quelques propriÉtÉs d'une extension minimale

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QUELQUES PROPRIEacuteTEacuteS DUNE EXTENSION MINIMALEMohamed Oukessou a amp Abderrahim Miri aa Deacutepartement de Matheacutematiques Faculteacute des Sciences et Techniques Beni-MellalMaroc BP523Published online 16 Aug 2006

To cite this article Mohamed Oukessou amp Abderrahim Miri (2001) QUELQUES PROPRIEacuteTEacuteS DUNE EXTENSION MINIMALECommunications in Algebra 292 749-756 DOI 101081AGB-100001538

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COMMUNICATIONS IN ALGEBRA 29(2) 749ndash756 (2001)

QUELQUES PROPRIETES DrsquoUNEEXTENSION MINIMALE

Mohamed Oukessoulowast and Abderrahim Miri

Departement de Mathematiques Faculte des Sciences etTechniques BP523 Beni-Mellal Maroc

1 INTRODUCTION

Soit R sub T une extension de domaines on dit que R est seminormal dansT si et seulement si forallx isin T tel que x2 x3 isin R rArr x isin R Si T est entier surR on definit la seminormalisation de R dans T par +

T R = x isin T tel que x isinRp + J (Tp) forallp isin spec(R)ou J (Tp) est le radical de Jacobson de Tp Si +

T R = Ralors R est seminormal dans T On dit que R est seminormal si R est seminormaldans sa fermeture integrale dans K notee R Cette notion a ete longuement etudieepar plusieurs auteurs Dans le premier paragraphe de ce papier on va examinerla seminormalite dans le cas ou R est un domaine et T est un suranneau minimalde R (voir (3)) ainsi si T est R-plat alors R est seminormal dans T et si T estentier sur R alors R est seminormal dans T si et seulement si lrsquoune des conditionssuivantes est satisfaite

(a) T nrsquoest pas contenu dans Rη + J (Tη) ou η = (R T )(b) R = x isin T x isin Rη + J (Tη)(c) η = (R T ) est un ideal radical de T crsquoest a dire

radicη = η dans T

En particulier si Tη nrsquoest pas local alors R est seminormal dans T En suiteon va etudier le transfert de seminormalite entre R et T et la relation entre lafaible normalite selon la definition de (6) et la seminormalite dans une extensionminimale R sub T Dans le deuxieme paragraphe on va munir T drsquoune topologie

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I -adique ou I est un ideal non nul de R dans ce cas ou bien R est dense dans Tou bien R est un ferme de T Si (R T ) est non nul alors R est dense dans T siet seulement si I nrsquoest pas contenu dans (R T ) en particulier si R est local et Tentier sur R alors R est un ferme de T On deduit que lorsque R est noetherien etT est R-plat alors R est dense dans T On acheve ce paragraphe par lrsquoetude de lastabilite des anneaux de Zariski dans une extension minimale R sub T

On rappelle que R sub T est une extension minimale si R nrsquoest pas un corpset lrsquoextension R sub T nrsquoadmet pas drsquoanneaux intermidiaires propres Toutes lesnotations sont identiques a celles dans (3)

2 ETUDE DE LA SEMINORMALITE DANS UNEEXTENSION MINIMALE

Soit R sub T une extension minimale dans ce paragraphe on va examiner laseminormalite dans R sub T ainsi que le transfert de seminormalite entre R et T

Definition 21 (1) Soient A B deux anneaux commutatifs unitaires et A sube Bon dit que lrsquoextension A sube B est subentiere si

(a) B est entier sur A(b) lrsquoapplication spec(B) minusrarr spec(A) est bijective(c) forallQ isin spec(B) TQ

QTQest isomorphe a RP

P RPou P = Q cap A

(2) On dit que A est seminormal dans B srsquoil nrsquoexiste pas drsquoanneau Cavec A sub C sube B tel que lrsquoextension A sub C est subentiere Si B est entier surA on definit la seminormalisation de A dans B par +

B A = b isin B b1 isin Ap +J (Bp)forallp isin spec(A) ou J (Bp) est le radical de Jacobson de Bp

Drsquoapres [5 lem22] +B A est le plus grand sous anneau de B contenant A

qui soit subentier sur A donc si +B A = A alors A est seminormal dans B ce

qui est equivalent a forallb isin B b2 b3 isin A entraıne b isin A [5 Th25] On dit queA est seminormal si A est seminormal dans A ou A est la cloture integrale deA dans son anneau quotient total dans ce cas on note +

A A simplement par + AOn commencera par enoncer un lemme fondamental dont la demonstration estdonnee dans (3)

Lemme 21 Soit R sub T une extension minimale alors ou bien T est entier surR ou bien T est R-plat

Theoreme 21 Soit R sub T une extension minimale

(1) Si T est R-plat alors R est seminormal dans T (2) Si T est entier sur R alors les conditions suivantes sont equivalentes

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(a) R est seminormal dans T (b) T nrsquoest pas contenu dans Rη + J (Tη) ou η = (R T )(c) R = x isin Tx isin Rη + J (Tη)(d) η = (R T ) est un ideal radical de T crsquoest a dire

radicη = η dans T

Preuve (1) Supposons qursquoil existe un anneau C subentier sur R tel que R sub C subeT ceci entraıne que C = T qui sera entier sur R

(2) On sait drsquoapres [1 Th22] que si T est un suranneau minimal de Ralors il existe un ideal maximal η de R tel que Rp = Tp forallp isin spec(R) et p =η et si T est entier sur R alors η = (R T ) ((a) rArr (b)) Si T sube Rη + J (Tη)comme Rp + J (Tp) = Rp = Tp forallp isin spec(R) et p = η alors T sube+

T R = R ceciest impossible ((b) lArr (a)) On a R sube+

T R sube T la minimalite de T sur R entraıneque +

T R = T ou +T R = R Si +

T R = T alors T sube Rη + J (Tη) ce qui est absurdePosons A = x isin T x isin Rη + J (Tη) donc +

T R sube A ainsi ((a) rArr (c)) ((c) lArr(a)) Supposons que A = R donc R sub A sube T par suite A = T drsquoou T sube Rη +J (Tη) crsquoest a dire que R nrsquoest pas seminormal dans T Pour ((d) hArr (a)) il suffitdrsquoappliquer [6 Thp650]

Proposition 21On suppose que T est entier sur R

(a) Si Tη nrsquoest pas local alors R est seminormal dans T (b) Si R est seminormal dans T tel qursquoil existe z isin Tη Rη non inversible

alors Tη nrsquoest pas local

Preuve (a) Drsquoapres [3 Prop22] Rη sub Tη est une extension minimale entiereComme Tη nrsquoest pas local alors drsquoapres [2 Lem21] Tη admet exactement deuxideaux maximaux M1 M2 tel que M1 cap M2 = ηRη drsquoou Rη + J (Tη) = Rη etcomme T ne peut pas etre contenu dans Rη alors drsquoapres le theoreme precedentR est seminormal dans T

(b) On a Rη sube Rη + J (Tη) sube Tη donc Rη + J (Tη) = Rη ou Rη + J (Tη) =Tη or R est seminormal dans T donc Rη + J (Tη) = Rη crsquoest a dire J (Tη) = ηRηSi Tη est local alors J (Tη) = ηRη drsquoautre part Tη = Rη[z] comme z nrsquoest pasinversible alors z isin ηRη ce qui est impossible

Remarque 21 Soit T un suranneau minimal de R alors ou bien R est seminormaldans T ou bien T est subentier sur R En particulier si T = R[z] avec z2 z3 isin Ralors T est subentier sur R Si T est entier sur R et η = (R T ) isin spec(T ) alorsR est seminormal dans T Il est facil de voir que R est seminormal dans T si etseulement si R

I est seminormal dans TI ou I = (R T )

Lemme 22 + R est lrsquointersection de tous les anneaux seminormaux conte-nant R

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Preuve Notons par T lowast lrsquointersection des anneaux seminormaux contenant Rcomme + R est seminormal alors T lowast sube+ R Drsquoautre part si S est un anneauseminormal contenant R alors drsquoapres [5 Cor42] + R = +

S R sube S par suiteT lowast = +R

Definition 22 Soit f A rarr B un homomorphisme injectif drsquoanneaux On ditque f est essentiel si pour tout homomorphisme drsquoanneaux g B rarr C tel quegof A rarr C est injectif entraıne g injectif

Une autre caracterisation de la seminormalite est donnee dans [4Th11] sousla forme siuvante Un anneau A est seminormal si et seulement si pour touthomomorphisme drsquoanneaux f B rarr A et pour tout homomorphisme subentierg B rarr C il existe un homomorphisme drsquoanneaux h C rarr A tel que h g = f

Proposition 22 Soit R sub T une extension minimale On suppose que R nrsquoestpas seminormal dans T alors tout anneau seminormal contenant R contient Taussi

Preuve R nrsquoest pas seminormal dans T donc T est subentier sur R et drsquoapres[4Prop17] lrsquoinjection j R rarr T est essentielle Soit S un anneau seminormal con-tenant R alors on a le schema suivant i R rarr S et j R rarr T subentier commeS est seminormal alors il existe un homomorphisme f T rarr S tel que f j = iqui est injectif or j est essentiel donc f est injectif

Remarque 22 Soit S un anneau contenant R tel que S est fidelement R-platon suppose que T est entier sur R si S est seminormal dans S otimes T alors R estseminormal dans T (voir remarque de [5 p215])

Examinons maintenant le transfert de la seminormalite entre R et T

Proposition 23 On suppose que T est seminormal

(a) Si T est R-plat alors R est seminormal(b) Dans le cas ou T est entier sur R on a R est seminormal hArr R est

seminormal dans T En particulier srsquoil existe un anneau seminormalS j contenant R et ne contenant pas T alors R est seminormal

Preuve (a) Si R nrsquoest pas seminormal alors drsquoapres le lemme precedent R sub+

R sube T crsquoest a dire + R = T par suite T sera entier sur R(b) (rArr) est evident (lArr) Soit x isin R = T tel que x2 x3 isin R donc x isin T

et comme R est seminormal dans T alors x isin R On sait que + R = capSk ou Sk

est seminormal contenant R Drsquoautre part R sube Sj cap T sube T donc R = Sj cap T ouT = Sj cap T Comme Sj ne contient pas T alors R = Sj cap T Or il existe i isin Itel que Si = T drsquoou R = +R

Remarque 23 Si T est un suranneau minimal de R alors +T nrsquoest pas en general

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un suranneau minimal de + R il suffit de choisir par exemple T seminormal et Rnon seminormal dans ce cas on a +R = +T = T

Proposition 24 On suppose que (R η) est local et seminormal tel que η isinspec(T ) alors T est seminormal

Preuve Drsquoabords on remarque que η isin spec(T ) entraıne que T est entier sur Rcar si non T sera R-plat et ηT = T Donc T est local drsquoideal maximal η Soit z isin Ttel que z2 z3 isin T Si z2 z3 isin R alors z isin R Si z2 isin T R rArr z2 isin T η donc(z2)minus1 isin T par suite z3(z2)minus1 = z isin T et on fait la meme chose pour z3 isin T R

Definition 23 Soit A sube B une extension entiere drsquoanneaux On definit la faiblenormalisation de A dans B par lowast

B A = b isin Bforallp isin Spec(A) il existe n isin Ntel que (b1)en isin Ap + J (Bp) ou e est une puissance de la caracteristique ducorps Ap

p Apnotee car( Ap

p Ap) Si lowast

B A = A on dit que A est faiblement normal dans B

Dans cette proposition on va examiner la faible normalite et sa relation avecla seminormalisation dans une extension minimale

Proposition 25 On suppose que T est entier sur R et posons η = (R T )

(a) Si car (Rη) = 0 alors R est faiblement normal dans T hArr R est semi-normal dans T

(b) Si car (Rη) = q = 0 tel que Rη est p-ferme dans Tη (ie forallx isin Tηxq isinRη rArr x isin Rη) alors R est faiblement normal dans T

(c) On suppose que car(R) = p = 0 R est faiblement normal dans T hArr Rest p-ferme dans T

Preuve (a)(rArr) La definition de le faible normalite montre qursquoon a toujours+T R subelowast

T R donc si lowastT R = R alors +

T R = R(lArr) Il suffit drsquoapres [6 T h2] de montrer que Rp est faiblement normal dans

Tp pour tout ideal premier p de R Comme Rp = Tp pour tout ideal premier p deR distinct de η ou η est un ideal maximal de R (voir [1 T h22]) il suffit doncde verifier que Rη est faiblement normal dans Tη Puisque car(Rη) = 0 alors laseminormalisation de Rη dans Tη qui est Rη coincide avec la faible normalisationde Rη dans Tη drsquoou le resultat

(b) Pour tout p isin Spec(R) tel que car(Rp) = 0 on a p est distinct de ηdonc Rp = Tp Par hypothese Rη est q- ferme dans Tη donc Rp est q-ferme dansTp forallp isin Spec(R) tel que car(Rp) = q = 0 et en appliquant [6 p 653] on deduitque R est faiblement normal dans T

(c) R est p-ferme dans T donc R est (2 3)-ferme dans T par suite R estseminormal dans T Drsquoautre part forallt isin T on a pt = 0 car R sub T sube K et enutilisant [6 Th1] on deduit que R est faiblement normal dans T Pour lrsquoautreimplication crsquoest lrsquoapplication de [6 Th1]

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Corollaire 21 On suppose que T est entier sur R Si Tη nrsquoest pas local ou bienη isin spec(T ) et car (Rη) = 0 alors R est faiblement normal dans T

Preuve Verifions drsquoabords que η = assR (TR) Soit p isin assR (TR) doncp = (R z)R ou z isin T R ie T = R[z] et commeη = (R T ) est un ideal maximalde R et (R R[z]) sube (R z)R alors p = η Drsquoapres [6 Th6] il suffit de montrerque Rη est faiblement normal dans Tη crsquoest a dire Rη =lowast

TηRη On a Rη sube Tη

lowast Rη subeTη si Rη =lowast

TηRη alors lowast

TηRη = Tη car Rη sub Tη est une extension minimale ceci

entraıne que spec(Tη) rarr spec(Rη) est bijective drsquoou Tη est local ce qui est absurdeSi η isin spec(T ) et car (Rη) = 0 alors lowast

Tη Rη = Rη et on applique [6 Prop3]

3 QUELQUES RESULTATS TOPOLOGIQUES DANS UNEEXTENSION MINIMALE

Dans cette section on va donner certaines conditions pour lesquelles R estdense dans T ou R est un ferme de T lorsque T est muni drsquoune topologie I -adiqueou I est un ideal non nul de R On designe par R

primela fermeture algebrique de R

dans T

Proposition 31 Soit R sub T une extension minimale

(a) Ou bien R est dense dans T ou bien R est un ferme de T (b) On suppose que (R T ) = 0 R est dense dans T hArr I nrsquoest pas contenu

dans (R T )(c) Si (R T ) = 0 alors R est dense dans T

Preuve (a) Soit (I nT )nge0 un systeme fondamental de voisinage de zero pourla topologie I -adique de T alors R

prime = cap(R + I nT )nge0 ce qui montre que R subeR

prime sube T par consequent R = Rprimeou R

prime = T (b) (rArr)foralln ge 0 R + I nT = T ou R + I nT = R comme R

prime = T alorsforalln ge0 R + I nT = T en particulier R + I T = T ce qui montre que I nrsquoest pas con-tenu dans (R T )

(lArr) Supposons qursquoil existe n0 isin N tel que R + I n0 T = R rArr I n0 sube (R T )et comme (R T ) est un ideal premier de R[3 Prop32] alors I sube (R T ) ce quiest impossible drsquoou foralln ge 0 R + I nT = T crsquoest a dire que R

prime = T (c) Si R nrsquoest pas dense pas dans T alors R est un ferme de T donc

I sube (R T ) ce qui est absurde

Corollaire 31 R est un ferme de T si et seulement si R est un ouvert de T Si R est local et T entier sur R alors R est un ferme de T

Preuve Drsquoapres [7 p253] R est un ouvert de T hArr exists 0 tel que I s T sube Rcrsquoest a dire I s sube (R T ) dprime ou I sube (R T ) ceci est equivalent drsquoapres ce quiprecede a R est un ferme de T

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-Si R est local drsquoideal maximal η alors I sube (R T ) = η

Corollaire 32 On suppose que R est noetherien Si T est R-plat alors R estdense dans T La reciproque est verifiee si R est local

Preuve Il suffit de voir que (R T ) = 0 [3 Pro32] Reciproquement si R estdense dans T alors I nrsquoest pas contenu dans (R T ) par suite T est R-plat car sinon T sera entier sur R et on aura I sube (R T ) = η ou η est un ideal maximal de R

Definition 31 Soient A un anneau commutatif et I un ideal non nul de A on ditque le couple (A I ) est un anneau de Zariski si A est noetherien et tout ideal de Aest un ferme pour la topologie I -adique (A I ) est de Zariski si et seulement si Aest noetherien et I sube J (A) ou J (A) est le radical de Jacobson de A Tout anneaunoetherien semilocal (A I = η1 cap η2 middot middot middot cap ηn) est de Zariski

Examinons cette notion dans une extension minimale R sub T


(1) Si (RI ) est de Zariski alors (T I T )est de Zariski(2) On suppose que (T J ) est de Zariski

(a) Si T est entier sur R alors (RR cap J ) est de Zariski(b) Si T est R-plat et R noetherien alors

- (RR cap J ) est de Zariski si J (T ) sube η- (R J cap η) est de Zariski si J cap η = 0 ou η est un ideal maximal

de R

Preuve (1) Drsquoabords T est noetherien car T = R[z] Soit maintenant M unideal maximal de T drsquoapres [3 T h32] on a M cap R est un ideal maximal de Rpar suite I sube M cap R rArr I sube M drsquoou I T sube J (T )

(2) (a) T est entier sur R donc R est noetherien de plus J (R) = J (T ) cap Rce qui montre que J cap R sube J (R)

(b) Drsquoapres [3 Prop32] tous les ideaux premiers de R se relevent a T saufun seul ideal maximal note η Supposons que J (T ) sube η et montrons que J (T ) subeJ (R) Soit N un ideal maximal de R distinct de η alors J (T ) sube N car si nonon aura J (T ) + N = R par suite ils existent l isin N t isin J (T ) tel que l + t = 1crsquoesta dire que l = 1 minus t est inversible dans T et comme N se releve a T ceci estimpossible drsquoou J cap R sube J (R)

- On a vu dans [3 Prop32] que Mspec(T ) rarr Mspec(R)η est bijec-tive ou Mspec(T ) designe lrsquoensemble des ideaux maximaux de T Posons J

prime(R)

lrsquointersection de tous les ideaux maximaux de R distincts de η Jprime(R) = J (T ) cap R

et Jprime(R) cap η = J (R) par suite J cap η sube J (T ) cap η = J (R) drsquoou le resultat

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REFERENCES

1 Ferrand D Olivier J Homomorphismes minimaux drsquoanneaux J Algebra1970 16 461ndash471

2 Gilmer R Heinzer W Intersection of Quotients Rings of an Integral DomainJ Math Kyoto Univer 1967 7 (2) 133ndash150

3 Oukessou M Miri A Sur les suranneaux minimaux Extracta Mathematicae1999 14 (3) 333ndash347

4 Picavet G Deux remarques sur la seminormalite Italian Journal of Pure andApplied Mathematics 1997 1 101ndash108

5 Swan R On Seminormality J Algebra 1980 67 210ndash2196 Yanagihara H Some Results on Weakly Normal Ring Extension J Math

Soc Japan 1983 35 (4) 649ndash6617 Zariski O Samuel P Commutative Algebra Spring-Verlag New-York

1960

Received July 28 1999Revised February 22 2000

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QUELQUES PROPRIETES DrsquoUNEEXTENSION MINIMALE

Mohamed Oukessoulowast and Abderrahim Miri

Departement de Mathematiques Faculte des Sciences etTechniques BP523 Beni-Mellal Maroc

1 INTRODUCTION

Soit R sub T une extension de domaines on dit que R est seminormal dansT si et seulement si forallx isin T tel que x2 x3 isin R rArr x isin R Si T est entier surR on definit la seminormalisation de R dans T par +

T R = x isin T tel que x isinRp + J (Tp) forallp isin spec(R)ou J (Tp) est le radical de Jacobson de Tp Si +

T R = Ralors R est seminormal dans T On dit que R est seminormal si R est seminormaldans sa fermeture integrale dans K notee R Cette notion a ete longuement etudieepar plusieurs auteurs Dans le premier paragraphe de ce papier on va examinerla seminormalite dans le cas ou R est un domaine et T est un suranneau minimalde R (voir (3)) ainsi si T est R-plat alors R est seminormal dans T et si T estentier sur R alors R est seminormal dans T si et seulement si lrsquoune des conditionssuivantes est satisfaite

(a) T nrsquoest pas contenu dans Rη + J (Tη) ou η = (R T )(b) R = x isin T x isin Rη + J (Tη)(c) η = (R T ) est un ideal radical de T crsquoest a dire

radicη = η dans T

En particulier si Tη nrsquoest pas local alors R est seminormal dans T En suiteon va etudier le transfert de seminormalite entre R et T et la relation entre lafaible normalite selon la definition de (6) et la seminormalite dans une extensionminimale R sub T Dans le deuxieme paragraphe on va munir T drsquoune topologie

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ate

Uni

vers

ity]

at 1

324

31

Aug

ust 2

013

Order now








Dow

nloa

ded

by [

Nor

th D

akot

a St

ate

Uni

vers

ity]

at 1

324

31

Aug

ust 2

013

ORDER REPRINTS









P RPou P = Q cap A










Dow

nloa

ded

by [

Nor

th D

akot

a St

ate

Uni

vers

ity]

at 1

324

31

Aug

ust 2

013

ORDER REPRINTS



radicη = η dans T
















Dow

nloa

ded

by [

Nor

th D

akot

a St

ate

Uni

vers

ity]

at 1

324

31

Aug

ust 2

013

ORDER REPRINTS


















Dow

nloa

ded

by [

Nor

th D

akot

a St

ate

Uni

vers

ity]

at 1

324

31

Aug

ust 2

013

ORDER REPRINTS







p Apnotee car( Ap

p Ap) Si lowast













Dow

nloa

ded

by [

Nor

th D

akot

a St

ate

Uni

vers

ity]

at 1

324

31

Aug

ust 2

013

ORDER REPRINTS






TηRη alors lowast







dans T














Dow

nloa

ded

by [

Nor

th D

akot

a St

ate

Uni

vers

ity]

at 1

324

31

Aug

ust 2

013

ORDER REPRINTS











de R





prime(R)



Dow

nloa

ded

by [

Nor

th D

akot

a St

ate

Uni

vers

ity]

at 1

324

31

Aug

ust 2

013

ORDER REPRINTS


REFERENCES







1960


Dow

nloa

ded

by [

Nor

th D

akot

a St

ate

Uni

vers

ity]

at 1

324

31

Aug

ust 2

013

Order now








Dow

nloa

ded

by [

Nor

th D

akot

a St

ate

Uni

vers

ity]

at 1

324

31

Aug

ust 2

013

ORDER REPRINTS



radicη = η dans T
















Dow

nloa

ded

by [

Nor

th D

akot

a St

ate

Uni

vers

ity]

at 1

324

31

Aug

ust 2

013

ORDER REPRINTS


















Dow

nloa

ded

by [

Nor

th D

akot

a St

ate

Uni

vers

ity]

at 1

324

31

Aug

ust 2

013

ORDER REPRINTS







p Apnotee car( Ap

p Ap) Si lowast













Dow

nloa

ded

by [

Nor

th D

akot

a St

ate

Uni

vers

ity]

at 1

324

31

Aug

ust 2

013

ORDER REPRINTS






TηRη alors lowast







dans T














Dow

nloa

ded

by [

Nor

th D

akot

a St

ate

Uni

vers

ity]

at 1

324

31

Aug

ust 2

013

ORDER REPRINTS











de R





prime(R)



Dow

nloa

ded

by [

Nor

th D

akot

a St

ate

Uni

vers

ity]

at 1

324

31

Aug

ust 2

013

ORDER REPRINTS


REFERENCES







1960


Dow

nloa

ded

by [

Nor

th D

akot

a St

ate

Uni

vers

ity]

at 1

324

31

Aug

ust 2

013

Order now








Dow

nloa

ded

by [

Nor

th D

akot

a St

ate

Uni

vers

ity]

at 1

324

31

Aug

ust 2

013

ORDER REPRINTS


















Dow

nloa

ded

by [

Nor

th D

akot

a St

ate

Uni

vers

ity]

at 1

324

31

Aug

ust 2

013

ORDER REPRINTS







p Apnotee car( Ap

p Ap) Si lowast













Dow

nloa

ded

by [

Nor

th D

akot

a St

ate

Uni

vers

ity]

at 1

324

31

Aug

ust 2

013

ORDER REPRINTS






TηRη alors lowast







dans T














Dow

nloa

ded

by [

Nor

th D

akot

a St

ate

Uni

vers

ity]

at 1

324

31

Aug

ust 2

013

ORDER REPRINTS











de R





prime(R)



Dow

nloa

ded

by [

Nor

th D

akot

a St

ate

Uni

vers

ity]

at 1

324

31

Aug

ust 2

013

ORDER REPRINTS


REFERENCES







1960


Dow

nloa

ded

by [

Nor

th D

akot

a St

ate

Uni

vers

ity]

at 1

324

31

Aug

ust 2

013

Order now








Dow

nloa

ded

by [

Nor

th D

akot

a St

ate

Uni

vers

ity]

at 1

324

31

Aug

ust 2

013

ORDER REPRINTS







p Apnotee car( Ap

p Ap) Si lowast













Dow

nloa

ded

by [

Nor

th D

akot

a St

ate

Uni

vers

ity]

at 1

324

31

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ust 2

013

ORDER REPRINTS






TηRη alors lowast







dans T














Dow

nloa

ded

by [

Nor

th D

akot

a St

ate

Uni

vers

ity]

at 1

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31

Aug

ust 2

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ORDER REPRINTS











de R





prime(R)



Dow

nloa

ded

by [

Nor

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akot

a St

ate

Uni

vers

ity]

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ust 2

013

ORDER REPRINTS


REFERENCES







1960


Dow

nloa

ded

by [

Nor

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akot

a St

ate

Uni

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ity]

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Order now








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ORDER REPRINTS






TηRη alors lowast







dans T














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ded

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Nor

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akot

a St

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Uni

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ity]

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013

ORDER REPRINTS











de R





prime(R)



Dow

nloa

ded

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Nor

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akot

a St

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Uni

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ity]

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31

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013

ORDER REPRINTS


REFERENCES







1960


Dow

nloa

ded

by [

Nor

th D

akot

a St

ate

Uni

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ity]

at 1

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Order now








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nloa

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Nor

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akot

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ity]

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ust 2

013

ORDER REPRINTS











de R





prime(R)



Dow

nloa

ded

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Nor

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akot

a St

ate

Uni

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ity]

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324

31

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ORDER REPRINTS


REFERENCES







1960


Dow

nloa

ded

by [

Nor

th D

akot

a St

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Uni

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ity]

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Order now








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nloa

ded

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Nor

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akot

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Uni

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ity]

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ORDER REPRINTS


REFERENCES







1960


Dow

nloa

ded

by [

Nor

th D

akot

a St

ate

Uni

vers

ity]

at 1

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31

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nloa

ded

by [

Nor

th D

akot

a St

ate

Uni

vers

ity]

at 1

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ust 2

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Order now








Dow

nloa

ded

by [

Nor

th D

akot

a St

ate

Uni

vers

ity]

at 1

324

31

Aug

ust 2

013

quelques propriÉtÉs d'une extension minimale

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