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FUNDAMENTOS DE LA PROBABILIDAD UNIDAD I

UNIDAD I. FUNDAMENTOS DE LA TEORÍA DE PROBABILIDAD

OBJETIVO DE LA UNIDAD: APLICAR LOS FUNDAMENTOS DE LA TEORÍA DEPROBABILIDAD EN EL CÁLCULO DE PROBABILIDADES DE DIFERENTES

TIPOS DE SUCESOS1.1. CONCEPTOS BÁSICOS1.2. CONJUNTOS Y TÉCNICAS DE CONTEO1.3. PERMUTACIONES Y COMBINACIONES1.4. ESPACIO MUESTRAL Y EVENTOS1.5. PROBABILIDAD CONDICIONAL E INDEPENDENCIA1.6. TEOREMA DE BAYES

1.1. CONCEPTOS BÁSICOS

Las probabilidades son muy útiles, ya que pueden servir para desarrollar estrategias. Por ejemplo, los inversionistas estarán más interesados en invertirsedinero si las posibilidades de ganar son buenas. El punto central en todos estoscasos es la capacidad de cuantificar cuan probable es determinado evento. Enconcreto decimos que las probabilidades se utilizan para expresar cuan probablees un determinado evento.

La probabilidad clásica: el enfoque clásico o a priori de la probabilidad se basa enla consideración de que los resultados de un experimento son igualmenteposibles.

Empleando el punto de vista clásico, la probabilidad de que suceda un evento secalcula dividiendo el número de resultados favorables, entre el número deresultados posibles.

La probabilidad clásica de un evento E, que denotaremos por P(E), se definecomo el número de eventos elementales que componen al evento E, entre elnúmero de eventos elementales que componen el espacio muestral:

Probabilidad. Es el estudio de los fenómenos de los que no estamos seguros desu ocurrencia.

Fenómeno. Es la ocurrencia de un hecho o suceso.

Experimento. Es un fenómeno observable perfectamente definido.

Ing. Cintia del Carmen Hernández Crisóstomo Página 1




Los fenómenos observables se pueden clasificar en:

• Deterministicos. Se puede predecir el resultado.• Aleatorios. No se puede predecir el resultado.

La probabilidad subjetiva de un evento: se la asigna la persona que hace elestudio, y depende del conocimiento que esta persona tenga sobre el tema.Precisamente por su carácter de subjetividad no se considera con validezcientífica, aunque en la vida diaria es de las más comunes que se utilizan al noapoyarse más que en el sentido común y los conocimientos previos, y no enresultados estadísticos.

La probabilidad de que un evento ocurra esta dada mediante un numero que vadesde de 0 a 1.00.

1.2. CONJUNTOS Y TÉCNICAS DE CONTEO

Conjuntos

Conjunto Es un grupo, una colección o una lista de objetos, a esos elementos seles llama miembros o elementos del conjunto. Un conjunto se puede formar con:Los libros de una biblioteca

Los alumnos de una escuelaLos colores del arco irisLas vocales del alfabetoLos días de la semana.

Un conjunto debe estar bien definido, es decir, podrá determinarse si un elementodado pertenece o no al conjunto. De esta manera, si el conjunto está formado por las estaciones del año, entonces primavera es un elemento del conjunto, pero

junio no lo es.

Se ha convenido representar a los conjuntos con letras mayúsculas y a los

miembros con las letras minúsculas.Un conjunto vacío, es el conjunto sin elementos que se denota por Φ ó { }, por ejemplo supóngase que en un grupo escolar la lista de los alumnos , ordenadaalfabéticamente por apellidos, inician con la letra P y terminan con la letra Z, siqueremos formar el conjunto A con los alumnos del grupo cuyo apellido empiecencon la letra A, no tiene elementos = Φ = { }





Un conjunto unitario es un conjunto que tiene un solo elemento. Por ejemplo, elconjunto del satélite natural de la tierra = {luna}

Diagramas de Venn

La unión de dos eventos es el evento que esta formado por todos los resultadoscontenidos en cualquiera de los dos eventos. La unión se denota por E1 U E2

La intersección de dos eventos es el evento que esta formado por los resultadoscontenidos en ambos eventos. La intersección se denota E1 ∩ E2

El complemento de un evento en un espacio muestral es el conjunto de losresultados en el espacio muestral que no están en el evento. Este componente delevento E se denota por E’.

Los diagramas se utilizan con frecuencia para representar las relaciones entreconjuntos, y también son muy útiles para describir relaciones entre eventos. Los

diagramas de Venn pueden emplearse para representar un espacio muestral y loseventos contenidos en éste

Dos eventos E1 y E2 que no tienen resultados en común tienen una relaciónimportante. Dos eventos E1 y E2, tales que E1 ∩ E2 = φ , se dice que sonmutuamente excluyentes. Un evento E y su complemento E’, siempre sonmutuamente excluyentes.

Ejemplos

1. El espacio muestral de un experimento aleatorio es

S = { } NN NA AN AA,,,

. Si E1= {AA, AN, NA} y E2 = {AN, NA, NN}.Calcular y representar mediante los diagramas de Venn:E1 U E2 =E1 ∩ E2 =E1’ =E2’ =

2. Sea el conjunto universal { } g , f ,e ,d ,c ,b ,aU = y los subconjuntos,{ } g ,e ,c ,a A= { } g , f ,d B = y { } g , f ,e ,bC = .

Calcular y representar mediante los diagramas de Venn:a) C A∪ =

b) A B∩ =c) C B∩ =d) A B∪





Ejemplo 2.9 (libro: Probabilidad y estadística aplicadas a la ingeniería.Montgomery y C. Runger pág. 53) Se analizan muestras de policarbonato plásticopara determinar su resistencia a las rayaduras y a los golpes. A continuación sepresenta el resumen de los resultados obtenidos con 49 muestras:

Resistencia a los golpes

Resistencia a las rayadurasalta baja

Alta 40 4Baja 2 3

Sean A: el evento “la muestra tiene una alta resistencia a los golpes”, y B: elevento “la muestra tiene una alta resistencia a las rayaduras”. Determine elnúmero de muestras en A∩B, A’, B’, AUB, A’∩B, A’UB, dibujando el diagrama devenn para cada uno.

Ejemplo 2-22. Se analizan los discos de policarbonato plástico de un proveedor para determinar su resistencia a las rayaduras y a los golpes. A continuación seresumen los resultados obtenidos al analizar 100 muestras.



Alta 80 9

Baja 6 5

Sean A: el evento donde el disco tiene una alta resistencia a los golpes, y B elevento donde el disco tiene una alta resistencia a las rayaduras. Determine elnúmero de discos en A B, A’, y AUB. Dibuje un diagrama de Venn para estosdatos.

Tarea: resuelve del libro: Probabilidad y estadística aplicadas a la ingeniería.

Montgomery y C. Runger pág. 60 y 61, los ejercicios: 2-23 y 2-24





Técnicas de conteo

Diagrama de árbolUn diagrama de árbol es una representación gráfica de un experimento que constade r pasos, donde cada uno de los pasos tiene un número finito de maneras de ser

llevado a cabo. Ejemplos:1.- Un vendedor de autos quiere presentar a sus clientes todas las diferentesopciones con que cuenta: auto convertible, auto de dos puertas, y auto de 4puertas, cualquiera de ellos con rines deportivos o estándar ¿Cuántos diferentesarreglos de autos y rines puede ofrece el vendedor?

2. Un médico general clasifica a sus pacientes de acuerdo a: su sexo (masculino ofemenino), tipo de sangre (A, B, AB u O) y en cuanto a la presión sanguínea(Normal, Alta o Baja). Mediante un diagrama de árbol diga en cuantas

clasificaciones pueden estar los pacientes de este médico.

2. En la prueba de tarjetas de circuito impreso. Cada tarjeta pasa o no pasa laprueba. En una tarjeta que no pasa la prueba se hace una verificación adicional. Sise representan cinco pruebas. Representa mediante un diagrama de árbol espaciomuestral de este experimento.





3. Un sistema de comunicación digital, cada mensaje se clasifica según llega o nodentro del tiempo establecido por el diseño del sistema. Si se clasifican tresmensajes, utilice un diagrama de árbol para representar el espacio muestral de losposibles resultados.

Notación factorial

Notación factorial: es el producto de n entero positivo hasta 1n! =n (n-1)*(n-2)*(n-3)*….*3*2*1

En algunos problemas de matemáticas se nos presentan multiplicaciones denúmeros naturales sucesivos tal como: 4 x 3 x 2 x 1 = 24; 3 x 2 x 1 = 6; 2 x 1 = 2.Para abreviar estas expresiones, se usa una notación especial llamada notaciónfactorial y nos denota las multiplicaciones sucesivas de n hasta 1 y se define

como:4 x 3 x 2 x 1 = 4! Se lee “cuatro factorial”

3 x 2 x 1 = 3! Se lee “tres factorial”

En términos generales:n(n-1)(n-2)…x 2 x 1 = n! Se lee “n factorial”





1.5. PROBABILIDAD CONDICIONAL E INDEPENDENCIA

INDEPENDENCIA

Si se tienen 2 eventos A y B, se dice que son independientes si la probabilidad deque uno de ellos suceda no depende de que el otro suceso ocurra o no ocurra.Si los eventos son independientes se tiene:p(A∩B) = p(A) . p(B)p(A∩B∩C) = p(A). p (B). p(C)P(A/B) = P(A), se lee “la probabilidad de A dado B, es igual a la probabilidad de A”P(B/A) = P(B), se lee “la probabilidad de B dado A, es igual a la probabilidad de B”

Ejemplo:1. En una caja se tienen 5 globos verdes, 3 blancos y 2 rojos. Hallar laprobabilidad de que al extraer 2 globos, éstos sean: (Muestreo con reposición)

a) rojosb) verdesc) blancosSolución:a) p(RR) = 2/10 . 2/10 = 4/100 = .04 = 4%b) p(VV) = 5/10 . 5/10 = 25/100 = .25 = 25%c) p(BB) = 3/10 . 3/10 = 9/100 = .09 = 9%

2. En una caja se tienen 5 globos verdes, 3 blancos y 2 rojos. Si se extraen dosglobos al azar,

a) ¿Cuál es la probabilidad de que al extraer el segundo, este sea rojo dado

que el primero lo fue? (Muestreo con reposición).b) ¿Cuál es la probabilidad de que al extraer el primero sea verde? (conreposición)

c) ¿Cuál es la probabilidad de que al extraer el segundo sea blanco, dado queel primero no lo fue? (con reposición)

3. La producción diaria de 850 partes contiene 50 que no satisfacen losrequerimientos del cliente. Del lote se eligen dos partes, con reemplazo.¿Cuál es la probabilidad de que la segunda parte sea defectuosa dado quela primera lo es?

4. La probabilidad de que una muestra de laboratorio contenga altos nivelesde contaminación es 0.10. Se analizan cinco muestras, esta sonindependientes.a) ¿Cuál es la probabilidad de que ninguna contenga altos niveles de

contaminación?b) ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente una contenga altos niveles

de contaminación?





TAREA DE INDEPENDENCIA:

1. Al lanzar una moneda, los tiros son independientes, ¿Cuál es laprobabilidad de obtener la secuencia: [cara, cara, cara, cruz, cruz]?

2. Un lote de 500 contenedores para jugo de naranja congelado contiene 5que están defectuosos. Se escogen dos al azar, con reemplazo.a) ¿Cuál es la probabilidad de que los dos sean defectuosos? (5/500)

(5/500)= 0.0001 = 0.01% b) ¿Cuál es la probabilidad de que el segundo sea defectuoso dado que el

primero lo fue? 5/500= 0.013. La producción diaria de 850 partes contiene 50 que no satisfacen los

requerimientos del cliente. Del lote se eligen dos partes, con reemplazo.¿Cuál es la probabilidad de que las dos partes sean defectuosas?

50/850(50/850)=0.0034602

Si los sucesos son dependientes, esto es que lo que ocurra después depende delo que haya ocurrido antes se obtiene:p(A∩B) = p(A).p(B/A)Se lee “ probabilidad de que ocurran A y B (sucesivas o simultáneas) es igual a la

probabilidad de que ocurra A por la probabilidad de que ocurra B dado que yaocurrió antes A.”

Ejemplos:

1. En una caja se tienen 5 globos verdes, 3 blancos y 2 rojos. Hallar laprobabilidad de que al extraer 2 globos, éstos sean: (muestreo sin reposición)a) rojosb) verdesc) blancosSolución:a) p(RR) = 2/10 . 1/9 = 2/90 =b) p(VV) = 5/10 . 4/9 = 20/90 =c) p(BB) = 3/10 . 2/9 = 6/90 = 2/30

2. En una caja se tienen 5 globos verdes, 3 blancos y 2 rojos. Si se extraen dos

globos al azar,a) ¿Cuál es la probabilidad de que al extraer el segundo, este sea rojodado que el primero lo fue? (Muestreo sin reposición).1/9

b) ¿Cuál es la probabilidad de que al extraer el primero sea verde? (sinreposición) 5/10

c) ¿Cuál es la probabilidad de que al extraer el segundo sea blanco, dadoque el primero no lo fue? (sin reposición) 3/9





3. La producción diaria de 850 partes contiene 50 que no satisfacen losrequerimientos del cliente. Del lote se eligen dos partes, sin reemplazo.¿Cuál es la probabilidad de que la segunda parte sea defectuosa dadoque la primera lo es? 49/849

Probabilidad Condicional

La probabilidad del evento A dado que el evento B se ha presentado se llamaprobabilidad condicional, se denota por p(A/B) y se define como:

Ejemplos:1. Los resultados obtenidos de 226 muestras de aire se clasifican de acuerdo

con la presencia de dos moléculas raras. sean A: el evento formado por

todas las muestra en las que se encuentra presente la molécula rara 1, y B:el evento formado por todas las muestras de aire donde está presente lamolécula 2. al utilizar los resultados que aparecen en la siguiente tabla, setiene que:

Molécula 1 presente

Molécula 2 presenteNo si

No 212 24si 18 12

Calcule las siguientes probabilidades:a) P(A)= b) P(B)=c) P(A/B)=d) P(B/A)=

2. Se analizan los discos de policarbonato plástico de un proveedor paradeterminar su resistencia a las rayaduras y a los golpes. A continuación seresumen los resultados obtenidos al analizar 100 muestras.



Alta 80 9Baja 6 5

Sean A: el evento donde el disco tiene una alta resistencia a los golpes, y B elevento donde el disco tiene una alta resistencia a las rayaduras. Determine lassiguientes probabilidades:

a) P(A)b) P(B)





c) P(A/B)d) P(B/A)

TAREADel ejercicio 2-23 y 2-24 calcular las siguientes probabilidades:

a) P(A)b) P(B)c) P(A/B)d) P(B/A)

La probabilidad de que un vuelo de programación regular despegue a tiempo es0.83, la de que llegue a tiempo es 0.82, y la de que despegue y llegue a tiempo es0.78. Encuentre la probabilidad de que un avión:

a) Llegue a tiempo dado que despegó a tiempo.b) Despegue a tiempo dado que llegó a tiempo.c) Llegue a tiempo dado que despegó a tiempo.d) No llegue a tiempo dado que no despegó a tiempo.

Sean D: el evento donde el avión despegue a tiempoA: El avión que llegue a tiempo.

(Sugerencia: arroja los datos en una tabla para apreciar mejor las probabilidades)


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