Q u e l q u e s p rob l~mes non r~solus de la t h~or i e des f onc t i ons c a r a c t ~ r i s t i q u e s .

par PAUL L~VY (Paris, F rance)

A M. Enrico Bompiani pour son Jubild scientifique.

R~!sum~i. - Le plus important des probl~nes traitds est celui du protongement d'une fonction caractdristique donnde duns un intervatle ou duns une rdnnion d'intsrvalles. Malgrd un beau thdor~me de M. KREIN, ce problems no pent pas $tre consddrd comme rdsolu. On donne ici quelques conditions 'qui sent, soit ndcessaires, soit snffisantes pour la possibititd et pour l'unicitd du prolongement.

I. Nous d~signerons par C la classe des fonctions ~(z) de la variable r~elle z d~finies par la formule

(1}

~-OO

~(z) = f e'=dF(z), --00

oh F(z) est une fonetion non d~croissaute, born6e, et non eonstante, de sorte que 1' on a

(2) -~oo

c - ~(o) = f dg~z) > O.

A c e facteur ~ tqui ne jouera pas dans la suite un r01e essentiel) pros, et eela pros qu' en ealeul des probabilit~s on suppose gOn~ralement F l - ~ ) - - 0, F(x) et ¢p(z) sent respeet ivement la fonetion de rdpartition et la fonetion carae. tdristique du ealeul des probabilit~s.

On suit reconnal t re si une fonotion ~(z) doun~e appar t ient ~t la classe C. I 1 faut d ' abord qu 'e l le soit continue, que ~(z) et ~(--z) soient imaginaires

conjugu~s, de sorte que 1' int~grale

(3) f dz --Z

316 P.~UL L~vY: Quelques probl¢}mcs no, rd,~obts de la thdoric, etc.

qui, dans l e c a s off ~(z) est r~el (done pair}, se r~iduit

z

1 f sin xz ~(z}dz, 13'} 2--~ --z-

--Z

repr~sente un nombre r~el. I1 est alors n~eessaire et suffisant, pour que ~ t .}eC, qu 'e l l e tende pour Z infini vers une limite, qui alors reprdsente F(w)--/v'~0) I~), et que cette limite soit une fonction non d~croissaute de x.

On sait l ' impor tance q u ' a en calcul des probabilitt~s la formule

(a) H t w j = f G(x--y)dF~y}

qui d~finit la fonction de r~partition de la somme de deux variables al~atoi. res ind~pendantes dent los fonctions de r~partition sent F(x) et Gtyb

On suit aussi que, si on fair intervenir los transform~es de FOURIER- STIET,~;IES ~(Zl, q(z) et p(z) de F(w), G(x), H(x), cette relation prend la forme simple

(5) p(z) -- q(zj~z}.

I I e n r ~ s u l t e que, si los fonctions q(z) et ~(z) appar t iennent ~ la classe C, il e n e s t de m~me du produit p(z).

Le probl~me qui e s t l ' ob je t de ce travail est la r~solution de l '~quat ion t4) par rapport ~t F~x). On a pu le croire r6solu, pu isqu ' i l ~quivaut, du moins si GI-- ocl ----- H ( - - ~ ) - - 0 (2 h k la recherche d' une fonetion ~{z) qui v~rifie t '~qnat ion (5), et qui de plus appar t ienne '~ la classe C, si on veut que la fonetion /?(w) soit non d~croiss~nte. Or comme nous l ' avons rappel~ plus haut, on suit reconnai t re si une fonetion donn~,e appar t ient fi la classe C. Le pro- blame pos~ est ainsi r~solu duns l e c a s off 1' ensemble ~ off q(zt :~=0 comprend tout l ' axe des z; la react ion ~{z} est en offer connue duns c e c a s sur tout cet axe. Sa solution est aussi ~vidente si ~ est par tout dense; la fonction cher- ch~e doit en effet ~tre continue, de sorte que, s ' i l y a une solution, ~tant

(i) Pour les points de discontinuit~ de F(x), cela n 'es t vrai q u e s i l 'on a d~fini F(x) par la formule

1 [F(x -- O) + F(x + 0)]. /~(x) -

(~) Sans cette condition, (¢) dquivaut ~ (5), compldtd par la condition H ( - - t o ) ~ cG[--to),

qui, puisque __p(0) C--q-~) , est une condition imposde aux donndes.

P,~UL L~:vx': Quclqucs probldmc,x ~o~t rt!solus dc lat l , dorie~ etc. 317

c o n n u e s u r 1' e n s e m b l e ~ e l l e l ' e s t a u s s i s u r s n r s a f e r m e t u r e ~ , d o n c , d u n s

l e c a s eonsid~ir4 , s u r t o u t l ' a x e d e s z. M a i s , s i ~ n ' e s t p u s p a r t o u t d e n s e , i l

s ' a g i t d e p r o l o n g e r d u n s l ' e n s e m b l e c o m p l ~ m e n t a i r e ~c l a f o n e t i o n d ' a b o r d

o b t e n u e s u r ~ . II s 'agit de savoir s i c e prolongement est possible; duns l 'a f . firmative, il s 'agit de savoir s ' i l est u~ique, el, suivant la r~ponse ~ oette question, de ddterminer la solution ou la forme gdndrale des solutions (:~).

k . K H I I ~ c I t I I ~ E a m o n t r 5 e n 1936, p a r u n e x e m p l e ( lue n o u s r a p p e l l e r o n s

a u n °. 2, q u ' i l p e u t y a v o i r p l u s i e u r s s o l u t i o n s . J e n ' a i a t t i r ~ l ' a t t e n t i o n

q u ' e n I 9 5 9 ~) s u r le f a i l q u e c o t e x e m p l e c o n d u i s a i t "~ p o s e r u n p r o b l ~ m e

q u i n ' e s t p u s r ~ s o l u p a r l a f o r m u l e (5}. I l n ' e s t t o u j o u r s p u s r ~ s o l u et n ~est

p e u t - O t r e p u s r ~ s o l u b l e [vo i r l a n o t e (3)]. J e m e p r o p o s e s e u l e m e n t , d u n s ce

t r a v a i l , d e m o n t r e r q u ' i l y a b e a c o u p d ' a u t r e s c a s d ' i n d c i t e r m i n a t i o n q u e

{:~ Depnis que ce t ravai l a dtd rddigd, M. E. LUKACS a attird mon attention sur un beau thdor~me de M. KRE1N, publi~i d~s 1940 duns los Comptes rendus de l 'Aeaddmie des Sciences de I 'U.R.S.S. . :N. s. 26, p. 17-22. Duns le m6me volume {p. 860.865), D. RAIKOV a donn~i une nouvelle dtimonstration de ce thdori~m% dont voici l 'dnonc5:

Uno fonction ¢p0(z) 5tant donnSo, hermit ienne et continue~ duns ( - - A , A-A), pour qu ' i l existe uue fonction ¢q(z) de la classe C dgale /~ ¢~0(z) duns cet intervallc, il faut ot i[ suffit quc, quelle quc soil la fonctions ;(z) rdelle, monotone et bornge duns (0, 4-A) , on air

A A

J(A) = . / ] ~ , ( z - z')d~(z,d~(z') O. 0 0

De plus la condition J ( A ) ~ 0 [sauf si ~(z) est consiant], jointe h une autre condition moins simple, est ndcessaire et suffisante pour que ]e prolongement de ~0(z)soit inddtdrmind.

Pour A infini, on retrouve le edlbbre thdorbme de S. BOCHNER. Ce n ' e s t pus rdduire l ' impor tance de ees thdorbmes que d 'obse rve r qu ' i l s ne font que ramener le problbme posd

un autre, et cela duns le eas off ~ ~- - ( - -A, -l-A). I l s ne le rdsolvent pus, et la question posde duns la texte reste entibre. :Rien ne prouve d 'a i l l eurs qu ' i l puisse y avoir une con- dition explieite; analogue h eelle rappelde plus haut pour A infini, qui rdsolve prat iquement le problbme.

Le thdorbme de KREIN suggbre une g6ndralisationy ebtenue en rempla7ant (0± A) par n ' impor te quel ensemble formd e c (0, c~). Si z et z' dderivent inddpendamment e, z - - z ' dderit un ensemble fermd E:~ J(A) est remplac5 par une int4grale or(A, e), e t l a condition pour que -~(z), donnd duns E~ soit prolongeable duns ( - - c% -~-~), serait J(A, e )~ O. Cette condi- tion est manifestement ndcessaire; cela rdsulte du thdorbme de BOCHNER appliqud aux fone- tions ~(#) qui ne varient que duns e. I1 nous semble probable qu 'e l le est aussi suffisante. Mais bien entendu on ne peut obtenir ainsi qu 'un dnoncd applicable si E - e s t la somme directe d ' u n ensemble e-et de son symdtrique par rapport ~ l 'or igine. Un tel ensemble est ndeessairement son propre symdtrique par rapport h l ' o r ig ine ; mais cette symdtrie est sans importance duns le problbme considdrd, puisque~ si la fonction hermitienne ¢p(z) est connue duns un ensemble quelconque E, el[e l ' es t duns E, duns 1'ensemble ~ symdtrique de E et par suite duns la rdunion de E et

(4) p . L~vY, Esquisse d'une thdorie de la multiplication des variables aldtoires ,Ann . Ec. norm. sup. ~, 76 (1959), p. 59-82.

318 PAUL Ll~:vy: (~clqt~cs probldm,'s ~o~ rdsol~t~ dc la thdori% ctc.

celui signal(i par le savant russe, et qne dans ces cas, ta solution prfisente un trbs grand degr6 de g~n4ralit4. I1 est d 'a i l leurs 6vident que, s ' i l y a deux solutions distinctes %(z} et ~,~z). il y a une infinit6 de solutions ),~dz) -~ (1 - - ),) ~,(z)(o ~ ;~ ~ 1~.

Le lecteur r emarquera q u ' u n probl6me analogue fi celui que nous con- sidfirons, mais beacoup plus simple, se pose pour la classe des fonctions don- n6es par la formule (l t, si F{x) est une fonction h variation born6e, h cela pros quelconque.

II. Rappelons d 'abord l ' exemple de KHIlqT0ttIlCE. II prend pour q(z) la fonetion

16) ¢olz) = M a x (0, 1 - - I z I ) =

(30

f a~ da: sin2~ cos zx a--- ~ o

qui est 6videmment une foDction caract6ristiqne, nulle pour I z l _ > 1. Si alors on prend pour p(z) la fonction co~(z), l '6quat ion (5) admet pour solution, non seulement ~ ( z ) - to(z), mais routes les fonctions caraet(~ristiques (~gales to(z) dans (-- 1, -{- 1), et en part ieul ier la fonetion ~(z), de p~riode 2, et figate

c0(z) darts ( - -1 , "4- 1}. Son d~veloppement en s6rie de FouRI~rt

(7) 1 4 ~ cos [2p + 1)7:z

montre que e 'es t bien une fonction caractfiristique (5).

III . Nous allons, pour g6nfiraliser cet exemple, dfifinir d ' au t res fonctions appar tenant au sous ensemble Ca de ]a classe C dfifini par la condition que se r6duise ~ un intervalle ( - - a , A" a}.

Consid,irons d' abord les fonctions

oo ¢~0

o Izl

0

(5) U n probtbme qui peut gtre int4ressant est l ' 4 tude de la na ture ar i thm4t ique des fonct ions caract6r is t iqnes o~(z) et ~z(z). I1 sembie b ien qu ' e l l e s soient ind4composables, c' es t- er-dire qu ' e l l e s ne p e u v e n t @tre raises sous !a forme du produi~ de deux fonct ions earact4- r is t iques que si un des d e a x facteurs est de la forme e c'~. ]Kais cela n ' e s t pas d~montr6.

PAUL L~VY: Quclques probldmes non r6.¢olus de la thdoric, etc. 319

off G(u) est une fonction non d~croissante born~e, et oh ¢p(z, u) est une fonc- tion caractfiristique d6pendant d ' u n e mani6re quelconque du parambtre u, St cela pr6s que 1 ~int6grale doit avoir an sens. Ce sont ~videmment des fonc- tions de la classe C, et qui appar t iennent St C a si G(u) est constant dans (a, ~ ) . Elles tondent vers zfiro pour z infini (6). ~Nous d6signerons par K l'en" semble des fonctions q(z) do la forme (9}, et par K a le sous-ensemble obtenu en supposant G(u} constant dons {a, cx~).

Los fonctions Q(z) sont, au facteur Q(0) prbs, los fonctions earact6ris t iques convexes de P6LYA: ce sont des fonctions de I z [ born6es, non croissantes, convexes, et > 0 . On suit qu ' inversement , si une fonction de P6LYA S ~annule St l ' infini , elle est de la forme (8) {7); il r6sulte de la convexit~ de Q(z) dons (0, c~), et de ee que Q(z) < QO) pour z :~= 0, que cette fonction a toujours St l 'o r ig ine une dfirivfie St droite Q'(-4-0), < 0 et > - - c ~ . La courbe qui la re- pr6sente a done, pour z -- 0, un point anguleux ou an point de rebroussement .

D 'aprbs los formules {8) et (9), q(z) est major6 parQ{z). Done si 0 < m ~-I Q' (-4-0) I , il existe un voisinage de l' origine of~

(m) I q(z l <_ Q(o)--m I z i .

Cette propri6t6, et le fair que q(z) s ' annu le St l ' infini , montrent que la classe K est d~finie dans C1 par des conditions assez restrictives, qui ~limi- nent en par t ieul ier toutes les fonctions d~rivables pour z - - 0 . I1 ne semble d ' a i l l eurs pas facile de t rouver des condit ions n~eessaires et suff isantes pour q u ' u n e fonction donn~e q{z) appar t ienne St K. La eonvexit6 dans (0, c~), qui caraet6rise los fonctions d e P6LY~., n ' e s t plus une condition n4cessaire. Ainsi, si ~(z) est une fonetion caract~rist ique r6elle, ~ 1 pour z ~=0, et d~ri- vable St l 'or igine [done ~ ' (0) - -0] et si q(z)-= oo(z)¢p(z(, on a q ' (~ 0 ) - - - 1 et, pour 0 ~ z ~ l , q(z)<q(O)--z, de sorte que l ' a rc de courbe y ~ q ( z ) , 0 < z ~ 1, est situ~ au dessous de sa tangente au point z----0. Cette propri~- t6 subsiste naturel lement , dons des cas ~itendus, pour les fonetions de la forme {9).

Remarquons que la representat ion d' une fonction Q(z) par la formule (8) est unique. La fonction G(u) est en effet d~finie, h une constante pros, par la formule

(11} Giz)-- f zdQ'(z) IQ',z)-dQ(z-)] - dz I •

(cp On r e m a r q u e que, pour k ~ 0 , fo(kz) se rddu i t /~ o~(0)~ 1. Mais ee t e rme ne pout pus f i g u r e r dans los i n tdg ra l e s iS) ot (9).

(;) Si une tel lo fonc t ion a v a i t h l ' i n f i n i u n e v a l o u r e ~ 0 , il f a u d r a i t a j ou t e r lo t e r m e co~{O).

320 PAVL LCzw: Quelques probldn*es no~, rgsolqts de la thdorie~ etc.

Si elle est d6rivable, sa dfirivfie est G'(z)--zQ"(z). Au contraire, on ne doit pas s ' a t tendre a c e que la repr6sentat ion d' une fonction q(z)e K par la formule (9) soit unique. I1 se peut qu ' i l y air des cas d 'unici t6 (s). Ylais il est ~fvident q u ' e n g~n6ral la seule donn6e de qiz) ne suffit pas i~ dfiterminer ?{z, u) dG(ui. II est d 'ai i teurs facile de donner des exernples de representat ions multiples.

Ainsi, en posant :

O0

o

P.(z) = q~(z)q~(z) ,.. q.(z) = q~(z)p., jz).

on a une infinit6 de repr~sentations de p.(z), obtenues en combinant ].es n repr~sentations, en g~n6ral linfiairement ind~pendantes:

(13}

0

Pour un produit infini convergent, on a de mgme une infinit6 de reprfi- sentations l in~airement indfipendantes.

Citons encore l ' exemple des fonctions de P6LYA e- I~ I a (0 ~ a < 1). Quel que soit ),~(0, 1), en mettant e -),l~l~ sous la forme (8~, on a

(14) e - t~ t ~

ce qui, pour a = 1, donne

c c

,15) o

On a ainsi, pour la m~me fonction, des reprdsentations l indairement in- ddpendantes, qui ddpendent du param~tre continu ~, et leurs combinaisons lindaires donnent un ensemble tr~s vaste de reprdsentations de la m~me fonetion.

(s) /ffous nous sommes en par t i cu l i e r demand6 s i c e n ' e s t pas le eas pour la fonction to(z), et plus g~n6ralement pour les sommes f inies de t e rmes de la forme C(o(),z). Ce problSme n ' e s t pas r~solu.

PAI:L Lt::V]:: Quelqucs problbmes non rdsol~ls de la thdorie, etc. 321

IV. Nous allous maiuteuant eoasiddrer les classes F ' et K ' de fouctions Q{z) et q(z) ddfinies par les formules (8) et (9) prises au sens large, e;est-h-dire que G(u}, au lieu d 'e t re une fonetion monotone, sera une fonction h variation bornde quelconque ('~). D'aprbs la formule (11), Q'(z) et G(z) varient dans le m~me sens pour z > 0, de sorte qu 'on peut ddfinir par la formule (8)des fonctions Q(z) pour lesquelles le sens de variat ion de Q'(z) change aussi sou- vent qu 'ou le voudra et qui ue seront pus des fonetions de PdLYA. Pour tant , eomme nous allons le voir, elles peuvent appartenir 'h la classe C, et m~me h C, {done aussi k n ' impor te quelle classe Ca).

D'aprbs la formule (6), Q(z) est, h u n facteur constant pros, la transfor- mde de FOUI~IER de

(16)

OD . o u x d G ( u )

sin" 2 ~2

o

et il s ' ag i t de montrer que cette expression pent ~tre toujours _~0 sans que G(u) salt monotone. L ' exemple le plus simple est sans dante celui de 1' expression

(17) . 4 ~ 4s in 2 ~ - s i n - ~ x - 4 s l n ~ > 0 ,

qui montre que la fonetion 2,,,{2z)--0)(z) appart ient h la classe C, done aussi ~ C~, puisqu 'e l lc est nulle pour ] z j > 1. On ddduit de m~me de la formule

~ i - ~ = c o s ( n + t - 2 p ) x l ~ n

que, pour tout n entier > 1, on a I sin n.z I ~ n I s i n x I , d 'ofi

(18) n ~ sin s x - - sin 2 nx ~ 0,

et que par suite la fonction no~(nz)--o)(z) appar t ient ~t CI. Ce rdsultat est d' ail leurs le meil leur possible, puisque, pour c ~ n 2, on a

c sin "~ x - - sin ~ n~ g~2 --* c -- n* < 0 (~ -+ 0).

(9) O n p e u t m ~ m e g d n d r a l i s e r d a v a n t a g e , p u i s q u ' i l s u f f i t q u e , p a r los f o r m u l a s

dQ'(z) - - d G ( z ) dQ(z) ~ Q'(z}dz, on p u i s s o d d t e r m i n e r u n e f o n c t i o n Q(z) b o r n d e ~ l ' o r i g i n e

e t s ' a n n u l a n t ~ l ' i n f i n i . ]~Iais e e l a ne n o u s s e r a p a s n g c e s s a i r e .

Annali di Matemat~a 41

322 PAUL Lfiv:~: Quelques probt~mes non rdsolus de la thdor~, etc.

Plus g~n~ratement , cherehons h quel les condi t ions la somme

09) a~ ~ ba S(x) = ~ ~- sin 2 )~az - - Z - - sin'-' t~ax

1 ~ta ( aa , ) ,~ , ba, t~a ~ O}

est toujours > 0. D~eomposons- la eD une somme E s~(x) de te rmes p~riodiques, p~riodes ~o~ d e u x ~t deux incommensurab les . I1 faut que chaque s~(x) air la pro-

pri~t~indiqu~e. Si en effet s.~(x) ~tait ~ c ~ 0 pour x --- ~, il le sera i t pour tons lea x ------- ~ (rood. ¢%), et on pourra i t , d' apr~s le th~orbme de KRO~EGKER t rouver un de ces x p o u r l eque t tous les sp(x) d ' i n d i e e s ~ :4= v se ra ien t a rb i t r a i r emen t petits. Alors S(x) sera i t ~ 0 (~0).

Nous pouvons done consid~rer s(~par~ment chaque somme par t ie l le s~(~¢),

c ' e s t - k - d i r e supposer tons les rappor t s ),h ra t ionnels . Soit alors ~ le plus

g rand e o m m u n d iv i seur des ),a. T o u s l e s te rmes posi t i fs s ' a n n u l a n t s i x est

mul t ip le de ~ , pour que S(x)_~0, il f au t que les te rmes n~gatifs s ' a n n u l e n t

en m~me temps, c ' e s t - i t - d i r e que tons les ~t~ soient aussi mul t ip les de ~. En d' au t res refines, ehaque ~t h doit ~tre une combina ison l in~aire St coeff ic ients en t ie r s des ),~.

Cette condi t ion n~cessaire ~tant rempl ie pa r tes ) , a e t les ~a pour chaque somme par t ie l le s~(x), et les a~ ~tant des nombres posit ifs dorm,s , la condi t ion n~eessaire et suf f i san te pour que chaque s~(~c), et par suite S(x), soit tou jours ~_0, est que les ba soient assez petits. L a forme exac te de cette condi t ion est d ' a i l l e u r s assez compliqu~e. L ~exemple d ' u n e express ion telle que s in s 3~ -{- sin ~ 5x, - - 3 sin ~ 2~ mont re que~ m~me pour une .somme S(x) r~duite tt une somme par t ie l le s~(x}, il ne suff i t pus q u ' e l l e soit ~ 0 pour x tr~s pet i t p o u r l ' ~ t r e quel que soit x, comme c '~ ta i t le cas pou r c s i n ~ x - sin ~ nx. On voit s eu lemen t que, le rappor t

s in s 2~ sin~3x -b sin ~5x

1 ~tant bornd, il a un m a x i m u m m, de sorte que, pour c ~ - - , on a

sin 2 3x + sin s 5x -- c sin s 2x ~ O.

(i0) On n ' ~chappe p a s ~ cet te conc lus ion en i n t r o d u i s a n t des s~ries i n f i n i e s ; une s~rie c o n v e r g e n t e ~ a~ s in 2 Xhx ne p e u t pas rna jore r s in 2 x si tons ]es Xh sont i r r a i i onne l s .

PAUL LI"~VY: Quelques probl~mes non rdsolus de la thdorie, etc. 323

I1 existe ainsi des types tr~s varies de sommes S(x) t o u j o u r s ~ 0 , auxquelles correspondent des sommes

(20) I

I 1

qui appar t iennent k la classe C, malgr~f ta pr*sence de coefficients n~gatifs. Si los Xh et los ~t~: sont tous ~ 1, elles appar t iennent A Cx.

Choisissons, parmi ces fonctions, une famille de fonctions 12 (z, u) d~pen-

dant du param~tre u, et rempla¢ons ~0(~) par ~(z, u) dans les expressions (8) et (9). On obtient de nouvelles fonctions

= f u)dH(u),

q(z) = f Q(z, U)~(z, u)dH(u),

qui, si la fonction H(u) est non dderoissante, appar t iennent k la classe C, donc ~ la classe C a si t o u s l e s ).~ et ~a qui in terviennent sont _~ a. La varia- tion de ~(z, u) avec u e s t , comme oelle de ¢~(z, u) soumise k la seule restric- tion que ees intdgrales aient un sens. Q(z, u) pout ~tre, comme darts la for-

mule (8,, de la forme ~ ( z ) u ; l e s inl~grales {21) et (22) peuvent aussi se r~duire

'~ des s(tries; alors, au lieu de o(z, u), on n' introduit qu' une suite de fonctions P..(z), sans qu ' i l y ait d ' au t r e restr ict ion q u ' u n e condition de convergence.

La fonction Q(z) d4finie par la formule {21) peut se met t re sous la forme {8~, comprise au sons large. ~Iais si, sous eette forme, il subsiste dos multi-

pl icateurs n~gatifs p o u r certains ~l)(z), il est impossible de les faire disparai- ~ r

tre. La formule {21) consti tue donc une extension de la classe des fonctions de P6LYA.

Il nous paraIt tr•s vraisemblable que los formules {21)et (22)peuvent d~finir des fonctions appar tenant fi. une classe C~, mais non h Ka, et qu ' en part icul ier los sommes finies de la forme (20) oh f igurent effect ivement des termes n~igatifs ne sont pas r~ductibles h la forme (9}, comprise au sens strict. Mais nous ne l 'avons pas d~montr~. Nous ne savons pas non plus si routes les fonctions des classes Ca peuvent 6ire niises sous la forme (22). I1 y a ainsi deux probl~mes non r~solus qui m~ritent d ' e t re ~tudi~s.

V. Nous allons maintenant d~finir des fonctions de la classe C bien dif- f~rentes de cellos des classes Ca. Elles ne s ' annu len t pas n~cessairement i~ l ' inf ini et peuvent ~tre les transform~es de FOURIER-STIELTJES de fonctions

324 :PAUL L~v:~: Quelqucs probldmes non rdsolus de la thdoric,, etc.

discontinues. Mais elles peuvent jouer dans l '~tude de 1' ~quation (5)le m0me rSle que les fonctions des classes Ca, parce qu 'e l les sent nulles sur des en- sembles ~c qui comprennent des intervalles. I1 semble d 'a i l lcurs qne n ' im- porte quel ensemble t e fermi, ne contenant pas l 'origine, et l ' admet tan t comme centre de sym6tri% puisse gtre eonsid~r~ comme l 'ensemble des z~ros de fonctions de la classe C. S ' i l contient des intervalles, ces fonctions peu- vent jotter le r01e voulu dans l 'd tude de l~quation (5). Mais nous nous con- tenterons de montrer par des exemples la grande vari(it~ des ensembles ~e possibles.

Pa t tens d ' a n e fonction q(z}eCa, et =~0 dans ( - - a , q-a) . Sa transform~e de FOURIER 6rant absolument continue, elle est de la forme

-~-00

(23) q(z) -- f d~f(~)d~ [f(x) _~ 0].

Donnons-nous un nombre b > a, et consid~trons la fonction p~riodique P(z), de p~riode 2b, ~fgale ~ q(z) dans ( - -b , q-b). Elle est representable par la s(frie de FOURIER

dont les coe f f i c i en t s sent ~ 0 . Elle appart ient donc ~ la classe C. Elle est qt= 0 dans ( - - a, -[- a) et - - 0 dans [a, 2b - - a], et 1' ensemble ~c relatif ~t cette fonction est la rdunion des intervalles [2kb-{-a, 2 ( k - { - 1 ) b - a] (k entier).

Considdrons maintenant la somme

(25) S(z) = y, c , , P . (z),

et l ' express ion plus gdndrMe

(26) s(z) = y, o,,P,,(z)%,Iz),

oh les P,(z) sent des fonctions de la forme (24), a, b, et la fonction initiale q(z) var iant avec n. Les coefficients c. sont positifs, et, s' il s 'agi t de s~ries infinies, E c .q , (o) est suppos~ f in i ; les ~,(z) sont des fonctions caractdristi- ques. Alors les sfiries S(z) et s(z) sont uniformdment eonvergentes.

La somme S(z) est une fonction presque p~riedique. Si nous supposons les q,,(z) r~els et ~ 0 et les %,(z) r~iels et > O, S(z) et s(z) sont toujours > 0 , et ne sont nuls que si t o u s l e s P.(z) sont nuls. Si a est la borne supdrieure des aK, si a' est la borne inf~rieure des 2b, , - -a . , et si a ' > a , S(¢) et s(z) sont positifs dans ( - a , - - ~ at, et nuls dans [a, a'],

PAUL L~vY: Quelques prob~mcs non rdsolus de la thdorie; etc. 325

et l' ensemble ~c off ces sommes sont nulles ne d~pend que des a,, et des b . . S ' i l s 'agi t de sommes finies, eet ensemble a u n earaet~re pres- que p~riodique, d'o~t il r~sulte qu ' i l comprend une infinit~ d ' in terval les

a ' - -a distincts: on peut en effet, h tout ~ :~ 0 et ~ 2 , faire correspondre des

presque p~riodes L arbi t ra i rement grandes et telles que ( a ~ L % ~ , a' 4 4- L - - ~) a ~c.

Au eontraire, s ' i l s ' agi t de s6ries infinies, on pout s ' a r ranger pour que ~c so r~duise ~ 1' intervalle [a, a'] et /~ son sym~trique [ - - a ' , - -a ] .

Chaque P (z) est en effet > 0 dans ( 2 b , , - an, 2b,~ + a,). Pour que S(z) et stz ) soient par tout positifs darts (a', ~ ) , il suffit de prendre t o u s l e s a , ~gaux h a, 2bl ~ a + a', et ehacun des aut res 2 b , , - a u n pea infetrieur au plus petit z ~ a' et oh les P~(z) d ' indices v ~ n sont tous nuls.

On peut naturel lement s ' a r ranger pour laisser de cOt~ plus ieurs interval- les, et obtenir ainsi des fonctions S(z) et s(z} pour lesquelles ~cr- ~ (o, ~ ) e o m - prenne plusieurs intervalles disjoints C. Mais le moyen le plus simple de montrer qu 'on peut identifier ~cf.~ (o, ~ } ~ n ' impor te quelle rdunion finie d ' in terval les disjoints situ~s dans (o, ~ ) est de former le produit des fonc- tions Sv(z) form~es comme nous venous de le dire, de mani~re que S~(z) soit nul dans i~ et positif dans le reste de la demi-droi te (o, c~). Alors le produit de ees S~(z) est nul dans la r~iunion des i~ et de leurs sym~triques et positif par tout ai l lears.

On a ainsi, comme nous l ' avons dit, une grande vari~t~ d~ensembles ~c possibles. A chacun correspond un ensemble tr~s ~tendu de fonetions S(z)et s(z), puisque, une lois les a,, et les b, ehoisis, on ne change pas ~c en chan- geant les c~,, les fonctions non n~igatives P,~{z} et les fonctions posit ives %~z).

Naturel lement , on obtient de nouvelles possibilit~s en renoncant h ees restrict ions sur les signes des fonetions P,,(z) et ~,~(z), et m~me en introdui- sant des fonetions imaginaires. Mais alors il peut arr iver que S(z )ou s(z) s ' annu len t sans que tous leurs termes soient nuls.

On obtient aussi de nouvelles possibilit~s en remplagant les sommes S(z~ et s(z) par des int~grales (de LEBESC~UE OU de S~IEL~ZES). Consid~rons par exemple une int~grale de la forme

),1 t ~

t27} | P(z, ),)fi)~)d~ [f~k) > 0]. I(z)

Si la p~iriode de P varie avee k, le caraet~re presque p~riodique de S(z} dis- paralt. Mais il peat exister s a t l ' axe des z des intervalles off Ptz~ ),) est par tout nul, quel que soit ). e (),o,),~}; alors I(z) est aussi nul dans ces intervalles.

VI. Arrivons maintenant au probl~me essentiel~ celui du prolongement duns ~ de la fonction ~(z) dSfinie dans ~ par la formule (5). Pour qu ' i l soit

326 PAUL L~vY: Quelques probldmes non rdsolus de la thdoric, etc.

possible, il [aut avant tout que p(z) soit partout nul dans 8 c, et que les va- leurs de ~(z) donn6es dans ~ par la formule t5) d6finissent une fonction con- t inue duns ~. II s ' ag i t alors de la prolonger duns ~c, en nous pla~ant dans le eas, dent nous venons de donner des exemples, ot't eet ensemble n ' e s t pas vide. I1 faudrai t d ' abord eonnaltre des conditions n~cessaires et suff isantes pour que ce prolongement soit possible. Iqous n 'avons pas r6solu ce probl6- me. Nous allons seulement indiquer des conditions ndeessaires, en commeneant par les plus triviales.

Nous n' avons p a s h nous occuper de la condition que ~(z) et ~ ( ~ z) soient imaginaires eonjugu~s: elle est toujours v6rifi~e par la fonction ~(z) dfifinie dane $ eomme nous venons de le dire. I1 n ' e n est pas de mgme de la condi- tion [~(z) l_<~(0), dent on remarque m0me que, sauf dane le cas off

p(z) - - c,q(z)e¢~(e ~ O, e' r~el}, elle n' est j amais v~rifi~e ~ la fois par p(z) q ~ et par

q(z) I1 faut s ' a s sure r qu 'e l le est vfirifi~e dabs $; elle l ' es t alors dans "$-. p ( z ) "

Une autre condition n6eessaire simple se dfiduit de la formule

(2st cos 2~a: - - 4 cos za: -1- 3 - - 2(cos zx -- 1) ~ >_ O.

En multipl iant par dF(z) et int~grant, il vient

(29) R[~(2z) - - 4~(zl] -4- 3¢~(0) >_ 0,

et il faut s ' a s sure r qu 'e l l e est vfirififie pour t o u s l e s z ~ et tels que 2zE [ici, il ne suffi t pas de le v6rifier d a n s $ . Si (a, 2a) est un des intervalles dent $~ est la r~union, il faut v~rifier cette condition pour z ~ a, et elle ne r~sulte pas des vfirifieations faites quand z et 2z sent des points de $. La mgme remarque s ' app l ique aux conditions qui vent suivre].

P lus g6n6ralement, considfirons une somme ca une int6grale de la forme

f ees ),zdHtk},

la fonction H(~) 6tant /~ variat ion born6e; z variant d e - - c ~ ~t-+-¢x~, elle a une borne inf6rieure m e t une borne sup(!rieure M, et il r6sulte de la d6finition

iI) de ~(z} que

(30)

PAUL L~V~: Quelques probldmes non rdso~us de la thdorie, etc. 327

et, s ' i l existe des z tels que, pour tous les ), au voisinage desquels H(),)varie on air Xz e $, e ' es t une condition imposde aux donn6es (~).

Nous avons ainsi une grande varidtd de conditions ndeessaires pour la possibilitd du prolongement. I1 serait peut -d t re intdressant de les rdduire au plus petit ensemble de conditions distinetes. Dans le eas r6el on peut se demander si l ' ensemble de ces condit ions ne eonst i tue pas une condition suffisante (~j. Dans le cas complexe, on peut appl iquer une mdthode analogue h l'dtu~le de l ' express ion

(3 I) R f do~O,z)dH(k),

qui, au faeteur 9(0) pr~s, est comprise entre les valeurs extrgmes de

f cos (0 + Zz)dH(),).

VII. Pla~ons-nous maintenant dans le cas off le prolongement est possi- ble. Comme nous l ' avons dit, nous ne connaissons pus de md thode gdndrale pour former tous les prolongements possibles. Ncus aliens seulement montrer par des exemples qu ' i l peut arr iver que le prolongement soit unique, et qu ' i l peut arriver au contraire qu' il y air un ensemble tr6s dtendu de prolongements possibles. Nous pouvons pour eela sup- poser connu un Frolongement %(z), et, F ensemble $ dtant donn6, il s 'agi t de savoir ce qu 'on peut dire de ! ' ensemble des fonctions ~p(z)e C et dgales /t ~o(X) sur ~.

Un eas off le prolongement est unique est celui off %(z) est analytique. L ' ensemble $ eontient toujours un intervalle ( - - a , -f-a}. Or on sait q u ' u n e fonetion de la elasse C analyt ique dans un tel intervalle est analyt ique sur tout l ' axe rfiel; l 'unie i td du prolongement en rdsulte.

Ql) Pour l 'expression R[cp(2z)--/~(z)] considerde d'abord, nous n ' a v o n s indiqud que la borne infdrieure. La borne snpdrieure 5 ¢p{0) n 'es t pas meiUeure que eelle qui rdsulte de la condition t ~{~z~ I ~ ( 0 ) appliqude h chaque terme. Si la fonction H(;0 est non dderois- sante, il en sera toujours de m6me, et, pour une expression tetle que :p(3z)-4-~(#), aucune des deux parties de la formule (30) n 'amdliore les bornes ddduites de r ¢P(2#) J ~¢p(0).

(is! Elle serait d 'a i l leurs pratiquement inapplicable. On remarque que, s ' i l e ne s t ainsi, cala reste vrai /~ la limite, quand $~ est vide, et qu 'on aurait thdoriquemen| une mdthode permettant de reconnsltre si une fonction of(z) donnde sur tout l ' axe rdel appartient /t la classe C. Mais la mdthode rappelde aa n ° 1 resterait la seule qui soit pratiquement appli. cable. Cette remarque est /t rapprocher de celle faite note (3) 'h~ propos des thdorbmes de S. BOOHN~R et ]~I. KREIN.

328 PAV.L L~VY: Quelques probl~mes ~on rd.~ob*s de la thdorie, etc.

La th6orie des react ions quasi analyt iques donne d ' au t r e s exemples d 'un ic i t6 du prolongement . Si la fonction ~(z) est ind~finiment d6rivable, sa donn6e dans ( - - a , -}-a) d~finit tous les moments

-~-00

(32) E. -~ f x"dF(x) = I-- il"~(,){O),

et ~(")(z} est major~ par En ~--E,, si n est pair, et par /~,, - -~E,~_~E,+~ si n est impair . On suit que dens ces conditions, si la s~rie de DENJO¥

1 Z , _ _ est divergente, ~(z} appar t ien t "& une classe quasi analy t ique de,

v& sorte que le pro longement est unique.

Ind iquons main tenan t au contraire des exemples de pro longements mul- tiples. Un des plus s imples est eelui des fonetions de P6LYA. Si u n e telle fonction ?(z) est donn6e dens (0, a) seulement , si ¢~(a)> 0 et ~'(a} < 0, il y a une infinit6 de manibres de prolonger ¢~(z) par des fonetions non croissantes, convexes, et ~ 0 ~ l ' inf ini . Si au eontraire ~(z} est connu dans (0, a ) e t dens (b, c~) (b > a), la condit ion n6eessaire et suff isante pour q u ' u n tel prolonge- ment soit possible d ' u n e infinit6 de manibres est

(3'~} ¢~'(a) < ¢~(b) -- ~(a) <: ¢~'(b). b - - a

Les courbes reprdsen tan t les pro longements possibles rempl issent alors le t r iangle compris entre la corde qui jo in t les extr~mit~s des arcs connus et les tangentes en ces deux points.

II peut d 'a i t leurs , dens le eas considerS, exister d ' au t r e s pro longements que ceux d e n n i s par les fonet ions de P6LYA. Ainsi la fonction 2~o(2z)- (~(z)

consid~r~e au n ° 4 coincide avee co(3z} dens 0, ~) et dans (1, c~). Si done ~c

comprend un interval le (a, 3b) (0 < a < b), et q u ' e n dehors de cet interval le on se donne pour ~(z) des valeurs contenant des termes de la forme

~o(~----~)(a<X~b,, ou des int(tgrales form6es a v e c l a fonction (o(~), on peut

indi f f4remment , pour le p ro longement dens (a, 3b), ~crire ~)(~) , ou \ , /

ou plus g~n~fralement n ' impor t e quel le moyenne

tO~ ~ < 1).

P ~ L L~vY: Quelques probldmes non rdsolus de la thdorie, etc. 329

D' ailleurs, en introduisant 2co(2z)- co(z), nous n 'avons considdrd q u ' u n exem- ple. I1 rdsulte d u n ° 4 que la remarque faite s 'd tend ~t beaueoup d ' au t res

(°) combinaisons possibles des fonetions (,~ ~ . Si notamment q~(z)n'est donn~

que dans un intervalle fini, la vari~t~ des combinaisons possible est immense.

VIII . Au n ° 7, nous n ' avons consid~r~ que des fonctions q~(z) s ' annu lan t l ' infini . L ' e x e m p l e de KHrNTcHI~rE montre que, dans les cas off il y a plu-

sieurs prolongements possibles, il peut exis ter ~t la fois, pour prolonger une m6me fonction donn~e darts un intervalle fini, une fonction s ' annu lan t l ' inf ini et une fonction p~ri0dique ou presque p~riodique. Nous allons g~n~. ral iser ce r~sultat en montrant que, toutes les lois que les valeurs donn~ies clans un intervalle fini {- -a ' , q-a ' ) sont eelles d' une fonction ¢~0(z)e Ca, il y a une infinit~ de fonctions p~riodiques qui prolongent les valeurs donn~es. Cela r~sulte de la remarque d~jk utitis~e au n ° 5: la fonction p~riodique P(z) ~ P(z, b), de p~riode 2b, et ~gale q~o(z) dans ( - -b , q - b ) [ b > b o - - ~ i a x

a-q-a'~ a, ~---r2---], est une fonction de la classe C, qui prolonge les valeurs donn~es.

I1 e n e s t nature l lement de m~me de toutes les fonctions de la forme

t35) ~(z} = . f P(z, b)dH(b), bo--O

H(b) ~tant une fonction non d~croissante, et qui varie de 0 t~ 1 dans l ' inter- valle d'int~fgration. On a ainsi un ensemble trt~s (itendu de fonetions, qui peuvent ~tre p~riodiques ou presque p~riodiques, ou au eontraire s 'annuler , tt l ' infini, ou encore r~sulter d ' une combinaison de ces deux types.

L' ensemble des solutions est encore plus ~tendu si on part d' une fonction de P6LYA q~o(Z), donnde dans un intervalle {- -a ' , --~ a') tel que ~o(a')> O, q~'o(a') ~ 0. On a alors une infinitd de prolongements , respectant la convexitd

jusqu't~ un point a off la fonction q0(z) obtenue est nulle. On peut ensuite, soit supposer que V(z) reste nul, soit introduire les pro longements r~sultant des remarques finales du n ° 7, ou au contraire ceux de la forme (35). En faisant ensui te varier a, en introduisant encore des prolongements convexes de qoo(z) qui ne s ' annu len t qu't~ l ' inf ini ou ont une limite positive, et en formant n~importe quelle movenne pond6r~e entre toutes des fonctions, on a une immense vari~t~ de prolongements possibles.

La vari~t~ est encore plus grande si on part d ~un produit, pouvant ~tre infini, de fonctions ¢~o{z) du type precedent, puisque chaque facteur a une infini. t~ de prolongements possibles, d' off, pour le produit, un ensemble trt~s ~tendu de prolongements, qu 'on peut ~tendre t~ nouveau en faisant des moyennes. Comme nous l ' avons d~ja signah~, les fonctions exp [ ( - - Izl~ ] (o ~ a < 1)

Annal~ di Matematica 42

330 PAUL L~v:~: Quelques probl~mes non rdsolus de la tI~oric, etc.

j o u e n t "~ ee poin t de vue un role pa r t i eu l i e r , p u i s q u ' o n peu t les cons id~re r comme des p rodu i t s de f ac t e u r s e x p [ ~ i z ' ~ ] , ou e x p [ - - d c ] ~ ] ~ ] ( o < c < l , dc ~ 0 tr~s petit).

R e m a r q u o n s "hee su je t que, dans une somme (ou un produit~ de fone t ions de la e lasse C, il suf f i t q u ' i l y air un t e rme (ou un fae teur ) a y a n t p lus i eu r s p r o l o n g e m e n t s possibles p o u r que la somme (ou le p rodui t ) ait la mOme propri~ft~, k i n s i les fonc t ions

e--l~l--zg e - - l z l ~ e - - ~

suppos~es donn~es dans ( - - a , -~ a) ont a u t a n t de p r o l o n g e m e n t s possibles qne e - l ~ I, et los fone t ions

e - I , l - ' , / I ~ 1 , e - I , I -.I- e-~/i ~1

en ont e n c o r e beacoup plus .

IX. Remarque f ina le .

Nous sommes tr~s loin de la so lu t ion comple t e des p rob l~mes pos~s p a r le p r o l o n g e m e n t d ' u n e fonc t ion de la c lasse C donn~e dans u n in- t e rva l l e fini. Mais les r~isultats c o n n u s sugg~ren t u n e r e m a r q u e : nous ne conna i s sons a u c u n exemple , de fone t ion ¢p(z) d~irivable ~t l ' o r i g i n e qui ap- p a r t i e n n e i~ u n e classe C a ou qui, sans a p p a r t e n i r ~ une te l le c]asse, ai t p lu s i eu r s p r o l o n g e m e n t s possibles . T o u s l e s e x e mp l e s consid~r~s sont en of- fer c e u x de fonc t ions v(!r i f iant u n e in~galit~ de la f o rme (10) (13~. On peu t a lors se d e m a n d e r si une te l le in(!galit~ ne sera i t p as u n e condi t ion , soit n~cessaire , soit suf f i san te , p o u r que le p r o l o n g e m e n t en dehors d ' u n in te r . va l le s u f f i s a m m e n t pet i t ( - a , Jr-a) soit ind~termin~.

I n v e r s e m e n t , nous n ' a v o n s d~imontr~i l ' u n i c i t ~ du p r o l o n g e m e n t q u e clans le cas de fone t ions ind~f in imen t d~r ivables .

I1 y a une g r ande l a e u n e en t re ces d e u x types opposes de fonc t ions de la c lasse C. P e u t - P t r e p o u r r a i t - o n , p o u r c o m m e n c e r ~t la combler . ~ tudier

(la) Oola ne signifie d'ailleurs pas n~eessairement que la eourbe repr~sentant une ielle fonct{on ait tt l'origine un point anguleux ou un point de rebroussoment: i] existe par exemple des fonotions oaract~ristiques ~(z) de la forme e-- I z I P(log i z I ), ol'l P(log I ~ I ) est

une :fonction p~riodique oscillant entre deux hombres distincts a et b. ~lors i - ~(z) oscille,

quand z ---- O, entre des bornes fondant v e r s a et b. La courbe representative d'une telle fonction n'a done pas tL l'origine de demi-tangentes bien d~finies. I1 en est de m~me pour eeUe qui repr~sente son produit par e--Izl ; cette eirconstanee n'exclut done pas la possi- bilit~ du prolongement multiple, impliqu~ par la presence du faeteur e--I~I.

PAUL :Ll~V:~: Q u e l q u e s p r o b l ~ m e s n o n r d s o l u s de la t h d o r ~ e , e t c . 331

le eas des f o n c t i o n s e-I~l ~ (1 ~ ~ ~ 2), q u i s o n t l es f o n c t i o n s c a r a c t ~ r i s t i q u e s

de lo i s s t ab le s , ou b i e n e e l u i des f o n e t i o n s

COS g~ ~

1

q u i s o n t n - - 1 lo i s d 6 r i v a b l e s . ]1 s' a g i r a i t de s a v o i r s ' i l y a d ' a u t r e f o n c t i o n s

de l a e l a s s e C q u i l e u r s o i e n t ~ga le s d a n s u n i n t e r v a H e ( ~ a, ~ a) (~4).

(14) Depuis que ce travail a ~t~ ~crit M. M. D. I)uGu~ et E. ~-~UKACS ont attir~ men attention sur un travail de T. KAWATA, On the D i v i s i o n Of a P r o b a b i l i t y l aw , c Proc. Imp. Aead. Tokyo, , X V I (1940), p. 249-254. Je re'excuse de ne pas l ' avoir cit~ plus haut.

Cet auteur part de la remarque, qui a ~ t ~ aussi utilis~e ci-dessus, que le ph@nom~ne de KHINTCHINE n 'es t possible que si, dans (0, ~) , p(z ) est identiquement nul au moins dans un intervalle. Appliquant alors des r@sultats d ' un travail ant@rieur~ il ~nonee deux thdor~mes (1 et 2} dormant des conditions qui, v~rifi~es par la fonction de r~partition H(x) associ~e /t p(z) , suffisent pour exclure le ph~nom~ne de KHINTCHINE. I1 d6montre ensuite que ees th@or~mes sont les meilleurs possibles. Pour le theorems 2, cela r@s~ulte d ' u n exemple tr~s simple, oh intervient un cas particulier de la fonction (24) du pr@sent~travail.

II me somble d'ail[eurs qu ' i l y a une lacune dans l'~nouc~ de son th@or~me 2. Ties nombres n~gatifs a n qu ' i l eonsid~re doivent former une suite d~croissante, au moins pour n assez grand. IJa condition lim [ a n - - an+ i I = ¢x~ devient alors lim (a n - - a,~_bi ) ~ c~. En effet n ' importe quells suite pour laquelle lim a n ~ - c~ peut 6tre rangge dans un ordre tel que lira I a n - - an÷~ [ --- ~ . Or la condition lira a n . - ~ - ~ ne suffit manifestement pas dans l '~nonc~ du th~orbme.