11/16/00 Forrás = http://cpe.gmu.edu/courses/ece331/lectures/331_8/index.htm 1

Quine-McCluskey Módszer

ECE-331, Digital DesignProf. Hintz

Electrical and Computer EngineeringFordította: Szikora Zsolt, 2000

11/16/00 Forrás = http://cpe.gmu.edu/courses/ece331/lectures/331_8/index.htm 2

Quine-McCluskey Egyszerűsítés(Tabular Method)

� Logikai függvényegyszerűsítéshez a Karnaugh-táblák hazsnálata korlátozott:– Kis függvények (<5változó)– Egyszerre egyetlen kimeneti függvény

� Nem implementálhatók számítógéppel� Szubjektív megközelítés, különböző

eredmények� Q-M megoldja ezeket a problémákat!!

11/16/00 Forrás = http://cpe.gmu.edu/courses/ece331/lectures/331_8/index.htm 3

Alap definíciók� Benne-van viszony (“g benne van f-ben”)

� Implikáns– Egy term, mely benne van egy függvényben

( ) ( )

gyel.-1 is f(x) 1, értéke g(x)amikor jához,kombináció olyan változók ,,, azha

,,,,,,

21

2121

=∀

≤

n

nn

xxxxxxfxxxg

�

��

11/16/00 Forrás = http://cpe.gmu.edu/courses/ece331/lectures/331_8/index.htm 4

Alap definíciók� Egy függvény Prím-implikánsa

– Egy olyan implikáns, amelyiknek megvan az a tulajdonsága is, hogy ha egyetlen változóját eltávolítjuk, többé már nem lesz benne a függvényben

� Kiváló egy-cella– Egy minterm, melyet csupán egyetlen prím

implikáns fed le

11/16/00 Forrás = http://cpe.gmu.edu/courses/ece331/lectures/331_8/index.htm 5

Alap definíciók� Lényeges prím imlikáns

– Egy prím implikáns, amelyik kiváló egy-cellát tartalmaz

� Teljes összeg– Egy függvény MINDEN lehetséges prím-

imlikánst tartalmazó reprezentációja– Nem feltétlenül irredundáns

11/16/00 Forrás = http://cpe.gmu.edu/courses/ece331/lectures/331_8/index.htm 6

Alap definíciók� Irredundáns összeg

– Egy függvény megadása a PI-ok egy olyan összegével, amelyből a PI-ok bármelyikének eltávolítása megváltoztatja a függvény értékét néhány bemeneti érték kombináció esetén

11/16/00 Forrás = http://cpe.gmu.edu/courses/ece331/lectures/331_8/index.htm 7

Alap definíciók� Költség függvény

– Valaminek a megvalósításához vagy egy feladat teljesítéséhez társuló erőfeszítés vagy hardver mértéke

� Digitális tervezés költség függvényei– Termek száma– A változók előfordulási száma (nem a

különböző változók száma)

11/16/00 Forrás = http://cpe.gmu.edu/courses/ece331/lectures/331_8/index.htm 8

Quine-McCluskey módszer1.Készítsd el a minterm számok bináris

megfelelőinek egy „méret” szerint növekvő sorba rendezett táblázatát.

– A „méret” a bináris minterm-sorszámban lévő egyesek száma.

11/16/00 Forrás = http://cpe.gmu.edu/courses/ece331/lectures/331_8/index.htm 9

Quine-McCluskey módszer2.Válaszd ki az első lépés táblázatából a

azokat a termeket, melyek egységnyi Hamming-távolságra vannak egymástól és pipáld ki őket.– A pipa jelzi, hogy a minterm egy „nagyobb”

termben lesz benne a következő lépésben

11/16/00 Forrás = http://cpe.gmu.edu/courses/ece331/lectures/331_8/index.htm 10

Quine-McCluskey módszer3.Helyezd a 2. Lépés párjait egy, az elsőhöz

hasonló új táblázatba.– Ennek az új táblázatnak minden sora bal

oldalon tartalmazza a kiválasztott párok decimális minterm számait; jobb oldalon a pár bináris megfelelőjét, a két termben különbséget okozó bitet egy „-” jelre cserélve.

11/16/00 Forrás = http://cpe.gmu.edu/courses/ece331/lectures/331_8/index.htm 11

Quine-McCluskey módszer4.Az új táblázatból válassz egységnyi

távolságra lévő párokat, jelöld meg őket és menj vissza a 3. lépéshez– Ha nincsenek egységnyi távolságra lévő párok a

harmadik lépés táblázatában, fezed be.– Mikor az algoritmus befejeződik, azok a

termek, amelyek a táblázatok egyikében sem megjelöltek, PI-ok.

11/16/00 Forrás = http://cpe.gmu.edu/courses/ece331/lectures/331_8/index.htm 12

Q-M, példa 1. lépés

* Karim-Johnson, p. 59

( ) ( )

FD

A

FDAzyxwf

=====

Σ=

4,73

,5,328,21

00mintermek ,,,8,7,5,3,2,0,,, 1

11/16/00 Forrás = http://cpe.gmu.edu/courses/ece331/lectures/331_8/index.htm 13

Q-M, példa 1. és 2. lépés

Méret minterm W X Y Z Jelölve0 0 0 0 0 01 2 0 0 1 01 8 1 0 0 02 3 0 0 1 12 5 0 1 0 12 A 1 0 1 03 7 0 1 1 13 D 1 1 0 14 F 1 1 1 1

11/16/00 Forrás = http://cpe.gmu.edu/courses/ece331/lectures/331_8/index.htm 14

Q-M, példa 1. és 2. lépés

Méret minterm W X Y Z Jelölve0 0 0 0 0 01 2 0 0 1 0

...

0 (0,2) 0 0 - 0...

11/16/00 Forrás = http://cpe.gmu.edu/courses/ece331/lectures/331_8/index.htm 15

Q-M, példa 3. és 4. lépés

méret minterm W X Y Z Jelölve0 (0,2) 0 0 - 00 (0,8) - 0 0 01 (2,3) 0 0 1 - PI-11 (2,A) - 0 1 01 (8,A) 1 0 - 02 (3,7) 0 - 1 1 PI-22 (5,7) 0 1 - 12 (5,D) - 1 0 13 (7,F) - 1 1 13 (D,F) 1 1 - 1

11/16/00 Forrás = http://cpe.gmu.edu/courses/ece331/lectures/331_8/index.htm 16

Q-M, példa 3. és 4. lépés

méret minterm W X Y Z Jelölve

...2 (5,7) 0 1 - 13 (D,F) 1 1 - 1

...

2 (5, 7, D, F) - 1 - 1

11/16/00 Forrás = http://cpe.gmu.edu/courses/ece331/lectures/331_8/index.htm 17

Q-M, példa 5. lépés

� Eredmény PI-ok– ( 2, 3 )– ( 3, 7 )– ( 0, 2, 8, A )– ( 5, 7, D, F )

size minterm W X Y Z Checked0 (0, 2, 8, A) - 0 - 0 PI-30 (0, 8, 2, A) - 0 - 0 same1 (5, 7, D, F) - 1 - 1 PI-41 (5, 7, D, F) - 1 - 1 same

11/16/00 Forrás = http://cpe.gmu.edu/courses/ece331/lectures/331_8/index.htm 18

Prím implikáns tábla� A táblázatos módszer megtalál minden PI-t, de

sajnos redundáns lefedést eredményezhet� A PI táblázat megtalálja az összegnek egy

irredundáns összegét, a hazárdokra való tekintet nélkül– A hazárdok logikai függvények olyan áramköri

megvalósításai, amiknek 1-ben (0-ban) kellene maradniuk, amikor egy bemeneti érték megváltozik, de nem ez történik velük

– A hazárdokat az ECE-332 lab. ismerteti! (http://cpe.gmu.edu/courses/)

11/16/00 Forrás = http://cpe.gmu.edu/courses/ece331/lectures/331_8/index.htm 19

PI tábla módszer1. Építsd fel a táblázatot

– Mintermekkel felül sorban– Prím implikánsokkal bal oldalaon egymás alatt– X-ekkel a PI sor és az ő mintermjei metszéspontjaiban

2. Karikázd be azokat a mintermeket, amiknek az oszlopában csak egyetlen X van– Ezek a mintermek kiváló oszlopokat alkotnak, mert ők

a kiváló egy-cellák

11/16/00 Forrás = http://cpe.gmu.edu/courses/ece331/lectures/331_8/index.htm 20

PI tábla módszer3.Tégy csillagot minden olyan sor jobb

szélére, amelyik a kiváló oszlopokban lévő mintermeket tartalmaz– Ezek a lényeges sorok (lényeges PI-ok)

4. Húzz ki minden oszlopot, amelyik Xekettartalmaz a lényeges sorokban

5.Rajzold újra a táblázatot a lényeges sorok és kihúzott oszlopok nélkül

11/16/00 Forrás = http://cpe.gmu.edu/courses/ece331/lectures/331_8/index.htm 21

PI tábla módszer6.Távolítsd el az uralkodó sorokat és

oszlopokat7.Alkalmazd a költség-függvényt, hogy

válassz a megmaradó PI-ok közül.

11/16/00 Forrás = http://cpe.gmu.edu/courses/ece331/lectures/331_8/index.htm 22

PI tábla módszer, példa

PI 0 2 3 5 7 8 A D F LPI1 X X2 X X3 X X X X *4 X X X X *

PI 3 2dik LPI1 X Akármelyik okay2 X

Kiváló egy-cellák

11/16/00 Forrás = http://cpe.gmu.edu/courses/ece331/lectures/331_8/index.htm 23

Összefoglalás� Q-M� PI tábla� LPI� 2dik LPI� Gyakorló feladat!!

F=Σ(0,1,2,3,4,7,12,13,15,14)� OKAY – Jöhet a Pascal program!