Quelques remarques du lapin matheux

Si tu as a�aire à une fuction rationnelle (c'est-à-dire, si c'est un ratio) depolynômes, et tu veux calculer des limites à plus ou moins in�ni, surtout N'ESSAIEPAS DE FACTORISER, ce qui est justement ce qui est ce que tu as essayé de faire.

Pourquoi il ne faut pas factoriser? Au-délà de la puissance deux (c'est-à-dire, uncarré), factoriser devient énormément di�cile. Or, il n'y a rien de plus simple quede calculer les limites aux in�nis d'une function rationnelle de polynômes.

Imagine que je veux calculer:lim

x−→+∞5x1347+4x901+36x1230+2x12

C'est très facile. La réponse c'est +∞. Pourquoi?Il su�t de regarder le terme à la puissance la plus grande en bas et en haut

(pour le denominateur et le numérateur). En haut on a 5x1347 et en bas on a6x1230. Donc, on a:

limx−→+∞

5x1347+4x901+36x1230+2x12 = lim

x−→+∞56x

(1347−1230)= limx−→+∞

56x

117 = +∞Pourquoi, c'est comme cela?La première chose que tu dois faire, c'est regarder la puissance la plus grande du

terme d'EN BAS. Ici c'est quoi? C'est 1230. Maintenant, divise le dénominateur etle numérateur par x1230. Évidemment, si tu divises en haut et en bas par le mêmeterme, tu obtiens le même résultat.

limx−→+∞

5x1347 + 4x901 + 3

6x1230 + 2x12= lim

x−→+∞

5x1347 + 4x901 + 3

6x1230 + 2x12× 1

= limx−→+∞

5x1347 + 4x901 + 3

6x1230 + 2x12×

1x1230

1x1230

= limx−→+∞

5x117 + 4x329 + 3

x1230

6 + 2x1218

=lim

x−→+∞5x117 + 4

x329 + 3x1230

limx−→+∞

6 + 2x1218

=

(lim

x−→+∞5x117

)+

(lim

x−→+∞4

x329

)+

(lim

x−→+∞3

x1230

)(

limx−→+∞

6

)+

(lim

x−→+∞2

x1218

)=

+∞+ 0 + 0

6 + 0

=+∞6

= +∞

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