7/31/2019 Questo 17 parte - Pgina 265

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Estruturas Algbricas

Gersica Freitas

14 de maio de 2012

1 Soluo de exerccio 17 - Pgina 265

Exerccio 17.

a) Seja G um grupo de ordem 42 = 2 3 7. Seja H um subgrupo de ordem 3. Mostreque G possui um subgrupo de ordem 6.

b) Mostre que existem exatamente um grupo abeliano e cinco grupos no abelianos

de ordem 42.

Demonstrao.

a) Seja G um grupo de ordem 42, isto , |G| = 42 = 2 3 7. Pelo 1 teorema deSylow existe H < G tal que |H| = 3. Usando o 3 teorema de Sylow n3 = 1 ou 7,ento (G : NG(H)) = 1 ou 7. Sendo NG(H) < G temos do teorema de Lagrange|NG(H)| = 6 ou 42. Vamos analisar as duas possibilidades: Se n3 = 1, entoH G. Pelo 1 teorema de Sylow existe K < G tal que |K| = 2. Logo H K < G eH K = {e}. Da,

|H K| =|H||K|

|H K|=

2 3

1= 6.

Caso n3 = 7 temos NG(H) < G tal que |NG(H)| = 6. Assim sempre existe em Gum subgrupo de ordem 6.

b) Pendente.

Universidade Federal da Paraba