Dimension: D(x1, · · · , xn) ≥ 1

n







◮ Für endliche n:◮ in einer Dimension: D(x1, · · · , xn) ≥ 1

n◮ Minimum wird durch: xi = 2i−1

n , i = 1, ...., n realisiert.Problem hier: alle xi werden durch Wahl von n festgelegtund unterscheiden sich sämtlich von der Folge zu n + 1 -die Genauigkeit der Integration lässt sich also nicht beliebigsteigern!






In der Praxis relevanter:

◮ Durch einen Generator wird eine unendliche Folgex1, x2, · · · festgelegt








◮ Uns interessiert nun die Diskrepanz der n ersten Elementedieser Folge!








◮ Uns interessiert nun die Diskrepanz der n ersten Elementedieser Folge!

◮ Für diese existiert eine untere Schranke:

D(xi , ...., xn) ≥c logn

n, c = const





Diskrepanz mehrdimensionaler Folgen

Wesentlich relevanter: Diskrepanz mehrdimensionaler Folgen!






Wesentlich relevanter: Diskrepanz mehrdimensionaler Folgen!◮ wesentlich weniger gesicherte Erkenntisse vorhanden






Wesentlich relevanter: Diskrepanz mehrdimensionaler Folgen!◮ wesentlich weniger gesicherte Erkenntisse vorhanden◮ weit verbreitete Annahme: Die ersten n Elemente einer

Folge xi , ..., xn in Dimensionen d ≥ 2 besitzen eineDiskrepanz von

D(x1, ..., xn) ≥ cd(logn)d

n.






Wesentlich relevanter: Diskrepanz mehrdimensionaler Folgen!◮ wesentlich weniger gesicherte Erkenntisse vorhanden◮ weit verbreitete Annahme: Die ersten n Elemente einer

Folge xi , ..., xn in Dimensionen d ≥ 2 besitzen eineDiskrepanz von

D(x1, ..., xn) ≥ cd(logn)d

n.

◮ Folgen die dies erreichen werden häufig als„low-discrepancy sequences“ bezeichnet





Dimensionsabhängigkeit

Obwohl 1n schneller fällt wie jede Potenz von log n:

◮ für große Dimensionen wird (log n)d schnell sehr groß







◮ für große Dimensionen wird (log n)d schnell sehr groß◮ QMC-Methoden sind daher für sehr hochdimensionale

Probleme tendenziell weniger geeignet







◮ für große Dimensionen wird (log n)d schnell sehr groß◮ QMC-Methoden sind daher für sehr hochdimensionale

Probleme tendenziell weniger geeignet◮ allerdings zeigen viele Untersuchungen, das auch

hochdimensionale finanzmathematische Probleme mitQMC effizienter wie mit MC zu lösen sind





Übersicht






1e-06

1e-05

0.0001

0.001

0.01

0.1

1

1 10 100 1000 100001000001e+061e+07

rela

tive

Gen

auig

keit

Anzahl Punkte N

MC1√N

QMCN−0.73

3.14

3.142

3.144

3.146

3.148

3.15

3.152

3.154

3.156

3.158

1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000

n

Bestimmung von π mit QMC - wo abbrechen?




Fehlerschranke

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∫

[0,1)df(x)dx − 1

n

n∑

i=1

f(xi)

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣





Fehlerschranke

Koksma-Hlawka Ungleichung∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∫

[0,1)df(x)dx − 1

n

n∑

i=1

f(xi)

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

≤ V(f) D(x1, ..., xn)





Fehlerschranke


∣

∣

∣

∣

∣

∣

∫

[0,1)df(x)dx − 1

n

n∑

i=1

f(xi)

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

≤ V(f) D(x1, ..., xn)

◮ V(f) hängt nur von f ab





Fehlerschranke


∣

∣

∣

∣

∣

∣

∫

[0,1)df(x)dx − 1

n

n∑

i=1

f(xi)

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

≤ V(f) D(x1, ..., xn)

◮ V(f) hängt nur von f ab◮ Diskrepanz D hängt nur vom verwendeten Generator ab





Fehlerschranke

Die Koksma-Hlawka Ungleichung ist zur Fehlerabschätzungleider relativ wertlos◮ V(f) ist kaum bestimmbar





Fehlerschranke

Die Koksma-Hlawka Ungleichung ist zur Fehlerabschätzungleider relativ wertlos◮ V(f) ist kaum bestimmbar◮ vor allem meistens schwerer bestimmbar wie das

eigentliche Integral!





Fehlerschranke


eigentliche Integral!◮ auch die Diskrepanz D ist im allgemeinen nicht bekannt





Fehlerschranke


eigentliche Integral!◮ auch die Diskrepanz D ist im allgemeinen nicht bekannt◮ Erheblicher Nachteil der Quasi-Monte-Carlo Methode

gegenüber MC!





Fehlerschranke


eigentliche Integral!◮ auch die Diskrepanz D ist im allgemeinen nicht bekannt◮ Erheblicher Nachteil der Quasi-Monte-Carlo Methode

gegenüber MC!◮ Ansatz hier: Randomized QMC (nur als Ausblick...)




intuitiver Ansatz: GitterVan der Corput SequenzHaltonSobol

Übersicht









0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

k = 1 N = 1





0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

k = 2 N = 9





0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

k = 3 N = 49





0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

k = 4 N = 225





0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

k = 5 -> N = 312 = 25·2 − 25 = 961





Gitter

N = 2kd − 2k

◮ Zahl der Punkte steigt sehr schnell mit k und der Anzahlder Dimensionen an!





Gitter

N = 2kd − 2k


◮ typische Probleme in der Finanzmathematik: d ≈ 50





Gitter

N = 2kd − 2k


◮ typische Probleme in der Finanzmathematik: d ≈ 50◮ im ersten Durchlauf N ≈ 250





Gitter

N = 2kd − 2k



◮ viel, aber noch machbar!





Gitter

N = 2kd − 2k



◮ viel, aber noch machbar!◮ für k = 2: N ≈ 2100





Gitter

N = 2kd − 2k



◮ viel, aber noch machbar!◮ für k = 2: N ≈ 2100

◮ läuft auf heute verfügbaren Computern länger als dasUniversum alt ist!





0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

N = 9 π = 2.667





0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

N = 25 π = 2.72





0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

N = 81 π = 2.864





0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

N = 289 π = 2.99





0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

N = 1089 π = 3.067





0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

N = 4225 π = 3.103





0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

N = 16641 π = 3.122





weitere Nachteile

◮ zwischen den Punkten bleiben relativ große quadratischeLöcher





weitere Nachteile

◮ zwischen den Punkten bleiben relativ große quadratischeLöcher

◮ wie gerade am π-Beispiel gesehen resultiert darausschlechte Konvergenz!





Van der Corput Sequenz

0 0 0 0






0 0 0 01 1 0.






0 0 0 01 1 0.1






0 0 0 01 1 0.1 1/2






0 0 0 01 1 0.1 1/22 10 0.






0 0 0 01 1 0.1 1/22 10 0. 1






0 0 0 01 1 0.1 1/22 10 0.01 1/4






0 0 0 01 1 0.1 1/22 10 0.01 1/43 11 0.11 3/4






0 0 0 01 1 0.1 1/22 10 0.01 1/43 11 0.11 3/44 100 0.001 1/8






0 0 0 01 1 0.1 1/22 10 0.01 1/43 11 0.11 3/44 100 0.001 1/85 101 0.101 5/8






0 0 0 01 1 0.1 1/22 10 0.01 1/43 11 0.11 3/44 100 0.001 1/85 101 0.101 5/86 110 0.011 3/8






0 0 0 01 1 0.1 1/22 10 0.01 1/43 11 0.11 3/44 100 0.001 1/85 101 0.101 5/86 110 0.011 3/87 111 0.111 7/8






0 0 0 01 1 0.1 1/22 10 0.01 1/43 11 0.11 3/44 100 0.001 1/85 101 0.101 5/86 110 0.011 3/87 111 0.111 7/8

Das sieht doch ganz erfolgsversprechend aus!






0 0 0 01 1 0.1 1/22 10 0.01 1/43 11 0.11 3/44 100 0.001 1/85 101 0.101 5/86 110 0.011 3/87 111 0.111 7/8

Das sieht doch ganz erfolgsversprechend aus!

◮ versuchen wir doch mal damit π zu bestimmen...





0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

N = 5000 π = 4





0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

N = 5000 π = 3.507





Erweiterung auf mehrere Dimensionen

Ups! So gehts also nicht






Van der Corpus Sequenz auf mehrere Dimensionen erweitern◮ Halton Sequenz!






Van der Corpus Sequenz auf mehrere Dimensionen erweitern◮ Halton Sequenz!◮ für jede Dimension eine andere VdC Sequenz mit

aufeinanderfolgenden Primzahlen b = 2, 3, 5, 7, 11, · · · alsBasen


0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0 2 4 6 8 10 12 14 16

i

VdC mit Basen 2 und 4

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

N = 1250 π = 3.002

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0 2 4 6 8 10 12 14 16

i

VdC mit Basen 2 und 10

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

N = 1250 π = 3.13





Van der Corpus Sequenz auf mehrere Dimensionen erweitern◮ Halton Sequenz!◮ für jede Dimension eine andere VdC Sequenz mit

aufeinanderfolgenden Primzahlen b = 2, 3, 5, 7, 11, · · · alsBasen

◮ π bestimmen!





0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

N = 10 π = 3.6





0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

N = 50 π = 3.12





0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

N = 250 π = 3.216





0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

N = 1250 π = 3.139





0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

N = 6250 π = 3.142





höhere Dimensionen

Die Bestimmung von π mit Halton funktioniert also.





höhere Dimensionen


◮ Allerdings ist dieses Problem auch nur 2-dimensional!





höhere Dimensionen


◮ Allerdings ist dieses Problem auch nur 2-dimensional!◮ Um höherdimensionale Probleme zu lösen werden

entsprechend größere Primzahlen benötigt


0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0 2 4 6 8 10 12 14 16

i

6 Dimensionen: b1 = 2 und b6 = 13




höhere Dimensionen



entsprechend größere Primzahlen benötigt◮ Allerdings wird dadurch die Diskrepanz der Folgen immer

größer, und damit die Konvergenz immer schlechter ...





höhere Dimensionen




größer, und damit die Konvergenz immer schlechter ...◮ Beispiel: 50 Dimensionen

b49 = 227 und b50 = 229 sind dann die größten Basen





höhere Dimensionen




größer, und damit die Konvergenz immer schlechter ...◮ Beispiel: 50 Dimensionen

b49 = 227 und b50 = 229 sind dann die größten Basen◮ π bestimmen!





0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

N = 10 π = 4





0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

N = 50 π = 4





0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

N = 250 π = 2.96





0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

N = 1250 π = 2.909





0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

N = 6250 π = 3.112


1e-06

1e-05

0.0001

0.001

0.01

0.1

1

1 10 100 1000 100001000001e+061e+07

rela

tive

Gen

auig

keit

Anzahl Punkte N

MC1√N

QMCN−0.73

d = 50




Nachteile des Halton-Generators

◮ nicht für hochdimensionale Probleme geeignet





Nachteile des Halton-Generators

◮ nicht für hochdimensionale Probleme geeignet◮ ausserdem nur relativ ineffizient auf Computern zu

implementieren, da Berechnungen in Basen b , 2





Die Lösung - Sobol!

◮ geringe Diskrepanz auch bei vielen Dimensionen






◮ geringe Diskrepanz auch bei vielen Dimensionen◮ Berechnungen nur in einer Basis b = 2 nötig






◮ geringe Diskrepanz auch bei vielen Dimensionen◮ Berechnungen nur in einer Basis b = 2 nötig

◮ daher schnelle Berechnung mit dem Computer

◮ allerdings: mathematische Basis nichttrivial





0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

N = 1024 π = 3.16





0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

N = 2048 π = 3.146





Vergleich MC / QMC bei stetigem Anschluss am Rand

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Fun

ktio

nsw

ertf

(r)

Radius r

Funktion auf der Kreisscheibe

f(r) = (1 − r) · e−r


1e-07

1e-06

1e-05

0.0001

0.001

0.01

0.1

1

10

1 10 100 1000 10000 100000 1e+06

rela

tive

Gen

auig

keit

Anzahl Punkte N

MC vs QMC soft boundary

MC1√N

QMC1N

QMC hard




Zusammenfassung Quasi-MC

Vorteile






Vorteile◮ wesentlich schnellere Konvergenz für Probleme

mittlerer Dimensionalität







mittlerer Dimensionalität◮ besonders bei stetigem Anschluss am Rand!








Nachteile








Nachteile◮ Dimensionsabhängigkeit








Nachteile◮ Dimensionsabhängigkeit◮ schwierige Fehlerabschätzung





nur so ganz am Rande...

◮ Monte-Carlo Integration lässt sich sehr gut parallelisieren






◮ Monte-Carlo Integration lässt sich sehr gut parallelisieren◮ gut geeignet für SIMD-Architekturen

(Single Instruction, Multiple Data)







(Single Instruction, Multiple Data)◮ wie z.B. Grafikkarten!


1e-05

0.0001

0.001

0.01

0.1

1

1 10 100 1000 10000 100000 1e+06 1e+07 1e+08 1e+09

Sta

ndar

dabw

eich

ung

Anzahl Punkte N

C2D E6750 vs 8800GT

CPU

GPU






(Single Instruction, Multiple Data)◮ wie z.B. Grafikkarten!

◮ 50x schneller!


quasi monte-carlo methoden - uni-muenster.delemm/seminarss08/horstman… · einleitung / motivation...

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