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ELE4202 Commande des processus industriels Examen final Automne 2004

Question no 1 (7 points) Considérer le système représenté à la figure ci-dessous. Pour identifier les paramètres de ce système, on désire appliquer une entrée u(k) et mesurer la sortie y(k). Noter qu’un bruit additif v(t) est présent au niveau de la sortie du système.

( )u kB.O.Z.

+ T ( )y k

+

( )y t

2 ( )( )

K s as b

++

( )u t

1Ks

1( )x t

++

( )v t

Figure no. 1

i) Écrire le modèle d’état continu de ce système.

ii) Développer le modèle d’état discret et montrer que le système peut être représenté par le

modèle entrée-sortie suivant :

1 0 2 1 0y(k) = a y(k-1) + a y(k-2) + b u(k) + b u(k-1) + b u(k-2) Donner l’expression des paramètres 0 1 0 1 2a , a , b , b , b

iii) Pour identifier les paramètres du système, on désire appliquer la méthode des moindres carrés sous forme récursive. Décrire de façon détaillée l’algorithme des moindres carrés : donner les dimensions de vecteurs et des matrices et préciser le traitement des données et la séquence des calculs à un instant k. Indiquer également comment l’algorithme est initialisé.

iv) Discuter les points suivants :

1. Si un bruit de mesure v(t) est présent dans le système, comment ce bruit influera-t-il sur la précision des paramètres estimés ?

2. Si les paramètres du système varient lentement, est-il possible d’estimer ces paramètres en ligne en utilisant l’algorithme des moindres carrés ?

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Question no 2 (3 points) Considérer le montage représenté à la figure ci-dessous. Du côté droit, un moteur à courant continu muni d’un engrenage réducteur 5 :1 (5 tours moteur pour un tour poulie) fait déplacer un chariot par l’intermédiaire d’une poulie (rayon = 2.5 cm). Un encodeur optique (200 impulsions par tour) à deux sorties est fixé directement sur l’axe du moteur. Du côté gauche, un résolveur est relié directement à une seconde poulie (rayon = 2.5 cm) par un engrenage multiplicateur (rapport 1: n c-a-d 1 tour résolveur pour n tour poulie). Le résolveur est relié à un circuit électronique permettant d’encoder le signal sur 14 bits.

engrenage réducteur 5 :1

résolveur

engrenage multiplicateur (1 : :n)

encodeur optique

moteur

M A Xx

Figure no. 2

i) Déterminer la résolution de la mesure de position du chariot (en mètre) provenant de l’encodeur optique en supposant qu’une carte de type QUAD-04 est utilisée (résolution maximum).

RESx

ii) Pour la même résolution trouver en i), déterminer le rapport d’engrenage n (1: n) et la

distance maximun permettant au résolveur de donner une mesure absolue de la position du chariot.

RESx

MAXx

iii) Pour améliorer la qualité de la mesure de la vitesse des moteurs, on désire utiliser

l’observateur de vitesse représenté par le diagramme fonctionnel de la figure no 3. Expliquer le principe de cet observateur et indiquer comment ajuster ses gains.

+ θ̂ ω=&1s2

1k

mesθ

1k

θ̂

−

1s−

Figure no 3

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Question no 3 (6 points) Considérer le modèle du palan mobile représenté à la figure ci-dessous. Ce modèle néglige la dynamique du moteur ainsi que le frottement.

Figure no 4 : Schéma-bloc du palan mobile

1

3

X (s) la position du chariotX (s) l'angle de la chargeU(s) la commande

θ

Les paramètres du système sont : , avec L la longueur du câble.

1 2 1 2a 3.3; a 8.2; b 0.69; b 0.43; L=2,0m= = = =

i) Écrire le modèle d’état de ce système en considérant les états tels que définis sur le diagramme

fonctionnel et comme sortie 1 3( ) = ( ) L ( )y t x t x t+ . Le système est-il commandable et observable? Justifier votre réponse.

ii) Pour contrôler le système, on désire appliquer une commande par retour d’état r( ) = - K ( )u t x tLe vecteur de gain peut être calculé par une méthode de placement de pôles ou en minimisant le critère quadratique suivant :

rK

-

T T

0

J = y (t) Q y(t) + u (t) R u(t) dt∞

⎡ ⎤⎣ ⎦∫

Expliquer brièvement chacune de ces méthodes et indiquer (selon le cas):

comment choisir les pôles désirés la signification des coefficients Q et R dans ce critère J comment le vecteur de gain serait obtenu dans Matlab. rK

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iii) Le graphique de la figure 3 montre le lieu des pôles en boucle fermée pour le critère J avec 51 et variant de 10 à 10Q R −= 2 . Expliquer comment cette figure est obtenue et donner sa

signification. Indiquer comment elle peut être utilisée pour choisir le vecteur de gain . rK

Figure no 5 : Lieu des pôles en boucle fermée pour la sortie ( )y t

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RÉPONDRE À UNE DES DEUX QUESTIONS SUIVANTES (au choix)

Question no 4 (4 points) La figure ci-dessous, tirée de la présentation de M. Laliberté, représente une architecture de commande distribuée, telle qu’implantée à Hydro-Québec. i) Décrire brièvement (moins de dix lignes) ce qui caractérise une architecture de commande

distribuée. ii) Donner brièvement le rôle de chacune des unités montrées sur la figure. iii) Comment expliquez-vous dans ce schéma la présence d’un réseau local et d’un réseau de

synchronisation. Quel est le rôle de chaque réseau ?

UAC : Unité d’acquisition et de commande

UCC : Unité de conduite centralisé

UT : Unité de téléconduite

Réseaux Réseau local de communication EthernetRéseau de synchronisation (IRIG-B)

CEDA Console de configuration, d’entretien et de développement des automatismes

Figure no 6 : Architecture distribuée pour la commande d’un poste ou d’une centrale

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iv) La figure ci-dessous montre un exemple d’intégration des IED (Intelligent Electronic Device) à

une version plus récente du système précédent. Expliquer en vos propres termes ce qu’est un IED et l’avantage de les intégrer au réseau local de communication.

IED

Figure no. 7

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Question no 5 (4 points) Considérer le système à deux réseaux électriques interconnectés représenté ci-dessous.

Figure no. 8

i) Les signaux et les termes représentés en pointillés constituent un AGC. Quelle est la signification du terme AGC ? Que signifie également les termes dans ce schéma? Quelle est la fonction de ces signaux ?

1ACE et ACE2

ii) Supposons que les termes soient égaux à zéro et que i1 i2K et K D1 D2P = 1 et P 0Δ Δ = .

Calculer les erreurs en fréquence en régime permanent et la variation de puissance échangée en régime permanent en supposant que les deux réseaux sont

identiques .

1F et FΔ Δ 2

tie,1 tie,2P et PΔ Δ

p1 p2 p 1 2 12(K = K K , R = R =R, a = -1)=

iii) Est-il possible d’ajuster les contrôleurs définis par par placement de pôles. Justifier votre réponse.

i1 i2 1 2K , K , B et B

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